Wypisz właściwości dodawania w miarę ich odczytywania. Własności dodawania, mnożenia, odejmowania i dzielenia liczb całkowitych

Narysujmy prostokąt na kartce papieru w klatce o bokach 5 cm i 3 cm i podzielmy go na kwadraty o boku 1 cm ( rys. 143). Policzmy liczbę komórek znajdujących się w prostokącie. Można to zrobić na przykład w ten sposób.

Liczba kwadratów o boku 1 cm wynosi 5 * 3. Każdy taki kwadrat składa się z czterech komórek. Dlatego całkowita liczba komórek wynosi (5 * 3 ) * 4 .

Ten sam problem można rozwiązać inaczej. Każda z pięciu kolumn prostokąta składa się z trzech kwadratów o boku 1 cm, dlatego jedna kolumna zawiera 3 * 4 komórki. W sumie będzie więc 5 * (3 * 4 ) komórek.

Liczbę komórek na rycinie 143 ilustruje na dwa sposoby asocjacyjna właściwość mnożenia dla numerów 5, 3 i 4 . Mamy: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej liczby.

(ab)c = a(pne)

Z przemiennych i asocjacyjnych właściwości mnożenia wynika, że ​​​​przy mnożeniu kilku liczb czynniki można zamieniać miejscami i umieszczać w nawiasach, określając w ten sposób kolejność obliczeń.

Na przykład równości są prawdziwe:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Na rysunku 144 odcinek AB dzieli rozważany powyżej prostokąt na prostokąt i kwadrat.

Liczbę kwadratów o boku 1 cm liczymy na dwa sposoby.

Z jednej strony w wynikowym kwadracie jest ich 3 * 3, aw prostokącie 3 * 2. W sumie otrzymujemy 3 * 3 + 3 * 2 kwadraty. Z drugiej strony każdy z trzech rzędów tego prostokąta zawiera 3 + 2 kwadraty. Wtedy ich łączna liczba wynosi 3 * (3 + 2 ).

Równa się 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustruje rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Aby pomnożyć liczbę przez sumę dwóch liczb, możesz pomnożyć tę liczbę przez każdy wyraz i dodać otrzymane produkty.

W dosłownej formie ta właściwość jest zapisana w następujący sposób:

a(b + c) = ab + ac

Z rozdzielności mnożenia względem dodawania wynika, że

ab + ac = a(b + c).

Ta równość pozwala ze wzoru P = 2 a + 2 b znaleźć obwód prostokąta, który można zapisać w następujący sposób:

P = 2 (a + b).

Należy zauważyć, że właściwość dystrybucji jest ważna dla trzech lub więcej terminów. Na przykład:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Właściwość rozdzielcza mnożenia w odniesieniu do odejmowania również obowiązuje: jeśli b > c lub b = c, to wtedy

a(b − c) = ab − ac

Przykład 1 . Oblicz w wygodny sposób:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Używamy przemiennych, a następnie asocjacyjnych właściwości mnożenia:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Mamy:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Przykład 2 . Uprość wyrażenie:

1) 4 a * 3 b;

2 ) 18m − 13m.

1) Korzystając z przemiennych i asocjacyjnych właściwości mnożenia, otrzymujemy:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Korzystając z rozdzielności mnożenia względem odejmowania, otrzymujemy:

18m - 13m = m(18 - 13 ) = m * 5 = 5m.

Przykład 3 . Zapisz wyrażenie 5 (2 m + 7) tak, aby nie zawierało nawiasów.

Zgodnie z rozdzielnością mnożenia względem dodawania mamy:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Taka przemiana nazywa się nawiasy otwierające.

Przykład 4 . Oblicz wartość wyrażenia 125 * 24 * 283 w wygodny sposób.

Rozwiązanie. Mamy:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Przykład 5 . Wykonaj mnożenie: 3 dni 18 godzin * 6.

Rozwiązanie. Mamy:

3 dni 18 godzin * 6 = 18 dni 108 godzin = 22 dni 12 godzin

Podczas rozwiązywania przykładu wykorzystano rozdzielczą właściwość mnożenia względem dodawania:

3 dni 18 godzin * 6 = (3 dni + 18 godzin) * 6 = 3 dni * 6 + 18 godzin * 6 = 18 dni + 108 godzin = 18 dni + 96 godzin + 12 godzin = 18 dni + 4 dni + 12 godzin = 22 dni 12 godzin

Można zauważyć szereg rezultatów nieodłącznie związanych z tym działaniem. Te wyniki to tzw własności dodawania liczb naturalnych. W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy właściwości dodawania liczb naturalnych, napiszemy je za pomocą liter i podamy przykłady wyjaśniające.

Nawigacja po stronie.

Własność asocjacyjna dodawania liczb naturalnych.

Teraz podajemy przykład ilustrujący właściwość asocjacji dodawania liczb naturalnych.

Wyobraź sobie sytuację: 1 jabłko spadło z pierwszej jabłoni, a 2 jabłka i 4 kolejne jabłka spadły z drugiej jabłoni. Rozważmy teraz następującą sytuację: 1 jabłko i 2 kolejne jabłka spadły z pierwszej jabłoni, a 4 jabłka spadły z drugiej jabłoni. Oczywiste jest, że taka sama liczba jabłek będzie na ziemi zarówno w pierwszym, jak i drugim przypadku (co można sprawdzić przeliczenie). Oznacza to, że wynik dodania liczby 1 do sumy liczb 2 i 4 jest równy wynikowi dodania sumy liczb 1 i 2 do liczby 4.

Rozważany przykład pozwala nam sformułować właściwość asocjacyjną dodawania liczb naturalnych: aby dodać daną sumę dwóch liczb do danej liczby, można do tej liczby dodać pierwszy wyraz tej sumy i dodać drugi wyraz tę sumę do uzyskanego wyniku. Właściwość tę można zapisać za pomocą takich liter: a+(b+c)=(a+b)+c, gdzie a , b i c są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Proszę zauważyć, że w równości a+(b+c)=(a+b)+c są nawiasy „(” i „)”. Nawiasy są używane w wyrażeniach do wskazania kolejności wykonywania czynności - czynności w nawiasach są wykonywane jako pierwsze (więcej na ten temat w rozdziale). Innymi słowy, nawiasy obejmują wyrażenia, których wartości są oceniane jako pierwsze.

Podsumowując tę ​​sekcję, zauważamy, że właściwość asocjacyjna dodawania pozwala nam jednoznacznie określić dodanie trzech, czterech lub więcej liczb naturalnych.

Własność dodawania zera i liczby naturalnej, własność dodawania zera do zera.

Wiemy, że zero NIE jest liczbą naturalną. Dlaczego więc zdecydowaliśmy się rozważyć właściwość dodawania zera i liczby naturalnej w tym artykule? Są tego trzy powody. Po pierwsze, ta właściwość jest używana, gdy dodawanie kolumn liczb naturalnych. Po drugie, ta właściwość jest używana, gdy odejmowanie liczb naturalnych. Po trzecie: jeśli przyjmiemy, że zero oznacza brak czegoś, to sens dodania zera i liczby naturalnej jest taki sam jak sensu dodawania dwóch liczb naturalnych.

Przeprowadźmy rozumowanie, które pomoże nam sformułować własność dodawania zera i liczby naturalnej. Wyobraźmy sobie, że w pudełku nie ma żadnych przedmiotów (innymi słowy w pudełku jest 0), a w nim umieszczono przedmioty, gdzie a jest dowolną liczbą naturalną. Oznacza to, że dodano 0 i elementy. Oczywiste jest, że po tej akcji w pudełku znajdują się przedmioty. Zatem równość 0+a=a jest prawdziwa.

Analogicznie, jeśli pudełko zawiera pozycje i nie dodano do niego 0 pozycji (czyli nie dodano żadnych pozycji), to po tej akcji w skrzynce znajdzie się pozycja. Więc a+0=a.

Teraz możemy podać własność dodawania zera i liczby naturalnej: suma dwóch liczb, z których jedna jest równa zero, jest równa drugiej liczbie. Matematycznie tę właściwość można zapisać jako następującą równość: 0+a=a lub a+0=a, gdzie a jest dowolną liczbą naturalną.

Osobno zwracamy uwagę na fakt, że przy dodawaniu liczby naturalnej i zera, właściwość przemienności dodawania pozostaje prawdziwa, czyli a+0=0+a .

Na koniec formułujemy właściwość dodawania zero-zero (jest to dość oczywiste i nie wymaga dodatkowych komentarzy): suma dwóch liczb, z których każda jest zerem, wynosi zero. To znaczy, 0+0=0 .

Teraz nadszedł czas, aby dowiedzieć się, jak to zrobić dodawanie liczb naturalnych.

Bibliografia.

• Matematyka. Wszelkie podręczniki do klas 1, 2, 3, 4 placówek oświatowych.
• Matematyka. Dowolne podręczniki do 5 klas placówek oświatowych.

Temat, któremu poświęcona jest ta lekcja, to „Właściwości dodawania”. Poznasz w niej przemienne i asocjacyjne właściwości dodawania, badając je na konkretnych przykładach. Dowiedz się, kiedy możesz ich użyć, aby ułatwić proces obliczeń. Przypadki testowe pomogą określić, jak dobrze nauczyłeś się materiału.

Lekcja: Właściwości dodawania

Przyjrzyj się bliżej wyrażeniu:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Musimy znaleźć jego wartość. Zróbmy to.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Wynik wyrażenia 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Powiedz mi, czy wygodnie było obliczyć? Obliczanie nie było zbyt wygodne. Spójrz ponownie na liczby w tym wyrażeniu. Czy można je zamienić miejscami, aby obliczenia były wygodniejsze?

Jeśli zmienimy kolejność liczb inaczej:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Końcowy wynik wyrażenia to 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Widzimy, że wyniki wyrażeń są takie same.

Terminy można zamieniać, jeśli jest to wygodne do obliczeń, a wartość sumy nie zmieni się od tego.

W matematyce istnieje prawo: Przemienne prawo dodawania. Mówi, że suma nie zmienia się od przegrupowania warunków.

Wujek Fiodor i Szarik kłócili się. Sharik znalazł wartość wyrażenia tak, jak zostało napisane, a wujek Fiodor powiedział, że zna inny, wygodniejszy sposób obliczania. Czy widzisz wygodniejszy sposób obliczania?

Piłka rozwiązała wyrażenie tak, jak jest napisane. A wujek Fiodor powiedział, że zna prawo, które pozwala na zmianę warunków, i zamienił cyfry 25 i 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Widzimy, że wynik pozostaje taki sam, ale obliczenia stały się znacznie łatwiejsze.

Spójrz na poniższe wyrażenia i przeczytaj je.

6 + (24 + 51) = 81 (do 6 dodać sumę 24 i 51)
Czy istnieje wygodny sposób obliczania?
Widzimy, że jeśli dodamy 6 i 24, otrzymamy okrągłą liczbę. Zawsze łatwiej jest coś dodać do okrągłej liczby. Weź w nawiasy sumę liczb 6 i 24.
(6 + 24) + 51 = …
(dodaj 51 do sumy liczb 6 i 24)

Obliczmy wartość wyrażenia i zobaczmy, czy wartość wyrażenia się zmieniła?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Widzimy, że wartość wyrażenia pozostaje taka sama.

Poćwiczmy z jeszcze jednym przykładem.

(27 + 19) + 1 = 47 (dodaj 1 do sumy liczb 27 i 19)
Jakie liczby można wygodnie pogrupować w taki sposób, aby uzyskać wygodny sposób?
Zgadłeś, że są to liczby 19 i 1. Weźmy sumę liczb 19 i 1 w nawiasach.
27 + (19 + 1) = …
(do 27 dodaj sumę liczb 19 i 1)
Znajdźmy wartość tego wyrażenia. Pamiętamy, że akcja w nawiasach jest wykonywana jako pierwsza.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Znaczenie naszego wyrażenia pozostaje takie samo.

Asocjacyjne prawo dodawania: dwa sąsiednie wyrazy można zastąpić ich sumą.

Teraz przećwiczmy używanie obu praw. Musimy obliczyć wartość wyrażenia:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Po pierwsze, używamy przemiennej właściwości dodawania, która pozwala nam zamieniać wyrazy. Zamieńmy wyrazy 14 i 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Teraz używamy własności asocjacyjnej, która pozwala nam zastąpić dwa sąsiednie wyrazy ich sumą.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Najpierw ustalamy wartość sumy 38 i 2.

Teraz suma wynosi 14 i 6.

3. Festiwal idei pedagogicznych „Lekcja otwarta” ().

robić w domu

1. Oblicz sumę warunków na różne sposoby:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Oblicz wyniki wyrażeń:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Oblicz kwotę w wygodny sposób:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Zdefiniowaliśmy dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie liczb całkowitych. Te działania (operacje) mają szereg charakterystycznych rezultatów, które nazywane są właściwościami. W tym artykule rozważymy podstawowe właściwości dodawania i mnożenia liczb całkowitych, z których wynikają wszystkie inne właściwości tych operacji, a także właściwości odejmowania i dzielenia liczb całkowitych.

Nawigacja po stronie.

Dodawanie liczb całkowitych ma kilka innych bardzo ważnych właściwości.

Jeden z nich jest związany z istnieniem zera. Ta właściwość dodawania liczb całkowitych stwierdza, że dodanie zera do dowolnej liczby całkowitej nie zmienia tej liczby. Zapiszmy tę własność dodawania za pomocą liter: a+0=a i 0+a=a (ta równość jest spełniona ze względu na przemienność dodawania), a jest dowolną liczbą całkowitą. Możesz usłyszeć, że liczba całkowita zero jest dodatkowo nazywana elementem neutralnym. Podajmy kilka przykładów. Suma liczby całkowitej −78 i zera wynosi −78; jeśli do zera dodamy dodatnią liczbę całkowitą 999, to w wyniku otrzymamy liczbę 999.

Sformułujemy teraz inną właściwość dodawania liczb całkowitych, która jest związana z istnieniem liczby przeciwnej dla dowolnej liczby całkowitej. Suma dowolnej liczby całkowitej z liczbą przeciwną wynosi zero. Oto dosłowna postać tej właściwości: a+(−a)=0 , gdzie a i −a są przeciwstawnymi liczbami całkowitymi. Na przykład suma 901+(-901) wynosi zero; podobnie suma przeciwnych liczb całkowitych −97 i 97 wynosi zero.

Podstawowe własności mnożenia liczb całkowitych

Mnożenie liczb całkowitych ma wszystkie właściwości mnożenia liczb naturalnych. Wymieniamy główne z tych właściwości.

Tak jak zero jest liczbą całkowitą neutralną w odniesieniu do dodawania, tak jedynka jest liczbą całkowitą neutralną w odniesieniu do mnożenia liczb całkowitych. To znaczy, pomnożenie dowolnej liczby całkowitej przez jeden nie zmienia mnożonej liczby. Zatem 1·a=a , gdzie a jest dowolną liczbą całkowitą. Ostatnią równość można przepisać jako a 1=a , co pozwala nam stworzyć przemienną właściwość mnożenia. Podajmy dwa przykłady. Iloczyn liczby całkowitej 556 przez 1 to 556; iloczyn jednego i ujemnej liczby całkowitej −78 to −78 .

Następna właściwość mnożenia liczb całkowitych jest związana z mnożeniem przez zero. Wynikiem mnożenia dowolnej liczby całkowitej a przez zero jest zero, czyli 0=0 . Równość 0·a=0 jest również prawdziwa ze względu na przemienność mnożenia liczb całkowitych. W szczególnym przypadku, gdy a=0, iloczyn zera i zera jest równy zeru.

W przypadku mnożenia liczb całkowitych prawdziwa jest również właściwość przeciwna do poprzedniej. Twierdzi, że iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Dosłownie tę właściwość można zapisać w następujący sposób: a·b=0 , jeśli albo a=0 , albo b=0 , albo oba a i b są równe zero w tym samym czasie.

Własność rozdzielcza mnożenia liczb całkowitych względem dodawania

Razem dodawanie i mnożenie liczb całkowitych pozwala nam rozważyć rozdzielność mnożenia w odniesieniu do dodawania, które łączy dwa wskazane działania. Łączne użycie dodawania i mnożenia otwiera dodatkowe możliwości, których by nam brakowało, gdybyśmy rozważali dodawanie oddzielnie od mnożenia.

Tak więc rozdzielność mnożenia względem dodawania mówi, że iloczyn liczby całkowitej a i sumy dwóch liczb całkowitych a i b jest równy sumie iloczynów ab i ac, to znaczy: a (b+c)=a b+a do. Tę samą właściwość można zapisać w innej postaci: (a+b) c=a c+b do .

Dystrybutywna właściwość mnożenia liczb całkowitych względem dodawania, wraz z asocjacyjną własnością dodawania, umożliwia wyznaczenie mnożenia liczby całkowitej przez sumę trzech lub więcej liczb całkowitych, a następnie mnożenia sumy liczb całkowitych przez suma.

Należy również zauważyć, że wszystkie inne właściwości dodawania i mnożenia liczb całkowitych można uzyskać z właściwości, które wskazaliśmy, to znaczy są one konsekwencjami powyższych właściwości.

Właściwości odejmowania liczb całkowitych

Z uzyskanej równości, a także z własności dodawania i mnożenia liczb całkowitych wynikają następujące własności odejmowania liczb całkowitych (a, b i c są dowolnymi liczbami całkowitymi):

• Odejmowanie liczb całkowitych generalnie NIE ma właściwości przemiennej: a−b≠b−a .
• Różnica równych liczb całkowitych jest równa zeru: a−a=0 .
• Właściwość odejmowania sumy dwóch liczb całkowitych od danej liczby całkowitej: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Właściwość odejmowania liczby całkowitej od sumy dwóch liczb całkowitych: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Właściwość rozdzielcza mnożenia względem odejmowania: a (b−c)=a b−a c i (a−b) c=a c−b c.
• I wszystkie inne właściwości odejmowania liczb całkowitych.

Właściwości dzielenia liczb całkowitych

Kłócąc się o sens dzielenia liczb całkowitych, dowiedzieliśmy się, że dzielenie liczb całkowitych jest odwrotnością mnożenia. Podaliśmy następującą definicję: dzielenie liczb całkowitych to znalezienie nieznanego czynnika przez znany iloczyn i znany czynnik. Oznacza to, że liczbę całkowitą c nazywamy ilorazem liczby całkowitej a podzielonej przez liczbę całkowitą b, gdy iloczyn c·b jest równy a .

Ta definicja, jak również wszystkie rozważane powyżej właściwości operacji na liczbach całkowitych, pozwalają nam ustalić ważność następujących własności dzielenia liczb całkowitych:

• Żadna liczba całkowita nie może być dzielona przez zero.
• Właściwość dzielenia zera przez dowolną niezerową liczbę całkowitą a : 0:a=0 .
• Właściwość dzielenia równych liczb całkowitych: a:a=1 , gdzie a jest dowolną niezerową liczbą całkowitą.
• Właściwość dzielenia dowolnej liczby całkowitej a przez jeden: a:1=a .
• Generalnie dzielenie liczb całkowitych NIE ma własności przemiennej: a:b≠b:a .
• Własności dzielenia sumy i różnicy dwóch liczb całkowitych przez liczbę całkowitą to: (a+b):c=a:c+b:c i (a−b):c=a:c−b:c , gdzie a , b i c są liczbami całkowitymi takimi, że zarówno a, jak i b są podzielne przez c, a c jest niezerowe.
• Właściwość dzielenia iloczynu dwóch liczb całkowitych aib przez liczbę całkowitą różną od zera c : (a b):c=(a:c) b jeśli a jest podzielne przez c ; (a b):c=a (b:c) jeśli b jest podzielne przez c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) jeśli zarówno a, jak i b są podzielne przez c .
• Właściwość dzielenia liczby całkowitej a przez iloczyn dwóch liczb całkowitych b i c (liczby a , b i c takie, że dzielenie a przez b c jest możliwe): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b .
• Dowolna inna właściwość dzielenia liczb całkowitych.