Mi a koprímszámok csomópontja. Legnagyobb közös osztó

Az a és b természetes számokat hívjuk koprime, ha a legnagyobb közös osztójuk 1 (gcd(a ; b ) = 1). Más szóval, ha az a és b számoknak nincs 1-en kívül más közös osztója, akkor másodprímek.

Példák koprímszámpárokra: 2 és 5, 13 és 16, 35 és 88 stb. Több másodpímszámot is megadhat, például a 7, 9, 16 számok koprímek.

A koprímszámokat gyakran a következőképpen jelölik: (a, b) \u003d 1. Például (23, 30) \u003d 1. Ez a bejegyzés mintegy a két szám legnagyobb közös osztójának megnevezésének rövidítése. (GCD (23, 30) \u003d 1), és azt mondja, hogy a legnagyobb közös osztójuk az 1.

Két szomszédos természetes szám mindig másodprím lesz. Például a 15 és 16 egy koprímszám pár, csakúgy, mint a 16 és 17. Ez könnyen érthető, ha figyelembe vesszük azt a "szabályt", hogy ha két a és b természetes szám osztható ugyanazzal a természetes számmal, amely nagyobb, mint 1 ( n > 1), akkor a különbségüknek is oszthatónak kell lennie ezzel az n számmal (itt azt értjük, hogy a, b és különbségük el van osztva egy egész számmal, vagyis az n szám többszörösei). De ha a és b két szomszédos szám (legyen a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

A koprímszámok és prímszámok definíciójából az is következik, hogy a különböző prímszámok mindig másodprímek. Végül is bármely prímszám egyetlen osztója önmaga és 1.

A koprímszámok tulajdonságai

• Egy pár koprímszám legkisebb közös többszöröse (LCM) egyenlő a szorzatukkal. Például (3, 8) = 1 (ami viszonylag prímet jelent), tehát az LCM-jük 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). Valójában nem találsz 24-nél kisebb számot, amely 3 és 8 többszöröse is.
• Ha az a és b számok másodprímek, és a c szám a és b többszöröse, akkor ez a szám is többszöröse lesz ab szorzatának. Ezt a következőképpen írhatjuk fel: ha c a és c b , akkor c ab . Például, ha (3, 10) = 1, a 60 szám 3 és 10 többszöröse, valamint 30 (3 × 10) többszöröse is.
• Ha az a és b szám másodprím, és a c számot b (c b ) többszörösének vesszük, akkor az ac szorzat is b (ac b ) többszöröse lesz. Például (2, 17) = 1, legyen c = 34. A 34 szám többszöröse b = 17-nek, akkor ac = 2 × 34 = 68. Ellenőrizze: 68 ÷ 17 = 4, azaz osztható-e, ami azt jelenti, hogy a 68 a 17 többszöröse.

Általában több tulajdonság van, mint amennyi itt szerepel. Ezenkívül a viszonylag prímszámok tulajdonságait különböző módon fogalmazzák meg. Néha szükség van ezen tulajdonságok bizonyítására is (ebben az esetben nem adunk bizonyítást).

A koprímszámok legnagyobb közös osztója mindig egy.

Példák relatív prímszámok csomópontjaira.

A 11-es és 7-es számok GCD-je

A 11 és 7 számok másodprímek és egyben prímek.

A 11-es és 7-es számoknak az 1-en kívül nincs más közös osztója.

gcd(11; 7) = 1

A 11-es és 15-ös számok GCD-je

A 11 és 15 számok viszonylag prímszámok. Ebben az esetben a 11 egy prímszám, a 15 pedig egy összetett szám.

A 11 osztói 1 és 11.

A 15 osztói 1, 3, 5, 15.

Mint látható, a 11 és 15 számok egyetlen közös tényezője az 1. Az egység tehát a 11 és 15 számok GCD-je:

gcd(11, 15) = 1

A 10-es és 21-es számok GCD-je

A 10 és 21 számok viszonylag prímszámok. Ebben az esetben a 10-es és a 21-es is összetett.

A 10 tényezői 1, 2, 5, 10.

A 21-es szám tényezői 1, 3, 7, 21.

Mint látható, a 10 és 21 számok egyetlen közös tényezője az 1. Az egység tehát a 10 és 21 számok GCD-je:

gcd(21, 10) = 1

A 16-os és 23-as számok GCD-je

A 16 és 23 számok másodlagos számok. Ebben az esetben a 23 prímszám, a 16 pedig összetett szám.

Feladat: Keresse meg a számok GCD-jét és LCM-jét a legkényelmesebb módon:

a) 12 és 40; b) 9. és 40.; c) 12. és 72.

A feladatra 5 perc áll rendelkezésre.

Mi a legjobb módja az egyes gyakorlatok elvégzésének?

Dia lebontása.

a) Kényelmesebb prímtényezőkre bontási módszerrel megoldani

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) Van-e közös osztója a 9-nek és a 40-nek? (az 1.)

Hogy hívják ezeket a számokat? ? (Coprime.)

Mi ezeknek a számoknak a GCD-je? ? (gcd(9;40) = 1)

Mi ezeknek a számoknak az LCM-je? ? (LCM(9;40) = 940=360.)

c) Mit tud mondani a 12-es és 72-es számokról? ? (72 osztva 12-vel) Milyen szabályt ismerünk? (ha egy szám osztható egy másikkal, akkor GCD = a legkisebb szám, LCM pedig a legnagyobb)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Ellenőrizze az adatokat, amelyeket a tanári asztalon lévő standarddal kapott.

FO: Értékeljék magukat a szabványlapon leírt szempontok szerint. Pipát téve a kritérium mellé.

7 kullancs – magas szint

6-4 pipa - átlagos szint

1-3 kullancs – alacsony szint

Fizminutka

Gyorsan felkelt, mosolygott,

Feljebb húzva.

Nos, egyenesítse ki a vállát

Emelje fel, engedje le.

Forduljon jobbra, forduljon balra

Érintse meg a kezét a térdével.

Ülj le, kelj fel, ülj le, kelj fel

És a helyszínen futottak.

Tanári kérdés: Hol használjuk már a GCD és LCM számokkal kapcsolatos tudásunkat?

A problémák megoldása során.

Előttük, a tanári asztalon 21 sziromból álló „feladatok kamilla”.

Piros szirom - C szintű feladatok.

Sárga szirom - B szintű feladatok.

Zöld szirom - A szintű feladatok.

	Masha tojást vásárolt a Medvének a boltban. Az erdő felé vezető úton rájött, hogy a tojások száma osztható 2, 3, 5, 10 és 15-tel. Hány tojást vett Masha?
	210 bordóból 126 fehér, 294 vörös rózsa csokor gyűlt össze, és minden csokorban egyenlő az azonos színű rózsák száma. Hány csokrot készítenek ezekből a rózsákból a legtöbben, és egy csokorban hány rózsa van az egyes színekből?
	Egy kartonlap téglalap alakú, melynek hossza 48 cm, szélessége 40 cm. Ezt a lapot hulladék nélkül egyenlő négyzetekre kell vágni. Melyek a legnagyobb négyzetek, amelyek ebből a lapból nyerhetők, és hány?
	Hány katona vonul fel a felvonulási téren, ha 12 fős alakulatban vonulnak fel egy sorban, és 18 fős hadoszloppá változnak egy sorban?
	A kikötővárosban három turistahajó-kirándulás indul, amelyek közül az első 15, a második 20, a harmadik pedig 12 napig tart. A kikötőbe visszatérve a hajók ugyanazon a napon ismét útra indulnak. Ma mindhárom útvonalon motorhajók hagyták el a kikötőt. Hány nap múlva hajóznak először együtt?Hány utat tesz meg egy hajó?
	A szobában lévő kandallót négyzet alakú befejező csempével kell elhelyezni. Hány csempe kell egy 195 ͯ 156 cm-es kandallóhoz, és mik a legnagyobb cserépméretek?
	Volodya lépése 75 cm, Katya lépése 60 cm Mekkora minimális távolságon tesznek meg mindketten egész számú lépést?
	Újévi ajándékként 180 db almát, 90 db narancsot és 900 db édességet vásároltunk. Minden gyerek ugyanazokat az ajándékokat kapta. Ezekből a gyümölcsökből és édességekből hány azonos ajándék van a legtöbben?
	A kerület mentén 54 × 48 m nagyságú kerti telket be kell keríteni, ehhez rendszeres időközönként betonoszlopokat kell elhelyezni. Hány oszlopot kell hozni a helyszínre, és az oszlopok egymástól milyen maximális távolságra állnak?
	Keresse meg: LCM(360;252).
	Újévi ajándékként 78 tábla csokit, 156 mézeskalácsot, 52 csomag sütit, 104 narancsot és 130 almát vásároltak. Mennyi egyforma ajándékot gyűjthet össze?
	A 16 × 20 cm-es dobozok egymásra rakásához négyszögletes fenekű dobozt kell készíteni. Melyik legyen a négyzet alakú alsó legrövidebb oldala, hogy a dobozok egy síkban illeszkedjenek a dobozba?
	GCD(720,216), LCM(720,216) kiszámítása.
	Mi az LCM (308.264) és a GCM (308.264) aránya?
	A karácsonyfa rendezéséhez diót, édességet és mézeskalácsot vásároltak - összesen 760 darabot. 80-al több diót fogyasztottak, mint édességet, és 120-zal kevesebb mézeskalácsot, mint diót. Mennyi egyforma ajándékot lehet a legtöbb gyereknek készíteni ebből az állományból?
	Keresse meg az LCM-et (84 160 96),
	Határozzuk meg az LCM(24, 2004) hányadosát osztva az azonos számok GCD-jével.
	Határozzuk meg a legkisebb természetes számot, amely 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 többszöröse.
	Keresse meg a GCD-t (56, 72).
	Az asztalon olyan könyvek vannak, amelyek száma nem éri el a 100-at. Hány könyv van, ha tudjuk, hogy 3, 4 és 5 darabos csomagokba köthetők?
	A bolt 600-nál kevesebb, de több mint 500 tányért hozott. Amikor elkezdték tucatosan kirakni, akkor 3 tányér nem volt elég a teljes tízes szám eléréséhez, és amikor elkezdték kirakni tucatosan (12 tányéronként), akkor 7 tányér maradt. Hány tányért vittél a boltba?

FD: A piros szirmok túlnyomó száma az asszimiláció magas szintjét, a sárga - az átlagos asszimilációs szintet, a zöld - az alacsony asszimilációs szintet jelzi.