Számoljon a legracionálisabb módon. A számítás racionális módjai

A számítástechnikai automatizálási eszközök jelenlegi fejlettségi szintje sokakban azt az illúziót keltette, hogy a számítástechnikai ismeretek fejlesztése egyáltalán nem szükséges. Ez befolyásolta a tanulók felkészültségét. Számológép hiányában az egyszerű számítási feladatok is sokak számára gondot okoznak.

Ugyanakkor a vizsgafeladatok és a vizsgához szükséges anyagok számos olyan feladatot tartalmaznak, amelyek megoldása megköveteli a tesztalanyok racionális számításszervezési képességét.

Ebben a cikkben megvizsgálunk néhány módszert a számítások optimalizálására és azok versenyfeladatokra való alkalmazására.

A számítások optimalizálásának módszerei leggyakrabban az aritmetikai műveletek végrehajtására vonatkozó alapvető törvények alkalmazásához kapcsolódnak.

Például:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; vagy

98 16 (100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 stb.

Egy másik irány - rövidített szorzóképletek használata.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; vagy

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

A következő példa érdekes a számításokhoz.

Kiszámítja:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Ezek szinte szabványos módszerek a számítások optimalizálására. Néha egzotikusabbakat is kínálnak. Példaként tekintsük a kétjegyű számok szorzásának módszerét, amelyek egységeinek összege 10.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 vagy

43 87 = 40 90 + 3 (87-40) = 3600 + 141 = 3741.

A szorzási séma az ábráról érthető.

Honnan származik egy ilyen szorzási séma?

A feltétel szerinti számaink a következő alakúak: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Hozzunk létre egy művet:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100 mk + 100 m - 10 perc + 10 nk + 10 n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) és a módszer indokolt.

Számos zseniális módszer létezik arra, hogy a meglehetősen bonyolult számításokat mentális problémákká alakítsák. De nem gondolhatod, hogy mindenkinek emlékeznie kell ezekre és egy csomó más ötletes módszerre a számítások egyszerűsítésére. Csak néhány alapismeretet fontos megtanulni. Mások elemzésének csak az alapvető módszerek alkalmazási készségeinek fejlesztésére van értelme. Kreatív alkalmazásuk teszi lehetővé a számítási problémák gyors és helyes megoldását.

Néha a számítási példák megoldása során célszerű átváltani egy kifejezés számokkal történő transzformációjáról a polinomok transzformációjára. Tekintsük a következő példát.

Számítsa ki a legracionálisabb módon:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Megoldás.

Legyen a = 1/117 és b = 1/119. Ekkor 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 - a, 5 118 / 119 = 6 - b.

Így az adott kifejezés felírható így (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b.

A polinom egyszerű transzformációinak végrehajtása után 10a vagy 10 / 117 értéket kapunk.

Itt azt kaptuk, hogy kifejezésünk értéke nem függ b-től. És ez azt jelenti, hogy nem csak ennek a kifejezésnek az értékét számoltuk ki, hanem a (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b -ből kapott bármely más kifejezést is az értékek helyettesítésével a és b. Ha például a = 5/329, akkor a válaszban azt kapjuk 50 / 329 , bármi b.

Vegyünk egy másik példát, amelyet szinte lehetetlen megoldani egy számológéppel, és a válasz meglehetősen egyszerű, ha ismeri az ilyen típusú példák megoldásának megközelítését.

Kiszámítja

1 / 6 7 1024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) (7) 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Megoldás.

Változtassuk meg a feltételt

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16) – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Tekintsük az egyik példát, amely már azzá vált tankönyv az alapiskola tantárgy vizsgaanyagaiban.

Számítsa ki az összeget:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Vagyis az a módszer, hogy az egyes törteket két tört különbséggel helyettesítjük, lehetővé tette a probléma megoldását. Az összeg az első és az utolsó kivételével az összes számmal ellentétes számpárok.

De ez a példa általánosítható. Fontolja meg az összeget:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n + () m – 1) k) (n + mk))

Erre mindazok az érvelések érvényesek, mint az előző példában. Valóban:

1/n – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) stb.

Ezután ugyanazon séma szerint konstruáljuk meg a választ: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

És még többet a "hosszú" összegekről.

Összeg

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

kiszámítható egy 1/2-es nevezőjű geometriai haladás 11 tagjának összegeként, az első tag pedig 1. De ugyanezt az összeget egy 5. osztályos tanuló is ki tudja számolni, akinek fogalma sincs a haladásokról. Ehhez elég sikeresen kiválasztani egy számot, amelyet hozzáadunk az X összeghez. Ez a szám itt 1/1024 lesz.

Kiszámít

X + 1 / 1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Most már nyilvánvaló, hogy X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

A második módszer nem kevésbé ígéretes. Ezzel kiszámolhatja az összeget:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Itt a "szerencsés" szám 11. Adja hozzá S-hez, és ossza el egyenletesen mind a 11 kifejezés között. Ekkor mindegyik kap 1-et.

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Ezért S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A távoli múltban, amikor még nem találták fel a számítási rendszert, az emberek mindent az ujjukon számoltak. Az aritmetika és a matematika alapjainak megjelenésével sokkal könnyebbé és praktikusabbá vált az áruk, termékek, háztartási cikkek nyilvántartása. De hogyan is néz ki a modern számítási rendszer: milyen típusú létező számokra oszlanak fel, és mit jelent a "racionális számok alakja"? Találjuk ki.

Hányféle szám létezik a matematikában?

Maga a „szám” fogalma bármely objektum egy bizonyos egységét jelöli, amely jellemzi annak mennyiségi, összehasonlító vagy sorrendi mutatóit. Bizonyos dolgok számának helyes kiszámításához vagy bizonyos matematikai műveletek számokkal való végrehajtásához (összeadás, szorzás stb.), először is meg kell ismerkednie ugyanazon számok fajtáival.

Tehát a meglévő számok a következő kategóriákra oszthatók:

1. A természetes számok azok a számok, amelyekkel megszámoljuk az objektumok számát (a legkisebb természetes szám 1, logikus, hogy a természetes számok sorozata végtelen, vagyis nincs legnagyobb természetes szám). A természetes számok halmazát általában N betűvel jelöljük.
2. Egész számok. Ez a készlet mindent tartalmaz, míg negatív értékeket adnak hozzá, beleértve a "nulla" számot is. Az egész számok halmazának jelölése latin Z betűvel van írva.
3. A racionális számok azok, amelyeket gondolatban törtté alakíthatunk át, amelyek számlálója az egész számok halmazához fog tartozni, a nevező pedig a természetes számokhoz. Az alábbiakban részletesebben elemezzük, mit jelent a „racionális szám”, és adunk néhány példát.
4. - egy halmaz, amely magában foglalja az összes racionális és Ezt a halmazt R betűvel jelöljük.
5. A komplex számok a valós egy részét és a változó egy részét tartalmazzák. Különböző köbös egyenletek megoldására használják őket, amelyek viszont negatív kifejezést tartalmazhatnak a képletekben (i 2 = -1).

Mit jelent a „racionális”: példákkal elemezzük

Ha azokat a számokat tekintjük racionálisnak, amelyeket közös törtként tudunk ábrázolni, akkor kiderül, hogy minden pozitív és negatív egész szám szerepel a racionálisak halmazában. Végül is bármely egész szám, például 3 vagy 15, ábrázolható törtként, ahol a nevező egy lesz.

Törtek: -9/3; A 7/5, 6/55 példák a racionális számokra.

Mit jelent a „racionális kifejezés”?

Lépj tovább. Már tárgyaltuk, mit jelent a számok racionális alakja. Képzeljünk el most egy matematikai kifejezést, amely különféle számok és változók összegéből, különbségéből, szorzatából vagy hányadosából áll. Íme egy példa: egy tört, amelynek a számlálójában két vagy több egész szám összege szerepel, és a nevezőben egy egész szám és valamilyen változó is szerepel. Ezt a kifejezést nevezzük racionálisnak. A "nullával nem osztható" szabály alapján sejthető, hogy ennek a változónak az értéke nem lehet olyan, hogy a nevező értéke nullává váljon. Ezért egy racionális kifejezés megoldásánál először meg kell határozni a változó tartományát. Például, ha a nevező a következő kifejezést tartalmazza: x+5-2, akkor kiderül, hogy "x" nem lehet egyenlő -3-mal. Valójában ebben az esetben a teljes kifejezés nullává változik, ezért a megoldás során ki kell zárni a -3 egész számot ehhez a változóhoz.

Hogyan lehet helyesen megoldani a racionális egyenleteket?

A racionális kifejezések elég sok számot, sőt 2 változót is tartalmazhatnak, így esetenként nehézkessé válik a megoldásuk. Egy ilyen kifejezés megoldásának megkönnyítése érdekében ajánlott bizonyos műveleteket racionális módon végrehajtani. Mit jelent tehát a „racionális módon”, és milyen szabályokat kell alkalmazni a döntés során?

1. Az első típus, amikor elég a kifejezés egyszerűsítése. Ehhez használhatja a számláló és a nevező redukálhatatlan értékre történő csökkentését. Például, ha a számlálóban a 18x kifejezés, a nevezőben pedig a 9x szerepel, akkor mindkét mutatót 9x-el csökkentve csak egy 2-vel egyenlő egész számot kapunk.
2. A második módszer akkor praktikus, ha a számlálóban egy mononom, a nevezőben pedig egy polinom található. Nézzünk egy példát: a számlálóban 5x van, a nevezőben pedig - 5x + 20x 2 . Ebben az esetben a legjobb, ha a nevezőben lévő változót kivesszük a zárójelből, a nevező következő alakját kapjuk: 5x(1+4x). És most már használhatja az első szabályt, és egyszerűsítheti a kifejezést a számláló és a nevező 5-szörös csökkentésével. Ennek eredményeként az 1/1+4x alak töredékét kapjuk.

Milyen műveleteket lehet végrehajtani racionális számokkal?

A racionális számok halmazának számos sajátossága van. Sok közülük nagyon hasonlít az egész számokban és a természetes számokban előforduló jellemzőre, tekintettel arra, hogy ez utóbbiak mindig benne vannak a racionális halmazban. Íme a racionális számok néhány tulajdonsága, amelyek ismeretében könnyedén megoldhat bármilyen racionális kifejezést.

1. A kommutativitás tulajdonság lehetővé teszi két vagy több szám összegzését, függetlenül azok sorrendjétől. Egyszerűen fogalmazva, az összeg nem változik a kifejezések helyének változásától.
2. Az eloszlási tulajdonság lehetővé teszi a problémák megoldását a disztributív törvény segítségével.
3. És végül az összeadás és kivonás műveletei.

Még az iskolások is tudják, mit jelent a „racionális számtípus”, és hogyan lehet ilyen kifejezések alapján problémákat megoldani, így egy művelt felnőttnek egyszerűen emlékeznie kell a racionális számok halmazának legalább alapjaira.

Ebben a cikkben elkezdjük tanulmányozni racionális számok. Itt megadjuk a racionális számok definícióit, megadjuk a szükséges magyarázatokat és példákat a racionális számokra. Ezt követően arra összpontosítunk, hogyan határozzuk meg, hogy egy adott szám racionális-e vagy sem.

Oldalnavigáció.

Racionális számok definíciója és példái

Ebben az alfejezetben a racionális számok számos definícióját adjuk meg. A megfogalmazásbeli különbségek ellenére ezeknek a definícióknak ugyanaz a jelentése: a racionális számok egész számokat és törtszámokat egyesítenek, ahogyan az egészek a természetes számokat, azok ellentétes számait és a nulla számot. Más szóval, a racionális számok általánosítanak egész és tört számokat.

Kezdjük azzal racionális számok definíciói amelyet a legtermészetesebbnek tartanak.

A hangos definícióból az következik, hogy a racionális szám:

• Bármely n természetes szám. Valójában bármely természetes szám ábrázolható közönséges törtként, például 3=3/1.
• Bármely egész szám, különösen a nulla. Valójában bármely egész szám felírható pozitív közös törtként, negatív közös törtként vagy nullaként. Például 26=26/1 , .
• Bármely közönséges tört (pozitív vagy negatív). Ezt közvetlenül kimondja a racionális számok adott definíciója.
• Bármilyen vegyes szám. Valójában mindig lehetséges egy vegyes számot helytelen közös törtként ábrázolni. Például és .
• Bármilyen véges tizedes vagy végtelen periodikus tört. Ez azért van így, mert a megadott tizedes törteket a rendszer közönséges törtté alakítja. Például , és 0,(3)=1/3 .

Az is világos, hogy bármely végtelen, nem ismétlődő tizedes NEM racionális szám, mivel nem ábrázolható közönséges törtként.

Most könnyen hozhatjuk példák racionális számokra. A 4, 903, 100 321 számok racionális számok, mivel természetes számok. Az 58 , −72 , 0 , −833 333 333 egész számok is a racionális számok példái. A 4/9, 99/3 közönséges törtek is példák a racionális számokra. A racionális számok is számok.

A fenti példák azt mutatják, hogy vannak pozitív és negatív racionális számok is, és a nulla racionális szám sem nem pozitív, sem nem negatív.

A racionális számok fenti definíciója rövidebb formában is megfogalmazható.

Meghatározás.

Racionális számok hívjunk fel z/n törtként felírható számokat, ahol z egész szám, n pedig természetes szám.

Bizonyítsuk be, hogy a racionális számoknak ez a definíciója ekvivalens az előző definícióval. Tudjuk, hogy a tört rúdját tekinthetjük az osztás jelének, akkor az egész számok osztó tulajdonságaiból és az egész számok osztására vonatkozó szabályokból a következő és . Ez tehát a bizonyíték.

Példákat adunk racionális számokra e meghatározás alapján. A −5 , 0 , 3 , és számok racionális számok, mivel felírhatók törtként egy egész számlálóval, illetve az alak természetes nevezőjével.

A racionális számok definíciója a következő megfogalmazásban is megadható.

Meghatározás.

Racionális számok véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként felírható számok.

Ez a definíció is egyenértékű az első definícióval, mivel bármely közönséges tört véges vagy periodikus tizedes törtnek felel meg, és fordítva, és bármely egész szám társítható egy tizedes törthez, ahol a tizedesvessző után nullák állnak.

Például az 5 , 0 , -13 számok a racionális számok példái, mert a következő tizedesjegyekként írhatók fel: 5.0 , 0.0 , -13.0 , 0.8 és -7,(18) .

A szakasz elméletét a következő kijelentésekkel fejezzük be:

• egész és tört számok (pozitív és negatív) alkotják a racionális számok halmazát;
• minden racionális szám egy egész számlálóval és egy természetes nevezővel ellátott törtként ábrázolható, és minden ilyen tört racionális szám;
• minden racionális szám ábrázolható véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként, és minden ilyen tört valamilyen racionális számot képvisel.

Racionális ez a szám?

Az előző bekezdésben azt találtuk, hogy bármely természetes szám, egész szám, közönséges tört, bármilyen vegyes szám, bármilyen végső tizedes tört, valamint bármely periodikus tizedes tört racionális szám. Ez a tudás lehetővé teszi számunkra, hogy racionális számokat "felismerjünk" az írott számok halmazából.

De mi van akkor, ha a szám úgy van megadva, hogy valamilyen , vagy mint stb., hogyan válaszoljunk arra a kérdésre, hogy a megadott szám racionális-e? Sok esetben nagyon nehéz válaszolni rá. Mutassunk néhány irányt a gondolatmenethez.

Ha egy számot olyan numerikus kifejezésként adunk meg, amely csak racionális számokat és számtani előjeleket (+, −, · és:) tartalmaz, akkor ennek a kifejezésnek az értéke racionális szám. Ez a racionális számokkal végzett műveletek meghatározásából következik. Például a kifejezésben szereplő összes művelet végrehajtása után egy 18-as racionális számot kapunk.

Néha a kifejezések egyszerűsítése és egy bonyolultabb forma után lehetővé válik annak meghatározása, hogy egy adott szám racionális-e.

Menjünk tovább. A 2-es szám racionális szám, mivel bármely természetes szám racionális. Mi a helyzet a számmal? Vajon racionális? Kiderült, hogy nem - ez nem racionális szám, hanem irracionális szám (ennek a ténynek az ellentmondásos bizonyítását az algebra 8. osztályos tankönyve tartalmazza, az alábbi hivatkozási listában feltüntetve). Az is bebizonyosodott, hogy egy természetes szám négyzetgyöke csak akkor racionális szám, ha a gyök olyan szám, amely valamely természetes szám tökéletes négyzete. Például a és racionális számok, mivel 81=9 2 és 1024=32 2 , a és számok pedig nem racionálisak, mivel a 7 és 199 nem tökéletes négyzetei a természetes számoknak.

Racionális a szám vagy sem? Ebben az esetben könnyen belátható, hogy ezért ez a szám racionális. Racionális a szám? Bebizonyosodott, hogy egy egész szám k-edik gyöke csak akkor racionális szám, ha a gyökjel alatti szám valamely egész szám k-edik hatványa. Ezért nem racionális szám, hiszen nincs olyan egész szám, amelynek ötödik hatványa 121 lenne.

Az ellentmondás módszere lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy egyes számok logaritmusai valamilyen okból nem racionális számok. Például bizonyítsuk be, hogy - nem racionális szám.

Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis tegyük fel, hogy ez egy racionális szám, és m/n közönséges törtként írható fel. Ezután és adja meg a következő egyenlőségeket: . Az utolsó egyenlőség lehetetlen, mert a bal oldalán ott van páratlan szám 5 n , a jobb oldalon pedig egy páros szám 2 m . Ezért a feltevésünk téves, tehát nem racionális szám.

Összegzésként érdemes hangsúlyozni, hogy a számok racionalitásának vagy irracionalitásának tisztázásakor tartózkodni kell a hirtelen következtetésektől.

Például nem szabad azonnal azt állítani, hogy a π és e irracionális számok szorzata irracionális szám, ez „mintha nyilvánvaló”, de nem bizonyított. Ez felveti a kérdést: „Miért lenne a szorzat racionális szám”? És miért ne, mert lehet példát mondani irracionális számokra, amelyek szorzata racionális számot ad:.

Az sem ismert, hogy a számok és sok más szám racionális-e vagy sem. Például vannak irracionális számok, amelyek irracionális hatványa racionális szám. Szemléltetésül adjuk meg az alak fokszámát, ennek a foknak az alapja és a kitevő nem racionális szám, hanem , és 3 egy racionális szám.

Bibliográfia.

• Matematika. 6. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Kozhinova Anastasia

AZ ÖNKORMÁNYZATI NEM JELLEMZŐ KÖLTSÉGVETÉS

ÁLTALÁNOS OKTATÁSI INTÉZMÉNY

"LYCEUM №76"

MI A RACIONÁLIS SZÁMOLÁS TITKA?

Teljesített:

5. tanuló "B" osztály

Kozhinova Anastasia

Felügyelő:

Matematika tanár

Shiklina Tatiana

Nikolaevna

Novokuznyeck 2013

Bevezetés…………………………………………………………… 3

A fő rész……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Következtetések és következtetések…………………………………………………………………………………………………………………

Hivatkozások…………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….

Pályázatok………………………………………………………. 16-31

én. Bevezetés

Probléma: numerikus kifejezések értékeinek megtalálása

Célkitűzés: a racionális számolás meglévő módszereinek, technikáinak keresése, tanulmányozása, gyakorlati alkalmazása.

Feladatok:

1. Végezzen kérdőíves mini felmérést a párhuzamos osztályok körében.

2. Elemzés a kutatás témájában: az iskolai könyvtárban elérhető szakirodalom, az 5. osztályos matematika tankönyv információi, az interneten.

3. Válassza ki a racionális számolás leghatékonyabb módszereit és eszközeit!

4. Végezze el a gyors szóbeli és írásbeli számolás meglévő módszereinek osztályozását.

5. Készítsen feljegyzéseket, amelyek racionális számolási technikákat tartalmaznak párhuzamos 5 osztályban való használatra.

A vizsgálat tárgya: racionális számla.

Tanulmányi tárgy: a racionális számolás módjai.

A kutatómunka eredményessége érdekében a következő módszereket alkalmaztam: különböző forrásokból nyert információk elemzése, szintézis, általánosítás; közvélemény-kutatás kérdőív formájában. A kérdőívet a vizsgálat céljának és célkitűzéseinek, a válaszadók életkorának megfelelően én dolgoztam ki, és a munka fő részében mutatom be.

A kutatómunka során átgondolták a racionális számolás módszereivel, technikáival kapcsolatos kérdéseket, ajánlásokat fogalmaztak meg a számítástechnikai ismeretekkel kapcsolatos problémák kiküszöbölésére, a számítási kultúra kialakítására.

II. Fő rész

A tanulók számítástechnikai kultúrájának kialakulása

5-6 évfolyam.

Nyilvánvaló, hogy a racionális számolás módszerei minden ember életében a számítási kultúra elengedhetetlen elemei, elsősorban gyakorlati jelentőségük miatt, és a tanulóknak szinte minden órán szüksége van rá.

A számítási kultúra a matematika és más tudományágak tanulmányozásának alapja, hiszen amellett, hogy a számítások aktiválják a memóriát, a figyelmet, segítik a tevékenységek racionális szervezését, és jelentősen befolyásolják az emberi fejlődést.

A mindennapi életben, az edzéseken, amikor minden perc értékes, nagyon fontos, hogy a szóbeli és írásbeli számításokat gyorsan és racionálisan végezzük el, tévedés és további számítástechnikai eszközök használata nélkül.

Mi, iskolások, mindenhol szembesülünk ezzel a problémával: az osztályteremben, otthon, a boltban stb. Emellett a 9. és 11. évfolyam után IGA és Egységes Államvizsga formájában kell majd vizsgáznunk, ahol a mikrokalkulátor használata nem megengedett. Ezért rendkívül fontossá válik minden emberben a számítási kultúra kialakításának problémája, amelynek egyik eleme a racionális számolás módszereinek elsajátítása.

Különösen szükséges a racionális számolás módszereinek elsajátítása.

olyan tantárgyak tanulmányozásában, mint a matematika, történelem, technika, számítástechnika stb., vagyis a racionális számolás segíti a kapcsolódó tárgyak elsajátítását, a tanult anyagban való jobb eligazodást, élethelyzetekben. Szóval mire várunk? Menjünk a racionális számolási módszerek titkai világába!!!

Milyen problémái vannak a tanulóknak a számítások során?

A korombeli társaimnak gyakran problémái vannak különféle feladatok elvégzése során, amelyekben gyors és kényelmes számításokat kell végezni. . Miért???

Íme néhány tipp:

1. A tanuló nem sajátította el jól a tanult témát

2. A tanuló nem ismétli meg az anyagot

3. A tanuló gyenge számolási készségekkel rendelkezik

4. A tanuló nem kívánja ezt a témát tanulmányozni

5. A tanuló úgy gondolja, hogy ez nem lesz hasznos számára.

Mindezeket a feltételezéseket saját tapasztalataimból, valamint osztálytársaim és társaim tapasztalataiból merítettem. A racionális számolási készség azonban fontos szerepet játszik a számítási gyakorlatokban, ezért tanulmányoztam, alkalmaztam és szeretnék bemutatni néhány racionális számolási technikát.

A szóbeli és írásbeli számítások racionális módszerei.

A munkában és az életben folyamatosan felmerül a különféle számítások igénye. A mentális számolás legegyszerűbb módszereinek alkalmazása csökkenti a fáradtságot, fejleszti a figyelmet és a memóriát. A racionális számítási módszerek alkalmazása szükséges a munka, a számítások pontosságának és sebességének növelése érdekében. A számítások gyorsasága és pontossága csak a számítások gépesítésének módszereinek és eszközeinek ésszerű alkalmazásával, valamint a fejben történő számolási módszerek helyes alkalmazásával érhető el.

én. Egyszerűsített számkiegészítési technikák

Négy összeadási módszer létezik, amelyek lehetővé teszik a számítások felgyorsítását.

Szekvenciális bitenkénti összeadás módszere fejben történő számításoknál használják, mivel leegyszerűsíti és felgyorsítja a kifejezések összegzését. Ennek a módszernek a használatakor az összeadás a legmagasabb számjegyekkel kezdődik: a második tag megfelelő számjegyei hozzáadódnak az első taghoz.

Példa. Keressük meg az 5287 és 3564 számok összegét a szekvenciális bitenkénti összeadás módszerével.

Megoldás. A következő sorrendben számolunk:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Válasz: 8 851

A szekvenciális bitenkénti összeadás másik módja abból áll, hogy a második tag legmagasabb rangját hozzáadjuk az első tag legmagasabb számjegyéhez, majd a második tag következő számjegyét hozzáadjuk az első tag következő számjegyéhez, és így tovább.

Tekintsük ezt a megoldást az adott példában, így kapjuk:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Válasz: 8851.

kerek szám módszer . Kerek számnak nevezzük azt a számot, amely egy jelentős számjegyből áll, és egy vagy több nullára végződik. Ezt a módszert akkor használjuk, ha két vagy több olyan kifejezés választható, amelyek egy kerek számra egészíthetők ki. A kerek szám és a számítási feltételben megadott szám különbségét komplementernek nevezzük. Például 1000 - 978 = 22. Ebben az esetben a 22 szám a 978 és 1000 számtani összeadása.

A kerek szám módszerrel történő összeadáshoz egy vagy több, a kerek számokhoz közel álló tagot le kell kerekíteni, kerek számokat kell hozzáadni, és a kapott összegből ki kell vonni az aritmetikai összeadásokat.

Példa. Keresse meg az 1238 és 193 számok összegét kerek szám módszerrel!

Megoldás. Kerekítse a 193-as számot 200-ra, és adja hozzá a következőképpen: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (asszociatív jog)

A kifejezések csoportosításának módja . Ezt a módszert akkor használjuk, ha a kifejezések csoportosítva kerek számokat adnak, amelyeket aztán összeadunk.

Példa. Határozzuk meg a 74, 32, 67, 48, 33 és 26 számok összegét!

Megoldás. Adjuk össze a következőképpen csoportosított számokat: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(asszociatív elmozdulás törvénye)

vagy ha a számok csoportosítása egyenlő összegeket eredményez:

Példa: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(asszociatív elmozdulás törvénye)

II. Számok egyszerűsített kivonásának technikái

A szekvenciális bitenkénti kivonás módszere. Ez a módszer szekvenciálisan levon minden egyes számjegyet a csökkentett számjegyből. Akkor használatos, ha a számokat nem lehet kerekíteni.

Példa. Keresse meg a 721 és 398 számok közötti különbséget.

Megoldás. Végezzünk műveleteket adott számok különbségének megkeresésére a következő sorrendben:

ábrázolja a 398-as számot összegként: 300 + 90 + 8 = 398;

csinálj bitenkénti kivonást:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

kerek szám módszer . Ezt a módszert akkor használjuk, ha a részfej közel van egy kerek számhoz. A kiszámításhoz ki kell vonni a redukáltból a kerek számnak vett kivonatot, és a kapott különbséghez hozzá kell adni az aritmetikai összeadást.

Példa. Számítsuk ki a 235-ös és a 197-es számok különbségét a kerek szám módszerével!

Megoldás. 235-197 = 235-200 + 3 = 38.

III. Számok egyszerűsített szorzásának technikái

Szorzás eggyel, majd nullákkal. Ha megszorozunk egy számot olyan számmal, amely egy egységet és nullákat követ (10; 100; 1000 stb.), akkor a jobb oldalon annyi nulla lesz hozzárendelve, amennyi a mértékegység utáni szorzóban van.

Példa. Keresse meg az 568 és 100 számok szorzatát!

Megoldás. 568 x 100 = 56 800.

bitenkénti szorzási módszer . Ezt a módszert akkor használják, ha egy számot bármilyen egyjegyű számmal megszoroznak. Ha egy kétjegyű (három-, négyjegyű stb.) számot meg kell szorozni egyjegyűvel, akkor először az egyjegyű szorzót egy másik tényező tízesével, majd az egységeivel és a kapott eredmény a termékeket összegezzük.

Példa. Keresse meg a 39 és 7 számok szorzatát!

Megoldás. 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (a szorzás eloszlási törvénye az összeadás tekintetében)

kerek szám módszer . Ezt a módszert csak akkor használják, ha az egyik tényező közel van egy kerek számhoz. A szorzót megszorozzuk egy kerek számmal, majd az aritmetikai összeadással, és a végén kivonjuk a másodikat az első szorzatból.

Példa. Keresse meg a 174 és 69 számok szorzatát!

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (a szorzás eloszlási törvénye a kivonás tekintetében)

Az egyik tényező kiterjesztésének módja. Ennél a módszernél az egyik tényezőt először részekre (termékekre) bontjuk, majd a második tényezőt sorra megszorozzuk az első tényező egyes részeivel, és a kapott szorzatokat összegezzük.

Példa. Keresse meg a 13 és a 325 szorzatát!

Bontsuk fel a 13-as számot: 13 \u003d 10 + 3. Szorozzuk meg a kapott tagokat 325-tel: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975. A kapott szorzatokat összegezve: 3250 + 975 = 4225

A racionális fejszámolás készségeinek elsajátítása hatékonyabbá teszi a munkáját. Ez csak akkor lehetséges, ha jól elsajátítja a fenti számtani műveleteket. A racionális számolási módszerek alkalmazása felgyorsítja a számításokat és biztosítja a szükséges pontosságot. De nem csak számolni kell tudni, hanem ismerni kell a szorzótáblát, az aritmetikai műveletek törvényeit, az osztályokat és a számjegyeket is.

Vannak mentális számlálórendszerek, amelyek lehetővé teszik a gyors és racionális szóbeli számolást. Megnézünk néhányat a leggyakrabban használt technikák közül.

1. Kétjegyű szám megszorzása 11-gyel.

Tanulmányoztuk ezt a módszert, de nem tanulmányoztuk a végéig. ennek a módszernek az a titka, hogy az aritmetikai műveletek törvényszerűségének tekinthető.

Példák:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (a szorzás eloszlási törvénye az összeadás tekintetében)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (eloszlási törvény és kerek szám módszer)

Tanulmányoztuk ezt a módszert, de nem ismertünk másikat. A kétjegyű számok 11-gyel való szorzásának titka.

A kétjegyű számok 11-gyel való szorzásakor kapott eredményeket megfigyelve észrevettem, hogy kényelmesebben kaphatja meg a választ. : ha egy kétjegyű számot megszorozunk 11-gyel, akkor ennek a számnak a számjegyei eltávolodnak egymástól, és a számjegyek összege középre kerül.

a) 23 11=253, mivel 2+3=5;

b) 45 11=495, mert 4+5=9;

c) 57 11=627, mert 5+7=12, kettő került középre, egy pedig a százasok közé;

d) 78 11=858, mivel 7+8=15, akkor a tízesek száma 5 lesz, a százasok száma pedig eggyel nő és 8 lesz.

Az interneten találtam megerősítést erre a módszerre.

2) Azon kétjegyű számok szorzata, amelyeknek ugyanannyi tízesük van, és az egységek összege 10, azaz 23 27; 34 36; 52 58 stb.

szabály: a tízes számjegyet megszorozzuk a természetes sorozat következő számjegyével, az eredményt rögzítjük és az egységek szorzatát hozzárendeljük.

a) 23 27 = 621. Hogyan szerezted meg a 621-et? A 2-t megszorozzuk 3-mal (a „kettőt” követi a „három”), ez 6 lesz, és ezután az egységek szorzatát rendeljük hozzá: 3 7 \u003d 21, kiderül, hogy 621.

b) 34 36 = 1224, mivel 3 4 = 12, a 24-et a 12-es számhoz rendeljük, ez e számok egységeinek szorzata: 4 6.

c) 52 58 \u003d 3016, mivel az 5-ös tízes számot megszorozzuk 6-tal, akkor 30 lesz, 2 és 8 szorzatát, azaz 16-ot tulajdonítunk.

d) 61 69=4209. Világos, hogy a 6-ot megszorozták 7-tel, és 42-t kaptunk. És honnan jön a nulla? Megszoroztuk az egységeket, és így kaptunk: 1 9 \u003d 9, de az eredménynek kétjegyűnek kell lennie, ezért 09-et veszünk.

3) Az azonos számjegyű háromjegyű számokat elosztjuk 37-tel. Az eredmény a háromjegyű szám (vagy a háromjegyű szám számjegyének háromszorosával egyenlő szám) azonos számjegyeinek összege.

Példák: a) 222:37=6. Ez a 2+2+2=6 összege; b) 333:37=9, mert 3+3+3=9.

c) 777:37=21, azaz 7+7+7=21-re.

d) 888:37=24, mert 8+8+8=24.

Azt is figyelembe vesszük, hogy 888:24=37.

III. Következtetés

A munkám témájának fő titkának megfejtéséhez keményen dolgoznom kellett - információkat keresnem, elemezni, osztálytársakat kérdezősködni, megismételni a korán ismert módszereket, megtalálni a racionális számolás sok ismeretlen módszerét, és végül megérteni. mi a titka? És rájöttem, hogy a lényeg az, hogy ismerjük és alkalmazni tudjuk az ismerteket, találjunk új racionális számolási módszereket, a szorzótáblát, a számösszetételt (osztályok és számjegyek), az aritmetikai műveletek törvényeit. Kívül,

keressen új módszereket erre:

- Egyszerűsített számkiegészítési technikák: (a szekvenciális bitenkénti összeadás módszere; a kerek szám módszere; az egyik tényező tagokra bontásának módja);

-Számok egyszerűsített kivonásának technikái(a szekvenciális bitenkénti kivonás módszere; kerek szám módszer);

-Számok egyszerűsített szorzásának technikái(szorzás eggyel, majd nullák; bitenkénti szorzás; kerek szám módszer; az egyik tényező bővítési módszere ;

- A gyors fejszámolás titkai(egy kétjegyű szám 11-gyel való szorzata: ha egy kétjegyű számot szorozunk 11-gyel, akkor ennek a számnak a számjegyei eltávolodnak egymástól, és a számjegyek összege középre kerül; azon kétjegyű számok szorzata, amelyek ugyanannyi tízes, a mértékegységek összege pedig 10. Azonos számjegyekből álló háromjegyű számok felosztása a 37-es számon Valószínűleg még sok ilyen mód létezik, így jövőre is folytatom a témával való foglalkozást.

IV. Bibliográfia

1. Savin A. P. Matematikai miniatúrák / A. P. Savin. - M .: Gyermekirodalom, 1991

2. Zubareva I.I., Matematika, 5. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények diákjai számára / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosyne, 2011

4. http:// www. xreferat.ru

5. http:// www. biografia.ru

6. http:// www. Matematika-ismétlés. hu

V. Alkalmazások

Mini tanulmány (kérdőíves felmérés)

A tanulók racionális számolási ismereteinek azonosítására kérdőíves felmérést végeztem a következő kérdésekben:

* Tudod, hogy melyek a racionális számolási módszerek?

* Ha igen, hol, és ha nem, miért nem?

* Hány racionális számolási módot ismer?

* Nehezen tud fejben számolni?

* Hogyan tanulsz matekot? a) az "5"-re; b) a "4"-en; c) a "3"-on

* Mit szeretsz a legjobban a matematikában?

a) példák; b) feladatok; c) törtek

* Mit gondol, hol lehet hasznos a fejben történő számolás, kivéve a matematikát? * Emlékszel az aritmetikai műveletek törvényeire, ha igen, melyikre?

Egy felmérés elvégzése után rájöttem, hogy osztálytársaim nem ismerik kellőképpen az aritmetikai műveletek törvényeit, legtöbbjüknek gondja van a racionális számlálással, sok diák lassan és hibásan számol, és mindenki szeretne megtanulni gyorsan, helyesen és pontosan számolni. kényelmes módja. Ezért kutatómunkám témája minden hallgató számára rendkívül fontos, és nem csak.

1. Érdekes szóbeli és írásbeli számítási módszerek, amelyeket a matematika órákon tanultunk, a „matematika, 5. osztály” tankönyv példái alapján:

Íme néhány közülük:

hogy egy számot gyorsan megszorozzon 5-tel, elég megjegyezni, hogy 5=10:2.

Például 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Egy szám 50-zel való szorzása , megszorozhatja 100-zal és oszthatja 2-vel.

Például: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Egy szám 25-tel való szorzása , megszorozhatja 100-zal és oszthatja 4-gyel,

Például 32x25=(32x100):4=3200:4=800

Egy szám 125-tel való szorzása , megszorozhatja 1000-el és oszthatja 8-cal,

Például: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Két 0-val végződő kerek szám készítése osztva 25-tel , eloszthatja 100-zal és szorozhatja 4-gyel.

Például: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Kerek szám elosztása 50-nel , osztható 100-zal és szorozható 2-vel

Például: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

De nem csak számolni kell tudni, hanem ismerni kell a szorzótáblát, az aritmetikai műveletek törvényeit, a számok összetételét (osztályok és számjegyek), és rendelkezni kell ezek használatához szükséges készségekkel.

Az aritmetikai műveletek törvényei.

a + b = b + a

Összeadás kommutatív törvénye

(a + b) + c = a + (b + c)

Az összeadás asszociatív törvénye

a · b = b · a

A szorzás kommutatív törvénye

(a · b) · c = a · (b · c)

A szorzás asszociatív törvénye

(a = b) · c = a · c = b · c

A szorzás eloszlási törvénye (az összeadás tekintetében)

Szorzótábla.

Mi a szorzás?

Ez egy okos kiegészítés.

Végül is okosabb szorozni,

Mint egy órán keresztül mindent összeadni.

Szorzótábla

Mindannyiunknak szüksége van rá az életben.

És nem ok nélkül megnevezett

SZOROZZA meg!

Rangok és osztályok

Annak érdekében, hogy kényelmesebb legyen a nagy értékű számok olvasása és emlékezése, ezeket úgynevezett „osztályokra” kell osztani: jobbról kezdve a számot egy szóközzel három számjegyre osztjuk „első osztály”, majd három számjegyre. több számjegy van kiválasztva, „második osztály” stb. A szám jelentésétől függően az utolsó osztály három, két vagy egy számjegyre végződhet.

Például a 35461298 szám a következőképpen írható:

Ez a szám osztályokra oszlik:

482 - első osztály (egységosztály)

630 - másodosztály (ezres osztály)

35 – harmadik osztály (milliós osztály)

Kisülés

Az osztályt alkotó számjegyek mindegyikét kategóriának nevezzük, aminek a visszaszámlálása is jobbra megy.

Például a 35 630 482 szám osztályokra és számjegyekre bontható:

482 - első osztályú

2 – első számjegy (egységszám)

8 – második számjegy (tízes számjegy)

4 – harmadik számjegy (több száz számjegy)

630 - másodosztályú

0 – első számjegy (több ezer számjegy)

3 - második számjegy (tízezres számjegy)

6 – harmadik számjegy (százezer számjegy)

35 - harmadik osztály

5 – első számjegy (milliós egységek számjegye)

3 – második számjegy (tízmilliós számjegy)

A 35 630 482 szám a következő:

Harmincötmillió-hatszázharmincezer-négyszáznyolcvankettő.

Problémák a racionális számlálással és azok megoldása

A memorizálás racionális módszerei.

A felmérés és az órai megfigyelések eredményeként azt vettem észre, hogy a tanulók egy része rosszul old meg különböző feladatokat, feladatokat, mert nem ismeri a racionális számítási módszereket.

1. Az egyik módszer, hogy a tanult anyagot olyan rendszerbe hozzuk, amely alkalmas a memorizálásra és a memóriában való tárolásra.

2. Ahhoz, hogy a memorizált anyagot a memória egy bizonyos rendszerben tárolja, a tartalmán dolgozni kell.

3. Ezután elkezdheti elsajátítani a szöveg egyes részeit, újraolvashatja, és megpróbálhatja azonnal reprodukálni (ismételni önmagában vagy hangosan) az olvasottakat.

4. A memorizálás szempontjából nagy jelentősége van az anyag ismétlésének. Ezt bizonyítja a népszerű közmondás is: "Az ismétlés a tanulás anyja." De ésszerűen és helyesen is meg kell ismételni.

Az ismétlés művét olyan illusztrációk vagy példák alapján kell feleleveníteni, amelyek korábban nem léteztek, vagy már feledésbe merültek.

A fentiek alapján röviden a következő ajánlásokat fogalmazhatjuk meg az oktatási anyagok sikeres asszimilációjához:

1. Állítsa be a feladatot, gyorsan és határozottan emlékezzen az oktatási anyagra sokáig.

2. Koncentrálj arra, amit meg kell tanulnod.

3. Jól értse a tananyagot.

4. Készítsen tervet a betanult szövegről, kiemelve benne a főbb gondolatokat, bontsa részekre a szöveget.

5. Ha az anyag nagy, szekvenciálisan asszimilálja az egyik részt a másik után, majd adja meg az egészet.

6. Az anyag elolvasása után sokszorosítani szükséges (elmondani az olvasottakat).

7. Ismételje az anyagot, amíg el nem felejti.

8. Ossza el az ismétlést hosszabb időre.

9. A memorizálás során használjon különböző típusú memóriákat (elsősorban szemantikai) és emlékezetének néhány egyedi jellemzőjét (vizuális, auditív vagy motoros).

10. Nehéz anyagot érdemes megismételni lefekvés előtt, majd reggel, "friss emlékezetért".

11. A megszerzett tudást próbálja meg a gyakorlatban is alkalmazni. Ez a legjobb módja annak, hogy megőrizzük őket az emlékezetben (nem ok nélkül mondják: "A doktrína igazi anyja nem az ismétlés, hanem az alkalmazás").

12. Több ismeretet kell elsajátítani, újat tanulni.

Most megtanulta, hogyan kell gyorsan és helyesen megjegyezni a tanult anyagot.

Egy érdekes technika egyes számok 9-cel való szorzására az egymást követő természetes számok 2-től 10-ig történő összeadásával kombinálva

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Érdekes játék "Találd ki a számot"

Játszottál a Találd ki a számot játékkal? Ez egy nagyon egyszerű játék. Tegyük fel, hogy egy 100-nál kisebb természetes számra gondolok, felírom papírra (hogy ne lehessen csalni), és megpróbálod kitalálni olyan kérdéseket, amelyekre csak igennel vagy nemmel lehet válaszolni. . Aztán kitalálja a számot, én pedig megpróbálom kitalálni. Aki a legkevesebb kérdést talál ki, az nyer.

Hány kérdésre van szükséged, hogy kitaláld a számomat? Nem tudom? Vállalom, hogy kitaláljam a számod mindössze hét kérdéssel. Hogyan? De például hogyan. Hadd találd ki a számot. Megkérdezem: "Kevesebb, mint 64?" - "Igen". – Kevesebb, mint 32? - "Igen". - "16-nál kevesebb?" - "Igen". – Kevesebb, mint 8? - "Nem". - "12-nél kevesebb?" - "Nem". - Kevesebb, mint 14? - "Igen". - "13-nál kevesebb?" - "Nem". - "A 13-as szám megfogant."

Egyértelmű? A lehetséges számok halmazát kettéosztom, majd a maradék felét ismét felére, és így tovább, amíg a maradék egy szám lesz.

Ha tetszett a játék, vagy éppen ellenkezőleg, többet szeretne, akkor menjen a könyvtárba, és vegye elő az „A. P. Savin (Matematikai miniatúrák). Ebben a könyvben sok érdekes és izgalmas dolgot találsz. Könyv kép:

Köszönöm mindenkinek a figyelmet

És sok sikert kívánok!!!

Letöltés:

Előnézet:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

Mi a racionális számolás titka?

A munka célja: információkeresés, a racionális számolás meglévő módszereinek és technikáinak tanulmányozása, gyakorlati alkalmazása.

Feladatok: 1. Mini felmérés lebonyolítása kérdőív formájában a párhuzamos osztályok körében. 2. Elemezze a kutatás témáját: az iskolai könyvtárban elérhető szakirodalom, az 5. osztályos matematika tankönyvben, valamint az interneten található információk. 3. Válassza ki a racionális számolás leghatékonyabb módszereit és eszközeit! 4. Végezze el a gyors szóbeli és írásbeli számolás meglévő módszereinek osztályozását. 5. Készítsen feljegyzéseket, amelyek racionális számolási technikákat tartalmaznak párhuzamos 5 osztályban való használatra.

Ahogy már mondtam, a racionális számolás témája nem csak a tanulók, hanem minden ember számára aktuális, ennek megbizonyosodására 5. osztályos tanulók körében készítettem egy felmérést. A kérdőív kérdései és válaszai az alkalmazásban jelennek meg.

Mi az a racionális számla? A racionális számla kényelmes számla (a racionális szó azt jelenti, hogy kényelmes, helyes)

Miért vannak nehézségeik a tanulóknak?

Íme néhány feltételezés: A tanuló: 1. nem sajátította el jól a tanult témát; 2. nem ismétli az anyagot; 3. gyenge számlálókészséggel rendelkezik; négy . azt hiszi, nem lesz rá szüksége.

A szóbeli és írásbeli számítások racionális módszerei. A munkában és az életben folyamatosan felmerül a különféle számítások igénye. A mentális számolás legegyszerűbb módszereinek alkalmazása csökkenti a fáradtságot, fejleszti a figyelmet és a memóriát.

Négy összeadási módszer létezik, amelyek lehetővé teszik a számítások felgyorsítását. I. A számok egyszerűsített összeadásának technikái

A szekvenciális bitenkénti összeadás módszerét a mentális számításoknál alkalmazzák, mivel leegyszerűsíti és felgyorsítja a tagok összegzését. Ennek a módszernek a használatakor az összeadás a legmagasabb számjegyekkel kezdődik: a második tag megfelelő számjegyei hozzáadódnak az első taghoz. Példa. Határozza meg az 5287 és 3564 számok összegét ezzel a módszerrel. Megoldás. A következő sorrendben fogjuk kiszámolni: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851 . Válasz: 8 851.

Az egymást követő bitenkénti összeadás másik módja az, hogy a második tag legmagasabb számjegyét hozzáadjuk az első tag legmagasabb számjegyéhez, majd a második tag következő számjegyét hozzáadjuk az első tag következő számjegyéhez, és így tovább. Tekintsük ezt a megoldást az adott példában, így kapjuk: 5000 + 3000 = 8000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Válasz: 8851.

kerek szám módszer. Az egy vagy több nullára végződő számot kerek számnak nevezzük. Ezt a módszert akkor használjuk, ha két vagy több olyan kifejezés választható, amelyek egy kerek számra egészíthetők ki. A kerek szám és a számítási feltételben megadott szám különbségét komplementernek nevezzük. Például 1000 - 978 = 22. Ebben az esetben a 22 szám a 978 és 1000 közötti szám aritmetikai kiegészítése. A kerek szám módszerrel történő összeadáshoz egy vagy több, a kerek számokhoz közel álló tagot le kell kerekíteni, kerek számokat kell hozzáadni, és a kapott összegből ki kell vonni az aritmetikai összeadásokat. Példa. Keresse meg az 1238 és 193 számok összegét kerek szám módszerrel! Megoldás. A 193-as számot kerekítse 200-ra, és adja hozzá a következőképpen: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

A kifejezések csoportosításának módja. Ezt a módszert akkor használjuk, ha a kifejezések csoportosítva kerek számokat adnak, amelyeket aztán összeadunk. Példa. Határozzuk meg a 74, 32, 67, 48, 33 és 26 számok összegét. Megoldás! Adjuk össze a következőképpen csoportosított számokat: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

A kifejezések csoportosításán alapuló kiegészítési módszer. Példa: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Számok egyszerűsített kivonásának technikái

A szekvenciális bitenkénti kivonás módszere. Ez a módszer szekvenciálisan levon minden egyes számjegyet a csökkentett számjegyből. Akkor használatos, ha a számokat nem lehet kerekíteni. Példa. Keresse meg a 721 és 398 számok közötti különbséget. Végezzünk műveleteket adott számok különbségének megkeresésére a következő sorrendben: ábrázoljuk a 398-as számot összegként: 300 + 90 + 8 = 398; bitenkénti kivonás végrehajtása: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331-8 = 323.

kerek szám módszer. Ezt a módszert akkor használjuk, ha a részfej közel van egy kerek számhoz. A kiszámításhoz ki kell vonni a redukáltból a kerek számnak vett kivonatot, és a kapott különbséghez hozzá kell adni az aritmetikai összeadást. Példa. Számítsuk ki a 235-ös és a 197-es számok különbségét a kerek szám módszerével! Megoldás. 235-197 = 235-200 + 3 = 38.

III. Számok egyszerűsített szorzásának technikái

Szorzás eggyel, majd nullákkal. Ha megszorozunk egy számot olyan számmal, amely egy egységet és nullákat követ (10; 100; 1000 stb.), akkor a jobb oldalon annyi nulla lesz hozzárendelve, amennyi a mértékegység utáni szorzóban van. Példa. Keresse meg az 568 és 100 számok szorzatát. Megoldás! 568 x 100 = 56 800.

A szekvenciális bitenkénti szorzás módszere. Ezt a módszert akkor használják, ha egy számot bármilyen egyjegyű számmal megszoroznak. Ha egy kétjegyű (három-, négyjegyű, stb.) számot meg kell szorozni eggyel, akkor először az egyik tényezőt megszorozzuk a másik tényező tízesével, majd az egységeivel, és a kapott szorzatokat foglalta össze. Példa. Keressük meg a 39 és 7 számok szorzatát. Megoldás. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

kerek szám módszer. Ezt a módszert csak akkor használják, ha az egyik tényező közel van egy kerek számhoz. A szorzót megszorozzuk egy kerek számmal, majd az aritmetikai összeadással, és a végén kivonjuk a másodikat az első szorzatból. Példa. Keressük meg a 174 és 69 számok szorzatát. Megoldás. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

Az egyik tényező kiterjesztésének módja. Ennél a módszernél az egyik tényezőt először részekre (termékekre) bontjuk, majd a második tényezőt sorra megszorozzuk az első tényező egyes részeivel, és a kapott szorzatokat összegezzük. Példa. Keressük meg a 13 és 325 számok szorzatát. Megoldás. Bontsuk fel a számot tagokra: 13 \u003d 10 + 3. Szorozzuk meg a kapott tagokat 325-tel: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975 A kapott termékeket összegezzük: 3250 + 975 = 4225.

A gyors fejszámolás titkai. Vannak mentális számlálórendszerek, amelyek lehetővé teszik a gyors és racionális szóbeli számolást. Megnézünk néhányat a leggyakrabban használt technikák közül.

Kétjegyű szám megszorzása 11-gyel.

Példák: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (a szorzás eloszlási törvénye az összeadásra vonatkoztatva) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (eloszlási törvény és kerek szám módszer) Mi tanulmányozta ezt a módszert, de nem tudtunk még egy titkot a kétjegyű számok 11-gyel való szorzásának.

A kétjegyű számok 11-gyel való szorzásakor kapott eredményeket figyelve azt vettem észre, hogy kényelmesebben kaphat választ: egy kétjegyű szám 11-gyel való szorzásakor ennek a számnak a számjegyei eltávolodnak egymástól, és ezek összege jön létre. számjegy kerül a közepére. Példák. a) 23 11=253, mivel 2+3=5; b) 45 11=495, mert 4+5=9; c) 57 11=627, mert 5+7=12, kettő került középre, egy pedig a százasok közé; Az interneten találtam megerősítést erre a módszerre.

2) Azon kétjegyű számok szorzata, amelyeknek ugyanannyi tízesük van, és az egységek összege 10, azaz 23 27; 34 36; 52 58, stb. Szabály: a tízesek számjegyét megszorozzuk a természetes sorozat következő számjegyével, az eredményt felírjuk, és az egységek szorzatát hozzárendeljük. Példák. a) 23 27 = 621. Hogyan szerezted meg a 621-et? A 2-t megszorozzuk 3-mal (a „kettőt” követi a „három”), ez 6 lesz, és ezután az egységek szorzatát rendeljük hozzá: 3 7 \u003d 21, kiderül, hogy 621. b) 34 36 = 1224, mivel 3 4 = 12, a 24-et a 12-es számhoz rendeljük, ez e számok egységeinek szorzata: 4 6.

3) Az azonos számjegyekből álló háromjegyű számok elosztása a 37 számmal. Az eredmény egyenlő a háromjegyű szám azonos számjegyeinek összegével (vagy a háromjegyű szám számjegyének háromszorosával egyenlő számmal). ). Példák. a) 222:37=6. Ez a 2+2+2=6 összege. b) 333:37=9, mert 3+3+3=9. c) 777:37=21, mert 7+7+7=21. d) 888:37=24, hiszen 8+8+8=24. Azt is figyelembe vesszük, hogy 888:24=37.

A racionális fejszámolás készségeinek elsajátítása hatékonyabbá teszi a munkáját. Ez csak akkor lehetséges, ha jól elsajátítja a fenti számtani műveleteket. A racionális számolási módszerek alkalmazása felgyorsítja a számításokat és biztosítja a szükséges pontosságot.

Összegzés A munkám témájának fő titkának megfejtéséhez keményen dolgoznom kellett - információkat keresnem, elemezni, osztálytársakat kérdezősködni, megismételni a korán ismert módszereket, megtalálni a racionális számlálás sok ismeretlen módszerét, és végül megérteni, mi az titok? És rájöttem, hogy a lényeg az, hogy az ismerteket ismerje és tudja alkalmazni, új racionális számolási módszereket találjon, ismerje a szorzótáblát, a számösszetételt (osztályok és számjegyek), az aritmetikai műveletek törvényeit. Ezen kívül keressen új módszereket erre:

Számok egyszerűsített összeadásának technikái: (a szekvenciális bitenkénti összeadás módszere; a kerek szám módszere; az egyik tényező tagokra bontásának módja); - Számok egyszerűsített kivonásának technikái (szekvenciális bitenkénti kivonás módszere; kerek szám módszere); - Számok egyszerűsített szorzásának technikái (szorzás eggyel, majd nullákkal; szekvenciális bitenkénti szorzás; kerek szám módszere; az egyik tényező bővítésének módja; - A gyors fejszámolás titkai (kétjegyű szám szorzása 11: ha egy kétjegyű számot megszorozunk 11-gyel, akkor ennek a számnak a számjegyei eltávolodnak egymástól, és középre teszik e számjegyek összegét; az azonos számú tízes kétjegyű számok szorzatát és az összeget Az egységek száma 10; Azonos számjegyekből álló háromjegyű számok osztása a 37-tel. Valószínűleg még mindig sok ilyen mód létezik, ezért jövőre is folytatom a témát.

Befejezésül a következő szavakkal szeretném befejezni beszédemet:

Köszönöm mindenkinek a figyelmet, sok sikert kívánok!!!