Cramer módszere lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására. Cramer szabálya

2. Egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).
3. Gauss-módszer egyenletrendszerek megoldására.

Cramer módszere.

Cramer módszere lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgál ( SLAU).

Képletek egy két változós egyenletrendszer példáján.
Adott: Oldja meg a rendszert Cramer módszerével

A változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:
Keresse meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll. Determinánsok számítása. :

Alkalmazzuk a Cramer-képleteket, és keressük meg a változók értékeit:
És .
1. példa:
Oldja meg az egyenletrendszert:

változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:


Cseréljük le ennek a determinánsnak az első oszlopát a rendszer jobb oldali együtthatók oszlopával, és keressük meg az értékét:

Tegyünk egy hasonló műveletet, cseréljük le az első determináns második oszlopát:

Alkalmazható Cramer képleteiés keresse meg a változók értékét:
És .
Válasz:
Megjegyzés: Ezzel a módszerrel nagyobb méretű rendszerek is megoldhatók.

Megjegyzés: Ha kiderül, hogy , és nem lehet nullával osztani, akkor azt mondják, hogy a rendszernek nincs egyedi megoldása. Ebben az esetben a rendszernek vagy végtelen sok megoldása van, vagy egyáltalán nincs megoldás.

2. példa(végtelen számú megoldás):

Oldja meg az egyenletrendszert:

változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:
Keresse meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll:

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel.

A rendszer egyenletei közül az első egy egyenlőség, amely a változók bármely értékére igaz (mivel a 4 mindig egyenlő 4-gyel). Tehát csak egy egyenlet maradt. Ez a változók közötti kapcsolati egyenlet.
Azt kaptuk, hogy a rendszer megoldása bármely egyenlőséggel összefüggő változó értékpár.
Az általános megoldás így van leírva:
Konkrét megoldásokat úgy határozhatunk meg, hogy y tetszőleges értékét választjuk, és ebből a kapcsolategyenletből x-et számítunk ki.

stb.
Végtelenül sok ilyen megoldás létezik.
Válasz: közös döntés
Privát megoldások:

3. példa(nincs megoldás, a rendszer inkonzisztens):

Oldja meg az egyenletrendszert:

Megoldás:
Keresse meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll:

Nem használhatja a Cramer-képleteket. Oldjuk meg ezt a rendszert helyettesítési módszerrel

A rendszer második egyenlete egy egyenlőség, amely nem érvényes a változók egyetlen értékére sem (persze, mivel a -15 nem egyenlő 2-vel). Ha a rendszer egyik egyenlete nem igaz a változók egyik értékére sem, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Válasz: nincsenek megoldások

A Cramer-módszert olyan lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására használják, amelyekben az ismeretlen változók száma megegyezik az egyenletek számával, és a fő mátrix determinánsa eltér nullától. Ebben a cikkben azt elemezzük, hogyan találhatók meg az ismeretlen változók a Cramer-módszerrel, és képleteket kapunk. Ezt követően példákra térünk, és részletesen ismertetjük a lineáris algebrai egyenletrendszerek Cramer-módszerrel történő megoldását.

Oldalnavigáció.

Cramer-módszer – képletek származtatása.

Alakú lineáris egyenletrendszert kell megoldanunk

Ahol x 1 , x 2 , …, x n ismeretlen változók, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- számszerű együtthatók, b 1 , b 2 , ..., b n - szabad tagok. Az SLAE megoldása egy olyan x 1 , x 2 , …, x n értékhalmaz, amelyre a rendszer összes egyenlete azonossággá alakul.

Mátrix formában ezt a rendszert úgy írhatjuk fel, hogy A ⋅ X = B , ahol - a rendszer fő mátrixa, elemei ismeretlen változók együtthatói, - a mátrix szabad kifejezések oszlopa, és - a mátrix ismeretlen változók oszlopa. Az x 1 , x 2 , …, x n ismeretlen változók megtalálása után a mátrix az egyenletrendszer megoldásává válik, és az A ⋅ X = B egyenlőség azonossággá alakul.

Feltételezzük, hogy az A mátrix nem degenerált, azaz a determinánsa nem nulla. Ebben az esetben a lineáris algebrai egyenletrendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg. (A rendszerek megoldásának módszereit a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása című részben tárgyaljuk).

A Cramer-módszer a mátrixdetermináns két tulajdonságán alapul:

Tehát kezdjük el megkeresni az ismeretlen x 1 változót. Ehhez megszorozzuk a rendszer első egyenletének mindkét részét A 1 1-gyel, a második egyenlet mindkét részét - A 2 1-gyel, és így tovább, az n-edik egyenlet mindkét részét - A n 1-gyel ( azaz megszorozzuk a rendszer egyenleteit az első mátrixoszlop A megfelelő algebrai komplementereivel):

Összeadjuk a rendszer egyenletének bal oldali részét, csoportosítva az ismeretlen változókkal rendelkező x 1, x 2, ..., x n tagokat, és ezt az összeget egyenlővé tesszük az egyenletek jobb oldali részének összegével:

Ha rátérünk a determináns korábban hangoztatott tulajdonságaira, akkor megvan

és az előző egyenlőség azt a formát ölti

ahol

Hasonlóképpen x 2-t találunk. Ehhez megszorozzuk a rendszer egyenleteinek mindkét részét az A mátrix második oszlopának algebrai komplementereivel:

Összeadjuk a rendszer összes egyenletét, csoportosítjuk az ismeretlen változójú tagokat x 1, x 2, ..., x n és alkalmazzuk a determináns tulajdonságait:

Ahol
.

A fennmaradó ismeretlen változókat hasonló módon találjuk meg.

Ha kijelöljük

Akkor kapunk képletek ismeretlen változók megtalálásához a Cramer módszerrel .

Megjegyzés.

Ha a lineáris algebrai egyenletrendszer homogén, azaz , akkor csak triviális megoldása van (for ). Valójában a nulla szabad kifejezések esetében minden meghatározó nullak lesznek, mert null elemekből álló oszlopot fognak tartalmazni. Ezért a képletek adni fog .

Algoritmus lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel.

Írjuk fel algoritmus lineáris algebrai egyenletrendszerek Cramer módszerrel történő megoldására.

Példák lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel.

Nézzünk néhány példát.

Példa.

Keressen megoldást egy inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerre Cramer módszerével .

Megoldás.

A rendszer fő mátrixának alakja . A determinánsát a képlettel számítjuk ki :

Mivel a rendszer fő mátrixának determinánsa nem nulla, az SLAE egyedi megoldással rendelkezik, amely a Cramer módszerrel kereshető meg. Felírjuk a meghatározókat és. A rendszer főmátrixának első oszlopát lecseréljük egy szabad tagok oszlopára, és megkapjuk a determinánst . Hasonlóképpen a főmátrix második oszlopát lecseréljük egy szabad kifejezések oszlopára, és azt kapjuk, hogy .

Kiszámítjuk ezeket a determinánsokat:

Ismeretlen x 1 és x 2 változókat találunk a képletekkel :

Csináljunk egy ellenőrzést. A kapott x 1 és x 2 értékeket behelyettesítjük az eredeti egyenletrendszerbe:

A rendszer mindkét egyenlete azonossággá alakul, így a megoldás helyesen található.

Válasz:

.

A fő SLAE mátrix egyes elemei egyenlőek lehetnek nullával. Ebben az esetben nem lesznek megfelelő ismeretlen változók a rendszer egyenleteiben. Vegyünk egy példát.

Példa.

Keressen megoldást egy lineáris egyenletrendszerre Cramer módszerével .

Megoldás.

Írjuk át a rendszert a formába hogy lássuk a rendszer fő mátrixát . Keresse meg a determinánsát a képlet alapján

Nekünk van

A fő mátrix determinánsa eltér a nullától, ezért a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van. Keressük meg Cramer módszerével. Számítsa ki a determinánsokat! :

És így,

Válasz:

Az ismeretlen változók megnevezése a rendszer egyenleteiben eltérhet x 1, x 2, …, x n-től. Ez nem befolyásolja a döntési folyamatot. De a rendszer egyenleteiben az ismeretlen változók sorrendje nagyon fontos a fő mátrix és a Cramer-módszer szükséges determinánsainak összeállításakor. Magyarázzuk meg ezt a pontot egy példával.

Példa.

Cramer módszerével keress megoldást egy három lineáris algebrai egyenletrendszerre három ismeretlenben .

Megoldás.

Ebben a példában az ismeretlen változóknak más a jelölése (x , y és z x 1 , x 2 és x 3 helyett). Ez nem befolyásolja a megoldás menetét, de ügyeljünk a változók jelölésére. NE vegye a rendszer fő mátrixának . Először a rendszer összes egyenletében meg kell rendezni az ismeretlen változókat. Ehhez átírjuk az egyenletrendszert így . Most már jól látható a rendszer fő mátrixa . Számítsuk ki a determinánsát:

A fő mátrix determinánsa eltér nullától, ezért az egyenletrendszernek egyedi megoldása van. Keressük meg Cramer módszerével. Írjuk fel a meghatározókat (ügyeljen a jelölésre), és számítsa ki őket:

Továbbra is meg kell találni az ismeretlen változókat a képletekkel :

Csináljunk egy ellenőrzést. Ehhez megszorozzuk a fő mátrixot a kapott megoldással (ha szükséges, lásd a részt):

Ennek eredményeként az eredeti egyenletrendszer szabad tagjainak oszlopát kaptuk, így a megoldást helyesen találtuk meg.

Válasz:

x = 0, y = -2, z = 3.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Cramer-módszerrel , ahol a és b néhány valós szám.

Megoldás.

Válasz:

Példa.

Keress megoldást az egyenletrendszerre! Cramer módszere egy valós szám.

Megoldás.

Számítsuk ki a rendszer főmátrixának determinánsát: . a kifejezéseknek van intervallumuk, tehát bármilyen valós érték esetén. Ezért az egyenletrendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg. Kiszámoljuk és:

Mód KramerÉs Gauss-féle az egyik legnépszerűbb megoldás SLAU. Ezenkívül bizonyos esetekben célszerű speciális módszereket alkalmazni. A munkamenet lezárult, és itt az ideje, hogy megismételje vagy elsajátítsa őket a semmiből. Ma a megoldással Cramer módszerrel foglalkozunk. Végül is egy lineáris egyenletrendszer Cramer módszerével való megoldása nagyon hasznos készség.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek

A lineáris algebrai egyenletrendszer a következő alakú egyenletrendszer:

Értékkészlet x , amelynél a rendszer egyenletei azonosságokká alakulnak, a rendszer megoldásának nevezzük, a És b valós együtthatók. Egy egyszerű rendszer, amely két egyenletből áll, két ismeretlennel, megoldható fejben vagy úgy, hogy az egyik változót a másikkal fejezzük ki. De az SLAE-ben kettőnél több változó (x) is lehet, és az egyszerű iskolai manipulációk itt nélkülözhetetlenek. Mit kell tenni? Például oldja meg a SLAE-t Cramer módszerével!

Tehát legyen a rendszer n egyenletek n ismeretlen.

Egy ilyen rendszer átírható mátrix formában

Itt A a rendszer fő mátrixa, x És B , illetve ismeretlen változók és szabad tagok oszlopmátrixai.

SLAE megoldás Cramer módszerével

Ha a fő mátrix determinánsa nem egyenlő nullával (a mátrix nem szinguláris), a rendszer Cramer módszerrel megoldható.

A Cramer-módszer szerint a megoldást a következő képletekkel találjuk meg:

Itt delta a fő mátrix meghatározója, és delta x n-edik - a fő mátrix determinánsából nyert determináns az n-edik oszlop szabad tagok oszlopával való helyettesítésével.

Ez a lényege Cramer módszerének. A talált értékek behelyettesítése a fenti képletekkel x a kívánt rendszerbe, meggyõzõdünk megoldásunk helyességérõl (vagy fordítva). A lényeg gyors megértése érdekében az alábbiakban egy példát mutatunk be az SLAE Cramer módszerrel történő részletes megoldására:

Még ha elsőre nem is sikerül, ne csüggedj! Egy kis gyakorlással a LASSÚ-t úgy kezdesz durrogtatni, mint a diót. Sőt, most már végképp nem szükséges egy notebook fölött pórul járni, nehézkes számításokat megoldani és a rúdra írni. Könnyen megoldható a SLAE a Cramer módszerrel online, csak az együtthatók behelyettesítésével a kész formába. Ezen az oldalon kipróbálhatja például a Cramer-módszer megoldására szolgáló online számológépet.

És ha a rendszer makacsnak bizonyult, és nem adja fel, mindig fordulhat szerzőinkhez segítségért, például. Ha legalább 100 ismeretlen van a rendszerben, azt biztosan korrektül és időben megoldjuk!

Cramer módszere a determinánsok felhasználásán alapul lineáris egyenletrendszerek megoldásában. Ez nagymértékben felgyorsítja a megoldási folyamatot.

A Cramer-módszerrel annyi lineáris egyenletből álló rendszert lehet megoldani, ahány egyenletben ismeretlen van. Ha a rendszer determinánsa nem egyenlő nullával, akkor Cramer módszere használható a megoldásban, ha egyenlő nullával, akkor nem. Ezenkívül a Cramer-módszer használható olyan lineáris egyenletrendszerek megoldására is, amelyek egyedi megoldással rendelkeznek.

Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst a rendszer determinánsának nevezzük, és (delta) jelöljük.

Meghatározók

úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő ismeretleneknél lévő együtthatókat szabad kifejezésekkel helyettesítjük:

;

.

Cramer tétele. Ha a rendszer determinánsa nem nulla, akkor a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, és az ismeretlen egyenlő a determinánsok arányával. A nevező a rendszer determinánsa, a számláló pedig az a determináns, amelyet a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy az együtthatókat az ismeretlennel szabad tagokkal helyettesítjük. Ez a tétel tetszőleges sorrendű lineáris egyenletrendszerre érvényes.

1. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert:

Alapján Cramer tétele nekünk van:

Tehát a (2) rendszer megoldása:

online számológép, Cramer megoldási módszere.

Három eset a lineáris egyenletrendszerek megoldásában

Amint az ebből látszik Cramer tételei lineáris egyenletrendszer megoldása során három eset fordulhat elő:

Első eset: a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van

(a rendszer következetes és határozott)

Második eset: a lineáris egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van

(a rendszer konzisztens és határozatlan)

** ,

azok. az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatói arányosak.

Harmadik eset: a lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása

(rendszer inkonzisztens)

Tehát a rendszer m lineáris egyenletek -val n változókat nevezzük összeegyeztethetetlen ha nincs megoldása, és közös ha van legalább egy megoldása. Olyan közös egyenletrendszert nevezünk, amelynek csak egy megoldása van bizonyos, és több bizonytalan.

Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel

Hagyja a rendszert

.

Cramer tétele alapján

………….
,

Ahol
-

rendszerazonosító. A fennmaradó determinánsokat úgy kapjuk meg, hogy az oszlopot a megfelelő változó (ismeretlen) együtthatóival szabad tagokkal helyettesítjük:

2. példa

.

Ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk a determinánsokat

A Cramer-képletekkel a következőket találjuk:

Tehát (1; 0; -1) az egyetlen megoldás a rendszerre.

A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.

Ha a lineáris egyenletrendszerben egy vagy több egyenletben nincsenek változók, akkor a determinánsban a hozzájuk tartozó elemek nullával egyenlők! Ez a következő példa.

3. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:

.

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Nézze meg figyelmesen az egyenletrendszert és a rendszer determinánsát, és ismételje meg a választ arra a kérdésre, hogy mely esetekben egyenlő a determináns egy vagy több eleme nullával! Tehát a determináns nem egyenlő nullával, ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait

A Cramer-képletekkel a következőket találjuk:

Tehát a rendszer megoldása (2; -1; 1).

A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.

Lap teteje

Továbbra is közösen oldjuk meg a rendszereket a Cramer módszerrel

Mint már említettük, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, és az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, akkor a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Szemléltessük a következő példával.

6. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

A rendszer determinánsa nulla, ezért a lineáris egyenletrendszer vagy inkonzisztens és határozott, vagy inkonzisztens, azaz nincs megoldása. Az egyértelműség kedvéért kiszámítjuk az ismeretlenek meghatározóit

Az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, ezért a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása.

A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.

A lineáris egyenletrendszerekkel kapcsolatos feladatokban vannak olyanok is, ahol a változókat jelölő betűk mellett más betűk is vannak. Ezek a betűk valamilyen számot jelölnek, leggyakrabban valós számot. A gyakorlatban az ilyen egyenletek és egyenletrendszerek problémákhoz vezetnek bármely jelenség és objektum általános tulajdonságainak megtalálása során. Vagyis feltaláltál valami új anyagot vagy eszközt, és annak leírásához, amelyek mérettől, példányszámtól függetlenül általánosak, meg kell oldanod egy lineáris egyenletrendszert, ahol a változókhoz tartozó együtthatók helyett betűk vannak. Nem kell messzire keresni a példákat.

A következő példa egy hasonló problémára vonatkozik, csak a valós számot jelölő egyenletek, változók és betűk száma nő.

8. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Determinánsok keresése ismeretlenekre