Rozwiąż równanie różniczkowe I rzędu. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Równanie różniczkowe to równanie zawierające funkcję i jedną lub więcej jej pochodnych. W większości problemów praktycznych funkcje są wielkościami fizycznymi, pochodne odpowiadają szybkościom zmian tych wielkości, a równanie określa związek między nimi.

W tym artykule omówiono metody rozwiązywania niektórych typów równań różniczkowych zwyczajnych, których rozwiązania można zapisać w postaci funkcje elementarne, czyli funkcje wielomianowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne, a także ich funkcje odwrotne. Wiele z tych równań występuje w prawdziwym życiu, chociaż większości innych równań różniczkowych nie można rozwiązać tymi metodami, a dla nich odpowiedź jest zapisywana jako funkcje specjalne lub szeregi potęgowe lub znajdowana metodami numerycznymi.

Aby zrozumieć ten artykuł, musisz znać rachunek różniczkowy i całkowy, a także rozumieć pochodne cząstkowe. Zalecana jest również znajomość podstaw algebry liniowej w zastosowaniu do równań różniczkowych, zwłaszcza równań różniczkowych drugiego rzędu, chociaż znajomość rachunku różniczkowego i całkowego jest wystarczająca do ich rozwiązania.

Wstępne informacje

Równania różniczkowe mają obszerną klasyfikację. Ten artykuł mówi o Równania różniczkowe zwyczajne, czyli o równaniach zawierających funkcję jednej zmiennej i jej pochodne. Zwykłe równania różniczkowe są znacznie łatwiejsze do zrozumienia i rozwiązania niż Równania różniczkowe cząstkowe, które obejmują funkcje kilku zmiennych. Ten artykuł nie uwzględnia równań różniczkowych cząstkowych, ponieważ metody rozwiązywania tych równań są zwykle określone przez ich specyficzną postać.
- Poniżej znajduje się kilka przykładów równań różniczkowych zwyczajnych.
  - re y re x = k y (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x)) = ky)
  - re 2 x re t 2 + k x = 0 (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d) ) ^ (2) x) ((\ operatorname (d)) t ^ (2))) + kx = 0)
- Poniżej znajduje się kilka przykładów równań różniczkowych cząstkowych.
  - ∂ 2 fa ∂ x 2 + ∂ 2 fa ∂ y 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2))) + (\ Frac (\ częściowe ^ (2) )f)(\częściowy y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe u) (\ częściowe t)) - \ alfa (\ Frac (\ częściowe ^ (2) u) (\ częściowe x ^(2)))=0)
Zamówienie równanie różniczkowe jest określone przez rząd najwyższej pochodnej zawartej w tym równaniu. Pierwsze z powyższych równań różniczkowych zwyczajnych jest pierwszego rzędu, a drugie drugiego rzędu. Stopień równania różniczkowego nazywamy najwyższą potęgą, do której podniesiony jest jeden z wyrazów tego równania.
- Na przykład poniższe równanie to trzeci rząd i druga potęga.
  - (d 3 y re x 3) 2 + re y re x = 0 (\ Displaystyle \ lewo ((\ Frac ((\ operatorname (d) ) ^ (3) y) ((\ operatorname (d)) x ^ (3))) \ dobrze)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
Równanie różniczkowe jest liniowe równanie różniczkowe jeśli funkcja i wszystkie jej pochodne są w pierwszej potędze. W przeciwnym razie równanie jest nieliniowe równanie różniczkowe. Liniowe równania różniczkowe są niezwykłe, ponieważ z ich rozwiązań można tworzyć kombinacje liniowe, które będą również rozwiązaniami tego równania.
- Poniżej znajduje się kilka przykładów liniowych równań różniczkowych.
- Poniżej znajduje się kilka przykładów nieliniowych równań różniczkowych. Pierwsze równanie jest nieliniowe ze względu na składnię sinusoidalną.
  - re 2 θ re t 2 + sol l grzech ⁡ θ = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d) ) ^ (2) \ theta) ((\ operatorname (d)) t ^ (2))) + ( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - re 2 x re t 2 + (d x re t) 2 + t x 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) ^ (2) x) ((\ operatorname (d)) t ^ (2))) + \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Wspólna decyzja zwykłe równanie różniczkowe nie jest unikalne, obejmuje dowolne stałe całkowania. W większości przypadków liczba dowolnych stałych jest równa rzędowi równania. W praktyce wartości tych stałych są określane przez dane warunki początkowe, to znaczy o wartości funkcji i jej pochodnych w x = 0. (\ displaystyle x = 0.) Liczba warunków początkowych potrzebnych do znalezienia prywatna decyzja równanie różniczkowe, w większości przypadków jest również równe rzędowi tego równania.
- Na przykład w tym artykule przyjrzymy się rozwiązaniu poniższego równania. Jest to liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu. Jego rozwiązanie ogólne zawiera dwie dowolne stałe. Aby znaleźć te stałe, konieczna jest znajomość warunków początkowych w x (0) (\ displaystyle x (0)) I x′ (0) . (\ Displaystyle x "(0).) Zazwyczaj warunki początkowe są podane w punkcie x = 0 , (\ displaystyle x = 0,), chociaż nie jest to wymagane. W tym artykule rozważymy również, jak znaleźć konkretne rozwiązania dla danych warunków początkowych.
  - re 2 x re t 2 + k 2 x = 0 (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d) ) ^ (2) x) ((\ operatorname (d) ) t ^ (2))) + k ^ (2 )x=0)
  - x (t) = do 1 sałata ⁡ k x + do 2 grzech ⁡ k x (\ Displaystyle x (t) = c_ (1) \ cos kx + c_ (2) \ sin kx)

Kroki

Część 1

Równania pierwszego rzędu

Podczas korzystania z tej usługi niektóre informacje mogą być przesyłane do YouTube.

Równania liniowe pierwszego rzędu. W tej sekcji omówiono metody rozwiązywania liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu w przypadkach ogólnych i szczególnych, gdy niektóre wyrazy są równe zeru. Udawajmy, że y = y (x) , (\ Displaystyle y = y (x)) p (x) (\ displaystyle p (x)) I q (x) (\ displaystyle q (x)) są funkcjami X . (\ Displaystyle x.)
re y re x + p (x) y = q (x) (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x)) + p (x) y = q (x ))
P. (x) = 0. (\ Displaystyle p (x) = 0.) Zgodnie z jednym z głównych twierdzeń analizy matematycznej, całka pochodnej funkcji jest również funkcją. Zatem wystarczy po prostu scałkować równanie, aby znaleźć jego rozwiązanie. W takim przypadku należy wziąć pod uwagę, że przy obliczaniu całki nieoznaczonej pojawia się dowolna stała.
- y (x) = ∫ q (x) re x (\ Displaystyle y (x) = \ int q (x) (\ operatorname (d)) x)
Q (x) = 0. (\ Displaystyle q (x) = 0.) Stosujemy metodę separacja zmiennych. W tym przypadku różne zmienne są przenoszone na różne strony równania. Na przykład możesz przenieść wszystkich członków z y (\ displaystyle y) w jedno, a wszyscy członkowie z x (\ displaystyle x) na drugą stronę równania. Członkowie mogą być również przenoszeni re x (\ Displaystyle (\ operatorname (d)) x) I re y (\ Displaystyle (\ operatorname (d) ) y), które są zawarte w wyrażeniach pochodnych, należy jednak pamiętać, że jest to tylko konwencja, która jest wygodna przy różniczkowaniu funkcji zespolonej. Omówienie tych warunków, które są tzw dyferencjały, wykracza poza zakres tego artykułu.
- Najpierw musisz przenieść zmienne po przeciwnych stronach znaku równości.
  - 1 y re y = - p (x) re x (\ Displaystyle (\ Frac (1) (y)) (\ operatorname (d) ) y = - p (x) (\ operatorname (d) ) x)
- Całkujemy obie strony równania. Po całkowaniu po obu stronach pojawiają się dowolne stałe, które można przenieść na prawą stronę równania.
  - ln ⁡ y = ∫ - p (x) re x (\ Displaystyle \ ln y = \ int - p (x) (\ operatorname (d)) x)
  - y (x) = mi - ∫ p (x) re x (\ Displaystyle y (x) = e ^ (- \ int p (x) (\ operatorname (d) ) x))
- Przykład 1.1. W ostatnim kroku skorzystaliśmy z reguły mi za + b = mi za mi b (\ Displaystyle e ^ (a + b) = e ^ (a) e ^ (b)) i zastąpiony mi do (\ Displaystyle e ^ (C)) NA do (\ Displaystyle C), ponieważ jest to również dowolna stała całkowania.
  - re y re x - 2 y grzech ⁡ x = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x)) -2y \ sin x = 0)
  - 1 2 y re y = grzech ⁡ x re x 1 2 ln ⁡ y = - sałata ⁡ x + do ln ⁡ y = - 2 sałata ⁡ x + do y (x) = do mi )(\frac (1)(2y))(\ argumentacja (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(wyrównane)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\ Displaystyle p (x) \ neq 0, \ q (x) \ neq 0.) Aby znaleźć ogólne rozwiązanie, wprowadziliśmy czynnik integrujący jako funkcja x (\ displaystyle x) sprowadzić lewą stronę do wspólnej pochodnej iw ten sposób rozwiązać równanie.
- Pomnóż obie strony przez μ (x) (\ Displaystyle \ mu (x))
  - μ re y re x + μ p y = μ q (\ Displaystyle \ mu (\ Frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x)) + \ mu py = \ mu q)
- Aby zredukować lewą stronę do wspólnej pochodnej, należy wykonać następujące przekształcenia:
  - re re x (μ y) = re μ re x y + μ re y re x = μ re y re x + μ p y (\ Displaystyle (\ Frac (\ operatorname (d) ) ((\ operatorname (d)) x)) (\ mu y) = (\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Ostatnia równość oznacza, że re μ re x = μ p (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d) ) \ mu) ((\ operatorname (d) ) x)) = \ mu p). Jest to czynnik całkujący, który jest wystarczający do rozwiązania dowolnego równania liniowego pierwszego rzędu. Teraz możemy wyprowadzić wzór na rozwiązanie tego równania względem µ , (\ Displaystyle \ mu,) chociaż do treningu przydatne jest wykonanie wszystkich obliczeń pośrednich.
  - μ (x) = mi ∫ p (x) re x (\ Displaystyle \ mu (x) = e ^ (\ int p (x) (\ operatorname (d)) x))
- Przykład 1.2. W tym przykładzie rozważamy, jak znaleźć konkretne rozwiązanie równania różniczkowego przy danych warunkach początkowych.
  - t re y re t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\ Displaystyle t (\ Frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) t)) + 2y = t ^ (2) ,\quad y(2)=3)
  - re y re t + 2 t y = t (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) t)) + (\ frac (2) (t)) y = t)
  - μ (x) = mi ∫ p (t) re t = mi 2 ln ⁡ t = t 2 (\ Displaystyle \ mu (x) = e ^ (\ int p (t) (\ operatorname (d) ) t) = e ^(2\ln t)=t^(2))
  - re re t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + do y (t) = 1 4 t 2 + do t 2 (\ Displaystyle (\ rozpocząć (wyrównane) (\ frac (\ operatorname (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(wyrównane)))
  - 3 = y (2) = 1 + do 4 , do = 8 (\ Displaystyle 3 = y (2) = 1 + (\ Frac (C) (4)), \ quad C = 8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\ Displaystyle y (t) = (\ Frac (1) (4)) t ^ (2) + (\ Frac (8) (t ^ (2)) ))
Rozwiązywanie równań liniowych pierwszego rzędu (zarejestrowane przez Intuit - National Open University).
Nieliniowe równania pierwszego rzędu. W tej sekcji omówiono metody rozwiązywania niektórych nieliniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu. Chociaż nie ma ogólnej metody rozwiązywania takich równań, niektóre z nich można rozwiązać za pomocą poniższych metod.
re y re x = fa (x , y) (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d) ) x)) = f (x, y))
re y re x = godz (x) sol (y) . (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d) ) x)) = h (x) g (y).) Jeśli funkcja fa (x, y) = h (x) sol (y) (\ Displaystyle f (x, y) = h (x) g (y)) można podzielić na funkcje jednej zmiennej, takie równanie nazywa się równanie różniczkowe rozdzielne. W takim przypadku możesz użyć powyższej metody:
- ∫ re y h (y) = ∫ sol (x) re x (\ Displaystyle \ int (\ Frac ((\ operatorname (d)) y) (h (y))) = \ int g (x) (\ operatorname (d) )X)
- Przykład 1.3.
  - re y re x = x 3 y (1 + x 4) (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d) ) x)) = (\ frac (x ^ (3)) ( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y re y = ∫ x 3 1 + x 4 re x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + do y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + do (\ Displaystyle (\ begin(wyrównane)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(wyrównane)))
re y re x = sol (x , y) godz (x , y) . (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x)) = (\ frac (g (x, y)) (h (x, y))).) Udawajmy, że sol (x, y) (\ Displaystyle g (x, y)) I h (x, y) (\ displaystyle h (x, y)) są funkcjami x (\ displaystyle x) I y. (\ displaystyle y.) Następnie jednorodne równanie różniczkowe jest równaniem, w którym sol (\ Displaystyle g) I h (\ displaystyle h) Czy jednorodne funkcje ten sam stopień. Oznacza to, że funkcje muszą spełniać warunek sol (α x , α y) = α k sol (x , y) , (\ Displaystyle g (\ alfa x, \ alfa y) = \ alfa ^ (k) g (x, y)) Gdzie k (\ displaystyle k) nazywamy stopniem jednorodności. Każde jednorodne równanie różniczkowe można podać za pomocą odpowiedniego zmiana zmiennych (v = y / x (\ displaystyle v = y/x) Lub v = x / y (\ Displaystyle v = x / y)) do konwersji na równanie ze zmiennymi rozdzielnymi.
- Przykład 1.4. Powyższy opis jednorodności może wydawać się niejasny. Spójrzmy na tę koncepcję na przykładzie.
  - re y re x = y 3 - x 3 y 2 x (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x)) = (\ frac (y ^ (3) -x ^ (3))(y^(2)x)))
  - Na początek należy zauważyć, że to równanie jest nieliniowe względem y. (\ displaystyle y.) Widzimy również, że w tym przypadku niemożliwe jest rozdzielenie zmiennych. Jednak to równanie różniczkowe jest jednorodne, ponieważ zarówno licznik, jak i mianownik są jednorodne z potęgą 3. Dlatego możemy dokonać zamiany zmiennych v=y/x. (\ Displaystyle v = y/x.)
  - re y re x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x)) = (\ frac (y) (x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , re y re x = re v re x x + v (\ Displaystyle y = vx, \ quad (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x)) = (\ frac ((\ operatorname (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - re v re x x = - 1 v 2 . (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) v) ((\ operatorname (d)) x)) x = - (\ frac (1) (v ^ (2))).) W rezultacie mamy równanie dla v (\ displaystyle v) ze wspólnymi zmiennymi.
  - v (x) = - 3 log ⁡ x + do 3 (\ Displaystyle v (x) = (\ sqrt [(3)] (-3 \ ln x + C)})
  - y (x) = x - 3 ln ⁡ x + do 3 (\ Displaystyle y (x) = x (\ sqrt [(3)] (-3 \ ln x + C)})
re y re x = p (x) y + q (x) y n . (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d) ) x)) = p (x) y + q (x) y ^ (n).) Ten Równanie różniczkowe Bernoulliego- specjalny rodzaj równania nieliniowego pierwszego stopnia, którego rozwiązanie można zapisać za pomocą funkcji elementarnych.
- Pomnóż obie strony równania przez (1 - n) y - n (\ Displaystyle (1-n) y ^ (-n)):
  - (1 - n) y - n re y re x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ Displaystyle (1-n) y ^ (-n) (\ frac ( ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Korzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej po lewej stronie i przekształcamy równanie w równanie liniowe względem y 1 - n , (\ Displaystyle y ^ (1-n)) które można rozwiązać powyższymi metodami.
  - re y 1 - n re x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) y ^ (1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x, y) + N (x, y) re y re x = 0. (\ Displaystyle M (x, y) + N (x, y) (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d) )x))=0.) Ten całkowite równanie różniczkowe. Konieczne jest znalezienie tzw funkcja potencjalna φ (x, y) , (\ Displaystyle \ varphi (x, y)), co spełnia warunek re φ re x = 0. (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d) ) \ varphi) ((\ operatorname (d)) x)) = 0.)
- Aby spełnić ten warunek, konieczne jest posiadanie całkowita pochodna. Pochodna całkowita uwzględnia zależność od innych zmiennych. Aby obliczyć całkowitą pochodną φ (\ Displaystyle \ varphi) Przez x , (\ displaystyle x,) zakładamy, że y (\ displaystyle y) może też zależeć X . (\ Displaystyle x.)
  - re φ re x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y re y re x (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d) ) \ varphi) ((\ operatorname (d) ) x)) = (\ frac (\ częściowe \ varphi )(\częściowe x))+(\frac (\częściowe \varphi )(\częściowe y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Porównanie warunków daje nam M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\ Displaystyle M (x, y) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi) (\ częściowe x)}) I N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\ Displaystyle N (x, y) = (\ frac (\ częściowe \ varphi) (\ częściowe y)).) Jest to typowy wynik dla równań z kilkoma zmiennymi, w których mieszane pochodne funkcji gładkich są sobie równe. Czasami ta sprawa jest nazywana Twierdzenie Clairauta. W tym przypadku równanie różniczkowe jest równaniem różniczkowym całkowitym, jeśli spełniony jest następujący warunek:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe M) (\ częściowe y)) = (\ Frac (\ częściowe N) (\ częściowe x)})
- Metoda rozwiązywania równań różniczkowych całkowitych jest podobna do znajdowania funkcji potencjalnych w obecności kilku pochodnych, co pokrótce omówimy. Najpierw się integrujemy M (\ displaystyle M) Przez X . (\ Displaystyle x.) Ponieważ M (\ displaystyle M) jest funkcją i x (\ displaystyle x), I y , (\ displaystyle y,) podczas całkowania otrzymujemy funkcję niepełną φ , (\ Displaystyle \ varphi,) oznaczone jako φ ~ (\ Displaystyle (\ tylda (\ varphi))). Wynik obejmuje również osobę zależną od y (\ displaystyle y) stała integracji.
  - φ (x, y) = ∫ M (x, y) re x = φ ~ (x, y) + do (y) (\ Displaystyle \ varphi (x, y) = \ int M (x, y) (\ operatorname (d) )x=(\tylda (\varphi ))(x,y)+c(y))
- Po to, aby dostać do (y) (\ displaystyle c (y)) możesz wziąć pochodną cząstkową wynikowej funkcji względem y , (\ displaystyle y,) zrównać wynik N (x, y) (\ Displaystyle N (x, y)) i integrować. Można też najpierw zintegrować N (\ displaystyle N), a następnie weź pochodną cząstkową względem x (\ displaystyle x), co pozwoli nam znaleźć dowolną funkcję d(x). (\ Displaystyle d (x).) Obie metody są odpowiednie i zwykle do integracji wybiera się prostszą funkcję.
  - N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + re do re y (\ Displaystyle N (x, y) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi ) (\ częściowe y)) = (\ frac (\ częściowe (\tylda (\varphi )))(\częściowe y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- Przykład 1.5. Możesz wziąć pochodne cząstkowe i sprawdzić, czy poniższe równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y re y re x = 0 (\ Displaystyle 3x ^ (2) + y ^ (2) + 2xy (\ Frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d)) x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) re x = x 3 + x y 2 + do (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + re do d y (\ Displaystyle (\ rozpocząć (wyrównane) \ varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\częściowo \varphi )(\częściowy y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(wyrównane)))
  - re do re y = 0 , do (y) = do (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) c) ((\ operatorname (d) ) y)) = 0, \ quad c (y) = C)
  - x 3 + x y 2 = do (\ Displaystyle x ^ (3) + xy ^ (2) = C)
- Jeśli równanie różniczkowe nie jest równaniem różniczkowym całkowitym, w niektórych przypadkach można znaleźć czynnik całkujący, który pozwoli przekonwertować je na równanie różniczkowe całkowite. Jednak takie równania są rzadko stosowane w praktyce i chociaż czynnik całkujący istnieje, okazuje się, że to się dzieje niełatwe, więc te równania nie są rozważane w tym artykule.

Część 2

Równania drugiego rzędu

Równania różniczkowe liniowe liniowe o stałych współczynnikach. Równania te są szeroko stosowane w praktyce, dlatego ich rozwiązanie ma ogromne znaczenie. W tym przypadku nie mówimy o funkcjach jednorodnych, ale o tym, że po prawej stronie równania jest 0. W następnej sekcji pokażemy, jak odpowiadające im heterogeniczny równania różniczkowe. Poniżej za (\ displaystyle a) I b (\ displaystyle b) są stałymi.
re 2 y re x 2 + za re y re x + b y = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d) ) ^ (2) y) ((\ operatorname (d)) x ^ (2))) + a (\ frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Równanie charakterystyczne. To równanie różniczkowe jest niezwykłe, ponieważ można je bardzo łatwo rozwiązać, jeśli zwrócisz uwagę na to, jakie właściwości powinny mieć jego rozwiązania. Z równania widać, że y (\ displaystyle y) a jego pochodne są do siebie proporcjonalne. Z poprzednich przykładów, które zostały omówione w części dotyczącej równań pierwszego rzędu, wiemy, że tylko funkcja wykładnicza ma tę właściwość. Dlatego możliwe jest przedłożenie anzatz(wykształcone przypuszczenie) o tym, jakie będzie rozwiązanie danego równania.
- Rozwiązanie będzie miało postać funkcji wykładniczej mi r x , (\ Displaystyle e ^ (rx)) Gdzie r (\ displaystyle r) jest stałą, której wartość należy znaleźć. Podstaw tę funkcję do równania i uzyskaj następujące wyrażenie
  - mi r x (r 2 + za r + b) = 0 (\ Displaystyle e ^ (rx) (r ^ (2) + ar + b) = 0)
- To równanie wskazuje, że iloczyn funkcji wykładniczej i wielomianu musi wynosić zero. Wiadomo, że wykładnik nie może być równy zeru dla żadnych wartości stopnia. Stąd wnioskujemy, że wielomian jest równy zeru. W ten sposób sprowadziliśmy problem rozwiązania równania różniczkowego do znacznie prostszego problemu rozwiązania równania algebraicznego, które nazywa się równaniem charakterystycznym dla danego równania różniczkowego.
  - r 2 + za r + b = 0 (\ Displaystyle r ^ (2) + ar + b = 0)
  - r ± = - a ± za 2 - 4 b 2 (\ Displaystyle r_ (\ pm) = (\ frac (-a \ pm (\ sqrt (a ^ (2) -4b))) (2)))
- Mamy dwa korzenie. Ponieważ to równanie różniczkowe jest liniowe, jego ogólne rozwiązanie jest liniową kombinacją rozwiązań cząstkowych. Ponieważ jest to równanie drugiego rzędu, wiemy, że tak jest Naprawdę rozwiązanie ogólne i innych nie ma. Bardziej rygorystyczne uzasadnienie tego leży w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania, które można znaleźć w podręcznikach.
- Przydatnym sposobem sprawdzenia, czy dwa rozwiązania są liniowo niezależne, jest obliczenie Wroński. Wroński W. (\ Displaystyle W)- jest to wyznacznik macierzy, w której kolumnach znajdują się funkcje i ich kolejne pochodne. Twierdzenie algebry liniowej stwierdza, że funkcje w Wrońskim są liniowo zależne, jeśli Wrońskian jest równy zeru. W tej sekcji możemy sprawdzić, czy dwa rozwiązania są liniowo niezależne, upewniając się, że Wrońskian jest różny od zera. Wrońskian jest ważny w rozwiązywaniu niejednorodnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach metodą wariacji parametrów.
  - w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\ Displaystyle W = (\ początek (vmatrix) y_ (1) i y_ (2) \\ y_ (1) "& y_ (2)" \ koniec (vmatrix)})
- Z punktu widzenia algebry liniowej zbiór wszystkich rozwiązań danego równania różniczkowego tworzy przestrzeń wektorową, której wymiar jest równy rzędowi równania różniczkowego. W tej przestrzeni można wybrać bazę liniowo niezależny decyzje od siebie. Jest to możliwe dzięki temu, że funkcja y (x) (\ displaystyle y (x)) ważny operator liniowy. Pochodna Jest operator liniowy, ponieważ przekształca przestrzeń funkcji różniczkowalnych w przestrzeń wszystkich funkcji. Równania nazywane są jednorodnymi w przypadkach, gdy dla pewnego operatora liniowego L (\ displaystyle L) wymagane jest znalezienie rozwiązania równania L [ y ] = 0. (\ Displaystyle L [y] = 0.)
Przejdźmy teraz do kilku konkretnych przykładów. Przypadek wielokrotnych pierwiastków równania charakterystycznego zostanie omówiony nieco później, w części dotyczącej redukcji rzędu.
Jeśli korzenie r ± (\ displaystyle r_ (\ pm)) są różnymi liczbami rzeczywistymi, równanie różniczkowe ma następujące rozwiązanie
- y (x) = do 1 mi r + x + do 2 mi r - x (\ Displaystyle y (x) = c_ (1) e ^ (r_ (+) x) + c_ (2) e ^ (r_ (-) x ))
Dwa złożone korzenie. Z podstawowego twierdzenia algebry wynika, że rozwiązania równań wielomianowych o rzeczywistych współczynnikach mają pierwiastki, które są rzeczywiste lub tworzą pary sprzężone. Dlatego jeśli liczba zespolona r = α + ja β (\ displaystyle r = \ alfa + i \ beta) jest zatem pierwiastkiem charakterystycznego równania r ∗ = α - ja β (\ Displaystyle r ^ (*) = \ alfa -i \ beta ) jest również pierwiastkiem tego równania. Zatem rozwiązanie można zapisać w postaci do 1 mi (α + ja β) x + do 2 mi (α - ja β) x , (\ Displaystyle c_ (1) e ^ ((\ alfa + i \ beta) x) + c_ (2) e ^ ( (\alfa -i\beta)x),) jest to jednak liczba zespolona i jest niepożądana w rozwiązywaniu praktycznych problemów.
- Zamiast tego możesz użyć Formuła Eulera mi ja x = sałata ⁡ x + ja grzech ⁡ x (\ Displaystyle e ^ (ix) = \ cos x + i \ sin x), co pozwala zapisać rozwiązanie w postaci funkcji trygonometrycznych:
  - mi α x (c 1 sałata ⁡ β x + ja do 1 grzech ⁡ β x + do 2 sałata ⁡ β x - ja do 2 grzech ⁡ β x) (\ Displaystyle e ^ (\ alfa x) (c_ (1) \ cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Teraz możesz zamiast stałej do 1 + do 2 (\ displaystyle c_ (1) + c_ (2)) zanotować do 1 (\ Displaystyle c_ (1)) i wyrażenie ja (c 1 - do 2) (\ Displaystyle i (c_ (1) -c_ (2))) zastąpione przez do 2 . (\ styl wyświetlania c_ (2).) Po tym otrzymujemy następujące rozwiązanie:
  - y (x) = mi α x (c 1 sałata ⁡ β x + do 2 grzech ⁡ β x) (\ Displaystyle y (x) = e ^ (\ alfa x) (c_ (1) \ cos \ beta x + c_ (2)\sin\beta x))
- Istnieje inny sposób zapisania rozwiązania w postaci amplitudy i fazy, który lepiej pasuje do problemów fizycznych.
- Przykład 2.1. Znajdźmy rozwiązanie podanego poniżej równania różniczkowego przy danych warunkach początkowych. W tym celu należy przyjąć otrzymane rozwiązanie, a także jego pochodną, i podstawiamy je do warunków początkowych, co pozwoli nam wyznaczyć dowolne stałe.
  - re 2 x re t 2 + 3 re x re t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = - 1 (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) ^ (2) x) (( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 ja (\ Displaystyle r ^ (2) + 3r + 10 = 0, \ quad r_ (\ pm) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )I)
  - x (t) = mi - 3 t / 2 (do 1 sałata ⁡ 31 2 t + do 2 grzech ⁡ 31 2 t) (\ Displaystyle x (t) = e ^ (-3 t / 2) \ lewo (c_ (1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = do 1 (\ Displaystyle x (0) = 1 = c_ (1))
  - x ′ (t) = - 3 2 mi - 3 t / 2 (do 1 sałata ⁡ 31 2 t + do 2 grzech ⁡ 31 2 t) + mi - 3 t / 2 (- 31 2 do 1 grzech ⁡ 31 2 t + 31 2 do 2 sałata ⁡ 31 2 t) (\Displaystyle (\begin(wyrównane)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(wyrównane)))
  - x ′ (0) = - 1 = - 3 2 do 1 + 31 2 do 2 , do 2 = 1 31 (\ Displaystyle x" (0) = -1 = - (\ Frac (3) (2)) c_ ( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = mi - 3 t / 2 (skład ⁡ 31 2 t + 1 31 grzech ⁡ 31 2 t) (\ Displaystyle x (t) = e ^ (-3 t/2) \ lewo (\ cos (\ frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
Rozwiązywanie równań różniczkowych n-tego rzędu ze stałymi współczynnikami (zarejestrowane przez Intuit - National Open University).
Kolejność obniżania. Redukcja rzędu to metoda rozwiązywania równań różniczkowych, gdy znane jest jedno liniowo niezależne rozwiązanie. Metoda ta polega na obniżeniu rzędu równania o jeden, co pozwala na rozwiązanie równania metodami opisanymi w poprzednim punkcie. Rozwiązanie niech będzie znane. Główną ideą obniżenia zamówienia jest znalezienie rozwiązania w poniższym formularzu, gdzie konieczne jest zdefiniowanie funkcji v (x) (\ displaystyle v (x)), podstawiając go do równania różniczkowego i znajdując v(x). (\ Displaystyle v (x).) Zastanówmy się, jak można zastosować redukcję rzędu do rozwiązania równania różniczkowego o stałych współczynnikach i wielu pierwiastkach.

Wiele korzeni jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach. Przypomnijmy, że równanie drugiego rzędu musi mieć dwa liniowo niezależne rozwiązania. Jeśli równanie charakterystyczne ma wiele pierwiastków, zbiór rozwiązań Nie tworzy przestrzeń, ponieważ te rozwiązania są liniowo zależne. W takim przypadku należy zastosować redukcję rzędu, aby znaleźć drugie liniowo niezależne rozwiązanie.
- Niech równanie charakterystyczne ma wiele pierwiastków r (\ displaystyle r). Zakładamy, że drugie rozwiązanie można zapisać jako y (x) = mi r x v (x) (\ Displaystyle y (x) = e ^ (rx) v (x)), i podstaw go do równania różniczkowego. W tym przypadku większość terminów, z wyjątkiem terminu z drugą pochodną funkcji v , (\ displaystyle v,) zostanie zredukowane.
  - v ″ (x) mi r x = 0 (\ Displaystyle v"" (x) e ^ (rx) = 0)
- Przykład 2.2. Biorąc pod uwagę następujące równanie, które ma wiele pierwiastków r = - 4. (\ displaystyle r = -4.) Podczas zastępowania większość warunków jest anulowana.
  - re 2 y re x 2 + 8 re y re x + 16 y = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d) ) ^ (2) y) ((\ operatorname (d)) x ^ (2))) + 8 ( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e - 4 x y ′ = v ′ (x) mi - 4 x - 4 v (x) mi - 4 x y ″ = v ″ (x) mi - 4 x - 8 v ′ (x) mi − 4 x + 16 v (x) mi − 4 x (\displaystyle (\begin(wyrównane)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(wyrównane)))
  - v ″ mi - 4 x - 8 v ′ mi - 4 x + 16 v mi - 4 x + 8 v ′ mi - 4 x - 32 v mi - 4 x + 16 v mi - 4 x = 0 {\ Displaystyle (\ rozpocząć (wyrównane )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(wyrównane)))
- Podobnie jak nasz ansatz dla równania różniczkowego o stałych współczynnikach, w tym przypadku tylko druga pochodna może być równa zeru. Całkujemy dwukrotnie i otrzymujemy żądane wyrażenie dla v (\ displaystyle v):
  - v (x) = do 1 + do 2 x (\ Displaystyle v (x) = c_ (1) + c_ (2) x)
- Wtedy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego o stałych współczynnikach, jeśli równanie charakterystyczne ma wiele pierwiastków, można zapisać w następującej postaci. Dla wygody możesz pamiętać, że aby uzyskać niezależność liniową, wystarczy po prostu pomnożyć drugi wyraz przez x (\ displaystyle x). Ten zbiór rozwiązań jest liniowo niezależny, a zatem znaleźliśmy wszystkie rozwiązania tego równania.
  - y (x) = (c 1 + do 2 x) mi r x (\ Displaystyle y (x) = (c_ (1) + c_ (2) x) e ^ (rx))
re 2 y re x 2 + p (x) re y re x + q (x) y = 0. (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) ^ (2) y) ((\ operatorname (d)) x ^ ( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Redukcja zamówienia ma zastosowanie, jeśli rozwiązanie jest znane y 1 (x) (\ Displaystyle y_ (1) (x)), które można znaleźć lub podać w opisie problemu.
- Szukamy rozwiązania w formie y (x) = v (x) y 1 (x) (\ Displaystyle y (x) = v (x) y_ (1) (x)) i podstawiamy to do tego równania:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\ Displaystyle v"" y_ ( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Ponieważ r 1 (\ displaystyle y_ (1)) jest rozwiązaniem równania różniczkowego, wszystkie wyrazy z v (\ displaystyle v) kurczą się. W efekcie zostaje równanie liniowe pierwszego rzędu. Aby zobaczyć to wyraźniej, zmieńmy zmienne w (x) = v ′ (x) (\ Displaystyle w (x) = v" (x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\ Displaystyle y_ (1) w "+ (2y_ (1)" + p (x) y_ (1)) w = 0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) re x) (\ Displaystyle w (x) = \ exp \ lewo (\ int \ lewo ((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
  - v (x) = ∫ w (x) re x (\ Displaystyle v (x) = \ int w (x) (\ operatorname (d) ) x)
- Jeśli całki można obliczyć, otrzymujemy ogólne rozwiązanie jako kombinację funkcji elementarnych. W przeciwnym razie rozwiązanie można pozostawić w postaci integralnej.
Równanie Cauchy'ego-Eulera. Równanie Cauchy'ego-Eulera jest przykładem równania różniczkowego drugiego rzędu z zmienne współczynniki, które mają dokładne rozwiązania. Równanie to jest stosowane w praktyce np. do rozwiązania równania Laplace'a we współrzędnych sferycznych.
X 2 re 2 y re x 2 + za x re y re x + b y = 0 (\ Displaystyle x ^ (2) (\ Frac ((\ operatorname (d)) ^ (2) y) ((\ operatorname (d)) x ^ (2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Równanie charakterystyczne. Jak widać, w tym równaniu różniczkowym każdy składnik zawiera współczynnik mocy, którego stopień jest równy rzędowi odpowiedniej pochodnej.
- Można więc próbować szukać rozwiązania w formie y (x) = x n , (\ Displaystyle y (x) = x ^ (n)) gdzie określić n (\ displaystyle n), tak jak szukaliśmy rozwiązania w postaci funkcji wykładniczej dla liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymujemy
  - x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\ Displaystyle x ^ (n) (n ^ (2) + (a-1) n + b) = 0)
- Aby użyć równania charakterystycznego, musimy to założyć x ≠ 0 (\ displaystyle x \ neq 0). Kropka x = 0 (\ Displaystyle x = 0) zwany regularny punkt osobliwy równanie różniczkowe. Takie punkty są ważne przy rozwiązywaniu równań różniczkowych za pomocą szeregów potęgowych. To równanie ma dwa pierwiastki, które mogą być różne i rzeczywiste, wielokrotne lub złożone.
  - n ± = 1 - za ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\ Displaystyle n_ (\ pm ) = (\ frac (1-a \ pm (\ sqrt ((a-1) ^ (2) -4b )))(2)))
Dwa różne korzenie rzeczywiste. Jeśli korzenie n ± (\ displaystyle n_ (\ pm)) są rzeczywiste i różne, to rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:
- y (x) = do 1 x n + + do 2 x n - (\ Displaystyle y (x) = c_ (1) x ^ (n_ (+)) + c_ (2) x ^ (n_ (-)))
Dwa złożone korzenie. Jeśli równanie charakterystyczne ma pierwiastki n ± = α ± β ja (\ Displaystyle n_ (\ pm) = \ alfa \ pm \ beta i), rozwiązaniem jest funkcja zespolona.
- Aby przekształcić rozwiązanie w funkcję rzeczywistą, dokonujemy zamiany zmiennych x = mi t , (\ displaystyle x = e ^ (t)) to jest t = ln ⁡ x , (\ Displaystyle t = \ ln x,) i skorzystaj ze wzoru Eulera. Podobne działania wykonywano wcześniej przy definiowaniu dowolnych stałych.
  - y (t) = mi α t (c 1 mi β ja t + do 2 mi - β ja t) (\ Displaystyle y (t) = e ^ (\ alfa t) (c_ (1) e ^ (\ beta to) + c_(2)e^(-\beta to)))
- Wtedy rozwiązanie ogólne można zapisać jako
  - y (x) = x α (c 1 sałata ⁡ (β ln ⁡ x) + do 2 grzech ⁡ (β ln ⁡ x)) (\ Displaystyle y (x) = x ^ (\ alfa) (c_ (1) \ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Wiele korzeni. Aby otrzymać drugie rozwiązanie liniowo niezależne, należy ponownie zredukować rząd.
- Wymaga to sporo obliczeń, ale zasada jest taka sama: podstawiamy y = v (x) y 1 (\ Displaystyle y = v (x) y_ (1)) do równania, którego pierwszym rozwiązaniem jest r 1 (\ displaystyle y_ (1)). Po redukcjach otrzymuje się następujące równanie:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\ Displaystyle v "" + (\ Frac (1) (x)) v" = 0)
- Jest to równanie liniowe pierwszego rzędu względem v′ (x) . (\ Displaystyle v "(x).) Jego rozwiązaniem jest v (x) = do 1 + do 2 ln ⁡ x . (\ Displaystyle v (x) = c_ (1) + c_ (2) \ ln x.) Zatem rozwiązanie można zapisać w następującej postaci. Jest to dość łatwe do zapamiętania - aby otrzymać drugie liniowo niezależne rozwiązanie, wystarczy dodatkowy wyraz z ln ⁡ x (\ Displaystyle \ ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + do 2 ln ⁡ x) (\ Displaystyle y (x) = x ^ (n) (c_ (1) + c_ (2) \ ln x))
Niejednorodne liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach. Równania niejednorodne mają postać L [ y (x) ] = fa (x) , (\ Displaystyle L = f (x)) Gdzie fa (x) (\ displaystyle f (x))- tak zwana Wolny Członek. Zgodnie z teorią równań różniczkowych ogólnym rozwiązaniem tego równania jest superpozycja prywatna decyzja y p (x) (\ Displaystyle y_ (p) (x)) I dodatkowe rozwiązanie y c (x) . (\ Displaystyle y_ (c) (x).) Jednak w tym przypadku konkretne rozwiązanie nie oznacza rozwiązania określonego przez warunki początkowe, ale raczej rozwiązanie wynikające z obecności niejednorodności (człon wolny). Rozwiązaniem komplementarnym jest rozwiązanie odpowiedniego jednorodnego równania, w którym fa (x) = 0. (\ displaystyle f (x) = 0.) Rozwiązaniem ogólnym jest superpozycja tych dwóch rozwiązań, ponieważ L [ y p + y do ] = L [ y p ] + L [ y do ] = fa (x) (\ Displaystyle L = L + L = f (x)) i od tego czasu L [ y do ] = 0 , (\ Displaystyle L = 0,) taka superpozycja jest rzeczywiście rozwiązaniem ogólnym.
re 2 y re x 2 + za re y re x + b y = fa (x) (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d) ) ^ (2) y) ((\ operatorname (d)) x ^ (2))) + a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
Metoda nieokreślonych współczynników. Metodę współczynników nieokreślonych stosuje się w przypadkach, gdy wyraz wolny jest kombinacją funkcji wykładniczych, trygonometrycznych, hiperbolicznych lub potęgowych. Tylko te funkcje mają gwarantowaną skończoną liczbę liniowo niezależnych pochodnych. W tej sekcji znajdziemy konkretne rozwiązanie równania.
- Porównaj warunki w fa (x) (\ displaystyle f (x)) z terminami w ignorowaniu stałych czynników. Możliwe są trzy przypadki.
  - Nie ma identycznych członków. W tym przypadku konkretne rozwiązanie y p (\ displaystyle y_ (p)) będzie liniową kombinacją wyrazów z y p (\ displaystyle y_ (p))
  - fa (x) (\ displaystyle f (x)) zawiera członka x n (\ displaystyle x ^ (n)) i członek z y do , (\ displaystyle y_ (c)) Gdzie n (\ displaystyle n) jest zerem lub dodatnią liczbą całkowitą, a wyraz ten odpowiada pojedynczemu pierwiastkowi równania charakterystycznego. W tym przypadku y p (\ displaystyle y_ (p)) będzie składał się z kombinacji funkcji x n + 1 godz (x) , (\ Displaystyle x ^ (n + 1) h (x)) jego liniowo niezależne pochodne, a także inne terminy fa (x) (\ displaystyle f (x)) i ich liniowo niezależne pochodne.
  - fa (x) (\ displaystyle f (x)) zawiera członka h (x) , (\ displaystyle h (x)) co jest dziełem x n (\ displaystyle x ^ (n)) i członek z y do , (\ displaystyle y_ (c)) Gdzie n (\ displaystyle n) jest równe 0 lub dodatniej liczbie całkowitej, a ten termin odpowiada wiele pierwiastek z równania charakterystycznego. W tym przypadku y p (\ displaystyle y_ (p)) jest kombinacją liniową funkcji x n + s h (x) (\ Displaystyle x ^ (n + s) h (x))(Gdzie s (\ displaystyle s)- krotność pierwiastka) i jej pochodne liniowo niezależne, a także inne składowe funkcji fa (x) (\ displaystyle f (x)) i jego liniowo niezależne pochodne.
- Zapiszmy y p (\ displaystyle y_ (p)) jako liniowa kombinacja powyższych terminów. Ze względu na te współczynniki w kombinacji liniowej metoda ta nazywana jest „metodą współczynników nieokreślonych”. Po pojawieniu się tych zawartych w y do (\ displaystyle y_ (c)) ich członków można odrzucić ze względu na obecność dowolnych stałych w y c . (\ Displaystyle y_ (c).) Po tym zastępujemy y p (\ displaystyle y_ (p)) do równania i zrównać wyrazy podobne.
- Wyznaczamy współczynniki. Na tym etapie uzyskuje się układ równań algebraicznych, który zwykle można rozwiązać bez specjalnych problemów. Rozwiązanie tego układu umożliwia uzyskanie y p (\ displaystyle y_ (p)) i w ten sposób rozwiązać równanie.
- Przykład 2.3. Rozważmy niejednorodne równanie różniczkowe, którego wyraz wolny zawiera skończoną liczbę liniowo niezależnych pochodnych. Konkretne rozwiązanie takiego równania można znaleźć metodą współczynników nieokreślonych.
  - re 2 y re t 2 + 6 y = 2 mi 3 t - sałata ⁡ 5 t (\ Displaystyle (\ Frac ((\ operatorname (d)) ^ (2) y) ((\ operatorname (d)) t ^ (2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y do (t) = do 1 sałata ⁡ 6 t + do 2 grzech ⁡ 6 t (\ Displaystyle y_ (c) (t) = c_ (1) \ sałata (\ sqrt (6)) t + c_ (2) \ sin (\sqrt(6))t)
  - y p (t) = ZA mi 3 t + b sałata ⁡ 5 t + do grzech ⁡ 5 t (\ Displaystyle y_ (p) (t) = Ae ^ (3 t) + B \ cos 5 t + C \ sin 5 t)
  - 9 ZA mi 3 t - 25 b sałata ⁡ 5 t - 25 do grzech ⁡ 5 t + 6 ZA mi 3 t + 6 b sałata ⁡ 5 t + 6 do grzech ⁡ 5 t = 2 mi 3 t - sałata ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(wyrównane)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(wyrównane)))
  - ( 9 ZA + 6 ZA = 2 , ZA = 2 15 - 25 b + 6 b = - 1 , b = 1 19 - 25 do + 6 do = 0 , do = 0 {\Displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ koniec (przypadki)))
  - y (t) = do 1 sałata ⁡ 6 t + do 2 grzech ⁡ 6 t + 2 15 mi 3 t + 1 19 sałata ⁡ 5 t (\ Displaystyle y (t) = c_ (1) \ sałata (\ sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Metoda Lagrange'a. Metoda Lagrange'a, czyli metoda wariacji dowolnych stałych, jest bardziej ogólną metodą rozwiązywania niejednorodnych równań różniczkowych, zwłaszcza w przypadkach, gdy wyraz wolny nie zawiera skończonej liczby liniowo niezależnych pochodnych. Na przykład z bezpłatnymi członkami dębnik ⁡ x (\ Displaystyle \ tan x) Lub x - n (\ Displaystyle x ^ (-n)) aby znaleźć konkretne rozwiązanie, konieczne jest użycie metody Lagrange'a. Metodę Lagrange'a można nawet stosować do rozwiązywania równań różniczkowych ze zmiennymi współczynnikami, chociaż w tym przypadku, z wyjątkiem równania Cauchy'ego-Eulera, jest ona rzadziej stosowana, ponieważ dodatkowe rozwiązanie zwykle nie jest wyrażane za pomocą funkcji elementarnych.
- Załóżmy, że rozwiązanie ma następującą postać. Jego pochodna jest podana w drugim wierszu.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\ Displaystyle y (x) = v_ (1) (x) y_ (1) (x) + v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\ Displaystyle y" = v_ (1)" y_ (1) + v_ (1) y_ (1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Ponieważ proponowane rozwiązanie zawiera dwa nieznane ilości, konieczne jest nałożenie dodatkowy stan : schorzenie. Ten dodatkowy warunek wybieramy w następującej postaci:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\ Displaystyle v_ (1) "y_ (1) + v_ (2)" y_ (2) = 0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ Displaystyle y "= v_ (1) y_ (1)" + v_ (2) y_ (2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ Displaystyle y"" = v_ (1) "y_ (1)" + v_ (1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Teraz możemy otrzymać drugie równanie. Po zastąpieniu i ponownym rozmieszczeniu członków możesz grupować członków razem z v 1 (\ displaystyle v_ (1)) i członków z v 2 (\ displaystyle v_ (2)). Warunki te zostały anulowane, ponieważ r 1 (\ displaystyle y_ (1)) I y 2 (\ displaystyle y_ (2)) są rozwiązaniami odpowiedniego równania jednorodnego. W rezultacie otrzymujemy następujący układ równań
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = fa (x) (\ Displaystyle (\ rozpocząć (wyrównane) v_ (1) "y_ (1) + v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\koniec (wyrównany)))
- Układ ten można przekształcić w równanie macierzowe postaci ZA x = b , (\ Displaystyle A (\ mathbf (x)) = (\ mathbf (b) ),) którego rozwiązaniem jest x = ZA - 1 b . (\ Displaystyle (\ mathbf (x) ) = A ^ (-1) (\ mathbf (b) ).) Dla matrycy 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ razy 2) macierz odwrotną można znaleźć, dzieląc przez wyznacznik, permutując elementy przekątne i odwracając znak elementów poza przekątną. W rzeczywistości wyznacznikiem tej macierzy jest Wrońskian.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 fa (x)) (\ Displaystyle (\ rozpocząć (pmatrix) v_ (1)"\\ v_ ( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- Wyrażenia dla v 1 (\ displaystyle v_ (1)) I v 2 (\ displaystyle v_ (2)) są wymienione poniżej. Podobnie jak w metodzie redukcji rzędu, w tym przypadku podczas całkowania pojawia się dowolna stała, która zawiera dodatkowe rozwiązanie w ogólnym rozwiązaniu równania różniczkowego.
  - v 1 (x) = - ∫ 1 W fa (x) y 2 (x) re x (\ Displaystyle v_ (1) (x) = - \ int (\ Frac (1) (W)) f (x) y_ ( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W fa (x) y 1 (x) re x (\ Displaystyle v_ (2) (x) = \ int (\ Frac (1) (W)) f (x) y_ (1) (x)(\mathrm (d) )x)
Wykład National Open University Intuit pt. "Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu ze stałymi współczynnikami".

Praktyczne użycie

Równania różniczkowe ustalają związek między funkcją a jedną lub kilkoma jej pochodnymi. Ponieważ takie zależności są tak powszechne, równania różniczkowe znalazły szerokie zastosowanie w wielu różnych dziedzinach, a ponieważ żyjemy w czterech wymiarach, równania te są często równaniami różniczkowymi w prywatny pochodne. W tej sekcji omówiono niektóre z najważniejszych równań tego typu.

Wykładniczy wzrost i spadek. rozpad promieniotwórczy. Oprocentowanie składane. Szybkość reakcji chemicznych. Stężenie leków we krwi. Nieograniczony wzrost populacji. Prawo Newtona-Richmanna. W świecie rzeczywistym istnieje wiele systemów, w których tempo wzrostu lub spadku w dowolnym momencie jest proporcjonalne do ilości w tym czasie lub może być dobrze przybliżone za pomocą modelu. Dzieje się tak, ponieważ rozwiązanie tego równania różniczkowego, funkcja wykładnicza, jest jedną z najważniejszych funkcji w matematyce i innych naukach. Bardziej ogólnie, przy kontrolowanym wzroście populacji, system może zawierać dodatkowe warunki, które ograniczają wzrost. W poniższym równaniu stała k (\ displaystyle k) może być większy lub mniejszy od zera.
- re y re x = k x (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d) ) x)) = kx)
Wibracje harmoniczne. Zarówno w mechanice klasycznej, jak i kwantowej oscylator harmoniczny jest jednym z najważniejszych układów fizycznych ze względu na swoją prostotę i szerokie zastosowanie do aproksymacji bardziej złożonych układów, takich jak proste wahadło. W mechanice klasycznej oscylacje harmoniczne są opisywane równaniem, które wiąże położenie punktu materialnego z jego przyspieszeniem zgodnie z prawem Hooke'a. W tym przypadku można również uwzględnić tłumienie i siły napędowe. W wyrażeniu poniżej x ˙ (\ Displaystyle (\ kropka (x)))- pochodna czasu x , (\ displaystyle x,) β (\ Displaystyle \ beta) jest parametrem opisującym siłę tłumienia, ω 0 (\ Displaystyle \ omega _ (0))- częstotliwość kątowa układu, fa (t) (\ displaystyle F (t)) jest siłą napędową zależną od czasu. Oscylator harmoniczny występuje również w elektromagnetycznych obwodach oscylacyjnych, gdzie można go zaimplementować z większą dokładnością niż w układach mechanicznych.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = fa (t) (\ Displaystyle (\ ddot (x)) + 2 \ beta (\ kropka (x)) + \ omega _ (0) ^ (2) x =F(t))
Równanie Bessela. Równanie różniczkowe Bessela jest stosowane w wielu dziedzinach fizyki, w tym w rozwiązaniu równania falowego, równania Laplace'a i równania Schrödingera, zwłaszcza w obecności symetrii cylindrycznej lub sferycznej. To równanie różniczkowe drugiego rzędu ze zmiennymi współczynnikami nie jest równaniem Cauchy'ego-Eulera, więc jego rozwiązań nie można zapisać jako funkcji elementarnych. Rozwiązaniami równania Bessela są funkcje Bessela, które są dobrze zbadane ze względu na to, że są wykorzystywane w wielu dziedzinach. W wyrażeniu poniżej α (\ displaystyle \ alpha) jest stałą, która pasuje zamówienie Funkcje Bessela.
- x 2 re 2 y re x 2 + x re y re x + (x 2 - α 2) y = 0 (\ Displaystyle x ^ (2) (\ Frac ((\ operatorname (d) ) ^ (2) y) ((\ operatorname (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Równania Maxwella. Wraz z siłą Lorentza równania Maxwella stanowią podstawę elektrodynamiki klasycznej. To są cztery równania różniczkowe cząstkowe dla elektryczności mi (r , t) (\ Displaystyle (\ mathbf (E) ) ((\ mathbf (r)), t)) i magnetyczny b (r , t) (\ Displaystyle (\ mathbf (B)) ((\ mathbf (r)), t)) pola. W wyrażeniach poniżej ρ = ρ (r , t) (\ Displaystyle \ rho = \ rho ((\ mathbf (r)), t))- gęstość ładunku, jot = jot (r , t) (\ Displaystyle (\ mathbf (J)) = (\ mathbf (J)) ((\ mathbf (r)), t)) jest gęstością prądu i ϵ 0 (\ Displaystyle \ epsilon _ (0)) I μ 0 (\ Displaystyle \ mu _ (0)) są odpowiednio stałymi elektrycznymi i magnetycznymi.
- ∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ b = 0 ∇ × mi = - ∂ b ∂ t ∇ × b = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ mi ∂ t (\ Displaystyle (\ rozpocząć (wyrównane) \ nabla \ cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\częściowe (\mathbf (B) ))(\częściowe t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\częściowe (\mathbf (E) ))(\częściowe t))\end(wyrównane)))
Równanie Schrödingera. W mechanice kwantowej równanie Schrödingera jest podstawowym równaniem ruchu opisującym ruch cząstek zgodnie ze zmianą funkcji falowej Ψ = Ψ (r , t ) (\ Displaystyle \ Psi = \ Psi ((\ mathbf (r)), t)) z czasem. Równanie ruchu jest opisane przez zachowanie Hamiltonian H ^ (\ Displaystyle (\ kapelusz (H))) - operator, który opisuje energię układu. Jednym z dobrze znanych przykładów równania Schrödingera w fizyce jest równanie na jedną nierelatywistyczną cząstkę, na którą oddziałuje potencjał V (r , t) (\ Displaystyle V ((\ mathbf (r)), t)). Wiele systemów jest opisanych zależnym od czasu równaniem Schrödingera, z równaniem po lewej stronie mi Ψ , (\ displaystyle E \ psi ,) Gdzie mi (\ Displaystyle E) jest energią cząstki. W wyrażeniach poniżej ℏ (\ Displaystyle \ hbar) jest zredukowaną stałą Plancka.
- ja ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\ Displaystyle i \ hbar (\ Frac (\ częściowe \ Psi) (\ częściowe t)) = (\ kapelusz (H)) \ Psi )
- ja ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\ Displaystyle i \ hbar (\ Frac (\ częściowe \ Psi ) (\ częściowe t)) = \ lewo (- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
równanie falowe. Nie sposób wyobrazić sobie fizyki i technologii bez fal, są one obecne we wszystkich typach systemów. Ogólnie fale są opisane poniższym równaniem, w którym u = u (r , t) (\ Displaystyle u = u ((\ mathbf (r)), t)) jest pożądaną funkcją i do (\ displaystyle c)- stała wyznaczona doświadczalnie. d'Alembert jako pierwszy odkrył, że dla przypadku jednowymiarowego rozwiązaniem równania falowego jest każdy funkcja z argumentem x - do t (\ displaystyle x-ct), który opisuje dowolną falę rozchodzącą się w prawo. Ogólnym rozwiązaniem dla przypadku jednowymiarowego jest liniowa kombinacja tej funkcji z drugą funkcją z argumentem x + do t (\ displaystyle x + ct), który opisuje falę rozchodzącą się w lewo. To rozwiązanie jest przedstawione w drugim wierszu.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = do 2 ∇ 2 u (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe ^ (2) u) (\ częściowe t ^ (2))) = c ^ (2) \ nabla ^ (2) u )
- u (x, t) = fa (x - do t) + sol (x + do t) (\ Displaystyle u (x, t) = f (x-ct) + g (x + ct))
Równania Naviera-Stokesa. Równania Naviera-Stokesa opisują ruch płynów. Ponieważ płyny są obecne w praktycznie każdej dziedzinie nauki i technologii, równania te są niezwykle ważne dla przewidywania pogody, projektowania samolotów, prądów oceanicznych i wielu innych zastosowań. Równania Naviera-Stokesa są nieliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi iw większości przypadków bardzo trudno je rozwiązać, ponieważ nieliniowość prowadzi do turbulencji, a aby uzyskać stabilne rozwiązanie metodami numerycznymi, podział na bardzo małe komórek, co wymaga znacznej mocy obliczeniowej. Ze względów praktycznych w hydrodynamice do modelowania przepływów turbulentnych stosuje się metody takie jak uśrednianie w czasie. Jeszcze bardziej podstawowe pytania, takie jak istnienie i jednoznaczność rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych, są złożonymi problemami, a udowodnienie istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań Naviera-Stokesa w trzech wymiarach należy do problemów matematycznych tysiąclecia . Poniżej znajduje się równanie przepływu płynu nieściśliwego i równanie ciągłości.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u - ν ∇ 2 u = - ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ Displaystyle (\ frac (\ częściowe (\ mathbf (u) ) )(\częściowe t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\częściowe \rho )(\częściowe t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Wielu równań różniczkowych po prostu nie da się rozwiązać powyższymi metodami, zwłaszcza tymi wymienionymi w ostatniej sekcji. Ma to zastosowanie, gdy równanie zawiera zmienne współczynniki i nie jest równaniem Cauchy'ego-Eulera lub gdy równanie jest nieliniowe, z wyjątkiem kilku bardzo rzadkich przypadków. Powyższe metody pozwalają jednak rozwiązać wiele ważnych równań różniczkowych, które często spotyka się w różnych dziedzinach nauki.
W przeciwieństwie do różniczkowania, które pozwala znaleźć pochodną dowolnej funkcji, całki wielu wyrażeń nie da się wyrazić w funkcjach elementarnych. Dlatego nie trać czasu na próby obliczenia całki tam, gdzie jest to niemożliwe. Spójrz na tablicę całek. Jeśli rozwiązania równania różniczkowego nie można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych, czasami można je przedstawić w postaci całkowej, aw tym przypadku nie ma znaczenia, czy tę całkę można obliczyć analitycznie.

Ostrzeżenia

Wygląd równanie różniczkowe może być mylące. Na przykład poniżej znajdują się dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu. Pierwsze równanie można łatwo rozwiązać za pomocą metod opisanych w tym artykule. Na pierwszy rzut oka niewielka zmiana y (\ displaystyle y) NA r 2 (\ displaystyle y ^ (2)) w drugim równaniu czyni je nieliniowym i staje się bardzo trudne do rozwiązania.
- re y re x = x 2 + y (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d) ) x)) = x ^ (2) + y)
- re y re x = x 2 + y 2 (\ Displaystyle (\ frac ((\ operatorname (d)) y) ((\ operatorname (d) ) x)) = x ^ (2) + y ^ (2))

Pierwszy rząd, który ma postać standardową $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, gdzie $P\left(x\right)$ jest funkcją ciągłą, nazywany jest liniowym jednorodnym. nazwę „liniową” tłumaczy się tym, że nieznana funkcja $y$ i jej pierwsza pochodna $y"$ wchodzą do równania liniowo, czyli do pierwszego stopnia. Nazwę „jednorodny” tłumaczy fakt, że zero znajduje się po prawej stronie równania.

Takie równanie różniczkowe można rozwiązać metodą rozdzielania zmiennych. Przedstawmy to w postaci metody standardowej: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, gdzie $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right) $ i $f_(2) \left(y\right)=y$.

Obliczmy całkę $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Oblicz całkę $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right| $ .

Zróbmy przekształcenia:

Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Ta równość jest z kolei równoważna $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Zastępując dowolną stałą $C=\pm C_(1) $, otrzymujemy ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Rozwiązując równanie $f_(2) \left(y\right)=y=0$, znajdujemy rozwiązania szczególne. Za pomocą prostego sprawdzenia upewniamy się, że funkcja $y=0$ jest rozwiązaniem szczególnym podanego równania różniczkowego.

Jednak to samo rozwiązanie można uzyskać z ogólnego rozwiązania $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ ustawiając w nim $C=0$.

Ostateczny wynik to: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Ogólną metodę rozwiązywania liniowego jednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu można przedstawić jako następujący algorytm:

Aby rozwiązać to równanie, należy je najpierw przedstawić w postaci standardowej metody $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Jeśli nie udało się tego osiągnąć, to równanie różniczkowe należy rozwiązać przez inna metoda.
Oblicz całkę $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Ogólne rozwiązanie zapisujemy jako $y=C\cdot e^(-I) $ iw razie potrzeby przeprowadzamy przekształcenia upraszczające.

Zadanie 1

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.

Mamy liniowe równanie jednorodne pierwszego rzędu w postaci standardowej, dla którego $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Oblicz całkę $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

Ogólne rozwiązanie to: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Liniowe niejednorodne równania różniczkowe pierwszego rzędu

Definicja

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które można przedstawić w postaci standardowej $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, gdzie $P\left(x\right) $ i $ Q\left(x\right)$ -- znane funkcje ciągłe, nazywane są liniowymi niejednorodnymi równaniami różniczkowymi. Nazwę "niejednorodne" tłumaczy fakt, że prawa strona równania różniczkowego jest różna od zera.

Rozwiązanie jednego złożonego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego można sprowadzić do rozwiązania dwóch prostszych równań różniczkowych. W tym celu żądaną funkcję $y$ należy zastąpić iloczynem dwóch funkcji pomocniczych $u$ i $v$, czyli umieścić $y=u\cdot v$.

Rozróżniamy przyjęte zamienniki: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Wynikowe wyrażenie podstawiamy do tego równania różniczkowego: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ lub $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ prawo] =Q\lewo(x\prawo)$.

Zauważmy, że jeśli przyjęto $y=u\cdot v$, to jedną z funkcji pomocniczych można wybrać dowolnie jako część iloczynu $u\cdot v$. Wybieramy funkcję pomocniczą $v$ tak, że wyrażenie w nawiasach kwadratowych znika. W tym celu wystarczy rozwiązać równanie różniczkowe $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ względem funkcji $v$ i wybrać dla niej najprostszą konkretną rozwiązanie $v=v\left(x \right)$ niezerowe. To równanie różniczkowe jest liniowo jednorodne i rozwiązuje się je powyższą metodą.

Wynikowe rozwiązanie $v=v\left(x\right)$ podstawiamy do tego równania różniczkowego, biorąc pod uwagę fakt, że teraz wyrażenie w nawiasach kwadratowych jest równe zeru i otrzymujemy jeszcze jedno równanie różniczkowe, ale teraz z względem funkcji pomocniczej $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. To równanie różniczkowe można przedstawić jako $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, po czym staje się oczywiste, że dopuszcza bezpośrednia integracja. Dla tego równania różniczkowego konieczne jest znalezienie ogólnego rozwiązania w postaci $u=u\left(x,\; C\right)$.

Teraz możemy znaleźć ogólne rozwiązanie tego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu w postaci $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Ogólną metodę rozwiązywania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu można przedstawić jako następujący algorytm:

Aby rozwiązać to równanie, należy je najpierw przedstawić w postaci standardowej metody $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Jeśli to nie zostanie osiągnięte, to to równanie różniczkowe należy rozwiązać inną metodą.
Oblicz całkę $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, zapisz konkretne rozwiązanie jako $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, wykonaj przekształcenia upraszczające i wybierz najprostszy niezerowy wariant dla $v\left(x\right)$.
Obliczamy całkę $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, po czym zapisujemy wyrażenie jako $u\left (x, C\prawo)=I_(2) +C$.
Ogólne rozwiązanie tego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego zapisujemy w postaci $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ i jeśli to konieczne, przeprowadzamy przekształcenia upraszczające.

Zadanie 2

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Mamy liniowe niejednorodne równanie pierwszego rzędu w postaci standardowej, dla których $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ i $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Oblicz całkę $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Konkretne rozwiązanie zapisujemy jako $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ i wykonujemy przekształcenia upraszczające: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ prawo|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\lewo(x\prawo)=\lewo|x\prawo|$. Wybieramy dla $v\left(x\right)$ najprostszy niezerowy wariant: $v\left(x\right)=x$.

Oblicz całkę $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) \ cdot dx=3\cdot x $.

Zapisujemy wyrażenie $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.

Na koniec zapiszemy ogólne rozwiązanie tego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego w postaci $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, czyli $y=\left(3\ cdot x+C \po prawej)\cdot x$.

Myślę, że powinniśmy zacząć od historii tak wspaniałego narzędzia matematycznego jak równania różniczkowe. Podobnie jak wszystkie rachunki różniczkowe i całkowe, równania te zostały wynalezione przez Newtona pod koniec XVII wieku. To właśnie jego odkrycie uznał za tak ważne, że zaszyfrował nawet wiadomość, którą dziś można przetłumaczyć mniej więcej tak: „Wszystkie prawa natury są opisane równaniami różniczkowymi”. Może się to wydawać przesadą, ale to prawda. Każde prawo fizyki, chemii, biologii można opisać tymi równaniami.

Ogromny wkład w rozwój i stworzenie teorii równań różniczkowych wnieśli matematycy Euler i Lagrange. Już w XVIII wieku odkryli i rozwinęli to, czego obecnie studiują na wyższych kursach uniwersytetów.

Nowy kamień milowy w badaniu równań różniczkowych rozpoczął się dzięki Henri Poincaremu. Stworzył „jakościową teorię równań różniczkowych”, która w połączeniu z teorią funkcji zmiennej zespolonej wniosła znaczący wkład do podstaw topologii – nauki o przestrzeni i jej własnościach.

Co to są równania różniczkowe?

Wiele osób boi się jednego wyrażenia, jednak w tym artykule szczegółowo opiszemy całą istotę tego bardzo przydatnego aparatu matematycznego, który w rzeczywistości nie jest tak skomplikowany, jak mogłoby się wydawać z nazwy. Aby zacząć mówić o równaniach różniczkowych pierwszego rzędu, należy najpierw zapoznać się z podstawowymi pojęciami, które są nieodłącznie związane z tą definicją. Zacznijmy od różnicówki.

Mechanizm różnicowy

Wiele osób zna to pojęcie ze szkoły. Przyjrzyjmy się mu jednak bliżej. Wyobraź sobie wykres funkcji. Możemy ją powiększyć do takiego stopnia, że dowolny jej odcinek przybierze postać linii prostej. Na nim bierzemy dwa punkty, które są nieskończenie blisko siebie. Różnica między ich współrzędnymi (x lub y) będzie wartością nieskończenie małą. Nazywa się to różniczką i jest oznaczane znakami dy (różniczka od y) i dx (różniczka od x). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że różniczka nie jest wartością skończoną i takie jest jej znaczenie i główna funkcja.

A teraz należy rozważyć następujący element, który będzie nam przydatny w wyjaśnianiu pojęcia równania różniczkowego. To jest pochodna.

Pochodna

Wszyscy prawdopodobnie słyszeliśmy to pojęcie w szkole. Mówi się, że pochodna jest tempem wzrostu lub spadku funkcji. Jednak wiele z tej definicji staje się niezrozumiałe. Spróbujmy wyjaśnić pochodną w kategoriach różniczek. Wróćmy do nieskończenie małego odcinka funkcji z dwoma punktami, które znajdują się w minimalnej odległości od siebie. Ale nawet dla tej odległości funkcja zmienia się o pewną wartość. Aby opisać tę zmianę, wymyślili pochodną, którą inaczej można zapisać jako stosunek różniczek: f (x) "=df / dx.

Teraz warto zastanowić się nad podstawowymi własnościami pochodnej. Jest ich tylko trzech:

Pochodną sumy lub różnicy można przedstawić jako sumę lub różnicę pochodnych: (a+b)"=a"+b" i (a-b)"=a"-b".
Druga właściwość jest związana z mnożeniem. Pochodna iloczynu jest sumą iloczynów jednej funkcji i pochodnej innej: (a*b)"=a"*b+a*b".
Pochodną różnicy można zapisać jako następującą równość: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Wszystkie te właściwości będą nam przydatne do znajdowania rozwiązań równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Istnieją również pochodne cząstkowe. Powiedzmy, że mamy funkcję z, która zależy od zmiennych x i y. Aby obliczyć pochodną cząstkową tej funkcji, powiedzmy, względem x, musimy przyjąć zmienną y jako stałą i po prostu różniczkować.

Całka

Innym ważnym pojęciem jest całka. W rzeczywistości jest to bezpośrednie przeciwieństwo pochodnej. Istnieje kilka typów całek, ale aby rozwiązać najprostsze równania różniczkowe, potrzebujemy najbardziej trywialnych

Więc powiedzmy, że mamy pewną zależność f od x. Bierzemy z tego całkę i otrzymujemy funkcję F (x) (często nazywaną funkcją pierwotną), której pochodna jest równa funkcji pierwotnej. Zatem F(x)”=f(x). Wynika z tego również, że całka pochodnej jest równa funkcji pierwotnej.

Podczas rozwiązywania równań różniczkowych bardzo ważne jest zrozumienie znaczenia i funkcji całki, ponieważ będziesz musiał je bardzo często wykonywać, aby znaleźć rozwiązanie.

Równania różnią się w zależności od ich charakteru. W następnej sekcji rozważymy typy równań różniczkowych pierwszego rzędu, a następnie nauczymy się, jak je rozwiązywać.

Klasy równań różniczkowych

„Diffura” są podzielone zgodnie z kolejnością zawartych w nich pochodnych. Tak więc istnieje pierwsze, drugie, trzecie i kolejne zamówienie. Można je również podzielić na kilka klas: pochodne zwykłe i cząstkowe.

W tym artykule rozważymy zwykłe równania różniczkowe pierwszego rzędu. W kolejnych sekcjach omówimy również przykłady i sposoby ich rozwiązania. Rozważymy tylko ODE, ponieważ są to najpowszechniejsze typy równań. Zwykłe dzielą się na podgatunki: z rozłącznymi zmiennymi, jednorodne i heterogeniczne. Następnie dowiesz się, czym się od siebie różnią i nauczysz się je rozwiązywać.

Ponadto równania te można połączyć, dzięki czemu otrzymamy układ równań różniczkowych pierwszego rzędu. Rozważymy również takie systemy i nauczymy się je rozwiązywać.

Dlaczego rozważamy tylko pierwsze zamówienie? Ponieważ musisz zacząć od prostego i po prostu niemożliwe jest opisanie wszystkiego, co dotyczy równań różniczkowych w jednym artykule.

Równania ze zmiennymi separowalnymi

Są to prawdopodobnie najprostsze równania różniczkowe pierwszego rzędu. Należą do nich przykłady, które można zapisać w następujący sposób: y "=f (x) * f (y). Aby rozwiązać to równanie, potrzebujemy wzoru na przedstawienie pochodnej jako stosunku różniczek: y" = dy / dx. Używając go, otrzymujemy następujące równanie: dy/dx=f(x)*f(y). Teraz możemy przejść do metody rozwiązywania standardowych przykładów: podzielimy zmienne na części, to znaczy przeniesiemy wszystko ze zmienną y do części, w której znajduje się dy, i zrobimy to samo ze zmienną x. Otrzymujemy równanie postaci: dy/f(y)=f(x)dx, które rozwiązuje się biorąc całki z obu części. Nie zapomnij o stałej, którą należy ustawić po zrobieniu całki.

Rozwiązanie dowolnej „różnicy” jest funkcją zależności x od y (w naszym przypadku) lub, jeśli istnieje warunek liczbowy, to odpowiedź ma postać liczby. Przyjrzyjmy się całemu rozwiązaniu na konkretnym przykładzie:

Przenosimy zmienne w różnych kierunkach:

Teraz bierzemy całki. Wszystkie można znaleźć w specjalnej tabeli całek. I otrzymujemy:

log(y) = -2*cos(x) + C

W razie potrzeby możemy wyrazić „y” jako funkcję „x”. Teraz możemy powiedzieć, że nasze równanie różniczkowe jest rozwiązane, jeśli nie jest podany żaden warunek. Można podać warunek, na przykład y(n/2)=e. Następnie po prostu podstawiamy wartość tych zmiennych do rozwiązania i znajdujemy wartość stałej. W naszym przykładzie jest równy 1.

Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu

Przejdźmy teraz do trudniejszej części. Jednorodne równania różniczkowe pierwszego rzędu można zapisać w ogólnej postaci w następujący sposób: y "= z (x, y). Należy zauważyć, że funkcja prawej ręki dwóch zmiennych jest jednorodna i nie można jej podzielić na dwie zależności : z na x i z na y. Sprawdzenie, czy równanie jest jednorodne, czy nie, jest dość proste: dokonujemy podstawienia x=k*x i y=k*y. Teraz anulujemy wszystkie k. Jeśli wszystkie te litery zostały zmniejszone , wtedy równanie jest jednorodne i można bezpiecznie przystąpić do jego rozwiązania. Patrząc w przyszłość powiedzmy: zasada rozwiązywania tych przykładów jest również bardzo prosta.

Musimy dokonać zamiany: y=t(x)*x, gdzie t jest pewną funkcją, która również zależy od x. Wtedy możemy wyrazić pochodną: y"=t"(x)*x+t. Podstawiając to wszystko do naszego pierwotnego równania i upraszczając je, otrzymujemy przykład ze zmiennymi rozdzielnymi t i x. Rozwiązujemy go i otrzymujemy zależność t(x). Kiedy to mamy, po prostu podstawiamy y=t(x)*x do naszego poprzedniego zamiennika. Wtedy otrzymujemy zależność y od x.

Aby to wyjaśnić, spójrzmy na przykład: x*y"=y-x*e y/x .

Podczas sprawdzania za pomocą zamiennika wszystko jest zmniejszone. Więc równanie jest naprawdę jednorodne. Teraz dokonujemy kolejnego zamiany, o którym mówiliśmy: y=t(x)*x i y"=t"(x)*x+t(x). Po uproszczeniu otrzymujemy następujące równanie: t "(x) * x \u003d -e t. Rozwiązujemy wynikowy przykład z oddzielonymi zmiennymi i otrzymujemy: e -t \u003dln (C * x). Musimy tylko zastąpić t z y / x (bo jeśli y \u003d t * x, to t \u003d y / x), i otrzymujemy odpowiedź: e -y / x \u003d ln (x * C).

Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu

Nadszedł czas, aby rozważyć inny szeroki temat. Przeanalizujemy niejednorodne równania różniczkowe pierwszego rzędu. Czym różnią się od dwóch poprzednich? Rozwiążmy to. Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu w postaci ogólnej można zapisać w następujący sposób: y " + g (x) * y \u003d z (x). Warto wyjaśnić, że z (x) i g (x) mogą być wartościami stałymi .

A teraz przykład: y" - y*x=x 2 .

Istnieją dwa sposoby rozwiązania, a my przeanalizujemy oba w kolejności. Pierwszą z nich jest metoda wariacji dowolnych stałych.

Aby rozwiązać równanie w ten sposób, należy najpierw zrównać prawą stronę do zera i rozwiązać wynikowe równanie, które po przeniesieniu części przybierze postać:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d mi x2 / 2 * y C \u003d do 1 * e x2 / 2.

Teraz musimy zastąpić stałą C 1 funkcją v(x), którą musimy znaleźć.

Zamieńmy pochodną:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Podstawmy te wyrażenia do pierwotnego równania:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Można zauważyć, że dwa terminy są anulowane po lewej stronie. Jeśli w jakimś przykładzie tak się nie stało, to zrobiłeś coś źle. Kontynuujmy:

v"*e x2/2 = x 2 .

Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie, w którym musimy oddzielić zmienne:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Aby wyodrębnić całkę, musimy tutaj zastosować całkowanie przez części. Jednak nie to jest tematem naszego artykułu. Jeśli jesteś zainteresowany, możesz dowiedzieć się, jak samodzielnie wykonywać takie czynności. Nie jest to trudne, a przy odpowiednich umiejętnościach i staranności nie zajmuje dużo czasu.

Przejdźmy do drugiej metody rozwiązywania równań niejednorodnych: metody Bernoulliego. Które podejście jest szybsze i łatwiejsze, zależy od Ciebie.

Tak więc, rozwiązując równanie tą metodą, musimy dokonać zamiany: y=k*n. Tutaj k i n to niektóre funkcje zależne od x. Wtedy pochodna będzie wyglądać następująco: y"=k"*n+k*n". Podstawiamy oba zamiany do równania:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupowanie:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Teraz musimy zrównać do zera to, co jest w nawiasach. Teraz, jeśli połączymy dwa wynikowe równania, otrzymamy układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, który należy rozwiązać:

Rozwiązujemy pierwszą równość jako zwykłe równanie. Aby to zrobić, musisz rozdzielić zmienne:

Bierzemy całkę i otrzymujemy: ln(n)=x 2 /2. Wtedy, jeśli wyrazimy n:

Teraz podstawimy otrzymaną równość do drugiego równania układu:

k "* e x2/2 \u003d x 2.

I przekształcając, otrzymujemy taką samą równość jak w pierwszej metodzie:

dk=x 2 /e x2/2 .

Nie będziemy też analizować dalszych działań. Warto powiedzieć, że początkowo rozwiązanie równań różniczkowych pierwszego rzędu sprawia znaczne trudności. Jednak wraz z głębszym zanurzeniem się w temacie zaczyna być coraz lepiej.

Gdzie stosuje się równania różniczkowe?

Równania różniczkowe są bardzo aktywnie wykorzystywane w fizyce, ponieważ prawie wszystkie podstawowe prawa są zapisane w postaci różniczkowej, a wzory, które widzimy, są rozwiązaniem tych równań. W chemii są używane z tego samego powodu: wywodzą się z nich podstawowe prawa. W biologii równania różniczkowe są używane do modelowania zachowania układów, takich jak drapieżnik-ofiara. Można je również wykorzystać do stworzenia modeli reprodukcyjnych np. kolonii mikroorganizmów.

Jak równania różniczkowe pomogą w życiu?

Odpowiedź na to pytanie jest prosta: nie ma mowy. Jeśli nie jesteś naukowcem ani inżynierem, jest mało prawdopodobne, aby były dla ciebie przydatne. Jednak dla ogólnego rozwoju nie zaszkodzi wiedzieć, czym jest równanie różniczkowe i jak je rozwiązać. A potem pytanie syna lub córki „co to jest równanie różniczkowe?” nie zmyli cię. Cóż, jeśli jesteś naukowcem lub inżynierem, sam rozumiesz znaczenie tego tematu w każdej nauce. Ale najważniejsze jest to, że teraz pytanie „jak rozwiązać równanie różniczkowe pierwszego rzędu?” zawsze możesz odpowiedzieć. Zgadzam się, zawsze miło jest zrozumieć to, czego ludzie boją się zrozumieć.

Główne problemy w nauce

Głównym problemem w zrozumieniu tego tematu jest słaba umiejętność całkowania i różniczkowania funkcji. Jeśli nie jesteś dobry w obliczaniu pochodnych i całek, prawdopodobnie warto dowiedzieć się więcej, opanować różne metody całkowania i różniczkowania, a dopiero potem przystąpić do studiowania materiału opisanego w artykule.

Niektórzy dziwią się, gdy dowiadują się, że dx można przenieść, bo wcześniej (w szkole) było powiedziane, że ułamek dy/dx jest niepodzielny. Tutaj musisz przeczytać literaturę na temat pochodnej i zrozumieć, że jest to stosunek nieskończenie małych wielkości, którymi można manipulować podczas rozwiązywania równań.

Wielu nie od razu zdaje sobie sprawę, że rozwiązaniem równań różniczkowych pierwszego rzędu jest często funkcja lub całka, której nie można przyjąć, i to złudzenie sprawia im wiele kłopotów.

Co jeszcze można studiować, aby lepiej zrozumieć?

Dalsze zagłębianie się w świat rachunku różniczkowego najlepiej rozpocząć od specjalistycznych podręczników, np. do rachunku różniczkowego dla studentów kierunków niematematycznych. Następnie możesz przejść do bardziej specjalistycznej literatury.

Warto powiedzieć, że oprócz równań różniczkowych istnieją również równania całkowe, więc zawsze będziesz miał do czego dążyć i czego się uczyć.

Wniosek

Mamy nadzieję, że po przeczytaniu tego artykułu masz pojęcie, czym są równania różniczkowe i jak je poprawnie rozwiązać.

W każdym razie matematyka jest nam w jakiś sposób przydatna w życiu. Rozwija logikę i uwagę, bez których każdy człowiek jest jak bez rąk.

Równanie pierwszego rzędu postaci a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) nazywa się liniowym równaniem różniczkowym. Jeśli b (x) ≡ 0, to równanie nazywa się jednorodnym, w przeciwnym razie - heterogeniczny. W przypadku liniowego równania różniczkowego twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności ma bardziej konkretną postać.

Przydział usług. Do sprawdzenia rozwiązania można użyć kalkulatora online jednorodne i niejednorodne liniowe równania różniczkowe jak y"+y=b(x) .

Aby otrzymać rozwiązanie, oryginalne wyrażenie należy sprowadzić do postaci: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Np. dla y"-exp(x)=2*y będzie to y"-2 *y=exp(x) .

Twierdzenie. Niech a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) będą ciągłe na przedziale [α,β], a 1 ≠0 dla ∀x∈[α,β]. Wtedy dla dowolnego punktu (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] istnieje jednoznaczny sposób rozwiązania równania, który spełnia warunek y(x 0) = y 0 i jest zdefiniowany na całym przedziale [α ,β].
Rozważmy jednorodne liniowe równanie różniczkowe a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Rozdzielając zmienne otrzymujemy , czyli całkując obie części, Ostatnia zależność, biorąc pod uwagę zapis exp(x) = e x , jest zapisana w postaci

Spróbujmy teraz znaleźć rozwiązanie równania we wskazanej postaci, w której zamiast stałej C podstawiana jest funkcja C(x), czyli w postaci

Podstawiając to rozwiązanie do rozwiązania pierwotnego, po niezbędnych przekształceniach, otrzymujemy Integrując to drugie, mamy

gdzie C 1 jest jakąś nową stałą. Podstawiając otrzymane wyrażenie w miejsce C(x), ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie pierwotnego równania liniowego
.

Przykład. Rozwiąż równanie y" + 2y = 4x. Rozważ odpowiednie równanie jednorodne y" + 2y = 0. Rozwiązując go, otrzymujemy y = Ce -2 x. Szukamy teraz rozwiązania pierwotnego równania w postaci y = C(x)e -2 x . Podstawiając y i y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x do pierwotnego równania, otrzymujemy C"(x) = 4xe 2 x, skąd C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 i y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x jest ogólnym rozwiązaniem pierwotnego równania.In to rozwiązanie, y 1 ( x) = 2x-1 - ruch obiektu pod działaniem siły b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - ruch właściwy obiektu.

Przykład nr 2. Znajdź rozwiązanie ogólne równania różniczkowego pierwszego rzędu y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
To jest równanie niejednorodne. Dokonajmy zamiany zmiennych: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x lub u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Rozwiązanie składa się z dwóch kroków:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / grzech 2 2x
1. Zrównaj u=0, znajdź rozwiązanie dla 3v tg(3x)+v" = 0
Przedstaw w postaci: v" = -3v tg(3x)

Całkując otrzymujemy:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Znając v, znajdź u z warunku: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/grzech 2 2x
Całkując otrzymujemy:
Z warunku y=u v otrzymujemy:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) lub y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Instytucja edukacyjna „Państwo Białoruskie

Akademia Rolnicza"

Katedra Matematyki Wyższej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU

Podsumowanie wykładu dla studentów rachunkowości

korespondencyjna forma kształcenia (NISPO)

Górki, 2013

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Pojęcie równania różniczkowego. Rozwiązania ogólne i szczegółowe

Podczas badania różnych zjawisk często nie jest możliwe znalezienie prawa, które bezpośrednio wiąże zmienną niezależną i pożądaną funkcję, ale możliwe jest ustalenie związku między pożądaną funkcją a jej pochodnymi.

Nazywa się związek łączący zmienną niezależną, pożądaną funkcję i jej pochodne równanie różniczkowe :

Tutaj X jest zmienną niezależną, y jest pożądaną funkcją,
są pochodnymi żądanej funkcji. W tym przypadku relacja (1) wymaga obecności co najmniej jednej pochodnej.

Rząd równania różniczkowego jest rzędem najwyższej pochodnej w równaniu.

Rozważ równanie różniczkowe

. (2)

Ponieważ to równanie zawiera pochodną tylko pierwszego rzędu, nazywa się to jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu.

Jeśli równanie (2) można rozwiązać ze względu na pochodną i zapisać jako

, (3)

wtedy takie równanie nazywamy równaniem różniczkowym pierwszego rzędu w postaci normalnej.

W wielu przypadkach celowe jest rozważenie równania postaci

który jest nazywany równanie różniczkowe pierwszego rzędu zapisane w postaci różniczkowej.

Ponieważ
, to równanie (3) można zapisać jako
Lub
, gdzie można policzyć
I
. Oznacza to, że równanie (3) zostało przekształcone w równanie (4).

Równanie (4) piszemy w postaci
. Następnie
,
,
, gdzie można policzyć
, tj. otrzymuje się równanie postaci (3). Zatem równania (3) i (4) są równoważne.

Rozwiązując równanie różniczkowe (2) lub (3) wywoływana jest dowolna funkcja
, co podstawiając ją do równania (2) lub (3), zamienia ją w tożsamość:

Lub
.

Proces znajdowania wszystkich rozwiązań równania różniczkowego nazywa się jego integracja i wykres rozwiązania
nazywa się równanie różniczkowe krzywa całkowa to równanie.

Jeżeli rozwiązanie równania różniczkowego uzyskuje się w postaci niejawnej
, to się nazywa całka dane równanie różniczkowe.

Ogólne rozwiązanie równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest rodziną funkcji postaci
, w zależności od dowolnej stałej Z, z których każde jest rozwiązaniem danego równania różniczkowego dla dowolnej dopuszczalnej wartości dowolnej stałej Z. Zatem równanie różniczkowe ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Prywatna decyzja równanie różniczkowe nazywa się rozwiązaniem otrzymanym z ogólnego wzoru na rozwiązanie dla określonej wartości dowolnej stałej Z, w tym
.

Problem Cauchy'ego i jego interpretacja geometryczna

Równanie (2) ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Aby wyodrębnić z tego zbioru jedno rozwiązanie, które nazywa się rozwiązaniem szczególnym, należy określić dodatkowe warunki.

Problem znalezienia konkretnego rozwiązania równania (2) w danych warunkach nazywa się Problem Cauchy'ego . Problem ten jest jednym z najważniejszych w teorii równań różniczkowych.

Problem Cauchy'ego jest sformułowany w następujący sposób: wśród wszystkich rozwiązań równania (2) znajdź takie rozwiązanie
, w którym funkcja
przyjmuje określoną wartość liczbową jeśli zmienna niezależna X przyjmuje określoną wartość liczbową , tj.

,
, (5)

Gdzie D jest dziedziną funkcji
.

Oznaczający zwany początkowa wartość funkcji , A – wartość początkowa zmiennej niezależnej . Wywołano warunek (5). stan początkowy Lub Warunek Cauchy'ego .

Z geometrycznego punktu widzenia problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego (2) można sformułować następująco: ze zbioru krzywych całkowych równania (2) wybierz tę, która przechodzi przez dany punkt
.

Równania różniczkowe ze zmiennymi rozdzielnymi

Jednym z najprostszych typów równań różniczkowych jest równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które nie zawiera żądanej funkcji:

. (6)

Jeśli się uwzględni
, zapisujemy równanie w postaci
Lub
. Całkując obie strony ostatniego równania, otrzymujemy:
Lub

. (7)

Zatem (7) jest ogólnym rozwiązaniem równania (6).

Przykład 1 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Zapisujemy równanie w postaci
Lub
. Całkujemy obie części otrzymanego równania:
,
. Napiszmy wreszcie
.

Przykład 2 . Znajdź rozwiązanie równania
jeśli się uwzględni
.

Rozwiązanie . Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania:
,
,
,
. Według warunku
,
. Zastąp w rozwiązaniu ogólnym:
Lub
. Podstawiamy znalezioną wartość dowolnej stałej do wzoru na rozwiązanie ogólne:
. Jest to szczególne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia zadany warunek.

Równanie

(8)

zwany równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które nie zawiera zmiennej niezależnej . Zapisujemy to w formularzu
Lub
. Całkujemy obie części ostatniego równania:
Lub
- ogólne rozwiązanie równania (8).

Przykład . Znajdź ogólne rozwiązanie równania
.

Rozwiązanie . Równanie to piszemy w postaci:
Lub
. Następnie
,
,
,
. Zatem,
jest rozwiązaniem ogólnym tego równania.

Wpisz równanie

(9)

zintegrowane za pomocą separacji zmiennych. Aby to zrobić, piszemy równanie w formie
, a następnie za pomocą operacji mnożenia i dzielenia doprowadzamy go do takiej postaci, że jedna część zawiera tylko funkcję X i różnicowy dx, aw drugiej części - funkcja Na i różnicowy dy. Aby to zrobić, obie strony równania należy pomnożyć przez dx i podzielić przez
. W rezultacie otrzymujemy równanie

, (10)

w których zmienne X I Na rozdzielony. Całkujemy obie części równania (10):
. Otrzymana zależność jest całką ogólną równania (9).

Przykład 3 . Zintegruj równanie
.

Rozwiązanie . Przekształć równanie i rozdziel zmienne:
,
. Zintegrujmy:
,
lub jest całką ogólną tego równania.
.

Niech równanie będzie podane w postaci

Takie równanie nazywa się równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze zmiennymi rozdzielnymi w formie symetrycznej.

Aby rozdzielić zmienne, należy podzielić obie strony równania przez
:

. (12)

Otrzymane równanie nazywa się rozdzielone równanie różniczkowe . Całkujemy równanie (12):

.(13)

Zależność (13) jest całką ogólną równania różniczkowego (11).

Przykład 4 . Zintegruj równanie różniczkowe.

Rozwiązanie . Zapisujemy równanie w postaci

i podzielić obie części na
,
. Wynikowe równanie:
jest oddzielnym równaniem zmiennej. Zintegrujmy to:

,
,

,
. Ostatnia równość jest całką ogólną podanego równania różniczkowego.

Przykład 5 . Znajdź konkretne rozwiązanie równania różniczkowego
, spełniając warunek
.

Rozwiązanie . Jeśli się uwzględni
, zapisujemy równanie w postaci
Lub
. Rozdzielmy zmienne:
. Całkujmy to równanie:
,
,
. Otrzymana relacja jest całką ogólną tego równania. Według warunku
. Podstaw do całki ogólnej i znajdź Z:
,Z=1. Następnie wyrażenie
jest szczególnym rozwiązaniem danego równania różniczkowego, zapisanym jako całka szczególna.

Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu

Równanie

(14)

zwany liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu . nieznana funkcja
i jego pochodna wprowadzają to równanie liniowo, a funkcje
I
ciągły.

Jeśli
, następnie równanie

(15)

zwany liniowy jednorodny . Jeśli
, to równanie (14) jest wywoływane liniowy niejednorodny .

Aby znaleźć rozwiązanie równania (14), zwykle używa się metoda podstawienia (Bernoulliego) , którego istota jest następująca.

Rozwiązania równania (14) będziemy szukać w postaci iloczynu dwóch funkcji

, (16)

Gdzie
I
- niektóre funkcje ciągłe. Zastąpić
i pochodna
do równania (14):

Funkcjonować w zostanie dobrany w taki sposób, że warunek
. Następnie
. Zatem, aby znaleźć rozwiązanie równania (14), konieczne jest rozwiązanie układu równań różniczkowych

Pierwsze równanie układu jest liniowym równaniem jednorodnym i można je rozwiązać metodą rozdzielania zmiennych:
,
,
,
,
. Jako funkcja
można przyjąć jedno ze szczególnych rozwiązań równania jednorodnego, tj. Na Z=1:
. Podstaw do drugiego równania układu:
Lub
.Następnie
. Zatem ogólne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu ma postać
.

Przykład 6 . Rozwiązać równanie
.

Rozwiązanie . Będziemy szukać rozwiązania równania w postaci
. Następnie
. Podstaw do równania:

Lub
. Funkcjonować w wybrać w taki sposób, aby równość
. Następnie
. Pierwsze z tych równań rozwiązujemy metodą separacji zmiennych:
,
,
,
,. Funkcjonować w Podstaw do drugiego równania:
,
,
,
. Ogólnym rozwiązaniem tego równania jest
.

Pytania do samokontroli wiedzy

Co to jest równanie różniczkowe?

Jaki jest rząd równania różniczkowego?

Które równanie różniczkowe nazywa się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu?

W jaki sposób równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest zapisywane w postaci różniczkowej?

Jakie jest rozwiązanie równania różniczkowego?

Co to jest krzywa całkowa?

Jakie jest ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu?

Co to jest konkretne rozwiązanie równania różniczkowego?

Jak formułuje się problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego pierwszego rzędu?

Jaka jest geometryczna interpretacja problemu Cauchy'ego?

Jak zapisuje się równanie różniczkowe ze zmiennymi rozdzielnymi w postaci symetrycznej?

Które równanie nazywamy liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu?

Jaką metodą można rozwiązać liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu i jaka jest istota tej metody?

Zadania do samodzielnej pracy

Rozwiąż równania różniczkowe ze zmiennymi rozdzielnymi:

A)
; B)
;

V)
; G)
.

2. Rozwiąż liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu:

A)
; B)
; V)
;

G)
; mi)
.

KATEGORIE

Ekranizacja

USG kończyn

Rodzaje ultradźwięków

USG jamy brzusznej

USG klatki piersiowej

POPULARNE ARTYKUŁY

	Negacja nie z czasownikami (w formie osobowej, w bezokoliczniku, w formie gerunda) jest zapisywana osobno: nie bierz, nie było, nie wiedząc, powoli
	Prezentacja, przedstaw główne cechy filozofii renesansu
	Styl fikcyjny
	Dzieci ziemi Prezentacja Jesteśmy dziećmi ziemi dla ogrodu
	Prezentacja na temat barier w komunikacji, praca została wykonana przez uczniów.Bez komunikacji zamykamy się w sobie.

2023 „kingad.ru” - badanie ultrasonograficzne narządów ludzkich