Többszörös regressziós egyenlet természetes és standardizált formában. Szabványosított regressziós együtthatók
A regressziós egyenlet együtthatói, mint bármely abszolút mutató, nem használhatók összehasonlító elemzésben, ha a megfelelő változók mértékegységei eltérőek. Például ha y - családi étkezési költségek, x 1 - család mérete, ill x 2 a teljes családi jövedelem, és meghatározzuk a típus függőségét = egy + b 1 x 1 + b 2 x 2 és b 2 > b 1 , akkor ez nem azt jelenti x 2 erősebb hatással van rá y , hogyan x 1 , mert b 2 a családi kiadások változása a jövedelem 1 rubel változásával, és b 1 - kiadások változása a család létszámának 1 fővel történő megváltoztatásakor.
A regressziós egyenlet együtthatóinak összehasonlíthatósága a standardizált regressziós egyenlet figyelembevételével érhető el:
y 0 \u003d 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + ... + m x m 0 + e,
ahol y 0 és x 0 k – szabványos változó értékek y és x k :
S y és S a változók szórása y és x k ,
k (k=) – a regressziós egyenlet -együtthatói (de nem a regressziós egyenlet paraméterei, ellentétben a korábban megadott jelöléssel). A -együtthatók megmutatják, hogy a szórásának (S y) mekkora részével változik a függő változó y ha a független változó x k szórásával (S) fog változni. A regressziós egyenlet paramétereinek abszolút értékben (b k) és β-együtthatóinak becsléseit a következő összefüggés kapcsolja össze:
A regressziós egyenlet -együtthatói szabványos skálán valós képet adnak a független változók hatásáról a modellezett mutatóra. Ha az -együttható értéke bármely változónál meghaladja a megfelelő -együttható értékét egy másik változónál, akkor az első változó hatását az effektív mutató változására jelentősebbnek kell elismerni. Figyelembe kell venni, hogy a standardizált regressziós egyenletnek a változók központosítása miatt nincs konstrukciós szabad tagja.
Az egyszerű regresszióhoz a -együttható egybeesik a párkorrelációs együtthatóval, ami lehetővé teszi a párkorrelációs együttható szemantikai jelentését.
A regressziós egyenletben szereplő mutatók modellezett tulajdonságra gyakorolt hatásának elemzésekor a -együtthatókkal együtt rugalmassági együtthatókat is alkalmazunk. Például az átlagos rugalmassági mutatót a képlet számítja ki
és megmutatja, hogy a függő változó átlagosan hány százalékkal változik, ha a megfelelő független változó átlagos értéke egy százalékkal változik (ceteris paribus).
2.2.9. Diszkrét változók a regressziós elemzésben
A regressziós modellekben a változók jellemzően folytonos tartományokkal rendelkeznek. Az elmélet azonban nem szab semmilyen korlátozást az ilyen változók természetére vonatkozóan. A regressziós elemzés során gyakran szükséges figyelembe venni a minőségi jellemzők hatását és a különböző tényezőktől való függését. Ebben az esetben szükségessé válik a diszkrét változók beillesztése a regressziós modellbe. A diszkrét változók lehetnek függetlenek vagy függőek. Tekintsük ezeket az eseteket külön-külön. Nézzük először a diszkrét független változók esetét.
Dummy változók a regressziós elemzésben
Ahhoz, hogy a minőségi jellemzők független változókként szerepeljenek a regresszióban, ezeket digitalizálni kell. Ezek digitalizálásának egyik módja az álváltozók használata. A név nem teljesen sikeres - nem fiktívek, csak ezekre a célokra kényelmesebb olyan változókat használni, amelyek csak két értéket vesznek fel - nulla vagy egy. Ezt hívják fiktívnak. Általában egy minőségi változó több értékszintet is felvehet. Például, nem - férfi, nő; végzettség - magas, közepes, alacsony; szezonalitás - I., II., III. és IV. negyedév stb. Van egy szabály, amely szerint az ilyen változók digitalizálásához meg kell adni az álváltozók számát, eggyel kevesebbet, mint a modellezett mutató szintjei . Erre azért van szükség, hogy az ilyen változók ne legyenek lineárisan függőek.
Példáinkban a nem egy változó, amely férfiaknál 1, nőknél 0. A minősítésnek három szintje van, ezért két álváltozóra van szükség: például z 1 = 1 a magas szinthez, 0 a többihez; z 2 = 1 a középső szintnél, 0 a többinél. Lehetetlen egy harmadik hasonló változót bevezetni, mert ebben az esetben lineárisan függőnek bizonyulnának (z 1 + z 2 + z 3 \u003d 1), a mátrix determinánsa (X T X) nullára megy, és megkeresi az inverz mátrix (X T X) -1 nem sikerült volna. Mint ismeretes, a regressziós egyenlet paramétereinek becslését a következő arányból határozzuk meg: T X) -1 X T Y).
A dummy változókra vonatkozó együtthatók azt mutatják meg, hogy a függő változó értéke a vizsgált szinten hogyan tér el a hiányzó szinttől. Például, ha a fizetési szintet több jellemzőtől és képzettségi szinttől függően modellezzük, akkor a z 1-es együttható megmutatja, hogy a magas képzettségű szakemberek fizetése mennyiben tér el egy alacsony képzettségű szakember fizetésétől. , ha minden más tényező egyenlő, és az együttható z 2 -nél - hasonló jelentés az átlagos képzettségi szinttel rendelkező szakemberek esetében. Szezonalitás esetén három álváltozót kellene bevezetni (ha negyedéves adatokat vesszük figyelembe), és az ezekre vonatkozó együtthatók megmutatják, hogy a függő változó értéke mennyiben tér el a megfelelő negyedévre a függő változó szintjétől negyedévben, amelyet nem adtak meg a digitalizálásukkor.
Dummy változókat is bevezetünk a vizsgált mutatók dinamikájának szerkezeti változásainak modellezésére az idősorok elemzése során.
4. példa Szabványosított regressziós egyenlet és álváltozók
Tekintsünk egy példát standardizált együtthatók és álváltozók használatára a kétszobás lakások piacának elemzésén alapuló többszörös regressziós egyenlet alapján a következő változókkal:
ÁR - ár;
TOTSP - teljes terület;
LIVSP - lakóterület;
KITSP - konyha;
DIST - távolság a városközponttól;
SÉTA - egyenlő 1-gyel, ha a metróállomás gyalog elérhető, és egyenlő 0-val, ha tömegközlekedést kell használnia;
TÉGLA - egyenlő 1-gyel, ha a ház tégla, és egyenlő 0-val, ha panel;
SZINT - egyenlő 1-gyel, ha a lakás nem az első vagy az utolsó emeleten található, egyébként pedig 0;
TEL - egyenlő 1-gyel, ha a lakásban van telefon, és egyenlő 1-gyel, ha nincs;
A BAL egyenlő 1-gyel, ha van erkély, és 0-val, ha nincs erkély.
A számításokat STATISTICA szoftverrel végeztük (2.23. ábra). A -együtthatók jelenléte lehetővé teszi, hogy a változókat a függő változóra gyakorolt hatásuk mértéke szerint rendezze. Elemezzük röviden a számítási eredményeket.
Fisher statisztikái alapján arra a következtetésre jutottunk, hogy a regressziós egyenlet szignifikáns (p-szint< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
2.24. ábra – Lakáspiaci jelentés a STATISTICA PPP alapján
A többszörös meghatározás együtthatója 52%, ezért a regresszióban szereplő változók 52%-ban határozzák meg az árváltozást, a fennmaradó 48%-a pedig a lakás árváltozásának nem elszámolt tényezőktől függ. Beleértve a véletlenszerű áringadozásokat is.
A változó mindegyik együtthatója megmutatja, hogy mennyivel változik egy lakás ára (ceteris paribus), ha ez a változó eggyel változik. Így például a teljes terület 1 négyzetméterrel történő megváltoztatásakor. m, egy lakás ára átlagosan 0,791 USD-vel változik, és ha a lakás 1 km-re van a városközponttól, egy lakás ára átlagosan 0,596 USD-val csökken. stb. A dummy változók (az utolsó 5) megmutatják, hogy átlagosan mennyivel változik egy lakás ára, ha e változó egyik szintjéről a másikra lép. Így például, ha a ház tégla, akkor a benne lévő lakás átlagosan 3,104 USD. e. drágább, mint egy panelházban, és a telefon jelenléte egy lakásban átlagosan 1,493 USD-val emeli az árát. e. stb.
A -együtthatók alapján a következő következtetések vonhatók le. A legnagyobb, 0,514-nek megfelelő -együttható az „összterület” változó együtthatója, ezért mindenekelőtt egy lakás ára a teljes területének hatására alakul ki. A következő tényező a lakás árának változására gyakorolt hatás mértéke szempontjából a városközponttól való távolság, majd az anyag, amelyből a ház épült, majd a konyha területe stb. .
1 oldal
A standardizált regressziós együtthatók azt mutatják meg, hogy átlagosan hány szigmával változik az eredmény, ha a megfelelő x tényező egy szigmával változik, míg a többi tényező átlagos szintje változatlan marad. Tekintettel arra, hogy minden változó középre és normalizáltra van beállítva, a D reness standardizált együtthatói összehasonlíthatók egymással. Ezeket egymással összehasonlítva rangsorolhatja a tényezőket az eredményre gyakorolt hatásuk erőssége szerint. Ez a standardizált igénybevételi együtthatók fő előnye, szemben a tiszta igénybevételi együtthatókkal, amelyek összehasonlíthatatlanok egymással.
A parciális korreláció és a standardizált regressziós együtthatók konzisztenciája a képleteik kéttényezős elemzésben történő összehasonlításából látszik a legvilágosabban.
A parciális korreláció és a standardizált regressziós együtthatók konzisztenciája a képleteik összehasonlításából látszik a legvilágosabban egy kétirányú elemzésben.
A standardizált regressziós együtthatók becsléseinek értékeinek meghatározásához a (normálegyenletrendszer megoldására leggyakrabban a következő módszereket alkalmazzák: a determinánsok módszere, a négyzetgyök módszer és a mátrix módszer. A közelmúltban a mátrix módszer A regresszióanalízis problémáinak megoldására széles körben alkalmazták, itt egy normálegyenlet-rendszer determinánsok módszerével történő megoldását vizsgáljuk.
Más szóval, a kéttényezős elemzésben a parciális korrelációs együtthatók standardizált regressziós együtthatók, megszorozva a fix tényező maradék varianciáinak a faktorhoz és az eredményhez viszonyított arányának négyzetgyökével.
Van egy másik lehetőség a csoportosítási jellemzők szerepének, osztályozási jelentőségének felmérésére: standardizált regressziós együtthatók vagy külön determinációs együtthatók alapján (lásd a fejezetet).
Amint az a táblázatból látható. A 18. ábrán a vizsgált összetétel komponenseit a regressziós együtthatók abszolút értéke (b5) négyzetes hibájukkal (sbz) sorban elosztottam a szén-monoxidtól és a szerves savaktól az aldehidekig és az olajgőzökig. A standardizált regressziós együtthatók (p) kiszámításakor kiderült, hogy a koncentráció ingadozási tartományát figyelembe véve a keverék egészének toxicitásának kialakításában a ketonok és a szén-monoxid kerül előtérbe, míg a szerves savak maradnak. a harmadik helyen.
A feltételesen tiszta bf regressziós együtthatók különböző mértékegységekben kifejezett nevesített számok, ezért összehasonlíthatatlanok egymással. Ahhoz, hogy ezeket összehasonlítható relatív mutatókra konvertáljuk, ugyanazt a transzformációt alkalmazzuk, mint a párkorrelációs együttható megszerzésénél. A kapott értéket standardizált regressziós együtthatónak vagy - együtthatónak nevezzük.
A feltételes-tiszta regresszió együtthatói A; elnevezett számok, különböző mértékegységekben vannak kifejezve, ezért összehasonlíthatatlanok egymással. Ahhoz, hogy ezeket összehasonlítható relatív mutatókra konvertáljuk, ugyanazt a transzformációt alkalmazzuk, mint a párkorrelációs együttható megszerzésénél. A kapott értéket standardizált regressziós együtthatónak vagy - együtthatónak nevezzük.
A létszámszabványok kidolgozása során kezdeti adatokat gyűjtenek a vezető állomány létszámáról és a kiválasztott alapvállalkozások tényezőiről. Ezt követően az egyes függvényekhez szignifikáns tényezőket választunk ki korrelációs elemzés alapján, a korrelációs együtthatók értéke alapján. A függvény és a standardizált regressziós együttható párkorrelációs együtthatójának legmagasabb értékű faktorait választjuk ki.
A fenti számítások eredményei lehetővé teszik a vizsgált keveréknek megfelelő regressziós együtthatók csökkenő sorrendbe rendezését, és ezáltal azok veszélyességének számszerűsítését. Az így kapott regressziós együttható azonban nem veszi figyelembe az egyes komponensek lehetséges ingadozási tartományát a keverékben. Ennek eredményeként a nagy regressziós együtthatójú, de kis koncentrációtartományban ingadozó bomlástermékek kevésbé befolyásolhatják a teljes toxikus hatást, mint a viszonylag kis b-tartalmú összetevők, amelyeknek a keverék tartalma szélesebb tartományban változik. Ezért célszerűnek tűnik egy további művelet elvégzése - az úgynevezett standardizált p regressziós együtthatók kiszámítása (J.
Oldalak: 1
Gyakorlat.
- Egy adott adathalmazhoz készítsen lineáris többszörös regressziós modellt. Értékelje a megszerkesztett regressziós egyenlet pontosságát és megfelelőségét!
- Adja meg a modell paramétereinek közgazdasági értelmezését!
- Számítsa ki a szabványosított modell együtthatókat, és írja fel a regressziós egyenletet szabványos formában. Igaz-e, hogy egy áru ára nagyobb mértékben befolyásolja egy áru kínálatának volumenét, mint a munkavállalók bére?
- A kapott modellhez (természetes formában) ellenőrizze a maradékok homoszkedaszticitását Goldfeld-Quandt teszt segítségével.
- Ellenőrizze a kapott modellt a maradék autokorrelációra a Durbin-Watson teszt segítségével.
- Ellenőrizze, hogy az eredeti adatok homogenitására vonatkozó feltételezés megfelelő-e regressziós értelemben. Lehetséges-e két mintát (az első 8 és a fennmaradó 8 megfigyelésnél) egybe vonni, és egyetlen Y regressziós modellt figyelembe venni X-en?
1. A regressziós egyenlet becslése. Határozzuk meg a regressziós együtthatók becslési vektorát a Multiple Regression Equation szolgáltatás segítségével. A legkisebb négyzetek módszere szerint a vektor s a következő kifejezésből kapjuk: s = (X T X) -1 X T Y
Mátrix X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Mátrix Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
XT Mátrix
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Mátrixok szorzása, (X T X)
Keresse meg az inverz mátrixot (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7.0E-6 |
| 0.00037 | -7.0E-6 | 1.0E-6 |
A regressziós együtthatók becsléseinek vektora egyenlő
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Regressziós egyenlet (a regressziós egyenlet kiértékelése)
Y = 0,18 + 0,00297X 1 + 0,00347X 2
2. Páros korrelációs együtthatók mátrixa R. A megfigyelések száma n = 14. A modellben a független változók száma 2, a regresszorok száma pedig az egységvektort figyelembe véve megegyezik az ismeretlen együtthatók számával. Az Y előjelet figyelembe véve a mátrix dimenziója 4 lesz. Az X független változók mátrixának mérete (14 x 4).
Y-ből és X-ből álló mátrix
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
A transzponált mátrix.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
A T A mátrix.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
Az eredményül kapott mátrixnak a következő megfeleltetése van:
| ∑n | ∑y | ∑x1 | ∑x2 |
| ∑y | ∑y2 | ∑x1y | ∑x2y |
| ∑x1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x2x1 |
| ∑x2 | ∑yx2 | ∑x1x2 | ∑x 2 2 |
Keressük meg a páros korrelációs együtthatókat.
| Jellemzők x és y | ∑(x i ) | ∑(y i ) | ∑(x i y i ) | |||
| y és x 1 esetén | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| y és x 2 esetén | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| x 1 és x 2 esetén | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Jellemzők x és y | ||||
| y és x 1 esetén | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| y és x 2 esetén | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| x 1 és x 2 esetén | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
R páros korrelációs együtthatók mátrixa:
| - | y | x 1 | x2 |
| y | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Az x i legjelentősebb tényezők kiválasztásához a következő feltételeket kell figyelembe venni:
- az effektív jellemző és a faktor közötti kapcsolat magasabb legyen, mint az interfaktor kapcsolat;
- a tényezők közötti kapcsolat legfeljebb 0,7 lehet. Ha a mátrix interfaktoriális korrelációs együtthatója r xjxi > 0,7, akkor ebben a többszörös regressziós modellben multikollinearitás van .;
- egy tulajdonság magas interfaktoriális kapcsolata esetén a közöttük alacsonyabb korrelációs együtthatójú tényezőket választanak ki.
Esetünkben minden pár korrelációs együttható |r| Regressziós modell standard skálán A standard skálán lévő regressziós modell feltételezi, hogy a vizsgált jellemzők összes értékét standardokká (standardizált értékekké) alakítják át a következő képletekkel:
ahol x ji az x ji változó értéke az i-edik megfigyelésben.
Így az egyes standardizált változók origóját kombináljuk az átlagértékével, és a szórását tekintjük a változás mértékegységének. S.
Ha a változók közötti kapcsolat természetes léptékben lineáris, akkor az eredet és a mértékegység megváltoztatása nem sérti ezt a tulajdonságot, így a standardizált változók lineáris kapcsolattal lesznek kapcsolatban:
t y = ∑β j t xj
A β-együtthatók becsléséhez a legkisebb négyzetek módszerét használjuk. Ebben az esetben a normál egyenletrendszer a következő lesz:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Adatainkhoz (a páros korrelációs együtthatók mátrixából veszünk):
0,558 = β 1 + 0,508 β 2
0,984 = 0,508β 1 + β 2
Ezt a lineáris egyenletrendszert a Gauss-módszerrel oldjuk meg: β 1 = 0,0789; β2 = 0,944;
A regressziós egyenlet szabványosított formája:
y 0 = 0,0789x1 + 0,944x2
Az ebből a rendszerből talált β-együtthatók lehetővé teszik az együtthatók értékének meghatározását a regresszióban természetes skálán a következő képletekkel:
Szabványosított parciális regressziós együtthatók. Szabványosított parciális regressziós együtthatók - a β-együtthatók (β j) megmutatják, hogy az S (y) szórásának mekkora részével változik az előjel-eredmény y a megfelelő x j tényező szórásának értékével (S xj) való változásával, más (az egyenletben szereplő) tényezők azonos hatásával.
A maximum β j alapján meg lehet ítélni, hogy melyik tényező befolyásolja a legnagyobb mértékben az Y eredményt.
A rugalmassági együtthatók és a β-együtthatók alapján ellentétes következtetések vonhatók le. Ennek okai: a) egy tényező variációja nagyon nagy; b) tényezők többirányú hatása az eredményre.
A β j együttható a közvetlen (közvetlen) hatás mutatójaként is értelmezhető j-edik tényező (x j) az (y) eredményre. Többszörös regresszióban j A th faktornak nemcsak közvetlen, hanem közvetett (közvetett) befolyása is van az eredményre (azaz a modell egyéb tényezői révén).
A közvetett hatást a következő értékkel mérjük: ∑β i r xj,xi , ahol m a modellben szereplő tényezők száma. Teljes befolyás j-edik A közvetlen és közvetett hatások összegével egyenlő eredménytényező méri ennek a tényezőnek a lineáris párkapcsolati együtthatóját és az eredményt - r xj,y .
Példánkban tehát az x 1 tényező közvetlen hatását a regressziós egyenlet Y eredményére β j-val mérjük, és ez 0,0789; Ennek a tényezőnek az eredményre gyakorolt közvetett (közvetett) hatása a következőképpen definiálható:
r x1x2 β 2 = 0,508 * 0,944 = 0,4796
Az ökonometriában gyakran más megközelítést alkalmaznak a többszörös regresszió (2.13) paramétereinek meghatározására a kizárt együtthatóval:
Ossza el az egyenlet mindkét oldalát a magyarázott változó szórásával S Yés ábrázolja a következő formában:
Osszuk el és szorozzuk meg az egyes tagokat a megfelelő faktoriális változó szórásával, hogy megkapjuk a standardizált (középpontos és normalizált) változókat:
ahol az új változókat így jelöljük
.
Minden szabványosított változó átlaga nulla, szórása pedig egy.
A regressziós egyenlet szabványos formában a következő:
ahol 
- szabványosított regressziós együtthatók.
Szabványosított regressziós együtthatók 
eltér az együtthatóktól 
a megszokott, természetes formát annyiban, hogy értékük nem függ a modell magyarázó és magyarázó változóinak mérési skálájától. Ezenkívül egyszerű kapcsolat van köztük:
, (3.2)
ami egy másik módot ad az együtthatók kiszámítására 
ismert értékekkel 
, ami kényelmesebb például egy kéttényezős regressziós modell esetén.
5.2. Normál legkisebb négyzetek egyenletrendszere szabványosítva
változók
Kiderült, hogy a standardizált regresszió együtthatóinak kiszámításához csak a lineáris korreláció páronkénti együtthatóit kell ismerni. Annak bemutatására, hogy ez hogyan történik, kizárjuk az ismeretlent a normál legkisebb négyzetek egyenletrendszeréből 
az első egyenlet felhasználásával. Az első egyenletet megszorozzuk a ( 
), és tagonként hozzáadva a második egyenlethez, a következőt kapjuk:
A zárójelben lévő kifejezések helyettesítése a variancia és kovariancia jelöléssel
Írjuk át a második egyenletet a további egyszerűsítés kedvéért:
Osszuk el ennek az egyenletnek mindkét oldalát a változók szórásával S Yés ` S x 1 , és minden tagot elosztunk és megszorozunk a tag számának megfelelő változó szórásával:
A lineáris statisztikai összefüggés jellemzőinek bemutatása:
és standardizált regressziós együtthatók
,
kapunk:
Az összes többi egyenlet hasonló átalakítása után a lineáris LSM egyenletek normálrendszere (2.12) a következő, egyszerűbb formát ölti:
(3.3)
5.3. Szabványosított regressziós lehetőségek
A standardizált regressziós együtthatókat egy kéttényezős modell adott esetben a következő egyenletrendszerből határozzuk meg:
(3.4)
Ezt az egyenletrendszert megoldva a következőket kapjuk:
, (3.5)
. (3.6)
A pár korrelációs együtthatók talált értékeit behelyettesítve a (3.4) és (3.5) egyenletekbe, megkapjuk 
és 
. Ezután a (3.2) képletek segítségével könnyen kiszámítható az együtthatók becslése 
és 
, majd ha szükséges, számítsa ki a becslést 
képlet szerint 
6. Közgazdasági elemzés lehetőségei többtényezős modell alapján
6.1. Szabványosított regressziós együtthatók
A standardizált regressziós együtthatók azt mutatják meg, hogy hány szórással 
változás a magyarázott változó átlagán Y ha a megfelelő magyarázó változó x én
összegével változni fog 
egyik szórását, miközben az összes többi tényező átlagos szintjének ugyanazt az értéket tartja.
Tekintettel arra, hogy a standardizált regresszióban minden változó központosított és normalizált valószínűségi változóként van megadva, az együtthatók 
összehasonlíthatóak egymással. Ezeket egymással összehasonlítva rangsorolhatja a megfelelő tényezőket x én a magyarázott változóra gyakorolt hatás erősségével Y. Ez a fő előnye az együtthatókból származó standardizált regressziós együtthatóknak 
természetes formájú regressziók, amelyek egymással összehasonlíthatatlanok.
A standardizált regressziós együtthatók ezen tulajdonsága lehetővé teszi a legkevésbé szignifikáns tényezők kiszűrésekor történő felhasználást x én mintabecsléseik nullához közeli értékeivel 
. A lineáris regresszió modellegyenletéből való kizárásukat az átlagos érték nullával való egyenlőségére vonatkozó statisztikai hipotézisek tesztelése után hozzuk meg.
A 0,074-nek megfelelő béta együttható (3.2.1. táblázat) azt mutatja, hogy ha a reálbérek a szórása (σx1) értékével változnak, akkor a természetes népszaporulat átlagosan 0,074 σy-val változik. A 0,02-vel egyenlő béta együttható azt mutatja, hogy ha a teljes házasságkötési ráta a szórásának értékével (σx2-vel) változik, akkor a természetes népességnövekedés átlagosan 0,02 σy-val változik. Hasonlóképpen, az 1000 főre jutó bűncselekmények számának szórásértékével (σх3-mal) történő változása az effektív jellemző átlagosan 0,366 σy-val történő változását, valamint a lakóterület négyzetméterének bevitelét eredményezi. Az egy főre jutó helyiség évente a szórása értékével (σх4) az effektív jellemző átlagosan 1,32σy változásához vezet.
A rugalmassági együttható megmutatja, hogy átlagosan hány százalékkal változik y az előjeltényező 1%-os változása esetén. A dinamikasor elemzéséből ismert, hogy az effektív mutató növekedésének 1%-ának értéke negatív, hiszen a népesség minden egységében természetes népességfogyás tapasztalható. Ezért a növekedés valójában a veszteség csökkenését jelenti. Tehát a negatív rugalmassági együtthatók ebben az esetben azt a tényt tükrözik, hogy az egyes tényezők jellemzőinek 1% -os növekedésével a természetes kopás együtthatója a megfelelő százalékkal csökken. A reálbérek 1%-os emelésével a lemorzsolódási ráta 0,219%-kal, a teljes házasságkötési arány 1%-os növekedésével 0,156%-kal csökken. Az 1000 főre jutó bűncselekmények számának 1%-os növekedését a természetes népességfogyás 0,564 fős csökkenése jellemzi. Ez persze nem jelenti azt, hogy a bûnözés növelésével lehetne javítani a demográfiai helyzeten. A kapott eredmények azt mutatják, hogy minél több embert mentenek meg 1000 lakosra vetítve, annál több bűncselekmény esik erre az ezerre. Bemeneti négyzetméter növekedés. az egy főre jutó lakhatás évi 1%-kal a természetes veszteség 0,482%-os csökkenéséhez vezet
A rugalmassági együtthatók és a béta együtthatók elemzése azt mutatja, hogy az egy főre jutó lakás négyzetméteres üzembe helyezési tényezője van a legnagyobb hatással a természetes népességnövekedési együtthatóra, mivel ez felel meg a béta együttható legmagasabb értékének (1,32). Ez azonban nem jelenti azt, hogy a természetes népességnövekedési együttható változtatásának legnagyobb lehetőségei a vizsgált tényezők közül ennek megváltozásával járnak. A kapott eredmény azt tükrözi, hogy a lakáspiaci kereslet megfelel a kínálatnak, azaz minél nagyobb a népesség természetes szaporodása, annál nagyobb a lakásigénye és annál inkább épül.
A második legnagyobb béta (0,366) az 1000 főre jutó bűncselekmények számának felel meg. Ez persze nem jelenti azt, hogy a bûnözés növelésével lehetne javítani a demográfiai helyzeten. A kapott eredmények azt mutatják, hogy minél több embert mentenek meg 1000 lakosra vetítve, annál több bűncselekmény esik erre az ezerre.
A fennmaradó jellemzők közül a legnagyobb, a béta együttható (0,074) a reálbér-mutatónak felel meg. A természetes népességnövekedési együttható változtatásának legnagyobb lehetőségei a vizsgált tényezők közül ennek megváltozásával járnak. Az általános házassági ráta mutatója ebből a szempontból alulmúlja a reálbéreket, mivel Oroszországban a népesség természetes fogyása elsősorban a magas halandóságnak tudható be, amelynek növekedési üteme inkább anyagi támogatással, mintsem egy-egy támogatással csökkenthető. a házasság tényeinek növekedése.
3.3 A régiók kombinált csoportosítása reálbér és teljes házasságkötési arány szerint
A kombinált vagy többdimenziós csoportosítás két vagy több jellemzőn alapuló csoportosítás. Ennek a csoportosításnak az értéke abban rejlik, hogy nemcsak az egyes tényezők eredményre gyakorolt hatását mutatja, hanem azok kombinációjának hatását is.
Határozzuk meg a reálbérek és a teljes házasságkötési ráta hatását az 1000 főre jutó születésszámra!
Jellemző csoportokat különítünk el a vázolt jellemzők szerint. Ehhez faktor alapú (bérérték) rangsorolt és intervallum sorozatot építünk és elemezünk, meghatározzuk a csoportok számát és az intervallum méretét; majd minden csoporton belül a második előjel (házassági arány) szerint rangsorolt és intervallum sorozatot építünk, valamint beállítjuk a csoportok számát és az intervallumot is. A munka elvégzésének menetét a 2. fejezet mutatja be, ezért a számításokat mellőzve közöljük az eredményeket. A reálbérek értékénél 3 tipikus csoportot különböztetünk meg, a teljes házasságkötési aránynál 2 csoportot.
Készítünk egy kombinációs táblázat elrendezését, amelyben gondoskodunk a lakosság csoportokra, alcsoportokra való felosztásáról, valamint a régiók számának és az 1000 főre jutó születésszám rögzítésére szolgáló oszlopokról. A kiválasztott csoportokra és alcsoportokra vonatkozóan kiszámítjuk a születési arányszámokat (3.3.1. táblázat)
3.3.1. táblázat
A reálbérek és a teljes házasságkötési ráta hatása a születésszámra.
Elemezzük a kapott adatokat a születési ráta reálbértől és a házasságkötési aránytól való függésére vonatkozóan. Mivel az egyik jelet – a születési arányt – tanulmányozzuk, ennek adatait a következő formájú sakkkombinációs táblázatba írjuk (3.3.2. táblázat)
A kombinált csoportosítás lehetővé teszi, hogy felmérje az egyes tényezők születési arányára gyakorolt hatás mértékét külön-külön és azok kölcsönhatását.
3.3.2. táblázat
A születési ráta reálbértől és a házasságkötési aránytól való függése
Vizsgáljuk meg először a reálbérek értékének születésszámra gyakorolt hatását egy másik csoportosítási jellemző, a házasságkötési arány fix értékével. Tehát, ha a házasságkötési arány 13,2-ről 25,625-re emelkedik, az átlagos születési arány a bérek növekedésével az 1. csoport 9,04-ről 9,16-ra a 2. csoportban és 9,56-ra a 3. csoportban emelkedik; a születési ráta bérből való növekedése a 3. csoportban az 1-eshez képest: 9,56-9,04 = 0,52 fő 1000 lakosra. 25,625-38,05 közötti házasságkötési ráta mellett a növekedés ugyanennyi bérből: 10,27-9,49 = 0,78 fő 1000 lakosra. A tényezők kölcsönhatásából származó növekedés: 0,78-0,52=0,26 fő 1000 lakosra. Ebből egy teljesen természetes következtetés következik: a jólét növekedése motiválja, vagy inkább lehetővé teszi a jövőbe vetett bizalommal, hogy megvalósítsa az ember házassági vágyát és gyermekes családot. Ez a tényezők egymásra hatását mutatja.
Ugyanígy becsüljük meg a házasságkötési arány születési rátára gyakorolt hatását rögzített bérszint mellett. Ehhez hasonlítjuk össze az egyes csoportokon belül az „a” és „b” csoport születési arányát a reálbér tekintetében. A születési ráta növekedése a házasságkötési arány 25,625-38,05-re történő növekedésével 1000 lakosra vetítve az "a" csoporthoz képest: az 1. csoportban 5707,9 - 6808,7 rubel fizetéssel. havonta - 9,49-9,04 \u003d 0,45 fő / 1000 lakos, a 2. csoportban - 10,01-9,16 \u003d 0,85 fő / 1000 lakos és a 3. csoportban - 10,27-9,56 = 0,71 lakos Mint látható, a gyermekvállalási döntés a családi állapottól függ, pl. tényezők kölcsönhatása áll fenn, ami 0,26 fő/1000 lakos növekedést eredményez.
Mindkét tényező együttes növekedésével a születési ráta az 1. "a" alcsoport 9,04-ről 10,27 főre 1000 főre növekszik a 3. "b" alcsoportban.
Az ENSZ Európai Gazdasági Bizottságának képviselői a közelmúltban bejelentették, hogy az európai országokban öt évvel nőtt az első házasságkötés kora. A fiúk és a lányok szívesebben házasodnak, és 30 év után házasodnak össze. Az oroszok nem mernek 24-26 éves koruk előtt összeházasodni. Az Európára és Oroszországra is jellemző tendencia a házassági kapcsolatok számának csökkentésére irányult. A fiatalok egyre inkább a karriert és a személyes szabadságot részesítik előnyben. A hazai szakértők úgy látják, hogy ezek a folyamatok a hagyományos család mély válságának jelei. Véleményük szerint szó szerint utolsó napjait éli. A szociológusok azzal érvelnek, hogy a magánélet most a szerkezetváltás időszakán megy keresztül. A szó szokásos értelmében vett, "anya-apa-gyerekek" séma szerint élő család fokozatosan a múlté. A magánéletben az oroszok egyre inkább kísérleteznek, egyre több új családformát találnak ki, amely megfelelne a kor követelményeinek. „Most az ember gyakrabban változtat munkahelyet, szakmát, érdeklődési kört és lakóhelyet – mondta Anatolij Visnyevszkij, a Humán Demográfiai és Ökológiai Központ igazgatója a Novye Izvesztiának. „Gyakran változtat házastársat is, amit 20 évvel ezelőtt elfogadhatatlannak tartottak. .”
A szociológusok megjegyzik, hogy Oroszországban a válások növekedésének egyik oka a lakosság alacsony életszínvonala. „A statisztikák szerint Oroszországban körülbelül 10-15%-kal több válás van, mint Európában” – mondta Gontmakher úr (a Társadalomkutatási és Innovációs Központ tudományos igazgatója) az NI-nek. - De a válás okai nálunk és náluk is mások. Fölényünket elsősorban az diktálja, hogy a gazdasági problémák egyre inkább érintik az oroszok életét. A házastársak gyakrabban veszekednek, ha szűkös életkörülményeik vannak. A fiataloknak nem mindig sikerül önálló életet élniük. Ráadásul a régiókban sok férfi iszik, nem dolgozik, és nem tudja ellátni családját. Ez is váláshoz vezet.
Következtetés
Ebben a cikkben a lakosság életszínvonalának a természetes szaporodási folyamatokra gyakorolt hatásának statisztikai és közgazdasági elemzését végezzük.
Az idősorok elemzése kimutatta, hogy az elmúlt 10 évben nőtt a reálbér és a létminimum. Általánosságban elmondható, hogy ebben a 10 évben az effektív jel - a természetes szaporodási együttható - állandó. A kiválasztott jellemzőkben kialakuló változási folyamatok stabilitása olyan, hogy előrejelzés csak a reálbérek értékére és a halálozási rátára vonatkozóan lehetséges. A 2010-re felépített parabolikus trend szerint az átlagos reálbér előrejelzett értéke 17473,5 rubel lesz, a halálozási ráta pedig 12,75 főre csökken 1000 főre.
Az elemző csoportosítás közvetlen kapcsolatot mutatott ki a mutatók között: a bérek növekedésével a természetes szaporodás mutatói javulnak.
Egy két fős átlagbéres család azonban a legalacsonyabb jellemző csoportba tartozó 2, a középső és a legmagasabb jellemző csoportba tartozó 3 gyermek számára tud minimális fogyasztást biztosítani. Tekintettel arra, hogy a jövőben két gyermek „helyettesíti” szülei életét, enyhe népességnövekedés csak a középső és legmagasabb tipikus csoportokban lehetséges, majd csak a születési arányhoz képest alacsony halálozási arány mellett. Az oroszországi bérek által hordozott termékenységi potenciál alacsony az ország demográfiai helyzetének javításához. Ez csak azt mutatja, hogy szükség van egy demográfiai nemzeti projekt bevezetésére Oroszországban. A béremelés kedvezőbb hatással van a halálozási arányra, mint a születési rátára.
A korrelációs-regressziós modell felépítése során kiderült, hogy a faktorjelek (bérek, házasságkötési arányok, bûnözési ráták és lakáskiadás) egyidejû hatása a termelésre (természetes növekedés) átlagos kapcsolati erõvel figyelhetõ meg. A természetes népszaporulat együtthatójának 44,9%-os ingadozását a kiválasztott tényezők, 55,1%-át pedig egyéb, nem feltárt és véletlenszerű okok jellemzik. A természetes népszaporulati együttható változtatásának legnagyobb lehetőségei a reálbérek értékének változásával járnak.
A kombinált csoportosítás megerősítette, hogy a vagyon növekedése motiválja, vagy inkább lehetővé teszi a jövőbe vetett bizalommal, hogy megvalósítsa az ember házassági vágyát és gyermekes családot alapítson.
És végül fel kell mérni a demográfiai probléma megoldásának hatékonyságát hazánkban. Általánosságban elmondható, hogy az anyagi ösztönzők pozitív és hatékony hatása a lakosság természetes mozgásának folyamatára bizonyítást nyert. A másik dolog, hogy van egy olyan szociálpszichológiai probléma (alkoholizmus, erőszak, öngyilkosság) komplexuma, amely menthetetlenül csökkenti népességünk létszámát. Fő okuk az ember önmagához és másokhoz való hozzáállása. Ám ezeket a problémákat az állam nem tudja egyedül megoldani, a civil társadalomnak segítenie kell a kihalás problémájában, olyan erkölcsi értékeket kialakítva, amelyek a virágzó család létrehozására összpontosítanak.
Az állam pedig mindent meg tud és kell is tennie az ország életszínvonalának és minőségének emeléséért. Nem mondhatjuk, hogy államunk elhanyagolja ezeket a kötelességeket. Minden tőle telhetőt megtesz, hogy megtalálja és kipróbálja a demográfiai válságból kivezető utakat.
Felhasznált irodalom jegyzéke
1) Boriszov E.F. Közgazdaságtan: tankönyv - 2. kiadás, átdolgozott. és további - M .: TK Velby, Prospekt Kiadó, 2005. - 544 p.
2) Belousova S. a szegénység szintjének elemzése.// Economist.-2006, No. 10.-67.
3) Davydova L. A. A statisztika elmélete. oktatóanyag. Moszkva. Sugárút. 2005. 155 oldal;
4) Demográfia: Tankönyv / Az általános alatt. szerk. ON A. Volgin. M.: Rongyok Kiadója, 2003 - 384 p.
5) Efimova E. P. Társadalomstatisztika. Moszkva. Pénzügy és statisztika. 2003. 559 oldal;
6) Efimova E.P., Ryabtsev V.M. A statisztika általános elmélete. Oktatási kiadás. Moszkva. Pénzügy és statisztika. 1991. 304 oldal;
7) Zinchenko A.P. Workshop a statisztika általános elméletéről és a mezőgazdasági statisztikákról. Moszkva. Pénzügy és statisztika. 1988. 328 oldal;
8) Kadomtseva S. Szociálpolitika és népesség.// Economist.-2006, No. 7.-49.
9) Kozyrev V.M. A modern közgazdaságtan alapjai: Tankönyv. -2. kiadás, átdolgozva. és további –M.: Pénzügy és statisztika, 2001.-432p.
10) Konygina N. Brintseva G. Demográfus Anatolij Visnyevszkij arról, hogy mi késztet egy oroszt a gyerekek és a kényelem közötti választásra. 7
11) Nazarova N.G. Társadalomstatisztika tanfolyam. Moszkva. Finstatinform. 2000. 770 oldal;
13) A demográfia alapjai: Tankönyv / N.V. Zvereva, I.N. Veselkova, V.V. Elizarov.-M.: Felső. Shk., 2004.-374 p.: ill.
14) Az Orosz Föderáció elnökének 2007. április 26-i beszéde az Orosz Föderáció Szövetségi Közgyűléséhez.
15) Raisberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. Modern gazdasági szótár. – 4. kiadás, átdolgozva. és további -M.: INFRA-M, 2005.-480-as évek.
16) Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Statisztikai műhelymunka. - Szentpétervár: Péter, 2007.-288p.
17) A Szövetségi Statisztikai Szolgálat honlapja: www.gks.ru
18) Shaikin D.N. Oroszország népességének jövőbeli felmérése középtávon.// Statisztikai kérdések.-2007, 4. szám -47.o.
PONTJÁTÉK (ZSEPTEK KULCS)
1 átlagos havi nominálbér 2006-ban (rubelben)
2 fogyasztói árindex minden árutípusra és fizetős szolgáltatásra 2006-ban a tavalyi decemberi százalékban
3- átlagos havi reálbér 2006-ban (rubelben)
4 - lakosságszám 2006 elején
5 - lakosságszám 2006 végén
6 - éves átlagos népességszám 2006-ban
7 - a születések száma 2006-ban, fő
8 - a halálozások száma 2006-ban, fő
9 - születési ráta 2006-ban 1000 lakosra vetítve
10 - 1000 lakosra jutó halálozási arány 2006-ban
11 - természetes szaporodási együttható 2006-ban 1000 lakosra vetítve
12 - a létminimum értéke 2006-ra (rubelben)
13 - a lakosság 1000 főre jutó elkövetett bűncselekmények száma
14 - évente négyzetméternyi lakás beüzemelése személyenként
15 - teljes házasságkötési arány 1000 lakosra vetítve
1. melléklet
asztal
Reálbér, dörzsölje.
2. függelék
Létminimum, dörzsölje.
3. melléklet
