L. 2-1 A vektoralgebra alapfogalmai. Lineáris műveletek vektorokon.

Egy vektor felbontása bázis szempontjából.

A vektoralgebra alapfogalmai

A vektor az összes azonos hosszúságú és irányú irányított szakasz halmaza
.

Tulajdonságok:

Lineáris műveletek vektorokon

1.

Párhuzamos szabály:

VAL VEL ummah két vektor És vektornak nevezzük , amelyek közös origójukból jönnek ki, és egy vektorokra épített paralelogramma átlója És mint az oldalakon.

Sokszög szabály:

Tetszőleges számú vektor összegének összeállításához a 2. vektor elejét az 1. tag végére kell helyezni, a 3. elejét a 2. tag végére, és így tovább. Az eredményül kapott vonalláncot lezáró vektor az összeg. Kezdete egybeesik az első kezdetével, a vége pedig az utolsó végével.

Tulajdonságok:

2.

Vektor termék számonként , olyan vektornak nevezzük, amely teljesíti a feltételeket:
.

Tulajdonságok:

3.

különbség vektorok És hívás vektor egyenlő a vektor összegével és a vektorral ellentétes vektor , azaz
.

- az ellentétes elem (vektor) törvénye.

Egy vektor felbontása bázis szempontjából

A vektorok összegét egyedi módon határozzuk meg
(de csak ). A fordított művelet, egy vektor több komponensre bontása nem egyértelmű: Az egyértelműség érdekében meg kell jelölni azokat az irányokat, amelyekben a vizsgált vektor bővülése történik, vagy, ahogy mondják, meg kell jelölni alapján.

A bázis meghatározásakor elengedhetetlen a vektorok nem-koplanaritása és nem-kollinearitása. E követelmény jelentésének megértéséhez figyelembe kell venni a vektorok lineáris függésének és lineáris függetlenségének fogalmát.

A forma önkényes kifejezése: , ún lineáris kombináció vektorok
.

Több vektor lineáris kombinációját nevezzük jelentéktelen ha minden együtthatója nulla.

Vektorok
hívott lineárisan függő, ha ezeknek a vektoroknak nullával egyenlő nem triviális lineáris kombinációja van:
(1) bekezdése szerint
. Ha az (1) egyenlőség csak mindenkire érvényes
egyidejűleg egyenlő nullával, majd nullától eltérő vektorokkal
akarat lineárisan független.

Könnyű bizonyítani: bármely két kollineáris vektor lineárisan függ, és két nem kollineáris vektor lineárisan független.

A bizonyítást az első állítással kezdjük.

Hagyjuk a vektorokat És kollineáris. Mutassuk meg, hogy lineárisan függenek egymástól. Valóban, ha kollineárisak, akkor csak egy számszerű tényezőben különböznek egymástól, pl.
, ennélfogva
. Mivel a kapott lineáris kombináció egyértelműen nem triviális és egyenlő "0", akkor a vektorok És lineárisan függő.

Tekintsünk most két nem kollineáris vektort És . Bizonyítsuk be, hogy lineárisan függetlenek. A bizonyítást ellentmondásból építjük fel.

Feltételezzük, hogy lineárisan függőek. Ekkor léteznie kell egy nem triviális lineáris kombinációnak
. Tegyünk úgy, mintha
, Akkor
. A kapott egyenlőség azt jelenti, hogy a vektorok És kezdeti feltételezésünkkel ellentétben kollineárisak.

Hasonlóképpen bebizonyítható: bármely három koplanáris vektor lineárisan függő, és két nem egysíkú vektor lineárisan független.

Visszatérve a bázis fogalmához és a vektor egy bizonyos bázisban való kiterjesztésének problémájához, azt mondhatjuk, hogy a síkbeli és térbeli bázis lineárisan független vektorok halmazából jön létre. Az ilyen alapfogalom általános, hiszen tetszőleges számú térre alkalmazható.

Kifejezés, mint:
, a vektor dekompozíciójának nevezzük vektorok szerint ,…,.

Ha egy bázist tekintünk háromdimenziós térben, akkor a vektor dekompozíciója alapján
akarat
, Ahol
-vektor koordináták.

Egy tetszőleges vektor valamilyen alapon történő kiterjesztésének problémájában a következő állítás nagyon fontos: bármely vektoraz adott alapon egyedi módon bontható fel
. Más szóval a koordináták
bármely vektorhoz az alaphoz képest
egyértelműen meghatározásra kerül.

Egy bázis bevezetése térben és síkon lehetővé teszi az egyes vektorokhoz való hozzárendelést rendezett hármas (pár) számok - annak koordinátái. Ez a nagyon fontos eredmény, amely lehetővé teszi a geometriai objektumok és a számok közötti kapcsolat létrehozását, lehetővé teszi a fizikai objektumok helyzetének és mozgásának analitikus leírását és tanulmányozását.

Egy pont és egy bázis kombinációját ún koordináta-rendszer.

Ha az alapot képező vektorok egységnyi és páronként merőlegesek, akkor a koordinátarendszert hívjuk négyszögletes,és az alap ortonormális.

L. 2-2 Vektorok szorzata

Egy vektor felbontása bázis szempontjából

Tekintsük a vektort
, a koordinátái alapján:
.

- vektor komponensek bázisvektorok irányaiban
.

A forma kifejezése
a vektor dekompozíciójának nevezzük alapján
.

Hasonló módon lehet lebomlani alapján
vektor
:

.

A vizsgált vektor által alkotott szögek koszinuszai bázisvektorokkal
hívott irány koszinuszokat

;
;
.

Vektorok skaláris szorzata.

Két vektor skaláris szorzata És e vektorok moduljainak szorzatával megegyező számnak nevezzük a köztük lévő szög koszinuszával

Két vektor skaláris szorzatát úgy tekinthetjük, mint az egyik vektor modulusának és a másik vektor ortogonális vetületének a szorzatának az első vektor irányába.
.

Tulajdonságok:

Ha a vektorok koordinátái ismertek
És
, akkor, miután a vektorokat kibővítettük a bázis szempontjából
:
És
, megtalálja

, mert
,
, Azt

.

.

A vektorok merőlegességének feltétele:
.

Kollinearitási feltétel rektoroknál:
.

Vektorok keresztszorzata

vagy

vektoros művészet vektoronként egy ilyen vektort nevezünk
, amely megfelel a feltételeknek:

Tulajdonságok:

A figyelembe vett algebrai tulajdonságok lehetővé teszik a keresztszorzat analitikus kifejezésének megtalálását az alkotó vektorok koordinátáiban ortonormális alapon.

Adott:
És
.

mert ,
,
,
,
,
,
, Azt

. Ez a képlet rövidebben is felírható, harmadrendű determináns formájában:

.

Vektorok vegyes szorzata

Három vektor vegyes szorzata ,És vektorszorzattal egyenlő számnak nevezzük
, skalárral megszorozva a vektorral .

A következő egyenlőség igaz:
, tehát a vegyes szorzatot írják
.

A definícióból következik, hogy három vektor vegyes szorzatának eredménye egy szám. Ennek a számnak egyértelmű geometriai jelentése van:

Vegyes termék modul
egyenlő a közös origóra redukált vektorokra épített paralelepipedon térfogatával ,És .

A vegyes termék tulajdonságai:

Ha a vektorok ,,ortonormális alapon vannak megadva
koordinátáikat, a vegyes termék kiszámítása a képlet szerint történik

.

Valóban, ha
, Azt

;
;
, Akkor
.

Ha a vektorok ,,egysíkúak, akkor a vektorszorzat
merőleges a vektorra . És fordítva, ha
, akkor a paralelepipedon térfogata nulla, és ez csak akkor lehetséges, ha a vektorok egysíkúak (lineárisan függőek).

Így három vektor akkor és csak akkor egysíkú, ha vegyes szorzata nulla.

A vektorok lineáris függése és lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

Csokoládés kocsi áll a közönség soraiban, és ma minden látogató kap egy édes párost - analitikus geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk a felsőbb matematika két szakaszát érinti egyszerre, és meglátjuk, hogyan boldogulnak egymással egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél Twixet! ... a fenébe is, vitatkozás hülyeség. Bár oké, nem pontozok, de a végén pozitív hozzáállás kellene a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, vektorok lineáris függetlensége, vektor alaponés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a "vektor" fogalma a lineáris algebra szempontjából messze nem mindig az a "hétköznapi" vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Illetve az időjárás vektor, amiért most a Gismeteóba mentem: - hőmérséklet és légköri nyomás, ill. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az megért definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra alkalmazhatók, de a példákat geometriailag adjuk meg. Így minden egyszerű, hozzáférhető és vizuális. Az analitikus geometria problémái mellett az algebra néhány tipikus feladatát is megvizsgáljuk. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegye figyelembe a számítógép asztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak van hossza és szélessége, így intuitív módon egyértelmű, hogy két vektorra van szükség az alap felépítéséhez. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A választott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes eleméhez.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el a bal kéz mutatóujja az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely a jobb kéz kisujja az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit lehet mondani a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineárisan egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol egy nem nulla szám.

Erről a műveletről láthat egy képet a leckében. Vektorok bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjai alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak egyedül irányba, míg a síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A "lineáris", "lineáris" szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben, kifejezésekben nincsenek négyzetek, kockák, egyéb hatványok, logaritmusok, szinuszok stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy bármilyen szög legyen közöttük, kivéve a 0 vagy a 180 fokot. Két sík vektorlineárisan Nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát az alap megérkezett. Nem kell szégyellni, hogy az alap „ferdének” bizonyult különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi sík vektor az egyetlen módja kibővítve az alap tekintetében:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektorformában mutatjuk be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapján vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például azt mondhatjuk, hogy egy vektor a sík ortonormális bázisában van kiterjesztve, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként van ábrázolva.

Fogalmazzuk meg alapdefiníció formálisan: sík alapon egy lineárisan független (nem kollineáris) vektorpár, , ahol Bármi a síkvektor az alapvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényege az a tény, hogy a vektorokat vettük egy bizonyos sorrendben. bázisok Ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kéz kisujját nem lehet a jobb kéz kisujjának helyére mozgatni.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani a koordináta-rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok, és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat azokhoz a piszkos asztalpontokhoz, amelyek egy vad hétvége után maradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen referenciapont mindenki számára ismert pont - a koordináták eredete. A koordinátarendszer megértése:

Kezdem az "iskolai" rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok bábokhoz Kiemeltem néhány különbséget a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Itt a standard kép:

Amikor arról beszélünk derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban az origót, a koordinátatengelyeket és a tengelyek menti léptéket jelentik. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt az a benyomásunk támad, hogy egy derékszögű koordinátarendszer jól definiálható ortonormális alapon. És majdnem az is. A megfogalmazás így hangzik:

eredet, És ortonormális alapkészlet A sík derékszögű koordinátarendszere . Azaz egy téglalap alakú koordinátarendszer egyértelműen egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fentebb adtam - a geometriai feladatokban gyakran (de korántsem mindig) mind a vektorokat, mind a koordinátatengelyeket megrajzolják.

Szerintem ezt mindenki megérti egy pont (eredet) és egy ortonormális alap segítségével A repülőgép BÁRMELY PONTJÁT és a repülőgép BÁRMELY VEKTORÁT koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: "a gépen minden megszámlálható".

A koordináta vektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és két tetszőleges nullától eltérő hosszúságú merőleges vektort:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A koordináták origója vektorokkal határozza meg a koordináta rácsot, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak megvan a maga koordinátája az adott bázison. Például, vagy. A nyilvánvaló kellemetlenség az, hogy a koordinátavektorok általában az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek eggyel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : az ortogonális alapon, valamint alatta a sík és a tér affin alapjaiban a tengelyek mentén lévő egységeket kell figyelembe venni FELTÉTELES. Például az abszcissza egy egysége 4 cm-t, az ordinátán lévő egy egység 2 cm-t tartalmaz, ez az információ elegendő ahhoz, hogy a „nem szabványos” koordinátákat szükség esetén „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

És a második kérdés, amelyre valójában már megválaszolták - az alapvektorok közötti szög szükségszerűen egyenlő 90 fokkal? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún eredet, És nem kollineáris vektorok, , készlet a sík affin koordinátarendszere :

Néha ezt a koordinátarendszert hívják ferde rendszer. A pontok és vektorok példaként láthatók a rajzon:

Amint megérti, az affin koordináta-rendszer még kevésbé kényelmes, a vektorok és szegmensek hosszának képletei, amelyeket a lecke második részében megvizsgáltunk, nem működnek benne. Vektorok bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való felosztásának képlete, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

És a következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb esete a derékszögű derékszögű rendszer. Ezért leggyakrabban őt, a sajátját kell látni. ... Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor illik egy ferde (vagy más pl. poláris) koordináta-rendszer. Igen, és a humanoidoknak az ilyen rendszerek megízlelhetik =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden feladat érvényes mind a négyszögletes koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolásnak is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti finomítása.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézze meg, létezik-e vektor arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Feltétlenül elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal készítsünk arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

A vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból készítsünk arányt:

Lerövidítjük:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat létrejöhet, és fordítva, ez egy egyenértékű lehetőség:

Önellenőrzéshez felhasználható az a tény, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben egyenlőségek vannak . Érvényességük egyszerűen ellenőrizhető vektoros elemi műveletekkel:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). A vektorokat kollinearitás szempontjából vizsgáljuk . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy , ami azt jelenti, a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Következtetés: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Állítsa össze az arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból! :
, ezért ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

Általában a véleményezők nem utasítják el ezt a lehetőséget, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet átdolgozni az arányt itt? (Tényleg nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa önálló megoldásra:

2. példa

A paramétervektorok milyen értékénél kollineáris lesz?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és ötödik pontként adjuk hozzá:

Két síkvektor esetén a következő állítások egyenértékűek:

2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok egymáson keresztül lineárisan kifejezhetők;
+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy pillanatnyilag már megértette az összes felmerült kifejezést és kijelentést.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Majd mi döntünk 1. példa a második módon:

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst! :
, tehát ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst :
, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint az arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak a vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem szakaszok, egyenesek párhuzamossága is igazolható. Vegyünk néhány problémát adott geometriai alakzatokkal kapcsolatban.

3. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot építeni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzen a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Négyszöget nevezünk, amelyben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és .

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor ("iskola szerint" - egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb a döntést megfelelően, az elrendezéssel meghozni. Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:
, tehát ezek a vektorok kollineárisak, és .

Következtetés: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, tehát definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég csak megjegyezni, hogyan néz ki.

Ez önálló döntési feladat. Teljes megoldás a lecke végén.

És most itt az ideje, hogy lassan mozogjunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

A) ;
b)
V)

Megoldás:
a) Ellenőrizze, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáihoz:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az "egyszerűsített" az arány ellenőrzésével történik. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térbeli vektorok kollinearitás-ellenőrzésére és egy harmadrendű determináns segítségével, ezt a módszert a cikk tárgyalja. Vektorok keresztszorzata.

Hasonlóan a sík esethez, a vizsgált eszközökkel térbeli szegmensek és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Háromdimenziós térvektorok lineáris függése és függetlensége.
Téralap és affin koordinátarendszer

Számos szabályszerűség, amelyet a repülőgépen figyelembe vettünk, a térre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elmélet összefoglalását, hiszen az információk oroszlánrészét már megrágták. Ennek ellenére javaslom, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések és fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett vizsgáljuk meg a háromdimenziós teret. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem tudunk kitérni a három dimenziótól: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért három térbeli vektorra van szükség a bázis felépítéséhez. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét felmelegítjük az ujjakat. Kérjük, emelje fel a kezét, és tárja szét a különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögeik vannak egymás között. Gratulálunk, elkészült a háromdimenziós tér alapja! Egyébként ezt nem kell bemutatni a tanároknak, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nem tudsz kitérni =)

Ezután felteszünk egy fontos kérdést, hogy bármely három vektor képez-e egy háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógép asztallapjára. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik mérést - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Megjegyzendő, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek párhuzamos síkokban is (csak ne az ujjaiddal csináld, csak Salvador Dali jött le így =)).

Meghatározás: vektorokat hívják egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, míg a tér bármely vektora az egyetlen módja kibővül az adott bázisban , ahol a vektor koordinátái vannak az adott bázisban

Emlékeztetőül azt is mondhatjuk, hogy egy vektort a következőképpen ábrázolunk lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a sík esetében, elegendő egy pont és bármely három lineárisan független vektor:

eredet, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács "ferde" és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordinátarendszer lehetővé teszi számunkra, hogy egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan a tér affin koordinátarendszerében néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy azt mindenki kitalálhatja derékszögű tér koordinátarendszer:

nevű térbeli pont eredet, És ortonormális alapkészlet A tér derékszögű koordinátarendszere . ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismét rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Az ellenkező kijelentések szerintem érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan a determináns segítségével ellenőrzik (5. tétel). A fennmaradó gyakorlati feladatok kifejezetten algebrai jellegűek lesznek. Ideje egy geometrikus botot a szögre akasztani és egy lineáris algebra baseballütőt forgatni:

Három térvektor akkor és csak akkor koplanárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra hívom fel a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok kiszámításának módszereit, vagy esetleg egyáltalán nem tájékozódtak, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e a háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában az egész megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst (a determináns az első sorban ki van bővítve):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok képezik az alapot

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében egy egyenletet determinánssal kell megoldani. Nullákba repülünk, mint a sárkányok a jerboákba - a legjövedelmezőbb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbb lineáris egyenletre redukáljuk:

Válasz: nál nél

Itt egyszerűen ellenőrizhető, ehhez be kell cserélni a kapott értéket az eredeti determinánsba, és meg kell győződni arról, hogy újranyitásával.

Végezetül vegyünk egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy külön témát érdemelne:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja egy háromdimenziós tér bázisát
és keressük meg a 4. vektor koordinátáit az adott bázisban

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok a háromdimenziós tér bázisát képezik, és ebben keressük meg a vektor koordinátáit.

Megoldás: Először foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és mint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Mi az alapja - minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első lépés teljesen megegyezik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:

, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták Szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncok. Ellenkező esetben zavar lép fel a további megoldási algoritmusban.