x2 y2 egyenlet. Egyenletek megoldása két változóval

1. Paraméteres lineáris egyenletrendszerek

A paraméteres lineáris egyenletrendszereket ugyanazokkal az alapvető módszerekkel oldjuk meg, mint a hagyományos egyenletrendszereket: a helyettesítési módszerrel, az egyenletösszeadás módszerével és a grafikus módszerrel. A lineáris rendszerek grafikus értelmezésének ismeretében könnyen megválaszolható a gyökök számára és létezésére vonatkozó kérdés.

1. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszernek nincs megoldása.

(x + (a 2-3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Megoldás.

Nézzünk több módszert a probléma megoldására.

1 út. A tulajdonságot használjuk: a rendszernek nincs megoldása, ha az x előtti együtthatók aránya megegyezik az y előtti együtthatók arányával, de nem egyenlő a szabad tagok arányával (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Akkor nálunk van:

1/1 \u003d (a 2-3) / 1 ≠ a / 2 vagy rendszer

(és 2-3 = 1,
(a ≠ 2.

Az első egyenletből a 2 \u003d 4 tehát, figyelembe véve azt a feltételt, hogy a ≠ 2, megkapjuk a választ.

Válasz: a = -2.

2 út. Helyettesítő módszerrel oldjuk meg.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Miután az első egyenletben a zárójelekből kivettük az y közös tényezőt, a következőt kapjuk:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

A rendszernek nincsenek megoldásai, ha az első egyenletnek nincsenek megoldásai, azaz

(és 2-4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Nyilvánvaló, hogy a = ±2, de a második feltételt figyelembe véve csak a mínuszos választ adjuk meg.

Válasz: a = -2.

2. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Megoldás.

Tulajdonság szerint, ha az együtthatók aránya x és y pontban azonos, és egyenlő a rendszer szabad tagjainak arányával, akkor végtelen megoldáskészlettel rendelkezik (azaz a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Ezért 8/a = a/2 = 2/1. Az egyes kapott egyenleteket megoldva azt találjuk, hogy ebben a példában a \u003d 4 a válasz.

Válasz: a = 4.

2. Paraméteres racionális egyenletrendszerek

3. példa

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Megoldás.

Szorozzuk meg a rendszer első egyenletét 2-vel:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Vonjuk ki a második egyenletet az elsőből, 5|х|-t kapunk = 4 – a. Ennek az egyenletnek egyedi megoldása lesz a = 4-re. Más esetekben ennek az egyenletnek két megoldása lesz (egy< 4) или ни одного (при а > 4).

Válasz: a = 4.

4. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszernek egyedi megoldása van.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Megoldás.

Ezt a rendszert grafikus módszerrel oldjuk meg. Tehát a rendszer második egyenletének grafikonja egy parabola, amelyet az Oy tengely mentén egy egységnyi szegmenssel felemelünk. Az első egyenlet az y = -x egyenessel párhuzamos egyenesek halmazát határozza meg (1. kép). Az ábrán jól látható, hogy a rendszernek van megoldása, ha az y \u003d -x + a egyenes érinti a parabolát a koordinátákkal rendelkező pontban (-0,5; 1,25). Ha ezeket a koordinátákat behelyettesítjük az egyenes egyenletébe x és y helyett, megkapjuk az a paraméter értékét:

1,25 = 0,5 + a;

Válasz: a = 0,75.

5. példa

A helyettesítési módszerrel derítsük ki, hogy az a paraméter melyik értékénél van egyedi megoldása a rendszernek.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Megoldás.

Fejezzük ki y-t az első egyenletből, és cseréljük be a másodikba:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

A második egyenletet kx = b alakra hozzuk, aminek egyedi megoldása lesz k ≠ 0-ra.

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Az a 2 + 3a + 2 négyzetháromtag zárójelek szorzataként ábrázolható

(a + 2)(a + 1), a bal oldalon pedig kivesszük az x-et a zárójelekből:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Nyilvánvaló, hogy a 2 + 3a nem lehet egyenlő nullával, ezért

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ami azt jelenti, hogy a ≠ 0 és ≠ -3.

Válasz: a ≠ 0; ≠ -3.

6. példa

A grafikus megoldási módszerrel határozza meg, hogy az a paraméter mely értékénél van egyedi megoldása a rendszernek.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Megoldás.

A feltétel alapján felállítunk egy kört, amelynek középpontja a koordináták origójában van és sugara 3 egységnyi szakasz, ez a kör adja meg a rendszer első egyenletét

x 2 + y 2 = 9. A rendszer második egyenlete (y = |x| + a) egy szaggatott vonal. Használva 2. ábra a körhöz viszonyított elhelyezkedésének minden lehetséges esetét figyelembe vesszük. Könnyen belátható, hogy a = 3.

Válasz: a = 3.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell egyenletrendszereket megoldani?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Utasítás

Behelyettesítési módszer Adjunk ki egy változót, és helyettesítsük be egy másik egyenletbe. Bármilyen változót kifejezhet, ami tetszik. Például fejezze ki az "y"-t a második egyenletből:
x-y=2 => y=x-2 Ezután csatlakoztasson mindent az első egyenlethez:
2x+(x-2)=10 Helyezzen mindent x nélkül a jobb oldalra, és számoljon:
2x+x=10+2
3x=12 Ezután "x" esetén ossza el az egyenlet mindkét oldalát 3-mal:
x=4. Tehát megtalálta az "x. Keresse meg a " at. Ehhez írja be az "x"-et abba az egyenletbe, amelyből az "y"-t kifejezte:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Ellenőrizd. Ehhez helyettesítse be a kapott értékeket az egyenletekbe:
2*4+2=10
4-2=2
Az ismeretlen helyesen találta!

Egyenletek összeadása vagy kivonása Egyszerre szabaduljon meg minden változótól. A mi esetünkben ez könnyebben megtehető az "y.
Mivel az egyenletben „y-nek van előjele” + , a másodikban pedig „-”, akkor elvégezhet egy összeadási műveletet, pl. Hozzáadjuk a bal oldalt a balhoz, a jobb oldalt pedig a jobbhoz:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertálás:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Helyettesítsd be az "x"-et bármely egyenletbe, és keresd meg az "y"-t:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Az 1. módszerrel ellenőrizheti, hogy a gyökerek megfelelően találhatóak-e.

Ha nincsenek egyértelműen meghatározott változók, akkor az egyenleteket kissé át kell alakítani.
Az első egyenletben van "2x", a másodikban pedig csak "x". Annak érdekében, hogy x összeadáskor vagy kivonáskor csökkenjen, szorozza meg a második egyenletet 2-vel:
x-y=2
2x-2y=4 Ezután vonja ki a második egyenletet az első egyenletből:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
keresse meg y \u003d 2 "x kifejezést bármely egyenletből, azaz.
x=4

Kapcsolódó videók

Differenciálegyenletek megoldása során az x argumentum (vagy fizikai feladatokban a t idő) nem mindig érhető el kifejezetten. Mindazonáltal ez egy differenciálegyenlet beállításának leegyszerűsített speciális esete, ami gyakran segít leegyszerűsíteni az integrál keresését.

Utasítás

Tekintsünk egy fizikai problémát, amely egy differenciálegyenlethez vezet, amelyből hiányzik a t argumentum. Ez az m tömegű rezgések problémája, amelyek egy r hosszúságú, függőleges síkban elhelyezkedő menetre vannak felfüggesztve. Az inga mozgásegyenletére akkor van szükség, ha az inga stacionárius volt, és α szöggel eltért az egyensúlyi állapottól. Az erőhatásokat figyelmen kívül kell hagyni (lásd 1a. ábra).

Megoldás. A matematikai inga egy olyan anyagi pont, amely egy súlytalan és nyújthatatlan menetre van felfüggesztve az O pontban. A pontra két erő hat: a gravitáció G \u003d mg és a menetfeszültség N. Mindkét erő függőleges síkban fekszik. Ezért a probléma megoldásához alkalmazhatja egy pont forgó mozgásának egyenletét az O ponton átmenő vízszintes tengely körül. Egy test forgómozgásának egyenlete a 3. ábrán látható. 1b. Ebben az esetben az I az anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka; j a menet forgási szöge a ponttal együtt, a függőleges tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányba számolva; M az anyagi pontra ható erők nyomatéka.

Számítsa ki ezeket az értékeket. I=mr^2, M=M(G)+M(N). De M(N)=0, mivel az erő hatásvonala átmegy az O ponton. M(G)=-mgrsinj. A "-" jel azt jelenti, hogy az erőnyomaték a mozgással ellentétes irányba irányul. Helyettesítse be a tehetetlenségi nyomatékot és az erőnyomatékot a mozgásegyenletbe, és kapja meg az ábrán látható egyenletet. 1s. A tömeg csökkentésével összefüggés jön létre (lásd 1d. ábra). Itt nincs vita.

Az egyenletek egész számokban történő megoldása az egyik legrégebbi matematikai probléma. Már a Kr.e. 2. évezred elején. e. A babilóniaiak tudták, hogyan kell két változós egyenletrendszert megoldani. A matematikának ez a területe az ókori Görögországban érte el legnagyobb virágzását. A fő forrás számunkra Diophantus "Aritmetikája", amely különféle típusú egyenleteket tartalmaz. Ebben Diophantus (a neve és az egyenletek neve után - Diophantine egyenletek) számos módszert sejt a 2. és 3. fokú egyenletek tanulmányozására, amelyek csak a 19. században alakultak ki.

A legegyszerűbb diofantusi egyenletek ax + y = 1 (egyenlet két változóval, első fok) x2 + y2 = z2 (három változós egyenlet, másodfokú)

Az algebrai egyenleteket tanulmányozták a legteljesebben, megoldásuk az algebra egyik legfontosabb problémája volt a 16. és 17. században.

A 19. század elejére P. Fermat, L. Euler, K. Gauss munkái egy ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 alakú diofantin egyenletet vizsgáltak, ahol a, b, c , d, e, f számok; x, y ismeretlen változók.

Ez egy 2. fokú egyenlet két ismeretlennel.

K. Gauss felépítette a másodfokú formák általános elméletét, amely bizonyos típusú egyenletek kétváltozós megoldásának alapja (Diofantine-egyenletek). Nagyszámú specifikus Diofantusz-egyenlet létezik, amelyek elemi módszerekkel megoldhatók. /p>

elméleti anyag.

Ebben a munkarészben ismertetésre kerülnek a matematikai alapfogalmak, megadjuk a kifejezések definícióit, a dekompozíciós tételt a határozatlan együtthatók módszerével fogalmazzuk meg, amelyeket a kétváltozós egyenletek megoldásánál tanulmányoztam és figyelembe vettünk.

1. definíció: Ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 alakú egyenlet, ahol a, b, c, d, e, f számok; Az x, y ismeretlen változókat kétváltozós másodfokú egyenletnek nevezzük.

A matematika iskolai kurzusában az ax2 + inx + c \u003d 0 másodfokú egyenletet tanulmányozzák, ahol az x szám a, b, c egy változója, egy változóval. Számos módja van egy ilyen egyenlet megoldásának:

1. Gyökerek keresése a diszkrimináns segítségével;

2. Gyökerek keresése egy páros együtthatóhoz in (D1 = szerint);

3. Gyökerek keresése Vieta tételével;

4. A gyökök megtalálása a binomiális teljes négyzetének kiválasztásával.

Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek ilyenek.

2. definíció: Az egyenlet gyöke egy olyan szám, amely az egyenletbe behelyettesítve valódi egyenlőséget alkot.

3. definíció: Egy kétváltozós egyenlet megoldását számpárnak (x, y) nevezzük, ezeket az egyenletbe behelyettesítve valódi egyenlőséggé alakul.

Az egyenlet megoldásainak keresése gyakran abból áll, hogy az egyenletet egy ekvivalens, de egyszerűbb megoldással helyettesítjük. Az ilyen egyenleteket ekvivalensnek nevezzük.

4. definíció: Két egyenletet ekvivalensnek mondunk, ha az egyik egyenlet mindegyik megoldása a másik egyenlet megoldása, és fordítva, és mindkét egyenletet ugyanazon a területen tekintjük.

A kétváltozós egyenletek megoldásához az egyenlet tökéletes négyzetek összegére való kiterjesztésének tételét használjuk (határozatlan együtthatók módszerével).

Az ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) másodrendű egyenletre van egy a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) bontás.

Fogalmazzuk meg, hogy két változó (1) egyenletére milyen feltételek mellett megy végbe a (2) bővülés.

Tétel: Ha az (1) egyenlet a, c, c együtthatói kielégítik az a0 és 4av - c20 feltételeket, akkor a (2) kiterjesztést egyedi módon határozzuk meg.

Vagyis a két változós (1) egyenlet a határozatlan együtthatók módszerével a (2) alakra redukálható, ha a tétel feltételei teljesülnek.

Nézzünk egy példát a határozatlan együtthatók módszerének megvalósítására.

1. MÓDSZER. Oldja meg az egyenletet a határozatlan együtthatók módszerével!

2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Ellenőrizzük a tétel feltételeinek teljesülését, a=2, b=1, c=2, tehát a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. A tétel feltételei teljesülnek, és a (2) képlettel bővíthetők.

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, a tétel feltételei alapján az azonosság mindkét része ekvivalens. Egyszerűsítse az identitás jobb oldalát.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Tegye egyenlővé ugyanazon változók együtthatóit hatványaikkal!

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Szerezzen egyenletrendszert, oldja meg és keresse meg az együtthatók értékeit.

7. Helyettesítse be a (2) együtthatókat, ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel

2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Így az eredeti egyenlet ekvivalens az egyenlettel

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), ez az egyenlet két lineáris egyenletrendszerrel ekvivalens.

Válasz: (-1; 1).

Ha odafigyel a dekompozíció típusára (3), akkor láthatja, hogy formailag megegyezik a teljes négyzet kiválasztásával egy másodfokú egyenletből egy változóval: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Alkalmazzuk ezt a trükköt egy kétváltozós egyenlet megoldására. Oldjuk meg egy teljes négyzet kiválasztásával a tétel segítségével már megoldott két változós másodfokú egyenletet.

2. MÓDSZER: Oldja meg a 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 egyenletet.

Megoldás: 1. A 2x2-t két x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0 tag összegeként ábrázoljuk.

2. A tagokat úgy csoportosítjuk, hogy a teljes négyzetes képlet szerint összecsukhassuk.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Válassza ki a teljes négyzeteket a zárójelben lévő kifejezések közül.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Ez az egyenlet egyenértékű egy lineáris egyenletrendszerrel.

Válasz: (-1;1).

Ha összevetjük az eredményeket, láthatjuk, hogy az 1. számú módszerrel a tétel és a határozatlan együtthatók módszerével megoldott egyenlet, valamint a 2. módszerrel teljes négyzet kiválasztásával megoldott egyenlet gyökerei azonosak.

Következtetés: A két változós másodfokú egyenlet kétféleképpen bővíthető négyzetösszeggé:

➢ Az első módszer a határozatlan együtthatók módszere, amely a tételen és a kiterjesztésen (2) alapul.

➢ A második módszer azonos transzformációk segítségével történik, amelyek lehetővé teszik egymás után teljes négyzetek kiválasztását.

Természetesen a feladatok megoldása során a második módszert részesítjük előnyben, mivel nem igényel memorizálást (2) és feltételeket.

Ez a módszer három változós másodfokú egyenletekre is alkalmazható. Az ilyen egyenletekben a teljes négyzet kiválasztása munkaigényesebb. Jövőre megcsinálom ezt az átalakítást.

Érdekes megjegyezni, hogy az f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f alakú függvényt két változó másodfokú függvényének nevezzük. A másodfokú függvények fontos szerepet játszanak a matematika különböző ágaiban:

A matematikai programozásban (kvadratikus programozás)

Lineáris algebrában és geometriában (másodfokú formák)

A differenciálegyenletek elméletében (másodrendű lineáris egyenlet visszavezetése kanonikus formára).

E különféle problémák megoldása során valójában azt az eljárást kell alkalmazni, hogy a teljes négyzetet kivonjuk egy másodfokú egyenletből (egy, két vagy több változó).

Azokat az egyeneseket, amelyek egyenleteit két változó másodfokú egyenlete írja le, másodrendű görbéknek nevezzük.

Ez a kör, ellipszis, hiperbola.

Ezen görbék ábrázolásakor a teljes négyzet egymás utáni kiválasztásának módszerét is alkalmazzuk.

Nézzük meg, hogyan működik a teljes négyzet egymást követő kiválasztásának módszere konkrét példákon.

Gyakorlati rész.

Oldja meg az egyenleteket a teljes négyzet egymást követő kiválasztásának módszerével.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1) 2 + (x + y) 2 = 0;

Válasz: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y) 2 + (2y + 1) 2 = 0;

Válasz: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Válasz: (-1; 1).

Egyenletek megoldása:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(hozd a következő alakba: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Válasz: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(hozd a következő alakba: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Válasz: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(hozd a következő formába: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Válasz: (7; -7)

Következtetés.

Ebben a tudományos munkában két másodfokú változót tartalmazó egyenleteket tanulmányoztam, ezek megoldási módszereit vizsgáltam. A feladat elkészült, egy rövidebb megoldási mód megfogalmazása és leírása, amely egy teljes négyzet kiválasztásán és az egyenlet ekvivalens egyenletrendszerrel való helyettesítésén alapul, ennek eredményeként leegyszerűsödik a kétváltozós egyenlet gyökereinek megtalálásának eljárása.

A munka fontos pontja, hogy a vizsgált technikát másodfokú függvénnyel kapcsolatos különféle matematikai problémák megoldására, másodrendű görbék készítésére és a kifejezések legnagyobb (legkisebb) értékének megtalálására használják.

Így a két változós másodrendű egyenlet négyzetösszeggé történő kibővítésének technikájának van a legtöbb alkalmazása a matematikában.

Határozatlan egyenletek természetes számokban.

Állami Oktatási Intézmény "Rechitsa District Lyceum"

Készítette: .

Felügyelő: .

Bevezetés

1.Egyenletek megoldása faktoring módszerrel…………4

2. Egyenletek megoldása két változóval (diszkriminancia módszer)………………………………………………………………………….11

3. Maradék módszer .................................................. ...................................13

4. A "végtelen leszállás" módszere ................................................ ..............................15

5. Mintavételi módszer……………………………………………………………16

Következtetés................................................. ..............................18

Bevezetés

Slava vagyok, a Rechitsa Kerületi Líceumban tanulok, 10. osztályos tanuló.

Minden egy ötlettel kezdődik! Megkértek, hogy oldjak meg egy egyenletet három ismeretlennel 29x + 30y + 31 z =366. Most ezt az egyenletet feladatnak tekintem - viccnek, de most először törtem a fejem. Számomra ez az egyenlet amolyan definiálatlanná vált, hogyan kell megoldani, milyen módon.

Alatt határozatlan egyenletek meg kell értenünk, hogy ezek egynél több ismeretlent tartalmazó egyenletek. Általában azok, akik ezeket az egyenleteket megoldják, egész számokban keresik a megoldásokat.

A határozatlan egyenletek megoldása nagyon izgalmas és informatív tevékenység, amely hozzájárul a tanulók találékonyságának, megfigyelőképességének, figyelmességének kialakításához, valamint a memória és tájékozódás, a logikus gondolkodás, az elemzés, az összehasonlítás és az általánosítás képességének fejlesztéséhez. Még nem találtam általános technikát, de most elmondok néhány módszert az ilyen egyenletek természetes számokban történő megoldására.

Ezt a témát a meglévő matematika-tankönyvek nem fedik le teljesen, az olimpiákon és a központosított teszteken pedig problémákat kínálnak fel. Ez annyira érdekelt és lenyűgözött, hogy a különböző egyenletek, feladatok megoldása során saját megoldások egész gyűjteményét gyűjtöttem össze, amit a tanárral a megoldási módszerek és módszerek szerint osztottunk fel. Tehát mi a munkám célja?

Az én cél többváltozós egyenletek megoldásainak elemzése a természetes számok halmazán.

Először gyakorlati problémákat fogunk átgondolni, majd áttérünk az egyenletek megoldására.

Mekkora egy téglalap oldalainak hossza, ha kerülete számszerűen egyenlő a területével?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N és y€ N

P=S

2x+2y=xy font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:"-szor new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"szer új roman> +font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Válasz: (4:4); (3:6); (6:3).

Keresse meg a 47 rubel fizetésének módját, ha erre csak három és öt rubel számlák használhatók.

Megoldás

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y=14+5K, K€ Z

x és y természetes értékei megfelelnek K= 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Vicc feladat

Bizonyítsuk be, hogy van megoldása a 29x+30y+31 egyenletnek z=336 természetes számokban.

Bizonyíték

Egy szökőév 366 napból, egy hónap 29 napból, négy hónap 30 napból áll,

7 hónap - 31 nap.

A megoldás három (1:4:7). Ez azt jelenti, hogy van megoldása az egyenletnek természetes számokban.

1. Egyenletek megoldása faktorálással

1) Oldja meg az x2-y2=91 egyenletet természetes számokban!

Megoldás

(x-y)(x+y)=91

Megoldás 8 rendszerek

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y = 7

x+y=13

(10:3)

x-y = -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Válasz:( 46:45):(10:3).

2) Oldja meg az x3 + 91 \u003d y3 egyenletet természetes számokban

Megoldás

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Megoldás 8 rendszerek

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:"szer új roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

nincs egész számban kifejezett megoldása

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

A fennmaradó 4 rendszernek nincs egész számban kifejezett megoldása. A feltételt egy megoldás teljesíti.

Válasz: (5:6).

3) Oldja meg az xy=x+y egyenletet természetes számokban!

Megoldás

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1) (x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

2. megoldás rendszerei

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1= -1

x-1= -1

(0:0)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1=1

x-1=1

(2:2)

Válasz: (2:2).

4) Oldja meg a 2x2+5xy-12y2=28 egyenletet természetes számokban!

Megoldás

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y - természetes számok; (x+4 év) € N

(x+4y)≥5

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2x-3y=1

x+4y=28

(8:5)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>2x-3y=4

x + 4y = 7

2x-3y=2

x+4y=14

természetes számokban nincs megoldás

Válasz: (8:5).

5) oldja meg az egyenletet 2xy=x2+2y természetes számokban

Megoldás

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

x-1 = 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

természetes számokban nincs megoldás

Válasz: (2:2).

6) oldja meg az egyenletet xnál nélz-3 xy-2 xz+ yz+6 x-3 y-2 z= -4 természetes számokban

Megoldás

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y(z-3)-2 z +4=0

xy(z-3)-2 x (z-3)+ y(z-3)-2 z +6-2=0

xy(z-3)-2 x(z-3)+ y(z-3)-2(z-3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Megoldás 6 rendszerek

z -3 = 1

x+1=1

y-2=2

(0 : 4 : 4 )

z-3 = -1

x+1=-1

y-2 = 2

(- 2: 4 : 2 )

HU-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3 = -1

x +1 = 2

y-2=-1

(1:1:2)

z-3=2

x +1= -1

y -2 = -1

(-2:1:5)

Válasz: (1:3:4).

Vegyünk egy bonyolultabb egyenletet számomra.

7) Oldja meg az x2-4xy-5y2=1996 egyenletet természetes számokban!

Megoldás

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y) (x+5y) = 1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N , y € N ; (x+y) € N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

nincsenek megoldások

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=499

x+y=4

nincsenek megoldások

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=4

x+y=499

nincsenek megoldások

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

nincsenek megoldások

Válasz: x=832, y=166.

Következzünk:az egyenletek faktorálásos megoldása során rövidített szorzóképleteket, csoportosítási módszert, teljes négyzetes kiválasztási módszert használnak .

2. Egyenletek megoldása két változóval (diszkrimináns módszer)

1) Oldja meg az 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 egyenletet természetes számokban

Megoldás

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D \u003d (8 év - 2) 2 - 4 * 5 * (5 év 2 + 2 év + 2) \u003d 4 ( (4 év - 1) 2 - 5 * (5 év 2 + 2 év + 2))

x1,2= font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>

D=0, font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:"times new roman>=0

y=-1, x=1

Válasz: nincsenek megoldások.

2) Oldd meg a 3(x2+xy+y2)=x+8y egyenletet természetes számokban

Megoldás

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

D≥0, -27y2+90y+1≥0

font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>≤y≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>y€ N , y=1, 2, 3. Ezeket az értékeket végignézve megkapjuk (1:1).

Válasz: (1:1).

3) Oldja meg az x4-y4-20x2+28y2=107 egyenletet természetes számokban

Megoldás

Bevezetünk egy cserét: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1,2=-10± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" új római szín: fekete>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:"-szor új latin>= 10±font-size:14.0pt;sor-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(a-14)

a1=a-4, a2=24-a

Az egyenlet így néz ki:

(a-a+4)(a+a-24)=1

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

természetes számokban nincsenek megoldások;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

х2+y2 – 24= -1 nincs megoldás természetes és egész számokbanVálasz: (4:3),(2:3).

3. Maradék módszer

Az egyenletek maradék módszerrel történő megoldása során nagyon gyakran a következő feladatokat használják:

A) Milyen maradékokat adhatunk, ha elosztjuk 3-mal és 4-gyel?

Nagyon egyszerű, ha 3-mal vagy 4-gyel osztjuk, a pontos négyzetek két lehetséges maradékot adnak: 0 vagy 1.

B) Milyen maradékok adhatnak pontos kockát 7-tel és 9-cel osztva?

7-tel osztva maradékokat adhatnak: 0, 1, 6; és 9-cel osztva: 0, 1, 8.

1) Oldja meg az x2+y2=4 egyenletet! z-1 természetes számokban

Megoldás

x2+y2+1=4z

Nézzük meg, mit adhatnak a maradékok, ha elosztjuk 4-gyel, ennek az egyenletnek a bal és jobb oldala. Ha 4-gyel osztjuk, a pontos négyzetek csak két különböző maradékot adnak, 0 és 1. Ezután x2 + y2 + 1, ha elosztjuk 4-gyel, a maradék 1, 2, 3 és 4 z maradék nélkül felosztva.

Ezért ennek az egyenletnek nincs megoldása.

2) Oldja meg az 1!+2!+3!+ …+x!= y2 egyenletet természetes számokban

Megoldás

a) X=1, 1!=1, majd y2=1, y=±1 (1:1)

b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, azaz y2= 9, y=±3 (3:3)

c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, azaz y=±betűméret:14.0pt;sormagasság:150%; font-family:"times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (nincs), y2=33

e) x≥5, 5!+6!+…+x!, képzeld el a 10-et n , n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n

A 3-ra végződő szám azt jelenti, hogy nem lehet egész szám négyzete. Ezért x≥5-nek nincs megoldása természetes számokban.

Válasz:(3:3) és (1:1).

3) Bizonyítsuk be, hogy a természetes számokban nincsenek megoldások

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Bizonyíték

Tegyük fel, hogy a rendszer megoldható z 2 \u003d 2y2 + 1, z2 - páratlan szám

z=2m+1

y2+2m2+2m , y2 páros szám, y = 2 n , n € N

x2=8n3 +7, vagyis x2 egy páratlan szám és x páratlan, x = 2 r +1, n € N

Helyettes x És nál nél az első egyenletbe,

2(r2 + r-2n3)=3

Nem lehetséges, hiszen az egyenlet bal oldala osztható kettővel, a jobb oldala pedig nem osztható, ami azt jelenti, hogy nem igaz a feltevésünk, vagyis a rendszernek nincs természetes számbeli megoldása.

4. Végtelen süllyedés módszere

A következő séma szerint oldjuk meg:

Tegyük fel, hogy az egyenletnek van megoldása, egy bizonyos végtelen folyamatot építünk fel, miközben a probléma értelme szerint ennek a folyamatnak egy páros lépéssel kell véget érnie.

1)Bizonyítsuk be, hogy a 8x4+4y4+2 egyenlet z4 = t4 természetes számokban nincs megoldása

Bizonyíték

Tegyük fel, hogy az egyenletnek egész számban van megoldása, ebből következik

t4 páros szám, akkor t is páros

t=2t1, t1 € Z

8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 páros, akkor z =2 z 1, z 1 € Z

Helyettes

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

x páros, azaz x=2x, x1€ Akkor Z

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Így x, y, z , t – páros számok, majd x1, y1, z1,t1 - még. Akkor x, y, z, t és x1, y1, z 1, t 1 oszthatók 2-vel, azaz, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> ésfont-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:"times new roman>.

Tehát kiderült, hogy a szám kielégíti az egyenletet; 2 többszörösei, és nem számít, hányszor osztjuk el őket 2-vel, mindig olyan számokat kapunk, amelyek 2 többszörösei. Az egyetlen szám, amely teljesíti ezt a feltételt, a nulla. De a nulla nem tartozik a természetes számok halmazába.

5. Minta módszer

1) Keress megoldásokat az egyenletre font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Megoldás

font-size:14.0pt;sormagasság: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+py

xy-px-ru=0

xy-px-ru+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

Megoldás 6 rendszerek

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-r=r

x-p = p

y=2p, x=2p

y-r = - r

x-p = - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y=1+p, x=1+p

y-r = -1

x-p = -1

y = p-1, x = p-1

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p=p2

x-p = p2

y=p2+p, x=p2+p

betűméret: 14,0 pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= -p2

x-p = - p2

y=p-p2, x=p-p2

Válasz:(2p:2p), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2).

Következtetés

Általában a határozatlan egyenletek megoldásait egész számokban keresik. Azokat az egyenleteket, amelyekben csak egész számú megoldást keresünk, diofantinnak nevezzük.

A több ismeretlent tartalmazó egyenletek megoldásait természetes számok halmazán elemeztem. Az ilyen egyenletek annyira változatosak, hogy alig van mód, algoritmus a megoldásukra. Az ilyen egyenletek megoldása találékonyságot igényel, és hozzájárul a matematikai önálló munkavégzés készségeinek elsajátításához.

A példákat a legegyszerűbb módszerekkel oldottam meg. Az ilyen egyenletek megoldásának legegyszerűbb technikája, ha egy változót a többivel fejezünk ki, és kapunk egy kifejezést, amelyet megvizsgálunk, hogy megtaláljuk azokat a változókat, amelyek esetében ez természetes (egész szám).

Ugyanakkor a fogalmak ill az oszthatósággal kapcsolatos tények, például prím- és összetett számok, oszthatóság jelei, viszonylag prímszámok stb.

Különösen gyakran használják:

1) Ha egy szorzat osztható p prímszámmal, akkor legalább egy tényezője osztható p-vel.

2) Ha a szorzat osztható valamilyen számmal Val velés az egyik tényező a számmal való koprím Val vel, akkor a második tényező osztható vele Val vel.