Adhvka vágógép számítása Newton módszerével. Numerikus módszerek nemlineáris egyenletek megoldására

Newton-módszer (tangens módszer)

Legyen az f(x)=0 egyenlet gyöke elválasztva a szakaszon, és f’(x) első és második deriváltja, ill. f""(x) folyamatosak és állandó előjelűek хн esetén.

Legyen az x n gyökér következő közelítése a gyökérfinomítás valamelyik lépésében . Ekkor tegyük fel, hogy a h n korrekció segítségével kapott következő közelítés , a gyökér pontos értékét eredményezi

x \u003d x n + h n. (1.2.3-6)

Számolás h n kis érték, az f(x n + h n)-t Taylor sorozatként ábrázoljuk, lineáris kifejezésekre korlátozva magunkat

f(x n + h n) "f(x n) + h n f'(x n). (1.2.3-7)

Ha figyelembe vesszük, hogy f(x) = f(х n + h n) = 0, akkor f(х n) + h n f ’(х n) » 0-t kapunk.

Ezért h n "- f (x n) / f' (x n). Cserélje ki az értéket h n(1.2.3-6)-ban és a gyökér pontos értéke helyett xújabb közelítést kapunk

Az (1.2.3-8) képlet lehetővé teszi az x 1, x 2, x 3 ... közelítések sorozatát, amely bizonyos feltételek mellett a gyök pontos értékéhez konvergál. x, vagyis

A Newton-módszer geometriai értelmezése az alábbiak
(1.2.3-6. ábra). A b szakasz jobb végét vesszük x 0 kezdeti közelítésnek, és az y \u003d f (x) függvény grafikonjának megfelelő B 0 pontjában megszerkesztünk egy érintőt. Az érintőnek az x tengellyel való metszéspontját új, pontosabb x 1 közelítésnek vesszük. Ha ezt az eljárást többször megismételjük, akkor x 0, x 1, x 2 közelítések sorozatát kapjuk , . . ., amely a gyökér pontos értékére irányul x.

A Newton-módszer számítási képlete (1.2.3-8) geometriai konstrukcióból nyerhető. Tehát egy derékszögű háromszögben x 0 B 0 x 1 láb
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. Tekintettel arra, hogy a B 0 pont a függvény grafikonján van f(x),és a hipotenuszt az f (x) gráf B 0 pontjában lévő érintője alkotja, azt kapjuk

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Ez a képlet egybeesik az (1.2.3-8) n-edik közelítéssel.

Az 1.2.3-6. ábrából látható, hogy az a pont kezdeti közelítésként való megválasztása oda vezethet, hogy a következő x 1 közelítés azon a szegmensen kívül lesz, amelyen a gyök el van választva. x. Ebben az esetben a folyamat konvergenciája nem garantált. Általános esetben a kezdeti közelítés kiválasztása a következő szabály szerint történik: a kezdeti közelítéshez olyan x 0 н pontot kell venni, ahol f (x 0) × f '' (x 0) > 0, vagyis a függvény és második deriváltjának előjelei egyeznek.

A Newton-módszer konvergenciafeltételeit a következő tétel fogalmazza meg.

Ha az egyenlet gyökét a szakaszon elválasztjuk, és f'(x 0) és f''(x) eltérnek a nullától, és megtartják előjeleiket xo, akkor ha egy ilyen pontot választunk kezdeti közelítésnek x 0 О , mit f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , akkor az egyenlet gyöke f(x)=0 bármilyen pontossággal kiszámítható.

A Newton-módszer hibabecslését a következő kifejezés határozza meg:

(1.2.3-11)

hol a legkisebb érték nál nél

Legmagasabb érték nál nél

A számítási folyamat leáll, ha ,

hol van a megadott pontosság.

Ezenkívül a következő kifejezések feltételül szolgálhatnak egy adott pontosság eléréséhez a gyökér Newton-módszerrel történő finomítása során:

A Newton-módszer algoritmusának sémája a 2. ábrán látható. 1.2.3-7.

Az eredeti f(x) egyenlet bal oldala és származéka f'(x) az algoritmusban külön szoftvermodulként van kialakítva.

Rizs. 1.2.3-7. Newton-módszer algoritmus diagramja

1.2.3-3. példa Finomítsa az x-ln(x+2) = 0 egyenlet gyökét a Newton-módszerrel, feltéve, hogy ennek az egyenletnek a gyökerei el vannak választva az x 1 н[-1.9;-1.1] szakaszokon. és x 2 н [-0,9;2].

Az f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) első deriváltja minden szegmensen megtartja előjelét:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 xО-nél [-0,9; 2].

A második derivált f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 bármely x esetén.

Így a konvergencia feltételei teljesülnek. Mivel f "" (x)> 0 a megengedett értékek teljes tartományában, akkor a gyökér finomítása a kezdeti közelítéshez x 1 válassza az x 0 \u003d -1,9 értéket (mivel f (-1,9) × f ”(-1,9)> 0). Egy közelítési sorozatot kapunk:

A számításokat folytatva az első négy közelítésből a következő sorrendet kapjuk: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Az f(x) függvény értéke az x=-1,8414 pontban egyenlő: f(-1,8414)=-0,00003 .

Az x 2 н[-0.9;2] gyök finomításához a 0 =2 (f(2)×f”(2)>0 kezdeti közelítést választjuk. Az x 0 = 2 alapján egy közelítési sorozatot kapunk: 2,0; 1,1817; 1,1462; 1.1461. Az f(x) függvény értéke az x=1,1461 pontban egyenlő: f(1,1461)= -0,00006.

A Newton-módszernek nagy a konvergencia rátája, de minden lépésben nem csak a függvény értékét, hanem deriváltját is ki kell számítani.

akkordmódszer

Az akkordmódszer geometriai értelmezése az alábbiak
(1.2.3-8. ábra).

Rajzoljunk egy egyenes szakaszt az A és B pontokon keresztül. A következő x 1 közelítés a húr 0x tengellyel való metszéspontjának abszcissza. Szerkesszük meg az egyenes szakasz egyenletét:

Tegyük fel y=0-t, és keressük meg az x=x 1 értéket (egy másik közelítés):

Megismételjük a számítási folyamatot, hogy megkapjuk a következő közelítést a gyökérhez - x 2 :

Esetünkben (1.2.11. ábra) és az akkordmódszer számítási képlete így fog kinézni

Ez a képlet akkor érvényes, ha a b pontot fix pontnak vesszük, és az a pont kezdeti közelítésként működik.

Tekintsünk egy másik esetet (1.2.3-9. ábra), amikor .

Az egyenes egyenletnek ebben az esetben a formája van

A következő közelítés x 1 y = 0-nál

Ekkor az akkordmódszer rekurzív képlete ebben az esetben a következővel rendelkezik

Megjegyzendő, hogy az akkordok módszerében a fix ponthoz válassza ki a szakasz végét, amelyre az f (x)∙f¢¢ (x)>0 feltétel teljesül.

Így ha az a pontot fix pontnak vesszük , akkor x 0 = b kezdeti közelítésként működik, és fordítva.

Az f(x)=0 egyenlet gyökének akkordok képletével történő kiszámítását biztosító elegendő feltétel ugyanaz lesz, mint a tangens módszernél (Newton-módszer), de a kezdeti közelítés helyett egy fix pontot választunk. Az akkordmódszer a Newton-módszer módosítása. A különbség az, hogy a következő közelítés a Newton-módszerben az érintő metszéspontja a 0X tengellyel, a húrok módszerében pedig - az akkord metszéspontja a 0X tengellyel - a közelítések a gyökérhez konvergálnak. különböző oldalak.

Az akkordmódszer hibájának becslését a kifejezés határozza meg

(1.2.3-15)

Az iterációs folyamat befejezési feltétele akkordok módszerével

(1.2.3-16)

Ha M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Példa 1.2.3-4. Adja meg az e x - 3x = 0 egyenlet gyökerét, 10 -4 pontosságú szakaszon elválasztva.

Nézzük meg a konvergencia feltételét:

Ezért a=0-t kell fix pontnak választani, és x 0 \u003d 1-et kell venni kezdeti közelítésnek, mivel f (0) \u003d 1> 0 és f (0) * f "(0)> 0 .

2. Newton-módszer nemlineáris egyenletrendszerek megoldására.

Ez a módszer sokkal gyorsabban konvergál, mint az egyszerű iterációs módszer. Az (1.1) egyenletrendszer Newton-módszere a függvények kiterjesztésének felhasználásán alapul.

, ahol
(2.1)

egy Taylor sorozatban, és a származékok második és magasabb rendjét tartalmazó kifejezéseket el kell vetni. Ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy egy nemlineáris rendszer (1.1) megoldását több lineáris rendszer megoldásával helyettesítsük.

Így az (1.1) rendszer Newton módszerével lesz megoldva. A D területen tetszőleges pontot választunk
és nevezzük az eredeti rendszer pontos megoldásának nulla közelítésének. Most kibővítjük a (2.1) függvényeket egy Taylor sorozatban a pont közelében. Lesz

Mert a (2.2) bal oldalának el kell tűnnie az (1.1) szerint, majd a (2.2) jobb oldalának is el kell tűnnie. Ezért a (2.2)-ből megvan

A (2.3) pontban szereplő összes parciális deriváltot a pontban kell kiszámítani.

A (2.3) lineáris algebrai egyenletrendszer ismeretlenekben, amely a Cramer-módszerrel megoldható, ha fő determinánsa nem nulla, és megkeresi a mennyiségeket.

Most finomíthatjuk a nulla közelítést úgy, hogy az első közelítést a koordinátákkal megszerkesztjük

azok.
. (2.6)

Nézzük meg, hogy a (2.6) közelítést kellő pontossággal kaptuk-e meg. Ehhez ellenőrizze az állapotot

,
(2.7)

ahol egy előre hozzárendelt kis pozitív szám (az (1.1) rendszer megfejtésének pontossága). Ha a (2.7) feltétel teljesül, akkor az (1.1) rendszer közelítő megoldásaként (2.6) választjuk, és befejezzük a számításokat. Ha a (2.7) feltétel nem teljesül, akkor a következő műveletet hajtjuk végre. A (2.3) rendszerben ahelyett
vegyen javított értékeket

, (2.8)

azok. csináld a következőt

. (2.9)

Ezt követően a (2.3) rendszer a mennyiségekre vonatkozó lineáris algebrai egyenletrendszer lesz. Ezen mennyiségek meghatározása után a következő második közelítés
az (1.1) rendszer megoldásához a képletekkel találjuk meg

Most nézzük meg a feltételt (2.7)

Ha ez a feltétel teljesül, akkor a számításokat úgy fejezzük be, hogy a második közelítést vesszük az (1.1) rendszer közelítő megoldásaként.
. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor folytatjuk a következő közelítés megszerkesztését, figyelembe véve (2.3)
Addig kell közelítéseket építeni, amíg a feltétel teljesül.

Az (1.1) rendszer megoldására szolgáló Newton-módszer munkaképletei így írhatók fel

Számítási sorrend

Itt
a rendszer megoldásai

Fogalmazzuk meg a számítási algoritmust a (2.11)-(2.13) képletekkel!

1. A nulla közelítést választjuk, amely a D régióhoz tartozik.

2. A lineáris algebrai egyenletrendszerben (2.13) állítjuk be
,a .

3. Megoldjuk a (2.13) rendszert és megkeressük a mennyiségeket
.

4. A (2.12) képletekben beállítjuk
és számítsuk ki a következő közelítés összetevőit.

5. Ellenőrizze a feltételt (2.7) a következőhöz: (Lásd a több mennyiség maximumának kiszámítására szolgáló algoritmust.)

6. Ha ez a feltétel teljesül, akkor a számításokat úgy fejezzük be, hogy közelítésként az (1.1) rendszer közelítő megoldását választjuk. Ha ez a feltétel nem teljesül, folytassa a 7. lépéssel.

7. Tegyük fel
mindenkinek .

8. Teljesítsük a 3. tételt beállítással
.

Geometriailag ez az algoritmus így írható fel

Algoritmus. Több mennyiség maximumának kiszámítása.

Példa. Fontolja meg Newton módszerének használatát egy két egyenletrendszer megoldására.

Oldja meg a következő nemlineáris egyenletrendszert Newton-módszerrel, legfeljebb pontossággal

, (2.14)

itt
. A nulla közelítést választjuk
, amely a D tartományba tartozik. Készítsünk lineáris algebrai egyenletrendszert (2.3). Meg fog nézni

(2.15)

Jelöli

Megoldjuk a (2.15) rendszert az ismeretlenekre való tekintettel
, például a Cramer módszerrel. A Cramer-képleteket a formába írjuk

(2.17)

ahol a rendszer fő meghatározója (2.15)

(2.18)

míg a (2.15) rendszer segéddeterminánsainak alakja van

.

A talált értékeket behelyettesítjük (2.16)-ba, és megkeressük az első közelítés összetevőit
a (2.15) rendszer megoldásához.

Vizsgáljuk meg az állapotot

, (2.19)

ha ez a feltétel teljesül, akkor a számításokat úgy fejezzük be, hogy az első közelítést vesszük a (2.15) rendszer közelítő megoldásának, azaz
. Ha a (2.19) feltétel nem teljesül, akkor beállítjuk
,
és alkossunk egy új lineáris algebrai egyenletrendszert (2.15). Megoldása után megtaláljuk a második közelítést
. Ellenőrizzük. Ha ez a feltétel teljesül, akkor a (2.15) rendszer közelítő megoldására választjuk
. Ha a bekapcsolt feltétel nem teljesül, akkor beállítjuk
,
és készítse el a következő rendszert (2.15), hogy megtalálja
stb.

Feladatok

Minden feladathoz szükséges:

Írjon programot a módszer numerikus megvalósítására a javasolt algoritmus szerint!

Szerezze meg a számítási eredményeket.

Ellenőrizze az eredményeket.

Adott egy két nemlineáris egyenletrendszer.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

3. fejezet Numerikus módszerek lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására.

Célkitűzés. Ismerkedés néhány hozzávetőleges SLAE megoldási módszerrel és azok számszerű megvalósításával PC-n.

Előzetes megjegyzések. Az SLAE megoldására szolgáló összes módszert általában két nagy csoportra osztják. Az első csoportba azok a módszerek tartoznak, amelyeket általában egzaktnak neveznek. Ezek a módszerek lehetővé teszik bármely rendszer számára, hogy véges számú aritmetikai művelet után megtalálja az ismeretlenek pontos értékét, amelyek mindegyikét pontosan hajtják végre.

A második csoportba minden nem pontos módszer tartozik. Ezeket iteratívnak, numerikusnak vagy közelítőnek nevezik. Az ilyen módszerek alkalmazásakor a pontos megoldást a közelítések végtelen folyamatának eredményeként kapjuk meg. Az ilyen módszerek vonzó tulajdonsága az önkorrekció és a PC-n való egyszerű megvalósítás.

Tekintsünk néhány közelítő módszert az SLAE megoldására, és alkossunk algoritmusokat ezek numerikus megvalósításához. Az SLAE közelítő megoldását kapjuk pontossággal, ahol valami nagyon kis pozitív szám.

1. Iterációs módszer.

Adjuk meg a SLAE-t a formában

(1.1)

Ez a rendszer mátrix formában írható fel

, (1.2)

ahol
- az (1.1) rendszerben lévő ismeretlenek együtthatóinak mátrixa,
- ingyenes tagok oszlopa,
- a rendszer ismeretleneinek oszlopa (1.1).

. (1.3)

Oldjuk meg az (1.1) rendszert iterációs módszerrel. Ehhez hajtsa végre a következő lépéseket.

Először. A nulla közelítést választjuk

(1.4)

az (1.1) rendszer pontos (1.3) megoldásához. A nulla közelítés komponensei tetszőleges számok lehetnek. De célszerűbb a nulla közelítés összetevőire nullákat venni
, vagy a rendszer ingyenes feltételei (1.1)

Másodszor. A nulla közelítés összetevőit behelyettesítjük az (1.1) rendszer jobb oldalába, és kiszámítjuk

(1.5)

Az (1.5) bal oldali mennyiségek az első közelítés összetevői
Az első közelítést eredményező műveleteket iterációnak nevezzük.

Harmadszor. Ellenőrizzük a nulla és az első közelítéseket

(1.6)

Ha minden (1.6) feltétel teljesül, akkor az (1.1) rendszer közelítő megoldásához a vagy a , vagy az egyébként is választjuk, mert legfeljebb annyiban különböznek egymástól, és befejezzük a számításokat. Ha az (1.6) feltétel legalább egyike nem teljesül, akkor továbblépünk a következő lépésre.

Negyedik. Végezzük el a következő iterációt, pl. az (1.1) rendszer jobb oldalába behelyettesítjük az első közelítés komponenseit és kiszámítjuk a második közelítés komponenseit
, ahol

Ötödik. Nézzük meg
és tovább, azaz. Ellenőrizzük az (1.6) feltételt ezekre a közelítésekre. Ha minden (1.6) feltétel teljesül, akkor az (1.1) rendszer közelítő megoldásához a , vagy az egyébként is választjuk, mert legfeljebb annyiban különböznek egymástól. Ellenkező esetben a következő iterációt úgy készítjük el, hogy a második közelítés komponenseit behelyettesítjük az (1.1) rendszer jobb oldalába.

Az iterációkat két szomszédos közelítésig kell építeni
és legfeljebb annyiban különböznek egymástól.

Az iterációs módszer munkaképlete az (1.1) rendszer megoldásához a következőképpen írható fel

Az (1.7) képlet numerikus megvalósításának algoritmusa a következő lehet.

Az (1.1) rendszer iterációs módszerének konvergenciájához elegendő feltétel a forma

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Egyszerű iteráció módszere.

Adjuk meg a lineáris algebrai egyenletrendszert (SLAE) a formában

(2.1)

Ahhoz, hogy a (2.1) rendszert egyszerű iterációval megoldhassuk, először formára kell redukálni

(2.2)

A rendszerben (2.2) A -edik egyenlet a (2.1) rendszer -edik egyenlete, a -edik ismeretlen (
).

A (2.1) rendszer megoldásának módszerét, amely abból áll, hogy a (2.2) rendszerre redukáljuk, majd a (2.2) rendszert iterációs módszerrel megoldjuk, a (2.1) rendszer egyszerű iterációs módszerének nevezzük.

Így a (2.1) rendszer megoldására szolgáló egyszerű iterációs módszer munkaképletei alakot kapnak

(2.3)

A (2.3) képleteket úgy írhatjuk fel

A (2.1) rendszer egyszerű iterációs módszerének (2.4) képletekkel történő numerikus megvalósításának algoritmusa a következő lehet.

Ez az algoritmus geometriailag is felírható.

A (2.1) rendszer egyszerű iterációs módszerének konvergenciájához elegendő feltétel a forma

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stacionárius Seidel módszer.

Az SLAE megoldására szolgáló Seidel módszer abban különbözik az iterációs módszertől, hogy miután találtunk valamilyen közelítést a -edik komponensre, azonnal felhasználjuk a következő megállapítására.
,
, …, komponens. Ez a megközelítés lehetővé teszi a Seidel-módszer nagyobb konvergenciájának biztosítását az iterációs módszerhez képest.

Adjuk meg a SLAE-t a formában

(3.1)

Hadd
- nulla közelítés a pontos megoldáshoz
rendszerek (3.1). És hadd találják meg -edik közelítés
. Határozzuk meg az összetevőket
közelítés képletekkel

(3.2)

A (3.2) képletek kompakt formában is felírhatók

,
,
(3.3)

A (3.1) rendszer (3.3) képletekkel történő megoldására szolgáló Seidel-módszer numerikus megvalósításának algoritmusa a következő lehet.

1. Válasszunk pl.
,

2. Hagyjuk .

3. Mindenre kiszámoljuk .

4. Minden esetben ellenőrizze a feltételeket
.

5. Ha a 4. pontban szereplő összes feltétel teljesül, akkor a (3.1) rendszer közelítő megoldásához válasszuk a vagy vagy és befejezzük a számításokat. Ha a 4. pontban legalább egy feltétel nem teljesül, akkor a 6. pontra lépünk.

6. Beállítjuk és továbblépünk a 3. tételhez.

Ez az algoritmus geometriailag is felírható.

A Seidel-módszer konvergenciájának elégséges feltétele a (3.1) rendszerre a következő formában
, .

4. Nem stacionárius Seidel-módszer.

Az SLAE (3.1) megoldásának ez a módszere a Seidel-módszer még nagyobb konvergenciáját biztosítja.

A -edik közelítés és a -edik közelítés összetevői valamilyen módon megkereshetők a (3.1) rendszerre.

Számítsa ki a korrekciós vektort!

Számítsuk ki az értékeket

, (4.2)

Rendezd a mennyiségeket
, csökkenő sorrendben.

Ugyanebben a sorrendben írjuk át az egyenleteket a (3.1) rendszerben és az ismeretleneket ebben a rendszerben., : Lineárisalgebraés nem lineáris ... Menedzsmentszámára laboratórium művektovább ... módszeres utasítás számáragyakorlatiművektovább számárahallgatók ...

Oktatási irodalom (természettudományi és műszaki) 2000-2011 opd ciklus - 10 év sd ciklus - 5 év

Irodalom

... természetestudományáltalában 1. Csillagászat [Szöveg]: kézikönyv számára ... Számszerűmód: Lineárisalgebraés nem lineáris ... Menedzsmentszámára laboratórium művektovább ... módszeres utasítás számáragyakorlatiművektovább"közlekedésgazdaságtan" tudományág számárahallgatók ...

- természettudományok (1)

oktatóanyag

... menedzsmentszámárahallgatókés tanárok, tervezték számára nem csak a tanulmányban használható módmunka... generáció gyakorlati valós adatokat használó készségek. módszeres ajánlásokat tovább hitel munkatovább adott...

- természettudományok - fizikai és matematikai tudományok - kémiai tudományok - földtudományok (geodéziai geofizikai geológiai és földrajzi tudományok)

Dokumentum

... számárahallgatóktermészetesen- ... művektovább„Genetika és szelekció” tudományág, amely ennek tényleges problémáival foglalkozik tudomány. Rendszerezett független Munkahallgatóktovább elméleti és gyakorlati ... lineáris, nem lineáris, dinamikus. Összes mód ...

- természettudományok - fizikai és matematikai tudományok - kémiai tudományok - földtudományok (geodéziai geofizikai geológiai és földrajzi tudományok) (7)

Tankönyvek listája

Eremin meghatározója lineárisés nem lineárisalgebra : lineárisés nem lineáris programozás: új módszer/Eremin, Mikhail... Merthallgatók valamint az egyetemek geológiai szakának tanárai. kx-1 1794549 99. D3 P 693 Gyakorlatimenedzsmenttovább ...

A Newton-módszer (más néven tangens módszer) egy iteratív numerikus módszer egy adott függvény gyökének (nulla) meghatározására. A módszert először Isaac Newton (1643-1727) angol fizikus, matematikus és csillagász javasolta, akinek a neve alatt szerzett hírnevet.

A módszert Isaac Newton írta le a De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Ról ről végtelen sorozatok egyenleteivel végzett elemzés), amelyet 1669-ben Barrow, és a De metodis fluxionum et serierum infinitarum (lat. Fluxusok és végtelen sorozatok módszere) vagy a Geometria analytica ( lat.Elemző geometria) Newton gyűjteményeiben, amely 1671-ben íródott. A módszer leírása azonban jelentősen eltért mostani előadásától: Newton kizárólag polinomokra alkalmazta módszerét. Nem egymást követő közelítéseket számolt ki x n , hanem polinomok sorozatát, és ennek eredményeként egy x közelítő megoldást kapott.

A módszert először John Wallis Algebra című értekezésében publikálta 1685-ben, akinek kérésére maga Newton is leírta röviden. 1690-ben Joseph Raphson egyszerűsített leírást közölt az Analysis aequationum universalis (lat. Egyenletek általános elemzése). Raphson Newton módszerét tisztán algebrainak tekintette, és alkalmazását polinomokra korlátozta, de a módszert az x n egymást követő közelítéseire alapozta a Newton által használt polinomok nehezebben érthető sorozata helyett.

Végül 1740-ben a Newton-módszert Thomas Simpson elsőrendű iteratív módszerként írta le a nemlineáris egyenletek derivált segítségével történő megoldására, amint azt itt bemutatjuk. Ugyanebben a publikációban Simpson általánosította a módszert egy két egyenletrendszer esetére, és megjegyezte, hogy Newton módszere optimalizálási problémákra is alkalmazható a derivált vagy a gradiens nullapontjának megtalálásával.

Ezzel a módszerrel a függvény gyökének megtalálásának problémája a függvény grafikonján ábrázolt érintő abszcissza tengelyével való metszéspont megtalálásának problémájára redukálódik.

1. ábra . Funkcióváltási grafikon

A függvénygráf bármely pontjában húzott érintővonalat az adott függvénynek a vizsgált pontban lévő deriváltja határozza meg, amelyet viszont az α () szög érintője határoz meg. Az érintőnek az abszcissza tengellyel való metszéspontját a következő összefüggés alapján határozzuk meg egy derékszögű háromszögben: a szög érintőjederékszögű háromszögben a szemközti láb és a háromszög szomszédos lábának aránya határozza meg. Így minden lépésben megszerkesztjük a függvény grafikonjának érintőjét a következő közelítés pontjában . Az érintő metszéspontja a tengellyelÖkör lesz a következő megközelítési pont. A vizsgált módszerrel összhangban a gyökér hozzávetőleges értékének kiszámítása onén- Az iterációk a következő képlet szerint készülnek:

Az egyenes meredeksége minden lépésnél a legjobb módon van beállítva, azonban ügyelni kell arra, hogy az algoritmus nem veszi figyelembe a grafikon görbületét, ezért a számítás során ismeretlen marad, hogy irányban eltérhet a grafikon.

Az iteratív folyamat befejezésének feltétele a következő feltétel teljesülése:

ahol ˗ megengedett hiba a gyökér meghatározásában.

A módszer másodfokú konvergenciával rendelkezik. A konvergencia másodfokú sebessége azt jelenti, hogy a közelítésben szereplő helyes számjegyek száma minden iterációval megduplázódik.

Matematikai indoklás

Legyen adott egy valós függvény, amely a vizsgált szakaszon meghatározott és folyamatos. Meg kell találni a vizsgált függvény valódi gyökerét.

Az egyenlet levezetése az egyszerű iterációk módszerén alapul, amely szerint az egyenletet bármely függvényre ekvivalens egyenletre redukáljuk. Vezessük be a kontrakciós leképezés fogalmát, amelyet a reláció határoz meg.

A módszer legjobb konvergenciájához a következő közelítés pontjában a feltételnek teljesülnie kell. Ez a követelmény azt jelenti, hogy a függvény gyökerének meg kell egyeznie a függvény szélsőértékével.

A kontrakciós leképezés származékaa következő formában van meghatározva:

Adjunk meg egy változót ebből a kifejezésbőlfigyelemmel a korábban elfogadott nyilatkozatra, hogy ehhez szükséges az állapot biztosítása. Ennek eredményeként egy kifejezést kapunk a változó meghatározásához:

Ezt szem előtt tartva a kontrakciós funkció vétele a következő:

Így az egyenlet numerikus megoldásának megtalálására szolgáló algoritmus egy iteratív számítási eljárásra redukálódik:

Algoritmus egy nemlineáris egyenlet gyökének megtalálásához a módszer segítségével

1. Állítsa be a függvény gyökér közelítő értékének kezdőpontját, valamint a számítási hiba (kis pozitív szám ) és a kezdeti iterációs lépés ().

2. Számítsa ki a függvény gyökének hozzávetőleges értékét a következő képlet szerint:

3. Ellenőrizzük a gyökér hozzávetőleges értékét a megadott pontossághoz, a következő esetekben:

Ha két egymást követő közelítés közötti különbség kisebb lesz, mint a megadott pontosság, akkor az iteratív folyamat véget ér.

Ha két egymást követő közelítés különbsége nem éri el a kívánt pontosságot, akkor folytatni kell az iteratív folyamatot, és tovább kell lépni a vizsgált algoritmus 2. lépéséhez.

Példa egyenletek megoldására

módszer szerintNewton egy változós egyenletre

Példaként vegyük egy nemlineáris egyenlet megoldását a módszerrelNewton egy változós egyenletre. Első közelítésként a gyököt kell pontosan megkeresni.

Nemlineáris egyenlet megoldásának egy változata szoftvercsomagbanMathCADa 3. ábrán látható.

A számítási eredményeket, nevezetesen a gyök közelítő értékének változásának dinamikáját, valamint az iterációs lépésből származó számítási hibákat grafikus formában mutatjuk be (lásd 2. ábra).

2. ábra. Newton számítási eredmények egy változós egyenletre

A megadott pontosság biztosításához, amikor az egyenlet gyökének közelítő értékét keresi a tartományban, 4 iterációt kell végrehajtani. Az utolsó iterációs lépésben a nemlineáris egyenlet gyökének közelítő értékét a következő érték határozza meg: .

3. ábra . Programlista beMathCad

Newton módszerének módosításai egy változós egyenletre

A Newton-módszernek számos olyan módosítása létezik, amelyek a számítási folyamat egyszerűsítését célozzák.

Egyszerűsített Newton-módszer

A Newton-módszer szerint minden iterációs lépésben ki kell számítani az f(x) függvény deriváltját, ami a számítási költségek növekedéséhez vezet. A derivált kiszámításával járó költségek csökkentése érdekében minden számítási lépésnél lecserélheti a képlet x n pontjában lévő f’(x n) deriváltot az x 0 pontban lévő f’(x 0) deriváltra. Ezzel a számítási módszerrel a gyökér hozzávetőleges értékét a következő képlet határozza meg:Módosított Newton-módszer

Newton különbségi módszere

Ennek eredményeként az f(x) függvény gyökének közelítő értékét a Newton-féle differencia módszer kifejezése határozza meg:

Newton kétlépéses módszere

A Newton-módszer szerint minden iterációs lépésben ki kell számítani az f(x) függvény deriváltját, ami nem mindig kényelmes, sőt néha gyakorlatilag lehetetlen. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy egy függvény deriváltját különbségi aránnyal (közelítő érték) helyettesítse:

Ennek eredményeként az f(x) függvény gyökének hozzávetőleges értékét a következő kifejezés határozza meg:

ahol

5. ábra . Newton kétlépéses módszere

A szekáns módszer egy kétlépéses módszer, vagyis egy új közelítéskét korábbi iteráció határozza megés . A módszer két kezdeti találgatást igényelés . A módszer konvergenciája lineáris lesz.

• Vissza
• Előre

Ha megjegyzését szeretné hozzáfűzni a cikkhez, kérjük, regisztráljon az oldalon.

Egy n nemlineáris algebrai vagy transzcendentális egyenletből álló, n alakú ismeretlennel rendelkező egyenletrendszer megoldásának problémája

	f 1(x 1, x 2, ... x n) \u003d 0,
	f 2(x 1, x 2, ... x n) \u003d 0,
	……………………
	f n (x 1 , x 2 ,… x n ) = 0,

széles körben elterjedt a számítási gyakorlatban. Hasonló egyenletrendszerek merülhetnek fel például nemlineáris fizikai rendszerek numerikus szimulációjában, stacionárius állapotaik keresésének szakaszában. Számos esetben a (6.1) formájú rendszereket közvetetten, valamilyen más számítási probléma megoldása során kapjuk meg. Például, amikor megpróbálunk minimalizálni egy több változóból álló függvényt, megkereshetjük azokat a pontokat egy többdimenziós térben, ahol a függvény gradiense nulla. Ebben az esetben meg kell oldani a (6.1) egyenletrendszert a bal oldalakkal, a gradiens vetületeivel a koordinátatengelyekre.

A vektorjelölésben a (6.1) rendszer kompaktabb formában is felírható

a függvények vektoroszlopa, a () T szimbólum a transzpon-

Nemlineáris egyenletrendszerre megoldást találni sokkal nehezebb feladat, mint egyetlen nemlineáris egyenlet megoldása. Mindazonáltal a nemlineáris egyenletek megoldásának számos iteratív módszere kiterjeszthető nemlineáris egyenletrendszerekre is.

Egyszerű iterációs módszer

A nemlineáris egyenletrendszerek egyszerű iterációs módszere lényegében az azonos nevű módszer általánosítása egy egyenletre. Azon alapul, hogy a (6.1) egyenletrendszert a formára redukáljuk

x 1 = g 1 (x 1, x 2, … , x n ) , x 2 = g 2 (x 1, x 2, … , x n ) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

és az iterációkat a képletek szerint hajtjuk végre

x 1 (k + 1) \u003d g 1 (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)), x 2 (k + 1) \u003d g 2 (x 1 (k) ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x n (k + 1 ) = g n (x 1 ( k ), x 2 ( k ), … , x n ( k )).

Itt a felső index a közelítő számot jelöli. Az iteratív folyamat (6.3) némi kezdeti közelítéssel kezdődik

(x 1 (0 ) ,x 2 (0 ) ,… ,x n (0 ) ) és folytassa a növekmény modulokig

az összes argumentum egy k-iteráció után nem lesz kisebb, mint a megadott ε :x i (k + 1 ) − x i (k ) érték< ε дляi = 1,2,… ,n .

Bár az egyszerű iteráció módszere közvetlenül a megoldáshoz vezet, és könnyen programozható, két jelentős hátránya van. Az egyik a lassú konvergencia. A másik, hogy ha a kezdeti közelítést távol választjuk a valódi megoldástól (X 1 ,X 2 ,… ,X n ), akkor a konvergencia

módszer nem garantált. Nyilvánvaló, hogy a kezdeti közelítés megválasztásának problémája, amely még egyetlen egyenlet esetén sem egyszerű, nagyon bonyolulttá válik a nemlineáris rendszerek esetében.

Oldja meg a nemlineáris egyenletrendszert:

	(x...		) =0
F n (x 1...		x n) = 0 .

Az általános nemlineáris rendszerek megoldására nincsenek közvetlen módszerek. A (4.1) rendszer csak bizonyos esetekben oldható meg közvetlenül. Például két egyenlet esetében előfordulhat, hogy az egyik ismeretlent a másikkal fejezzük ki, és így a problémát egy nemlineáris egyenlet megoldására redukáljuk egy ismeretlenhez képest.

Az iteratív módszereket általában nemlineáris egyenletrendszerek megoldására használják.

Newton módszere

Egy F (x) = 0 egyenlet esetén a Newton-módszer algoritmusát könnyen megkaptuk az y = F (x) görbe érintőjének egyenleteinek felírásával. Newton egyenletrendszerekre vonatkozó módszere az F 1 (x 1 ... x n) függvények kibővítésén alapul egy Taylor-sorban, és a következő kifejezéseket tartalmazza:

Minden másodlagos (és magasabb rendű) származékot eldobunk. Legyen a (4.1) rendszer ismeretleneinek közelítő értéke egyenlő

felelősségteljesen a 1 ,a 2 ,.....,a n . A probléma az, hogy meg kell találni a növekményt (by

szerkesztések) ezekre az értékekre	x 1, x 2,...,	x n , ami miatt a rendszer megoldása
a témák a következők lesznek:
x 1 = a 1+ x 1,	x 2 = a 2+	x 2 , .... ,x n = a n + x n .

Bővítsük ki a (4.1) egyenlet bal oldalát egy Taylor-sor kiterjesztésének figyelembevételével, korlátozva magunkat az alábbi lineáris kifejezésekre.

lépésekben:
F1(x1...xn) ≈ F1(a1...an) +	∂ F 1	x 1+		+ ∂ F 1		xn,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) +	∂F2	x 1+			∂F2	xn,
	∂x				∂x
...................................
F n(x 1 ... x n) ≈ F n(a 1 ... a n) +	∂Fn	x 1+			∂Fn	xn .
	∂x				∂x

A (4.1) rendszerbe behelyettesítve a következő lineáris algebrai egyenletrendszert kapjuk a növekményre vonatkozóan:

∂ F 1			∂ F 1			+ ∂ F 1			= -F ,
∂x			∂x			∂x
∂F2			∂F2				∂F2		= -F ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂Fn			∂Fn				∂Fn		= -F .
∂x			∂x				∂x
Értékek F 1...				származékai				számítva

x 2 \u003d a 2, ... x n = n.

A (4.3) rendszer determinánsa a jakobi:

∂ F 1		∂ F 1
∂x		∂x
∂F2		∂F2
J = ∂ x		∂x.

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = a 1,

Ahhoz, hogy a rendszer egyedi megoldása létezzen, a jakobinak minden iterációnál különböznie kell a nullától.

Így az egyenletrendszer Newton-módszerrel történő megoldásának iteratív folyamata abból áll, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásával minden iterációnál meghatározzuk az ismeretlenek értékéhez tartozó x 1 ,x 2, ...,x n növekményt. (4.3). A számlálás leáll, ha minden növekmény abszolút értékben kicsi lesz: maxx i< ε . В ме-

A Newton-módszer fontos a kezdeti közelítés jó megválasztásához is, hogy biztosítsa a jó konvergenciát. A konvergencia a rendszeregyenletek számának növekedésével romlik.

Példaként vegyük fontolóra a Newton-módszer használatát egy két egyenletrendszer megoldására:

∂ ∂ F 1. x

A jobb oldali értékeket x = a , y = b értékkel számoljuk.

Ha a feltételek teljesülnek		y − b		< εи		x − a			adott M esetén, akkor
x és y értékek kerülnek kiadásra,	másképp								kimenet történik
x , y , M .



Kulcsszavak:

Célkitűzés: nemlineáris egyenletek megoldásának módszereit tanulmányozza és kísérleti munkában tesztelje.

Munkafeladatok:

1. A szakirodalom elemzése és a nemlineáris egyenletek megoldásának legracionálisabb módjainak kiválasztása, lehetővé téve minden érettségiző számára, hogy mélyen tanulmányozza és asszimilálja ezt a témát.
2. A nemlineáris egyenletek IKT segítségével történő megoldásának módszertanának néhány aspektusának kidolgozása.
3. Ismerje meg a nemlineáris egyenletek megoldásának módszereit:

‒ Lépésmódszer

‒ Felezési módszer

‒ Newton módszere

Bevezetés.

Matematikai műveltség nélkül lehetetlen sikeresen elsajátítani a fizika, kémia, biológia és egyéb tárgyak problémamegoldó módszereit. A természettudományok egész komplexuma a matematikai ismeretek alapján épül fel és fejlődik. Például a matematikai fizika számos aktuális problémájának tanulmányozása nemlineáris egyenletek megoldásának szükségességéhez vezet. A nemlineáris egyenletek megoldása szükséges a nemlineáris optikában, a plazmafizikában, a szupravezetés elméletében és az alacsony hőmérsékletű fizikában. E témában elegendő mennyiségű szakirodalom áll rendelkezésre, de sok tankönyv és cikk nehezen érthető egy középiskolás számára. Ebben a cikkben olyan nemlineáris egyenletek megoldási módszereket tárgyalunk, amelyek felhasználhatók a fizika és a kémia alkalmazott problémáinak megoldására. Érdekes szempont az információs technológia alkalmazása a matematikai egyenletek és feladatok megoldásában.

lépéses módszer.

Legyen szükséges egy F(x)=0 alakú egyenlet megoldása. Tételezzük fel azt is, hogy adott egy keresési intervallum . Meg kell találni az egyenlet első gyökét tartalmazó h hosszúságú [а,b] intervallumot, a keresési intervallum bal határától kezdve.

Rizs. 1. Lépésmódszer

Egy ilyen probléma megoldásának többféle módja van. A lépéses módszer az egyenlőtlenségek megoldásának numerikus módszerei közül a legegyszerűbb, de a nagy pontosság eléréséhez a lépést jelentősen csökkenteni kell, ez pedig nagymértékben megnöveli a számítási időt. Az egyenletek megoldásának algoritmusa ezzel a módszerrel két szakaszból áll.

énszínpad. Gyökér szakasz.

Ebben a szakaszban szakaszokat határoznak meg, amelyek mindegyikén csak egy gyöke van az egyenletnek. Számos lehetőség van ennek a szakasznak a végrehajtására:

• Behelyettesítjük X értékeit (lehetőleg elég kis lépéssel), és megnézzük, hol vált előjelet a függvény. Ha a függvény előjelet változtatott, ez azt jelenti, hogy van gyök az X előző és aktuális értéke közötti szakaszban (ha a függvény nem változtatja meg a növekedés/csökkenés jellegét, akkor azt lehet mondani, hogy csak egy van gyökér ebben az intervallumban).
• Grafikus módszer. Készítünk egy gráfot, és kiértékeljük, hogy egy gyökér milyen időközönként fekszik.
• Egy adott függvény tulajdonságait vizsgáljuk.

IIszínpad. Gyökér finomítás.

Ebben a szakaszban az egyenlet korábban meghatározott gyökeinek értékét adjuk meg. Ebben a szakaszban általában iteratív módszereket használnak. Például a félosztás módszere (dichotómia) vagy a Newton-módszer.

Félosztásos módszer

Gyors és meglehetősen egyszerű numerikus módszer egyenletek megoldására az F(x) = 0 egyenlet egyedi gyökét tartalmazó intervallum egymás utáni szűkítésén alapuló E pontosság eléréséig Ezt a módszert általában másodfokú egyenletek és egyenletek megoldásánál alkalmazzák. magasabb fokozatú. Ennek a módszernek azonban van egy jelentős hátránya - ha az [a, b] szegmens egynél több gyökeret tartalmaz, akkor nem lehet jó eredményeket elérni segítségével.

Rizs. 2. Dichotómia módszer

Ennek a módszernek az algoritmusa a következő:

– Határozzuk meg az x gyök új közelítését az [a;b] szakasz közepén: x=(a+b)/2.

‒ Keresse meg a függvényértékeket az a és x pontokban: F(a) és F(x).

‒ Ellenőrizze az F(a)*F(x) állapotot

‒ Lépjen az 1. lépésre, és ossza újra ketté a szakaszt. Folytassa az algoritmust az |F(x)| feltételig

Newton módszere

A numerikus megoldási módszerek közül a legpontosabb; nagyon összetett egyenletek megoldására alkalmas, de bonyolítja, hogy minden lépésben deriváltokat kell kiszámítani. az, hogy ha x n valamilyen közelítés az egyenlet gyökéhez , akkor a következő közelítést az f(x) függvény x n pontban húzott érintőjének gyökeként definiáljuk.

Az f(x) függvény érintőjének egyenlete az x n pontban a következőképpen alakul:

Az érintőegyenletben tegyük y \u003d 0 és x \u003d x n +1.

Ekkor a szekvenciális számítások algoritmusa a Newton-módszerben a következő:

A tangens módszer konvergenciája másodfokú, a konvergencia sorrendje 2.

Így a Newton-tangens módszer konvergenciája nagyon gyors.

Változás nélkül a módszert általánosítjuk az összetett esetre. Ha az x i gyök a második multiplicitás gyöke és magasabb, akkor a konvergencia sorrendje leesik és lineárissá válik.

A Newton-módszer hátrányai közé tartozik a lokalitása, mivel csak akkor garantáltan konvergál egy tetszőleges kiindulási közelítésre, ha a feltétel , egyébként csak a gyökér valamely szomszédságában van konvergencia.

A Newton-módszert (tangens módszer) általában akkor használják, ha az egyenlet f(x) = 0 gyökérrel rendelkezik, és a következő feltételek teljesülnek:

1) funkció y=f(x) definiált és folyamatos a ;

2) f(a) f(b) (a függvény különböző előjelű értékeket vesz fel a szegmens végén [ a;b]);

3) származékok f"(x)és f""(x) tartsa a jelet a szegmensen [ a;b] (azaz függvény f(x) vagy nő, vagy csökken a szegmensen [ a;b], miközben megtartja a konvexitás irányát);

A módszer jelentése a következő: az intervallumon [ a;b] ilyen számot választanak x 0, amely alatt f(x0) ugyanaz a jele, mint f""(x0), azaz a feltétel f(x 0) f""(x) > 0. Így egy abszcissza pontot választunk x0, ahol a görbe érintője y=f(x) a szegmensen [ a;b] keresztezi a tengelyt Ökör. Egy pontért x0 Először is célszerű kiválasztani a szegmens egyik végét.

Tekintsük ezt az algoritmust egy konkrét példán.

Adjunk egy növekvő függvényt y = f(x) = x 2–2, folytonos a (0;2) intervallumon, és amelynek f "(x)=2x>0és f ""(x) = 2> 0.

Esetünkben az érintőegyenlet a következőképpen alakul: y-y 0 \u003d 2x 0 (x-x 0). NÁL NÉL pontként x 0 válassz egy pontot B1(b; f(b)) = (2,2). Rajzoljuk a függvény érintőjét y = f(x) a B 1 pontban, és jelölje az érintő és a tengely metszéspontját Ökör pont x 1. Megkapjuk az első érintő egyenletét: y-2=22(x-2), y=4x-6. Ökör: x 1 =

Rizs. 3. Az f(x) függvény gráfjának első érintőjének szerkesztése

y=f(x) Ökör ponton keresztül x 1, pontot kapunk B 2 =(1,5; 0,25). Rajzoljon ismét egy érintőt a függvényhez y = f(x) a B 2 pontban, és jelölje az érintő és a metszéspontját Ökör pont x2.

A második érintő egyenlete: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y=3x-4,25. Az érintő és a tengely metszéspontja Ökör: x 2 =.

Ezután megtaláljuk a függvény metszéspontját y=f(x)és a tengelyre merőleges Ökör az x 2 ponton keresztül megkapjuk a B 3 pontot és így tovább.

Rizs. 4. Az f(x) függvény grafikonjának második érintőjének szerkesztése

A gyökér első közelítését a következő képlet határozza meg:

= 1.5.

A gyökér második közelítését a következő képlet határozza meg:

=

A gyökér harmadik közelítését a következő képlet határozza meg:

Ily módon , i-a gyök közelítését a következő képlet határozza meg:

A számításokat a válaszadáshoz szükséges tizedesjegyekig, vagy a megadott e pontosság eléréséig végzik - az egyenlőtlenség teljesüléséig |xi-xi-1|

Esetünkben hasonlítsuk össze a harmadik lépésben kapott közelítést a valós válasszal. Mint látható, már a harmadik lépésnél 0,000002-nél kisebb hibát kaptunk.

Egyenletmegoldás CAD-velMathCAD

Az alak legegyszerűbb egyenleteire f(x) = 0 a MathCAD-ben a megoldást a függvény segítségével találjuk meg gyökér.

gyökér(f (x 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - értéket ad vissza x 1 szegmenshez tartozó [ a, b ] , amelyben a kifejezés vagy függvény f (x ) 0 lesz. A függvény mindkét argumentumának skalárnak kell lennie. A függvény skalárt ad vissza.

Rizs. 5. Nemlineáris egyenlet megoldása MathCAD-ben (gyökérfüggvény)

Ha hiba történik ennek a függvénynek az alkalmazása következtében, akkor ez azt jelentheti, hogy az egyenletnek nincsenek gyökerei, vagy az egyenlet gyökei messze vannak a kezdeti közelítéstől, a kifejezésnek lokális maxés min a kezdeti közelítés és a gyökök között.

A hiba okának meghatározásához meg kell vizsgálni a függvény grafikonját f(x). Ez segít kideríteni az egyenlet gyökereinek jelenlétét f(x) = 0, és ha igen, akkor határozza meg közelítő értéküket. Minél pontosabban választjuk ki a gyökér kezdeti közelítését, annál gyorsabban találjuk meg a pontos értékét.

Ha a kezdeti közelítés ismeretlen, akkor célszerű a függvényt használni megoldani . Ebben az esetben, ha az egyenlet több változót tartalmaz, akkor a solve kulcsszó után meg kell adni azoknak a változóknak a listáját, amelyekre vonatkozóan az egyenlet megoldódik.

Rizs. 6. Nemlineáris egyenlet megoldása MathCAD-ben (megoldási függvény)

Következtetés

A vizsgálat során mind a matematikai módszereket, mind az egyenletek megoldását CAD MathCAD-ben programozással vették figyelembe. A különböző módszereknek megvannak a maga előnyei és hátrányai. Megjegyzendő, hogy egyik vagy másik módszer alkalmazása az adott egyenlet kezdeti feltételeitől függ. Azokat az egyenleteket, amelyek jól megoldhatók az iskolában ismert faktorizációs módszerekkel stb., nincs értelme bonyolultabb megoldásnak. A fizika és a kémia szempontjából fontos, az egyenletek megoldása során összetett számítási műveleteket igénylő alkalmazott matematikai feladatokat például programozás segítségével lehet sikeresen megoldani. Newton módszerével jól megoldhatók.

A gyökök finomításához több módszert is alkalmazhat ugyanazon egyenlet megoldására. Ez a tanulmány képezte ennek a munkának az alapját. Ugyanakkor könnyen nyomon követhető, hogy az egyenlet egyes szakaszaiban melyik módszer a legsikeresebb, és melyik módszert jobb ebben a szakaszban nem alkalmazni.

A tanult anyag egyrészt hozzájárul a matematikai ismeretek bővítéséhez, elmélyítéséhez, érdeklődést kelt a matematika iránt. Másrészt fontos, hogy a reálmatematika feladatait meg tudják oldani a műszaki-mérnöki szakmát elsajátítók számára. Ezért ez a munka fontos a továbbtanulás szempontjából (például felsőoktatási intézményben).

Irodalom:

1. Mityakov S. N. Informatika. Oktatási és módszertani anyagok komplexuma. - Nyizsnyij Novgorod: Nyizsnyij Novgorod. állapot tech. egyetem, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Nemlineáris egyenletek megoldásainak elágazáselmélete. M.: Nauka, 1969. - 527 p.
3. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematikai kézikönyv a VTU-k mérnökeinek és hallgatóinak - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V.P., Kurbatova E.V. Matematika: tankönyv. - Rostov n / a.: Főnix, 2005.
5. Savin A.P. Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára. - M.: Pedagógia, 1989.
6. Korn G., Korn T. Matematikai kézikönyv tudósok és mérnökök számára. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Szentpétervár: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Felsőfokú matematika a Mathcad alapján. Általános tanfolyam. - Szentpétervár: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Mathcad alapú numerikus módszerek. - Szentpétervár: BHV-Petersburg, 2012.

Kulcsszavak: nemlineáris egyenletek, alkalmazott matematika, MathCAD, Newton-módszer, lépéses módszer, dichotómia módszer..

Megjegyzés: A cikk a nemlineáris egyenletek megoldási módszereinek tanulmányozásával foglalkozik, beleértve a MathCAD számítógépes tervezési rendszert is. A lépéses módszert, a felezési és a Newton-módszert áttekintjük, részletes algoritmusokat adunk ezeknek a módszereknek az alkalmazására, és összehasonlító elemzést végzünk.