A függvények extrém, maximum és minimális értékei. Címke: helyi extrémum

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Azt mondják, hogy $f$-nak van helyi maximum a $x_(0) \in E$ pontban, ha létezik a $x_(0)$ pontnak olyan $U$ szomszédsága, hogy minden $x \in U$-ban a $f\left(x\right) egyenlőtlenség \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

A helyi maximumot nevezzük szigorú , ha a $U$ szomszédság úgy választható meg, hogy minden $x \in U$-ban, amely különbözik $x_(0)$-tól, $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Meghatározás
Legyen $f$ egy valós függvény egy $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Azt mondják, hogy $f$-nak van helyi minimum a $x_(0) \in E$ pontban, ha létezik a $x_(0)$ pontnak olyan $U$ szomszédsága, hogy minden $x \in U$-ban a $f\left(x\right) egyenlőtlenség \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

A helyi minimumot szigorúnak mondjuk, ha a $U$ szomszédság úgy választható, hogy minden $x \in U$ különbözik $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_) ( 0)\jobbra)$.

A lokális szélsőség egyesíti a lokális minimum és a lokális maximum fogalmát.

Tétel (a differenciálható függvény szélsőértékének szükséges feltétele)
Legyen $f$ egy valós függvény egy $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Ha az $x_(0) \in E$ pontban a $f$ függvénynek ezen a ponton is van lokális szélsőértéke, akkor a $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Az egyenlőség a nullával egyenlő azzal a ténnyel, hogy mindegyik egyenlő nullával, azaz. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Egydimenziós esetben ez . Jelölje $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, ahol a $h$ egy tetszőleges vektor. A $\phi$ függvény kellően kicsi $t$ moduloértékekhez van definiálva. Ezen túlmenően a tekintetében differenciálható, és $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Legyen $f$ helyi maximuma x $0$. Ezért a $\phi$ függvénynek $t = 0$-nál van egy lokális maximuma, és Fermat tétele szerint $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Tehát azt kaptuk, hogy $df \left(x_(0)\right) = 0$, azaz. a $f$ függvény a $x_(0)$ pontban bármely $h$ vektoron egyenlő nullával.

Meghatározás
Azok a pontok, ahol a differenciál egyenlő nullával, azaz. azokat, amelyekben minden parciális derivált nulla, stacionáriusnak nevezzük. kritikus pontok Az $f$ függvények azok a pontok, ahol az $f$ nem differenciálható, vagy egyenlő nullával. Ha a pont stacionárius, akkor ebből még nem következik, hogy a függvénynek ezen a ponton van szélsősége.

1. példa
Legyen $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Ezután $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tehát a $\left(0,0\right)$ stacionárius pont, de a függvénynek ezen a ponton nincs extrémuma. Valójában $f \left(0,0\right) = 0$, de könnyen belátható, hogy a $\left(0,0\right)$ pont bármely környezetében a függvény pozitív és negatív értékeket is felvesz.

2. példa
A $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ függvény koordinátáinak origója stacionárius pont, de jól látható, hogy ezen a ponton nincs szélsőség.

Tétel (elegendő feltétel egy szélsőséghez).
Legyen egy $f$ függvény kétszer folytonosan differenciálható egy $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Legyen $x_(0) \in E$ egy állópont, és $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Akkor

1. ha $Q_(x_(0))$ értéke, akkor a $x_(0)$ pontban lévő $f$ függvénynek van egy lokális szélsőértéke, azaz a minimum, ha az alak pozitív-határozott, és a maximum, ha az alak negatív-határozott;
2. ha a $Q_(x_(0))$ másodfokú alak határozatlan, akkor a $x_(0)$ pontban lévő $f$ függvénynek nincs szélsőértéke.

Használjuk a Taylor-képlet szerinti bővítést (12,7 p. 292) . Figyelembe véve, hogy a $x_(0)$ pont elsőrendű parciális deriváltjai nullával egyenlőek, a következőt kapjuk: $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ részleges x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ ahol $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, és $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ esetén, akkor a jobb oldal pozitív minden kellően kis hosszúságú $h$ vektorra.
Így arra a következtetésre jutottunk, hogy a $x_(0)$ pont valamelyik szomszédságában teljesül a $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ egyenlőtlenség, ha csak $ x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\jobbra tesszük). Ez azt jelenti, hogy a $x_(0)$ pontban a függvénynek szigorú lokális minimuma van, így tételünk első része bizonyítást nyer.
Tegyük fel, hogy a $Q_(x_(0))$ egy határozatlan alak. Ezután vannak $h_(1)$, $h_(2)$ vektorok úgy, hogy $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Ekkor megkapjuk a $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Elég kicsi $t>0$ esetén a jobb oldal pozitív. Ez azt jelenti, hogy a $x_(0)$ pont bármely környezetében a $f$ függvény a $f \left(x\right)$ értéket nagyobb, mint $f \left(x_(0)\right)$.
Hasonlóképpen megkapjuk, hogy a $x_(0)$ pont bármely környezetében a $f$ függvény kisebb értékeket vesz fel, mint $f \left(x_(0)\right)$. Ez az előzővel együtt azt jelenti, hogy a $f$ függvénynek nincs extrémuma a $x_(0)$ pontban.

Tekintsük ennek a tételnek egy sajátos esetét egy $f \left(x,y\right)$ függvényre, amely két olyan változóból áll, amely a $\left(x_(0),y_(0)\right) pont valamelyik szomszédságában van definiálva. $ és az első és másodrendű folyamatos parciális deriváltjaival. Legyen $\left(x_(0),y_(0)\right)$ egy állópont, és legyen $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\jobbra), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Ekkor az előző tétel a következő alakot veszi fel.

Tétel
Legyen $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Akkor:

1. ha $\Delta>0$, akkor a $f$ függvénynek van egy lokális szélsőértéke a $\left(x_(0),y_(0)\right)$ pontban, azaz minimum, ha $a_(11)> 0$ , és maximum, ha $a_(11)<0$;
2. ha $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Példák problémamegoldásra

Algoritmus sok változó függvényének szélsőértékének megtalálására:

1. Helyhez kötött pontokat találunk;
2. A 2. rendű differenciált minden stacionárius pontban megtaláljuk
3. A több változóból álló függvény extrémumának elégséges feltételét felhasználva minden stacionárius pontban figyelembe vesszük a másodrendű differenciált

1. Vizsgáljuk meg a függvényt a $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ szélső értékig.
   Megoldás

   Keresse meg az 1. sorrendű részleges származékait: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Állítsa össze és oldja meg a rendszert: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(esetek)$$ A 2. egyenletből a következőt fejezzük ki: $x=4 \cdot y^(2)$ – az 1. egyenlet behelyettesítése: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ jobb )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Ennek eredményeként 2 stacionárius pontot kapunk:
   1) $y=0 \jobbra nyíl x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Ellenőrizzük az elégséges extrémum feltétel teljesülését:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) $M_(1)= \left(0,0\right)$ ponthoz:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) A $M_(2)$ ponthoz:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, tehát van egy szélsőérték a $M_(2)$ pontban, és mivel $A_(2)>0 $, akkor ez a minimum.
   Válasz: A $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ pont a $f$ függvény minimális pontja.
   

2. Vizsgálja meg a $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ szélsőség függvényét.
   Megoldás

   Állandó pontok keresése: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Állítsa össze és oldja meg a rendszert: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Jobbra \begin(esetek)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek) y = 2\\y + x = 1\end(esetek) \Jobbra x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ egy állópont.
   Ellenőrizzük az elegendő extrémum feltétel teljesülését: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Válasz: nincsenek szélsőségek.
   

Időkorlát: 0

Navigáció (csak munkaszámok)

4 feladatból 0 teljesítve

Információ

Töltsd ki ezt a kvízt, hogy teszteld tudásodat az imént olvasott témában, a helyi szélsőséges függvények sok változóban.

Korábban már letetted a tesztet. Nem futtathatja újra.

A teszt betöltődik...

A teszt elindításához be kell jelentkeznie vagy regisztrálnia kell.

Ennek elindításához el kell végeznie a következő teszteket:

eredmények

Helyes válaszok: 0 a 4-ből

A te időd:

Lejárt az idő

0 pontból 0 pontot ért el (0 )

Pontszámod felkerült a ranglistára

1. Egy válasszal
2. Kijelentkezett

4/1. feladat

1 .

Pontok száma: 1

Vizsgálja meg a $f$ függvényt a szélsőségekre: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Helyesen


Nem megfelelően


1. 4/2. feladat

   2 .

   Pontok száma: 1

   A függvény $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Extrémek

Funkció extrémum

Az extrémum definíciója

Funkció y = f(x)-t hívjuk növekvő (fogyó) valamilyen intervallumban, ha x 1-re< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Ha egy y \u003d f (x) differenciálható függvény egy szakaszon növekszik (csökken), akkor a deriváltja ezen az f szegmensen " (x )> 0

(f"(x)< 0).

Pont x ról ről hívott helyi maximum pont (minimális) az f (x ) függvénynek, ha van a pont szomszédsága x o, amelynek minden pontjára az f (x) egyenlőtlenség≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

A maximum és minimum pontokat hívjuk szélsőséges pontok, és a függvény értékei ezeken a pontokon az ő szélsőséges.

szélsőséges pontok

Az extrémumhoz szükséges feltételek . Ha pont x ról ről az f (x) függvény szélsőpontja, akkor vagy f " (x o ) = 0 vagy f(x o ) nem létezik. Az ilyen pontokat ún kritikai, ahol maga a függvény van definiálva a kritikus pontban. Egy függvény szélsőpontját a kritikus pontjai között kell keresni.

Az első elégséges feltétel. Hadd x ról ről - kritikus pont. Ha f" (x ) ponton való áthaladáskor x ról ről módosítja a plusz jelet mínuszra, majd a pontra x o a függvénynek van maximuma, egyébként minimuma. Ha a derivált nem változtat előjelet egy kritikus ponton való áthaladáskor, akkor a pontban x ról ről nincs extrémum.

A második elégséges feltétel. Legyen az f(x) függvény
f" (x ) pont közelében x ról ről és a második derivált a ponton x o. Ha f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o az f(x) függvény lokális minimum (maximum) pontja. Ha =0, ​​akkor vagy az első elégséges feltételt kell használni, vagy magasabbakat kell alkalmazni.

Egy szakaszon az y \u003d f (x) függvény elérheti a legkisebb vagy legnagyobb értéket akár a kritikus pontokon, akár a szakasz végein.

Példa 3.22.

Megoldás. Mert f " (

Feladatok egy függvény szélsőértékének megtalálásához

3.23. példa. a

Megoldás. xés y y
0 ≤ x≤
> 0, míg x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkciókat négyzetméter. egységek).

3.24. példa. p ≈

Megoldás. pp
S"
R=2, H=16/4=4.

Példa 3.22.Határozzuk meg az f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 függvény szélsőértékét.

Megoldás. Mert f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), akkor az x 1 \u003d 2 és x 2 \u003d 3 függvény kritikus pontjai. A szélső pontok csak ezeken lehetnek pontokat. Mivel az x 1 \u003d 2 ponton áthaladva a derivált az előjelet pluszról mínuszra változtatja, akkor ezen a ponton a függvénynek van maximuma. Amikor áthalad az x 2 \u003d 3 ponton, a derivált előjelet vált mínuszról pluszra, ezért az x 2 \u003d 3 pontban a függvénynek van minimuma. A függvény értékeinek kiszámítása pontokban
x 1 = 2 és x 2 = 3, akkor megtaláljuk a függvény szélsőértékét: maximum f (2) = 14 és minimum f (3) = 13.

3.23. példa.A kőfal közelében téglalap alakú területet kell építeni úgy, hogy az három oldalról dróthálóval legyen elkerítve, a negyedik oldalon pedig a falhoz csatlakozzon. Erre van a a rács lineáris méterei. Milyen képarány mellett lesz a webhely legnagyobb területe?

Megoldás.Jelölje át a webhely oldalait xés y. A helyszín területe egyenlő S = xy. Hadd y a fal melletti oldal hossza. Ekkor feltétel szerint a 2x + y = a egyenlőségnek teljesülnie kell. Ezért y = a - 2x és S = x (a - 2x), ahol
0 ≤ x≤ a /2 (a pad hossza és szélessége nem lehet negatív). S "= a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4 esetén, innen
y \u003d a - 2 × a / 4 = a / 2. Mert a x = a /4 az egyetlen kritikus pont, nézzük meg, hogy ezen a ponton áthaladva változik-e a derivált előjele. x a /4 S " esetén> 0, míg x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkciókat S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (négyzetméter. egységek). Mivel S folyamatos bekapcsolt állapotban van, és értékei S(0) és S(a /2) végén egyenlők nullával, akkor a talált érték lesz a függvény legnagyobb értéke. Így a lelőhely legkedvezőbb oldalaránya a feladat adott feltételei mellett y = 2x.

3.24. példa.V=16 űrtartalmú zárt hengeres tartályt kell készíteni p ≈ 50 m 3. Mekkora legyen a tartály mérete (R sugár és H magasság), hogy a gyártáshoz a lehető legkevesebb anyagot használjuk fel?

Megoldás.A henger teljes felülete S = 2 p R(R+H). Ismerjük a henger térfogatát V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Tehát S(R) = 2 p (R2+16/R). Megtaláljuk ennek a függvénynek a származékát:
S"(R) = 2 p (2R-16 / R 2) = 4 p (R-8 / R 2). S" (R) = 0, ha R3 = 8, ezért
R=2, H=16/4=4.

MAXIMÁLIS ÉS MINIMUM PONTOK

azokat a pontokat, ahol a legnagyobb vagy legkisebb értéket veszi fel a definíciós tartományban; az ilyen pontokat nevezzük abszolút maximum vagy abszolút minimum pontjait is. Ha f egy topológián van definiálva X tér, majd a pont x 0 hívott helyi maximum pontja (helyi minimum), ha van ilyen pont x 0, hogy a szóban forgó funkció erre a környékre való korlátozására a pont x 0 az abszolút maximum (minimum) pont. Megkülönböztetni a szigorú és nem szigorú maximum (mini m u m a) pontjait (abszolút és lokális egyaránt). Például egy pont ún az f függvény nem szigorú (szigorú) lokális maximumának pontja, ha létezik a pontnak ilyen szomszédsága x 0, ami mindenkire érvényes (illetve, f(x) x0). )/

A véges dimenziós tartományokon definiált függvényeknél a differenciálszámítás szempontjából megvannak a feltételek és kritériumok, hogy egy adott pont lokális maximum (minimum) pont legyen. Legyen az f függvény a valós tengely x 0 dobozának egy bizonyos környezetében definiálva. Ha egy x 0 - a nem szigorú helyi maximum (minimum) pontja, és ezen a ponton létezik f"( x0), akkor egyenlő nullával.

Ha egy adott f függvény egy pont szomszédságában differenciálható x 0, kivéve talán magát ezt a pontot, ahol folytonos, és az f" deriváltot a pont mindkét oldalán x0állandó jelet őriz ezen a környéken, akkor annak érdekében x0 szigorú lokális maximum (lokális minimum) pontja volt, szükséges és elégséges, hogy a derivált pluszból mínuszra változtassa az előjelet, azaz hogy f "(x)> 0 x-nél<.x0és f"(x)<0 при x>x0(mínuszból pluszba: f"(X) <0 x-nél<x0és f"(x)>0 amikor x>x 0). Azonban nem minden függvényre, amely egy pont közelében differenciálható x 0, ezen a ponton a származék előjelének változásáról beszélhetünk. . "

Ha az f függvénynek a pontja van x 0 t származékai, ráadásul annak érdekében x 0 szigorú lokális maximum pontja, szükséges és elégséges, hogy τ páros legyen és f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Legyen az f( x 1 ..., x p] egy pont n-dimenziós környezetében van definiálva, és ezen a ponton differenciálható. Ha x (0) egy nem szigorú lokális maximum (minimum) pont, akkor az f függvény ebben a pontban egyenlő nullával. Ez a feltétel ekvivalens az f függvény 1. rendű parciális deriváltjainak nullával való egyenlőségével ezen a ponton. Ha egy függvénynek van 2. folytonos parciális deriváltja x(0) pontban, akkor az összes 1. deriváltja eltűnik x(0) pontban, és a másodrendű differenciál x(0) pontban negatív (pozitív) másodfokú alakzat, akkor x(0) szigorú helyi maximum (minimum) pontja. Ismeretesek az M. és M. T. differenciálható függvények feltételei, amikor az argumentumok változásaira bizonyos korlátozások vonatkoznak: a kényszeregyenletek teljesülnek. A bonyolultabb szerkezetű valós függvény maximumának (minimumának) szükséges és elégséges feltételeit a matematika speciális ágaiban vizsgálják: pl. konvex elemzés, matematikai programozás(Lásd még Maximalizálás és funkció minimalizálása). Az osztókon definiált M. és m.t. függvényeket tanulmányozzuk variációszámítás általában,és M. és m.t. a függvénytereken definiált függvények, azaz a funkcionális függvények esetében variációs számítás. Különféle módszerek is léteznek M. és m. t numerikus közelítő meghatározására.

Megvilágított.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. kiadás, 1. rész, M., 1971; KudrjavcevL. L. D. Kudrjavcev.

Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mi a "MAXIMUM ÉS MINIMUM PONT" ​​más szótárakban:

Diszkrét Pontryagin maximum elv az idő-diszkrét vezérlési folyamatokhoz. Egy ilyen folyamat esetében előfordulhat, hogy az M. p. nem teljesül, bár annak folytonos analógjára, amelyet úgy kapunk, hogy a véges különbség operátort differenciálisra cseréljük ... ... Matematikai Enciklopédia

Az analitikai modul egyik fő tulajdonságát kifejező tétel. funkciókat. Legyen f(z) p-komplex változók reguláris analitikus vagy holomorf függvénye egy konstanstól eltérő komplex számtér D tartományában, M. m. s. in ... ... Matematikai Enciklopédia

A valódi értékeket felvevő függvény legnagyobb és ennek megfelelően legkisebb értékei. A szóban forgó függvény definíciós tartományának azt a pontját nevezzük, amelyben maximumot vagy minimumot vesz fel. a maximum pont vagy a minimum pont ...... Matematikai Enciklopédia

Lásd: Függvény maximuma és minimuma, Pont maximuma és minimuma... Matematikai Enciklopédia

Egy folytonos függvény értéke, amely a maximum vagy minimum (lásd Maximum és Minimum pont). A LE kifejezés... Matematikai Enciklopédia

Indikátor- (Indikátor) Az indikátor olyan információs rendszer, anyag, eszköz, eszköz, amely bármilyen paraméter változását megjeleníti Forex devizapiaci grafikonok mutatói, mik ezek és honnan tölthetők le? Az MACD indikátorok leírása, ... ... A befektető enciklopédiája

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Extreme (jelentések). Az extrémum (latin extremum extreme) a matematikában egy függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon. A végpont elérése a ... ... Wikipédia

A differenciálszámítás a matematikai elemzés egyik ága, amely a derivált és a differenciál fogalmát tanulmányozza, és azt, hogy hogyan alkalmazhatók a függvények tanulmányozására. Tartalom 1 Egy változó függvényeinek differenciálszámítása ... Wikipédia

A lemniszkátus és trükkjei A Bernoulli-féle lemniszkát egy sík algebrai görbe. A pontok helye, termék ... Wikipédia

Eltérés- (Divergencia) Divergencia mint indikátor Kereskedési stratégia MACD divergenciával Tartalom Tartalom 1. rész. on. 2. szakasz. Eltérés hogyan. A divergencia egy olyan kifejezés a közgazdaságtanban, amely a divergens mentén történő mozgásra utal. A befektető enciklopédiája

Egy függvény változása egy bizonyos ponton és a függvény növekményének határa az argumentum növekményéig, amely nullára hajlik. Ennek megtalálásához használja a derivált táblázatot. Például az y = x3 függvény deriváltja egyenlő lesz y’ = x2-vel.

Egyenlítse ezt a deriváltot nullával (ebben az esetben x2=0).

Keresse meg az adott változó értékét! Ezek azok az értékek, amelyeknél ez a derivált 0 lesz. Ehhez helyettesítsen tetszőleges számokat a kifejezésben x helyett, amelynél a teljes kifejezés nullává válik. Például:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Alkalmazza a kapott értékeket a koordináta egyenesre, és mindegyik kapott deriváltra számítsa ki a derivált előjelét. A koordinátavonalon pontok vannak jelölve, amelyeket origónak veszünk. Az intervallumok értékének kiszámításához helyettesítsen tetszőleges értékeket, amelyek megfelelnek a kritériumoknak. Például az előző függvénynél a -1 intervallumig választhatja a -2 értéket. -1-től 1-ig választhat 0-t, 1-nél nagyobb értékek esetén pedig 2-t. Helyettesítse be ezeket a számokat a deriváltban, és találja meg a derivált előjelét. Ebben az esetben az x = -2 derivált egyenlő lesz -0,24-gyel, azaz. negatív, és ezen az intervallumon mínuszjel lesz. Ha x=0, akkor az érték 2 lesz, és erre az intervallumra előjel kerül. Ha x=1, akkor a derivált is egyenlő lesz -0,24-gyel, és mínusz kerül.

Ha a koordinátaegyenes egy pontján áthaladva a derivált az előjelét mínuszról pluszra változtatja, akkor ez egy minimumpont, ha pedig pluszból mínuszba, akkor ez egy maximumpont.

Kapcsolódó videók

Hasznos tanácsok

A származék megtalálásához olyan online szolgáltatások állnak rendelkezésre, amelyek kiszámítják a szükséges értékeket, és megjelenítik az eredményt. Az ilyen oldalakon akár 5 megbízás származékát is találhatja.

Források:

• A származékos ügyletek kiszámítására szolgáló szolgáltatások egyike
• a függvény maximális pontja

A függvény maximális pontjait a minimumpontokkal együtt szélsőséges pontoknak nevezzük. Ezeken a pontokon a függvény megváltoztatja a viselkedését. Az extrém értékeket korlátozott numerikus időközönként határozzák meg, és mindig lokálisak.

Utasítás

A lokális szélsőségek megtalálásának folyamatát függvénynek nevezzük, és a függvény első és második deriváltjának elemzésével hajtjuk végre. A feltárás megkezdése előtt győződjön meg arról, hogy az argumentumértékek megadott tartománya a megengedett értékekhez tartozik. Például az F=1/x függvénynél az x=0 argumentum értéke érvénytelen. Vagy az Y=tg(x) függvény argumentumának értéke nem lehet x=90°.

Győződjön meg arról, hogy az Y függvény differenciálható a teljes adott intervallumon. Keresse meg az első Y derivált". Nyilvánvaló, hogy a lokális maximumpont elérése előtt a függvény növekszik, a maximumon áthaladva pedig csökkenővé válik. Fizikai jelentésében az első derivált a függvény változási sebességét jellemzi. Amíg a függvény növekszik, ennek a folyamatnak a sebessége pozitív érték A lokális maximumon áthaladva a függvény csökkenni kezd, és a függvény változási folyamata negatívvá válik.A változás sebességének átmenete a függvény nullán át a lokális maximum pontján történik.

A függvénynek van egy belső pontja
területeken D helyi maximum(minimális) ha van a pontnak ilyen környéke
, minden pontra
ami kielégíti az egyenlőtlenséget

Ha a függvénynek a pontban van
helyi maximum vagy helyi minimum, akkor azt mondjuk, hogy ezen a ponton megvan helyi extrémum(vagy csak extrém).

Tétel (extrémum létezésének szükséges feltétele). Ha a differenciálható függvény végpontot ér el a pontban
, akkor a függvény minden elsőrendű parciális deriváltja ezen a ponton eltűnik.

Meghívjuk azokat a pontokat, ahol az összes elsőrendű parciális derivált eltűnik a függvény stacionárius pontjai
. Ezeknek a pontoknak a koordinátáit a rendszer megoldásával találhatjuk meg egyenletek

.

Az extrémum létezésének szükséges feltétele differenciálható függvény esetén a következőképpen fogalmazható meg röviden:

Vannak esetek, amikor bizonyos pontokon néhány parciális derivált végtelen értékű vagy nem létezik (míg a többi egyenlő nullával). Az ilyen pontokat ún a funkció kritikus pontjai. Ezeket a pontokat is "gyanúsnak" kell tekinteni egy szélsőség esetében, csakúgy, mint az állókat.

Két változós függvény esetén az extrémum szükséges feltétele, nevezetesen a parciális deriváltak (differenciál) nullával való egyenlősége a szélsőpontban, geometriai értelmezésű: felület érintő síkja
a szélső ponton párhuzamosnak kell lennie a síkkal
.

20. Elegendő feltétel az extrémum létezéséhez

Az extrémum létezéséhez szükséges feltétel egy adott ponton történő teljesülése egyáltalán nem garantálja az ottani szélsőség meglétét. Példaként vehetjük a mindenhol differenciálható függvényt
. A parciális deriváltjai és maga a függvény is eltűnik a ponton
. Ennek a pontnak a szomszédságában azonban mindkettő pozitív (nagy
) és negatív (kisebb
) ennek a függvénynek az értékeit. Ezért ezen a ponton definíció szerint nincs szélsőség. Ezért kell ismernünk kellő feltételeket, amelyek mellett a szélsőségre gyanított pont a vizsgált függvény szélsőpontja.

Tekintsük két változó függvényének esetét. Tegyük fel, hogy a függvény
definiált, folytonos, és folyamatos parciális deriváltjai vannak, egészen a második rendig bezárólag egy bizonyos pont szomszédságában
, amely a függvény stacionárius pontja
, azaz megfelel a feltételeknek

,
.

Bemutatjuk a jelölést:

Tétel (elegendő feltétel a szélsőség létezéséhez). Hagyja a függvényt
kielégíti a fenti feltételeket, nevezetesen: a stacionárius pont valamely szomszédságában differenciálható
és magán a ponton kétszer differenciálható
. Aztán ha

Ha
majd a függvény
azon a ponton
elér

helyi maximum nál nél
és

helyi minimum nál nél
.

Általában egy funkcióhoz
elégséges feltétele a létezésnek egy ponton
helyiminimális(maximális) van pozitív(negatív) a második differenciál határozottsága.

Más szóval a következő állítás igaz.

Tétel . Ha azon a ponton
funkcióhoz

bármely nem egyenlő nullával egyszerre
, akkor ezen a ponton a függvény rendelkezik minimális(hasonló maximális, ha
).

18. példa.Keresse meg egy függvény lokális szélsőpontját

Megoldás. Keresse meg a függvény parciális deriváltjait, és egyenlővé tegye őket nullával:

Ezt a rendszert megoldva két lehetséges szélsőpontot találunk:

Keressük ennek a függvénynek másodrendű parciális deriváltjait:

Az első állópontban tehát és
Ezért ehhez a ponthoz további kutatásra van szükség. Funkció értéke
ezen a ponton nulla:
További,

nál nél

a

nál nél

Ezért a pont bármely szomszédságában
funkció
nagynak veszi az értékeket
, és kisebb
, és ezért a ponton
funkció
definíció szerint nincs lokális szélsőértéke.

A második állóponton



ezért, ezért, mivel
majd a ponton
a függvénynek van lokális maximuma.