A játékelméletből ismert, hogy ha "A" játékos az optimális stratégiáját használja, és "B" játékos az aktív stratégiáin belül marad, akkor az átlagos nyeremény változatlan marad és megegyezik a játék árával. v függetlenül attól, hogy "B" játékos hogyan használja aktív stratégiáit. Esetünkben pedig mindkét stratégia aktív, különben tiszta stratégiákban lenne megoldása a játéknak. Ezért, ha feltételezzük, hogy "B" játékos a tiszta B 1 stratégiát fogja használni, akkor az átlagos nyeremény v lesz:

k 11 p 1 + k 21 p 2 = v (1)

ahol: k ij - kifizetési mátrix elemei.

Másrészt, ha feltételezzük, hogy "B" játékos a tiszta B 2 stratégiát használja, akkor az átlagos nyeremény a következő lesz:

k 12 p 1 + k 22 p 2 \u003d v (2)

Az (1) és (2) egyenlet bal oldali részét egyenlővé tesszük:

k 11 p 1 + k 21 p 2 \u003d k 12 p 1 + k 22 p 2

És figyelembe véve azt a tényt p 1 + p 2 = 1 nekünk van:

k 11 p 1 + k 21 (1 - p 1) \u003d k 12 p 1 + k 22 (1 - p 1)

Ebben a feladatban:

A játékelméletből ismert, hogy ha "B" játékos az optimális stratégiáját használja, és "A" játékos az aktív stratégiáin belül marad, akkor az átlagos nyeremény változatlan marad és megegyezik a játék árával. v függetlenül attól, hogy "A" játékos hogyan használja aktív stratégiáit. Ezért, ha feltételezzük, hogy "A" játékos a tiszta A 1 stratégiát használja, akkor az átlagos nyeremény v lesz:

k 11 q 1 + k 12 q 2 = v (4)

Ebben a feladatban:

Válasz:

Geometriai értelmezés (grafikus megoldás):

1. kép
kifizetési grafikon k frekvenciától 2. o , amikor az ellenfél használja a stratégiát B1.

Tegyük fel, hogy "B" játékos a B2 stratégiát a legtisztább formájában fogja használni. Ekkor, ha mi ("A" játékos) az A 1 tiszta stratégiát használjuk, akkor a nyereményünk 5 lesz. Ha a tiszta A 2 stratégiát használjuk, akkor a nyereményünk 3/2 lesz (lásd 2. ábra). Hasonlóképpen, ha az A 1 és A 2 stratégiákat különböző arányban keverjük, akkor a kifizetésünk a (0, 5) és (1, 3/2) koordinátájú pontokon áthaladó egyenes mentén változik, nevezzük stratégiai vonalnak. B 2 . Az előző esethez hasonlóan ezen az egyenes bármely pontjának abszcisszája megegyezik azzal a valószínűséggel, amellyel az A 2 stratégiát alkalmazzuk, az ordináta pedig egyenlő az ebben az esetben kapott erősítéssel, de csak a B 2 stratégiánál (ld. 2. ábra).

2. ábra.
v és az optimális frekvencia 2. o a játékos számára "DE".

Egy igazi játékban, amikor egy ésszerű "B" játékos az összes stratégiáját használja, a nyereményünk a 2. ábrán pirossal látható szaggatott vonal mentén változik. Ez a vonal határozza meg az ún az erősítés alsó határa. Nyilvánvaló, hogy ennek a szaggatott vonalnak a legmagasabb pontja megfelel az optimális stratégiánknak. Ebben az esetben ez a B 1 és B 2 stratégia vonalainak metszéspontja. Vegye figyelembe, hogy ha frekvenciát választ p 2 egyenlő az abszcisszájával, akkor a kifizetésünk változatlan és egyenlő marad v a "B" játékos bármely stratégiájához ráadásul ez lesz a maximum, amit garantálni tudunk magunknak. Gyakoriság (valószínűség) p 2 , ebben az esetben az optimális vegyes stratégiánk megfelelő gyakorisága. A 2. ábrán egyébként a frekvencia is látható p 1 , az optimális vegyes stratégiánk a szegmens hossza [ p 2 ; 1] az x tengelyen. (Azért, mert p 1 + p 2 = 1 )

Teljesen hasonló módon érvelve megtalálhatjuk a „B” játékos optimális stratégiájának gyakoriságait is, amit a 3. ábra szemléltet.

3. ábra
A játék árának grafikus meghatározása v és az optimális frekvencia q2 a játékos számára "NÁL NÉL".

Csak neki kellene építeni az ún veszteség felső határa(piros szaggatott vonal), és keresd meg rajta a legalacsonyabb pontot, mert "B" játékos esetében a veszteség minimalizálása a cél. Hasonlóképpen a frekvencia értéke q 1 , a szakasz hossza [ q 2 ; 1] az x tengelyen.

A „Játékelmélet” részt három képviseli online számológépek:

1. Optimális játékos stratégiák. Ilyen problémák esetén egy kifizetési mátrixot adnak meg. Meg kell találni a játékosok tiszta vagy vegyes stratégiáit, és játék ára. A megoldáshoz meg kell adni a mátrix dimenzióját és a megoldási módot. A szolgáltatás a következő módszereket valósítja meg a kétjátékos játék megoldásához:
   1. Minimax. Ha meg kell találnia a játékosok tiszta stratégiáját, vagy meg kell válaszolnia a játék nyeregpontjával kapcsolatos kérdést, válassza ezt a megoldási módot.
   2. Simplex módszer. A játék vegyes stratégiákban való megoldására szolgál lineáris programozási módszerekkel.
   3. Grafikus módszer. Vegyes stratégiai játékok megoldására szolgál. Ha van nyeregpont, a megoldás leáll. Példa: Adott kifizetési mátrixhoz keresse meg a játékosok optimális vegyes stratégiáit és a játék árát a játék grafikus megoldásával.
   4. Iteratív Brown-Robinson módszer. Az iteratív módszert akkor alkalmazzuk, ha a grafikus módszer nem alkalmazható, és amikor az algebrai és mátrixos módszerek gyakorlatilag nem alkalmazhatók. Ez a módszer a játék értékének közelítését adja, és a valódi értéket tetszőleges pontossággal megkaphatjuk. Ez a módszer nem elegendő az optimális stratégiák megtalálásához, de lehetővé teszi a körökre osztott játék dinamikájának nyomon követését és a játék költségének meghatározását minden egyes játékos számára minden lépésben.
   Például a feladat úgy hangozhat, hogy "mutassa meg a játékosok optimális stratégiáját a játékhoz, amelyet a kifizetési mátrix adott".
   Minden módszer ellenőrzi a domináns sorokat és oszlopokat.
2. Bimatrix játék. Általában egy ilyen játékban két azonos méretű mátrixot állítanak be az első és a második játékos nyereményéből. Ezen mátrixok sorai az első játékos stratégiáinak, a mátrixok oszlopai pedig a második játékos stratégiáinak felelnek meg. Ebben az esetben az első mátrix az első játékos nyereményeit, a második mátrix pedig a második játékos nyereményeit mutatja.
3. Játékok a természettel. Akkor használják, ha a Maximax, Bayes, Laplace, Wald, Savage, Hurwitz kritériumai szerint kell vezetői döntést választani.
   A Bayes-kritériumhoz az események bekövetkezésének valószínűségét is be kell vezetni. Ha nincsenek beállítva, hagyja meg az alapértelmezett értékeket (egyenértékű események lesznek).
   A Hurwitz-kritériumhoz adja meg az optimizmus szintjét λ . Ha ez a paraméter nincs megadva a feltételekben, akkor a 0, 0,5 és 1 értékek használhatók.

Sok problémára számítógép segítségével kell megoldást találni. Az egyik eszköz a fenti szolgáltatások és funkciók

Játékelmélet - a konfliktushelyzetek (érdekütközések) megoldására szolgáló matematikai módszerek összessége. A játékelméletben a játék az konfliktushelyzet matematikai modellje. A játékelméletben különösen érdekes téma a játékban résztvevők döntéshozatali stratégiáinak tanulmányozása bizonytalanság körülményei között. A bizonytalanság abból adódik, hogy két vagy több oldal ellentétes célokat követ, és az egyes felek cselekedeteinek eredménye a partner lépéseitől függ. Ugyanakkor mindegyik fél a kitűzött célokat a lehető legnagyobb mértékben megvalósító, optimális döntések meghozatalára törekszik.

A játékelméletet legkövetkezetesebben a gazdaságban alkalmazzák, ahol konfliktushelyzetek alakulnak ki például szállító és fogyasztó, vevő és eladó, bank és ügyfél viszonyában. A játékelmélet alkalmazása megtalálható a politikában, a szociológiában, a biológiában és a hadművészetben is.

A játékelmélet történetéből

A játékelmélet története mint önálló diszciplína 1944-ben kezdődik, amikor John von Neumann és Oscar Morgenstern megjelentette a "Játékok elmélete és a gazdasági viselkedés" ("Theory of Games and Economic Behavior") című könyvét. Bár a játékelmélet példáival korábban is találkoztunk: a babiloni Talmud értekezés egy elhunyt férj vagyonának feleség közötti megosztásáról, kártyajátékok a 18. században, a sakkelmélet fejlődése a 20. század elején, a bizonyíték Neumann János 1928-as minimax tétele, amely nélkül nem lenne játékelmélet.

Az 1950-es években Melvin Drescher és Meryl Flood a Rand Corporation John Nash, aki először alkalmazta kísérletileg a fogolydilemmát a kétszemélyes játékok egyensúlyi állapotáról, kidolgozta a Nash-egyensúly fogalmát.

Reinhard Salten 1965-ben adta ki az "Oligopoly processing in game theory on demand" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit") című könyvét, amellyel a játékelmélet közgazdasági alkalmazása új hajtóerőt kapott. A játékelmélet fejlődésében tett előrelépés John Maynard Smith "Evolutionary Stable Strategy" ("Evolutionary Stable Strategy", 1974) című munkájához kapcsolódik. A fogoly dilemmáját Robert Axelrod 1984-ben megjelent The Evolution of Cooperation című könyve népszerűsítette. 1994-ben John Nash, John Harsányi és Reinhard Salten játékelméleti Nobel-díjat kapott.

Játékelmélet az életben és az üzleti életben

Foglalkozzunk részletesebben a konfliktushelyzet (érdekütközés) lényegével abban az értelemben, ahogyan azt a játékelmélet értelmezi az élet és az üzleti élet különböző helyzeteinek további modellezésére. Legyen az egyén olyan helyzetben, amely számos lehetséges kimenetelhez vezet, és az egyénnek vannak személyes preferenciái ezekkel az eredményekkel kapcsolatban. De bár bizonyos mértékig kontrollálni tudja az eredményt meghatározó változó tényezőket, nincs teljes kontrollja felettük. Néha az irányítás több egyén kezében van, akik hozzá hasonlóan előnyben részesítik a lehetséges kimeneteleket, de ezeknek az egyéneknek az érdekei általában nem egyeznek. Más esetekben a végeredmény mind a balesetektől (amelyeket a jogtudományban természeti katasztrófának neveznek), mind más személyektől függhet. A játékelmélet rendszerezi az ilyen helyzetek megfigyelését és általános elvek megfogalmazását, amelyek az ésszerű cselekvést irányítják ilyen helyzetekben.

A "játékelmélet" elnevezés bizonyos szempontból nem szerencsés, mivel azt sugallja, hogy a játékelmélet csak a társasjátékokban előforduló, társadalmilag jelentéktelen ütközésekkel foglalkozik, de ennek az elméletnek mégis sokkal tágabb a jelentése.

A játékelmélet alkalmazásáról a következő gazdasági helyzet adhat képet. Tegyük fel, hogy van több vállalkozó, akik mindegyike a profit maximalizálására törekszik, miközben csak korlátozott hatalmuk van a nyereséget meghatározó változók felett. A vállalkozónak nincs befolyása azokra a változókra, amelyeket egy másik vállalkozó irányít, de amelyek nagyban befolyásolhatják az első vállalkozó jövedelmét. Ennek a helyzetnek játékként való értelmezése a következő kifogást adhatja. A játékmodell azt feltételezi, hogy minden vállalkozó választ egyet a lehetséges választási lehetőségek közül, és a nyereséget ezek az egyetlen választások határozzák meg. Nyilvánvaló, hogy ez a valóságban szinte lehetetlen, hiszen ebben az esetben az iparban nem lenne szükség bonyolult adminisztratív apparátusokra. Egyszerűen számos olyan döntés és módosítás létezik, amelyek a gazdasági rendszer többi résztvevőjének (szereplőinek) döntéseitől függenek. De elvileg elképzelhető, hogy minden adminisztrátor előre lát minden lehetséges eshetőséget, és minden esetben részletesen leírja a teendőket, ahelyett, hogy a felmerülő feladatokat megoldaná.

A katonai konfliktus értelemszerűen az érdekek összeütközése, amelyben egyik félnek sincs teljes kontrollja az eredményt meghatározó változók felett, ami csaták sorozatával dől el. Az eredményt egyszerűen győzelemnek vagy veszteségnek tekintheti, és hozzárendelheti 1 és 0 számértékeit.

A játékelméletben az egyik legegyszerűbb leírható és megoldható konfliktushelyzet a párbaj, amely két 1. és 2. játékos konfliktusa, pés q lövések. Minden játékoshoz tartozik egy függvény, amely jelzi annak valószínűségét, hogy a játékos lövése én akkor t olyan találatot ad, amely végzetesnek bizonyul.

Ennek eredményeként a játékelmélet az érdekellentétek egy bizonyos osztályának következő megfogalmazásáig jut: vannak nés minden játékosnak választania kell egy lehetőséget egy bizonyos 100-as készletből, és a választás során a játékosnak nincs információja a többi játékos választásairól. A játékos lehetséges választási területe olyan elemeket tartalmazhat, mint „az pikk ász mozgatása”, „tankok gyártása autók helyett”, vagy általános értelemben egy olyan stratégia, amely minden lehetséges körülmény között meghatározza az összes végrehajtandó akciót. Minden játékos előtt áll a feladat: mit kell választania, hogy a végeredményre gyakorolt ​​személyes befolyása a lehető legnagyobb haszonhoz jusson?

Matematikai modell a játékelméletben és a probléma formalizálásában

Mint már megjegyeztük, a játék egy konfliktushelyzet matematikai modellje és a következő összetevőkre van szükség:

1. érdekelt felek;
2. lehetséges intézkedések mindkét oldalon;
3. a felek érdekeit.

A játék iránt érdeklődő feleket játékosoknak nevezzük. , mindegyikük legalább két akciót hajthat végre (ha a játékosnak csak egy akciója van, akkor valójában nem vesz részt a játékban, mivel előre ismert, hogy mit fog végrehajtani). A játék kimenetelét győzelemnek nevezzük. .

Valódi konfliktushelyzet nem mindig, de a játék (a játékelmélet fogalmában) - mindig - halad előre bizonyos szabályokat , amelyek pontosan meghatározzák:

1. játékos opciók;
2. az egyes játékosok birtokában lévő információk mennyisége a partner viselkedéséről;
3. az egyes cselekvések hozamát.

A formalizált játékok például a foci, a kártyajáték, a sakk.

Ám a közgazdaságtanban kialakul a játékos viselkedési modellje, például amikor több cég igyekszik előnyösebb helyet elfoglalni a piacon, több egyén próbál megosztani valami jót (erőforrásokat, pénzügyeket) egymás között, hogy mindenki a lehető legtöbbet kapja. . A gazdaság játékként modellezhető konfliktushelyzeteinek szereplői cégek, bankok, magánszemélyek és más gazdasági szereplők. Háborús körülmények között viszont a játékmodellt használják például a legjobb fegyver kiválasztására (a meglévő vagy potenciálisan lehetséges) az ellenség legyőzésére vagy a támadások elleni védekezésre.

A játékot az eredmény bizonytalansága jellemzi . A bizonytalanság okai a következő csoportokra oszthatók:

1. kombinatorikus (mint a sakkban);
2. véletlenszerű tényezők hatása (mint például a "fejek vagy farok" játékban, kocka, kártyajáték);
3. stratégiai (a játékos nem tudja, hogy az ellenfél milyen lépést tesz).

Játékos stratégia egy olyan szabályrendszer, amely a helyzettől függően minden lépésnél meghatározza a cselekvéseit.

A játékelmélet célja az optimális stratégia meghatározása minden játékos számára. Egy ilyen stratégia meghatározása a játék megoldása. Stratégia Optimalitás akkor érhető el, ha az egyik játékosnak a maximális nyereményt kell elérnie, míg a másiknak be kell tartania a stratégiáját. A második játékosnak pedig minimális vesztesége legyen, ha az első ragaszkodik a stratégiájához.

A játék besorolása

1. Besorolás a játékosok száma szerint (két vagy több személy játéka). A kétszemélyes játékok minden játékelmélet központi elemei. A kétszemélyes játékok játékelméleti alapkoncepciója az egyensúly nagyon lényeges gondolatának általánosítása, amely természetesen megjelenik a kétszemélyes játékokban. Ami a játékokat illeti n személyek, akkor a játékelmélet egy részét azoknak a játékoknak szentelik, amelyekben tilos a játékosok közötti együttműködés. A játékelmélet másik részében n személyek esetében feltételezzük, hogy a játékosok kölcsönös előnyök érdekében együttműködhetnek (lásd később ebben a bekezdésben a nem kooperatív és kooperatív játékokról).
2. Osztályozás a játékosok száma és stratégiáik szerint (a stratégiák száma legalább kettő, lehet a végtelenség).
3. Osztályozás információ mennyisége szerint múltbeli lépésekkel kapcsolatban: játékok teljes és hiányos információkkal. Legyen ott az 1. játékos – a vevő és a 2. játékos – az eladó. Ha az 1. játékos nem rendelkezik teljes információval a 2. játékos akcióiról, akkor az 1. játékos nem tehet különbséget két alternatíva között, amelyek közül választania kell. Például egy bizonyos termék két típusa között választani, és nem tudni, hogy bizonyos jellemzők szerint a termék A rosszabb az áruknál B, az 1. játékos nem látja a különbséget az alternatívák között.
4. Osztályozás a nyeremények felosztásának elvei szerint : egyrészt szövetkezet, koalíció, másrészt nem együttműködő, nem együttműködő. NÁL NÉL nem kooperatív játék , vagy más módon - nem kooperatív játék , a játékosok egyszerre választanak stratégiát anélkül, hogy tudnák, melyik stratégiát választja a második játékos. A játékosok közötti kommunikáció nem lehetséges. NÁL NÉL kooperatív játék , vagy más módon - koalíciós játék , a játékosok koalíciókat köthetnek, és kollektív lépéseket tehetnek nyereményük növelése érdekében.
5. Kétszemélyes véges nulla összegű játék Az antagonisztikus játék egy teljes információs stratégiai játék, amelyben ellentétes érdekű felek vesznek részt. Antagonisztikus játékok mátrix játékok.

Klasszikus példa a játékelméletből a fogoly dilemmája.

A két gyanúsítottat őrizetbe vették és elkülönítik egymástól. A kerületi ügyész meg van győződve arról, hogy súlyos bűncselekményt követtek el, de nincs elég bizonyítéka ahhoz, hogy vádat emeljen ellenük a tárgyaláson. Mindegyik rabnak elmondja, hogy két alternatívája van: beismeri a bűncselekményt, amelyet a rendőrség szerint elkövetett, vagy nem. Ha mindketten nem tesznek vallomást, akkor a kerületi ügyész kisebb bûntény miatt vádat emel ellenük, például kis értékű lopással vagy illegális fegyvertartással, és mindketten csekély büntetést kapnak. Ha mindketten beismerő vallomást tesznek, büntetőeljárás indul ellenük, de nem lesz szükség a legsúlyosabb büntetésre. Ha az egyik bevallja, a másik nem, akkor a bevallott személy bűntársa kiadatásáért enyhíti a büntetést, míg a makacs "teljes mértékben" megkapja.

Ha ezt a stratégiai feladatot a konklúzióban fogalmazzuk meg, akkor az a következőkre csapódik le:

Így, ha mindkét rab nem tesz vallomást, mindegyikük 1 évet kap. Ha mindketten bevallják, akkor mindegyik 8 évet kap. És ha az egyik vall, a másik nem, akkor aki vall, az három hónap börtönt kap, aki nem vall, 10 évet. A fenti mátrix helyesen tükrözi a fogoly dilemmáját: mindenki szembesül azzal a kérdéssel, hogy bevallja-e vagy sem. A játék, amit a kerületi ügyész kínál a foglyoknak nem kooperatív játék vagy más módon - nem koalíciós játék . Ha mindkét fogoly képes volt együttműködni (pl. a játék kooperatív lenne vagy más módon koalíciós játék ), akkor mindketten nem vallottak, és egy-egy év börtönt kaptak.

Példák a játékelmélet matematikai eszközeinek alkalmazására

Most rátérünk a megoldások megfontolására olyan gyakori játékosztályok példáira, amelyekre a játékelméletben vannak vizsgálati és megoldási módszerek.

Példa két személy nem kooperatív (nem kooperatív) játékának formalizálására

Az előző bekezdésben már a nem együttműködő (nem együttműködő) játék példáját vettük figyelembe (fogolydilemma). Erősítsük meg képességeinket. Erre alkalmas egy klasszikus cselekmény is, amelyet Arthur Conan Doyle: Sherlock Holmes kalandjai ihletett. Lehet persze ellenkezni: a példa nem az életből, hanem az irodalomból származik, de Conan Doyle nem sci-fi íróként honosodott meg! Klasszikus azért is, mert a feladatot Oscar Morgenstern, a játékelmélet egyik megalapítója, már megállapítottuk.

1. példa Sherlock Holmes kalandjaiból egy rövidített részlet hangzik el. A jól ismert játékelméleti koncepciók szerint alkoss egy konfliktushelyzet modelljét, és írd le formálisan a játékot.

Sherlock Holmes Londonból Doverbe kíván menni azzal a további céllal, hogy eljut a kontinensre (Európába), hogy megszökjön az őt üldöző Moriarty professzor elől. A vonatra felszállva meglátta Moriarty professzort az állomás peronján. Sherlock Holmes elismeri, hogy Moriarty választhat egy speciális vonatot, és előzheti azt. Sherlock Holmesnak két alternatívája van: menjen tovább Doverbe, vagy szálljon le Canterbury állomáson, amely az egyetlen közbenső állomás az útvonalon. Feltételezzük, hogy az ellenfele elég intelligens ahhoz, hogy meghatározza Holmes lehetőségeit, ezért ugyanaz a két alternatíva van. Mindkét ellenfélnek választania kell egy állomást, ahol leszáll a vonatról, nem tudva, melyikük milyen döntést hoz. Ha a döntés következtében mindkettő ugyanarra az állomásra kerül, akkor határozottan feltételezhetjük, hogy Sherlock Holmest Moriarty professzor fogja megölni. Ha Sherlock Holmes épségben eljut Doverbe, megmenekül.

Megoldás. Conan Doyle hősei a játék résztvevőinek, azaz játékosoknak tekinthetők. Minden játékos rendelkezésére áll én (én=1,2) két tiszta stratégia:

• szálljon le Dovernél (stratégia si1 ( én=1,2) );
• szálljon le egy állomáson (stratégia si2 ( én=1,2) )

Attól függően, hogy a két játékos közül melyiket választja, a stratégiák egy speciális kombinációja jön létre párként. s = (s1 , s 2 ) .

Mindegyik kombináció egy eseményhez köthető – Moriarty professzor Sherlock Holmes meggyilkolására tett kísérletének eredménye. A játékból mátrixot készítünk a lehetséges eseményekkel.

Minden esemény alatt szerepel egy index, amely Moriarty professzor megszerzését jelenti, és Holmes megmentésétől függően számítják ki. Mindkét hős egyszerre választ stratégiát, nem tudva, mit választ az ellenfél. Így a játék nem kooperatív, mert egyrészt a játékosok különböző vonatokon vannak, másrészt ellentétes érdekeik vannak.

Példa a kooperatív (koalíciós) játék formalizálására és megoldására n személyek

Ezen a ponton a gyakorlati részt, vagyis egy példaprobléma megoldásának menetét egy elméleti rész előzi meg, amelyben megismerkedünk a kooperatív (nem kooperatív) játékok megoldására szolgáló játékelmélet fogalmaival. Erre a feladatra a játékelmélet a következőket javasolja:

• a karakterisztikus funkció (leegyszerűsítve a játékosok koalícióba tömörüléséből származó előnyök értékét tükrözi);
• az additivitás fogalma (a mennyiségek tulajdonsága, amely abból áll, hogy az egész objektumnak megfelelő mennyiség értéke egyenlő a részeihez tartozó mennyiségek értékeinek összegével, az objektum felosztásának egy bizonyos osztályában részekre) és szuperadditivitás (az egész objektumnak megfelelő mennyiség értéke nagyobb, mint a részeinek megfelelő mennyiségek értékeinek összege) a karakterisztikus függvény.

A karakterisztikus függvény szuperadditivitása azt jelzi, hogy a koalíciók előnyösek a játékosok számára, hiszen ebben az esetben a koalíció hozama a játékosok számával nő.

A játék formalizálásához be kell vezetnünk a fenti fogalmak formális jelölését.

Játékhoz n jelölje az összes játékos halmazát N= (1,2,...,n) A halmaz bármely nem üres részhalmaza N ként jelölve T(beleértve magát Nés minden egy elemből álló részhalmaz). Az oldalon tevékenység folyik Halmazok és halmazokon végzett műveletek, amely a hivatkozásra kattintva új ablakban nyílik meg.

A karakterisztikus függvényt a következővel jelöljük vés definíciós tartománya a halmaz lehetséges részhalmazaiból áll N. v(T) - a jellemző függvény értéke egy adott részhalmazra, például egy koalíció bevételére, amely adott esetben egy játékosból áll. Ez azért fontos, mert a játékelmélet megköveteli a szuperadditivitás meglétének ellenőrzését az összes nem átfedő koalíció karakterisztikus függvényének értékeinél.

A részhalmazok két nem üres koalíciójához T1 és T2 a kooperatív (koalíciós) játék jellemző funkciójának additivitását a következőképpen írjuk le:

A szuperadditivitás pedig a következő:

2. példa Egy zeneiskola három növendéke többletpénzt keres különböző klubokban, bevételüket a klublátogatóktól kapják. Határozza meg, hogy kifizetődő-e számukra az összefogás (ha igen, milyen feltételekkel), a játékelmélet fogalmai segítségével a kooperatív játékok megoldására n személyek, az alábbi kiindulási adatokkal.

Esténkénti bevételük átlagosan:

• a hegedűsnek 600 egysége van;
• a gitárosnak 700 egysége van;
• az énekesnőnek 900 egysége van.

A bevétel növelése érdekében a diákok több hónapon át különféle csoportokat hoztak létre. Az eredmények azt mutatták, hogy összefogással a következőképpen növelhetik esti bevételeiket:

• hegedűs + gitáros 1500 egységet szerzett;
• hegedűs + énekes 1800 egységet szerzett;
• gitáros + énekes 1900 egységet keresett;
• hegedűs + gitáros + énekes 3000 egységet keresett.

Megoldás. Ebben a példában a játékban résztvevők száma n= 3 , ezért a játék jellemző funkciójának tartománya az összes játékos halmazának 2³ = 8 lehetséges részhalmazából áll. Soroljuk fel az összes lehetséges koalíciót T:

• egy elemből álló koalíciók, amelyek mindegyike egy játékosból áll - egy zenészből: T{1} , T{2} , T{3} ;
• két elem koalíciója: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
• három elem koalíciója: T{1,2,3} .

Minden játékoshoz sorszámot rendelünk:

• hegedűművész - 1. játékos;
• gitáros - 2. játékos;
• az énekes a 3. játékos.

A problémaadatok alapján meghatározzuk a játék jellemző funkcióját v:

v(T(1)) = 600; v(T(2)) = 700; v(T(3)) = 900; a karakterisztikus függvény ezen értékeit az első, második és harmadik játékos kifizetései alapján határozzák meg, amikor nem egyesülnek koalíciókban;

v(T(1,2)) = 1500 ; v(T(1,3)) = 1800 ; v(T(2,3)) = 1900 ; a jellemző függvény ezen értékeit a koalíciókban egyesült játékospárok bevétele határozza meg;

v(T(1,2,3)) = 3000 ; a karakterisztikus függvénynek ezt az értékét az átlagos bevétel határozza meg abban az esetben, ha a játékosok hármasban egyesültek.

Így az összes lehetséges játékoskoalíciót felsoroltuk, nyolc van belőlük, ahogy kell, hiszen a játék jellemző funkciójának definíciós tartománya az összes játékos halmazának pontosan nyolc lehetséges részhalmazából áll. Ez az, amit a játékelmélet megkövetel, hiszen minden nem átfedő koalíció karakterisztikus függvényének értékénél ellenőriznünk kell a szuperadditivitás jelenlétét.

Hogyan teljesülnek a szuperadditivitás feltételei ebben a példában? Határozzuk meg, hogy a szereplők hogyan alkotnak nem átfedő koalíciókat T1 és T2 . Ha a játékosok egy része koalícióban van T1 , akkor az összes többi játékos a koalícióban van T2 és definíció szerint ez a koalíció a játékosok összkészlete és a halmaz különbségeként jön létre T1 . Aztán ha T1 - egy játékos koalíciója, majd koalíció T2 lesz a második és a harmadik játékos, ha a koalícióban T1 lesz az első és a harmadik játékos, majd a koalíció T2 csak a második játékosból áll majd, és így tovább.

Tartalom 1 Általános információk 2 1.1 Játékok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Mozdulatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Stratégiák. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Mátrix játék. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Nyompont. Pure Strategies 7 2.1 Példák. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. példa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. példa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Vegyes stratégiák 9 3.1 Játék 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1.1 Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. példa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4. példa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2 Geometriai értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Játékok 2×n és m×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. példa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1. Általános tudnivalók a játékelméletből 1.1. Játékok A játékelmélet a konfliktushelyzetek matematikai elmélete, i.e. olyan helyzetek, amelyekben két vagy több, különböző célokat követő fél érdekei ütköznek. A játék egy bizonyos szabályokkal szabályozott konfliktushelyzet, amelyben fel kell tüntetni: a résztvevők cselekvési lehetőségeit, a játék mennyiségi eredményét vagy azt a kifizetést (nyerés, veszteség), amelyhez egy adott mozdulatsor vezet a játék összegéhez. mindkét fél információi a másik viselkedéséről. Páros játék - olyan játék, amelyben csak két fél (két játékos) vesz részt. Nulla összegű páros játék - olyan páros játék, amelyben a kifizetések összege nulla, azaz. Az egyik játékos vesztesége egyenlő a másik nyereségével. Attól függően, hogy az egyes játékosok hogyan viszonyulnak a kifizetési funkció értékéhez, a páros játékok a következőkre oszthatók: Az egyik játékos vesztesége egyenlő a másik nyereségével. A nem antagonisztikus játék egy páros játék, amelyben a játékosok különböző, de nem közvetlenül ellentétes célokat követnek. 2 1.2. Moves Move - a játékszabályok által előírt akciók egyikének kiválasztása, ennek a választásnak a végrehajtása Kétféle mozdulat létezik: Személyes lépés - + a játékszabályok által előírt akciók egyikének tudatos választása + ennek a választásnak a megvalósítása Véletlenszerű lépés - A véletlenszerű lépés egy választás számos lehetőség közül, amelyet nem a játékos döntése, hanem valamilyen véletlen kiválasztási mechanizmus hajt végre. Az alábbiakban a zéró összegű páros játékokat tekintjük, amelyek csak személyes mozdulatokat tartalmaznak. Egyik félnek sincs információja a másik viselkedéséről. 3 1.3. Stratégiák A játékos stratégiája olyan szabályok összessége, amelyek meghatározzák, hogy a játékos minden egyes személyes lépéséhez milyen akciókat kell választani, a játék során kialakult helyzettől függően. A lehetséges stratégiák számától függően a játékokat végesre és végtelenre osztják. A végtelen játék olyan játék, amelyben legalább az egyik játékos végtelen számú stratégiával rendelkezik. A véges játék olyan játék, amelyben minden játékosnak csak véges számú stratégiája van. A játékosok egymás utáni lépéseinek száma határozza meg a játékok egy- és többlépéses, illetve pozíciós felosztását. + Egy egymozdulatos játékban minden játékos csak egyet választ a lehetséges opciók közül, majd beállítja a játék kimenetelét. + Egy több lépésből álló, vagy pozíciós játék időben fejlődik ki, és egymást követő szakaszok sorozatát képviseli, amelyek mindegyike az egyik játékos lépése és a helyzet megfelelő változása után következik be. Az egylépéses játékban minden játékos csak egyet választ a lehetséges lehetőségek közül, majd beállítja a játék kimenetelét. A játékos optimális stratégiája az a stratégia, amely a játék többszöri megismétlése során a lehető legnagyobb átlagos nyereséget (vagy ennek megfelelően a minimális átlagos veszteséget) biztosítja az adott játékos számára. A játékelméletben minden ajánlás a játékosok ésszerű viselkedésének feltételezése alapján történik. Nem veszik figyelembe a játékosok minden konfliktushelyzetben elkerülhetetlen számításait, tévedéseit, valamint a játékelméleti izgalmat és kockázatot. 4 1.4. A Mátrix játék A Mátrix játék egy mozdulattal, véges nulla összegű játék. A Mátrix játék egy olyan konfliktushelyzet játékelméleti modellje, amelyben az ellenfelek egy döntést (lépést) választanak a véges számú lehetséges cselekvési mód közül, hogy elérjék. homlokegyenest ellentétes célok A választott cselekvési módoknak (stratégiáknak) megfelelően meghatározzák az elért eredményt. Nézzünk egy példát. Legyen két A és B játékos, akik közül az egyik az A1 , A2 , ...Am lehetséges stratégiái közül m közül választhatja az i-edik stratégiát, a másik pedig a j-edik stratégiát választhatja a lehetséges B1 , B2 stratégiái közül. , ... bm . Ennek eredményeként az első játékos nyer aij-t, a második játékos pedig elveszíti ezt az értéket. Az aij számokból összeállítjuk a   a11 a11 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A = (aij) =  .. .. .. ..   mátrixot. . . .  am1 am2 · · · amn Az A = (aij), i = 1, m, j = 1, n mátrixot kifizetési mátrixnak vagy az m × n játék mátrixának nevezzük. Ebben a mátrixban a sorok mindig a nyerő (maximalizáló) A játékos stratégiáira vonatkoznak, vagyis annak a játékosnak, aki a nyereményét maximalizálni akarja. Az oszlopok a vesztes B játékos stratégiáinak vannak fenntartva, vagyis annak a játékosnak, aki a hatékonysági kritériumot minimalizálni kívánja. A játék normalizálása a helyzeti játék mátrixjátékká való redukálásának folyamata A normál formájú játék egy mátrixjátékká redukált pozíciós játék, amelynek véges számú lehetséges cselekvési módja közül egy választás (mozgás) ennek fejlődésének minden szakaszában. helyzet. Játékmegoldás - mindkét játékos optimális stratégiájának megtalálása és a játék értékének meghatározása A játék értéke a játékosok várható nyeresége (vesztesége). A játék megoldása megtalálható a tiszta stratégiákban - amikor a játékosnak egyetlen stratégiát kell követnie, vagy vegyesekben, amikor a játékosnak két vagy több tiszta stratégiát kell alkalmaznia bizonyos valószínűséggel. Ez utóbbiakat ebben az esetben aktívnak nevezzük. 5 Egy játékos vegyes stratégiája egy vektor, amelynek minden komponense a megfelelő tiszta stratégia játékos általi használatának gyakoriságát mutatja. A játék maximális vagy alacsonyabb ára - α szám = max min aij i j Maximin stratégia (karakterlánc) - a játékos által választott stratégia a minimális nyeremény maximalizálása érdekében. Nyilvánvaló, hogy a legóvatosabb maximin stratégia kiválasztásakor A játékos (az ellenfél viselkedésétől függetlenül) legalább α garantált nyereményt biztosít magának. Maximin vagy a játék felső költsége - a szám β = min max aij j i Minimax stratégia (oszlop) - a játékos által választott stratégia a maximális veszteségének minimalizálására. Nyilvánvaló, hogy a legóvatosabb minimax stratégia kiválasztásakor B játékos semmilyen körülmények között nem engedi meg A játékosnak, hogy β-nál többet nyerjen. A játék alsó ára mindig nem haladja meg a játék felső árát α = max min aij 6 min max aij = β i j j i 1. Tétel (a mátrixjátékok elméletének főtétele). Minden véges játéknak van legalább egy megoldása, talán a vegyes stratégiák birodalmában. 6 2. Játékok nyereghegyen. Megoldás tiszta stratégiákban A nyeregpontos játék olyan játék, amelyre α = max min aij = min max aij = β i j j i Nyeregpontos játékoknál a megoldás megtalálása abból áll, hogy az optimális maximin és minimax stratégiákat választjuk. , A játék nettó ára a játék alsó és felső árának összértéke α=β=ν 2.1. Példák 1. példa Keressen megoldást a mátrix által megadott tiszta játékstratégiákban   8 4 7 A= 6 5 9  7 7 8 Megoldás: határozzuk meg a játék felső és alsó árát. Ehhez az i-edik sorban találjuk meg az aij számok minimumát αi = min aij j és az aij számok maximumát a j-edik oszlopban βj = max aij i Felírjuk az αi számokat (minimum sorok) a jobb oldali kifizetési mátrix mellett kiegészítő oszlopként . A mátrix alá további sorként írjuk a βi számokat (oszlopmaximum): αi 8 4 7 4 6 5 9 5 7 7 8 7 βj 8 7 9 7 Határozzuk meg az αi α = max αi = 7 i számok maximumát és a számok minimuma βj β = min βj = 7 j α = β - a játéknak van nyeregpontja. A játékos számára az optimális stratégia az A3 stratégia, a B játékos számára pedig a B2 stratégia a játék nettó költsége ν = 7 2. példa A kifizetési mátrix a következő: 1 1 2   1 2 1 1 2 Találja meg a játék megoldását tiszta stratégiákban. Megoldás: 2 2 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 βj 2 2 1 1 2 α = β = 1. A játéknak hat nyeregpontja van. Az optimális stratégiák: A1 és B3 vagy B4 A3 és B3 vagy B4 A4 és B3 vagy B4 8 3. A játék megoldása vegyes stratégiákban α ̸= β esetén. Abban az esetben, ha a stratégia megválasztásakor mindkét játékos nem rendelkezik információval a másik választásáról, a játéknak van megoldása vegyes stratégiákban. SA = (p1 , p2 , ..., pm) az A játékos vegyes stratégiája, amelyben az A1 , A2 , ..., Am stratégiákat ∑ m p1 , p2 , ..., pm , pi valószínűségekkel alkalmazzuk. = 1, pi > 0, i = 1, m i=1 SB = (q1 , q2 , ..., qn) a B játékos vegyes stratégiája, amelyben a B1 , B2 , ..., Bm stratégiákat valószínűségekkel alkalmazzuk ∑ n q1 , q2 , ..., qm , qi = 1, qi > 0, i = 1, n i=1 = aij p∗i qi∗ j=1 i=1 2 × n, m × 2). Ha az egyik játékos optimális vegyes stratégiát alkalmaz, akkor a nyereménye megegyezik a játék ν árával, függetlenül attól, hogy a második játékos milyen valószínűséggel használja az optimálisban szereplő stratégiákat (beleértve a tiszta stratégiákat is). 9 3.1. 2 × 2 játék Tekintsünk egy 2 × 2-es játékot a mátrixszal: () a11 a21 a21 a22 A játéknak ne legyen megoldása tiszta stratégiákban. Keressük meg az optimális SA∗ és SB∗ stratégiákat. Először definiáljuk az SA∗ = (p∗1 , p∗2) stratégiát. A tétel szerint, ha A fél ragaszkodik a ν stratégiához, akkor a B fél cselekvési irányától függetlenül a nyeremény a játék ν árával egyenlő marad. Ezért, ha A fél ragaszkodik az SA∗ = (p∗1 , p∗2) optimális stratégiához, akkor B fél bármelyik stratégiáját alkalmazhatja anélkül, hogy megváltoztatná a kifizetést. Ezután, amikor B játékos tiszta B1 vagy B2 stratégiát alkalmaz, a játékos átlagos nyereményt kap, amely megegyezik a játék árával: a11 p∗1 + a21 p∗2 = ν ← a B1 stratégiánál vegye figyelembe, hogy p∗1 + p ∗2 = 1: p∗1 = a2 2−a2 1 a11 +a22 −a12 −a21 p∗2 = a1 1−a1 2 a11 +a22 −a12 −a21 Játékérték: a22 a11 − a12 a21 ν= a11 + a22 − a12 − a21 Hasonlóképpen megtaláljuk B játékos optimális stratégiáját: SB∗ = (q1∗ , q2∗). Figyelembe véve, hogy q1∗ + q2∗ = 1: q1∗ = a2 2 − a1 2 a11 + a22 − a12 − a21 q2∗ = a1 1 − a2 1 a11 + a22 − a12 − a21 3.1.1. Példák 3. példa Keressen megoldást a játékra a () mátrixszal −1 1 A= 1 −1 10 Megoldás: a játéknak nincs nyeregpontja, mivel α= -1, β = 1, α ̸= β. Vegyes stratégiákban keressük a megoldást. A p∗ és q ∗ képleteit használva p∗1 = p∗2 = 0,5 és q1∗ = q2∗ = 0,5, ν = 0 így SA∗ = (0,5, 0,5) SB∗ = (0,5, 0,5) 4. példa Keressen megoldást a játékra () mátrixszal 2 5 A= 6 4 Megoldás: a játéknak nincs nyeregpontja, mivel α= 4, β = 5, α ̸= β. Vegyes stratégiákban keressük a megoldást. A p∗ és q képletekkel 0,8) 11 3.1.2. Geometriai értelmezés A 2×2 játék egyszerű geometriai értelmezést ad. Vegyük az abszcissza tengely egy egységnyi metszetét, melynek minden pontjához valamilyen vegyes stratégiát társítunk S = (p1 , p2) = (p1 , 1 − p1) p2 , A2 stratégiák - a bal oldali vég távolsága. .y .I .I I .B1′ .N .B1 .a21 .a11 .I I .I .∗ .x .P2 .SA∗ .P1∗ a szakasz jobb vége (x = 1) - A2 stratégia a végein szakaszból az abszcissza tengelyre két merőleges helyreáll: I tengely - I - a kifizetés elhalasztva A1 stratégiával II - II tengely - a kifizetés elhalasztva A2 stratégiával Hagyja, hogy B játékos alkalmazza a B1 stratégiát ; az I − I és II − II tengelyen az a11 és a21 ordinátájú pontokat adja meg. Ezeken a pontokon keresztül húzzuk a B1 − B1′ egyenest. Bármely vegyes stratégia SA = (p1 , p2) esetén a játékos nyereményét a B1 − B1′ egyenes N pontja határozza meg, amely megfelel a szakaszt p2-hez képest osztó x tengely SA pontjának: p1 . Nyilvánvaló, hogy a B2 − B2′ egyenes, amely a B2 stratégia kifizetését határozza meg, pontosan ugyanúgy megszerkeszthető. 12 .y .I .I I .B2 .N .a21 .B2′ a . 22 .I I .I .∗ .x .P2 .SA∗ .P1∗ Meg kell találni az optimális SA∗ stratégiát, azaz, úgy, hogy az A játékos minimális kifizetése (a számára legrosszabb B játékos viselkedésével) maximumra forduljon. Ehhez az A játékos kifizetésének alsó korlátját konstruálják a B1, B2 stratégiákra, azaz. szaggatott vonal B1 N B2′ ;. Ezen a határon lesz az A játékos minimális nyereménye bármely vegyes stratégiája esetén, az N pont, ahol ez a nyeremény eléri a maximumot, és meghatározza a megoldást és a játék árát. .y .I .I I .B2 .B1′ .N .B1 .B2′ .I I .I .∗ .x .P2 . A* S . 1∗ P Az N pont ordinátája nem más, mint a játék ν értéke, abszcisszája egyenlő ∗2 , a szakasz jobb végéhez mért távolság pedig ∗1 , azaz. az SA∗ pont és a szakasz vége közötti távolság egyenlő az A játékos optimális vegyes stratégiájának A2 és A1 stratégiáinak ∗2 és ∗1 valószínűségével. Ebben az esetben a játék megoldását a a B1 és B2 stratégiák metszéspontja. Az alábbiakban azt az esetet mutatjuk be, amikor a játékos optimális stratégiája a tiszta A2 stratégia. Itt az A2 stratégia (az ellenfél bármely stratégiájára) jövedelmezőbb, mint az A1 stratégia, 13 .y .y .I .I I .I I. I .B2′ . 1′ B .B1′ B . 2 .B2′ B . 2 .B1 .v = a21 .B1 .v = a21 I. I I. I .I . .x .I . .x 2∗ P . A∗ S = A2 . 2∗ P . A∗ S = A2 Jobb oldalon az az eset látható, amikor a B játékos szándékosan veszteséges stratégiát követ, A geometriai értelmezés lehetővé teszi a játék alsó árának α és a felső β .y .I .I I .B2 megjelenítését is. .B1′ .N .B1 .B2′ .β = a21 .α = a22 .I I .I .∗ .x .P2 . A* S . 1∗ P Ugyanezen a grafikonon B játékos optimális stratégiáinak geometriai értelmezése is megadható. Könnyen belátható, hogy az optimális vegyes stratégia SB∗ = (q1∗ , q2∗) B1 stratégiájának q1∗ részesedése egyenlő a KB2 szakasz hosszának a szegmensek hosszának összegéhez viszonyított arányával. KB1 és KB2 az I − I tengelyen: .y .I .I I .B2 .B1′ .N .K .L .B1 .B2′ .I I .I .∗ .x .P2 . A* S . 1∗ P 14 KB2 q1∗ = KB2 + KB1 vagy LB2′ q1∗ = LB2′ + LB1′ a kifizetés alsó határának maximuma, tekintsük a felső határ minimumát. .y .I .I I .A2 .A′1 .N .A1 .A′2 .I I .I . .x .q2∗ . B∗ S .q1∗ 15 3.2. 2 × n és m × 2 játékok A 2 × n és m × 2 játékok megoldása a következő tételen alapul. 3. Tétel. Bármely m × n véges játéknak van olyan megoldása, amelyben az egyes oldalak aktív stratégiáinak száma nem haladja meg m és n közül a legkisebbet. E tétel szerint egy 2 × n-es játéknak mindig van olyan megoldása, amelyben minden játékosnak legfeljebb két aktív stratégiája van. Csak meg kell találni ezeket a stratégiákat, és a 2 × n-es játékból 2 × 2-es játék lesz, ami alapvetően megoldódik. Az aktív stratégiák keresése történhet grafikusan: 1) grafikus értelmezés készül; 2) meghatározzák az erősítés alsó határát; 3) a második játékos két stratégiáját különböztetjük meg az alsó kifizetési határon, amelyek két olyan egyenesnek felelnek meg, amelyek a maximális ordináta pontjában metszik egymást (ha kettőnél több egyenes metszi egymást, bármelyik pár kerül kiválasztásra) - ezek a stratégiák aktívak Így a 2 × n játék 2 × 2-re redukálódik. Az m × 2 játék is megoldható, azzal a különbséggel, hogy nem a felső kifizetési korlátot konstruálják, és nem a maximumot, hanem a minimumot keresnek rajta. 5. példa Keressen megoldást a játékra () 7 9 8 A= 10 6 9 Megoldás: geometriai módszerrel aktív stratégiákat választunk ki. A B1 − B1′ , B2 − B2′ és B3 − B3′ egyenesek a B1 , B2 , B3 stratégiáknak felelnek meg. A B1 N B2 szaggatott vonal a játékos nyereményének alsó határa. A játéknak van S∗A = (23 , 31) megoldása; S*B = (0,5; 0,5; 0); v = 8,16 .y .I .I I . 1′ B B . 2 .B3′ .N .B3 .B1 .B2′ .I I .I . .x 2∗ P . A* S . 1∗ P 17 Indexjáték, 2 lépés, 3 2 × 2, 10 személyes, 3 2 × 2, 9 véletlenszerű, 3 geometria, 12 tiszta játékérték, 7 példa, 10 2 × n, 9, 16 m × 2, 9 , 16 végtelen, 4 normál forma, 5 véges, 4 többirányú, 4 egyirányú, 4 mátrix, 5 kettős, 2 nulla összegű, 2 antagonista, 2 nem antagonista, 2 megoldás, 5 vegyes stratégia, 5, 9 tiszta stratégiák 5 játékelmélet, 2 18