Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego. Równania różniczkowe drugiego i wyższego rzędu
Tutaj stosujemy metodę wariacji stałych Lagrange'a do rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu. Szczegółowy opis tej metody rozwiązywania równań dowolnego rzędu znajduje się na str
Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych wyższych rzędów metodą Lagrange'a >>> . Przykład 1 Rozwiąż równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami, korzystając ze zmienności stałych Lagrange'a:
(1)
Rozwiązanie Najpierw rozwiązujemy jednorodne równanie różniczkowe:
(2)
To jest równanie drugiego rzędu. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
.
Wiele korzeni: . Podstawowy układ rozwiązań równania (2) ma postać:
(3)
.
Otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie równania jednorodnego (2):
(4)
.
Zmieniamy stałe C 1
i C 2
. Oznacza to, że zastępujemy stałe i w (4) funkcjami:
.
Szukamy rozwiązania pierwotnego równania (1) w postaci:
(5)
.
Znajdujemy pochodną:
.
Łączymy funkcje i równanie:
(6)
.
Następnie
.
Znajdujemy drugą pochodną:
.
Podstawiamy do pierwotnego równania (1):
(1)
;
.
Ponieważ i spełniają jednorodne równanie (2), suma wyrazów w każdej kolumnie ostatnich trzech wierszy wynosi zero, a poprzednie równanie przyjmuje postać:
(7)
.
Tutaj . Razem z równaniem (6) otrzymujemy układ równań do wyznaczania funkcji i :
(6)
:
(7)
.
Rozwiązywanie układu równań Rozwiązujemy układ równań (6-7). Napiszmy wyrażenia dla funkcji i :
.
Znajdujemy ich pochodne:
;
.
Układ równań (6-7) rozwiązujemy metodą Cramera. Obliczamy wyznacznik macierzy układu:
.
Ze wzorów Cramera znajdujemy:
;
.
Znaleźliśmy więc pochodne funkcji:
;
.
Zintegrujmy (patrz Metody całkowania pierwiastków). Dokonywanie zastępstwa
;
;
;
.
.
.
;
.
Odpowiedź Przykład 2 Rozwiąż równanie różniczkowe metodą wariacji stałych Lagrange'a:
(8)
Rozwiązanie Krok 1. Rozwiązanie równania jednorodnego Rozwiązujemy jednorodne równanie różniczkowe: (9)
Szukasz rozwiązania w postaci . Układamy charakterystyczne równanie:
To równanie ma złożone pierwiastki:
.
Podstawowy system rozwiązań odpowiadający tym pierwiastkom ma postać:
(10)
.
Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego (9):
(11)
.
Krok 2. Wariacja stałych — zastępowanie stałych funkcjami Zmieniamy teraz stałe C 1
i C 2
. Oznacza to, że zastępujemy stałe w (11) funkcjami:
.
Szukamy rozwiązania pierwotnego równania (8) w postaci:
(12)
.
Dalej przebieg rozwiązania jest taki sam jak w przykładzie 1. Dochodzimy do następującego układu równań wyznaczania funkcji i :
(13)
:
(14)
.
Tutaj . Rozwiązywanie układu równań Rozwiążmy ten system. Zapiszmy wyrażenia funkcji i :
.
Z tablicy pochodnych znajdujemy:
;
.
Układ równań (13-14) rozwiązujemy metodą Cramera. Wyznacznik macierzy systemu:
.
Ze wzorów Cramera znajdujemy:
;
.
.
Skoro , to znak modułu pod znakiem logarytmu można pominąć. Pomnóż licznik i mianownik przez:
.
Następnie
.
Ogólne rozwiązanie pierwotnego równania:
.
Równania różniczkowe rzędu drugiego i wyższych.
Liniowy DE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.
Przykłady rozwiązań.Przechodzimy do rozważenia równań różniczkowych drugiego rzędu i równań różniczkowych wyższych rzędów. Jeśli masz niejasne pojęcie o tym, czym jest równanie różniczkowe (lub w ogóle nie rozumiesz, co to jest), polecam zacząć od lekcji Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Przykłady rozwiązań. Wiele zasad rozwiązań i podstawowych koncepcji różnic pierwszego rzędu jest automatycznie rozszerzanych na równania różniczkowe wyższego rzędu, więc bardzo ważne jest, aby najpierw zrozumieć równania pierwszego rzędu. Wielu czytelników może mieć przesąd, że DE 2., 3. i innych rzędów jest czymś bardzo trudnym i niedostępnym do opanowania. To jest źle . Nauka rozwiązywania rozproszeń wyższego rzędu nie jest trudniejsza niż „zwykłe” DE pierwszego rzędu. A w niektórych miejscach jest to jeszcze łatwiejsze, ponieważ przy podejmowaniu decyzji aktywnie wykorzystuje się materiał szkolnego programu nauczania.
Najbardziej popularny równania różniczkowe drugiego rzędu. Do równania różniczkowego drugiego rzędu Koniecznie zawiera drugą pochodną i nie wliczone
Należy zauważyć, że niektórych dzieci (a nawet wszystkich na raz) może brakować w równaniu, ważne jest, aby ojciec był w domu. Najbardziej prymitywne równanie różniczkowe drugiego rzędu wygląda następująco:
Równania różniczkowe trzeciego rzędu w zadaniach praktycznych są znacznie rzadsze, według moich subiektywnych obserwacji w Dumie Państwowej zdobyłyby one około 3-4% głosów.
Do równania różniczkowego trzeciego rzędu Koniecznie zawiera trzecią pochodną i nie wliczone pochodne wyższych rzędów:
Najprostsze równanie różniczkowe trzeciego rzędu wygląda następująco: - tata jest w domu, wszystkie dzieci są na spacerze.
Podobnie można zdefiniować równania różniczkowe 4., 5. i wyższych rzędów. W praktycznych problemach takie poślizgi DE zdarzają się niezwykle rzadko, jednak postaram się podać odpowiednie przykłady.
Równania różniczkowe wyższego rzędu, które są proponowane w praktycznych problemach, można podzielić na dwie główne grupy.
1) Pierwsza grupa - tzw równania niższego rzędu. Wlatuj!
2) Druga grupa - równania liniowe wyższego rzędu o stałych współczynnikach. Które teraz zaczniemy rozważać.
Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu
ze stałymi współczynnikami
W teorii i praktyce rozróżnia się dwa rodzaje takich równań - jednorodne równanie I równanie niejednorodne.
Jednorodne DE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami ma następującą postać:
 , gdzie i to stałe (liczby), a po prawej stronie - rygorystycznie zero.
Jak widać, nie ma specjalnych trudności z jednorodnymi równaniami, najważniejsze jest to poprawnie rozwiązać równanie kwadratowe.
Czasami istnieją niestandardowe równania jednorodne, na przykład równanie w formie  , gdzie przy drugiej pochodnej jest pewna stała , różna od jedności (i oczywiście różna od zera). Algorytm rozwiązania wcale się nie zmienia, należy na spokojnie ułożyć równanie charakterystyczne i znaleźć jego pierwiastki. Jeżeli równanie charakterystyczne  będzie miał dwa różne pierwiastki rzeczywiste, na przykład:  , to rozwiązanie ogólne można zapisać w zwykły sposób:  .
W niektórych przypadkach, z powodu literówki w stanie, mogą pojawić się „złe” korzenie, na przykład  . Co robić, odpowiedź będzie musiała być napisana w ten sposób:
Z „złymi” sprzężonymi złożonymi korzeniami, takimi jak  też nie ma problemu, ogólne rozwiązanie:
To jest, w każdym przypadku istnieje ogólne rozwiązanie. Ponieważ każde równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.
W ostatnim akapicie, tak jak obiecałem, pokrótce rozważymy:
Równania liniowe jednorodne wyższego rzędu
Wszystko jest bardzo, bardzo podobne.
Liniowe równanie jednorodne trzeciego rzędu ma następującą postać:
, gdzie są stałymi.
W przypadku tego równania musisz również ułożyć charakterystyczne równanie i znaleźć jego pierwiastki. Charakterystyczne równanie, jak wielu się domyśliło, wygląda następująco:
 , i to W każdym razie To ma dokładnie trzyźródło.
Niech na przykład wszystkie pierwiastki będą rzeczywiste i odrębne:  , to rozwiązanie ogólne można zapisać w następujący sposób:
Jeśli jeden pierwiastek jest rzeczywisty, a pozostałe dwa są sprzężone, to ogólne rozwiązanie piszemy w następujący sposób:
Szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy wszystkie trzy pierwiastki są wielokrotnościami (takie same). Rozważmy najprostszą jednorodną DE trzeciego rzędu z samotnym ojcem: . Równanie charakterystyczne ma trzy zbieżne pierwiastki zerowe. Ogólne rozwiązanie piszemy następująco:
Jeżeli równanie charakterystyczne  ma na przykład trzy pierwiastki wielokrotne, to rozwiązanie ogólne jest odpowiednio następujące:
Przykład 9
Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe trzeciego rzędu
Rozwiązanie: Tworzymy i rozwiązujemy równanie charakterystyczne:
, - otrzymuje się jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa sprzężone pierwiastki zespolone.
Odpowiedź: wspólna decyzja
Podobnie możemy rozważyć liniowe jednorodne równanie czwartego rzędu o stałych współczynnikach: , gdzie są stałymi. |
Instytucja edukacyjna „Państwo Białoruskie
Akademia Rolnicza"
Katedra Matematyki Wyższej
Wytyczne
w sprawie studium tematu „Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu” przez studentów działu księgowości korespondencyjnej formy kształcenia (NISPO)
Górki, 2013
Liniowe równania różniczkowe
drugi rząd ze stałąwspółczynniki
Liniowe jednorodne równania różniczkowe
Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach
nazywa się równaniem postaci
te. równanie, które zawiera pożądaną funkcję i jej pochodne tylko do pierwszego stopnia i nie zawiera ich iloczynów. W tym równaniu 
I
to niektóre liczby i funkcja
podane w pewnym przedziale
.
Jeśli
na interwale
, to równanie (1) przybiera postać
,
(2)
i zadzwoniłem liniowy jednorodny
. W przeciwnym razie wywoływane jest równanie (1). liniowy niejednorodny
.
Rozważ funkcję zespoloną
,
(3)
Gdzie
I
są funkcjami rzeczywistymi. Jeżeli funkcja (3) jest złożonym rozwiązaniem równania (2), to część rzeczywista
i część urojona
rozwiązania
wzięte oddzielnie są rozwiązaniami tego samego jednorodnego równania. Zatem każde złożone rozwiązanie równania (2) generuje dwa rzeczywiste rozwiązania tego równania.
Rozwiązania jednorodnego równania liniowego mają następujące właściwości:
Jeśli 
jest rozwiązaniem równania (2), to funkcja
, Gdzie Z- dowolna stała będzie również rozwiązaniem równania (2);
Jeśli 
I 
są rozwiązaniami równania (2), to funkcja
będzie również rozwiązaniem równania (2);
Jeśli 
I 
są rozwiązaniami równania (2), to ich kombinacja liniowa
będzie również rozwiązaniem równania (2), gdzie 
I
są dowolnymi stałymi.
Funkcje
I
zwany liniowo zależne
na interwale
jeśli są takie numery 
I
, które nie są jednocześnie równe zeru, że na tym przedziale równość
Jeśli równość (4) zachodzi tylko wtedy, gdy
I
, a następnie funkcje
I
zwany liniowo niezależny
na interwale
.
Przykład 1
. Funkcje
I
są liniowo zależne, ponieważ
wzdłuż całej linii liczbowej. w tym przykładzie
.
Przykład 2
. Funkcje
I
są liniowo niezależne na dowolnym przedziale, ponieważ równość
możliwe tylko wtedy, gdy i
, I
.
Konstrukcja ogólnego rozwiązania liniowej jednorodnej
równania
Aby znaleźć ogólne rozwiązanie równania (2), należy znaleźć dwa jego liniowo niezależne rozwiązania 
I 
. Liniowa kombinacja tych rozwiązań
, Gdzie 
I
są dowolnymi stałymi i dadzą ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego.
W postaci poszukiwane będą liniowo niezależne rozwiązania równania (2).
,
(5)
Gdzie 
- jakiś numer Następnie
,
. Podstawmy te wyrażenia do równania (2):
Lub
.
Ponieważ
, To
. Więc funkcja
będzie rozwiązaniem równania (2), jeśli 
spełni równanie
.
(6)
Wywołuje się równanie (6). równanie charakterystyczne
dla równania (2). To równanie jest algebraicznym równaniem kwadratowym.
Pozwalać 
I 
są pierwiastkami tego równania. Mogą być albo rzeczywiste i różne, albo złożone, albo rzeczywiste i równe. Rozważmy te przypadki.
Niech korzenie 
I 
równania charakterystyczne są rzeczywiste i różne. Wówczas rozwiązaniami równania (2) będą funkcje
I
. Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ równość
można wykonać tylko wtedy, gdy
, I
. Dlatego rozwiązanie ogólne równania (2) ma postać
,
Gdzie 
I
są dowolnymi stałymi.
Przykład 3
.
Rozwiązanie
. Równanie charakterystyczne dla tej różnicy będzie miało postać
. Rozwiązując to równanie kwadratowe, znajdujemy jego pierwiastki
I
. Funkcje
I
są rozwiązaniami równania różniczkowego. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać
.
Liczba zespolona 
nazywa się wyrażeniem formy
, Gdzie 
I 
są liczbami rzeczywistymi i
nazywamy jednostką urojoną. Jeśli
, a następnie numer
nazywa się czysto urojonym. Jeśli
, a następnie numer
jest identyfikowany z liczbą rzeczywistą 
.
Numer 
nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej, i 
- część urojona. Jeśli dwie liczby zespolone różnią się od siebie tylko znakiem części urojonej, wówczas nazywane są koniugatem:
,
.
Przykład 4
. Rozwiąż równanie kwadratowe
.
Rozwiązanie
. Wyróżnik równania
. Następnie. Podobnie,
. Zatem to równanie kwadratowe ma sprzężone pierwiastki zespolone.
Niech pierwiastki równania charakterystycznego będą złożone, tj.
,
, Gdzie
. Rozwiązania równania (2) można zapisać jako
,
Lub
,
. Według wzorów Eulera
,
.
Następnie ,. Jak wiadomo, jeśli funkcja zespolona jest rozwiązaniem liniowego równania jednorodnego, to rozwiązania tego równania są zarówno częściami rzeczywistą, jak i urojoną tej funkcji. Zatem rozwiązaniami równania (2) będą funkcje
I
. Od równości
można wykonać tylko wtedy, gdy
I
, to rozwiązania te są liniowo niezależne. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać
Gdzie 
I
są dowolnymi stałymi.
Przykład 5
. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.
Rozwiązanie
. Równanie
jest charakterystyczny dla danej różniczki. Rozwiązujemy go i otrzymujemy złożone pierwiastki
,
. Funkcje
I
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania różniczkowego. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać.
Niech pierwiastki charakterystycznego równania będą rzeczywiste i równe, tj.
. Wówczas rozwiązaniami równania (2) są funkcje
I
. Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ wyrażenie może być identycznie równe zeru tylko wtedy, gdy
I
. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać
.
Przykład 6
. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.
Rozwiązanie
. Równanie charakterystyczne
ma równe korzenie
. W tym przypadku liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania różniczkowego są funkcje
I
. Rozwiązanie ogólne ma postać
.
Niejednorodne liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach
i specjalna prawa strona
Rozwiązanie ogólne liniowego równania niejednorodnego (1) jest równe sumie rozwiązania ogólnego
odpowiednie równanie jednorodne i dowolne szczególne rozwiązanie
równanie niejednorodne:
.
W niektórych przypadkach konkretne rozwiązanie niejednorodnego równania można znaleźć po prostu na podstawie postaci prawej strony
równania (1). Rozważmy przypadki, w których jest to możliwe.
te. prawa strona równania niejednorodnego jest wielomianem stopnia M. Jeśli
nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to należy szukać konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci wielomianu stopnia M, tj.
Szanse
są ustalane w procesie poszukiwania konkretnego rozwiązania.
Jeśli
jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to w postaci należy szukać konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego
Przykład 7
. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.
Rozwiązanie
. Odpowiednie równanie jednorodne dla tego równania to
. Jego charakterystyczne równanie
ma korzenie
I
. Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego ma postać
.
Ponieważ
nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to będziemy szukać szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci funkcji
. Znajdź pochodne tej funkcji
,
i podstawiamy je do tego równania:
Lub . Zrównaj współczynniki w 
i wolni członkowie:
Rozwiązując ten system, otrzymujemy
,
. Wtedy szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego ma postać
, a rozwiązanie ogólne tego równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązania ogólnego odpowiedniego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
.
Niech równanie niejednorodne ma postać
Jeśli
nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to w postaci należy szukać konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego. Jeśli
jest pierwiastkiem charakterystycznego równania krotności k
(k=1 lub k=2), to w tym przypadku rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego będzie miało postać .
Przykład 8
. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.
Rozwiązanie
. Równanie charakterystyczne dla odpowiedniego równania jednorodnego ma postać
. jego korzenie
,
. W tym przypadku ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego jest zapisane jako
.
Ponieważ liczba 3 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to należy szukać konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci
. Znajdźmy pochodne pierwszego i drugiego rzędu:,
Podstaw do równania różniczkowego:
+
+,
+,.
Zrównaj współczynniki w 
i wolni członkowie:
Stąd
,
. Wtedy szczególne rozwiązanie tego równania ma postać
i rozwiązanie ogólne
.
Metoda Lagrange'a wariacji dowolnych stałych
Metodę wariacji dowolnych stałych można zastosować do dowolnego niejednorodnego równania liniowego o stałych współczynnikach, niezależnie od postaci prawej strony. Ta metoda umożliwia zawsze znalezienie ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania, jeśli znane jest ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego.
Pozwalać
I
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania (2). Zatem ogólnym rozwiązaniem tego równania jest
, Gdzie 
I
są dowolnymi stałymi. Istotą metody wariacji dowolnych stałych jest poszukiwanie ogólnego rozwiązania równania (1) w postaci
Gdzie
I
- nowe nieznane funkcje do znalezienia. Ponieważ istnieją dwie nieznane funkcje, do ich znalezienia potrzebne są dwa równania zawierające te funkcje. Te dwa równania tworzą układ
który jest liniowym układem algebraicznym równań względem
I
. Rozwiązując ten system, znajdujemy
I
. Całkując obie części otrzymanych równości, znajdujemy
I
.
Podstawiając te wyrażenia do (9), otrzymujemy ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania liniowego (1).
Przykład 9
. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.
Rozwiązanie.
Równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego odpowiadające danemu równaniu różniczkowemu to
. Jego korzenie są złożone
,
. Ponieważ
I
, To
,
, a ogólne rozwiązanie równania jednorodnego ma postać Wtedy ogólne rozwiązanie tego niejednorodnego równania będzie poszukiwane w postaci gdzie
I
- nieznane funkcje.
Układ równań do znajdowania tych nieznanych funkcji ma postać
Rozwiązując ten system, znajdujemy
,
. Następnie
,
. Podstawmy otrzymane wyrażenia do ogólnego wzoru rozwiązania:
To jest ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego otrzymane metodą Lagrange'a.
Pytania do samokontroli wiedzy
Które równanie różniczkowe nazywamy liniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach?
Które liniowe równanie różniczkowe nazywamy jednorodnym, a które niejednorodnym?
Jakie są właściwości liniowego równania jednorodnego?
Jakie równanie nazywa się charakterystycznym dla liniowego równania różniczkowego i jak je uzyskać?
W jakiej postaci jest ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach zapisywanych w przypadku różnych pierwiastków równania charakterystycznego?
W jakiej postaci jest zapisane ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach w przypadku równych pierwiastków równania charakterystycznego?
W jakiej postaci jest zapisywane ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach w przypadku pierwiastków zespolonych równania charakterystycznego?
Jak zapisuje się ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania?
W jakiej postaci szuka się konkretnego rozwiązania niejednorodnego równania liniowego, jeśli pierwiastki równania charakterystycznego są różne i nie są równe zeru, a prawa strona równania jest wielomianem stopnia M?
W jakiej postaci szuka się konkretnego rozwiązania niejednorodnego równania liniowego, jeśli wśród pierwiastków równania charakterystycznego jest jedno zero, a prawa strona równania jest wielomianem stopnia M?
Na czym polega istota metody Lagrange'a?
Równania różniczkowe drugiego rzędu
§1. Metody obniżania rzędu równania.
Równanie różniczkowe drugiego rzędu ma postać:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( lub Różniczkowy" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Równanie różniczkowe drugiego rzędu). Problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego drugiego rzędu (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Niech równanie różniczkowe drugiego rzędu będzie wyglądało następująco: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Zatem równanie drugiego rzędu https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rozwiązując go, otrzymujemy całkę ogólną pierwotnego równania różniczkowego zależną od dwóch dowolnych stałych: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.
Rozwiązanie.
Ponieważ w oryginalnym równaniu nie ma wyraźnego argumentu https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.
Ponieważ https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
Niech równanie różniczkowe drugiego rzędu będzie wyglądało następująco: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src =">..gif" width="150" height="25 src=">.
Przykład 2 Znajdź ogólne rozwiązanie równania: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src=">.gif" width="183" height="36 src=">.
3. Rząd stopnia jest zmniejszany, jeśli można go przekształcić do takiej postaci, że obie części równania stają się pochodnymi całkowitymi zgodnie z https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" szerokość="282" wysokość="25 źródło=">, (2.1)
gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> dane są funkcje ciągłe w przedziale, w którym szuka się rozwiązania. Zakładając a0(x) ≠ 0, podziel przez (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)
Załóż bez dowodu, że (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " 25 src=">, wówczas równanie (2.2) nazywamy jednorodnym, aw innym przypadku równanie (2.2) niejednorodnym.
Rozważmy własności rozwiązań lodu II rzędu.
Definicja. Liniowa kombinacja funkcji https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
następnie ich liniowa kombinacja https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> w (2.3) i pokazać, że wynikiem jest tożsamość:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
Ponieważ funkcje https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> są rozwiązaniami równania (2.3), to każdy z nawiasów w ostatnie równanie jest identycznie równe zeru, co należało udowodnić.
Konsekwencja 1. Wynika to z udowodnionego twierdzenia na https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> – rozwiązanie równania (2..gif " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> nazywamy liniowo niezależną w pewnym przedziale, jeśli żadna z tych funkcji nie jest reprezentowana jako liniowa kombinacja wszystkich inni.
W przypadku dwóch funkcji https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, czyli.gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Zatem wyznacznik Wronsky'ego dla dwóch liniowo niezależnych funkcji nie może być identycznie równy zeru.
Niech https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> spełnij równanie (2..gif" width="42" height="25 src = "> – rozwiązanie równania (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> jest identyczne.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, w którym wyznacznik dla liniowo niezależnych rozwiązań równania (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Oba czynniki po prawej stronie wzoru (3.2) są niezerowe.
§4. Struktura rozwiązania ogólnego lod drugiego rzędu.
Twierdzenie. Jeśli https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">jest rozwiązaniem równania (2.3), wynika z twierdzenia o własnościach rozwiązań lodu drugiego rzędu..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Stałe https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> z tego układu liniowych równań algebraicznych są jednoznacznie określone, ponieważ ten system to https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Zgodnie z poprzednim akapitem ogólne rozwiązanie lodu drugiego rzędu można łatwo wyznaczyć, jeśli znane są dwa liniowo niezależne rozwiązania cząstkowe tego równania. Prosta metoda dla znalezienia częściowych rozwiązań równania o stałych współczynnikach zaproponowanych przez L. Eulera..gif" width="25" height="26 src=">, otrzymujemy równanie algebraiczne, które nazywa się cechą:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> będzie rozwiązaniem równania (5.1) tylko dla tych wartości k to są pierwiastki charakterystycznego równania (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> i rozwiązanie ogólne (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Sprawdź, czy ta funkcja spełnia równanie (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Podstawiając te wyrażenia do równanie (5.1), otrzymujemy
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, ponieważ.gif" width="137" height="26 src=" >.
Prywatne rozwiązania https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> są liniowo niezależne, ponieważ.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height=" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Oba nawiasy po lewej stronie tej równości są identycznie równe zeru..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> to rozwiązanie równania (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> będzie wyglądać następująco:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
reprezentowane jako suma rozwiązania ogólnego https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
a każde konkretne rozwiązanie https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> będzie rozwiązaniem równania (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Ta równość jest tożsamością, ponieważ..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Dlatego.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= „138” height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> to liniowo niezależne rozwiązania tego równania. Zatem:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, a taki wyznacznik, jak widzieliśmy powyżej, jest różny od zera..gif" width="19" height="25 src="> z układu równań (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> będzie rozwiązaniem równania
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> do równania (6.5), otrzymujemy
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> równania (7.1) w przypadku, gdy prawa strona f(x) ma specjalne Metoda ta nazywana jest metodą współczynników nieoznaczonych i polega na wyborze określonego rozwiązania w zależności od postaci prawej strony funkcji f(x). Rozważmy prawą stronę następującej postaci:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> może wynosić zero. Wskażmy, w jakiej formie należy w tym przypadku przyjąć dane rozwiązanie.
a) Jeśli numer to https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 źródło =">.
Rozwiązanie.
Dla równania https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.
Obie części skracamy o https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> w lewej i prawej części równości
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Z otrzymanego układu równań znajdujemy: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> oraz ogólne rozwiązanie podanego równanie to:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Rozwiązanie.
Odpowiednie równanie charakterystyczne ma postać:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Wreszcie mamy następujące wyrażenie na rozwiązanie ogólne:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> doskonałe od zera. Wskażmy w tym przypadku postać konkretnego rozwiązania.
a) Jeśli numer to https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> jest pierwiastkiem charakterystycznego równania dla równania (5..gif" szerokość ="229 "wysokość="25 źródło=">,
gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Rozwiązanie.
Korzenie charakterystycznego równania dla równania https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" wysokość="25 źródło=">.
Prawa strona równania podanego w przykładzie 3 ma specjalną postać: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Aby zdefiniować https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > i podstawiamy do podanego równania:
Wprowadzanie podobnych warunków, zrównywanie współczynników na https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 źródło=">.
Ostateczne ogólne rozwiązanie podanego równania to: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> odpowiednio, a jeden z tych wielomianów może być równy zeru. Wskażmy postać konkretnego rozwiązania w tym ogólnym sprawa.
a) Jeśli liczba to https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Jeśli liczba to https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, to konkretne rozwiązanie będzie wyglądać następująco:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. W wyrażeniu (7..gif" width="121" height= " 25 źródło = ">.
Przykład 4 Wskaż typ konkretnego rozwiązania równania
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Ogólne rozwiązanie lod ma postać:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Dalsze współczynniki https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > istnieje szczególne rozwiązanie dla równania z prawą stroną f1(x) i Wariacją" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">wariacjami dowolnych stałych (metoda Lagrange'a).
Bezpośrednie znalezienie konkretnego rozwiązania prostej, z wyjątkiem przypadku równania o stałych współczynnikach, a ponadto ze specjalnymi stałymi wyrazami, nastręcza wielkie trudności. Dlatego, aby znaleźć ogólne rozwiązanie linii, zwykle stosuje się metodę wariacji dowolnych stałych, która zawsze umożliwia znalezienie ogólnego rozwiązania prostej w kwadraturach, jeśli podstawowy układ rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego jest znana. Ta metoda jest następująca.
Zgodnie z powyższym ogólnym rozwiązaniem liniowego równania jednorodnego jest:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nie stała, ale niektóre, jeszcze nieznane, funkcje f(x). . należy wziąć z przedziału. W rzeczywistości w tym przypadku wyznacznik Wronsky'ego jest niezerowy we wszystkich punktach przedziału, czyli w całej przestrzeni jest pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego..gif" width="20" height="25 src="> liniowo niezależne rozwiązania szczególne postaci :
W ogólnym wzorze rozwiązania ten pierwiastek odpowiada wyrażeniu postaci.
W niektórych problemach fizyki nie można ustalić bezpośredniego związku między wielkościami opisującymi proces. Istnieje jednak możliwość uzyskania równości zawierającej pochodne badanych funkcji. Tak powstają równania różniczkowe i konieczność ich rozwiązywania w celu znalezienia nieznanej funkcji.
Ten artykuł jest przeznaczony dla tych, którzy mają problem z rozwiązaniem równania różniczkowego, w którym nieznana funkcja jest funkcją jednej zmiennej. Teoria jest zbudowana w taki sposób, że przy zerowym zrozumieniu równań różniczkowych można wykonywać swoją pracę.
Każdy typ równań różniczkowych jest powiązany z metodą rozwiązania ze szczegółowymi wyjaśnieniami i rozwiązaniami typowych przykładów i problemów. Musisz tylko określić typ równania różniczkowego swojego problemu, znaleźć podobny analizowany przykład i przeprowadzić podobne działania.
Aby z powodzeniem rozwiązywać równania różniczkowe, będziesz potrzebować również umiejętności znajdowania zbiorów funkcji pierwotnych (całek nieoznaczonych) różnych funkcji. W razie potrzeby zalecamy zapoznanie się z sekcją.
Najpierw rozważ typy równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, które można rozwiązać w odniesieniu do pochodnej, następnie przejdziemy do ODE drugiego rzędu, następnie zajmiemy się równaniami wyższego rzędu i zakończymy na układach równań różniczkowych.
Przypomnijmy, że jeśli y jest funkcją argumentu x .
Równania różniczkowe pierwszego rzędu.
Najprostsze równania różniczkowe pierwszego rzędu postaci .
Zapiszmy kilka przykładów takiego DE 
.
Równania różniczkowe 
można rozwiązać ze względu na pochodną, dzieląc obie strony równości przez f(x) . W tym przypadku dochodzimy do równania , które będzie równoważne pierwotnemu dla f(x) ≠ 0 . Przykładami takich ODE są .
Jeśli istnieją wartości argumentu x, dla których funkcje f(x) i g(x) jednocześnie znikają, to pojawiają się dodatkowe rozwiązania. Dodatkowe rozwiązania równania 
dane x to dowolne funkcje zdefiniowane dla tych wartości argumentów. Przykładami takich równań różniczkowych są .
Równania różniczkowe drugiego rzędu.
Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.
LODE ze stałymi współczynnikami jest bardzo powszechnym rodzajem równań różniczkowych. Ich rozwiązanie nie jest szczególnie trudne. Najpierw znajdują się pierwiastki równania charakterystycznego 
. Dla różnych p i q możliwe są trzy przypadki: pierwiastki równania charakterystycznego mogą być rzeczywiste i różne, rzeczywiste i pokrywające się 
lub złożony koniugat. W zależności od wartości pierwiastków równania charakterystycznego ogólne rozwiązanie równania różniczkowego jest zapisywane jako 
, Lub 
lub odpowiednio.
Rozważmy na przykład liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Pierwiastki jego charakterystycznego równania to k 1 = -3 i k 2 = 0. Pierwiastki są rzeczywiste i różne, dlatego ogólne rozwiązanie LDE ze stałymi współczynnikami to
Liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.
Ogólne rozwiązanie drugiego rzędu LIDE ze stałymi współczynnikami y jest poszukiwane jako suma ogólnego rozwiązania odpowiedniego LODE 
oraz szczególne rozwiązanie pierwotnego równania niejednorodnego, czyli . Poprzedni akapit poświęcony jest znalezieniu ogólnego rozwiązania jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. A konkretne rozwiązanie jest określane albo metodą nieokreślonych współczynników dla pewnej postaci funkcji f(x) , stojącej po prawej stronie pierwotnego równania, albo metodą wariacji dowolnych stałych.
Jako przykłady LIDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami przedstawiamy
Aby zrozumieć teorię i zapoznać się ze szczegółowymi rozwiązaniami przykładów, oferujemy na stronie liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.
Liniowe jednorodne równania różniczkowe (LODE) 
oraz liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu (LNDE).
Szczególnym przypadkiem tego typu równań różniczkowych są LODE i LODE ze stałymi współczynnikami.
Ogólne rozwiązanie LODE na pewnym przedziale jest reprezentowane przez liniową kombinację dwóch liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych y 1 i y 2 tego równania, to znaczy 
.
Główna trudność polega właśnie na znalezieniu liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych tego typu równań różniczkowych. Zazwyczaj poszczególne rozwiązania wybierane są z następujących układów funkcji liniowo niezależnych:
Nie zawsze jednak poszczególne rozwiązania są prezentowane w tej formie.
Przykładem LODU jest 
.
Ogólne rozwiązanie LIDE jest poszukiwane w postaci , gdzie jest ogólnym rozwiązaniem odpowiedniego LODE i jest szczególnym rozwiązaniem pierwotnego równania różniczkowego. Właśnie rozmawialiśmy o znalezieniu, ale można to ustalić za pomocą metody wariacji dowolnych stałych.
Przykładem LNDE jest 
.
Równania różniczkowe wyższego rzędu.
Równania różniczkowe dopuszczające redukcję rzędu.
Rząd równań różniczkowych 
, który nie zawiera żądanej funkcji i jej pochodnych do rzędu k-1, można sprowadzić do n-k przez zastąpienie .
W tym przypadku oryginalne równanie różniczkowe sprowadza się do . Po znalezieniu rozwiązania p(x) pozostaje powrót do zamiany i wyznaczenie nieznanej funkcji y .
Na przykład równanie różniczkowe 
po zamianie staje się równaniem rozdzielnym, a jego kolejność zmniejsza się od trzeciego do pierwszego.
