Symetria jako kryterium piękna zewnętrznego. Asymetria twarzy: przyczyny zaburzeń patologicznych i metody ich korygowania

)
data: 2017-10-17 Wyświetlenia: 18 963 Gatunek: 5.0

Cel szkolenia: skorygować asymetrię twarzy w 3 punktach (brwi, oczy, usta).

Ludzka twarz nie jest symetryczna, tak samo jak ciało i nie ma w tym nic dziwnego.

Jednak zdarzają się przypadki, gdy asymetria twarzy jest wyraźna i powoduje dyskomfort psychiczny. Od razu zastrzegam, że nie wszystkie rodzaje asymetrii da się skorygować za pomocą ćwiczeń.

Asymetrii nie można skorygować ćwiczeniami, jeśli:

• jest to spowodowane deformacjami kości;
• deformacje patologiczne;
• bardzo „stare” zapalenie nerwu twarzowego;
• w niektórych przypadkach skutki zastrzyków z botoksu, tzw. efekt uboczny.

Przyczyny asymetrii

Również asymetria twarzy w dużej mierze zależy od stanu twojego ciała. O relacji między twarzą a ciałem.

Jednym słowem przy skoliozie, lordozie, zniekształceniach miednicy i innych zmianach w układzie ruchu dochodzi do asymetrii i jej korygowanie należy zacząć od pięt!

Ale ASYMETRIA może być wynikiem nadmiernej mimiki, wybryków twarzy i nawyków behawioralnych. Wszystko to ujawnia się na przykład po dokładnym przyjrzeniu się swojej twarzy na filmie.

Uśmiechanie się, mówienie, żucie tylko z jednej strony lub ciągłe unoszenie jednej z brwi. Pamiętasz istnienie pamięci mięśniowej? A ona pamięta o tobie i cały czas podciąga aktywną brew do góry, a jedno oko robi mniej wizualnie.

Jak mierzyć asymetrię?

Jak sprawdzić symetrię twarzy? Potrzebujesz zdjęcia! Odsuń włosy od twarzy, poproś o zrobienie zdjęcia. Zdjęcie jest jak paszport: nie uśmiechamy się, nie staramy się wyglądać fajnie na zdjęciu.

Bierzemy linijkę i rysujemy poziomą linię nad oczami (w źrenicach), nad brwiami, nad ustami. Zacznij od oczu. W końcu nasza wewnętrzna poziomica (poziomica) dąży do horyzontu właśnie w okolicy oczu, dzięki czemu można płynnie chodzić i nie spaść.

A teraz patrzymy na 3 wynikowe linie. Być może jedna brew będzie wyższa, a druga niższa, kąciki ust mogą nie znajdować się na tej samej linii.

Pamiętaj, że istnieją dopuszczalne wartości asymetrii i jest to całkowicie naturalne i nie wymaga regulacji.

Tam, gdzie są odchylenia od horyzontu, trzeba popracować mięśniami, a niektórym wystarczy skorygowanie stereotypów behawioralnych i wszystko ułoży się na twarzy.

Ćwiczenia na twarz z asymetrią

Przejdźmy do ćwiczeń.Nawiasem mówiąc, można je łączyć z dowolnym kompleksem:,. Po prostu dodaj je do swojego programu treningowego. Na przykład wykonując, a następnie wykonuj ćwiczenia, aby skorygować asymetrię tej samej strefy.

W przykładzie rozważam opcję korygowania jednostronnej asymetrii twarzy, gdy część twarzy położona niżej względem połowy działa gorzej, mniej to odczuwasz! Na przykład lewa brew, lewe oko, lewy kącik ust są niższe niż po prawej stronie twarzy – taka asymetria nazywana jest JEDNOSTRONNĄ.

Asymetria twarzy może być ukośna, złożona. W takich przypadkach lepiej jest dobierać ćwiczenia indywidualnie.

Zalecane 30 powtórzeń, na ostatnim koncie opóźnienie statyczne 5 sekund. Trening opiera się na realizacji „BASE” – ćwiczeń podstawowych z dodatkiem ćwiczeń specjalnych korygujących asymetrię danej strefy.

Czoło. Korekta brwi

Ćwiczenie nr 1: Unoszenie brwi w górę

To jest podstawowe ćwiczenie. Kiedy to robisz, zwróć uwagę na brwi? Który rośnie gorzej? Które czujesz mniej?

Połóż palce na brwiach. Unieś brwi z wysiłkiem, oprzyj się palcami. Upewnij się, że podczas ćwiczenia nie ma poziomych zmarszczek na czole, spróbuj rozluźnić i opuścić ramiona, mocno umocuj skórę nad brwiami. Po zakończeniu ćwiczenia dotknij czoła palcami.

Przejdźmy do zestawu ćwiczeń do korygowania różnych pozycji wysokości brwi:

Ćwiczenie nr 2: naprzemiennie unosząc brwi

Na czole, nad brwiami, umieść palce i paliczki, lekko przytrzymując skórę, aby nie gromadziła się w fałdach. Teraz unoś brwi naprzemiennie: potem w lewo, potem w prawo.

Poczuj, która z brwi unosi się gorzej lub gdy unosi jedną z brwi, pojawia się napięcie i dyskomfort. Brwi, która unosi się gorzej, należy wyciągnąć o 2 liczby: 1-uniesiona, 2-rozciągnięta. Po zakończeniu ćwiczenia dotknij czoła palcami.

Ćwiczenie nr 3: uniesienie jednej brwi

Gdy już znajdziesz brew, która pracuje gorzej i jest położona niżej, trzeba ją „wytrenować” osobno.

Naprawiamy brew, która znajduje się powyżej, ręką, a drugą podnosimy do góry, trzymając skórę nad brwią paliczkami palców, aby nie gromadziła się w fałdach. Po zakończeniu ćwiczenia dotknij czoła palcami.

Oczy

Ogólne wideo:

Ćwiczenie nr 1: wzmocnienie górnej powieki

To jest podstawowe ćwiczenie. Podczas wykonywania śledź odczucia pod palcami wskazującymi, pod jednym z palców występuje pulsacja, drżenie mięśnia będzie mniej wyraźne. Kiedy zamkniesz to oko, spróbuj nieco mocniej nacisnąć dolną powiekę górną powieką. WAŻNY! Nie naciskaj mocno palcami i nie rozciągaj skóry w różnych kierunkach!

Przytrzymujemy kąciki oczu palcami i przy odrobinie wysiłku zamykamy oczy, naciskając górną powiekę na dolną. Staraj się utrzymać brwi na miejscu i nie pełzać za górną powieką, rozluźnij czoło. Wtedy otwieramy oczy. Po wykonaniu ćwiczenia mrugnij oczami.

Ćwiczenie nr 2: naprzemienna praca oczu

Zamknijmy oczy jeden po drugim. Palec wskazujący i środkowy wkładamy w kąciki oczu, nie naciskamy ani nie ciągniemy skóry. Zamykamy kolejno oczy: lewe, prawe, lewe… Kiedy zamykasz jedno oko, drugie musi być otwarte. Pamiętaj, aby rozluźnić czoło, aby brew nie opadała wraz z górną powieką. Po wykonaniu ćwiczenia mrugnij oczami.

Kąciki ust

Ogólne wideo:

Ćwiczenie nr 1: pomaga unieść opadające kąciki ust

To jest podstawowe ćwiczenie. Palce mocują strefę nosowo-wargową (od kącika ust do nozdrza). Unosimy kąciki ust do góry, jakbyśmy się uśmiechali, palcami stawiamy opór, ruch kącików ust idzie w górę pod oczy, podczas gdy środek ust jest rozluźniony. Staraj się nie „przejeżdżać” palcami po twarzy; podczas podnoszenia kącik ust spoczywa na palcach.

Ćwiczenie nr 2 naprzemiennie unosząc kąciki ust

Palce mocują strefę nosowo-wargową (od kącika ust do nozdrza). KOLEJNIE podnosimy kąciki ust do góry, jakby uśmiechając się jednym kącikiem ust, stawiamy opór palcami, ruch kącików ust idzie w górę pod oczy, natomiast środek ust jest rozluźniony. Staraj się nie „przejeżdżać” palcami po twarzy; podczas podnoszenia kącik ust spoczywa na palcach.

Ćwiczenie nr 3 podnosząc jeden róg wargi

Palcami naprawiamy strefę nosowo-wargową (od kącika ust do nozdrza) od strony kącika ust, który znajduje się poniżej. Po prostu naprawiamy przeciwległy kącik ust dłonią, aby nie angażował się w pracę. Unosimy kącik ust do góry, jakby uśmiechając się jednym kącikiem ust, stawiamy opór palcami, ruch kącika ust idzie w górę pod oko, natomiast środek ust jest rozluźniony. Staraj się nie „przejeżdżać” palcami po twarzy; podczas podnoszenia kącik ust spoczywa na palcach.

PS Opracowuję indywidualne programy szkoleniowe z budowania Facebooka, prowadzę zajęcia przez Skype. Jeśli jesteś zainteresowany -

Ustanowienie asymetrii twarzy stało się pewnego rodzaju sensacją, ponieważ asymetria rzadko jest widoczna. Okazało się, że ludzie różnią się stopniem asymetrii tak samo, jak rysami twarzy. Potwierdziły to nie tylko pomiary, ale także porównanie portretów składających się ze zdjęć prawej i lewej połówki (jedna z nich musi być przy druku odwrócona do góry nogami) ze zwykłym portretem osoby wykonanym dokładnie z przodu. Dostajesz zupełnie inne twarze.

Nie ma idealnej symetrii na świecie. Błędem jest uważać symetrię twarzy za niezbędny warunek jej piękna. Mieszanka dziedzicznych cech nie może nie odbijać się na twarzy dziecka. Aby ocenić piękno twarzy, ważna jest kombinacja cech i lekka asymetria, która zresztą jest nieodłączna dla twarzy wszystkich ludzi i wcale nie umniejsza walorów portretu. Nawet w rzeźbach Wenus z Milo i Apolla Belwederskiego ich twarze nie mają pełnej symetrii. Nie bez powodu możemy powiedzieć, że nie ma ani jednej osoby o niezaprzeczalnej ścisłej symetrii prawej i lewej połowy. Prawdopodobnie dlatego Klaudiusz Galen napisał, że „prawdziwe piękno wyraża się w doskonałości celu i że pierwszym celem wszystkich części jest celowość konstrukcji”. Niewątpliwie miał rację P.F. Lesgaft pisząc, że „wraz z harmonijnym rozwojem wszystkich mięśni i grup mięśniowych twarz traciłaby swój określony wyraz. Indywidualność rysów twarzy uzyskuje się dzięki częstemu używaniu odpowiednich mięśni.

Michelle Monaghan

Tak więc należy uznać za fakt asymetrię twarzy, czyli nierówność jej prawej i lewej połówki: jedna z nich jest z reguły szersza, druga węższa, jedna wyższa, druga niższa . Przyczyną asymetrii jest w większości przypadków nierówność elementów konstrukcyjnych kości czaszki. Na twarzy osoby wzrost asymetrii wynika ze specyfiki mimiki twarzy (asymetria fizjologiczna).

Naomi Watts

Istnieją prace naukowe, w których naukowcy identyfikują następujące wzorce asymetrii twarzy. Jeśli jedna połowa twarzy jest wyższa, to jest również węższa. W tym przypadku brew znajduje się wyżej niż na przeciwległej, szerszej połowie twarzy, szpara powiekowa jest większa. Oko jako całość wydaje się skierowane ku górze. Lewa połowa twarzy jest zwykle wyższa niż prawa. Wielu autorów nadal uważa, że ​​prawa połowa twarzy jest większa niż lewa, bardziej wysunięta i wyraża męskość. Lewa połowa jest generalnie bardziej miękka, odzwierciedlając cechy kobiecości.

Kate Bosworth

Asymetria twarzy jest od dawna obserwowana jako odzwierciedlenie ogólnej asymetrii ciała. Podejmowano próby odtworzenia twarzy na portrecie z dokładnej połowy fotografii i jej lustrzanego odbicia. Prawa i lewa połowa dawały różne obrazy. Nie pasowały do ​​oryginału. Asymetria mimiczna, choć nakłada się na dysproporcje prawej i lewej połowy czaszki, ma też swoje cechy charakterystyczne. Stwierdzono, że regulacja nerwowa prawych mięśni mimicznych jest bogatsza, łatwiej odtwarzane są ruchy głowy i oczu w prawo. Nawet mrużenie prawego oka jest bardziej nawykowe.

Kandydat nauk medycznych, chirurg plastyczny”

Już w XV wieku Leonardo da Vinci stworzył rysunki przedstawiające „boskie” proporcje ludzkiej twarzy i ciała, które nadal są standardem (ryc. 1). Jednak proporcje te nie uwzględniają faktu, że w żywej naturze nie istnieją obiekty absolutnie symetryczne: w każdym z nich zawsze występuje jedność symetrii i asymetrii.

Ryż. jeden.

W całej historii ludzie próbowali „mierzyć” piękno, opisywać je za pomocą wzorów matematycznych lub proporcji geometrycznych, umożliwiając w ten sposób jego odtworzenie. Tak więc w starożytnej Grecji porządek i harmonia obserwowane w przyrodzie były personifikowane w lśniących obrazach bogów i bogiń, uwiecznionych w pięknych posągach.

Według greckich rzeźbiarzy symetria charakteryzuje harmonię, proporcjonalność, harmonię ciał naturalnych i ciała ludzkiego. Dlatego pojęcia symetrii i piękna są identyczne. Wystarczy przypomnieć ściśle symetryczną budowę zabytków architektury, regularnie powtarzające się wzory tradycyjnych ornamentów, zadziwiającą harmonię waz greckich (ryc. 2).

Fakt asymetrii twarzy i ciała człowieka był znany artystom i rzeźbiarzom starożytnego świata i był przez nich wykorzystywany do nadawania wyrazistości i duchowości tworzonym dziełom.

Uderzającym przykładem asymetrii jest twarz Wenus z Milo (ryc. 3). Zwolennicy symetrii krytykowali asymetrię form tego powszechnie uznawanego standardu kobiecej urody, uważając, że twarz Wenus byłaby piękniejsza, gdyby była symetryczna. Jednak patrząc na złożone ujęcia, widzimy, że tak nie jest.

Samo pojęcie „symetrii” jest bezpośrednio związane z harmonią. Pochodzi od starożytnego greckiego słowa συμμετρία (proporcjonalność) i oznacza coś harmonijnego i proporcjonalnego w obiekcie. Pojęcie „lustrzanej” symetrii ma zastosowanie do osoby. Ta symetria jest głównym źródłem naszego estetycznego zachwytu nad proporcjonalnym ciałem człowieka.

Taka symetria jest nie tylko piękna, ale i funkcjonalna. Tak więc symetryczne kończyny ułatwiają poruszanie się w przestrzeni, położenie oczu – aby stworzyć prawidłowy obraz wizualny, płaska przegroda nosowa zapewnia odpowiednie oddychanie. Jednak symetria żywych organizmów nie przejawia się z matematyczną dokładnością z powodu nierównomiernego rozwoju i funkcji.

Symetria twarzy i standardy piękna

Z biegiem czasu zmieniły się standardy piękna, ale zasady i parametry określające proporcje i proporcje twarzy, a tym samym jej atrakcyjność, zostały zachowane od czasów starożytnych. Aby twarz była harmonijna, jej różne części muszą być ze sobą powiązane w określonej proporcji, za pomocą której osiąga się ogólną równowagę. Żadna część twarzy nie istnieje ani nie funkcjonuje w oderwaniu od pozostałych. Każda zmiana w jakiejkolwiek konkretnej części twarzy będzie miała prawdziwy lub pozorny wpływ na postrzeganie innych części i twarzy jako całości.

To naturalne wszystkie proporcje ludzkiej twarzy mają tylko przybliżoną wartość dla jej estetyki z kilku powodów:

• Po pierwsze, proporcje twarzy różnią się w zależności od wieku, płci, rozwoju fizycznego osoby i są w dużej mierze zdeterminowane indywidualnymi cechami budowy.
• Po drugie, ocena proporcjonalności staje się bardziej skomplikowana w zależności od pozycji głowy.
• Trzecia trudność polega na asymetrii ludzkiej twarzy, która często objawia się kształtem nosa, położeniem szpar powiekowych i brwi oraz położeniem kącików ust. Obie strony twarzy nie dają tego samego lustrzanego odbicia, nawet jeśli twarz jest postrzegana przez nas jako idealnie poprawna.

Tak więc fakt asymetrii twarzy, wyrażający się nierówną prawą i lewą połową, z których jedna jest z reguły szersza i wyższa, a druga węższa i niższa, jest dziś powszechnie uznawany.

Ze zdjęć przedstawionych na ryc. 4 widać, że twarze absolutnie symetryczne wyraźnie różnią się od pierwotnego wizerunku twarzy z naturalną asymetrią. Naszym zdaniem „syntetyczny” symetryczne twarze nie są tak atrakcyjne, jak na oryginalnych fotografiach, choć do stworzenia portretów kompozytowych wybraliśmy twarze aktorów, których wygląd oceniany jest najwyżej. Co więcej, to właśnie te twarze mają bardziej wyraźną symetrię niż obserwuje się to u większości ludzi, ale niewielka asymetria tylko podkreśla ich atrakcyjność.

Piękno w asymetrii?

Czy zatem asymetria tkwiąca w każdym z nas jest naprawdę piękna, czy nie? Jest całkiem oczywiste, że nie uważamy za atrakcyjne znaczących naruszeń symetrii w strukturze twarzy. Jednak niewielkie odchylenia od symetrii nie wprowadzają dysharmonii, a jedynie korzystnie podkreślają indywidualność.

Większość pacjentów, którzy zwracają się do chirurga plastycznego, nie zauważa asymetrii proporcji twarzy i ciała. Dlatego jednym z ważnych zadań chirurga podczas konsultacji jest zwrócenie uwagi pacjenta na cechy jego proporcji, szczegółowe opisanie nadchodzących zmian w wyniku operacji. Korektę asymetrii twarzy znacznie ułatwia zastosowanie metod małoinwazyjnych, takich jak i.

Tak więc wyraźna asymetria jest zwykle uważana za nieestetyczną iw takich przypadkach chęć uzyskania bardziej symetrycznego wyglądu jest całkiem naturalna i może służyć jako wskazanie do operacji plastycznej. Jednak niewielka asymetria twarzy czyni ją atrakcyjną i indywidualną, dlatego nie należy dążyć do absolutnej symetrii.

Symetria i proporcjonalność są ważnymi składnikami zewnętrznego piękna osoby, aw niektórych przypadkach wskaźnikami zdrowia. Ale nie każdy wie, jak ocenić proporcje i symetrię swojej twarzy i ciała. Właśnie o tym będzie mowa.

Czy długi nos w ogóle nie może zepsuć wyglądu? Zdecydowanie tak. Jeśli nos jest proporcjonalny do twarzy.

Aby ocenić proporcje twarzy, należy podejść do lustra i zmierzyć trzy odległości:
od granicy wzrostu włosów na czole do grzbietu nosa
od nasady nosa do górnej wargi
od górnej wargi do brody.

Jeśli są równe, jesteś szczęśliwym posiadaczem proporcjonalnej twarzy.

Jeśli nie, to jest dysproporcja, która wcale nie jest powodem do przygnębienia. Po pierwsze może to być pewna atrakcyjność i oryginalność twarzy, a po drugie proporcje można zmienić.

Zwiększenie lub zmniejszenie pierwszej odległości można osiągnąć za pomocą fryzur, a także nadać brwiom określony kształt. Druga odległość jest prawie zawsze korygowana poprzez zmianę długości nosa. Odpowiednio dobrana pomadka lub trwalszy środek - powiększenie ust - może wizualnie wpłynąć na trzeci dystans.

Łatwo też ocenić symetrię twarzy. Należy zwrócić uwagę na położenie i kształt sparowanych struktur anatomicznych: brwi, oczu, uszu, fałdów nosowo-wargowych.

Jeśli znajdują się na tym samym poziomie i mają ten sam kształt, twarz jest symetryczna. Symetria twarzy jest bardzo ważna nie tylko z estetycznego punktu widzenia. Nagłe naruszenie jest ważnym objawem diagnostycznym w wielu poważnych chorobach neurologicznych.

Proporcje ciała najłatwiej jest ocenić na podstawie jego objętości: objętości klatki piersiowej, talii i bioder.

U proporcjonalnie złożonego mężczyzny dominuje objętość klatki piersiowej. Geometrycznie ideałem męskiej sylwetki jest odwrócony trójkąt równoramienny.

W proporcjonalnej kobiecej sylwetce objętości klatki piersiowej i bioder są w przybliżeniu równe sobie. A talia powinna być o 1/3 mniejsza niż te dwa tomy. Wystarczy przypomnieć znany standard: 90 cm -60 cm -90 cm. Jednak stosunek 120 cm-80 cm-120 cm jest nie mniej proporcjonalny. Geometrycznym wyrazem ideału jest kształt klepsydry.

Wizualnie pożądane proporcje uzyskuje się poprzez ubranie, bieliznę gorsetową, określone ćwiczenia fizyczne. Istnieją jednak problematyczne obszary, które są dość trudne do skorygowania, na przykład osławione „bryczesy” - górna część bocznych powierzchni ud. Tutaj może pomóc liposukcja.

Symetria ciała jest również oceniana przez sparowane formacje. Obojczyki, sutki, łopatki, kolce biodrowe przednie górne, fałdy pośladkowe powinny znajdować się na tym samym poziomie.

Warto wiedzieć, że widoczne naruszenie symetrii ciała jest zawsze powodem do dokładnego zbadania narządu ruchu.

Ogólnie rzecz biorąc, oceniając swój wygląd według dowolnego parametru, czy to proporcjonalności, symetrii, czy czegoś innego, nie musisz być zbyt wybredny.

Pewne cechy, niedoskonałości, dysproporcje – to nas wyróżnia, a przez to czyni nas wyjątkowymi.

Nie zrozumiemy jeszcze, czy naprawdę istnieje absolutnie symetryczna osoba. Każdy będzie miał oczywiście pieprzyk, kosmyk włosów lub inny szczegół, który załamie zewnętrzną symetrię. Lewe oko nigdy nie jest dokładnie takie samo jak prawe, a kąciki ust znajdują się na różnych wysokościach, przynajmniej u większości ludzi. To jednak tylko drobne niekonsekwencje. Nikt nie będzie miał wątpliwości, że na zewnątrz osoba jest zbudowana symetrycznie: lewa ręka zawsze odpowiada prawej ręce, a obie ręce są dokładnie takie same! Zatrzymaj się. Warto się tu zatrzymać. Gdyby nasze ręce naprawdę były dokładnie takie same, moglibyśmy je zmienić w dowolnym momencie. Byłoby możliwe, powiedzmy, przeszczepienie lewej ręki do prawej ręki lub, mówiąc prościej, lewa rękawiczka pasowałaby wtedy do prawej ręki, ale w rzeczywistości tak nie jest.

Cóż, oczywiście wszyscy wiedzą, że podobieństwo między naszymi rękami, uszami, oczami i innymi częściami ciała jest takie samo, jak między przedmiotem a jego odbiciem w lustrze. Książka, którą masz przed sobą, poświęcona jest zagadnieniom symetrii i lustrzanego odbicia.

Wielu artystów zwracało baczną uwagę na symetrię i proporcje ludzkiego ciała, przynajmniej do czasu, gdy kierowała nimi chęć jak najwierniejszego naśladowania natury w swoich pracach. Znane są kanony produkcji opracowane przez Albrechta Dürera i Leonarda da Vinci. Zgodnie z tymi kanonami ciało ludzkie jest nie tylko symetryczne, ale także proporcjonalne. Leonardo odkrył, że ciało pasuje do koła i kwadratu. Dürer szukał jednej miary, która byłaby w pewnym stosunku do długości tułowia lub nogi (za taką miarę uważał długość ramienia do łokcia).

We współczesnych szkołach malarstwa pionowy rozmiar głowy jest najczęściej traktowany jako pojedyncza miara. Przy pewnym założeniu możemy założyć, że długość ciała ośmiokrotnie przekracza rozmiar głowy. Na pierwszy rzut oka wydaje się to dziwne. Ale nie wolno nam zapominać, że większość wysokich ludzi wyróżnia się wydłużoną czaszką i odwrotnie, rzadko można znaleźć niskiego grubasa z wydłużoną głową.

Wielkość głowy jest proporcjonalna nie tylko do długości ciała, ale także do wymiarów innych części ciała. Wszyscy ludzie są zbudowani na tej zasadzie, dlatego generalnie jesteśmy do siebie podobni. (Wrócimy do podobieństwa lub podobieństwa za kilka stron.) Jednak nasze proporcje zgadzają się tylko w przybliżeniu, a zatem ludzie są tylko podobni, ale nie tacy sami. W każdym razie wszyscy jesteśmy symetryczni! Ponadto niektórzy artyści w swoich pracach szczególnie podkreślają tę symetrię.

IDEALNA SYMETRIA JEST NUDNA

A w ubraniach człowiek z reguły stara się zachować wrażenie symetrii: prawy rękaw odpowiada lewej, prawa noga odpowiada lewej.

Guziki marynarki i koszuli znajdują się dokładnie pośrodku, a jeśli się od niego oddalają, to w symetrycznych odstępach. Rzadko kiedy kobieta ma odwagę założyć prawdziwie asymetryczną sukienkę (później przekonamy się, jak duże odchylenie od symetrii jest dopuszczalne).

Ale na tle tej ogólnej symetrii w drobnych szczegółach celowo dopuszczamy asymetrię, na przykład czesając włosy z boku - po lewej lub prawej stronie. Lub, powiedzmy, umieszczenie asymetrycznej kieszeni na piersi garnituru, często podkreślonej chusteczką. Lub założenie pierścionka na palec serdeczny tylko jednej ręki. Ordery i odznaki noszone są tylko po jednej stronie klatki piersiowej (częściej po lewej).

Pełna idealna symetria wyglądałaby nieznośnie nudno. To właśnie niewielkie odchylenia od niej nadają charakterystyczne, indywidualne cechy. Słynny autoportret Albrechta Dürera na pierwszy rzut oka wydaje się być absolutnie symetryczny. Ale patrząc uważniej, zauważysz mały asymetryczny szczegół, który nadaje obrazowi żywotność i witalność: pasmo włosów w pobliżu przedziałka.

A jednocześnie czasami ktoś próbuje podkreślić, wzmocnić różnicę między lewą a prawą. W średniowieczu mężczyźni obnosili się kiedyś z pantalonami z nogawkami w różnych kolorach (na przykład jeden czerwony, a drugi czarny lub biały). W dzisiejszych czasach popularne były dżinsy z jasnymi łatami lub kolorowymi plamami. Ale taka moda jest zawsze krótkotrwała. Na długo pozostają tylko taktowne, skromne odchylenia od symetrii.

CZYM JEST PODOBIEŃSTWO?

Często mówimy, że dwie osoby są do siebie podobne. Dzieci zwykle wyglądają jak ich rodzice (przynajmniej według babć). Podobne, ale nie takie same!

Spróbujmy dowiedzieć się, co oznacza podobieństwo lub podobieństwo w matematyce. Na podobnych figurach odpowiednie segmenty są do siebie proporcjonalne. W naszym przypadku możemy sformułować tę sytuację w następujący sposób: podobne nosy mają ten sam kształt, ale mogą różnić się rozmiarem. W takim przypadku każda pojedyncza część nosa (na przykład grzbiet nosa) powinna być proporcjonalna do wszystkich pozostałych.

To prawo podobieństwa jest czasami obarczone haczykiem. Na przykład w takim zadaniu:

Wysokość wieży A wynosi 10 m. W pewnej odległości X od niej znajduje się sześciometrowa wieża B. Jeżeli poprowadzimy linie proste od podstawy i od szczytu wieży A przez szczyt wieży B, to spotkają się one odpowiednio stopą i szczytem wieży C, która ma wysokość 15 m. Jaka jest odległość od wieży A do wieży B?

Wydawałoby się, że do rozwiązania wystarczy wziąć kompas i linijkę. Ale potem okazuje się, że będzie nieskończona liczba odpowiedzi. Innymi słowy, nie może być jednoznacznej odpowiedzi na pytanie o wartość X.

W tej książce często napotkasz problemy, które wymagają zastanowienia. Ma to określone znaczenie pedagogiczne. Takie problemy, nawet jeśli nie mają rozwiązania, takie jak ten zaproponowany powyżej, dotyczą jakiegoś problemu leżącego na granicy naszej wiedzy. W większości są to granice, przed którymi ustępuje słynny „zdrowy rozsądek” i tylko ściśle matematycznie logiczne myślenie w połączeniu z wiedzą przyrodniczą może doprowadzić do właściwej decyzji.

Zwróćmy się ponownie do człowieka: porównując żywe istoty, podobieństwo jest wyraźnie odczuwalne, jeśli ich proporcje są zbieżne. Dlatego dzieci i dorośli mogą być do siebie podobni. Chociaż masa i rozmiar dowolnej części ciała, czy to nosa, czy ust, są różne, ale proporcje podobnych osobników są takie same.

Uderzającym przykładem podobieństwa jest wizualna ocena odległości za pomocą kciuka. W ten sposób wojskowi i marynarze oceniają odległość między dwoma punktami na ziemi lub na morzu, porównując je z szerokością palca lub pięści. W najprostszym przypadku zamykają jedno oko i otwartym okiem patrzą na palec wyciągniętej ręki, używając go jako wzroku.

Podczas celowania kciukiem wyciągniętej ręki (raz lewym okiem i raz prawym) palec „odbija się” o około 6°

Jeśli otworzysz zamknięte wcześniej oko (i zamkniesz drugie), palec przesunie się w bok o widoczną odległość. W stopniach odległość ta wynosi 6°. A poza tym wielkość tego „skoku” (w granicach błędu) jest taka sama dla wszystkich ludzi! Tak więc kompania prawej flanki, facet o wysokości dwóch metrów, a najmniejsza - lewa flanka, mająca zaledwie sześćdziesiąt metrów wzrostu, porównując te „skoki” palca, otrzyma tę samą wartość.

Przyczyna tego zjawiska ostatecznie leży w podobieństwie ludzi i oczywiście w prawach optyki, którym podlega nasz wzrok.

„Reguła pięści” jest również znana - w najbardziej bezpośrednim znaczeniu tego słowa - dla przybliżonego oszacowania wielkości kąta. Jeśli spojrzymy jednym okiem na pięść wyciągniętej dłoni (tym razem tym samym okiem), wówczas szerokość pięści wyniesie 10 °, a odległość między dwiema kośćmi paliczków 3 °. Pięść i kciuk wystające na bok będą miały 15 °. Łącząc te pomiary, możesz w przybliżeniu zmierzyć wszystkie kąty na ziemi.

I na koniec jeszcze jedna miara kątowa naszego ciała, która może się przydać do pracy domowej. Kąt między kciukiem a małym palcem rozłożonej dłoni wynosi 90°. Wydaje się to mało prawdopodobne, ale możesz od razu sprawdzić wszystko samemu, przykładając wyciągnięte palce dłoni do rogu naszej książki. Umieść mały palec dokładnie równolegle do jednej krawędzi i przesuwaj wzdłuż niej dłoń, aż kciuk również znajdzie się na dolnej krawędzi. Przekonany?

Oczywiście tutaj błąd okazuje się czasem stosunkowo duży, gdyż w zależności od wieku i rozwoju ręki kciuk można odstawić w różnych odległościach. Ale w przypadku pierwszego testu, który pozwala zdecydować, czy zmierzony kąt znacznie odbiega od linii prostej, ta metoda jest całkiem odpowiednia.

KRAINA LINIOWA I PŁASKA

Ludzie obdarzeni wyobraźnią już dawno zauważyli, że prawa kongruencji, tak surowe dla dwóch wymiarów, w praktyce często wymagają użycia trzeciego wymiaru.

Kiedy stół jest nakryty na wielkie przyjęcie, serwetki są zwykle składane w trójkąt. Ale warto te trójkąty zebrać w stos, jeden na drugim, bo okazuje się, że trójkąty te są dwojakiego rodzaju: jedne od razu „pasują” do siebie, inne trzeba obrócić „na prawą stronę” . Podobny problem pojawia się przy tłoczeniu małych części, gdy ktoś próbuje układać gotowe produkty.

Poeci i pisarze często fantazjują wokół mniej lub bardziej prawdopodobnych sytuacji. Są więc prace, w których życie ukazane jest w przestrzeni dwuwymiarowej (gdzie nie można w żaden sposób odwrócić „serwetki”).

Niektórzy autorzy idą jeszcze dalej i próbują wyobrazić sobie życie w jednowymiarowej przestrzeni, w Krainie Linii – Krainie Kresów. Lineland zamieszkują tylko cienkie drewniane patyki, które w najprostszym przypadku niczym się od siebie nie różnią. Warto jednak dać im głowy (od razu przychodzą na myśl mecze!), a od razu mają dwie możliwości.

Lub wszystkie mecze są zwrócone głowami w jednym kierunku - wtedy ich połączenie nie sprawia trudności. Lub niektóre z zapałek leżą główkami w lewo, a niektóre w prawo. Linelandowski matematyk nie ma praktycznego sposobu na przetłumaczenie dopasowań „lewych” na dopasowania „prawe”. Ale matematyk z Krainy Planu – Płaskolandia, który ma jeszcze jeden wymiar, od razu znajdzie proste rozwiązanie: przekręci zapałkę w samolocie.

Jednak zdaniem niektórych pisarzy życie we Flatlandii też nie jest takie łatwe. Wyobraź sobie, że mieszkańcy tego kraju to małe prostokąty z okiem (a mają tylko jedno oko) w jednym z rogów. Może oczywiście widzieć tylko taki prostokąt na płaszczyźnie i nigdy nie udaje mu się spojrzeć na tę płaszczyznę z góry. Tak więc żaden mieszkaniec Płaszczaków nigdy nie będzie w stanie sobie wyobrazić, jak naprawdę wygląda: do tego potrzebny jest już widok z przestrzeni trójwymiarowej. Domy Płaszczaków byłyby mniej więcej takie same jak na rysunkach dzieci. Z tą różnicą, że drzwi byłyby z boku i otwierałyby się tylko w tej samej płaszczyźnie. Ale zawiasy drzwi musiałyby być wykonane na zewnątrz płaszczyzny, nad lub pod nią. Ponadto potrzebny byłby skomplikowany system podpór, aby zapobiec zawaleniu się ściany domu, gdy jego mieszkańcy będą chcieli otworzyć drzwi. A dwaj Płaszczacy mogliby na siebie patrzeć tylko wtedy, gdyby jeden z nich zdołał stanąć na głowie.

Sytuacja byłaby jeszcze bardziej skomplikowana, gdyby Równinę zamieszkiwały dwa narody. Powiedzmy leworęcznych i praworęcznych Płaszczaków. Namalowanie wszystkich możliwych konsekwencji takiej sytuacji wymaga nie lada wyobraźni, zwłaszcza biorąc pod uwagę, że jesteśmy przyzwyczajeni do myślenia trójwymiarowego!

Ponieważ zarówno Lineland, jak i Flatland były przedstawiane pisarzom w humorystyczny sposób, nic dziwnego, że literatura na ten temat powstała w Anglii.

w 1880 r Pedagog języka angielskiego Edwin Ebony Abbott napisał książkę o Flatlandii i jej mieszkańcach ( Abbott EE Flatland. W: Abbott EE Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlander Abbott, który wpadł we śnie do Linelandu, bezskutecznie próbuje przekonać tamtejszych mieszkańców o istnieniu samolotu.

W toku akcji jednemu z Płaszczaków udaje się poznać trójwymiarową przestrzeń, za co jest uznawany za „najbardziej szalonego z szaleńców”.

Ponad dwadzieścia lat później, w 1907 roku, C. G. Hinton opublikował The Incident in Flatland. W nim dwa ludy Flatlandii toczą wojnę. Ponieważ wszyscy Płaszczanie są zwróceni w tym samym kierunku, jeden z Ludu jest zawsze beznadziejnie zagubiony: nie może zawrócić i uderzyć we właściwym kierunku — znienawidzony wróg ciągle siedzi mu na karku. Ale w końcu dobro zwycięża. Jakiś bystry łeb zauważa, że ​​Płaska Kraina znajduje się na kuli i dlatego biegając wokół niej można przedostać się za linie wroga.

Autor powieści buduje swoją opowieść na milczącym założeniu, że Płaszczacy mogą poruszać się tylko w pewnych ogólnych kierunkach, z wyłączeniem bocznych objazdów, i nie są w stanie obalić wroga nad głową.

Jak widać, wysunięto najbardziej wyrafinowane teorie dotyczące życia w przestrzeni dwuwymiarowej, ale nigdy nie znalazły one zastosowania. Trzeba pomyśleć, że zarówno te książki, jak i ich autorzy zostaliby dawno zapomniani, gdyby Lineland i Flatland nie były tak potrzebne do wyjaśnienia teorii odbicia lustrzanego i gdyby kompilatorzy problemów z bystrym dowcipem nie musieli wielokrotnie zwracać się do Flatland, aby wyodrębnić pomysłów z jego dwuwymiarowości (nawiasem mówiąc, nie tak dawno na Węgrzech powstał film animowany o podróży ucznia Adoljara do Flatlandii).

Między innymi Płaszczacy transportują towary za pomocą platform toczących się w kółko. Za każdym razem, gdy ładunek mija koło, lokalny oficer transportu toczy koło do przodu i umieszcza je przed platformą.

Jest tu wiele ciekawych problemów. Ale nas interesuje tylko jedno: jeśli oś koła porusza się z prędkością 10 m na minutę, z jaką prędkością porusza się ładunek?

O naszym ziemskim samochodzie wiemy, że żadne koło (a dokładniej żadna oś koła) nie może poruszać się szybciej niż cały samochód. Ale w samochodzie po płaskim terenie koło nie jest sztywno połączone z ładunkiem. Myśląc o tym, nietrudno domyślić się, że obciążenie tutaj składa się z dwóch ruchów.

Po pierwsze, porusza się wzdłuż osi obrotu koła (to samo, co w przypadku samochodu). A poza tym ładunek nadal toczy się po obwodzie koła, a jednocześnie z prędkością równą również prędkości obrotowej osi. Dlatego ogólnie ładunek toczy się z dwukrotnie większą prędkością niż koło. Oczywiście ładunek musi poruszać się szybciej, choćby dlatego, że koła są zawsze w tyle i muszą być stale przesuwane do przodu.

Niektórzy czytelnicy pomyślą: „Problem jest naprawdę interesujący, ale co z tego?”

Jednak zasada transportu płaskiego znajduje swoje miejsce w naszej technologii. Tak więc projektant, projektując drzwi w małym pokoju (na przykład w pobliżu małej windy), jest zmuszony zrezygnować z zawiasów. Dzieli drzwi na dwie połowy (o ile oczywiście wpadnie mu na taki trik!), które biegną równolegle do siebie. Jedna połowa drzwi jest trwale przymocowana do osi rolki, a druga porusza się po obwodzie tej rolki. Podczas gdy jedna połowa przesuwa się o połowę szerokości drzwi, druga ma czas na przebiegnięcie całej szerokości drzwi (z dwukrotnie większą prędkością).

Nie patrzmy z góry na Flatlandię i fantazje pisarzy. Załóżmy, że Płaszczacy rzeczywiście żyją na powierzchni globu. Ta powierzchnia jest tak duża, że ​​mieszkańcy mogą nie zauważyć jej krzywizny. Naturalnie myślą, że żyją na płaszczyźnie, ponieważ nie potrafią sobie wyobrazić kuli: w końcu trzeci wymiar jest im w zasadzie obcy. Dlatego profesorowie z Flatland rozwijają matematykę Flatland, której uczy się w szkołach. Tam dzieci zapamiętują np. taką definicję: dwie równoległe linie przecinają się w skończonej odległości. Lub: suma kątów trójkąta jest większa niż 180°. My, ludzie przestrzeni trójwymiarowej, wiemy, że sferyczna powierzchnia jest dwuwymiarową przestrzenią nieeuklidesową, która nie pasuje do zwykłej geometrii euklidesowej.

Patrząc na kulę ziemską, widzimy, że dwa południki równoległe na równiku przecinają się na biegunie. Patrząc na kulę ziemską można się też przekonać, że dwa południki tworzą z równikiem kąt 90°. W punkcie przecięcia na biegunie powstaje kolejny kąt. I tak suma wszystkich trzech kątów jest większa niż 180°. Ale oczywiście biedni Płaszczacy nie mogą sobie nawet tego wszystkiego wyobrazić. Są pewni, że mieszkają w samolocie.

Pewien sceptyczny matematyk, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), poważnie zastanawiał się, czy my, ludzie, znajdujemy się w tej samej sytuacji, co Płaszczacy. Być może, pomyślał Gauss, my też żyjemy w świecie nieeuklidesowym, ale po prostu tego nie zauważamy. Gdyby tak było, przestrzeń byłaby zakrzywiona (czego z pewnością nie potrafilibyśmy sobie wyobrazić), a odpowiednio duży trójkąt miałby sumę kątów inną niż 180°. Gauss zmierzył trójkąt między Brocken, Inselberg i High Hagen, ale nie znalazł znaczącego odchylenia od 180 °. To oczywiście nie mogło służyć jako niepodważalny dowód, ponieważ trójkąt mógł być nadal za mały.

Nie można jednak po prostu porównać omawianej przestrzeni nieeuklidesowej z przestrzenią w teorii względności. My, Płaskolandczycy i Gauss, mówimy o czysto geometrycznym, przestrzennym problemie i o tym, czy pewne aksjomaty są prawdziwe (na przykład o przecięciu dwóch równoległych prostych w nieskończoności). Zwolennicy teorii względności wprowadzają czas jako czwartą współrzędną przestrzenną.

O KONGRUENCJI

Dwie figury płaskie są przystające, jeśli wszystkie ich kąty i odcinki między odpowiednimi punktami są równe.

W szkole uczymy się twierdzeń o przystawaniu trójkątów. Ustalono na przykład, że pola trójkątów są równe, jeśli jeden bok i dwa sąsiadujące z nim kąty pokrywają się. Oznacza to, że chociaż możesz użyć boku i dwóch przylegających do niego rogów, aby zbudować trójkąty, trójkąty muszą pasować do wszystkich swoich części.

W mowie potocznej (której używamy w tej książce) możemy powiedzieć, że przystające płaszczyzny dokładnie zachodzą na siebie lub odwrotnie, jeśli jedna figura płaska dokładnie zachodzi na inną, to są one przystające. To samo dotyczy ciał trójwymiarowych: jeśli można je połączyć, to są przystające.

Spójrz na trójkąty pokazane na obrazku. Wszystkie są spójne. Oczywiście oba trójkąty umieszczone po lewej stronie zostaną wyrównane, jeśli po prostu je przesuniemy. A oto trójkąt umieszczony po prawej stronie, chociaż jest przystający do dwóch lewych, ale nie możemy go z nimi połączyć tylko poruszając się w płaszczyźnie. Bez względu na to, jak obrócimy go w płaszczyźnie, nigdy nie będzie pasował do żadnego z lewych trójkątów. Aby to osiągnąć, musisz podnieść trójkąt nad płaszczyznę, obrócić go w przestrzeni i ponownie umieścić na płaszczyźnie. Ale jeśli porównamy wzajemne ułożenie trójkątów połączonych przez przesunięcie i odwrócenie, zobaczymy, że w obu przypadkach ich różne boki pokrywają się. Po ścinaniu dolna powierzchnia jednego papierowego trójkąta zachodzi na górną powierzchnię drugiego trójkąta. Orientacja przestrzenna powierzchni arkusza papieru nie uległa zmianie. W tym przypadku mówi się o identycznej kongruencji. Jeśli po obróceniu w przestrzeni obie górne powierzchnie papieru są połączone, płaskie figury nazywane są lustrzanymi kongruencjami.

Figury płaskie nazywane są przystającymi, które postrzegamy jako równe i które można ze sobą łączyć poprzez przesuwanie w płaszczyźnie lub obracanie w przestrzeni.

KONGRUENCJA TRÓJKĄTÓW

Kongruencja - właściwość płaskich figur geometrycznych, które pokrywają się ze sobą pod względem wielkości i kształtu.

Kształty, które można łączyć ze sobą przez obrót i (lub) przesunięcie, są identycznie przystające.

Lustrzane przystające to figury, dla których połączenia konieczna jest dodatkowa operacja lustrzanego odbicia.

Istnieją cztery znaki przystawania trójkątów. Trójkąty są przystające, jeśli:

1) trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom drugiego (S, S, S);

2) dwa boki i kąt wewnętrzny jednego trójkąta zawartego między nimi są równe dwóm bokom i kątowi wewnętrznemu innego trójkąta zawartego między nimi (S, W, S);

3) dwa boki i kąt wewnętrzny przeciwny do największego z nich w jednym trójkącie są równe dwóm bokom i kątowi przeciwległemu do największego z nich w drugim trójkącie (S, S, W);

4) bok i oba sąsiednie kąty wewnętrzne jednego trójkąta są równe bokowi i oba sąsiednie kąty wewnętrzne innego trójkąta (W, S, W).

PODOBIEŃSTWO

Zbieżność figur płaskich w kształcie, ale nie w wielkości, nazywa się podobieństwem.

Każdy kąt jednej z figur odpowiada równemu kątowi podobnej figury.

Na podobnych figurach odpowiednie segmenty są proporcjonalne.

Przesuwając, obracając i (lub) odbijając lustrzanie, dwie podobne figury można doprowadzić do stanu jednorodności. W tej pozycji odpowiednie boki obu figur są do siebie równoległe.

SYMETRIA OSIOWA

Niech płaszczyzna zostanie podzielona linią prostą s na dwie półpłaszczyzny. Jeśli teraz obrócimy jedną półpłaszczyznę wokół prostej 5 o 180°, to wszystkie punkty tej półpłaszczyzny pokryją się z punktami drugiej półpłaszczyzny.

Prosta s nazywana jest osią symetrii.

Ponieważ punkty na odwróconej półpłaszczyźnie znajdują się w położeniu lustrzanym względem ich pierwotnego położenia, to odwrócenie jest również nazywane odbiciem lustrzanym. Jeżeli do jednej półpłaszczyzny przyłożymy linie wskazujące pewne kierunki obrotu, to po lustrzanym odbiciu kierunek ten zmieni się na przeciwny. Dlatego pojedyncza operacja odbicia lustrzanego daje lustrzane odbicie figur. Dwie takie operacje prowadzą do identycznie przystających figur. Odpowiadają one przesunięciu lub rotacji.

SYMETRIA PROMIENNA

Figury promieniście symetryczne można ustawić względem siebie, obracając się wokół punktu S. Punkt ten nazywany jest środkiem symetrii.

Podczas obracania odpowiednie punkty figur są łączone. Kierunek obrotów nie zmienia się. Figura odbita w ten sposób jest identycznie przystająca.

Kolejne operacje obracania nie wpłyną w żaden sposób na tożsamość figur. Przy kącie obrotu 180° mówi się o centralnej symetrii.

SZTUCZKA Z KOŚCIAMI

Nauczyciele twierdzą, że zabawa klockami rozwija wyobraźnię przestrzenną. A teraz rodzice kupują swoim potomkom pudełka z jasnymi kostkami pokrytymi fragmentami obrazków z popularnych bajek. Układając te kostki we właściwy sposób, zobaczysz Czerwonego Kapturka z Szarym Wilkiem lub Królewnę Śnieżkę z siedmioma krasnoludkami.

Tak naprawdę tego rodzaju kostki i puzzle rozwijają wyobraźnię przestrzenną nie tylko u dzieci, ale u każdego – od małego do dużego. Czasami musimy złożyć kostkę z różnych kształtów bali.

Po bliższym przyjrzeniu się tym poszczególnym elementom okazuje się, że co najmniej dwa z nich mają ten sam kształt i rozmiar, ale odnoszą się do siebie jak lewa i prawa rękawiczka. Twórcy tego typu łamigłówek mają oczywiście nadzieję, że gracze nie od razu złapią to wyróżnienie. Jeśli przypomnimy sobie, ile razy myliliśmy prawą i lewą rękawiczkę, będziemy musieli przyznać, że takie nadzieje nie są bezpodstawne.

Połączenie tych elementów jest prawie niemożliwe. Należy zauważyć, że używając tutaj (lub gdzieś poniżej) wyrażenia „praktycznie możliwe”, mamy na myśli realizację takiego zadania w praktyce.

Ale istnieją również metody matematyczne lub fizyczne, które umożliwiają łączenie elementów przynajmniej teoretycznie lub według zewnętrznych znaków - to będzie przedmiotem dalszych rozważań. A ponieważ omówiono tutaj połączenie jednego elementu z drugim, należy szczególnie zwrócić uwagę na jedną ważną okoliczność. We Flatlandii można by łączyć płaskie figury, wyjmując je z płaszczyzny i obracając w przestrzeni. W Lineland, w ten sam sposób, wystarczyłby tylko jeden wymiar więcej: jeden obrót w płaszczyźnie i segmenty stałyby się kompatybilne.

Ale konstrukcje przestrzenne możemy obracać tylko w przestrzeni! A ponieważ czwarty wymiar, mimo całego rozumowania Gaussa, jest dla nas zamknięty, trudno sobie nawet wyobrazić, jak praktycznie (!) inny!

W życiu codziennym bardzo często musimy rozwiązywać takie zagadki (podkreślam: rozwiązywać praktycznie, a nie bawić się!), na przykład przy pakowaniu różnych przedmiotów. Lub, na przykład, wyobraź sobie grzejniki centralnego ogrzewania. Dla niektórych z nich zawór do regulacji znajduje się po lewej stronie, dla innych po prawej. Jak podłączyć kilka grzejników do jednej baterii?

Lodówki, kuchenki i inne artykuły gospodarstwa domowego są zwykle wykonane z prawymi i lewymi uchwytami, kluczami, kranami. Fantastyczna możliwość obracania takich obiektów w czwartym wymiarze ucieszy każdego, kto zajmuje się ich transportem i montażem.

ZAJRZYJ DO SŁOWNIKA!

Na początku książki nazwaliśmy człowieka istotą symetryczną. W przyszłości termin „symetria” nie był już używany. Jednak zapewne zauważyliście już, że we wszystkich przypadkach, gdy odcinki linii, figury płaskie czy bryły przestrzenne były podobne, ale bez dodatkowych działań niemożliwe, „praktycznie” niemożliwe było ich połączenie, spotykaliśmy się ze zjawiskiem symetrii. Elementy te pasowały do ​​siebie jak obraz i jego lustrzane odbicie. Jak lewa i prawa ręka. Jeśli zadamy sobie trud zajrzenia do Słownika wyrazów obcych, przekonamy się, że symetria oznacza „proporcjonalność, pełną zgodność w układzie części całości względem linii środkowej, środka… punkt (środek symetrii), prosta (oś symetrii) lub płaszczyzna (płaszczyzna symetrii), w której co dwa odpowiadające sobie punkty leżące na tej samej prostej przechodzącej przez środek symetrii, na tej samej prostopadłej do osi lub płaszczyzna symetrii, znajdują się w tej samej odległości od nich ... ”( Słownik wyrazów obcych: wyd. 7, poprawiony. -M.; język rosyjski 1980, s. 465)

I to nie wszystko, jak to często bywa z obcymi słowami, istnieje wiele znaczeń słowa „symetria”. Zaletą takich wyrażeń jest to, że można ich użyć, gdy nie chcą podać jednoznacznej definicji lub po prostu nie znają wyraźnej różnicy między dwoma przedmiotami.

Określenia „proporcjonalny” używamy w odniesieniu do osoby, obrazu lub dowolnego przedmiotu, gdy drobne niezgodności nie pozwalają nam użyć słowa „symetryczny”.

Ponieważ szperamy w podręcznikach, spójrzmy na Słownik encyklopedyczny ( Sowiecki słownik encyklopedyczny - M.: Encyklopedia radziecka, 1980, s. 1219-1220). Znajdziemy tu sześć artykułów zaczynających się od słowa „symetria”. Ponadto słowo to występuje w wielu innych artykułach.

W matematyce słowo „symetria” ma co najmniej siedem znaczeń (wśród nich są wielomiany symetryczne, macierze symetryczne). W logice istnieją relacje symetryczne. Symetria odgrywa ważną rolę w krystalografii (przeczytasz o tym w dalszej części tej książki). Pojęcie symetrii w biologii jest ciekawie interpretowane. Opisuje sześć różnych rodzajów symetrii. Dowiadujemy się na przykład, że ctenofory są asymetryczne, podczas gdy kwiaty lwiej paszczy są dwustronnie symetryczne. Przekonamy się, że symetria istnieje w muzyce i choreografii (w tańcu). Zależy to tutaj od naprzemienności cykli. Okazuje się, że wiele pieśni i tańców ludowych zbudowanych jest symetrycznie.

Musimy więc uzgodnić, o jakiej symetrii będziemy mówić. Niezależnie od charakteru rozważanych obiektów, głównym przedmiotem zainteresowania będzie dla nas symetria lustrzana - symetria lewej i prawej strony. Przekonamy się, że to pozorne ograniczenie zabierze nas daleko w świat nauki i techniki i pozwoli od czasu do czasu przetestować możliwości naszego mózgu (wszak to on jest zaprogramowany na symetrię).

GRA KROPEK I ​​LINI

Nie opuściliśmy jeszcze Krainy Liniowej i Płaskiej. I jest ku temu szczególny powód. Nawet jeśli nie ma tam mieszkańców, to same linie proste i płaszczyzny są całkiem realne!

Pomyślmy o sytuacji z symetrią na linii prostej. Za pomocą dwóch dopasowań możemy w bardzo prosty sposób wyobrazić sobie dwa możliwe przypadki. (Wcześniej rozważaliśmy już niektóre aspekty tej sytuacji.) Mecze mogą leżeć z głowami skierowanymi w jednym kierunku. Potem łatwo się dopasowują. Lub głowy (lub wskazówki) do siebie. W tym przypadku na linii znajduje się punkt, w którym lustro można umieścić w taki sposób, że dopasowanie wydaje się pokrywać z jego odbiciem. Innymi słowy, na linii znajduje się środek symetrii. Będziemy musieli sobie wyobrazić, że lustro mieści się w jednym punkcie i odbija półprosty odcinek. W rozumowaniu matematycznym jest to całkiem możliwe.

Figury płaskie są „odbijane” w osiach symetrii

Podczas konstruowania na płaszczyźnie nasze lustro może nadal pozostać punktem lub może być linią prostą. Prawdopodobnie bardziej poprawne będzie powiedzenie tego w odwrotnej kolejności: linia prosta lub punkt posłuży jako lustro. W końcu, jeśli gdzieś jest linia prosta, możliwe jest na niej punktowe centrum symetrii.

Lustrzane odbicia połówek płaszczyzn wyglądają tak samo jak płaszczyzny rzeczywiste: obracając płaszczyznę wokół linii prostej - lustro - można ją połączyć z odbiciem, stąd powstało określenie "oś symetrii".

Okrąg ma nieskończoną liczbę osi symetrii. „Liść koniczyny” - tylko jeden

Wiemy więc teraz, jaki jest środek symetrii i oś symetrii, a także wiemy, że jakiś przedmiot (weź to neutralne słowo) jest symetryczny, jeśli jedna jego połowa jest powiązana z drugą, jak obraz i jego lustrzane odbicie.

Okrąg ma nieskończoną liczbę osi symetrii i wszystkie przechodzą przez wspólny środek symetrii. Inne figury mają skończoną liczbę osi symetrii, ale wszystkie osie (dwie lub więcej) przechodzą przez środek symetrii. Oznacza to, że możemy obrócić kształt o określony kąt (maksymalnie 180°) i znów będzie on leżeć dokładnie w tym samym miejscu, co przed obrotem.

Kontynuujmy nasze rozważania na temat lustrzanej symetrii. Łatwo ustalić, że każdą symetryczną figurę płaską można połączyć ze sobą za pomocą lustra. Zaskakujące jest to, że tak złożone figury, jak pięcioramienna gwiazda czy pięciokąt równoboczny, są również symetryczne. Jak wynika z liczby osi, wyróżniają się one właśnie wysoką symetrią. I odwrotnie: nie jest łatwo zrozumieć, dlaczego taka pozornie regularna figura, jak ukośny równoległobok, nie jest symetryczna. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że oś symetrii może przebiegać równolegle do jednego z jego boków. Ale warto mentalnie spróbować go użyć, ponieważ od razu przekonujesz się, że tak nie jest. Asymetryczny i spiralny.

Co dziwne, taka „symetryczna” figura, jak równoległobok, nie tylko nie ma osi symetrii, ale ogólnie symetrii lustrzanej.

Podczas gdy figury symetryczne w pełni odpowiadają ich odbiciu, figury niesymetryczne różnią się od nich: od spirali skręcającej się od prawej do lewej, spirala skręcająca się od lewej do prawej okaże się w lustrze. Ta właściwość jest często wykorzystywana w masowych grach i konkursach organizowanych przez telewizję. Gracze są proszeni, aby patrząc w lustro, narysowali jakąś asymetryczną figurę, na przykład spiralę. A potem jeszcze raz narysuj „dokładnie taką samą” spiralę, ale bez lustra. Porównanie obu rysunków pokazuje, że spirale okazały się różne: jedna skręca od lewej do prawej, druga od prawej do lewej.

Ale to, co tutaj wygląda na żart, w praktyce sprawia wiele trudności nie tylko dzieciom, ale także dorosłym. Często dzieci piszą niektóre litery „na lewą stronę”. Ich łacińskie N wygląda jak I zamiast S i Z dostają S i Z. Jeśli przyjrzymy się bliżej literom alfabetu łacińskiego (a są to w rzeczywistości również płaskie cyfry!), zobaczymy symetryczne i asymetryczne wśród nich. Litery takie jak N, S, Z nie mają osi symetrii (podobnie jak F, G, J, L, P, Q i R). Ale N, S i Z są szczególnie łatwe do przeliterowania „na odwrót” ( Mają środek symetrii. - Około. wyd). Pozostałe wielkie litery mają co najmniej jedną oś symetrii. Litery A, M, T, U, V, W i Y można podzielić na pół wzdłużną osią symetrii. Litery B, C, D, E, I, K - poprzeczna oś symetrii. Litery H, O i X mają dwie wzajemnie prostopadłe osie symetrii.

Jeśli umieścisz litery przed lustrem, równolegle do linii, zauważysz, że te z poziomą osią symetrii można również odczytać w lustrze. Ale te, w których oś jest umieszczona pionowo lub jest całkowicie nieobecna, stają się „nieczytelne”.

Pytanie, dlaczego litery z osią podłużną zachowują się inaczej niż z poprzeczną, jest dość interesujące. Być może pomyślisz o tym. Przyczyna tego zjawiska zostanie omówiona później.

Są dzieci, które piszą lewą ręką i otrzymują wszystkie litery w odbiciu lustrzanym. Pamiętniki Leonarda da Vinci pisane są lustrzaną czcionką. Prawdopodobnie nie ma dobrego powodu, dla którego mielibyśmy pisać listy w taki sposób, w jaki to robimy. Jest mało prawdopodobne, aby czcionka lustrzana była trudniejsza do opanowania niż nasza zwykła.

Nie ułatwiłoby to pisowni, a niektóre słowa, takie jak OTTO, w ogóle by się nie zmieniły. Istnieją języki, w których napis znaków opiera się na obecności symetrii. Tak więc w chińskim piśmie hieroglif oznacza dokładnie prawdziwy środek.

W architekturze osie symetrii służą do wyrażania intencji architektonicznych. W inżynierii osie symetrii są najwyraźniej wskazane tam, gdzie wymagane jest odchylenie od zera, na przykład na kierownicy ciężarówki lub kierownicy statku.

NASZ ŚWIAT W LUSTRO

Z Linelandu zaczerpnęliśmy pojęcie środka symetrii, az Flatlandii - o osi symetrii. W trójwymiarowym świecie ciał przestrzennych, w którym żyjemy, istnieją odpowiednio płaszczyzny symetrii. „Lustro” ma zawsze o jeden wymiar mniej niż świat, który odbija. Patrząc na okrągłe ciała, od razu widać, że mają płaszczyzny symetrii, ale nie zawsze łatwo jest określić, ile dokładnie.

Postawmy przed lustrem piłkę i zacznijmy ją powoli obracać: obraz w lustrze nie będzie oczywiście w niczym różnił się od oryginału, jeśli piłka nie będzie miała na swojej powierzchni żadnych charakterystycznych cech. Piłeczka pingpongowa ujawnia niezliczone płaszczyzny symetrii. Weź nóż, odetnij połowę kulki i umieść ją przed lustrem. Lustrzane odbicie ponownie uzupełni tę połówkę w całą piłkę.

Ale jeśli weźmiemy kulę ziemską i rozważymy jej symetrię, biorąc pod uwagę zaznaczone na niej kontury geograficzne, to nie znajdziemy ani jednej płaszczyzny symetrii.

We Flatland figurą o niezliczonych osiach symetrii było koło. Dlatego nie powinno nas dziwić, że w kosmosie podobne właściwości ma piłka. Ale jeśli koło jest jedyne w swoim rodzaju, to w trójwymiarowym świecie istnieje wiele ciał, które mają nieskończoną liczbę płaszczyzn symetrii: prosty walec z kołem u podstawy, stożek z okrągłym lub półkulista podstawa, kula lub segment kuli. Albo weźmy przykłady z życia: papieros, cygaro, szklanka, funt lodów w kształcie stożka, kawałek drutu, fajka.

Jeśli przyjrzymy się bliżej tym ciałom, zauważymy, że wszystkie w taki czy inny sposób składają się z koła, przechodzącego przez nieskończoną liczbę osi symetrii, przez które przechodzi nieskończona liczba płaszczyzn symetrii. Większość tych ciał (nazywa się je ciałami obrotowymi) ma oczywiście również środek symetrii (środek koła), przez który przechodzi co najmniej jedna oś symetrii.

Wyraźnie widoczna jest na przykład oś wafelka do lodów. Biegnie od środka koła (wystającego z lodów!) do ostrego końca stożka funky. Zbiór elementów symetrii ciała postrzegamy jako rodzaj miary symetrii. Piłka bez wątpienia pod względem symetrii jest niedoścignionym ucieleśnieniem doskonałości, ideałem. Starożytni Grecy postrzegali go jako najdoskonalsze ciało, a koło oczywiście jako najdoskonalszą płaską figurę.

Ogólnie rzecz biorąc, te pomysły są całkiem do przyjęcia do dziś. Ponadto greccy filozofowie doszli do wniosku, że wszechświat oczywiście musi być zbudowany na modelu matematycznego ideału. Wniosek ten skutkował błędami, których konsekwencje opiszemy później. Oczywiste jest, że starożytni Grecy nie mieli jeszcze strąków lodów! W przeciwnym razie taki prozaiczny obiekt, posiadający niezliczoną liczbę płaszczyzn symetrii, mógłby naruszyć ich harmonijny układ.

Jeśli dla porównania rozważymy sześcian, zobaczymy, że ma on dziewięć płaszczyzn symetrii. Trzy z nich przecinają jego ściany na pół, a sześć przechodzi przez wierzchołki. W porównaniu z piłką to oczywiście za mało.

Ale czy istnieją ciała, które pod względem liczby płaszczyzn zajmują pozycję pośrednią między kulą a sześcianem? Bez wątpienia tak. Trzeba tylko pamiętać, że koło w istocie wydaje się składać z wielokątów. Przerabialiśmy to w szkole przy obliczaniu liczby pi. Jeśli wzniesiemy n-kątną piramidę nad każdym n-kątem, możemy poprowadzić przez nią n płaszczyzn symetrii.

Można by wymyślić cygaro o 32 bokach, które miałoby odpowiednią symetrię!

Ale jeśli mimo to postrzegamy sześcian jako obiekt bardziej symetryczny niż osławiony funt do lodów, to wynika to ze struktury powierzchni. Kula ma tylko jedną powierzchnię. Sześcian ma ich sześć - zgodnie z liczbą ścian, a każda ściana jest reprezentowana przez kwadrat. Funtik z lodami składa się z dwóch powierzchni: koła i muszli w kształcie stożka.

Od ponad dwóch tysiącleci (prawdopodobnie z powodu bezpośredniej percepcji) tradycyjnie preferowano „proporcjonalne” bryły geometryczne. Grecki filozof Platon (427-347 pne) odkrył, że tylko pięć brył wolumetrycznych można zbudować z regularnych, przystających figur płaskich.

Z czterech regularnych (równobocznych) trójkątów uzyskuje się czworościan (czworościan). Z ośmiu regularnych trójkątów można zbudować ośmiościan (ośmiościan), a wreszcie z dwudziestu regularnych trójkątów - dwudziestościan. I tylko z czterech, ośmiu lub dwudziestu identycznych trójkątów można uzyskać trójwymiarowe geometryczne ciało. Z kwadratów możesz zrobić tylko jedną trójwymiarową figurę - sześcian (sześcian), az pięciokątów równobocznych - dwunastościan (dwunaścian).

A co w naszym trójwymiarowym świecie jest całkowicie pozbawione lustrzanej symetrii?

Jeśli we Flatlandii była to płaska spirala, to w naszym świecie z pewnością będą to spiralne schody lub spiralne wiertło. Ponadto w otaczającym nas życiu i technologii istnieją tysiące asymetrycznych rzeczy i przedmiotów. Z reguły śruba ma gwint prawoskrętny. Ale czasami jest też lewica. Dlatego dla większego bezpieczeństwa butle z propanem są wyposażone w gwint lewoskrętny, dzięki czemu nie można na nie nakręcić reduktora przeznaczonego np. do butli z innym gazem. W życiu codziennym oznacza to, że na kempingu, przed gotowaniem na kuchence kempingowej, zawsze należy spróbować, w którą stronę odkręca się butelkę.

Pomiędzy kulą i sześcianem z jednej strony, a spiralnymi schodami z drugiej, wciąż istnieje wiele stopni symetrii. Z sześcianu można stopniowo odejmować płaszczyzny symetrii, osie i środek, aż dojdziemy do stanu pełnej asymetrii.

Niemal na końcu tego rzędu symetrii stoimy my, ludzie, z tylko jedną płaszczyzną symetrii dzielącą nasze ciało na lewą i prawą połowę. Stopień symetrii mamy taki sam, jak np. zwykły skaleń (minerał tworzący gnejs lub granit razem z miką i kwarcem).

PIĘĆ PLONÓW

W przypadku regularnych wielościanów prawdziwe są następujące stwierdzenia:

1. W każdym wielościanie (również foremnym) suma wszystkich kątów między krawędziami zbiegającymi się w jednym wierzchołku jest zawsze mniejsza niż 360°.

2. Z twierdzenia Eulera dla polytopów wypukłych

gdzie e to liczba wierzchołków, ƒ to liczba ścian, a k to liczba krawędzi.

Ściany regularnych wielościanów mogą być tylko następującymi regularnymi wielokątami:

3, 4 lub 5 trójkątów równobocznych 60°. Sześć takich trójkątów daje już 60° X 6 = 360°, a zatem nie może ograniczać kąta wielościennego.

Trzy kwadraty (90° X 3 = 270°), 3 pięciokąty foremne (108° X 3 = 324°), 3 sześciokąty foremne (120° X 3 = 360°) ograniczają kąt wielościenny.

Z twierdzenia Eulera i kształtu ścian wynika, że ​​istnieje tylko 5 regularnych wielościanów:

Tabela pięciu regularnych wielościanów

Kształty twarzy	Numer				Bryły platońskie
	twarze w jednym wierzchołku	szczyty	twarze	żebra
Trójkąty równoboczne	3	4	4	6	Czworościan
Podobnie	4	6	8	12	Oktaedr
Podobnie	5	12	20	30	dwudziestościan
kwadraty	3	8	6	12	Sześcian (sześcian)
Prawidłowe pięciokąty	3	20	12	20	Dwunastościan pięciokąta

(Każda ściana dwunastościanu pięciokąta jest figurą pięciokątną, w której cztery boki są sobie równe, ale różnią się od piątego. - Około. tłumaczenie)