Równanie regresji wielokrotnej w postaci naturalnej i standaryzowanej. Standaryzowane współczynniki regresji
Współczynników równania regresji, podobnie jak wszelkich wskaźników bezwzględnych, nie można użyć w analizie porównawczej, jeśli jednostki miary odpowiednich zmiennych są różne. Na przykład, jeśli y - rodzinne wydatki na wyżywienie, X 1 - wielkość rodziny i X 2 jest całkowitym dochodem rodziny i definiujemy zależność typu = za + b 1 x 1 + b 2 x 2 i b 2 > b 1 , to nie oznacza to, że x 2 silniejszy wpływ na y , Jak X 1 , dlatego b 2 to zmiana wydatków rodzinnych ze zmianą dochodu o 1 rubel i b 1 - zmiana wydatków przy zmianie wielkości rodziny o 1 osobę.
Porównywalność współczynników równania regresji uzyskuje się, biorąc pod uwagę standardowe równanie regresji:
y 0 \u003d 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + ... + m x m 0 + mi,
gdzie y 0 i x 0 k – standaryzowane wartości zmiennych y oraz x k :
Sy i S to odchylenia standardowe zmiennych y oraz x k ,
k (k=) – -współczynniki równania regresji (ale nie parametry równania regresji, w przeciwieństwie do zapisu podanego wcześniej). Współczynniki pokazują, o jaką część odchylenia standardowego (S y) zmieni się zmienna zależna y jeśli zmienna niezależna x k zmieni się o swoje odchylenie standardowe (S). Oszacowania parametrów równania regresji w wartościach bezwzględnych (b k) i współczynnikach β są powiązane zależnością:
Współczynniki równania regresji na znormalizowanej skali tworzą rzeczywiste wyobrażenie o wpływie zmiennych niezależnych na modelowany wskaźnik. Jeżeli wartość współczynnika dla dowolnej zmiennej przekracza wartość odpowiadającego mu współczynnika dla innej zmiennej, to wpływ pierwszej zmiennej na zmianę efektywnego wskaźnika należy uznać za bardziej znaczący. Należy pamiętać, że wystandaryzowane równanie regresji, ze względu na centrowanie zmiennych, z założenia nie ma wyrazu wolnego.
W przypadku prostej regresji współczynnik pokrywa się ze współczynnikiem korelacji par, co umożliwia nadanie współczynnikowi korelacji par znaczenia semantycznego.
Analizując wpływ wskaźników zawartych w równaniu regresji na modelowaną cechę, obok współczynników wykorzystuje się również współczynniki elastyczności. Na przykład średni wskaźnik elastyczności oblicza się według wzoru
i pokazuje, o ile procent zmienna zależna zmieni się średnio, jeśli średnia wartość odpowiedniej zmiennej niezależnej zmieni się o jeden procent (ceteris paribus).
2.2.9. Zmienne dyskretne w analizie regresji
Zazwyczaj zmienne w modelach regresji mają ciągłe zakresy. Teoria nie nakłada jednak żadnych ograniczeń na charakter takich zmiennych. Dość często istnieje potrzeba uwzględnienia w analizie regresji wpływu cech jakościowych i ich zależności od różnych czynników. W takim przypadku konieczne staje się wprowadzenie do modelu regresji zmiennych dyskretnych. Zmienne dyskretne mogą być niezależne lub zależne. Rozważmy te przypadki osobno. Rozważmy najpierw przypadek dyskretnych zmiennych niezależnych.
Zmienne fikcyjne w analizie regresji
Aby uwzględnić cechy jakościowe jako zmienne niezależne w regresji, należy je zdigitalizować. Jednym ze sposobów ich digitalizacji jest użycie zmiennych fikcyjnych. Nazwa nie do końca się udała – nie są one fikcyjne, po prostu wygodniej jest do tych celów używać zmiennych, które przyjmują tylko dwie wartości – zero lub jeden. To właśnie nazywają fikcją. Zwykle zmienna jakościowa może przyjmować kilka poziomów wartości. Na przykład płeć - mężczyzna, kobieta; kwalifikacja - wysoka, średnia, niska; sezonowość – I, II, III, IV kwartał itp. Istnieje zasada, że aby zdigitalizować takie zmienne, należy wprowadzić liczbę zmiennych fikcyjnych o jeden mniejszą od liczby poziomów modelowanego wskaźnika . Jest to konieczne, aby takie zmienne nie były liniowo zależne.
W naszych przykładach płeć jest jedną zmienną, równą 1 dla mężczyzn i 0 dla kobiet. Kwalifikacja ma trzy poziomy, więc potrzebne są dwie zmienne fikcyjne: na przykład z 1 = 1 dla wysokiego poziomu, 0 dla pozostałych; z 2 = 1 dla poziomu średniego, 0 dla pozostałych. Niemożliwe jest wprowadzenie trzeciej podobnej zmiennej, ponieważ w tym przypadku okazałyby się one liniowo zależne (z 1 + z 2 + z 3 \u003d 1), wyznacznik macierzy (X T X) poszedłby do zera i znalazłby odwrotna macierz (X T X) -1 nie powiodłaby się. Jak wiadomo, oszacowania parametrów równania regresji są określane ze stosunku: T X) -1 X T Y).
Współczynniki dla zmiennych fikcyjnych pokazują, jak różni się wartość zmiennej zależnej na poziomie analizowanym w porównaniu z poziomem brakującym. Na przykład, gdyby modelować poziom wynagrodzenia w zależności od kilku cech i poziomu umiejętności, to współczynnik przy z 1 pokazałby, jak bardzo różni się wynagrodzenie specjalistów o wysokim poziomie kwalifikacji od wynagrodzenia specjalisty o niskim poziomie kwalifikacji , wszystkie inne rzeczy są równe, a współczynnik przy z 2 - podobne znaczenie dla specjalistów o średnim poziomie kwalifikacji. W przypadku sezonowości należałoby wprowadzić trzy zmienne fikcyjne (przy uwzględnieniu danych kwartalnych) i współczynniki dla nich pokazywałyby, jak bardzo wartość zmiennej zależnej różni się dla analogicznego kwartału od poziomu zmiennej zależnej dla kwartał, który nie został wprowadzony podczas ich digitalizacji.
Wprowadza się również zmienne fikcyjne do modelowania zmian strukturalnych w dynamice badanych wskaźników w analizie szeregów czasowych.
Przykład 4 Standaryzowane równanie regresji i zmienne fikcyjne
Rozważmy przykład zastosowania wystandaryzowanych współczynników i zmiennych fikcyjnych na przykładzie analizy rynku mieszkań dwupokojowych w oparciu o równanie regresji wielokrotnej z następującym zestawem zmiennych:
CENA - cena;
TOTSP - powierzchnia całkowita;
LIVSP - część dzienna;
KITSP - część kuchenna;
DIST - odległość do centrum miasta;
WALK - równy 1, jeśli do stacji metra można dojść pieszo i równy 0, jeśli musisz skorzystać z transportu publicznego;
CEGŁA - równa 1, jeśli dom jest z cegły i równa 0, jeśli jest z paneli;
PIĘTRO - równe 1 jeśli mieszkanie nie znajduje się na pierwszym lub ostatnim piętrze i równe 0 w przeciwnym przypadku;
TEL - równy 1 jeśli w mieszkaniu jest telefon i równy 1 jeśli go nie ma;
BAL jest równe 1, jeśli jest balkon i równe 0, jeśli nie ma balkonu.
Obliczenia przeprowadzono za pomocą programu STATISTICA (rysunek 2.23). Obecność współczynników pozwala uporządkować zmienne według stopnia ich wpływu na zmienną zależną. Przeanalizujmy pokrótce wyniki obliczeń.
Na podstawie statystyk Fishera dochodzimy do wniosku, że równanie regresji jest istotne (poziom p< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
Rysunek 2.24 – Raport z rynku mieszkań na podstawie STATISTICA PPP
Współczynnik determinacji wielokrotnej wynosi 52%, zatem zmienne uwzględnione w regresji determinują zmianę ceny o 52%, a pozostałe 48% zmiany ceny mieszkania zależy od czynników nieuwzględnionych. W tym z losowych wahań cen.
Każdy ze współczynników zmiennej pokazuje, o ile zmieni się cena mieszkania (ceteris paribus), jeśli ta zmienna zmieni się o jeden. Na przykład przy zmianie całkowitej powierzchni o 1 mkw. m2 cena mieszkania zmieni się średnio o 0,791 USD, a gdy mieszkanie znajduje się 1 km od centrum miasta, cena mieszkania spadnie średnio o 0,596 USD. itd. Zmienne fikcyjne (ostatnie 5) pokazują, o ile średnio zmieni się cena mieszkania, jeśli przejdziesz z jednego poziomu tej zmiennej na inny. I tak np. jeśli dom jest murowany, to mieszkanie w nim kosztuje średnio 3,104 USD. e. droższe niż to samo w domu z paneli, a obecność telefonu w mieszkaniu podnosi jego cenę średnio o 1.493 USD. itp.
Na podstawie współczynników można wyciągnąć następujące wnioski. Największy współczynnik , równy 0,514, jest współczynnikiem dla zmiennej „powierzchnia całkowita”, dlatego przede wszystkim cena mieszkania kształtuje się pod wpływem jego powierzchni całkowitej. Kolejnym czynnikiem pod względem stopnia wpływu na zmianę ceny mieszkania jest odległość do centrum miasta, następnie materiał, z którego zbudowany jest dom, następnie powierzchnia kuchni itp. .
Strona 1
Standaryzowane współczynniki regresji pokazują, o ile sigma średnio zmieni się wynik, jeśli odpowiedni czynnik x zmieni się o jedną sigma, podczas gdy średni poziom pozostałych czynników pozostanie niezmieniony. Dzięki temu, że wszystkie zmienne są ustawione jako wyśrodkowane i znormalizowane, wystandaryzowane współczynniki reness D są ze sobą porównywalne. Porównując je ze sobą, można uszeregować czynniki według siły ich wpływu na wynik. Jest to główna zaleta standaryzowanych współczynników regresu, w przeciwieństwie do czystych współczynników regresu, które są nieporównywalne między sobą.
Spójność współczynników korelacji cząstkowej i standaryzowanych współczynników regresji najlepiej widać z porównania ich wzorów w analizie dwuczynnikowej.
Zgodność współczynników korelacji cząstkowej i standaryzowanych współczynników regresji najlepiej widać z porównania ich wzorów w analizie dwukierunkowej.
Do wyznaczenia wartości oszacowań przy znormalizowanych współczynnikach regresji a (najczęściej stosowane są następujące metody rozwiązywania układów równań normalnych: metoda wyznaczników, metoda pierwiastkowa i metoda macierzowa. Ostatnio metoda macierzowa ma były szeroko stosowane do rozwiązywania problemów analizy regresji.Tutaj rozważamy rozwiązanie układu równań normalnych metodą wyznaczników.
Innymi słowy, w analizie dwuczynnikowej współczynniki korelacji cząstkowej to wystandaryzowane współczynniki regresji pomnożone przez pierwiastek kwadratowy ze stosunku udziałów wariancji resztowych czynnika stałego do czynnika i wyniku.
Istnieje jeszcze inna możliwość oceny roli cech grupujących, ich znaczenia dla klasyfikacji: na podstawie wystandaryzowanych współczynników regresji lub odrębnych współczynników determinacji (patrz rozdz.
Jak widać z tabeli. Na rycinie 18 składniki badanego składu zostały rozłożone według wartości bezwzględnej współczynników regresji (b5) z ich błędem kwadratowym (sbz) w szeregu od tlenku węgla i kwasów organicznych do aldehydów i par oleju. Przy obliczaniu standaryzowanych współczynników regresji (p) okazało się, że biorąc pod uwagę zakres wahań stężeń, w kształtowaniu toksyczności mieszaniny jako całości na pierwszy plan wysuwają się ketony i tlenek węgla, podczas gdy kwasy organiczne pozostają na trzecim miejscu.
Warunkowo czyste współczynniki regresji bf są nazwanymi liczbami wyrażonymi w różnych jednostkach miary i dlatego są nieporównywalne ze sobą. Aby przeliczyć je na porównywalne wskaźniki względne, stosuje się takie samo przekształcenie, jak przy uzyskiwaniu współczynnika korelacji par. Wynikowa wartość nazywana jest znormalizowanym współczynnikiem regresji lub - współczynnikiem.
Współczynniki warunkowo-czystej regresji A; są nazwanymi liczbami, wyrażonymi w różnych jednostkach miary, a zatem są nieporównywalne ze sobą. Aby przeliczyć je na porównywalne wskaźniki względne, stosuje się takie samo przekształcenie, jak przy uzyskiwaniu współczynnika korelacji par. Wynikowa wartość nazywana jest znormalizowanym współczynnikiem regresji lub - współczynnikiem.
W procesie opracowywania standardów zatrudnienia zbierane są wstępne dane dotyczące stanu zatrudnienia kadry kierowniczej oraz wartości współczynników dla wybranych przedsiębiorstw podstawowych. Następnie dla każdej funkcji dobierane są czynniki istotne na podstawie analizy korelacji, na podstawie wartości współczynników korelacji. Wybierane są czynniki o największej wartości współczynnika korelacji pary z funkcją i standaryzowanym współczynnikiem regresji.
Wyniki powyższych obliczeń umożliwiają uporządkowanie malejących współczynników regresji odpowiadających badanej mieszaninie, a tym samym ilościowe określenie stopnia ich zagrożenia. Uzyskany w ten sposób współczynnik regresji nie uwzględnia jednak zakresu możliwych fluktuacji poszczególnych składników mieszaniny. W rezultacie produkty degradacji o wysokich współczynnikach regresji, ale oscylujące w małym zakresie stężeń, mogą mieć mniejszy wpływ na całkowity efekt toksyczny niż składniki o stosunkowo małym b, których zawartość w mieszaninie zmienia się w szerszym zakresie. Właściwe wydaje się zatem wykonanie dodatkowej operacji – obliczenia tzw. standaryzowanych współczynników regresji p (J.
Strony: 1
Ćwiczenie.
- Dla danego zestawu danych zbuduj liniowy model regresji wielokrotnej. Ocenić dokładność i adekwatność skonstruowanego równania regresji.
- Podaj ekonomiczną interpretację parametrów modelu.
- Oblicz znormalizowane współczynniki modelu i zapisz równanie regresji w znormalizowanej formie. Czy to prawda, że cena dobra ma większy wpływ na wielkość podaży dobra niż płace pracowników?
- Dla otrzymanego modelu (w postaci naturalnej) sprawdzić homoskedastyczność reszt stosując test Goldfelda-Quandta.
- Sprawdź wynikowy model pod kątem autokorelacji resztkowej za pomocą testu Durbina-Watsona.
- Sprawdź, czy założenie o jednorodności danych pierwotnych jest adekwatne w sensie regresji. Czy można połączyć dwie próbki (dla pierwszych 8 i pozostałych 8 obserwacji) w jedną i rozważyć pojedynczy model regresji Y na X?
1. Estymacja równania regresji. Zdefiniujmy wektor oszacowań współczynników regresji za pomocą usługi Multiple Regression Equation. Zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów wektor s otrzymuje się z wyrażenia: s = (X T X) -1 X T Y
Matryca X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Matryca Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
Matryca XT
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Mnożenie macierzy, (X T X)
Znajdź macierz odwrotną (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7.0E-6 |
| 0.00037 | -7.0E-6 | 1.0E-6 |
Wektor oszacowań współczynników regresji jest równy
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Równanie regresji (ocena równania regresji)
Y = 0,18 + 0,00297X 1 + 0,00347X 2
2. Macierz sparowanych współczynników korelacji R. Liczba obserwacji n = 14. Liczba zmiennych niezależnych w modelu wynosi 2, a liczba regresorów, uwzględniając wektor jednostkowy, jest równa liczbie nieznanych współczynników. Uwzględniając znak Y wymiar macierzy staje się równy 4. Macierz zmiennych niezależnych X ma wymiar (14 x 4).
Macierz złożona z Y i X
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
Transponowana macierz.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Macierz A T A.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
Wynikowa macierz ma następującą zgodność:
| ∑n | ∑y | ∑x1 | ∑x2 |
| ∑y | ∑y2 | ∑x1y | ∑x2y |
| ∑x1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x2x1 |
| ∑x2 | ∑yx2 | ∑x1x2 | ∑x 2 2 |
Znajdźmy sparowane współczynniki korelacji.
| Cechy x i y | ∑(x ja ) | ∑(y ja) | ∑(x ja y ja ) | |||
| Dla y i x 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| Dla y i x 2 | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| Dla x1 i x2 | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Cechy x i y | ||||
| Dla y i x 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| Dla y i x 2 | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| Dla x1 i x2 | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
Macierz sparowanych współczynników korelacji R:
| - | y | x 1 | x2 |
| y | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Aby wybrać najistotniejsze czynniki x i, brane są pod uwagę następujące warunki:
- związek między cechą efektywną a czynnikiem powinien być wyższy niż związek międzyczynnikowy;
- stosunek między czynnikami nie powinien być większy niż 0,7. Jeżeli macierz ma współczynnik korelacji międzyczynnikowej r xjxi > 0,7, to w tym modelu regresji wielorakiej występuje współliniowość;
- przy wysokim związku międzyczynnikowym cechy wybierane są czynniki o niższym współczynniku korelacji między nimi.
W naszym przypadku wszystkie pary współczynników korelacji |r| Model regresji w skali standardowej Model regresji w skali standardowej zakłada, że wszystkie wartości badanych cech są przeliczane na wzorce (wartości standaryzowane) za pomocą wzorów:
gdzie x ji jest wartością zmiennej x ji w i-tej obserwacji.
Zatem pochodzenie każdej standaryzowanej zmiennej jest łączone z jej wartością średnią, a jej odchylenie standardowe jest traktowane jako jednostka zmiany S.
Jeżeli zależność między zmiennymi w skali naturalnej jest liniowa, to zmiana pochodzenia i jednostki miary nie naruszy tej właściwości, dzięki czemu zmienne standaryzowane będą powiązane zależnością liniową:
t y = ∑β jot t xj
Aby oszacować współczynniki β, używamy metody najmniejszych kwadratów. W takim przypadku układ równań normalnych będzie miał postać:
r x1y =β 1 + r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y = r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy = r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Dla naszych danych (bierzemy z macierzy sparowanych współczynników korelacji):
0,558 = β1 + 0,508β2
0,984 = 0,508β 1 + β 2
Ten układ równań liniowych rozwiązuje się metodą Gaussa: β 1 = 0,0789; β2 = 0,944;
Standaryzowana postać równania regresji to:
y0 = 0,0789x1 + 0,944x2
Współczynniki β znalezione z tego układu umożliwiają wyznaczenie wartości współczynników w regresji w skali naturalnej za pomocą wzorów:
Standaryzowane współczynniki regresji cząstkowej. Standaryzowane współczynniki regresji cząstkowej - współczynniki β (β j) pokazują, o jaką część odchylenia standardowego S (y) zmieni się znak-wynik y ze zmianą odpowiedniego czynnika x j o wartość jego odchylenia standardowego (S xj) przy takim samym wpływie innych czynników (uwzględnionych w równaniu).
Na podstawie maksymalnego β j można ocenić, który czynnik ma największy wpływ na wynik Y.
Na podstawie współczynników sprężystości i współczynników β można wyciągnąć przeciwne wnioski. Przyczyny tego są następujące: a) zmienność jednego czynnika jest bardzo duża; b) wielokierunkowy wpływ czynników na wynik.
Współczynnik β j można również interpretować jako wskaźnik wpływu bezpośredniego (natychmiastowego). j-ty czynnik (x j) na wynik (y). W regresji wielokrotnej j Czynnik th ma nie tylko bezpośredni, ale także pośredni (pośredni) wpływ na wynik (tj. wpływ poprzez inne czynniki modelu).
Wpływ pośredni mierzy się wartością: ∑β i r xj,xi , gdzie m jest liczbą czynników w modelu. Pełny wpływ j-ty czynnik na wynik równy sumie wpływów bezpośrednich i pośrednich mierzy współczynnik korelacji par liniowych tego czynnika i wyniku - r xj,y .
Tak więc dla naszego przykładu bezpośredni wpływ czynnika x 1 na wynik Y w równaniu regresji jest mierzony przez β j i wynosi 0,0789; pośredni (pośredni) wpływ tego czynnika na wynik definiuje się jako:
rx1x2 β2 = 0,508 * 0,944 = 0,4796
W ekonometrii często stosuje się inne podejście do wyznaczania parametrów regresji wielokrotnej (2.13) z wykluczonym współczynnikiem:
Podziel obie strony równania przez odchylenie standardowe wyjaśnianej zmiennej S Y i przedstaw to w postaci:
Podziel i pomnóż każdy składnik przez odchylenie standardowe odpowiedniej zmiennej czynnikowej, aby uzyskać zmienne standaryzowane (wyśrodkowane i znormalizowane):
gdzie nowe zmienne są oznaczone jako
.
Wszystkie standaryzowane zmienne mają średnią równą zero i taką samą wariancję równą jeden.
Równanie regresji w postaci znormalizowanej to:
gdzie 
- standaryzowane współczynniki regresji.
Standaryzowane współczynniki regresji 
różni się od współczynników 
zwykłą, naturalną postać w tym, że ich wartość nie zależy od skali pomiaru zmiennych objaśnianych i objaśniających modelu. Ponadto istnieje między nimi prosta zależność:
, (3.2)
co daje inny sposób obliczania współczynników 
według znanych wartości 
, co jest wygodniejsze w przypadku np. modelu regresji dwuczynnikowej.
5.2. Normalny układ równań najmniejszych kwadratów w standaryzacji
zmienne
Okazuje się, że do obliczenia współczynników regresji standaryzowanej wystarczy znać parami współczynniki korelacji liniowej. Aby pokazać, jak to się robi, wyłączamy nieznane z normalnego układu równań najmniejszych kwadratów 
korzystając z pierwszego równania. Mnożenie pierwszego równania przez ( 
) i dodając wyraz po wyrazie do drugiego równania, otrzymujemy:
Zastąpienie wyrażeń w nawiasach notacją dla wariancji i kowariancji
Przepiszmy drugie równanie w postaci dogodnej dla dalszego uproszczenia:
Podziel obie strony tego równania przez odchylenie standardowe zmiennych S Y oraz ` S X 1 , a każdy składnik jest dzielony i mnożony przez odchylenie standardowe zmiennej odpowiadającej numerowi składnika:
Wprowadzenie charakterystyk liniowej zależności statystycznej:
i standaryzowane współczynniki regresji
,
otrzymujemy:
Po podobnych przekształceniach wszystkich pozostałych równań układ normalny równań liniowych LSM (2.12) przyjmuje następującą, prostszą postać:
(3.3)
5.3. Standaryzowane opcje regresji
Standaryzowane współczynniki regresji w konkretnym przypadku modelu z dwoma czynnikami wyznaczane są z następującego układu równań:
(3.4)
Rozwiązując ten układ równań, znajdujemy:
, (3.5)
. (3.6)
Podstawiając znalezione wartości współczynników korelacji par do równań (3.4) i (3.5), otrzymujemy 
oraz 
. Następnie korzystając ze wzorów (3.2) łatwo obliczyć oszacowania współczynników 
oraz 
, a następnie, jeśli to konieczne, obliczyć oszacowanie 
zgodnie z formułą 
6. Możliwości analizy ekonomicznej w oparciu o model wieloczynnikowy
6.1. Standaryzowane współczynniki regresji
Standaryzowane współczynniki regresji pokazują, ile odchyleń standardowych 
zmiana średniej zmiennej objaśnianej Y jeśli odpowiednia zmienna objaśniająca X i
zmieni się o kwotę 
jedno z jego odchyleń standardowych przy zachowaniu tych samych wartości średniego poziomu wszystkich pozostałych czynników.
Ze względu na to, że w regresji standaryzowanej wszystkie zmienne podane są jako wyśrodkowane i znormalizowane zmienne losowe, współczynniki 
porównywalne do siebie. Porównując je ze sobą, można uszeregować odpowiednie czynniki X i przez siłę wpływu na wyjaśnianą zmienną Y. Jest to główna zaleta standaryzowanych współczynników regresji ze współczynników 
regresje w postaci naturalnej, które są nieporównywalne między sobą.
Ta cecha wystandaryzowanych współczynników regresji umożliwia zastosowanie przy selekcji najmniej istotnych czynników X i z bliskimi zeru wartościami ich przykładowych szacunków 
. Decyzja o wyłączeniu ich z modelowego równania regresji liniowej jest podejmowana po sprawdzeniu hipotez statystycznych o równości jej wartości średniej do zera.
Współczynnik beta równy 0,074 (tabela 3.2.1) pokazuje, że jeśli płace realne zmienią się o wartość ich odchylenia standardowego (σx1), to tempo przyrostu naturalnego zmieni się średnio o 0,074 σу. Współczynnik beta równy 0,02 pokazuje, że jeśli współczynnik małżeństw ogółem zmieni się o wartość jego odchylenia standardowego (o σx2), to tempo przyrostu naturalnego zmieni się średnio o 0,02 σy. Podobnie zmiana liczby przestępstw na 1000 osób o wartość jej odchylenia standardowego (o σх3) doprowadzi do zmiany cechy efektywnej średnio o 0,366 σy, a zmiany nakładu metrów kwadratowych mieszkań lokalu na osobę rocznie o wartość jego odchylenia standardowego (o σх4) prowadzi do zmiany cechy efektywnej średnio o 1,32σу.
Współczynnik elastyczności pokazuje, o ile procent y zmienia się średnio przy zmianie współczynnika znaku o 1%. Z analizy szeregu dynamiki wiadomo, że wartość 1% przyrostu wskaźnika efektywnego jest ujemna, gdyż we wszystkich jednostkach zbiorowości występuje naturalny ubytek ludności. Zatem wzrost faktycznie oznacza zmniejszenie straty. Tak więc ujemne współczynniki elastyczności w tym przypadku odzwierciedlają fakt, że wraz ze wzrostem każdej z cech czynnika o 1% współczynnik naturalnego ścierania zmniejszy się o odpowiednią liczbę procent. Przy wzroście płac realnych o 1% wskaźnik deportacji zmniejszy się o 0,219%, przy wzroście wskaźnika małżeństw ogółem o 1% obniży się o 0,156%. Wzrost liczby przestępstw na 1000 osób o 1% charakteryzuje się zmniejszeniem ubytku naturalnego o 0,564. Oczywiście nie oznacza to, że zwiększając przestępczość można poprawić sytuację demograficzną. Uzyskane wyniki wskazują, że im więcej osób zostaje uratowanych na 1000 ludności, tym odpowiednio więcej przestępstw przypada na ten tysiąc. Wzrost nakładów mkw. mieszkań na osobę rocznie o 1% prowadzi do zmniejszenia ubytków naturalnych o 0,482%
Z analizy współczynników elastyczności i współczynników beta wynika, że największy wpływ na współczynnik przyrostu naturalnego ludności ma współczynnik oddania do użytku metrów kwadratowych mieszkań na mieszkańca, gdyż odpowiada on największej wartości współczynnika beta (1,32). Nie oznacza to jednak, że największe możliwości zmiany współczynnika przyrostu naturalnego wiążą się ze zmianą tego z rozpatrywanych czynników. Otrzymany wynik odzwierciedla fakt, że popyt na rynku mieszkaniowym odpowiada podaży, czyli im większy przyrost naturalny ludności, tym większe zapotrzebowanie tej ludności na mieszkania i im więcej się buduje.
Druga co do wielkości beta (0,366) odpowiada liczbie przestępstw na 1000 osób. Oczywiście nie oznacza to, że zwiększając przestępczość można poprawić sytuację demograficzną. Uzyskane wyniki wskazują, że im więcej osób zostaje uratowanych na 1000 ludności, tym odpowiednio więcej przestępstw przypada na ten tysiąc.
Największa z pozostałych cech, współczynnik beta (0,074), odpowiada wskaźnikowi płacy realnej. Największe możliwości zmiany współczynnika przyrostu naturalnego ludności wiążą się ze zmianą tego z rozpatrywanych czynników. Wskaźnik ogólnego wskaźnika małżeństw jest pod tym względem gorszy od płac realnych z uwagi na fakt, że naturalny ubytek ludności w Rosji wynika przede wszystkim z wysokiej śmiertelności, której tempo wzrostu można ograniczyć raczej wsparciem materialnym niż wzrost aktów małżeństwa.
3.3 Połączone grupowanie obwodów według płac realnych i całkowitego wskaźnika małżeństw
Grupowanie połączone lub wielowymiarowe to grupowanie oparte na dwóch lub więcej cechach. Wartość tego grupowania polega na tym, że pokazuje ono nie tylko wpływ każdego z czynników na wynik, ale także wpływ ich kombinacji.
Określmy wpływ płac realnych i wskaźnika małżeństw ogółem na wskaźnik urodzeń na 1000 osób.
Wyróżniamy typowe grupy według zarysowanych cech. W tym celu zbudujemy i przeanalizujemy szeregi rankingowe i przedziałowe na podstawie czynnika (wartości płacy), określimy liczbę grup i wielkość przedziału; następnie w ramach każdej grupy zbudujemy serię rankingową i interwałową zgodnie z drugim znakiem (wskaźnik małżeństw), a także ustalimy liczbę grup i interwał. Procedurę wykonania tej pracy przedstawiono w rozdziale 2, dlatego pomijając obliczenia, przedstawiamy wyniki. Dla wartości płac realnych wyróżnia się 3 typowe grupy, dla ogólnego wskaźnika małżeństw - 2 grupy.
Wykonamy układ tabeli kombinacyjnej, w której uwzględnimy podział ludności na grupy i podgrupy oraz kolumny do odnotowania liczby województw i wskaźnika urodzeń na 1000 osób ludności. Dla wybranych grup i podgrup obliczamy współczynniki urodzeń (Tabela 3.3.1)
Tabela 3.3.1
Wpływ płacy realnej i wskaźnika małżeństw ogółem na współczynnik urodzeń.
Przeanalizujmy uzyskane dane na temat zależności wskaźnika urodzeń od płac realnych i wskaźnika małżeństw. Ponieważ badany jest jeden znak - wskaźnik urodzeń, zapiszemy dane na ten temat w tabeli kombinacji szachów o następującej formie (Tabela 3.3.2)
Łączone grupowanie pozwala ocenić stopień wpływu na współczynnik urodzeń każdego czynnika z osobna i ich interakcji.
Tabela 3.3.2
Zależność wskaźnika urodzeń od płac realnych i wskaźnika małżeństw
Przyjrzyjmy się najpierw wpływowi na wskaźnik urodzeń wartości płacy realnej przy stałej wartości innej cechy grupującej – wskaźnika małżeństw. Tak więc, przy wskaźniku małżeństw z 13,2 do 25,625, średni wskaźnik urodzeń rośnie wraz ze wzrostem płac z 9,04 w pierwszej grupie do 9,16 w drugiej grupie i 9,56 w trzeciej grupie; przyrost przyrostu naturalnego z płac w grupie III w stosunku do grupy I wynosi: 9,56-9,04 = 0,52 osoby na 1000 ludności. Przy współczynniku zawierania małżeństw wynoszącym 25,625-38,05 wzrost z tej samej kwoty wynagrodzenia wynosi: 10,27-9,49 = 0,78 osoby na 1000 ludności. Przyrost wynikający z interakcji czynników wynosi: 0,78-0,52=0,26 osób na 1000 ludności. Wynika z tego zupełnie naturalny wniosek: wzrost dobrostanu motywuje, a raczej pozwala z wiarą w przyszłość realizować pragnienie zawarcia małżeństwa i założenia rodziny z dziećmi. To pokazuje interakcję czynników.
W ten sam sposób szacujemy wpływ na wskaźnik urodzeń współczynnika zawierania małżeństw przy stałym poziomie płac. Aby to zrobić, porównujemy wskaźnik urodzeń dla grup „a” i „b” w ramach każdej grupy pod względem płacy realnej. Wzrost wskaźnika urodzeń wraz ze wzrostem wskaźnika małżeństw do 25,625-38,05 na 1000 ludności w porównaniu z grupą „a” wynosi: w 1. grupie z pensją 5707,9 - 6808,7 rubli. miesięcznie - 9,49-9,04 \u003d 0,45 osoby na 1000 ludności, w grupie 2 - 10,01-9,16 \u003d 0,85 osoby na 1000 ludności, aw grupie 3 - 10,27- 9,56=0,71 osoby na 1000 ludności. Jak widać, decyzja o posiadaniu dziecka zależy od stanu cywilnego, tj. zachodzi interakcja czynników, dająca wzrost o 0,26 osoby na 1000 ludności.
Przy łącznym wzroście obu czynników współczynnik urodzeń wzrasta z 9,04 w podgrupie 1 „a” do 10,27 osób na 1000 ludności w podgrupie 3 „b”.
Przedstawiciele Europejskiej Komisji Gospodarczej Organizacji Narodów Zjednoczonych poinformowali niedawno, że wiek zawierania pierwszego małżeństwa w krajach europejskich wzrósł o pięć lat. Faceci i dziewczęta wolą się pobrać i wziąć ślub po 30. Rosjanie nie odważą się zawiązać węzła przed 24-26 rokiem życia. Również w Europie i Rosji stała się tendencja do zmniejszania liczby związków małżeńskich. Młodzi ludzie coraz częściej preferują karierę i wolność osobistą. Krajowi eksperci postrzegają te procesy jako oznaki głębokiego kryzysu tradycyjnej rodziny. Ich zdaniem dosłownie przeżywa swoje ostatnie dni. Socjolodzy przekonują, że życie prywatne przechodzi obecnie okres restrukturyzacji. Rodzina w zwykłym tego słowa znaczeniu, żyjąca według schematu „mama-tata-dzieci”, stopniowo odchodzi do lamusa. W życiu prywatnym Rosjanie coraz częściej eksperymentują, wymyślając coraz to nowe formy rodziny, odpowiadające wymogom czasu. „Teraz człowiek częściej zmienia pracę, zawody, zainteresowania i miejsce zamieszkania” - powiedział Anatolij Wiszniewski, dyrektor Centrum Demografii i Ekologii Człowieka, „Często zmienia też małżonków, co 20 lat temu uważano za niedopuszczalne”. ”.
Socjologowie zauważają, że jedną z przyczyn wzrostu liczby rozwodów w Rosji jest niski poziom życia ludności. „Według statystyk w Rosji jest około 10-15% więcej rozwodów niż w Europie” – powiedział NI pan Gontmakher (dyrektor naukowy Centrum Badań i Innowacji Społecznych). - Ale powody rozwodu są różne dla nas i dla nich. Nasza przewaga jest podyktowana głównie tym, że problemy gospodarcze w coraz większym stopniu wpływają na życie Rosjan. Małżonkowie kłócą się częściej, jeśli mają ciasne warunki życia. Młodzi ludzie nie zawsze radzą sobie z samodzielnym życiem. Ponadto w regionach wielu mężczyzn pije, nie pracuje i nie może utrzymać swoich rodzin. To również prowadzi do rozwodu.
Wniosek
W artykule dokonano analizy statystycznej i ekonomicznej wpływu poziomu życia ludności na procesy przyrostu naturalnego.
Analiza szeregów czasowych wykazała, że w ciągu ostatnich 10 lat nastąpił wzrost płac realnych i minimum socjalnego. Ogólnie rzecz biorąc, w ciągu tych 10 lat efektywny znak - współczynnik przyrostu naturalnego - jest stały. Stabilność powstających procesów zmian wybranych cech jest taka, że prognozowanie jest możliwe tylko dla wartości płac realnych i współczynnika umieralności. Zgodnie z trendem parabolicznym zbudowanym do 2010 roku prognozowana wartość przeciętnego wynagrodzenia realnego wyniesie 17473,5 rubla, a współczynnik umieralności spadnie do 12,75 osób na 1000.
Grupowanie analityczne wykazało bezpośredni związek między wskaźnikami: wraz ze wzrostem płac poprawiają się wskaźniki przyrostu naturalnego.
Jednak dwuosobowa rodzina pracowników o przeciętnym wynagrodzeniu może zapewnić minimalny poziom konsumpcji dla 2 dzieci w najniższej typowej grupie, 3 dzieci w średniej i najwyższej typowej grupie. Biorąc pod uwagę, że dwoje dzieci „zastępuje” w przyszłości życie rodziców, nieznaczny wzrost liczby ludności jest możliwy tylko w średnich i najwyższych grupach typowych, i to tylko pod warunkiem niskiej śmiertelności w stosunku do wskaźnika urodzeń. Potencjał dzietności, który niosą ze sobą płace w Rosji, jest niski, aby poprawić sytuację demograficzną w kraju. To tylko ujawnia potrzebę wprowadzenia narodowego projektu demograficznego w Rosji. Wzrost płac ma korzystniejszy wpływ na współczynnik umieralności niż na wskaźnik urodzeń.
Konstrukcja modelu korelacyjno-regresyjnego wykazała, że równoczesny wpływ znaków czynnikowych (płac, współczynników małżeństw, wskaźników przestępczości i oddania mieszkań) na produktywność (przyrost naturalny) obserwuje się przy średniej sile związku. Zmienność współczynnika przyrostu naturalnego o 44,9% charakteryzuje się wpływem wybranych czynników, ao 55,1% innymi niewyjaśnionymi i losowymi przyczynami. Największe możliwości zmiany współczynnika przyrostu naturalnego wiążą się ze zmianą wartości płac realnych.
Połączone ugrupowanie potwierdziło, że wzrost zamożności motywuje, a raczej pozwala z ufnością w przyszłość realizować pragnienie zawarcia małżeństwa i założenia rodziny z dziećmi.
I wreszcie, konieczna jest ocena skuteczności rozwiązania problemu demograficznego w naszym kraju. Ogólnie rzecz biorąc, udowodniono pozytywny i skuteczny wpływ bodźców materialnych na proces naturalnego przemieszczania się ludności. Inną rzeczą jest to, że istnieje kompleks problemów społeczno-psychologicznych (alkoholizm, przemoc, samobójstwa), które nieubłaganie zmniejszają liczebność naszej populacji. Ich głównym powodem jest stosunek człowieka do siebie i innych. Problemów tych nie może jednak rozwiązać samo państwo; z pomocą w problemie wymierania powinno przyjść samo społeczeństwo obywatelskie, kształtując wartości moralne skupione na stworzeniu dobrze prosperującej rodziny.
A państwo może i powinno robić wszystko, aby podnieść poziom i jakość życia w kraju. Nie można powiedzieć, że nasze państwo zaniedbuje te obowiązki. Stara się znaleźć i wypróbować różne sposoby wyjścia z kryzysu demograficznego.
Spis wykorzystanej literatury
1) Borysow E.F. Teoria ekonomii: podręcznik - wyd. 2, poprawione. i dodatkowe - M .: TK Velby, Wydawnictwo Prospekt, 2005. - 544 s.
2) Belousova S. analiza poziomu ubóstwa.// Economist.-2006, nr 10.-s.67
3) Davydova L. A. Teoria statystyki. Instruktaż. Moskwa. Aleja. 2005. 155 stron;
4) Demografia: Podręcznik / Pod generałem. wyd. NA. Wołgin. M.: Wydawnictwo RAGS, 2003 - 384 s.
5) Efimova E. P. Statystyki społeczne. Moskwa. Finanse i statystyka. 2003. 559 stron;
6) Efimowa E.P., Ryabcew W.M. Ogólna teoria statystyki. Edycja edukacyjna. Moskwa. Finanse i statystyka. 1991. 304 strony;
7) Zinczenko A.P. Warsztaty z ogólnej teorii statystyki i statystyki rolnej. Moskwa. Finanse i statystyka. 1988. 328 stron;
8) Kadomtseva S. Polityka społeczna i ludność.// Economist.-2006, nr 7.-s.49
9) Kozyriew W.M. Podstawy współczesnej ekonomii: Podręcznik. -2 wydanie, poprawione. i dodatkowe –M.: Finanse i statystyka, 2001.-432p.
10) Konygina N. Brintseva G. Demograf Anatolij Wiszniewski o tym, co sprawia, że Rosjanin wybiera między dziećmi a wygodą. 7
11) Nazarowa N.G. Kurs statystyki społecznej. Moskwa. Finstatinform. 2000. 770 stron;
13) Podstawy demografii: Podręcznik / N.V. Zvereva, I.N. Veselkova, V.V. Elizarow.-M.: Wyżej. Shk., 2004.-374 s.: chory.
14) Przemówienie Prezydenta Federacji Rosyjskiej do Zgromadzenia Federalnego Federacji Rosyjskiej z dnia 26 kwietnia 2007 r.
15) Raisberg B.A., Łozowski L.Sz., Starodubcewa E.B. Współczesny słownik ekonomiczny. –4 wydanie, poprawione. i dodatkowe -M.: INFRA-M, 2005.-480s.
16) Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov VI. Warsztaty ze statystyki. - Petersburg: Piotr, 2007.-288 s.
17) Strona internetowa Federalnej Służby Statystycznej www.gks.ru
18) Shaikin D.N. Prospektywna ocena ludności Rosji w średnim okresie.// Pytania statystyczne.-2007, nr 4 -s.47
PUNKT (KLUCZ DO ŻETONÓW)
1-przeciętne miesięczne nominalne wynagrodzenie w 2006 r. (w rublach)
2-wskaźniki cen konsumpcyjnych dla wszystkich rodzajów towarów i usług płatnych w 2006 r. jako procent grudnia ubiegłego roku
3- przeciętne miesięczne płace realne w 2006 r. (w rublach)
4 - populacja na początku 2006 r
5 - liczba ludności na koniec 2006 r
6 - średnioroczna liczba ludności w 2006 roku
7 - liczba urodzeń w 2006 r., os
8 - liczba zgonów w 2006 r., os
9 - wskaźnik urodzeń w 2006 r. na 1000 ludności
10 - współczynnik umieralności w 2006 r. na 1000 ludności
11 - współczynnik przyrostu naturalnego w 2006 r. na 1000 ludności
12 - wartość minimum egzystencji na rok 2006 (w rublach)
13 - liczba popełnionych przestępstw na 1000 osób ludności
14 - oddanie do użytku metrów kwadratowych mieszkań na osobę rocznie
15 - całkowity wskaźnik małżeństw na 1000 ludności
Załącznik 1
Stół
Realne płace, rub.
Załącznik 2
Minimum egzystencji, rub.
Załącznik 3
