Magasabb rendű differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Másodrendű és magasabb rendű differenciálegyenletek

Gyakran csak egy említés differenciál egyenletek kényelmetlenséget okoz a tanulóknak. Miért történik ez? Leggyakrabban azért, mert az anyag alapjainak tanulmányozásakor ismerethiány keletkezik, amely miatt a difúrok további tanulmányozása egyszerűen kínzássá válik. Semmi sem világos, mit tegyünk, hogyan döntsük el, hol kezdjem?

Megpróbáljuk azonban megmutatni, hogy a difur nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik.

Differenciálegyenletek elméletének alapfogalmai

Az iskolából ismerjük a legegyszerűbb egyenleteket, amelyekben meg kell találnunk az ismeretlen x-et. Valójában differenciál egyenletek csak kissé különbözik tőlük – változó helyett x funkciót kell találniuk y(x) , ami az egyenletet azonossággá alakítja.

D differenciál egyenletek nagy gyakorlati jelentőséggel bírnak. Ez nem elvont matematika, aminek semmi köze a minket körülvevő világhoz. A differenciálegyenletek segítségével számos valós természeti folyamatot írnak le. Például a húrrezgések, a harmonikus oszcillátor mozgása, differenciálegyenletek segítségével a mechanika problémáiban, meghatározza a test sebességét és gyorsulását. Is DU széles körben használják a biológiában, kémiában, közgazdaságtanban és sok más tudományban.

Differenciálegyenlet (DU) egy egyenlet, amely az y(x) függvény deriváltjait, magát a függvényt, független változókat és egyéb paramétereket tartalmazza különféle kombinációkban.

Sokféle differenciálegyenlet létezik: közönséges differenciálegyenletek, lineáris és nemlineáris, homogén és nem homogén, első és magasabb rendű differenciálegyenletek, parciális differenciálegyenletek stb.

A differenciálegyenlet megoldása egy függvény, amely azt azonossággá alakítja. A távirányítónak vannak általános és speciális megoldásai.

A differenciálegyenlet általános megoldása azoknak az általános megoldásoknak a halmaza, amelyek az egyenletet azonossággá alakítják. A differenciálegyenlet speciális megoldása olyan megoldás, amely kielégíti a kezdetben meghatározott további feltételeket.

Egy differenciálegyenlet sorrendjét a benne foglalt deriváltok legmagasabb rendje határozza meg.

Közönséges differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek egy független változót tartalmazó egyenletek.

Tekintsük a legegyszerűbb, elsőrendű közönséges differenciálegyenletet. Úgy néz ki:

Ez az egyenlet egyszerűen megoldható a jobb oldalának integrálásával.

Példák az ilyen egyenletekre:

Elválasztható változó egyenletek

Általában az ilyen típusú egyenlet így néz ki:

Íme egy példa:

Egy ilyen egyenlet megoldásához el kell választani a változókat, és formába kell hozni:

Ezt követően marad mindkét alkatrész integrálása és a megoldás megszerzése.

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az ilyen egyenletek a következő formában jelennek meg:

Itt p(x) és q(x) a független változó néhány függvénye, és y=y(x) a kívánt függvény. Íme egy példa egy ilyen egyenletre:

Egy ilyen egyenlet megoldása során leggyakrabban egy tetszőleges állandó variációs módszerét alkalmazzák, vagy a kívánt függvényt két másik függvény szorzataként ábrázolják: y(x)=u(x)v(x).

Az ilyen egyenletek megoldásához bizonyos előkészületekre van szükség, és meglehetősen nehéz lesz őket „szeszélyből” venni.

Példa egy DE megoldására elválasztható változókkal

Tehát megvizsgáltuk a távirányítók legegyszerűbb típusait. Most vessünk egy pillantást ezek közül. Legyen ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet.

Először átírjuk a származékot egy ismertebb formában:

Ezután szétválasztjuk a változókat, azaz az egyenlet egyik részében összegyűjtjük az összes „játékot”, a másikban pedig az „xeket”:

Most a két rész integrálása van hátra:

Integráljuk és megkapjuk ennek az egyenletnek az általános megoldását:

Természetesen a differenciálegyenletek megoldása egyfajta művészet. Képesnek kell lennie megérteni, hogy egy egyenlet milyen típushoz tartozik, és azt is meg kell tanulnia, hogy milyen átalakításokat kell végrehajtania vele annak érdekében, hogy ilyen vagy olyan formába hozza, nem beszélve a megkülönböztetés és az integráló képességről. És gyakorlat kell (mint mindenhez), hogy sikerüljön megoldani a DE-t. És ha pillanatnyilag nincs ideje kitalálni, hogyan oldják meg a differenciálegyenleteket, vagy a Cauchy-probléma csontként emelkedett a torkodon, vagy nem tudja, lépjen kapcsolatba szerzőinkkel. Rövid időn belül kész és részletes megoldást adunk Önnek, melynek részleteit bármikor megértheti az Ön számára megfelelő időben. Addig is javasoljuk, hogy nézzen meg egy videót "A differenciálegyenletek megoldása" témában:

A számítástechnika elmélete inhomogén differenciálegyenletek(DU) ebben a kiadványban nem adjuk meg, az előző leckékből elegendő információt találhat a kérdésre való válasz megtalálásához "Hogyan lehet megoldani egy inhomogén differenciálegyenletet?" Az inhomogén DE mértéke itt nem játszik nagy szerepet, nincs olyan sok módszer, amely lehetővé teszi az ilyen DE megoldásának kiszámítását. A példákban szereplő válaszok könnyebb elolvasása érdekében a fő hangsúly csak a számítási technikán és a tippeken van, amelyek megkönnyítik a végső függvény levezetését.

1. példa Differenciálegyenlet megoldása
Megoldás: Adott harmadrendű homogén differenciálegyenlet, ráadásul csak a második és harmadik származékot tartalmazza, és nincs függvénye és első deriváltja. Ilyen esetekben használja a redukciós módszert differenciálegyenlet. Ehhez bevezetünk egy paramétert - a második deriváltot a p paraméteren keresztül jelöljük

akkor a függvény harmadik deriváltja az

Az eredeti homogén DE a formára lesz egyszerűsítve

Akkor differenciálokban írjuk redukáljuk egy elválasztott változó egyenletreés integrálással találja meg a megoldást

Ne feledje, hogy a paraméter a függvény második deriváltja

ezért magának a függvénynek a képletének megtalálásához kétszer integráljuk a talált differenciális függést

A függvényben a régi C 1, C 2, C 3 tetszőleges értékekkel egyenlő.
Így néz ki az áramkör keressük meg egy homogén differenciálegyenlet általános megoldását paraméter bevezetésével. A következő feladatok nehezebbek, és belőlük megtanulhatja, hogyan lehet harmadrendű nem homogén differenciálegyenleteket megoldani. Van némi különbség a homogén és a nem homogén DE között a számítások szempontjából, ezt most látni fogod.

2. példa megtalálja
Megoldás: Megvan a harmadik rendelés. Ezért a megoldását az inhomogén egyenlet homogén és partikuláris megoldásainak két - megoldásának összege formájában kell keresni.

Először döntsük el

Mint látható, csak a függvény második és harmadik deriváltját tartalmazza, magát a függvényt nem. Ez a fajta diff. az egyenleteket egy paraméter bevezetésének módszerével oldjuk meg, amely in viszont csökkenti és leegyszerűsíti az egyenlet megoldásának megtalálását. A gyakorlatban ez így néz ki: legyen a második derivált egyenlő egy bizonyos függvénnyel, akkor a harmadik deriváltnak formálisan a jelölése lesz

A 3. rendű homogénnek tekintett DE-t transzformáljuk az elsőrendű egyenletté

ahonnan a változókat elosztva megtaláljuk az integrált
x*dp-p*dx=0;

Javasoljuk, hogy számozzák meg azokat, akik ilyen problémákba kerültek, mivel a 3. rendű differenciálegyenlet megoldásának 3 állandója van, a negyediknek 4, és analógia útján. Most térjünk vissza a bevezetett paraméterhez: mivel a második deriváltnak van alakja, integrálva, ha egyszer függőséget kapunk a függvény deriváltjára

és ismételt integrációval azt találjuk egy homogén függvény általános képe

Az egyenlet részleges megoldása változóként írjuk szorozva a logaritmussal. Ez abból a tényből következik, hogy a DE jobb (nem homogén) része egyenlő -1/x-szel, és annak érdekében, hogy egyenértékű jelölést kapjunk

formában kell keresni a megoldást

Keresse meg az A együtthatót, ehhez kiszámítjuk az első és a másodrendű deriváltokat

A talált kifejezéseket behelyettesítjük az eredeti differenciálegyenletbe, és egyenlővé tesszük az együtthatókat x azonos hatványai mellett:

Az acél egyenlő -1/2, és a formája van

Differenciálegyenlet általános megoldásaírja be a talált összeg összegeként

ahol C 1, C 2, C 3 tetszőleges állandók, amelyek a Cauchy-probléma alapján finomíthatók.

3. példa Keresse meg a harmadrendű DE integrált
Megoldás: Egy nem-homogén DE harmadrendű általános integrálját keressük egy homogén és parciális nemhomogén egyenlet megoldásának összege formájában. Először is, bármilyen típusú egyenlet esetén kezdjük homogén differenciálegyenlet elemzése

Az eddig ismeretlen függvénynek csak a második és harmadik származékát tartalmazza. Bevezetjük a változók (paraméter) változását: jelöljük a második deriváltot

Ekkor a harmadik származék az

Ugyanezeket az átalakításokat végeztük el az előző feladatban is. Ez lehetővé teszi redukáljunk egy harmadrendű differenciálegyenletet a forma elsőrendű egyenletére

Az integrációval azt találjuk

Emlékezzünk vissza, hogy a változók változásának megfelelően ez csak a második derivált

és egy harmadrendű homogén differenciálegyenlet megoldásához kétszer kell integrálni

A jobb oldal típusa alapján (nem homogén rész =x+1 ), formában keressük az egyenlet részmegoldását

Hogyan lehet tudni, hogy milyen formában keressünk részmegoldást? Ezt a differenciálegyenletek tantárgy elméleti részében kellett volna megtanítani. Ha nem, akkor csak javasolni tudjuk, hogy egy ilyen kifejezést milyen függvényre választunk, hogy az egyenletbe behelyettesítéskor a legmagasabb származékot tartalmazó vagy annál fiatalabb tag azonos rendű (hasonló) legyen az egyenlet inhomogén részével.

Azt hiszem, most már egyértelműbb számodra, honnan ered egy adott megoldás formája. Keresse meg az A, B együtthatókat, ehhez számítsuk ki a függvény második és harmadik deriváltját

és behelyettesítjük a differenciálegyenletbe. A hasonló tagok csoportosítása után megkapjuk a lineáris egyenletet

amelyből a változó egyenlő hatványaira egyenletrendszert alkotni

és ismeretlen acélokat találni. Helyettesítésük után a függőség fejezi ki

Differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a homogén és a részleges összegével, és alakja van

ahol C 1 , C 2 , C 3 tetszőleges állandók.

4. példa R enni differenciálegyenletet
Megoldás: Megvan a megoldás, amit az összegen keresztül fogunk megtalálni. Ismeri a számítási sémát, ezért térjünk át a mérlegelésre homogén differenciálegyenlet

A szabványos módszer szerint írja be a paramétert
Az eredeti differenciálegyenlet alakja lesz, amelyből a változókat elosztva megkapjuk

Ne feledje, hogy a paraméter megegyezik a második deriválttal
A DE integrálásával megkapjuk a függvény első deriváltját

Újraintegráció megtaláljuk a homogén differenciálegyenlet általános integrálját

Az egyenlet részleges megoldását a formában keressük, mivel a jobb oldal egyenlő
Keressük meg az A együtthatót - ehhez behelyettesítjük y*-ot a differenciálegyenletbe, és egyenlőségjelet teszünk az együtthatóval a változó azonos hatványainál

A kifejezések behelyettesítése és csoportosítása után megkapjuk a függőséget

ebből az acél egyenlő A=8/3.
Így tudunk írni DE részleges megoldása

Differenciálegyenlet általános megoldása megegyezik a talált összeggel

ahol C 1 , C 2 , C 3 tetszőleges állandók. Ha a Cauchy feltétel adott, akkor nagyon könnyen kiterjeszthetők.

Úgy gondolom, hogy az anyag hasznos lesz számodra a gyakorlati gyakorlatokra, modulokra vagy tesztekre való felkészülés során. A Cauchy-problémát itt nem elemeztük, de az előző leckékből általában tudod, hogyan kell csinálni.

Magasabb rendű differenciálegyenletek

A magasabb rendű differenciálegyenletek (DE VP) alapvető terminológiája.

A , ahol n >1 (2)

magasabb rendű differenciálegyenletnek nevezzük, azaz. n-edik sorrend.

A távirányító meghatározásának tartománya, n A sorrend a terület.

Ez a kurzus a légtérszabályozás következő típusaival foglalkozik:

A Cauchy-probléma a VP számára:

Legyen adott DU,
és kezdeti feltételek n/a: számok .

Meg kell találni egy folytonos és n-szer differenciálható függvényt
:

1)
az adott DE megoldása -on, azaz.
;

2) teljesíti az adott kezdeti feltételeket: .

Másodrendű DE esetén a feladat megoldásának geometriai értelmezése a következő: olyan integrálgörbét keresünk, amely átmegy a ponton (x 0 , y 0 ) és egy lejtős vonal érintője k = y 0 ́ .

Létezés és egyediség tétel(a Cauchy-probléma megoldásai DE-re (2)):

Ha 1)
folyamatos (összesítve (n+1) érvek) a területen
; 2)
folyamatos (a argumentumok halmazával
) -ban, akkor ! a Cauchy-probléma megoldása DE-re, amely kielégíti az adott kezdeti feltételeket n/s: .

A régiót DE egyediségének régiójának nevezik.

A DP VP általános megoldása (2) – n -paraméteres funkció,
, ahol
– tetszőleges állandók, amelyek kielégítik a következő követelményeket:

1)

– DE (2) megoldása a ;

2) n/a az egyediség régiójából !
:
megfelel az adott kezdeti feltételeknek.

Megjegyzés.

Nézetarány
, amely implicit módon meghatározza a DE (2) általános megoldását közös integrál DU.

Privát megoldás A DE (2) egy adott érték általános megoldásából származik .

A DP VP integrációja.

A magasabb rendű differenciálegyenleteket általában nem oldják meg egzakt analitikai módszerekkel.

Vegyünk egy bizonyos típusú DSW-t, amely engedi a sorrendcsökkentést és a redukciókat kvadratúrákra. Az ilyen típusú egyenleteket és sorrendjük csökkentésének módjait táblázatban foglaljuk össze.

DP VP, amely lehetővé teszi a megrendelés csökkentését

		Leminősítési módszer
	A DU hiányos, hiányzik . Például,	Stb. Után n ismételt integrálással megkapjuk a differenciálegyenlet általános megoldását.
	Az egyenlet nem teljes; egyértelműen nem tartalmazza a kívánt funkciót és ő első származékai. Például,	Helyettesítés -kal csökkenti az egyenlet sorrendjét k egységek.
	hiányos egyenlet; nyilvánvalóan nem tartalmaz érvet kívánt funkciót. Például,	Helyettesítés az egyenlet sorrendje eggyel csökken.
	Az egyenlet pontos derivált, lehet teljes és hiányos. Egy ilyen egyenlet átalakítható (*) ́= (*)́ alakra, ahol az egyenlet jobb és bal része néhány függvény pontos deriváltja.	Az egyenlet jobb és bal oldalának integrálása az argumentumhoz képest eggyel csökkenti az egyenlet sorrendjét.
		Helyettesítés eggyel csökkenti az egyenlet sorrendjét.

A homogén függvény definíciója:

Funkció
változókban homogénnek nevezzük
, ha


a funkció hatókörének bármely pontján
;

a homogenitás sorrendje.

Például egy homogén függvénye a 2. rendű tekintetében
, azaz .

1. példa:

Találja meg a DE általános megoldását
.

A 3. rendű DE hiányos, kifejezetten nem tartalmazza
. Integrálja az egyenletet háromszor egymás után.

,

a DE általános megoldása.

2. példa:

Oldja meg a Cauchy-feladatot DE számára
nál nél

.

A másodrendű DE, hiányos, nem tartalmaz kifejezetten .

Helyettesítés
és származéka
eggyel csökkenti a DE sorrendjét.

. Megkapta az elsőrendű DE-t - a Bernoulli-egyenletet. Ennek az egyenletnek a megoldására a Bernoulli-helyettesítést alkalmazzuk:

,

és illessze be az egyenletbe.

Ebben a szakaszban megoldjuk az egyenlet Cauchy-feladatát
:
.

egy elsőrendű egyenlet elválasztható változókkal.

A kezdeti feltételeket behelyettesítjük az utolsó egyenlőségbe:

Válasz:
a Cauchy-probléma megoldása, amely kielégíti a kezdeti feltételeket.

3. példa:

Oldja meg a DU-t.

– A 2. rendű DE, hiányos, nem tartalmazza kifejezetten a változót, ezért lehetővé teszi a sorrend eggyel csökkentését helyettesítéssel ill.
.

Megkapjuk az egyenletet
(legyen
).

– I. rendű DE elválasztó változókkal. Osszuk meg őket.

a DE általános integrálja.

4. példa:

Oldja meg a DU-t.

Az egyenlet
egy pontos derivált egyenlet. Igazán,
.

Integráljuk a bal és a jobb oldali részt a -hoz képest, azaz.
vagy . 1. rendű DE érkezett elválasztható változókkal, i.e.
a DE általános integrálja.

Példa5:

Oldja meg a Cauchy-problémát
nál nél .

A 4. rendű DE hiányos, kifejezetten nem tartalmazza
. Figyelembe véve, hogy ez az egyenlet pontos deriváltokban van, azt kapjuk
vagy
,
. A kezdeti feltételeket behelyettesítjük ebbe az egyenletbe:
. Vegyük a távirányítót
Az első típus 3. rendje (lásd a táblázatot). Integráljuk háromszor, és minden egyes integráció után behelyettesítjük a kezdeti feltételeket az egyenletbe:

Válasz:
- az eredeti DE Cauchy-probléma megoldása.

6. példa:

Oldja meg az egyenletet.

– A 2. rendű DE, teljes, tekintetében egységességet tartalmaz
. Helyettesítés
csökkenti az egyenlet sorrendjét. Ehhez az egyenletet a formára redukáljuk
, elosztva az eredeti egyenlet mindkét oldalát . És megkülönböztetjük a funkciót p:

.

Helyettes
és
DU-ban:
. Ez egy elsőrendű elválasztható változó egyenlet.

Tekintettel arra
, megkapjuk a DE ill
az eredeti DE általános megoldása.

A magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek elmélete.

Alapvető terminológia.

– NLDU sorrendben, ahol folytonos függvények vannak valamilyen intervallumon .

Ezt DE folytonossági intervallumnak (3) nevezik.

Vezessünk be egy (feltételes) differenciáloperátort, a sorrendben

Amikor a függvényre hat, azt kapjuk

Azaz egy -edik rendű lineáris DE bal oldala.

Ennek eredményeként az LDE írható

Lineáris operátor tulajdonságai
:

1) - additív tulajdonság

2)
– szám – homogenitás tulajdonság

A tulajdonságok könnyen ellenőrizhetőek, mivel ezeknek a függvényeknek a deriváltjai hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek (a deriváltak végső összege véges számú derivált összegével egyenlő, a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből).

Hogy.
egy lineáris operátor.

Tekintsük a Cauchy-probléma megoldásának létezését és egyediségét az LDE számára
.

Oldjuk meg az LDE-t tekintetében
: ,
, a folytonosság intervalluma.

A függvény folytonos a tartományban, deriváltak
folyamatos a régióban

Ezért az egyediség tartománya, amelyben az LDE (3) Cauchy-probléma egyedi megoldással rendelkezik, és csak a pont megválasztásától függ.
, az argumentumok összes többi értéke
funkciókat
tetszőlegesen felvehető.

Az OLDU általános elmélete.

a folytonosság intervalluma.

Az OLDDE megoldások főbb tulajdonságai:

1. Additivitás tulajdonság

(
– OLDDE megoldás (4) on )
(
OLDDE (4) megoldása a ).

Bizonyíték:

az OLDDE (4) megoldása

az OLDDE (4) megoldása

Akkor

2. A homogenitás tulajdonsága

( az OLDDE (4) megoldása a következőn: ) (
(- numerikus mező))

az OLDDE (4) megoldása a -n.

Hasonlóképpen bebizonyosodik.

Az additív és homogenitás tulajdonságait az OLDE lineáris tulajdonságainak nevezzük (4).

Következmény:

(
– OLDDE (4) megoldása a )(

OLDDE (4) megoldása a ).

3. ( az OLDDE (4) komplex értékű megoldása a következőn )(
az OLDDE (4) valós értékű megoldásai a ).

Bizonyíték:

Ha OLDDE (4) megoldása -on van, akkor az egyenletbe behelyettesítéskor azonossággá alakítja, azaz.
.

Az operátor linearitása miatt az utolsó egyenlőség bal oldala a következőképpen írható fel:
.

Ez azt jelenti, hogy , azaz OLDDE (4) valós értékű megoldásai a -n.

Az OLDDE megoldások következő tulajdonságai a következő fogalomhoz kapcsolódnak: lineáris függőség”.

Véges függvényrendszer lineáris függésének meghatározása

Egy függvényrendszert lineárisan függőnek nevezünk, ha van nem triviális számkészlet
úgy, hogy a lineáris kombináció
funkciókat
ezekkel a számokkal azonosan egyenlő nullával on , azaz.
.n , ami rossz. A tétel bizonyított.differenciál egyenletekmagasabbparancsokat(4 óra...

Másodrendű és magasabb rendű differenciálegyenletek.
Lineáris DE másodrendű állandó együtthatókkal.
Megoldási példák.

Áttérünk a másodrendű differenciálegyenletek és a magasabb rendű differenciálegyenletek figyelembevételére. Ha homályos elképzelése van arról, hogy mi a differenciálegyenlet (vagy egyáltalán nem érti, mi az), akkor azt javaslom, hogy kezdje a leckével Elsőrendű differenciálegyenletek. Megoldási példák. Az elsőrendű diffúrok számos megoldási elve és alapfogalma automatikusan kiterjesztésre kerül a magasabb rendű differenciálegyenletekre, így nagyon fontos először megérteni az elsőrendű egyenleteket.

Sok olvasónak meglehet az az előítélete, hogy a 2., 3. és más sorrendű DE egy nagyon nehéz és elérhetetlen mastering. Ez nem igaz . A magasabb rendű diffúzok megoldásának megtanulása aligha nehezebb, mint a „közönséges” elsőrendű DE-k. És helyenként még könnyebb is, hiszen az iskolai tanterv anyagát aktívan felhasználják a döntésekben.

Legnepszerubb másodrendű differenciálegyenletek. Egy másodrendű differenciálegyenletbe szükségszerűen tartalmazza a második származékot és nem tartalmazza

Megjegyzendő, hogy a babák egy része (és akár egyszerre is) hiányozhat az egyenletből, fontos, hogy az apa otthon volt. A legprimitívebb másodrendű differenciálegyenlet így néz ki:

A gyakorlati feladatokban a harmadrendű differenciálegyenletek sokkal ritkábban fordulnak elő, az Állami Dumában történt szubjektív megfigyeléseim szerint a szavazatok kb. 3-4%-át szereznék meg.

Egy harmadrendű differenciálegyenletbe szükségszerűen tartalmazza a harmadik származékot és nem tartalmazza magasabb rendű származékok:

A legegyszerűbb, harmadrendű differenciálegyenlet így néz ki: - apa otthon van, minden gyerek kint van sétálni.

Hasonlóképpen definiálhatók a 4., 5. és magasabb rendű differenciálegyenletek. Gyakorlati problémákban az ilyen DE rendkívül ritkán csúszik, azonban megpróbálok releváns példákat mondani.

A gyakorlati feladatokban javasolt magasabb rendű differenciálegyenletek két fő csoportra oszthatók.

1) Az első csoport - az ún alacsonyabb rendű egyenletek. Berepül!

2) A második csoport - magasabb rendű lineáris egyenletek állandó együtthatókkal. Amit most kezdünk el mérlegelni.

Másodrendű lineáris differenciálegyenletek
állandó együtthatókkal

Elméletben és gyakorlatban kétféle ilyen egyenletet különböztetnek meg - homogén egyenletés inhomogén egyenlet.

Másodrendű homogén DE állandó együtthatókkal a következő formája van:
, ahol és a konstansok (számok), és a jobb oldalon - szigorúan nulla.

Mint látható, a homogén egyenletekkel nincs különösebb nehézség, a lényeg az oldja meg helyesen a másodfokú egyenletet.

Néha vannak nem szabványos homogén egyenletek, például egy egyenlet formájában , ahol a második deriváltnál van valami konstans, amely különbözik az egységtől (és természetesen különbözik a nullától). A megoldási algoritmus egyáltalán nem változik, nyugodtan meg kell alkotni a karakterisztikus egyenletet és meg kell találni a gyökereit. Ha a karakterisztikus egyenlet két különböző valódi gyökere lesz, például: , akkor az általános megoldás a szokásos módon írható: .

Egyes esetekben az állapot elírása miatt „rossz” gyökerek derülhetnek ki, ilyesmi . Mi a teendő, a választ így kell írni:

A "rossz" konjugált összetett gyökerekkel, mint pl semmi gond, általános megoldás:

vagyis általános megoldás mindenképpen létezik. Mert minden másodfokú egyenletnek két gyöke van.

Az utolsó bekezdésben, ahogy ígértem, röviden megvizsgáljuk:

Magasabb rendű lineáris homogén egyenletek

Minden nagyon-nagyon hasonló.

A harmadrendű lineáris homogén egyenletnek a következő alakja van:
, hol vannak az állandók.
Ehhez az egyenlethez egy karakterisztikus egyenletet is meg kell alkotnia, és meg kell találnia a gyökereit. A karakterisztikus egyenlet, amint azt sokan sejtették, így néz ki:
, és az akárhogyan is Megvan pontosan három gyökér.

Legyen például minden gyökér valódi és különálló: , akkor az általános megoldás a következőképpen írható fel:

Ha az egyik gyök valódi, a másik kettő pedig konjugált komplex, akkor az általános megoldást a következőképpen írjuk le:

Különleges eset, amikor mindhárom gyök többszöröse (ugyanaz). Tekintsük a 3. rendű legegyszerűbb homogén DE-t magányos apával: . A karakterisztikus egyenletnek három egybeeső nulla gyöke van. Az általános megoldást a következőképpen írjuk:

Ha a karakterisztikus egyenlet például három többszörös gyöke van, akkor az általános megoldás rendre a következő:

9. példa

Oldjon meg egy harmadrendű homogén differenciálegyenletet!

Megoldás:Összeállítjuk és megoldjuk a karakterisztikus egyenletet:

, - egy valódi gyökér és két konjugált komplex gyök keletkezik.

Válasz: közös döntés

Hasonlóképpen tekinthetünk egy lineáris homogén negyedrendű egyenletet állandó együtthatókkal: , ahol konstansok.