Całka oznaczona na przykładach części. Rozwiązywanie całek online

Wcześniej dla danej funkcji, kierując się różnymi wzorami i regułami, znajdowaliśmy jej pochodną. Pochodna ma wiele zastosowań: jest to prędkość ruchu (lub ogólniej prędkość dowolnego procesu); nachylenie stycznej do wykresu funkcji; korzystając z pochodnej, możesz zbadać funkcję pod kątem monotoniczności i ekstremów; Pomaga rozwiązywać problemy optymalizacyjne.

Ale wraz z problemem znalezienia prędkości ze znanej zasady ruchu istnieje również problem odwrotny - problem przywrócenia zasady ruchu ze znanej prędkości. Rozważmy jeden z tych problemów.

Przykład 1 Punkt materialny porusza się po linii prostej, prędkość jego ruchu w czasie t jest określona wzorem v=gt. Znajdź prawo ruchu.
Rozwiązanie. Niech s = s(t) będzie pożądaną zasadą ruchu. Wiadomo, że s"(t) = v(t). Aby więc rozwiązać problem, należy wybrać funkcję s = s(t), której pochodna jest równa gt. Łatwo zgadnąć, że \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Rzeczywiście
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Odpowiedź: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Od razu zauważamy, że przykład został rozwiązany poprawnie, ale niekompletnie. Mamy \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). W rzeczywistości problem ma nieskończenie wiele rozwiązań: dowolna funkcja postaci \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), gdzie C jest dowolną stałą, może służyć jako prawo ruch, ponieważ \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Aby uszczegółowić problem, musieliśmy naprawić sytuację początkową: wskazać współrzędną poruszającego się punktu w pewnym momencie, na przykład w t = 0. Jeśli, powiedzmy, s(0) = s 0 , to od równość s(t) = (gt 2)/2 + C otrzymujemy: s(0) = 0 + C, czyli C = s 0 . Teraz prawo ruchu jest jednoznacznie zdefiniowane: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

W matematyce wzajemnie odwrotne operacje mają różne nazwy, wymyślają specjalne zapisy, na przykład: kwadrat (x 2) i wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsinus ( arcsin x) itd. Nazywa się proces znajdowania pochodnej względem danej funkcji różnicowanie, oraz operacja odwrotna, czyli proces znajdowania funkcji przez daną pochodną, ​​- integracja.

Sam termin „pochodna” można uzasadnić „w światowy sposób”: funkcja y \u003d f (x) „produkuje światu” nową funkcję y” \u003d f „(x). Funkcja y \u003d f (x) działa jak „rodzic”, ale matematycy oczywiście nie nazywają jej „rodzicem” ani „producentem”, mówią, że tak jest w odniesieniu do funkcji y ” = f" (x) , obraz główny lub funkcja pierwotna.

Definicja. Funkcję y = F(x) nazywamy funkcją pierwotną dla funkcji y = f(x) na przedziale X, jeśli \(x \in X \) spełnia równość F"(x) = f(x)

W praktyce przedział X zwykle nie jest określony, ale domniemany (jako naturalna dziedzina funkcji).

Podajmy przykłady.
1) Funkcja y \u003d x 2 jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d 2x, ponieważ dla dowolnego x równość (x 2) "\u003d 2x jest prawdziwa
2) Funkcja y \u003d x 3 jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d 3x 2, ponieważ dla dowolnego x równość (x 3)" \u003d 3x 2 jest prawdziwa
3) Funkcja y \u003d sin (x) jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d cos (x), ponieważ dla dowolnego x równość (sin (x)) "= cos (x) jest prawdziwa

Podczas znajdowania funkcji pierwotnych, a także pochodnych, używane są nie tylko formuły, ale także niektóre reguły. Są one bezpośrednio związane z odpowiednimi zasadami obliczania pochodnych.

Wiemy, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych. Ta reguła generuje odpowiednią regułę znajdowania funkcji pierwotnych.

Zasada nr 1 Funkcja pierwotna sumy jest równa sumie funkcji pierwotnych.

Wiemy, że ze znaku pochodnej można wyciągnąć stały czynnik. Ta reguła generuje odpowiednią regułę znajdowania funkcji pierwotnych.

Zasada 2 Jeśli F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x), to kF(x) jest funkcją pierwotną dla kf(x).

Twierdzenie 1. Jeśli y = F(x) jest funkcją pierwotną dla funkcji y = f(x), to funkcją pierwotną dla funkcji y = f(kx + m) jest funkcja \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Twierdzenie 2. Jeśli y = F(x) jest funkcją pierwotną dla funkcji y = f(x) w przedziale X, to funkcja y = f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych i wszystkie mają postać y = F(x) + C.

Metody integracji

Metoda zastępowania zmiennych (metoda podstawienia)

Metoda całkowania przez podstawienie polega na wprowadzeniu nowej zmiennej całkującej (czyli podstawienia). W tym przypadku dana całka jest sprowadzana do nowej całki, która jest tabelaryczna lub sprowadzalna do niej. Nie ma ogólnych metod wyboru zastępstw. Umiejętność prawidłowego określenia podstawienia nabywa się w praktyce.
Niech będzie wymagane obliczenie całki \(\textstyle \int F(x)dx \). Dokonajmy podstawienia \(x= \varphi(t) \) gdzie \(\varphi(t) \) jest funkcją, która ma ciągłą pochodną.
Wtedy \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na podstawie niezmienniczości wzoru na całkę nieoznaczoną otrzymujemy wzór na całkowanie podstawieniowe:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracja wyrażeń typu \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Jeśli m jest nieparzyste, m > 0, to wygodniej jest dokonać podstawienia sin x = t.
Jeśli n jest nieparzyste, n > 0, to wygodniej jest dokonać podstawienia cos x = t.
Jeśli n i m są parzyste, wygodniej jest dokonać podstawienia tg x = t.

Całkowanie przez części

Całkowanie przez części - zastosowanie następującego wzoru na całkowanie:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
Lub:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tablica całek nieoznaczonych (funkcje pierwotne) niektórych funkcji

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Całkowanie przez części. Przykłady rozwiązań

Witam ponownie. Dzisiaj na lekcji nauczymy się całkować przez części. Metoda całkowania przez części jest jednym z kamieni węgielnych rachunku całkowego. Na teście, egzaminie prawie zawsze proponuje się uczniowi rozwiązanie całki następujących typów: całka najprostsza (patrz artykuł) lub całka, aby zmienić zmienną (patrz artykuł) lub całka po prostu włączona metoda całkowania przez części.

Jak zawsze pod ręką powinno być: Tablica całek I Tabela pochodna. Jeśli nadal ich nie masz, odwiedź magazyn mojej witryny: Wzory i tablice matematyczne. Nie zmęczę się powtarzaniem - lepiej wszystko wydrukować. Postaram się przedstawić cały materiał w spójny, prosty i przystępny sposób, nie ma szczególnych trudności w całkowaniu przez części.

Jaki problem rozwiązuje całkowanie przez części? Metoda całkowania przez części rozwiązuje bardzo ważny problem, pozwala na całkowanie niektórych funkcji, których nie ma w tabeli, praca funkcje, aw niektórych przypadkach - i prywatne. Jak pamiętamy, nie ma wygodnej formuły: . Ale jest taki: jest formułą całkowania przez części osobiście. Wiem, wiem, jesteś jedyny - z nią przepracujemy całą lekcję (już jest łatwiej).

I od razu lista w studio. Całki następujących typów są przyjmowane przez części:

1) , , - logarytm, logarytm pomnożony przez jakiś wielomian.

2) ,jest funkcją wykładniczą pomnożoną przez pewien wielomian. Obejmuje to również całki, takie jak - funkcja wykładnicza pomnożona przez wielomian, ale w praktyce jest to 97 procent, ładna litera „e” pyszni się pod całką. ...artykuł okazuje się być czymś lirycznym, o tak... nadeszła wiosna.

3) , , to funkcje trygonometryczne pomnożone przez pewien wielomian.

4) , - odwrotne funkcje trygonometryczne („łuki”), „łuki”, pomnożone przez pewien wielomian.

Ponadto niektóre ułamki są pobierane w częściach, szczegółowo rozważymy również odpowiednie przykłady.

Całki logarytmów

Przykład 1

Klasyczny. Od czasu do czasu tę całkę można znaleźć w tabelach, ale niepożądane jest stosowanie gotowej odpowiedzi, ponieważ nauczyciel ma beri-beri na wiosnę i będzie dużo beształ. Ponieważ rozważana całka nie jest bynajmniej tabelaryczna - jest brana w częściach. My decydujemy:

Przerywamy rozwiązanie dla pośrednich wyjaśnień.

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

Formuła jest stosowana od lewej do prawej

Patrzymy na lewą stronę:. Oczywiście w naszym przykładzie (i we wszystkich innych, które rozważymy) coś musi być oznaczone przez , a coś przez .

W całkach rozważanego typu zawsze oznaczamy logarytm.

Technicznie projekt rozwiązania jest realizowany w następujący sposób, piszemy w kolumnie:

To znaczy, ponieważ oznaczyliśmy logarytm, a dla - pozostała część całka.

Następny krok: znajdź różnicę:

Różniczka jest prawie taka sama jak pochodna, omówiliśmy już, jak ją znaleźć w poprzednich lekcjach.

Teraz znajdujemy funkcję . Aby znaleźć funkcję, konieczne jest całkowanie prawa strona niższa równość:

Teraz otwieramy nasze rozwiązanie i konstruujemy prawą stronę wzoru: .
Nawiasem mówiąc, oto przykład ostatecznego rozwiązania z małymi notatkami:

Jedyny moment w produkcie, od razu przestawiłem i, ponieważ zwyczajowo pisze się mnożnik przed logarytmem.

Jak widać, zastosowanie formuły całkowania przez części zasadniczo zredukowało nasze rozwiązanie do dwóch prostych całek.

Należy pamiętać, że w niektórych przypadkach zaraz po stosując wzór, uproszczenie jest koniecznie przeprowadzane pod pozostałą całką - w rozważanym przykładzie całkę zmniejszyliśmy o „x”.

Zróbmy kontrolę. Aby to zrobić, musisz wziąć pochodną odpowiedzi:

Otrzymuje się oryginalną całkę, co oznacza, że ​​całka została rozwiązana poprawnie.

Podczas weryfikacji zastosowaliśmy zasadę różnicowania produktów: . I to nie przypadek.

Formuła całkowania przez części i formuła Są to dwie wzajemnie odwrotne reguły.

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Całka jest iloczynem logarytmu i wielomianu.
My decydujemy.

Jeszcze raz szczegółowo opiszę procedurę stosowania reguły, w przyszłości przykłady zostaną przedstawione krócej, a jeśli masz trudności z samodzielnym rozwiązaniem, musisz wrócić do dwóch pierwszych przykładów lekcji .

Jak już wspomniano, konieczne jest wyznaczenie logarytmu (fakt, że jest w stopniu, nie ma znaczenia). oznaczamy pozostała część całka.

Piszemy w kolumnie:

Najpierw znajdujemy różniczkę:

Korzystamy tutaj z reguły różniczkowania funkcji zespolonej . To nie przypadek, że na pierwszej lekcji tego tematu Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań Skoncentrowałem się na tym, że aby opanować całki, trzeba „położyć rękę” na pochodnych. Derywaty będą musiały stawić czoła więcej niż raz.

Teraz znajdujemy funkcję , w tym celu całkujemy prawa strona niższa równość:

Do integracji zastosowaliśmy najprostszą formułę tabelaryczną

Teraz możesz przystąpić do zastosowania formuły . Otwieramy go „gwiazdką” i „projektujemy” rozwiązanie zgodnie z prawą stroną:

Pod całką znowu mamy wielomian na logarytmie! W związku z tym rozwiązanie zostaje ponownie przerwane i zasada całkowania przez części jest stosowana po raz drugi. Nie zapominaj, że w podobnych sytuacjach logarytm jest zawsze oznaczony.

Byłoby miło, gdybyś w tym momencie potrafił znaleźć ustnie najprostsze całki i pochodne.

(1) Nie daj się zmylić znakom! Bardzo często gubi się tutaj minus, zauważ też, że minus obowiązuje do wszystkich nawias , a te nawiasy muszą być poprawnie otwarte.

(2) Rozwiń nawiasy. Upraszczamy ostatnią całkę.

(3) Bierzemy ostatnią całkę.

(4) „czesanie” odpowiedź.

Konieczność dwukrotnego (a nawet trzykrotnego) zastosowania zasady całkowania przez części nie jest rzadkością.

A teraz kilka przykładów niezależnego rozwiązania:

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ten przykład jest rozwiązany przez zmianę metody zmiennej (lub podsumowanie pod znakiem różniczkowym)! A czemu nie - możesz spróbować wziąć to na części, dostaniesz zabawną rzecz.

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ale ta całka jest całkowana przez części (ułamek obiecany).

Są to przykłady do samodzielnego rozwiązania, rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Wydaje się, że w przykładach 3,4 całki są podobne, ale metody rozwiązania są różne! To jest właśnie główna trudność w opanowaniu całek - jeśli wybierzesz niewłaściwą metodę rozwiązania całki, możesz bawić się nią godzinami, jak przy prawdziwej układance. Dlatego im więcej rozwiążesz różnych całek, tym lepiej, tym łatwiejszy będzie test i egzamin. Poza tym na drugim roku będą równania różniczkowe, a bez doświadczenia w rozwiązywaniu całek i pochodnych nie ma tam nic do roboty.

Według logarytmów, może więcej niż wystarczająco. Na przekąskę pamiętam też, że studenci technikum kobiece piersi nazywają logarytmami =). Nawiasem mówiąc, warto znać na pamięć wykresy głównych funkcji elementarnych: sinus, cosinus, arc tangens, wykładnik, wielomiany trzeciego, czwartego stopnia itp. Nie, oczywiście, prezerwatywa na kuli ziemskiej
Nie będę ciągnął, ale teraz dużo pamiętasz z sekcji Wykresy i funkcje =).

Całki wykładnika pomnożone przez wielomian

Główna zasada:

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Korzystając ze znanego algorytmu, całkujemy przez części:

Jeśli masz jakiekolwiek trudności z całką, powinieneś wrócić do artykułu Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

Jedyną inną rzeczą do zrobienia jest „przeczesanie” odpowiedzi:

Ale jeśli twoja technika obliczeniowa nie jest zbyt dobra, pozostaw jako odpowiedź najbardziej opłacalną opcję. lub nawet

Oznacza to, że przykład uważa się za rozwiązany, gdy zostanie wzięta ostatnia całka. To nie będzie pomyłka, to inna sprawa, o którą nauczyciel może poprosić, aby uprościć odpowiedź.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład zrób to sam. Ta całka jest całkowana dwukrotnie przez części. Szczególną uwagę należy zwrócić na znaki - łatwo się w nich pogubić, o tym też pamiętamy - złożona funkcja.

Niewiele więcej można powiedzieć o wystawcy. Mogę tylko dodać, że wykładniczy i logarytm naturalny są funkcjami wzajemnie odwrotnymi, to ja w temacie zabawnych wykresów wyższej matematyki =) Przestań, przestań, nie martw się, wykładowca jest trzeźwy.

Całki funkcji trygonometrycznych pomnożone przez wielomian

Główna zasada: zawsze oznacza wielomian

Przykład 7

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Całkowanie przez części:

Hmmm... i nie ma co komentować.

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład samodzielnego rozwiązania

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną

Kolejny przykład z ułamkiem. Podobnie jak w dwóch poprzednich przykładach, wielomian jest oznaczony przez.

Całkowanie przez części:

Jeśli masz trudności lub nieporozumienie ze znalezieniem całki, to polecam udział w lekcji Całki funkcji trygonometrycznych.

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład zrób to sam.

Wskazówka: zanim użyjesz metody całkowania przez części, powinieneś zastosować jakiś wzór trygonometryczny, który zamienia iloczyn dwóch funkcji trygonometrycznych w jedną funkcję. Formuła może być również wykorzystana przy stosowaniu metody całkowania przez części, komu jest to wygodniejsze.

To chyba wszystko w tym akapicie. Z jakiegoś powodu przypomniał mi się wers z hymnu Wydziału Fizyki i Matematyki „A wykres sinusoidalny fala po fali biegnie wzdłuż osi odciętych”…

Całki odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
Całki odwrotnych funkcji trygonometrycznych pomnożone przez wielomian

Główna zasada: zawsze oznacza odwrotną funkcję trygonometryczną.

Przypominam, że odwrotne funkcje trygonometryczne obejmują arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arccotangens. Dla zwięzłości będę je nazywał „łukami”