Moduł gradientu funkcji w punkcie jest równy. analiza wektorowa pole skalarne powierzchni i linii poziomej pochodna kierunkowa pochodna pola skalarnego gradient podstawowe właściwości niezmiennika gradientu definicja zasad obliczania gradientu

Niektóre pojęcia i terminy są używane ściśle w wąskich granicach, inne definicje znajdują się w obszarach, które są ostro przeciwstawne. Na przykład pojęcie „gradientu” jest używane przez fizyka i matematyka oraz specjalistę od manicure lub „Photoshop”. Czym jest gradient jako koncepcja? Rozwiążmy to.

Co mówią słowniki?

Co to jest „gradient” specjalne słowniki tematyczne interpretują w odniesieniu do ich specyfiki. Przetłumaczone z łaciny słowo to oznacza - „ten, który idzie, rośnie”. A „Wikipedia” definiuje to pojęcie jako „wektor wskazujący kierunek rosnącej wielkości”. W słownikach wyjaśniających widzimy znaczenie tego słowa jako „zmianę dowolnej wartości o jedną wartość”. Pojęcie może mieć zarówno znaczenie ilościowe, jak i jakościowe.

Krótko mówiąc, jest to płynne stopniowe przejście dowolnej wartości o jedną wartość, progresywna i ciągła zmiana ilości lub kierunku. Wektor jest obliczany przez matematyków, meteorologów. Pojęcie to jest stosowane w astronomii, medycynie, sztuce, grafice komputerowej. Pod podobnym pojęciem definiowane są zupełnie inne rodzaje działalności.

Funkcje matematyczne

Co to jest gradient funkcji w matematyce? To właśnie wskazuje kierunek wzrostu funkcji w polu skalarnym od jednej wartości do drugiej. Wielkość gradientu jest obliczana przy użyciu definicji pochodnych cząstkowych. Aby znaleźć najszybszy kierunek wzrostu funkcji na wykresie, wybiera się dwa punkty. Definiują początek i koniec wektora. Szybkość, z jaką wartość rośnie od jednego punktu do drugiego, jest wielkością gradientu. Funkcje matematyczne oparte na obliczeniach tego wskaźnika są wykorzystywane w wektorowej grafice komputerowej, której obiektami są obrazy graficzne obiektów matematycznych.

Co to jest gradient w fizyce?

Pojęcie gradientu jest powszechne w wielu gałęziach fizyki: gradient optyki, temperatura, prędkość, ciśnienie itp. W tej branży pojęcie to oznacza miarę wzrostu lub spadku wartości na jednostkę. Oblicza się go jako różnicę między dwoma wskaźnikami. Rozważmy niektóre ilości bardziej szczegółowo.

Co to jest gradient potencjału? Podczas pracy z polem elektrostatycznym określa się dwie cechy: napięcie (moc) i potencjał (energia). Te różne wielkości są związane ze środowiskiem. I chociaż definiują różne cechy, nadal mają ze sobą związek.

Do określenia natężenia pola siłowego wykorzystywany jest gradient potencjału – wartość określająca szybkość zmian potencjału w kierunku linii pola. Jak obliczyć? Różnica potencjałów dwóch punktów pola elektrycznego jest obliczana ze znanego napięcia za pomocą wektora natężenia, który jest równy gradientowi potencjału.

Terminy meteorologów i geografów

Po raz pierwszy meteorolodzy wykorzystali pojęcie gradientu do określenia zmiany wielkości i kierunku różnych wskaźników meteorologicznych: temperatury, ciśnienia, prędkości i siły wiatru. Jest miarą zmian ilościowych różnych wielkości. Maxwell wprowadził ten termin do matematyki znacznie później. W definicji warunków pogodowych istnieją pojęcia gradientów pionowych i poziomych. Rozważmy je bardziej szczegółowo.

Co to jest pionowy gradient temperatury? Jest to wartość, która pokazuje zmianę wydajności, obliczoną na wysokości 100 m. Może być dodatnia lub ujemna, w przeciwieństwie do poziomu, który jest zawsze dodatni.

Gradient pokazuje wielkość lub kąt nachylenia terenu. Oblicza się go jako stosunek wysokości do długości rzutu ścieżki na określony odcinek. Wyrażone w procentach.

Wskaźniki medyczne

Definicję „gradientu temperatury” można znaleźć również wśród terminów medycznych. Pokazuje różnicę w odpowiednich wskaźnikach narządów wewnętrznych i powierzchni ciała. W biologii gradient fizjologiczny ustala zmianę w fizjologii dowolnego narządu lub organizmu jako całości na dowolnym etapie jego rozwoju. W medycynie wskaźnikiem metabolicznym jest intensywność metabolizmu.

Nie tylko fizycy, ale także lekarze używają tego terminu w swojej pracy. Czym jest gradient ciśnienia w kardiologii? Ta koncepcja określa różnicę w ciśnieniu krwi w dowolnych połączonych odcinkach układu sercowo-naczyniowego.

Malejący gradient automatyczności jest wskaźnikiem spadku częstotliwości pobudzeń serca w kierunku od jego podstawy do szczytu, które zachodzą samoczynnie. Ponadto kardiolodzy identyfikują miejsce uszkodzenia tętniczego i jego stopień, kontrolując różnicę w amplitudach fal skurczowych. Innymi słowy, używając gradientu amplitudy impulsu.

Co to jest gradient prędkości?

Kiedy mówi się o tempie zmian pewnej wielkości, rozumie się przez to tempo zmian w czasie i przestrzeni. Innymi słowy, gradient prędkości określa zmianę współrzędnych przestrzennych w stosunku do wskaźników czasowych. Wskaźnik ten jest obliczany przez meteorologów, astronomów, chemików. Gradient szybkości ścinania warstw płynu jest określany w przemyśle naftowym i gazowym w celu obliczenia szybkości, z jaką płyn unosi się przez rurę. Takim wskaźnikiem ruchów tektonicznych jest obszar obliczeń sejsmologów.

Funkcje ekonomiczne

Aby uzasadnić ważne wnioski teoretyczne, ekonomiści szeroko stosują pojęcie gradientu. Podczas rozwiązywania problemów konsumenckich wykorzystywana jest funkcja użyteczności, która pomaga reprezentować preferencje ze zbioru alternatyw. „Funkcja ograniczenia budżetowego” to termin używany w odniesieniu do zestawu pakietów konsumenckich. Gradienty w tym obszarze służą do obliczenia optymalnego zużycia.

gradient kolorów

Termin „gradient” jest znany kreatywnym ludziom. Chociaż daleko im do nauk ścisłych. Czym jest gradient dla projektanta? Ponieważ w naukach ścisłych jest to stopniowy wzrost wartości o jeden, więc w kolorze ten wskaźnik oznacza płynne, rozciągnięte przejście odcieni tego samego koloru od jaśniejszego do ciemniejszego lub odwrotnie. Artyści nazywają ten proces „rozciąganiem”. Możliwe jest również przełączanie na różne kolory towarzyszące w tym samym zakresie.

Gradientowe rozciąganie odcieni w kolorystyce pomieszczeń zajęło mocną pozycję wśród technik projektowych. Nowomodny styl ombre - płynne przejście cienia od jasnego do ciemnego, od jasnego do bladego - skutecznie odmieni każde pomieszczenie w domu i biurze.

Optycy używają specjalnych soczewek w swoich okularach przeciwsłonecznych. Co to jest gradient w okularach? Jest to wytwarzanie soczewki w szczególny sposób, kiedy od góry do dołu kolor zmienia się z ciemniejszego na jaśniejszy. Produkty wykonane w tej technologii chronią oczy przed promieniowaniem słonecznym i umożliwiają oglądanie obiektów nawet w bardzo jasnym świetle.

Kolor w projektowaniu stron internetowych

Ci, którzy zajmują się projektowaniem stron internetowych i grafiką komputerową, doskonale znają uniwersalne narzędzie „gradient”, za pomocą którego tworzy się wiele różnych efektów. Przejścia kolorów są przekształcane w refleksy, fantazyjne tło, trójwymiarowość. Manipulowanie odcieniem, tworzenie światła i cienia zwiększa objętość obiektów wektorowych. W tym celu stosuje się kilka rodzajów gradientów:

• Liniowy.
• Promieniowy.
• stożkowy.
• Lustro.
• Romboid.
• gradient szumu.

piękno gradientu

Dla gości salonów kosmetycznych pytanie, czym jest gradient, nie będzie zaskoczeniem. To prawda, że ​​w tym przypadku znajomość praw matematycznych i podstaw fizyki nie jest konieczna. Chodzi o przejścia kolorów. Przedmiotem gradientu stają się włosy i paznokcie. Technika ombre, która po francusku oznacza „ton”, pojawiła się w modzie wśród miłośników sportu, surfingu i innych aktywności na plaży. Hitem stały się naturalnie spalone i odrastające włosy. Kobiety mody zaczęły specjalnie farbować włosy z ledwo zauważalnym przejściem odcieni.

Technika ombre nie przeszła przez salony paznokci. Gradient na paznokciach tworzy podbarwienie ze stopniowym rozjaśnianiem płytki od nasady do krawędzi. Mistrzowie oferują poziome, pionowe, z przejściem i inne odmiany.

Robótki

Pojęcie „gradientu” jest znane potrzebującym z innej strony. Technika tego rodzaju jest wykorzystywana do tworzenia ręcznie robionych przedmiotów w stylu decoupage. W ten sposób powstają nowe antyki lub odnawia się stare: komody, krzesła, skrzynie i tak dalej. Decoupage polega na nanoszeniu wzoru za pomocą szablonu, który opiera się na gradiencie kolorów jako tle.

Artyści tkanin przyjęli barwienie w ten sposób dla nowych modeli. Sukienki w gradiennych kolorach podbiły wybiegi. Modę podchwyciły szwaczki - dziewiarki. Dzianina z płynnym przejściem kolorystycznym to sukces.

Podsumowując definicję „gradientu”, możemy powiedzieć o bardzo rozległym obszarze działalności człowieka, w którym termin ten ma swoje miejsce. Zastąpienie synonimem „wektor” nie zawsze jest właściwe, gdyż wektor jest przecież pojęciem funkcjonalnym, przestrzennym. O ogólności pojęcia decyduje stopniowa zmiana pewnej ilości, substancji, parametru fizycznego na jednostkę w określonym czasie. W kolorze jest to płynne przejście tonów.

Ze szkolnej lekcji matematyki wiadomo, że wektor na płaszczyźnie jest odcinkiem skierowanym. Jego początek i koniec mają dwie współrzędne. Współrzędne wektora są obliczane przez odjęcie współrzędnych początkowych od współrzędnych końcowych.

Pojęcie wektora można również rozszerzyć na n-wymiarową przestrzeń (zamiast dwóch współrzędnych będzie n współrzędnych).

Gradient gradz funkcja z=f(x 1 , x 2 , ... x n) jest wektorem pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie, tj. wektor ze współrzędnymi.

Można wykazać, że gradient funkcji charakteryzuje kierunek najszybszego wzrostu poziomu funkcji w punkcie.

Na przykład dla funkcji z \u003d 2x 1 + x 2 (patrz ryc. 5.8) gradient w dowolnym punkcie będzie miał współrzędne (2; 1). Można go zbudować na płaszczyźnie na różne sposoby, przyjmując dowolny punkt jako początek wektora. Na przykład możesz połączyć punkt (0; 0) z punktem (2; 1), punkt (1; 0) z punktem (3; 1) lub punkt (0; 3) z punktem (2; 4), lub t.p. (patrz rysunek 5.8). Wszystkie skonstruowane w ten sposób wektory będą miały współrzędne (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).

Rysunek 5.8 wyraźnie pokazuje, że poziom funkcji rośnie w kierunku gradientu, ponieważ skonstruowane linie poziomów odpowiadają wartościom poziomów 4 > 3 > 2.

Rysunek 5.8 - Gradient funkcji z \u003d 2x 1 + x 2

Rozważmy inny przykład - funkcję z= 1/(x 1 x 2). Gradient tej funkcji nie będzie już zawsze taki sam w różnych punktach, ponieważ jej współrzędne są określone przez wzory (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

Rysunek 5.9 pokazuje linie poziomów funkcji z= 1/(x 1 x 2) dla poziomów 2 i 10 (linia 1/(x 1 x 2) = 2 jest oznaczona linią kropkowaną, a linia 1/( x 1 x 2) = 10 to linia ciągła).

Rysunek 5.9 - Gradienty funkcji z \u003d 1 / (x 1 x 2) w różnych punktach

Weźmy na przykład punkt (0,5; 1) i oblicz gradient w tym punkcie: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Zauważ, że punkt (0,5; 1) leży na linii poziomu 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, ponieważ z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Do narysuj wektor (-4; -2) na rysunku 5.9, połącz punkt (0,5; 1) z punktem (-3,5; -1), ponieważ (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, na przykład punkt (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Oblicz nachylenie w tym punkcie (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Aby zobrazować to na rysunku 5.9, łączymy punkt (1; 0,5) z punktem (-1; -3,5), ponieważ (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Weźmy jeszcze jeden punkt na tej samej linii poziomu, ale tylko teraz w nie dodatniej ćwiartce współrzędnych. Na przykład punkt (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradient w tym punkcie będzie wynosił (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Przedstawmy to na rysunku 5.9, łącząc punkt (-0,5; -1) z punktem (3,5; 1), ponieważ (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

Należy zauważyć, że we wszystkich trzech rozpatrywanych przypadkach gradient wskazuje kierunek wzrostu poziomu funkcji (w kierunku linii poziomu 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Można udowodnić, że nachylenie jest zawsze prostopadłe do poziomicy (powierzchni poziomej) przechodzącej przez dany punkt.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Zdefiniujmy pojęcie ekstremum dla funkcji wielu zmiennych.

Funkcja wielu zmiennych f(X) ma w punkcie X(0) maksymalna (minimalna), jeśli istnieje takie sąsiedztwo tego punktu, że dla wszystkich punktów X z tego sąsiedztwa zachodzą nierówności f(X)f(X(0))().

Jeśli te nierówności są spełnione jako ścisłe, to nazywa się ekstremum mocny, a jeśli nie, to słaby.

Zauważ, że ekstremum zdefiniowane w ten sposób to lokalny charakter, ponieważ te nierówności zachodzą tylko w pewnym sąsiedztwie punktu ekstremalnego.

Warunkiem koniecznym dla ekstremum lokalnego funkcji różniczkowalnej z=f(x1,...,xn) w punkcie jest równość do zera wszystkich pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu w tym punkcie:
.

Nazywa się punkty, w których zachodzą te równości stacjonarny.

W inny sposób warunek konieczny dla ekstremum można sformułować w następujący sposób: w punkcie ekstremalnym gradient jest równy zeru. Można też udowodnić bardziej ogólne stwierdzenie - w punkcie ekstremalnym znikają pochodne funkcji we wszystkich kierunkach.

Punkty stacjonarne należy poddać dodatkowym badaniom - czy spełnione są warunki dostateczne dla istnienia ekstremum lokalnego. Aby to zrobić, określ znak różnicy drugiego rzędu. Jeśli dla wszystkich, które nie są jednocześnie równe zero, zawsze jest ujemne (dodatnie), to funkcja ma maksimum (minimum). Jeśli może znikać nie tylko przy zerowych przyrostach, to kwestia ekstremum pozostaje otwarta. Jeśli może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, to w punkcie stacjonarnym nie ma ekstremum.

W ogólnym przypadku wyznaczenie znaku różniczki jest dość skomplikowanym problemem, którym nie będziemy się tutaj zajmować. Dla funkcji dwóch zmiennych można to udowodnić, jeśli w punkcie stacjonarnym
, to istnieje ekstremum. W tym przypadku znak drugiej różnicy pokrywa się ze znakiem
, tj. Jeśli
, to jest to maksimum, a jeśli
, to jest minimum. Jeśli
, to w tym punkcie nie ma ekstremum, a jeśli
, to kwestia ekstremum pozostaje otwarta.

Przykład 1. Znajdź ekstrema funkcji
.

Znajdźmy pochodne cząstkowe metodą różniczkowania logarytmicznego.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

podobnie
.

Znajdźmy punkty stacjonarne z układu równań:

W ten sposób znaleziono cztery punkty stacjonarne (1; 1), (1; -1), (-1; 1) i (-1; -1).

Znajdźmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

podobnie
;
.

Ponieważ
, znak wyrażenia
zależy tylko od
. Zauważ, że w obu tych pochodnych mianownik jest zawsze dodatni, więc możesz wziąć pod uwagę tylko znak licznika, a nawet znak wyrażeń x (x 2 - 3) i y (y 2 - 3). Wyznaczmy ją w każdym punkcie krytycznym i sprawdźmy, czy spełniony jest warunek ekstremum dostatecznego.

Dla punktu (1; 1) otrzymujemy 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 i
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Dla punktu (1; -1) otrzymujemy 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Ponieważ iloczyn tych liczb
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Dla punktu (-1; -1) otrzymujemy (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. iloczyn dwóch liczb dodatnich
> 0 i
> 0, w punkcie (-1; -1) można znaleźć minimum. Jest równe 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Znajdować światowy maksimum lub minimum (największa lub najmniejsza wartość funkcji) jest nieco bardziej skomplikowane niż ekstremum lokalne, ponieważ wartości te można osiągnąć nie tylko w punktach stacjonarnych, ale także na granicy dziedziny definicji. Badanie zachowania funkcji na granicy tego regionu nie zawsze jest łatwe.

Gradient Funkcje jest wielkością wektorową, której znalezienie jest związane z definicją pochodnych cząstkowych funkcji. Kierunek gradientu wskazuje ścieżkę najszybszego wzrostu funkcji z jednego punktu pola skalarnego do drugiego.

Instrukcja

1. Aby rozwiązać problem na gradiencie funkcji, stosuje się metody rachunku różniczkowego, a mianowicie znajdowanie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu w trzech zmiennych. Zakłada się, że sama funkcja i wszystkie jej pochodne cząstkowe mają własność ciągłości w dziedzinie funkcji.

2. Gradient jest wektorem, którego kierunek wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji F. W tym celu na wykresie wybiera się dwa punkty M0 i M1, które są końcami wektora. Wartość gradientu jest równa szybkości wzrostu funkcji od punktu M0 do punktu M1.

3. Funkcja jest różniczkowalna we wszystkich punktach tego wektora, dlatego wszystkie rzuty wektora na osie współrzędnych są jego pochodnymi cząstkowymi. Wówczas wzór na gradient wygląda następująco: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdzie i, j, k to współrzędne wektora jednostkowego. Innymi słowy, gradient funkcji jest wektorem, którego współrzędnymi są jego pochodne cząstkowe grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Przykład 1. Niech będzie dana funkcja F = sin (x z?) / y. Należy znaleźć jego nachylenie w punkcie (?/6, 1/4, 1).

5. Rozwiązanie Określ pochodne cząstkowe w odniesieniu do dowolnej zmiennej: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Zastąp słynne współrzędne punktu: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = grzech(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Zastosuj wzór na gradient funkcji: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Przykład 2. Znajdź współrzędne gradientu funkcji F = y arсtg (z / x) w punkcie (1, 2, 1).

9. Rozwiązanie F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x) ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Skalarny gradient pola jest wielkością wektorową. Aby więc go znaleźć, należy wyznaczyć wszystkie składowe odpowiedniego wektora na podstawie wiedzy o podziale pola skalarnego.

Instrukcja

1. Poczytaj w podręczniku matematyki wyższej, czym jest gradient pola skalarnego. Jak wiadomo, ta wielkość wektorowa ma kierunek charakteryzujący się maksymalnym tempem zaniku funkcji skalarnej. Taki sens danej wielkości wektorowej uzasadnia wyrażenie określające jej składowe.

2. Pamiętaj, że każdy wektor jest zdefiniowany przez wartości jego składowych. Komponenty wektora są w rzeczywistości rzutami tego wektora na jedną lub drugą oś współrzędnych. Tak więc, jeśli weźmiemy pod uwagę przestrzeń trójwymiarową, to wektor musi mieć trzy składowe.

3. Napisz, jak wyznaczane są składowe wektora będącego gradientem pewnego pola. Wszystkie współrzędne takiego wektora są równe pochodnej potencjału skalarnego względem zmiennej, której współrzędna jest obliczana. Oznacza to, że jeśli musisz obliczyć składową „x” wektora gradientu pola, musisz zróżnicować funkcję skalarną w odniesieniu do zmiennej „x”. Zauważ, że pochodna musi być ilorazem. Oznacza to, że podczas różniczkowania pozostałe zmienne, które w nim nie uczestniczą, należy uznać za stałe.

4. Napisz wyrażenie na pole skalarne. Jak wiadomo, termin ten oznacza każdą tylko funkcję skalarną kilku zmiennych, które również są wielkościami skalarnymi. Liczba zmiennych funkcji skalarnej jest ograniczona wymiarem przestrzeni.

5. Zróżniczkuj oddzielnie funkcję skalarną w odniesieniu do każdej zmiennej. W rezultacie będziesz mieć trzy nowe funkcje. Wpisz dowolną funkcję w wyrażeniu na wektor gradientu pola skalarnego. Każda z otrzymanych funkcji jest tak naprawdę wskaźnikiem wektora jednostkowego danej współrzędnej. Zatem końcowy wektor gradientu powinien wyglądać jak wielomian z wykładnikami jako pochodnymi funkcji.

Rozważając kwestie związane z reprezentacją gradientu, częściej myślimy o każdym z nich jako o polu skalarnym. Dlatego musimy wprowadzić odpowiednią notację.

Będziesz potrzebować

• - Bum;
• - długopis.

Instrukcja

1. Niech funkcja będzie dana trzema argumentami u=f(x, y, z). Pochodna cząstkowa funkcji, na przykład względem x, jest definiowana jako pochodna względem tego argumentu, uzyskana przez ustalenie pozostałych argumentów. Reszta argumentów jest podobna. Notacja częściowej pochodnej jest zapisywana jako: df / dx \u003d u’x ...

2. Całkowita różnica będzie równa du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Pochodne częściowe można rozumieć jako pochodne w kierunkach osi współrzędnych. W związku z tym powstaje pytanie o znalezienie pochodnej względem kierunku danego wektora s w punkcie M(x, y, z) (nie zapominajmy, że kierunek s określa wektor jednostkowy-ort s^o). W tym przypadku wektor różniczkowy argumentów to (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Biorąc pod uwagę postać różniczki całkowitej du można stwierdzić, że pochodna po kierunku s w punkcie M wynosi: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Jeśli s= s(sx,sy,sz), to kierunek cosinusów (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma)) są obliczane (patrz rys. 1a).

4. Definicję pochodnej w kierunku, traktując punkt M jako zmienną, można zapisać jako iloczyn skalarny: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(stopień u, s^o). To wyrażenie będzie obiektywne dla pola skalarnego. Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcję łatwą, to gradf jest wektorem, którego współrzędne pokrywają się z pochodnymi cząstkowymi f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/dz) )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Tutaj (i, j, k) są wektorami jednostkowymi osi współrzędnych w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

5. Jeśli użyjemy wektora różniczkowego Hamiltona Nabla, to gradf można zapisać jako iloczyn tego wektora operatora przez skalar f (patrz rys. 1b). Z punktu widzenia związku gradf z pochodną kierunkową równość (gradf, s^o)=0 jest dopuszczalna, jeśli wektory te są ortogonalne. W konsekwencji gradf jest często definiowany jako kierunek najszybszej metamorfozy pola skalarnego. A z punktu widzenia operacji różniczkowych (jednym z nich jest gradf), własności gradf dokładnie powtarzają własności różniczkowania funkcji. W szczególności, jeśli f=uv, to gradf=(vgradu+ugradv).

Powiązane wideo

Gradient jest to narzędzie, które w edytorach graficznych wypełnia sylwetkę płynnym przejściem jednego koloru w drugi. Gradient może nadać sylwetce efekt objętości, symulować oświetlenie, odbicia światła na powierzchni obiektu, czy efekt zachodu słońca na tle fotografii. To narzędzie ma szerokie zastosowanie, dlatego przy obróbce fotografii czy tworzeniu ilustracji bardzo ważne jest, aby nauczyć się z niego korzystać.

Będziesz potrzebować

• Komputer, edytor graficzny Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net lub inny.

Instrukcja

1. Otwórz obraz w programie lub utwórz nowy. Zrób sylwetkę lub wybierz żądany obszar na obrazie.

2. Włącz narzędzie Gradient na pasku narzędzi edytora graficznego. Umieść kursor myszy w punkcie wewnątrz zaznaczonego obszaru lub sylwetki, gdzie rozpocznie się pierwszy kolor gradientu. Kliknij i przytrzymaj lewy przycisk myszy. Przesuń kursor do punktu, w którym gradient powinien przejść do ostatecznego koloru. Zwolnij lewy przycisk myszy. Wybrana sylwetka zostanie wypełniona wypełnieniem gradientowym.

3. Gradient y możliwe jest ustawienie przezroczystości, kolorów i ich proporcji w określonym punkcie wypełnienia. Aby to zrobić, otwórz okno Edycja gradientu. Aby otworzyć okno edycji w Photoshopie, kliknij przykładowy gradient w panelu Opcje.

4. W oknie, które zostanie otwarte, jako przykłady zostaną wyświetlone dostępne opcje wypełnienia gradientem. Aby edytować jedną z opcji, zaznacz ją kliknięciem myszy.

5. Przykładowy gradient jest wyświetlany w dolnej części okna w postaci szerokiej skali z suwakami. Suwaki wskazują punkty, w których gradient powinien mieć określone zestawienia, aw odstępie między suwakami kolor równomiernie przechodzi od koloru określonego w pierwszym punkcie do koloru drugiego punktu.

6. Suwaki znajdujące się na górze skali ustawiają przezroczystość gradientu. Aby zmienić przezroczystość, kliknij żądany suwak. Pod skalą pojawi się pole, w którym należy wpisać wymagany stopień przezroczystości w procentach.

7. Suwaki na dole skali ustawiają kolory gradientu. Klikając na jeden z nich, będziesz mógł wybrać żądany kolor.

8. Gradient może mieć wiele kolorów przejścia. Aby ustawić inny kolor, kliknij puste miejsce na dole skali. Pojawi się na nim kolejny suwak. Ustaw dla niego żądany kolor. Na skali zostanie wyświetlony przykładowy gradient z jeszcze jednym punktem. Możesz przesuwać suwaki, przytrzymując je przy pomocy lewego przycisku myszy, aby uzyskać pożądaną kombinację.

9. Gradient Istnieje kilka rodzajów, które mogą nadać kształt płaskiej sylwetce. Powiedzmy, że aby nadać kołu kształt kuli, stosuje się gradient promieniowy, a aby nadać kształt stożka, stosuje się gradient stożkowy. Gradientu lustrzanego można użyć do nadania powierzchni iluzji wypukłości, a gradientu diamentowego można użyć do stworzenia świateł.

Powiązane wideo

Powiązane wideo

Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni lub części przestrzeni jest określona wartość pewnej wielkości, to mówi się, że dane jest pole tej wielkości. Pole nazywamy skalarnym, jeśli rozważana wartość jest skalarna, tj. dobrze scharakteryzowany przez swoją wartość liczbową. Na przykład pole temperatury. Pole skalarne jest określone przez funkcję skalarną punktu u = /(M). Jeżeli w przestrzeni wprowadzony zostanie kartezjański układ współrzędnych, to istnieje funkcja trzech zmiennych x, yt z - współrzędnych punktu M: Definicja. Powierzchnia poziomu pola skalarnego to zbiór punktów, w których funkcja f(M) przyjmuje tę samą wartość. Przykład równania powierzchni poziomu 1. Znajdź powierzchnie poziomu pola skalarnego ANALIZA WEKTOROWA Pola skalarne Powierzchnie poziomów i linie poziomów Pochodna kierunkowa Pochodna kierunkowa Gradient pola skalarnego Podstawowe właściwości gradientu Niezmienny Definicja gradientu Zasady obliczania gradientu -4 Z definicji poziom będzie równanie powierzchni. Jest to równanie kuli (z Ф 0) wyśrodkowanej w początku układu współrzędnych. Pole skalarne nazywamy płaskim, jeśli pole jest takie samo we wszystkich płaszczyznach równoległych do jakiejś płaszczyzny. Jeśli podaną płaszczyznę przyjmiemy jako płaszczyznę xOy, to funkcja pola nie będzie zależała od współrzędnej z, tj. będzie funkcją tylko argumentów x i y. oraz znaczenia. Równanie linii poziomu - Przykład 2. Znajdź linie poziomu pola skalarnego Linie poziomu są dane równaniami Przy c = 0 otrzymujemy parę linii, otrzymujemy rodzinę hiperboli (Rys. 1). 1.1. Pochodna kierunkowa Niech istnieje pole skalarne określone przez funkcję skalarną u = /(Af). Weźmy punkt Afo i wybierzmy kierunek wyznaczony przez wektor I. Weźmy kolejny punkt M tak, aby wektor M0M był równoległy do ​​wektora 1 (rys. 2). Oznaczmy długość wektora MoM przez A/, a przyrost funkcji /(Af) - /(Afo), odpowiadającej przemieszczeniu D1, przez Di. Stosunek określa średnią szybkość zmiany pola skalarnego na jednostkę długości do zadanego kierunku.Załóżmy teraz dążenie do zera, tak aby wektor М0М był cały czas równoległy do ​​wektora I. Definicja. Jeżeli dla D/O istnieje skończona granica relacji (5), to jest ona nazywana pochodną funkcji w danym punkcie Afo do danego kierunku I i oznaczana jest symbolem zr!^. Tak więc z definicji Definicja ta nie jest związana z wyborem układu współrzędnych, czyli ma charakter **wariantowy. Znajdźmy wyrażenie na pochodną względem kierunku w kartezjańskim układzie współrzędnych. Niech funkcja / będzie różniczkowalna w punkcie. Rozważ wartość /(Af) w punkcie. Wtedy całkowity przyrost funkcji można zapisać w postaci: gdzie i symbole oznaczają, że pochodne cząstkowe są liczone w punkcie Afo. Stąd tutaj wielkości jfi, ^ są cosinusami kierunkowymi wektora. Ponieważ wektory MoM i I są współkierowane, to ich cosinusy kierunkowe są takie same: pochodne, są pochodnymi funkcji i wzdłuż kierunków osi współrzędnych z zewnętrznym nno- Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji w kierunku punktu Wektor ma długość. Jego kierunek cosinus: Ze wzoru (9) będziemy mieli Fakt, że oznacza, że ​​pole skalarne w punkcie w danym kierunku wieku- Dla pola płaskiego pochodna w kierunku I w punkcie jest obliczana według wzoru gdzie a jest kątem utworzonym przez wektor I z osią Oh. Zmmchmm 2. Wzór (9) do obliczania pochodnej wzdłuż kierunku I w danym punkcie Afo obowiązuje nawet wtedy, gdy punkt M dąży do punktu Mo wzdłuż krzywej, dla której wektor I jest styczny w punkcie PrISchr 4. Oblicz pochodna pola skalarnego w punkcie Afo(l, 1). należący do paraboli w kierunku tej krzywej (w kierunku rosnącej odciętej). Kierunek ] paraboli w punkcie jest kierunkiem stycznej do paraboli w tym punkcie (rys. 3). Niech styczna do paraboli w punkcie Afo tworzy kąt o z osią Ox. Następnie skąd kierowanie cosinusów stycznej Obliczmy wartości iw punkcie. Mamy Teraz ze wzoru (10) otrzymujemy. Znajdź pochodną pola skalarnego w punkcie w kierunku koła. Równanie wektorowe koła ma postać. Znajdujemy wektor jednostkowy stycznej do okręgu m. Punkt odpowiada wartości parametru. Gradient pola skalarnego Niech pole skalarne będzie zdefiniowane przez funkcję skalarną, o której zakłada się, że jest różniczkowalna. Definicja. Gradient pola skalarnego » w danym punkcie M jest wektorem oznaczanym symbolem grad i równością. Jest oczywiste, że wektor ten zależy zarówno od funkcji /, jak i od punktu M, w którym obliczana jest jej pochodna. Niech 1 będzie wektorem jednostkowym w kierunku Wtedy wzór na pochodną kierunkową można zapisać następująco: . zatem pochodna funkcji u wzdłuż kierunku 1 jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji u(M) i wektora jednostkowego 1° kierunku I. 2.1. Podstawowe własności gradientu Twierdzenie 1. Skalarny gradient pola jest prostopadły do ​​powierzchni poziomu (lub do linii poziomu, jeśli pole jest płaskie). (2) Narysujmy płaską powierzchnię u = const przechodzącą przez dowolny punkt M i wybierzmy gładką krzywą L na tej powierzchni przechodzącą przez punkt M (rys. 4). Niech I będzie wektorem stycznym do krzywej L w punkcie M. Ponieważ na płaszczyźnie u(M) = u(M|) dla dowolnego punktu Mj ∈ L, to Z drugiej strony = (gradu, 1°) . Dlatego. Oznacza to, że wektory grad i i 1° są ortogonalne. Zatem wektor grad i jest prostopadły do ​​dowolnej stycznej do poziomej powierzchni w punkcie M. Zatem jest prostopadły do ​​samej powierzchni poziomej w punkcie M. Twierdzenie 2 Gradient jest skierowany w kierunku rosnącej funkcji pola. Wcześniej wykazaliśmy, że gradient pola skalarnego jest skierowany wzdłuż normalnej do powierzchni poziomu, który może być zorientowany albo w kierunku wzrostu funkcji u(M), albo w kierunku jej zmniejszenia. Oznaczmy przez n normalną poziomej powierzchni zorientowanej w kierunku rosnącej funkcji ti(M) i znajdźmy pochodną funkcji u w kierunku tej normalnej (rys. 5). Mamy Ponieważ zgodnie z warunkiem z rys. 5, a więc ANALIZA WEKTOROWA Pole skalarne Powierzchnie i linie poziomów Pochodna kierunkowa Pochodna Gradient pola skalarnego Podstawowe właściwości gradientu Niezmienna definicja gradientu Reguły obliczania gradientu Wynika z tego grad i jest skierowany w w tym samym kierunku, w którym wybraliśmy normalną n, czyli w kierunku rosnącej funkcji u(M). Twierdzenie 3. Długość gradientu jest równa największej pochodnej względem kierunku w danym punkcie pola, (tutaj przyjmuje się max $ we wszystkich możliwych kierunkach w danym punkcie M do punktu). Mamy gdzie to kąt między wektorami 1 i grad n. Ponieważ największą wartością jest Przykład 1. Znajdź kierunek największego imonionu pola skalarnego w punkcie, a także wielkość tej największej zmiany w określonym punkcie. Kierunek największej zmiany pola skalarnego jest oznaczony wektorem. Mamy więc Ten wektor określa kierunek największego wzrostu pola do punktu. Wartość największej zmiany w polu w tym momencie wynosi 2,2. Niezmienna definicja gradientu Wielkości, które charakteryzują właściwości badanego obiektu i nie zależą od wyboru układu współrzędnych, nazywane są niezmiennikami danego obiektu. Na przykład długość krzywej jest niezmiennikiem tej krzywej, ale kąt stycznej do krzywej z osią x nie jest niezmiennikiem. Na podstawie powyższych trzech właściwości skalarnego gradientu pola możemy podać następującą niezmienną definicję gradientu. Definicja. Skalarny gradient pola to wektor skierowany wzdłuż normalnej do powierzchni poziomu w kierunku rosnącej funkcji pola i mający długość równą największej pochodnej kierunkowej (w danym punkcie). Niech będzie jednostkowym wektorem normalnym skierowanym w kierunku rosnącego pola. Następnie Przykład 2. Znajdź gradient odległości - jakiś stały punkt i M(x,y,z) - aktualny. 4 Mamy gdzie jest jednostkowym wektorem kierunku. Zasady obliczania gradientu, gdzie c jest liczbą stałą. Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z definicji gradientu i własności pochodnych. Zgodnie z regułą różniczkowania iloczynu Dowód jest podobny do dowodu własności Niech F(u) będzie różniczkowalną funkcją skalarną. Wtedy 4 Z definicji gradientu mamy Zastosuj do wszystkich wyrazów po prawej stronie regułę różniczkowania funkcji zespolonej. W szczególności Formuła (6) wynika z płaszczyzny formuły do ​​dwóch stałych punktów tej płaszczyzny. Rozważmy dowolną elipsę z ogniskami Fj i F] i udowodnijmy, że każdy promień światła wychodzący z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od elipsy, wpada w drugie ognisko. Linie poziomów funkcji (7) to ANALIZA WEKTOROWA Pole skalarne Powierzchnie i linie poziomów Pochodna kierunkowa Pochodna Skalarny gradient pola Podstawowe właściwości gradientu Niezmienna definicja gradientu Zasady obliczania gradientu Równania (8) opisują rodzinę elips z ogniskami w punktach F) i Fj. Zgodnie z wynikiem Przykładu 2 mamy i promienie wektorów. poprowadzona do punktu P(x, y) z ognisk F| i Fj, a więc leży na dwusiecznej kąta między tymi wektorami promieni (rys. 6). Zgodnie z Tooromo 1, gradient PQ jest prostopadły do ​​elipsy (8) w punkcie. Dlatego Ryc.6. normalna do elipsy (8) w dowolnym punkcie dzieli na pół kąt między wektorami promieni poprowadzonymi do tego punktu. Stąd iz faktu, że kąt padania jest równy kątowi odbicia, otrzymujemy: promień światła wychodzący z jednego ogniska elipsy, odbity od niego, z pewnością wpadnie do drugiego ogniska tej elipsy.