A célfüggvény optimális értékét ún. Tesztek az aktuális tudás ellenőrzéséhez

A harmadik sort elosztjuk az 5-tel egyenlő kulcselemmel, így az új táblázat harmadik sorát kapjuk.

Az alaposzlopok egyetlen oszlopnak felelnek meg.

A fennmaradó táblázatértékek kiszámítása:

"BP - Alapterv":

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Az indexsor értékei nem negatívak, ezért az optimális megoldást kapjuk: , ; .

Válasz: a legyártott termékek értékesítéséből származó maximális, 160/3 egységnek megfelelő nyereséget csak a második típusú termékek 80/9 egységnyi mennyiségben történő kiadása biztosítja.

2. számú feladat

Adott a nemlineáris programozás problémája. Határozza meg a célfüggvény maximumát és minimumát gráfelemző módszerrel. Állítsa össze a Lagrange-függvényt, és mutassa meg, hogy az elegendő minimális (maximális) feltételek teljesülnek a szélső pontokon.

Mert a rejtjel utolsó számjegye 8, ekkor A=2; B=5.

Mert a rejtjel utolsó előtti számjegye 1, akkor az 1-es számú feladatot kell választani.

Megoldás:

1) Rajzoljuk meg azt a területet, amelyet az egyenlőtlenségek rendszere határoz meg!

Ez a terület egy ABC háromszög a csúcsok koordinátáival: A(0; 2); B(4; 6) és C(16/3; 14/3).

A célfüggvény szintjei a (2; 5) pontban középre állított körök. A sugarak négyzetei a célfüggvény értékei lesznek. Ekkor az ábrán látható, hogy a célfüggvény minimális értékét a H pontban érjük el, a maximális értéket vagy az A vagy a C pontban.

A célfüggvény értéke az A pontban: ;

A célfüggvény értéke a C pontban: ;

Ez azt jelenti, hogy a függvény maximális értékét az A(0; 2) pontban érjük el, és egyenlő 13-mal.

Keressük meg a H pont koordinátáit.

Ehhez vegye figyelembe a rendszert:

ó

ó

Egy egyenes akkor érinti a kört, ha az egyenletnek egyedi megoldása van. Egy másodfokú egyenletnek egyedi megoldása van, ha a diszkrimináns 0.

Akkor ; ; - a függvény minimális értéke.

2) Állítsa össze a Lagrange függvényt a minimális megoldás megtalálásához:

Nál nél x 1 =2.5; x 2 =4.5 kapunk:

ó

A rendszernek van megoldása pl. elegendő extrém feltétel teljesül.

Összeállítjuk a Lagrange függvényt a maximális megoldás megtalálásához:

Elegendő feltételek az extrémumhoz:

Nál nél x 1 =0; x 2 =2 kapunk:

ó ó

A rendszernek is van megoldása, pl. elegendő extrém feltétel teljesül.

Válasz: a célfüggvény minimumát elérjük ; ; a maximális célfüggvényt akkor érjük el ; .

3. számú feladat

Két vállalkozás részesül pénzeszközökben az összegben d egységek. Amikor az első vállalkozáshoz osztják egy évre x egységnyi alap bevételt biztosít k 1 x egységek, és amikor a második vállalkozáshoz rendelik y alapegységeket, bevételt biztosít k 1 y egységek. Az első vállalkozás év végén fennálló pénzeszközök egyenlege egyenlő nx, és a másodikhoz az én. Hogyan lehet elosztani az összes pénzt 4 éven belül úgy, hogy a teljes bevétel a legnagyobb legyen? Oldja meg a problémát dinamikus programozással.

i=8, k=1.

A=2200; k1=6; k2=1; n=0,2; m=0,5.

Megoldás:

A teljes 4 éves időszak 4 szakaszra oszlik, amelyek mindegyike egy év. Számozzuk meg a szakaszokat az első évtől kezdve. Legyen X k és Y k a k-edik szakaszban az A és B vállalkozások számára allokált pénzeszközök. Ekkor az X k + Y k =a k összeg a k - abban a szakaszban felhasznált és az előző k - 1 szakaszból megmaradt pénzeszközök teljes összege. Az első szakaszban az összes allokált pénzeszköz felhasználásra kerül, és a 1 = 2200 egység. a k - abban a szakaszban kapott bevétel, amikor X k és Y k egység kerül kiosztásra, 6X k + 1Y k lesz. legyen a maximális bevétel az utolsó szakaszokban a k-tól kezdve - ez a szakasz f k (a k) egység. Írjuk fel az optimalitás elvét kifejező Bellman-féle funkcionális egyenletet: bármilyen legyen is a kezdeti állapot és a kezdeti megoldás, a következő megoldásnak optimálisnak kell lennie a kezdeti állapot eredményeként kapott állapothoz képest:

Minden szakaszhoz ki kell választani az X k értéket és az értéket Y k=ak- Xk. Ezt szem előtt tartva a bevételt a k-edik szakaszban találjuk:

A funkcionális Bellman-egyenlet így fog kinézni:

Fontolja meg az összes szakaszt, az utolsóval kezdve.

(mivel a lineáris függvény maximumát az x 4 = a 4 szakasz végén érjük el);

Megszerkesztjük a síkon a lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megvalósítható megoldásait, és geometriailag meghatározzuk a célfüggvény minimális értékét.

Beépítjük a koordinátarendszerbe x 1 oh 2 sort

Megtaláljuk a rendszer által meghatározott félsíkokat. Mivel a rendszer egyenlőtlenségei a megfelelő félsík bármely pontjára teljesülnek, elegendő ezeket bármelyik pontra ellenőrizni. A (0;0) pontot használjuk. Helyettesítsük be a koordinátáit a rendszer első egyenlőtlenségébe. Mert , akkor az egyenlőtlenség olyan félsíkot határoz meg, amely nem tartalmazza a (0;0) pontot. Hasonlóképpen definiáljuk a fennmaradó félsíkokat. A megvalósítható megoldások halmazát a kapott félsíkok közös részeként találjuk - ez az árnyékolt terület.

Építünk egy vektort és egy rá merőleges nulla szintű egyenest.

Az (5) egyenest a vektor irányába mozgatva azt látjuk, hogy a tartomány maximális pontja a (3) egyenes és a (2) egyenes metszéspontjának A pontjában lesz. Megtaláljuk az egyenletrendszer megoldását:

Szóval, megkaptuk a pontot (13;11) és.

Az (5) egyenest a vektor irányába mozgatva azt látjuk, hogy a tartomány minimumpontja az (1) egyenes és a (4) egyenes metszéspontjának B pontjában lesz. Megtaláljuk az egyenletrendszer megoldását:

Tehát megkaptuk a pontot (6;6) és.

2. Egy bútorgyártó cég kombinált szekrényeket és számítógépasztalokat gyárt. Gyártásuknak az alapanyagok (jó minőségű táblák, szerelvények) elérhetősége és az azokat feldolgozó gépek üzemideje korlátozza. Minden szekrényhez 5 m2 tábla szükséges, egy asztalhoz - 2 m2. A szerelvényeket 10 dollárért költik egy szekrényre, és 8 dollárt egy asztalra. A cég havonta akár 600 m2 táblát és kiegészítőket is átvehet beszállítóitól 2000 dollárért. Minden szekrényhez 7 óra gépi munka szükséges, egy asztalhoz - 3 óra. Havonta csak 840 gép üzemóra használható ki.

Hány kombinált szekrényt és számítógépasztalt kell egy cégnek havonta gyártania a profit maximalizálása érdekében, ha egy szekrény 100 dollárt hoz, és minden asztal 50 dollárt?

• 1. Állítsa össze a feladat matematikai modelljét, és oldja meg a szimplex módszerrel!
• 2. Állítsa össze a duális feladat matematikai modelljét, írja le a megoldását az eredeti megoldás alapján!
• 3. Határozza meg a felhasznált erőforrások szűkösségi fokát, és igazolja az optimális terv jövedelmezőségét!
• 4. Feltárja a kibocsátás további növelésének lehetőségeit az egyes erőforrástípusok felhasználásától függően.
• 5. Mérje fel egy új típusú termék - könyvespolcok - bevezetésének megvalósíthatóságát, ha 1 m 2 táblát és kiegészítőt 5 dollárért költenek egy polc gyártására, és 0,25 óra gépi működésre van szükség, valamint az értékesítésből származó nyereségre. egy polc 20 dollár.
• 1. Építsünk matematikai modellt erre a problémára:

Jelölje x 1 - a szekrények gyártási mennyisége, és x 2 - az asztalok gyártási mennyisége. Állítsunk össze egy kényszerrendszert és egy célfüggvényt:

A feladatot szimplex módszerrel oldjuk meg. Írjuk kanonikus formában:

Írjuk fel a feladat adatait táblázat formájában:

Asztal 1

Mert most minden delta nagyobb nullánál, akkor az f célfüggvény értékének további növelése lehetetlen, és kaptunk egy optimális tervet.

Bevezetés

Az emberi fejlődés modern szakasza annyiban más, hogy az energia évszázadát felváltja az informatika kora. Az új technológiák intenzív bevezetése zajlik az emberi tevékenység minden területén. Valós probléma van az információs társadalomra való átállással, amelynél az oktatás fejlesztésének prioritássá kell válnia. A társadalom tudásszerkezete is változik. Az egyén kreatív fejlődéséhez hozzájáruló alapvető ismeretek egyre fontosabbá válnak a gyakorlati életben. Fontos még a megszerzett tudás konstruktivitása, a célnak megfelelő strukturálás képessége. A tudás alapján a társadalom új információforrásai alakulnak ki. Az új ismeretek formálásának és elsajátításának a szisztematikus megközelítés szigorú módszertanára kell épülnie, amelyen belül külön helyet foglal el a modellszemlélet. A modellezési megközelítés lehetőségei rendkívül szerteágazóak mind az alkalmazott formális modellek, mind a modellezési módszerek megvalósításának módjai tekintetében. A fizikai modellezés lehetővé teszi megbízható eredmények elérését meglehetősen egyszerű rendszerek esetében.

Jelenleg lehetetlen megnevezni az emberi tevékenység olyan területét, ahol valamilyen szinten nem alkalmaznának modellezési módszereket. Ez különösen igaz a különféle rendszerek menedzselésére, ahol a legfontosabbak a kapott információkon alapuló döntéshozatali folyamatok.

1. A probléma megfogalmazása

minimális célfüggvény

Oldja meg a feladat 16. opciója szerint a döntési poligon által meghatározott kényszerrendszerhez a célfüggvény minimumának megtalálásának feladatát! A döntési sokszög az 1. ábrán látható:

1. ábra - Problémamegoldások sokszöge

Az alábbiakban bemutatjuk a kényszerrendszert és a probléma célfüggvényét:

A problémát a következő módszerekkel kell megoldani:

Grafikus módszer LP problémák megoldására;

Algebrai módszer LP feladatok megoldására;

Simplex módszer LP problémák megoldására;

Módszer az LP problémák megvalósítható megoldásának megtalálására;

A kettős LP probléma megoldása;

Az "ágak és határok" módszere egész számú LP feladatok megoldására;

Gomory módszere egész számú LP feladatok megoldására;

Balash módszer a logikai LP problémák megoldására.

Hasonlítsa össze a megoldás eredményeit különböző módszerekkel, hogy levonja a megfelelő következtetéseket a munkáról.

2. A lineáris programozási feladat grafikus megoldása

A lineáris programozási feladatok grafikus megoldását olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az ismeretlenek száma nem haladja meg a hármat. Kényelmes az oldatok tulajdonságainak kvalitatív tanulmányozására, és más módszerekkel (algebrai, elágazó és kötött stb.) együtt használják. A módszer ötlete a lineáris egyenlőtlenségek rendszerének grafikus megoldásán alapul.

Rizs. 2 Az LP feladat grafikus megoldása

Mélypont

Két A1 és A2 ponton áthaladó egyenes egyenlete:

AB: (0;1); (3;3)

V: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

korlátozásokkal:

Lineáris programozási feladat megoldása algebrai szimplex módszerrel

Az algebrai módszer alkalmazása a feladat megoldására az LP probléma reprezentációjának általánosítását igényli. Az egyenlőtlenségek formájában megadott eredeti kényszerrendszert a szabványos jelöléssé alakítjuk át, amikor a megszorításokat egyenlőségek formájában adjuk meg. A kényszerrendszer szabványos formává alakítása a következő lépéseket tartalmazza:

Alakítsd át az egyenlőtlenségeket úgy, hogy a változók és a szabadtagok a bal oldalon, a 0 pedig a jobb oldalon legyenek, i.e. hogy a bal oldal nullánál nagyobb vagy egyenlő legyen;

További változók bevezetése, amelyek száma megegyezik a korlátozási rendszerben lévő egyenlőtlenségek számával;

További korlátozások bevezetése a hozzáadott változók nem-negativitására vonatkozóan, cserélje ki az egyenlőtlenségjeleket szigorú egyenlőségjelekre.

Az LP feladat algebrai módszerrel történő megoldásakor egy feltételt adunk hozzá: a célfüggvénynek a minimumra kell irányulnia. Ha ez a feltétel nem teljesül, szükséges a célfüggvény megfelelő transzformálása (-1-gyel szorozni) és a minimalizálási probléma megoldása. A megoldás megtalálása után helyettesítse be a változók értékeit az eredeti függvényben, és számítsa ki az értékét.

A probléma algebrai módszerrel történő megoldása akkor tekinthető optimálisnak, ha az összes alapváltozó értéke nem negatív, és a szabad változók együtthatói a célfüggvény egyenletében szintén nem negatívak. Ha ezek a feltételek nem teljesülnek, akkor a fenti megszorítások eléréséhez az egyenlőtlenségek rendszerét át kell alakítani, egyes változókat másokkal kifejezve (változó szabad és alapváltozók). Feltételezzük, hogy az összes szabad változó értéke nulla.

A lineáris programozás problémáinak megoldására szolgáló algebrai módszer az egyik leghatékonyabb módszer kis méretű problémák kézi megoldására. nem igényel nagyszámú számtani számítást. Ennek a módszernek a gépi megvalósítása bonyolultabb, mint például a szimplex módszernél, mert az algebrai módszer megoldásának algoritmusa bizonyos mértékig heurisztikus, és a megoldás hatékonysága nagyban függ a személyes tapasztalatoktól.

szabad változók

St. sáv - hozzá. készlet

A nem-negativitás feltételei teljesülnek, így megtaláljuk az optimális megoldást.

3. Lineáris programozási feladat megoldása szimplex tábla segítségével

Megoldás: Tegyük a feladatot egy szabványos formára, amely szimplex tábla segítségével megoldható.

A rendszer összes egyenletét a következő alakra redukáljuk:

Egy szimplex táblát készítünk:

A táblázat minden cellájának felső sarkába beírjuk az egyenletrendszerből származó együtthatókat;

Az F sorban a maximális pozitív elemet választjuk, kivéve, hogy ez lesz az általános oszlop;

Annak érdekében, hogy megtaláljuk az általános elemet, minden pozitív elemre relációt építünk. 3/3; 9/1;- minimális arány az x3 sorban. Ezért - általános karakterlánc és =3 - általános elem.

Azt találjuk, hogy =1/=1/3. Bevisszük a cella alsó sarkát, ahol az általános elem található;

Az általános sor minden kitöltetlen alsó sarkában a cella felső sarkában lévő érték szorzatát adjuk meg by;

Jelölje ki az általános vonal felső sarkait;

Az általános oszlop minden alsó sarkába beírjuk a felső sarokban lévő érték szorzatát -val, és kiválasztjuk a kapott értékeket;

A táblázat többi cellája a megfelelő kiválasztott elemek szorzataként kerül kitöltésre;

Ezután készítünk egy új táblázatot, amelyben az általános oszlop és sor elemeinek celláinak megnevezése felcserélődik (x2 és x3);

A korábbi általános sor és oszlop felső sarkában azok az értékek vannak írva, amelyek korábban az alsó sarokban voltak;

Az előző táblázatban szereplő cellák felső és alsó sarkának értékeinek összege a többi cella felső sarkába van írva

4. A lineáris programozási feladat megoldása megvalósítható megoldás megtalálásával

Adjunk meg egy lineáris algebrai egyenletrendszert:

Feltételezhetjük, hogy minden, ellenkező esetben a megfelelő egyenletet megszorozzuk -1-gyel.

Bemutatjuk a segédváltozókat:

Bevezetünk egy segédfunkciót is

Megszorítások (2) és feltételek mellett minimalizáljuk a rendszert.

SZABÁLY A VÉGREHAJTÓ MEGOLDÁS KERESÉSÉRE: Az (1) rendszer megvalósítható megoldásának megtalálásához a (2) megszorítások mellett minimalizáljuk a (3) formát, szabad ismeretlenként xj-t vesszük alapnak.

Egy probléma szimplex módszerrel történő megoldása során két eset fordulhat elő:

min f=0, akkor minden i-nek nullának kell lennie. A kapott xj értékek pedig megvalósítható megoldást jelentenek az (1) rendszerre.

min f>0, azaz az eredeti rendszernek nincs megvalósítható megoldása.

Forrás rendszer:

Az előző téma problémakörének feltétele használatos.

Adjunk hozzá további változókat:

Az eredeti feladatra találunk egy elfogadható megoldást: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. A kapott megvalósítható megoldás alapján szimplex módszerrel találjuk meg az eredeti probléma optimális megoldását. Ehhez a fent kapott táblából egy új szimplex táblát készítünk a sor és a segédfeladat célfüggvényét tartalmazó sor törlésével:

A megszerkesztett szimplex táblát elemezve azt látjuk, hogy az eredeti probléma optimális megoldása már megvan (a célfüggvénynek megfelelő sorban szereplő elemek negatívak). Így a segédprobléma megoldása során talált megvalósítható megoldás egybeesik az eredeti probléma optimális megoldásával:

6. A lineáris programozás kettős problémája

A kezdeti kényszerrendszert és a probléma célfüggvényét az alábbi ábra mutatja.

korlátozásokkal:

Megoldás: A korlátozások rendszerét a szabványos formára hozzuk:

Az ezzel a kettős feladat így fog kinézni:

A kettős problémát a szimplex módszerrel oldjuk meg.

Alakítsuk át a célfüggvényt úgy, hogy a minimalizálási probléma megoldódjon, és írjuk fel a kényszerrendszert szabványos formában a szimplex módszerrel való megoldáshoz.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??perc

Szerkesszük meg a kezdeti szimplex tablót a duális LP probléma megoldására.

A szimplex módszer második lépése

Tehát a szimplex módszer harmadik lépésében a minimalizálási probléma optimális megoldását találtuk meg a következő eredményekkel: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. a duális probléma célfüggvénye, az alap- és szabadváltozók talált értékeit behelyettesítjük a maximalizálási függvénybe:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Mivel a direkt és a duális probléma célfüggvényének értéke megegyezik, a direkt probléma megoldása megtalálható, és egyenlő 12-vel.

Fmin \u003d Fmax \u003d -12

7. Egész számú lineáris programozás feladatának megoldása „elágazások és határok” módszerrel

Alakítsuk át az eredeti feladatot úgy, hogy az egész feltétel ne teljesüljön a hagyományos módszerekkel való megoldásnál.

Egy egészszámú programozási probléma megoldásainak kezdeti sokszöge.

Alkossunk egy új kényszerrendszert a transzformált megoldási sokszögre.

A kényszerrendszert egyenlőségek formájában írjuk fel algebrai módszerrel történő megoldáshoz.

A megoldás eredményeként az optimális feladatterv született: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Ez a megoldás nem felel meg a feladatban beállított integritási feltételnek. Az eredeti megoldási sokszöget két régióra osztjuk, a 3. régiót kizárjuk belőle

A problémamegoldások sokszöge megváltozott

Alkossunk új megszorítási rendszereket a megoldási sokszög képzett tartományaira. A bal oldali terület négyszög (trapéz). A megoldási sokszög bal oldali tartományára vonatkozó kényszerrendszert az alábbiakban mutatjuk be.

Korlátozó rendszer a bal oldali területre

A jobb oldali régió a C pontot jelenti.

Az alábbiakban bemutatjuk a helyes döntési terület kényszerrendszerét.

Az új kényszerrendszerek két mellékprobléma, amelyeket egymástól függetlenül kell megoldani. Oldjuk meg az egész számok programozásának feladatát a megoldási sokszög bal tartományára.

A megoldás eredményeként az optimális feladatterv született: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Ez a terv kielégíti a feladatban szereplő egész szám változók feltételét, és az eredeti egész lineáris programozási probléma optimális referenciatervének tekinthető. Nincs értelme a megoldást a megfelelő megoldási régióra végrehajtani. Az alábbi ábra egy egész számú lineáris programozási feladat megoldásának menetét mutatja fa formájában.

Egész számú lineáris programozási feladat megoldásának menete Gomory módszerrel.

Sok gyakorlati alkalmazásban nagy érdeklődésre tart számot az egészszámú programozás problémája, amelyben lineáris egyenlőtlenségek rendszere és lineáris alakja adott.

Meg kell találni az (1) rendszer olyan egész megoldását, amely minimalizálja az F célfüggvényt, és minden együttható egész szám.

Az egész számú programozási probléma megoldásának egyik módszerét Gomory javasolta. A módszer ötlete a folyamatos lineáris programozás módszereinek alkalmazása, különösen a szimplex módszer.

1) Simplex módszerrel meghatározzuk az (1), (2) feladat megoldását, amelynél megszűnik az a követelmény, hogy a megoldás egész szám legyen; ha a megoldás egész számnak bizonyul, akkor az egész probléma kívánt megoldását is megtaláljuk;

2) Ellenkező esetben, ha egy koordináta nem egész, a feladat kapott megoldását ellenőrizzük egész megoldás létezésének lehetőségére (egész pontok jelenléte egy megengedett poliéderben):

ha bármely tört szabad tagú egyenesben az összes többi együttható egész számnak bizonyul, akkor nincsenek egész számok, pontok egy megengedett poliéderben, és az egész számok programozási problémájának nincs megoldása;

Ellenkező esetben egy további lineáris megszorítás kerül bevezetésre, amely levág a megengedett poliéderből egy olyan részt, amely kilátástalan egy egészszámú programozási probléma megoldására;

3) További lineáris kényszer létrehozásához jelölje ki az l-edik sort egy tört szabad taggal, és írja fel a további kényszert

ahol és az együtthatók tört részei és szabad

tag. Vezessünk be egy segédváltozót a (3) kényszerbe:

Határozzuk meg a (4) kényszerben szereplő együtthatókat:

ahol az és a legközelebbi kisebb egész számok a és a.

Gomory bebizonyította, hogy véges számú ilyen lépés egy lineáris programozási problémához vezet, amelynek megoldása egész szám, és ezért a kívánt.

Megoldás: A lineáris kényszerrendszert és a célfüggvényt kanonikus formára redukáljuk:

Határozzuk meg a lineáris kényszerrendszer optimális megoldását, ideiglenesen elvetve az egész feltételt. Ehhez a szimplex módszert használjuk. Az alábbi táblázatok egymás után mutatják be a probléma kezdeti megoldását, és az eredeti táblázat transzformációit adjuk meg a probléma optimális megoldása érdekében:

Boolean LP feladatok megoldása Balash módszerrel.

Készítse el saját változatát a logikai változókkal végzett egész lineáris programozás problémájára, a következő szabályok figyelembevételével: a feladat legalább 5 változót használ, legalább 4 megszorítást, a kényszeregyütthatókat és a célfüggvényt tetszőlegesen választja ki, de egy ilyen hogy a kényszerrendszer kompatibilis legyen. A feladat a ZCLP megoldása Boole-változókkal a Balash algoritmus segítségével, és meghatározni a számítási komplexitás csökkenését a probléma kimerítő kereséssel történő megoldásához képest.

Korlátozások végrehajtása

F érték

Szűrési kényszer:

Számítási csökkentés meghatározása

A feladat megoldása kimerítő keresési módszerrel 6*25=192 számított kifejezés. A feladat megoldása a Balash módszerrel 3*6+(25-3)=47 számított kifejezés. A számítások összetettségének teljes csökkenése a probléma kimerítő keresési módszerrel történő megoldásához képest az.

Következtetés

Az új információs technológiát megvalósító információs rendszerek tervezési folyamatát folyamatosan fejlesztik. Az egyre összetettebb rendszerek kerülnek a rendszermérnökök figyelmének középpontjába, ami megnehezíti a fizikai modellek használatát, növeli a matematikai modellek és a rendszerek számítógépes szimulációinak jelentőségét. A gépi modellezés a komplex rendszerek kutatásának és tervezésének hatékony eszközévé vált. A matematikai modellek relevanciája folyamatosan növekszik a rugalmasságuk, a valós folyamatoknak való megfelelőségük, a modern PC-k alapján történő megvalósítás alacsony költsége miatt. Egyre több lehetőség nyílik a felhasználó, azaz a számítástechnikai eszközökkel modellező rendszerek specialistája számára. A modellezés alkalmazása különösen hatékony az automatizált rendszerek tervezésének korai szakaszában, amikor a hibás döntések költsége a legjelentősebb.

A modern számítástechnikai eszközök lehetővé tették a rendszerek tanulmányozása során használt modellek összetettségének jelentős növelését, lehetővé vált olyan kombinált, elemző és szimulációs modellek felépítése, amelyek figyelembe veszik a valós rendszerekben előforduló tényezők sokféleségét, azaz a vizsgált jelenségeknek megfelelőbb modellek alkalmazása.

Irodalom:

1. Lyascsenko I.N. Lineáris és nemlineáris programozás / I. N. Lyashchenko, E. A. Karagodova, N. V. Chernikova, N. Z. Shor. - K .: "Felsőiskola", 1975, 372 p.

2. Útmutató az "Alkalmazott matematika" szakterület kurzusprojektjének végrehajtásához a "Számítógépes rendszerek és hálózatok" szakterület hallgatói számára nappali és részmunkaidős oktatási formák / Összeállította: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Szevasztopol: SevNTU Kiadó, 2003. - 15 p.

3. Útmutató az "Alkalmazott matematika" tudományág tanulmányozásához, "A globális keresés és az egydimenziós minimalizálás módszerei" fejezet / Összeállítás. A. V. Skatkov, I. A. Balakireva, L. A. Litvinova - Szevasztopol: SevGTU Kiadó, 2000. - 31.

4. Útmutató az "Alkalmazott matematika" tudományág tanulmányozásához a nappali és levelező oktatási formák "Számítógépes rendszerek és hálózatok" szakterületének "Integer Lineáris programozási problémák megoldása" szakaszának hallgatói számára / Összeállította: I. A. Balakireva, A. V. Skatkov - Szevasztopol : SevNTU Kiadó, 2000. - 13 p.

5. Akulich I.L. Matematikai programozás példákban és feladatokban:

6. Proc. diákgazdasági támogatás. szakember. egyetemek.-M.: Felső. iskola, 1986.- 319s., ill.

7. Andronov S.A. Optimális tervezési módszerek: Előadás szövege / SPbGUAP. SPb., 2001. 169 p.: ill.

Hasonló dokumentumok

Algoritmus lineáris programozási feladatok megoldására szimplex módszerrel. Lineáris programozási probléma matematikai modelljének felépítése. Lineáris programozási feladat megoldása Excelben. Profit és optimális termelési terv megtalálása.

szakdolgozat, hozzáadva 2012.03.21


Grafikus problémamegoldás. Matematikai modell készítése. A célfüggvény maximális értékének meghatározása. Megoldás szimplex módszerrel egy kanonikus lineáris programozási feladat mesterséges alapjával. A megoldás optimálisságának ellenőrzése.

teszt, hozzáadva: 2016.04.05


A lineáris programozás elméleti alapjai. Lineáris programozás problémái, megoldási módszerek. Az optimális megoldás elemzése. Egyindexes lineáris programozási feladat megoldása. Problémanyilatkozat és adatbevitel. Modellépítés és megoldás lépései.

szakdolgozat, hozzáadva 2008.12.09


Matematikai modell felépítése. A lineáris programozás közvetlen problémájának szimplex módszerrel, szimplex táblázat felhasználásával történő megoldásának módszerének kiválasztása, indoklása és leírása. Kettős probléma megfogalmazása és megoldása. A modell érzékenységi elemzése.

szakdolgozat, hozzáadva 2014.10.31


Matematikai modell felépítése a vállalkozás profitjának maximalizálása érdekében, a probléma grafikus megoldása. Problémamegoldás a SOLVER kiegészítő használatával. Az erőforrás-tartalékok változásának elemzése. A célfüggvény együtthatói változási határainak meghatározása.

szakdolgozat, hozzáadva 2014.12.17


Matematikai programozás. Lineáris programozás. A lineáris programozás problémái. Grafikus módszer lineáris programozási probléma megoldására. A lineáris programozás problémájának közgazdasági megfogalmazása. Matematikai modell felépítése.

szakdolgozat, hozzáadva 2008.10.13


Lineáris programozási feladat megoldása grafikus módszerrel, ellenőrzése MS Excelben. A problémamegoldás belső szerkezetének elemzése a programban. Gyártási terv optimalizálása. A feladat megoldása szimplex módszerrel. Többcsatornás sorban állási rendszer.

teszt, hozzáadva 2012.02.05


Lineáris programozás feladatának megoldása szimplex módszerrel: feladatfelállítás, gazdasági és matematikai modell felépítése. A szállítási probléma megoldása potenciálok módszerével: a kiindulási referenciaterv elkészítése, optimális értékének meghatározása.

teszt, hozzáadva 2012.11.04


A nemlineáris programozás problémájának megfogalmazása. Stacionárius pontok és típusuk meghatározása. Szintvonalak felépítése, a célfüggvény és a korlátozások háromdimenziós grafikonja. A feladat grafikus és analitikus megoldása. Felhasználói kézikönyv és algoritmus séma.

szakdolgozat, hozzáadva 2012.12.17


Lineáris programozási probléma megoldásának elemzése. Simplex módszer szimplex táblákat használva. LP problémák modellezése és megoldása számítógépen. A probléma optimális megoldásának közgazdasági értelmezése. A közlekedési probléma matematikai megfogalmazása.

Ha egy lineáris programozási feladatban csak két változó van, akkor az grafikusan megoldható.

Tekintsünk egy lineáris programozási problémát két változóval és :
(1.1) ;
(1.2)
Itt tetszőleges számok vannak. A feladat lehet a maximum (max) és a minimum (min) megtalálása is. A korlátozások rendszerében táblák és táblák egyaránt jelen lehetnek.

A megvalósítható megoldások tartományának felépítése

Az (1) feladat grafikus megoldása a következő.
Először megrajzoljuk a koordinátatengelyeket és kiválasztjuk a léptéket. Az (1.2) kényszerrendszer minden egyenlőtlensége meghatároz egy félsíkot, amelyet a megfelelő egyenes határol.

Tehát az első egyenlőtlenség
(1.2.1)
vonallal határolt félsíkot határoz meg. Ennek a vonalnak az egyik oldalán és a másik oldalán. A legegyenesebb vonalon. Annak megállapításához, hogy az (1.2.1) egyenlőtlenség melyik oldalról teljesül, választunk egy tetszőleges pontot, amely nem fekszik az egyenesen. Ezután behelyettesítjük ennek a pontnak a koordinátáit (1.2.1). Ha az egyenlőtlenség fennáll, akkor a félsík tartalmazza a kiválasztott pontot. Ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor a félsík a másik oldalon helyezkedik el (nem tartalmazza a kiválasztott pontot). Árnyaljuk azt a félsíkot, amelyre az (1.2.1) egyenlőtlenség teljesül.

Ugyanezt tesszük az (1.2) rendszer többi egyenlőtlenségére is. Így megkapjuk az árnyékolt félsíkokat. A megengedhető megoldások tartományának pontjai minden (1.2) egyenlőtlenséget kielégítenek. Ezért grafikusan a megvalósítható megoldások területe (ODD) az összes megépített félsík metszéspontja. Árnyaljuk az ODR-t. Ez egy konvex sokszög, amelynek lapjai a megszerkesztett vonalakhoz tartoznak. Az ODR lehet egy korlátlan konvex alak, egy szegmens, egy sugár vagy egy egyenes.

Az is előfordulhat, hogy a félsíkok nem tartalmaznak közös pontokat. Ekkor a megengedett megoldások tartománya az üres halmaz. Ennek a problémának nincs megoldása.

Leegyszerűsítheti a módszert. Nem árnyékolhat minden félsíkot, hanem először megépítheti az összes vonalat
(2)
Ezután válasszon egy tetszőleges pontot, amely nem tartozik ezen vonalak egyikéhez sem. Helyettesítsük be ennek a pontnak a koordinátáit az (1.2) egyenlőtlenségrendszerbe! Ha minden egyenlőtlenség teljesül, akkor a megvalósítható megoldások területét a megszerkesztett vonalak korlátozzák, és magában foglalja a kiválasztott pontot. A megengedett megoldások területét a vonalak határai mentén árnyékoljuk úgy, hogy az tartalmazza a kiválasztott pontot.

Ha legalább egy egyenlőtlenség nem teljesül, válasszon másik pontot. És így tovább, amíg meg nem találunk egy pontot, amelynek koordinátái kielégítik az (1.2) rendszert.

A célfüggvény szélsőértékének megtalálása

Tehát van egy árnyékolt terület a megvalósítható megoldásokról (ODD). A megszerkesztett egyenesekhez tartozó szakaszokból és sugarakból álló szaggatott vonal határolja (2). Az ODR mindig konvex halmaz. Lehet korlátos vagy korlátlan halmaz bizonyos irányok mentén.

Most megkereshetjük a célfüggvény extrémumát
(1.1) .

Ehhez válasszon egy tetszőleges számot, és építsen egy egyenest
(3) .
A további bemutatás megkönnyítése érdekében feltételezzük, hogy ez az egyenes áthalad az ODS-en. Ezen az egyenesen a célfüggvény állandó és egyenlő a -val. az ilyen egyenest a függvény szintvonalának nevezzük. Ez az egyenes a síkot két félsíkra osztja. Egy félsíkon
.
A másik félsíkon
.
Vagyis az egyenes (3) egyik oldalán a célfüggvény növekszik. És minél távolabb helyezzük el a pontot a (3) egyenestől, annál nagyobb lesz az érték. Az egyenes (3) másik oldalán a célfüggvény csökken. És minél távolabb helyezzük el a pontot a (3) egyenestől a másik oldalra, annál kisebb lesz az érték. Ha a (3) vonallal párhuzamos vonalat húzunk, akkor az új egyenes egyben a célfüggvény szintvonala is lesz, de más értékkel.

Így a célfüggvény maximális értékének megtalálásához a (3) egyenessel párhuzamos egyenest kell húzni, attól amennyire lehetséges a növekvő érték irányába, és áthaladva. az ODT legalább egy pontja. A célfüggvény minimális értékének meghatározásához a (3) egyenessel párhuzamos egyenest kell húzni, attól a lehető legtávolabb a csökkenő értékek irányában, és legalább egy ponton áthaladva. az ODT.

Ha az ODE határtalan, akkor előfordulhat olyan eset, amikor egy ilyen egyenes nem húzható. Vagyis hiába távolítjuk el az egyenest a (3) szintvonaltól a növekedés (csökkenés) irányában, az egyenes mindig átmegy az ODR-en. Ebben az esetben tetszőlegesen nagy (kicsi) lehet. Ezért nincs maximális (minimális) érték. A problémának nincs megoldása.

Tekintsük azt az esetet, amikor a (3) alakú tetszőleges egyenessel párhuzamos szélső egyenes átmegy az ODD sokszög egyik csúcsán. A gráfból meghatározzuk ennek a csúcsnak a koordinátáit. Ezután a célfüggvény maximális (minimális) értékét a következő képlet határozza meg:
.
A probléma megoldása az
.

Előfordulhat olyan eset is, amikor az egyenes párhuzamos az ODD egyik lapjával. Ezután az egyenes áthalad az ODD sokszög két csúcsán. Meghatározzuk ezeknek a csúcsoknak a koordinátáit. A célfüggvény maximális (minimális) értékének meghatározásához használhatja az alábbi csúcsok bármelyikének koordinátáit:
.
A problémának végtelen sok megoldása van. A megoldás a és pontok közötti szakasz bármely pontja, beleértve magukat és a pontokat is.

Példa lineáris programozási feladat grafikus módszerrel történő megoldására

A feladat

A cég két A és B modell ruháit gyárt. Háromféle szövetet használnak. Egy modell A ruha gyártásához 2 m első típusú, 1 m második típusú szövet, 2 m harmadik típusú szövet szükséges. Egy B modell ruha gyártásához 3 m első típusú szövet, 1 m második típusú szövet, 2 m harmadik típusú szövet szükséges. Az első típusú szövet készletei 21 m, a második típusé 10 m, a harmadiké 16 m. Egy A típusú termék kibocsátása 400 den bevételt hoz. egység, egy B típusú termék - 300 den. egységek

Készítsen termelési tervet, amely a legnagyobb bevételt biztosítja a vállalat számára. Oldja meg a problémát grafikusan.

Megoldás

Legyen a változók és jelölje az A, illetve B modellek legyártott ruháinak számát. Ekkor az első típusú szövet felhasznált mennyisége a következő lesz:
(m)
A második típusú szövet mennyisége a következő lesz:
(m)
A harmadik típusú szövet mennyisége a következő lesz:
(m)
Mivel a legyártott ruhák száma nem lehet negatív, ezért
és .
Az előállított ruhák bevétele:
(den. egység)

Ekkor a probléma közgazdasági-matematikai modelljének formája a következő:

Grafikusan oldjuk meg.
Rajzolja meg a koordinátatengelyeket és .

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 7) és (10,5; 0) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 10) és (10; 0) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 8) és (8; 0) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

Árnyékoljuk a területet úgy, hogy a pont (2; 2) az árnyékolt részbe essen. Megkapjuk az OABC négyszöget.

(P1.1) .
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 4) és (3; 0) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

Továbbá megjegyezzük, hogy mivel a célfüggvény és a célfüggvény együtthatói pozitívak (400 és 300), akkor az és növekedésével növekszik. Az egyenessel (A1.1) párhuzamos egyenest húzunk, amennyire csak lehetséges, a növekedés irányába, és az OABC négyszög legalább egy pontján áthaladva. Egy ilyen egyenes áthalad a C ponton. A konstrukcióból meghatározzuk a koordinátáit.
.

A probléma megoldása: ;

Válasz

.
Vagyis a legnagyobb bevétel eléréséhez 8 darab A modell ruhát kell készíteni. A bevétel ebben az esetben 3200 den lesz. egységek

2. példa

A feladat

Lineáris programozási feladat megoldása grafikus módszerrel.

Megoldás

Grafikusan oldjuk meg.
Rajzolja meg a koordinátatengelyeket és .

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 6) és (6; 0) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

Egyenes vonalat építünk.
Innen.
Nál nél .
Nál nél .
A (3; 0) és (7; 2) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

Egyenes vonalat építünk.
Egyenes vonalat építünk (abszcissza tengely).

Az elfogadható megoldások (DDR) tartományát a megszerkesztett egyenesek korlátozzák. Hogy megtudjuk, melyik oldalról nézzük meg, hogy a pont az ODT-hez tartozik, mivel kielégíti az egyenlőtlenségek rendszerét:

A megszerkesztett vonalak határai mentén árnyékoljuk a területet úgy, hogy a (4; 1) pont az árnyékolt részbe essen. Az ABC háromszöget kapjuk.

Megszerkesztjük a célfüggvény tetszőleges szintvonalát, pl.
.
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 6) és (4; 0) pontokon keresztül egyenes szintvonalat húzunk.
Mivel a célfüggvény a és növelésével növekszik, a szintegyenessel párhuzamos és attól a lehető legtávolabbi egyenest húzzuk a növekedés irányába, és az ABC háromszög legalább egy pontján áthalad. Egy ilyen egyenes áthalad a C ponton. A konstrukcióból meghatározzuk a koordinátáit.
.

A probléma megoldása: ;

Válasz

Példa a megoldás hiányára

A feladat

Oldja meg grafikusan a lineáris programozás feladatát. Keresse meg a célfüggvény maximális és minimális értékét!

Megoldás

A feladatot grafikusan oldjuk meg.
Rajzolja meg a koordinátatengelyeket és .

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 8) és (2,667; 0) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 3) és (6; 0) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
A (3; 0) és (6; 3) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.

A vonalak és a koordinátatengelyek.

Az elfogadható megoldások (SDR) tartományát a megszerkesztett egyenesek és koordinátatengelyek korlátozzák. Hogy megtudjuk, melyik oldalról nézzük meg, hogy a pont az ODT-hez tartozik, mivel kielégíti az egyenlőtlenségek rendszerét:

Árnyékoljuk a területet úgy, hogy a pont (3; 3) az árnyékolt részbe essen. Egy korlátlan területet kapunk, amelyet az ABCDE szaggatott vonal határol.

Megszerkesztjük a célfüggvény tetszőleges szintvonalát, pl.
(P3.1) .
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 7) és (7; 0) pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk.
Mivel a és együtthatók pozitívak, akkor növekszik a növekvő és .

A maximum megtalálásához párhuzamos vonalat kell húzni, amennyire csak lehetséges, a növekedés irányába, és az ABCDE régió legalább egy pontján áthalad. Mivel azonban a régió határtalan a és a nagy értékek oldalán, ilyen egyenes nem húzható. Bármilyen egyenest húzunk is, mindig lesznek a régióban olyan pontok, amelyek távolabb vannak a növekedés és a növekedés irányában. Ezért nincs maximum. olyan nagyra készítheted, amennyit csak akarsz.

A minimumot keressük. Az (A3.1) egyenessel párhuzamos egyenest húzunk tőle a csökkenés irányába, amennyire csak lehetséges, és az ABCDE tartomány legalább egy pontján áthaladva. Egy ilyen egyenes áthalad a C ponton. A konstrukcióból meghatározzuk a koordinátáit.
.
A célfüggvény minimális értéke:

Válasz

Nincs maximális érték.
Minimális érték
.