Ha a mutatók azonosak, de az alapok eltérőek. lecke "a hatáskörök szorzása és megosztása"

Minden egyes aritmetikai művelet néha túl nehézkessé válik a rögzítéshez, és megpróbálják leegyszerűsíteni. Régebben az összeadási művelettel is így volt. Szükséges volt, hogy az emberek ugyanazt a típust ismételten kiegészítsék, például kiszámolják száz perzsa szőnyeg költségét, amelyek költsége mindegyikért 3 arany. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. A terjedelmesség miatt úgy gondolták, hogy a jelölést 3 * 100 = 300-ra csökkentik. Valójában a „háromszor száz” jelölés azt jelenti, hogy fel kell venni száz hármast, és összeadjuk őket. A szorzás gyökeret vert, általános népszerűségre tett szert. De a világ nem áll meg, és a középkorban szükségessé vált az azonos típusú többszörözés elvégzése. Emlékszem egy régi indiai rejtvényre egy bölcsről, aki a következő mennyiségben kért búzaszemeket az elvégzett munka jutalmaként: a sakktábla első cellájáért egy szem, a másodikért kettőt, a harmadikért négyet kért, az ötödik - nyolc, és így tovább. Így jelent meg a hatványok első szorzata, mert a szemek száma a sejtszám hatványának kettővel egyenlő volt. Például az utolsó cellában 2*2*2*…*2 = 2^63 szem lenne, ami egy 18 karakter hosszú számnak felel meg, ami valójában a rejtvény jelentése.

A hatványra emelés művelete meglehetősen gyorsan meghonosodott, és gyorsan szükségessé vált a fokszámok összeadása, kivonása, osztása és szorzása is. Ez utóbbit érdemes részletesebben megfontolni. A képességek hozzáadásának képlete egyszerű és könnyen megjegyezhető. Ezen kívül nagyon könnyen érthető, hogy honnan származnak, ha a teljesítményműveletet szorzás váltja fel. De először meg kell értened az elemi terminológiát. Az a ^ b kifejezés (olvassa az "a-t b hatványára") azt jelenti, hogy az a számot meg kell szorozni önmagával b-szer, és "a"-t a fokszám alapjának, a "b"-t pedig a kitevőnek nevezik. Ha a hatványok alapjai megegyeznek, akkor a képleteket egészen egyszerűen levezetjük. Konkrét példa: keresse meg a 2^3 * 2^4 kifejezés értékét. Ahhoz, hogy megtudja, mi történjen, a megoldás megkezdése előtt meg kell találnia a választ a számítógépen. Ha beírja ezt a kifejezést bármely online számológépbe, keresőmotorba, beírja a "hatványok szorzása különböző alapokkal és azonos" vagy egy matematikai csomagot, a kimenet 128 lesz. Most írjuk ezt a kifejezést: 2^3 = 2*2*2, és 2^4 = 2 *2*2*2. Kiderült, hogy 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Kiderül, hogy az azonos bázisú hatványok szorzata egyenlő az előző két hatvány összegével egyenlő hatványra emelt bázissal.

Azt gondolhatnánk, hogy ez véletlen, de nem: minden más példa csak megerősítheti ezt a szabályt. Így általában a képlet így néz ki: a^n * a^m = a^(n+m) . Van egy szabály, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel. Itt emlékeznünk kell a negatív hatványok szabályára: a^(-n) = 1 / a^n. Vagyis ha 2^3 = 8, akkor 2^(-3) = 1/8. Ezzel a szabállyal igazolhatjuk az a^0 = 1 egyenlőséget: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) redukálható és egy marad. Ebből adódik az a szabály, hogy az azonos bázisú hatványok hányadosa ezzel az alappal egyenlő az osztó és osztó hányadosával egyenlő mértékben: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Példa: Egyszerűsítse a 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) kifejezést. A szorzás kommutatív művelet, ezért először össze kell adni a szorzási kitevőket: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Ezután foglalkoznia kell a negatív fokkal való felosztással. Az osztó kitevőt ki kell vonni az osztó kitevőből: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Kiderül, hogy a negatív fokozattal való osztás művelete megegyezik a hasonló pozitív kitevővel való szorzás műveletével. Tehát a végső válasz a 8.

Vannak példák arra, hogy a hatalom nem kanonikus megszorzása történik. A hatványok különböző alapokkal való szorzása gyakran sokkal nehezebb, sőt néha lehetetlen. Számos példát kell felhozni a különféle lehetséges megközelítésekre. Példa: egyszerűsítse a 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 kifejezést. Nyilvánvalóan létezik a hatványok szorzása különböző alapokon. De meg kell jegyezni, hogy minden bázis egy hármas különböző hatványa. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Az (a^n) ^m = a^(n*m) szabályt használva a kifejezést kényelmesebb formában kell átírnia: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Válasz: 3^11. Azokban az esetekben, ahol különböző alapok vannak, az a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n szabály egyenlő mutatókra érvényes. Például 3^3 * 7^3 = 21^3. Ellenkező esetben, ha különböző alapok és mutatók vannak, lehetetlen teljes szorzást végezni. Néha részben egyszerűsítheti vagy igénybe veheti a számítástechnikát.

Hatványképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a mikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat azonos alappal szorozva a mutatóik összeadódnak:

a ma n = a m + n.

2. Az azonos bázisú fokok felosztásánál mutatóikat levonjuk:

3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokszámainak szorzatával:

(abc…) n = a n b n c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n / b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(am) n = a m n .

Minden fenti képlet helyes a balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Az arány gyöke egyenlő az osztalék és a gyökosztó arányával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökér számot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeljük a gyökér fokát be n egyszer és egyben emelni to n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkentjük n root egyidejűleg n fokot a gyökszámtól, akkor a gyök értéke nem változik:

Fok negatív kitevővel. A nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám fokszámát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám fokszámával, amelynek kitevője megegyezik a nem pozitív kitevő abszolút értékével:

Képlet a m:a n = a m - n nem csak arra használható m> n, hanem at m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n = a m - n tisztességessé vált m=n, szükség van a nulla fok jelenlétére.

Fok nulla kitevővel. Bármely nullától eltérő, nulla kitevővel rendelkező szám hatványa egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Valós szám emelésére a bizonyos mértékig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m ennek a számnak a hatványa a.

A matematikai diploma fogalmát már a 7. osztályban bemutatják egy algebra órán. És a jövőben, a matematika tanulmányozása során, ezt a fogalmat aktívan használják különféle formáiban. A diploma meglehetősen nehéz téma, amely megköveteli az értékek memorizálását, valamint a helyes és gyors számolás képességét. A matematikai diplomákkal való gyorsabb és jobb munka érdekében kitalálták a fokozat tulajdonságait. Segítenek csökkenteni a nagy számításokat, egy hatalmas példát bizonyos mértékig egyetlen számmá alakítani. Nincs olyan sok tulajdonság, és mindegyik könnyen megjegyezhető és a gyakorlatban alkalmazható. Ezért a cikk tárgyalja a diploma főbb tulajdonságait, valamint azt, hogy hol alkalmazzák őket.

fok tulajdonságait

Egy fok 12 tulajdonságát fogjuk figyelembe venni, beleértve az azonos bázisú hatványok tulajdonságait is, és mindegyik tulajdonságra példát adunk. Ezen tulajdonságok mindegyike segít a fokozatokkal kapcsolatos problémák gyorsabb megoldásában, és megóvja Önt számos számítási hibától.

1. ingatlan.

Sokan nagyon gyakran megfeledkeznek erről a tulajdonságról, hibáznak, egy számot nulla fokig nullának ábrázolva.

2. ingatlan.

3. ingatlan.

Emlékeztetni kell arra, hogy ez a tulajdonság csak számok szorzásakor használható, összeggel nem működik! És nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy ez és a következő tulajdonságok csak az azonos bázisú hatványokra vonatkoznak.

4. ingatlan.

Ha a nevezőben lévő számot negatív hatványra emeljük, akkor kivonáskor a nevező foka kerül zárójelbe, hogy a további számításokban helyesen cserélje ki az előjelet.

A tulajdonság csak osztásnál működik, kivonásnál nem!

5. ingatlan.

6. ingatlan.

Ez a tulajdonság fordítva is alkalmazható. Egy számmal bizonyos mértékig osztva az a szám negatív hatványa.

7. ingatlan.

Ez a tulajdonság összegre és különbözetre nem alkalmazható! Ha összeget vagy különbséget hatványra emelünk, akkor a rövidített szorzóképleteket használjuk, nem a hatvány tulajdonságait.

8. ingatlan.

9. ingatlan.

Ez a tulajdonság bármely tört fokra működik, amelynek számlálója eggyel egyenlő, a képlet ugyanaz lesz, csak a gyök foka változik a fok nevezőjétől függően.

Ezenkívül ezt a tulajdonságot gyakran fordított sorrendben használják. Egy szám tetszőleges hatványának gyökere ábrázolható úgy, hogy ez a szám az egy hatványa osztva a gyök hatványával. Ez a tulajdonság nagyon hasznos azokban az esetekben, amikor a szám gyökerét nem nyerik ki.

10. ingatlan.

Ez a tulajdonság nem csak a négyzetgyökkel és a másodfokkal működik. Ha a gyökér foka és a gyökér emelésének foka megegyezik, akkor a válasz radikális kifejezés lesz.

11. ingatlan.

Ezt az ingatlant a megoldáskor időben látnia kell, hogy megkímélje magát a hatalmas számításoktól.

12. ingatlan.

Ezen tulajdonságok mindegyike többször találkozik a feladatokban, megadható tiszta formában, vagy szükség lehet néhány átalakításra és más képletek alkalmazására. Ezért a helyes megoldáshoz nem elég csak a tulajdonságokat ismerni, a többi matematikai tudást gyakorolni és összekapcsolni kell.

A fokok alkalmazása és tulajdonságaik

Aktívan használják az algebrában és a geometriában. A matematika szaknak külön, fontos helye van. Segítségükkel exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek oldódnak meg, valamint a hatványok gyakran bonyolítják a matematika más részeivel kapcsolatos egyenleteket és példákat. A kitevők segítenek elkerülni a nagy és hosszú számításokat, egyszerűbb a kitevők csökkentése és kiszámítása. De ahhoz, hogy nagy vagy nagyszámú hatványokkal dolgozhasson, nemcsak a fokozat tulajdonságait kell ismernie, hanem hozzáértően kell dolgoznia az alapokkal, képesnek kell lennie lebontani őket, hogy megkönnyítse a feladatát. A kényelem kedvéért ismernie kell a hatványra emelt számok jelentését is. Ez csökkenti a megoldásra fordított időt, mivel nincs szükség hosszú számításokra.

A logaritmusban kiemelt szerepet játszik a fok fogalma. Mivel a logaritmus lényegében egy szám hatványa.

A hatványhasználat másik példája a rövidített szorzóképletek. A fokok tulajdonságait nem használhatják, speciális szabályok szerint bontják, de minden rövidített szorzóképletben változatlanul vannak fokok.

A diplomákat a fizikában és a számítástechnikában is aktívan használják. Az SI-rendszerbe történő minden fordítás fokozatok felhasználásával történik, és a jövőben a feladatok megoldásánál a fokozat tulajdonságait alkalmazzák. A számítástechnikában a kettő hatványait aktívan használják a számolás megkönnyítése és a számok érzékelésének egyszerűsítése érdekében. További számítások a mértékegységek átszámítására vagy a feladatok számításaira, csakúgy, mint a fizikában, a fok tulajdonságainak felhasználásával történnek.

A fokok nagyon hasznosak a csillagászatban is, ahol ritkán találkozhatunk a fokok tulajdonságaival, de magukat a fokokat aktívan használják a különféle mennyiségek és távolságok rögzítésének lerövidítésére.

A fokokat a mindennapi életben is használják, a területek, térfogatok, távolságok kiszámításakor.

A fokozatok segítségével nagyon nagy és nagyon kicsi értékeket írnak le bármely tudományterületen.

exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek

A fokozattulajdonságok éppen az exponenciális egyenletekben és egyenlőtlenségekben foglalnak el különleges helyet. Ezek a feladatok nagyon gyakoriak mind az iskolai tanfolyamon, mind a vizsgákon. Mindegyiket a fokozat tulajdonságainak alkalmazásával oldjuk meg. Az ismeretlen mindig magában a fokban van, ezért az összes tulajdonság ismeretében nem lesz nehéz megoldani egy ilyen egyenletet vagy egyenlőtlenséget.

Az utolsó oktatóvideóban megtudtuk, hogy egy bizonyos bázis foka egy olyan kifejezés, amely az alap és önmagának a szorzata, a kitevővel egyenlő mennyiségben. Vizsgáljuk meg most az erők legfontosabb tulajdonságait és műveleteit.

Például szorozzunk meg két különböző hatványt ugyanazzal az alappal:

Nézzük meg ezt a darabot teljes egészében:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ennek a kifejezésnek az értékét kiszámítva a 32-es számot kapjuk. Másrészt, amint az ugyanabból a példából látható, a 32 ábrázolható ugyanannak a bázisnak (kettőnek) szorzataként, ötször felvéve. És valóban, ha számolunk, akkor:

Így nyugodtan levonható a következtetés, hogy:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ez a szabály sikeresen működik minden indikátorra és bármilyen alapra. A fokozat szorzásának ez a tulajdonsága a kifejezések jelentésének megőrzésének szabályából következik a szorzatban történő átalakítások során. Bármely a bázisra két (a) x és (a) y kifejezés szorzata egyenlő a (x + y). Más szóval, ha bármilyen azonos bázisú kifejezést állítunk elő, a végső monom teljes foka az első és a második kifejezés fokszámának összeadásával keletkezik.

A bemutatott szabály több kifejezés szorzásakor is remekül működik. A fő feltétel az, hogy az alapok mindegyike azonos legyen. Például:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Lehetetlen a fokozatok összeadása, és általában bármilyen hatalmi együttes akció végrehajtása a kifejezés két elemével, ha ezek alapjai eltérőek.
Ahogy videónk is mutatja, a szorzási és osztási folyamatok hasonlósága miatt a szorzat során a hatványösszeadás szabályai tökéletesen átkerülnek az osztási eljárásba. Tekintsük ezt a példát:

Végezzük el a kifejezést tagonkénti transzformációval teljes formává, és csökkentsük ugyanazokat az elemeket az osztóban és az osztóban:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ennek a példának a végeredménye nem annyira érdekes, mert már a megoldása során kiderül, hogy a kifejezés értéke egyenlő a kettő négyzetével. És ez a kettes, amelyet úgy kapunk, hogy kivonjuk a második kifejezés mértékét az első mértékéből.

A hányados mértékének meghatározásához ki kell vonni az osztó mértékét az osztalék mértékéből. A szabály ugyanazon az alapon működik minden értékére és minden természeti erejére. Absztrakt formában a következőkkel rendelkezünk:

(a) x / (a) y = (a) x - y

A nulla fok definíciója az azonos bázisok hatványokkal való osztásának szabályából következik. Nyilvánvaló, hogy a következő kifejezés:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Másrészt, ha vizuálisabb módon osztjuk el, a következőket kapjuk:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Egy tört összes látható elemének redukálásakor mindig az 1/1 kifejezést kapjuk, azaz egyet. Ezért általánosan elfogadott, hogy bármely nulla hatványra emelt bázis egyenlő eggyel:

Függetlenül attól, hogy a.

Azonban abszurd lenne, ha a 0 (ami még mindig 0-t ad minden szorzásnál) valahogy egyenlő lenne eggyel, így egy olyan kifejezésnek, mint a (0) 0 (nulla a nulla fokig) egyszerűen nincs értelme, és az (a) képlet 0 = 1 adjunk hozzá egy feltételt: "ha a nem egyenlő 0-val".

Végezzük el a gyakorlatot. Keressük meg a kifejezés értékét:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Mivel a bázis mindenhol ugyanaz, és egyenlő 34-gyel, a végső érték ugyanazt a bázist kapja egy fokozattal (a fenti szabályok szerint):

Más szavakkal:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Válasz: A kifejezés egyenlő eggyel.