Jak obliczyć powierzchnię równoległościanu. Powierzchnia boczna różnych piramid

Przygotowując się do egzaminu z matematyki, studenci muszą usystematyzować swoją wiedzę z zakresu algebry i geometrii. Chciałbym połączyć wszystkie znane informacje, na przykład, jak obliczyć obszar piramidy. Ponadto, począwszy od podstawy i ścian bocznych, aż po całą powierzchnię. Jeśli sytuacja jest jasna w przypadku ścian bocznych, ponieważ są to trójkąty, podstawa jest zawsze inna.

Co zrobić, gdy znajdujesz obszar podstawy piramidy?

Może to być absolutnie dowolna figura: od dowolnego trójkąta do n-gonu. A ta podstawa, oprócz różnicy w liczbie kątów, może być figurą zwykłą lub niepoprawną. W zadaniach USE interesujących uczniów są tylko zadania z poprawnymi cyframi u podstawy. Dlatego będziemy mówić tylko o nich.

trójkąt prostokątny

Czyli równoboczny. Taki, w którym wszystkie boki są równe i oznaczony literą „a”. W tym przypadku obszar podstawy piramidy oblicza się według wzoru:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kwadrat

Wzór na obliczenie jego powierzchni jest najprostszy, tutaj „a” to znowu bok:

Dowolny regularny n-gon

Bok wielokąta ma to samo oznaczenie. Dla liczby rogów używana jest litera łacińska n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Jak postępować przy obliczaniu pola powierzchni bocznej i całkowitej?

Ponieważ podstawa jest figurą foremną, wszystkie ściany piramidy są równe. Co więcej, każdy z nich jest trójkątem równoramiennym, ponieważ krawędzie boczne są równe. Następnie, aby obliczyć powierzchnię boczną piramidy, potrzebujesz wzoru składającego się z sumy identycznych jednomianów. Liczba wyrazów jest określona przez liczbę boków podstawy.

Pole trójkąta równoramiennego oblicza się według wzoru, w którym połowa iloczynu podstawy jest mnożona przez wysokość. Ta wysokość w piramidzie nazywa się apotem. Jego oznaczenie to „A”. Ogólny wzór na pole powierzchni bocznej to:

S \u003d ½ P * A, gdzie P jest obwodem podstawy piramidy.

Zdarzają się sytuacje, gdy boki podstawy nie są znane, ale podane są krawędzie boczne (c) i kąt płaski przy jej wierzchołku (α). Następnie ma użyć takiego wzoru do obliczenia powierzchni bocznej piramidy:

S = n/2 * w 2 grzech α .

Zadanie 1

Stan : schorzenie. Znajdź całkowity obszar piramidy, jeśli jej podstawa ma bok 4 cm, a apotem ma wartość √ 3 cm.

Rozwiązanie. Musisz zacząć od obliczenia obwodu podstawy. Ponieważ jest to regularny trójkąt, to P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Ponieważ apotem jest znany, możesz natychmiast obliczyć powierzchnię całej powierzchni bocznej: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Dla trójkąta u podstawy uzyskana zostanie następująca wartość powierzchni: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Aby określić cały obszar, musisz dodać dwie wynikowe wartości: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odpowiedź. 10√3 cm2.

Zadanie nr 2

Stan. Istnieje regularna czworokątna piramida. Długość boku podstawy wynosi 7 mm, krawędź boczna 16 mm. Musisz znać jego powierzchnię.

Rozwiązanie. Ponieważ wielościan jest czworokątny i regularny, to jego podstawą jest kwadrat. Po zapoznaniu się z obszarami podstawy i ścian bocznych możliwe będzie obliczenie obszaru piramidy. Wzór na kwadrat podano powyżej. A na bocznych ścianach znane są wszystkie boki trójkąta. Dlatego możesz użyć wzoru Herona do obliczenia ich powierzchni.

Pierwsze obliczenia są proste i prowadzą do tej liczby: 49 mm 2. Dla drugiej wartości musisz obliczyć półobwód: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Teraz możesz obliczyć powierzchnię trójkąta równoramiennego: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Istnieją tylko cztery takie trójkąty, więc obliczając ostateczną liczbę, będziesz musiał pomnożyć ją przez 4.

Okazuje się: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Odpowiedź. Żądana wartość to 267,576 mm 2.

Zadanie nr 3

Stan. W przypadku zwykłej czworokątnej piramidy należy obliczyć powierzchnię. W nim bok kwadratu ma 6 cm, a wysokość 4 cm.

Rozwiązanie. Najłatwiej jest użyć wzoru z iloczynem obwodu i apotemu. Pierwszą wartość łatwo znaleźć. Drugi jest nieco trudniejszy.

Będziemy musieli zapamiętać twierdzenie Pitagorasa i rozważyć Jest ono utworzone przez wysokość piramidy i apotem, czyli przeciwprostokątną. Druga noga jest równa połowie boku kwadratu, ponieważ wysokość wielościanu przypada na jego środek.

Pożądany apotem (przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego) to √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Teraz możesz obliczyć żądaną wartość: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Odpowiedź. 96 cm2.

Zadanie nr 4

Stan : schorzenie. Właściwy bok podstawy ma 22 mm, boczne żebra mają 61 mm. Jakie jest pole powierzchni bocznej tego wielościanu?

Rozwiązanie. Rozumowanie w nim jest takie samo, jak opisano w problemie nr 2. Tylko tam dano piramidę z kwadratem u podstawy, a teraz jest to sześciokąt.

Przede wszystkim obszar podstawy oblicza się za pomocą powyższego wzoru: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Teraz musisz znaleźć półobwód trójkąta równoramiennego, który jest ścianą boczną. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm Pozostaje obliczyć powierzchnię każdego takiego trójkąta za pomocą wzoru Herona, a następnie pomnożyć przez sześć i dodać do tego, który okazał się dla baza.

Obliczenia z wykorzystaniem wzoru Herona: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Obliczenia, które dadzą powierzchnię boczną: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Pozostaje je dodać, aby znaleźć całą powierzchnię: 5217,47≈5217 cm 2.

Odpowiedź. Podstawa - 726√3 cm 2, powierzchnia boczna - 3960 cm 2, powierzchnia całkowita - 5217 cm 2.

Cylinder to figura składająca się z cylindrycznej powierzchni i dwóch ułożonych równolegle okręgów. Obliczanie powierzchni cylindra jest problemem w geometrycznej gałęzi matematyki, który można rozwiązać w prosty sposób. Istnieje kilka metod jego rozwiązania, które w rezultacie zawsze sprowadzają się do jednego wzoru.

Jak znaleźć pole walca – zasady obliczeń

• Aby znaleźć obszar cylindra, musisz dodać dwa obszary podstawy z obszarem powierzchni bocznej: S \u003d bok S. + 2 S główny. W bardziej szczegółowej wersji wzór ten wygląda następująco: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Pole powierzchni bocznej danego ciała geometrycznego można obliczyć, jeśli znana jest jego wysokość i promień okręgu leżącego u podstawy. W takim przypadku możesz wyrazić promień od obwodu, jeśli jest podany. Wysokość można znaleźć, jeśli w warunku jest określona wartość tworzącej. W tym przypadku tworząca będzie równa wysokości. Wzór na powierzchnię boczną danego ciała wygląda następująco: S= 2 π rh.
• Obszar podstawy oblicza się według wzoru na znalezienie obszaru koła: S osn= π r 2 . W niektórych zadaniach promień może nie być podany, ale podany jest obwód. Za pomocą tego wzoru promień można wyrazić dość łatwo. С=2π r, r= С/2π. Należy również pamiętać, że promień to połowa średnicy.
• Podczas wykonywania wszystkich tych obliczeń liczba π zwykle nie jest tłumaczona na 3,14159 ... Wystarczy dodać ją obok wartości liczbowej uzyskanej w wyniku obliczeń.
• Ponadto wystarczy pomnożyć znalezioną powierzchnię podstawy przez 2 i dodać do otrzymanej liczby obliczoną powierzchnię bocznej powierzchni figury.
• Jeśli problem wskazuje, że cylinder ma przekrój osiowy, a to jest prostokąt, to rozwiązanie będzie nieco inne. W tym przypadku szerokość prostokąta będzie średnicą koła leżącego u podstawy ciała. Długość figury będzie równa tworzącej lub wysokości cylindra. Konieczne jest obliczenie żądanych wartości i podstawienie w znanym już wzorze. W takim przypadku szerokość prostokąta należy podzielić przez dwa, aby znaleźć obszar podstawy. Aby znaleźć powierzchnię boczną, długość mnoży się przez dwa promienie i liczbę π.
• Możesz obliczyć powierzchnię danego ciała geometrycznego na podstawie jego objętości. Aby to zrobić, musisz wyprowadzić brakującą wartość ze wzoru V=π r 2 h.
• Nie ma nic trudnego w obliczeniu powierzchni cylindra. Wystarczy znać wzory i umieć z nich wyprowadzić wielkości potrzebne do obliczeń.

Powierzchnia piramidy. W tym artykule rozważymy z tobą problemy z regularnymi piramidami. Przypomnę, że piramida foremna to piramida, której podstawą jest wielokąt foremny, wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek tego wielokąta.

Boczna ściana takiej piramidy jest trójkątem równoramiennym.Wysokość tego trójkąta, poprowadzona ze szczytu regularnej piramidy, nazywa się apotemem, SF jest apotemem:

W zadaniach przedstawionych poniżej wymagane jest znalezienie pola powierzchni całej piramidy lub pola jej powierzchni bocznej. Blog rozważał już kilka problemów z regularnymi piramidami, gdzie padło pytanie o znalezienie elementów (wysokość, krawędź podstawy, krawędź boczna), .

W zadaniach egzaminu z reguły brane są pod uwagę regularne trójkątne, czworokątne i sześciokątne piramidy. Nie widziałem problemów z regularnymi pięciokątnymi i siedmiokątnymi piramidami.

Wzór na pole całej powierzchni jest prosty - musisz znaleźć sumę pola podstawy piramidy i pola jego powierzchni bocznej:

Rozważ zadania:

Boki podstawy regularnej czworokątnej piramidy mają 72, boczne krawędzie to 164. Znajdź pole powierzchni tej piramidy.

Pole powierzchni piramidy jest równe sumie powierzchni bocznej i podstawy:

*Powierzchnia boczna składa się z czterech trójkątów o równych polach. Podstawą piramidy jest kwadrat.

Powierzchnię boku piramidy można obliczyć za pomocą:

Zatem pole powierzchni piramidy wynosi:

Odpowiedź: 28224

Boki podstawy regularnej sześciokątnej piramidy mają 22, boczne krawędzie to 61. Znajdź pole powierzchni bocznej tej piramidy.

Podstawą regularnej sześciokątnej piramidy jest foremny sześciokąt.

Pole powierzchni bocznej tej piramidy składa się z sześciu obszarów równych trójkątów o bokach 61,61 i 22:

Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru Herona:

Zatem pole powierzchni bocznej wynosi:

Odpowiedź: 3240

*W przedstawionych powyżej problemach pole powierzchni bocznej można było znaleźć za pomocą innego wzoru na trójkąt, ale w tym celu należy obliczyć apotem.

27155. Znajdź pole powierzchni regularnej czworokątnej piramidy, której boki podstawy wynoszą 6, a wysokość 4.

Aby znaleźć pole powierzchni piramidy, musimy znać pole podstawy i pole powierzchni bocznej:

Pole podstawy wynosi 36, ponieważ jest to kwadrat o boku 6.

Powierzchnia boczna składa się z czterech ścian, które są równymi trójkątami. Aby znaleźć obszar takiego trójkąta, musisz znać jego podstawę i wysokość (apotem):

* Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu podstawy i wysokości narysowanej do tej podstawy.

Podstawa jest znana, jest równa sześciu. Znajdźmy wysokość. Rozważ trójkąt prostokątny (zaznaczony na żółto):

Jedna noga jest równa 4, ponieważ jest to wysokość piramidy, druga jest równa 3, ponieważ jest równa połowie krawędzi podstawy. Możemy znaleźć przeciwprostokątną za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

Tak więc obszar bocznej powierzchni piramidy wynosi:

Zatem pole powierzchni całej piramidy wynosi:

Odpowiedź: 96

27069. Boki podstawy regularnej czworokątnej piramidy mają 10, krawędzie boczne to 13. Znajdź pole powierzchni tej piramidy.

27070. Boki podstawy regularnej sześciokątnej piramidy mają 10, krawędzie boczne to 13. Znajdź pole powierzchni bocznej tej piramidy.

Istnieją również wzory na pole powierzchni bocznej regularnej piramidy. W regularnej piramidzie podstawa jest rzutem prostopadłym powierzchni bocznej, dlatego:

P- obwód podstawy, l- apotem piramidy

*Wzór ten opiera się na wzorze na pole trójkąta.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tym, jak powstają te formuły, nie przegap tego, śledź publikację artykułów.To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander Krutickikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

Cylinder to bryła geometryczna ograniczona dwiema równoległymi płaszczyznami i cylindryczną powierzchnią. W artykule porozmawiamy o tym, jak znaleźć obszar walca i za pomocą wzoru rozwiążemy na przykład kilka problemów.

Cylinder ma trzy powierzchnie: górną, dolną i boczną.

Górna i dolna część cylindra są okręgami i można je łatwo zdefiniować.

Wiadomo, że pole koła jest równe πr 2 . Dlatego wzór na pole dwóch kół (góra i dół walca) będzie wyglądał następująco πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Trzecia, boczna powierzchnia cylindra, to zakrzywiona ściana cylindra. Aby lepiej odwzorować tę powierzchnię, spróbujmy ją przekształcić, aby uzyskać rozpoznawalny kształt. Wyobraź sobie, że cylinder to zwykła blaszana puszka, która nie ma górnej pokrywy i dna. Zróbmy pionowe nacięcie na bocznej ściance od góry do dołu słoika (Krok 1 na rysunku) i spróbujmy maksymalnie otworzyć (wyprostować) powstałą figurę (Krok 2).

Po pełnym ujawnieniu powstałego słoika zobaczymy znajomą figurę (krok 3), jest to prostokąt. Powierzchnia prostokąta jest łatwa do obliczenia. Ale zanim to nastąpi, wróćmy na chwilę do oryginalnego cylindra. Wierzchołek pierwotnego walca jest kołem, a wiemy, że obwód koła oblicza się ze wzoru: L = 2πr. Na rysunku jest to zaznaczone na czerwono.

Kiedy ściana boczna cylindra jest całkowicie rozwinięta, widzimy, że obwód staje się długością wynikowego prostokąta. Boki tego prostokąta będą obwodem (L = 2πr) i wysokością walca (h). Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego boków - S = długość x szerokość = L x h = 2πr x h = 2πrh. W rezultacie otrzymaliśmy wzór na obliczenie pola powierzchni bocznej walca.

Wzór na pole powierzchni bocznej cylindra
strona S = 2 prh

Pełna powierzchnia cylindra

Ostatecznie, jeśli dodamy pola wszystkich trzech powierzchni, otrzymamy wzór na całkowite pole powierzchni walca. Pole powierzchni cylindra jest równe polu powierzchni cylindra + polu podstawy cylindra + polu powierzchni bocznej cylindra lub S = πr 2 + πr 2 + 2πprawa = 2πr 2 + 2πprawa. Czasami to wyrażenie jest zapisywane identycznym wzorem 2πr (r + h).

Wzór na całkowitą powierzchnię cylindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r to promień walca, h to wysokość walca

Przykłady obliczania pola powierzchni walca

Aby zrozumieć powyższe wzory, spróbujmy obliczyć pole powierzchni walca na przykładach.

1. Promień podstawy cylindra wynosi 2, wysokość wynosi 3. Określ obszar bocznej powierzchni cylindra.

Całkowitą powierzchnię oblicza się według wzoru: strona S. = 2 prh

strona S = 2 * 3,14 * 2 * 3

strona S = 6,28 * 6

strona S = 37,68

Boczna powierzchnia cylindra wynosi 37,68.

2. Jak znaleźć pole powierzchni cylindra, jeśli wysokość wynosi 4, a promień 6?

Całkowitą powierzchnię oblicza się ze wzoru: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- To jest figura wielościenna, u podstawy której leży wielokąt, a pozostałe ściany są reprezentowane przez trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem.

Jeśli podstawą jest kwadrat, nazywa się piramidę czworokątny, jeśli trójkąt jest trójkątny. Wysokość piramidy jest rysowana od jej wierzchołka prostopadle do podstawy. Służy również do obliczania powierzchni apotem jest wysokością ściany bocznej obniżoną od jej wierzchołka.
Wzór na pole powierzchni bocznej piramidy jest sumą obszarów jej ścian bocznych, które są sobie równe. Jednak ta metoda obliczania jest stosowana bardzo rzadko. Zasadniczo obszar piramidy jest obliczany na podstawie obwodu podstawy i apotemu:

Rozważ przykład obliczenia powierzchni bocznej piramidy.

Niech dany będzie ostrosłup o podstawie ABCDE i wierzchołku F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.
Znajdźmy obwód. Ponieważ wszystkie ściany podstawy są równe, obwód pięciokąta będzie równy:
Teraz możesz znaleźć boczny obszar piramidy:

Obszar regularnej trójkątnej piramidy

Regularna trójkątna piramida składa się z podstawy, w której leży regularny trójkąt, oraz trzech ścian bocznych o równej powierzchni.
Wzór na pole powierzchni bocznej regularnej trójkątnej piramidy można obliczyć na wiele sposobów. Możesz zastosować zwykły wzór do obliczania obwodu i apotemu lub możesz znaleźć obszar jednej twarzy i pomnożyć go przez trzy. Ponieważ ściana piramidy jest trójkątem, stosujemy wzór na pole trójkąta. Będzie to wymagało apotemu i długości podstawy. Rozważmy przykład obliczenia pola powierzchni bocznej regularnej trójkątnej piramidy.

Biorąc pod uwagę piramidę z apotemem a = 4 cm i podstawą b = 2 cm Znajdź obszar bocznej powierzchni piramidy.
Najpierw znajdź obszar jednej z bocznych ścian. W tym przypadku będzie to:
Zastąp wartości we wzorze:
Ponieważ w zwykłej piramidzie wszystkie boki są takie same, powierzchnia bocznej powierzchni piramidy będzie równa sumie powierzchni trzech ścian. Odpowiednio:

Obszar ściętej piramidy

kadłubowy Piramida to wielościan utworzony przez ostrosłup i jego przekrój równoległy do ​​podstawy.
Wzór na pole powierzchni bocznej ściętej piramidy jest bardzo prosty. Pole jest równe iloczynowi połowy sumy obwodów podstaw i apotemu: