Valószínűségi változó matematikai elvárásának becslése. A matematikai elvárás pontbecslései

Legyen egy valószínűségi változó x matematikai elvárással més diszperzió D, míg mindkét paraméter ismeretlen. Nagyságrend felett x előállított N független kísérletek, amelyek eredménye egy sor N számszerű eredményeket x 1 , x 2 , …, x N. A matematikai elvárás becsléseként természetes, hogy a megfigyelt értékek számtani átlagát javasoljuk.

(1)

Itt mint x i eredményeként kapott konkrét értékek (számok). N kísérletek. Ha másokat veszünk (függetlenül az előzőektől) N kísérleteket, akkor nyilván más értéket kapunk. Ha többet vesz N kísérletek során még egy új értéket kapunk . Jelölje X i eredő valószínűségi változó én kísérlet, majd a megvalósítások X i a kísérletek eredményeként kapott számok lesznek. Nyilvánvaló, hogy a valószínűségi változó X i ugyanolyan valószínűségi eloszlássűrűségű lesz, mint az eredeti valószínűségi változó x. Azt is feltételezzük, hogy a valószínűségi változók X iÉs Xj függetlenek a én, nem egyenlő j(különböző egymástól független kísérletek). Ezért az (1) képletet átírjuk egy másik (statisztikai) alakra:

(2)

Mutassuk meg, hogy a becslés elfogulatlan:

Így a minta átlagának matematikai elvárása megegyezik a valószínűségi változó valódi matematikai elvárásával m. Ez meglehetősen kiszámítható és érthető tény. Ezért a minta átlaga (2) felvehető egy valószínűségi változó matematikai elvárásának becsléseként. Felmerül a kérdés: mi történik a várakozási becslés szórásával a kísérletek számának növekedésével? Az analitikai számítások azt mutatják

ahol a matematikai elvárás becslésének szórása (2), és D- a valószínűségi változó valódi varianciája x.

A fentiekből az következik, hogy a növekvő N(kísérletek száma) a becslés szórása csökken, i.e. minél jobban összefoglaljuk a független implementációkat, annál közelebb kerül a várható értékhez a becslés.

Matematikai varianciabecslések

Első pillantásra a legtermészetesebb becslésnek tűnik

(3)

ahol a (2) képlet alapján számítjuk ki. Ellenőrizzük, hogy a becslés elfogulatlan-e. A (3) képlet a következőképpen írható fel:

A (2) kifejezést behelyettesítjük ebbe a képletbe:

Keressük meg a varianciabecslés matematikai elvárását:

(4)

Mivel egy valószínűségi változó varianciája nem függ attól, hogy mekkora a valószínűségi változó matematikai elvárása, a 0-val egyenlő matematikai elvárást vesszük, azaz. m = 0.

	(5)
nál nél .	(6)

Legyen egy X valószínűségi változó, melynek paraméterei a matematikai elvárás Aés a variancia ismeretlen. X értéke felett független kísérleteket végeztünk, amelyek x 1, x 2, x n eredményeket adtak.

Anélkül, hogy csökkentené az érvelés általánosságát, a valószínűségi változó ezen értékeit eltérőnek fogjuk tekinteni. Az x 1, x 2, x n értékeket független, azonos eloszlású X 1, X 2, X n valószínűségi változóknak tekintjük.

A statisztikai becslés legegyszerűbb módja - a helyettesítés és analógia módszere - abból áll, hogy az általános sokaság egyik vagy másik numerikus jellemzőjének (átlaga, variancia stb.) becsléseként a mintaeloszlás megfelelő karakterisztikáját veszik fel. - a minta jellemzője.

A helyettesítési módszerrel a matematikai elvárás becsléseként A fel kell venni a minta eloszlásának matematikai elvárását - a mintaátlagot. Így kapunk

A minta átlag becslésként való torzítatlanságának és konzisztenciájának tesztelése A, tekintsük ezt a statisztikát a választott vektor (X 1, X 2, X n) függvényének. Figyelembe véve, hogy az X 1, X 2, X n mennyiségek mindegyikének ugyanaz az eloszlási törvénye, mint az X mennyiségnek, arra a következtetésre jutunk, hogy ezen mennyiségek és az X mennyiség numerikus jellemzői megegyeznek: M(X én) = M(X) = a, D(X én) = D(X) = , én = 1, 2, n , ahol X i kollektíven független valószínűségi változók.

Ennélfogva,

Ezért definíció szerint azt kapjuk, hogy ez az elfogulatlan becslés A, és mivel D()®0 mint n®¥, akkor az előző bekezdés tétele alapján az elvárás következetes becslése A az általános lakosság.

A becslés hatékonysága vagy hatástalansága az X valószínűségi változó eloszlási törvényének alakjától függ. Bizonyítható, hogy ha az X értéket a normál törvény szerint oszlik el, akkor a becslés hatékony. Más terjesztési törvények esetében előfordulhat, hogy ez nem így van.

Az általános variancia elfogulatlan becslése a korrigált mintavariancia

,

Mert , hol van az általános szórás. Igazán,

Az általános variancia s -- 2 becslése is konzisztens, de nem hatékony. Normális eloszlás esetén azonban „aszimptotikusan hatékony”, vagyis ahogy n növekszik, szórásának aránya a lehetséges legkisebbhez viszonyítva korlátlanul közelít.

Tehát adott egy minta az F( x) X valószínűségi változó ismeretlen matematikai elvárással Aés diszperzió , akkor ezen paraméterek értékének kiszámításához jogunk van a következő közelítő képleteket használni:

a ,

.

Itt x-i- - mintavételi lehetőségek, n- i - - frekvencia opciók x i , - - minta nagysága.
A korrigált minta varianciájának kiszámításához a képlet kényelmesebb

.

A számítás egyszerűsítése érdekében célszerű feltételes opciókra váltani (előnyös az intervallumvariáció-sor közepén elhelyezkedő kezdőváltozatot c-nek venni). Akkor

, .

intervallum becslés

Fentebb megvizsgáltuk egy ismeretlen paraméter becslésének kérdését A egy szám. Az ilyen becsléseket pontbecsléseknek neveztük. Hátránya, hogy kis mintaméret mellett jelentősen eltérhetnek a becsült paraméterektől. Ezért annak érdekében, hogy képet kapjunk egy paraméter és becslése közötti közelségről, a matematikai statisztikában úgynevezett intervallumbecsléseket vezetnek be.

Legyen a mintában egy q * pontbecslés a q paraméterre. Általában a kutatókat előre megadják valamilyen kellően nagy g valószínűséggel (például 0,95; 0,99 vagy 0,999) ahhoz, hogy egy g valószínűségű esemény gyakorlatilag biztosnak tekinthető, és felvetik a kérdést, hogy találjanak-e ilyen e > 0 értéket melyik

.

Ezt az egyenlőséget módosítva a következőket kapjuk:

és ebben az esetben azt mondjuk, hogy a ]q * - e intervallum; q * + e[ lefedi a becsült q paramétert g valószínűséggel.

intervallum ]q * -e; q * +e [ hívják megbízhatósági intervallum .

A g valószínűséget ún megbízhatóság (megbízhatósági valószínűség) intervallum becslés.

A konfidenciaintervallum végei, pl. a q * -e és q * +e pontokat hívjuk bizalom határai .

Az e számot hívják értékelési pontosság .

Példaként a megbízhatósági határok meghatározásának problémájára nézzük meg egy olyan X valószínűségi változó matematikai elvárásának becslésének kérdését, amelynek normális eloszlási törvénye van paraméterekkel. Aés s, azaz X = N( a, s). A matematikai elvárás ebben az esetben egyenlő A. A megfigyelések szerint X 1, X 2, X n számítsa ki az átlagot és értékelés diszperzió s 2 .

Kiderül, hogy a mintaadatok alapján lehetséges egy valószínűségi változó konstruálása

amelynek Student-féle eloszlása ​​(vagy t-eloszlása) n = n -1 szabadságfokkal.

Használjuk az A.1.3 táblázatot, és keressük meg az adott g valószínűségre és az n számra a t g számot úgy, hogy a valószínűség

P(|t(n)|< t g) = g,

.

Nyilvánvaló átalakítások elvégzése után megkapjuk

Az F-kritérium alkalmazásának eljárása a következő:

1. Feltételezzük a populációk normális eloszlását. Adott a szignifikancia szinten a H 0 nullhipotézis megfogalmazódik: s x 2 = s y 2 a normál populációk általános szórásának egyenlőségéről a versengő H 1 hipotézis szerint: s x 2 > s y 2 .

2. Két független mintát kapunk n x és n y X és Y populációiból.

3. Számítsa ki a korrigált s x 2 és s y 2 mintavarianciák értékét (a számítási módszereket a 13.4. szakasz tárgyalja). A diszperziók közül a nagyobbat (s x 2 vagy s y 2) s 1 2-vel, a kisebbet - s 2 2-vel jelöljük.

4. Az F-kritérium értékét az F obs = s 1 2 / s 2 2 képlet alapján számítjuk ki.

5. A Fisher - Snedecor eloszlás kritikus pontjainak táblázata szerint egy adott a szignifikanciaszint és a szabadsági fokok száma esetén n 1 \u003d n 1 - 1, n 2 \u003d n 2 - 1 (n 1 egy nagyobb korrigált variancia szabadságfokainak száma), a kritikus pontot F cr (a, n 1, n 2) találjuk.

Vegye figyelembe, hogy az A.1.7 táblázat az egyoldali F-kritérium kritikus értékeit mutatja. Ezért, ha kétoldali kritériumot alkalmazunk (H 1: s x 2 ¹ s y 2), akkor a jobb oldali kritikus pontot F cr (a / 2, n 1, n 2) az a / szignifikancia szinttel kell keresni. 2 (a megadott fele), valamint az n 1 és n 2 szabadsági fokok száma (n 1 - a nagyobb szórású szabadsági fokok száma). Előfordulhat, hogy a bal oldali kritikus pont nem található.

6. Megállapítottam, hogy ha az F-kritérium számított értéke nagyobb vagy egyenlő, mint a kritikus (F obs ³ F cr), akkor az eltérések adott szignifikancia szinten jelentősen eltérnek. Ellenkező esetben (F obs< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

15.1. feladat. Az egy termelési egységre jutó nyersanyagfelhasználás a régi technológia szerint:

Új technológia:

Feltételezve, hogy a megfelelő X és Y általános sokaság normális eloszlású, ellenőrizze, hogy az új és a régi technológiák alapanyag-felhasználása nem tér el a változékonyságban, ha a szignifikancia szintet a = 0,1-nek vesszük.

Megoldás. A fent jelzett sorrendben járunk el.

1. Meg fogjuk ítélni az új és a régi technológiák alapanyag-felhasználásának változékonyságát a diszperziós értékek alapján. Így a nullhipotézis alakja H 0: s x 2 = s y 2 . Versengő hipotézisként elfogadjuk a H 1: s x 2 ¹ s y 2 hipotézist, mivel előre nem vagyunk biztosak abban, hogy valamelyik általános eltérés nagyobb a másiknál.

2-3. Keresse meg a minta eltéréseit. A számítások egyszerűsítése érdekében térjünk át a feltételes lehetőségekre:

u i = x i - 307, v i = y i - 304.

Minden számítást a következő táblázatok formájában rendezünk:

u i	m i	m i u i	én u i 2	m i (u i +1) 2		v i	n i	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

Vezérlés: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = Vezérlés: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

Keresse meg a javított minta eltéréseket:

4. Hasonlítsa össze az eltéréseket! Keresse meg a nagyobb korrigált variancia arányát a kisebbhez:

.

5. Feltétel szerint a versengő hipotézis s x 2 ¹ s y 2 formájú, ezért a kritikus tartomány kétoldali, és a kritikus pont megtalálásakor a megadott szignifikanciaszinteket kell felvenni.

Az A.1.7 táblázat szerint az a/2 = 0,1/2 = 0,05 szignifikanciaszint és a szabadsági fokok száma n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8 alapján a kritikus pont F cr ( 0,05; 12; 8) = 3,28.

6. Mivel F obl.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

Fentebb a hipotézisek tesztelésekor azt feltételeztük, hogy a vizsgált valószínűségi változók eloszlása ​​normális. Speciális vizsgálatok azonban kimutatták, hogy a javasolt algoritmusok nagyon stabilak (különösen nagy mintaméretek esetén) a normál eloszlástól való eltérés tekintetében.

Eloszlási paraméterek és statisztikák

Egy valószínűségi változó eloszlásának bármely paramétere, mint például a matematikai elvárás vagy a variancia, olyan elméleti érték, amely nem mérhető közvetlenül, bár megbecsülhető. Ezek mennyiségiek népesség és önmagukban is csak az elméleti modellezés során határozhatók meg, mint hipotetikus értékek, mivel egy valószínűségi változónak magában az általános sokaságban való eloszlásának jellemzőit írják le. Ezek gyakorlati meghatározása érdekében a kísérletet végző kutató elvégzi azok szelektív értékelését. Az ilyen értékelés statisztikai számítást tartalmaz.

Statisztika a vizsgált paraméterek egy valószínűségi változó eloszlását jellemző, mintaértékek vizsgálata alapján kapott mennyiségi jellemzőjét jelenti. A statisztikát vagy magának a mintának a leírására használjuk, vagy – ami a kísérleti alapkutatásban kiemelkedően fontos – a vizsgált általános sokaságban egy valószínűségi változó eloszlási paramétereinek becslésére.

A fogalmak szétválasztása "paraméter" És "statisztika" nagyon fontos, mivel lehetővé teszi számos olyan hiba elkerülését, amelyek a kísérletben kapott adatok helytelen értelmezésével járnak. Az a helyzet, hogy amikor statisztikai adatokkal megbecsüljük az eloszlás paramétereit, olyan értékeket kapunk, amelyek csak bizonyos mértékig közelítenek a becsült paraméterekhez. Szinte mindig van különbség a paraméterek és a statisztikák között, és általában nem tudjuk megmondani, mekkora ez a különbség. Elméletileg minél nagyobb a minta, a becsült paraméterek annál közelebb állnak a minta jellemzőihez. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a minta méretének növelésével óhatatlanul közelebb kerülünk a becsült paraméterhez, csökkentjük a különbséget az és a számított statisztika között. A gyakorlatban a dolgok sokkal bonyolultabbnak bizonyulhatnak.

Ha elméletileg a statisztika várható értéke egybeesik a becsült paraméterrel, akkor ilyen becslést hívunk elfogulatlan. Olyan becslést hívunk, amelyben a becsült paraméter várható értéke bizonyos mértékben eltér magától a paramétertől kiszorított.

Különbséget kell tenni az eloszlási paraméterek pont- és intervallumbecslései között is. pontozott becslésnek nevezzük valamilyen szám használatával. Például, ha azt állítjuk, hogy a tapintási érzékenység térbeli küszöbértéke egy adott alanyra adott körülmények között és egy adott bőrterületen 21,8 mm, akkor az ilyen értékelés pontbecslés lesz. Hasonlóképpen egy pontbecslés történik, amikor az időjárás-jelentés azt mondja, hogy kint 25°C van. Intervallumbecslés számok halmazának vagy tartományának használatát foglalja magában az értékelésben. A tapintási érzékenység térbeli küszöbét értékelve azt mondhatjuk, hogy 20-25 mm tartományba esik. Hasonlóan arról számolhatnak be az időjósok, hogy előrejelzéseik szerint a levegő hőmérséklete a következő 24 órában eléri a 22-24°C-ot. Egy valószínűségi változó intervallumbecslése lehetővé teszi, hogy ne csak a változó kívánt értékét határozzuk meg, hanem egy ilyen becslés lehetséges pontosságát is beállítsuk.

Matematikai elvárás és értékelése

Térjünk vissza az érmefeldobás élményéhez.

Próbáljunk meg válaszolni a kérdésre: hányszor essen ki a „sas”, ha tízszer feldobunk egy érmét? A válasz nyilvánvalónak tűnik. Ha a két eredmény valószínűsége egyenlő, akkor magukat az eredményeket is egyenlően kell elosztani. Más szóval, amikor egy közönséges érmét tízszer feldobnak, joggal számíthatunk arra, hogy az egyik oldala, például a „fej”, pontosan ötször esik ki. Hasonlóképpen, ha egy érmét 100-szor dobnak fel, akkor a fejeknek pontosan 50-szer kell kiesnie, ha pedig egy érmét 4236-szor, akkor 2118-szor kell megjelennie a számunkra érdekes oldalnak, nem több és nem kevesebb.

Tehát egy véletlen esemény elméleti értékét általában ún matematikai elvárás. A matematikai elvárást úgy kaphatjuk meg, hogy egy valószínűségi változó elméleti valószínűségét megszorozzuk a kísérletek számával. Formálisabban azonban az elsőrendű központi mozzanatként határozzák meg. A matematikai elvárás tehát egy valószínűségi változó azon értéke, amelyhez elméletileg hajlik az ismételt tesztek során, és ehhez képest változik.

Nyilvánvaló, hogy a matematikai elvárás, mint eloszlási paraméter elméleti értéke nem mindig egyenlő a számunkra érdekes valószínűségi változó statisztikában kifejezett empirikus értékével. Ha a kísérletet egy érme feldobásával végezzük, akkor nagyon valószínű, hogy tíz eredményből csak négyszer-háromszor jön fel fej, vagy éppen ellenkezőleg, nyolcszor, vagy talán soha. . Nyilvánvaló, hogy ezeknek az eredményeknek egy része valószínűbb, néhány kevésbé valószínű. Ha a normális eloszlás törvényét használjuk, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy minél inkább eltér az eredmény az elméletileg elvárttól, amelyet a matematikai elvárás értéke adja, annál kevésbé valószínű a gyakorlatban.

Tegyük fel továbbá, hogy ezt az eljárást többször megtettük, és soha nem vettük figyelembe az elméletileg várt értéket. Ekkor kétségeink támadhatnak az érme hitelességét illetően. Feltételezhetjük, hogy az érmünknek valójában nincs 50%-a esélye annak, hogy felbukkanjon. Ebben az esetben szükség lehet ennek az eseménynek a valószínűségének és ennek megfelelően a matematikai elvárás értékének becslésére. Ilyen igény akkor merül fel, amikor egy kísérletben egy folytonos valószínűségi változó, például reakcióidő eloszlását vizsgáljuk anélkül, hogy előzetesen elméleti modellünk lenne. Általában ez az első kötelező lépés a kísérleti eredmények kvantitatív feldolgozása során.

A matematikai elvárás háromféleképpen becsülhető meg, amelyek a gyakorlatban némileg eltérő eredményeket adhatnak, de elméletben minden bizonnyal a matematikai elvárás értékéhez kell vezetniük.

Egy ilyen értékelés logikáját az ábra szemlélteti. 1.2. A matematikai elvárás egy valószínűségi változó eloszlásának központi tendenciájának tekinthető X, mint ennek legvalószínűbb és ezért leggyakrabban előforduló értéke és mint az eloszlást két egyenlő részre osztó pont.

Rizs. 1.2.

Folytassuk képzeletbeli kísérleteinket egy érmével, és végezzünk el három kísérletet tízszeres érmefeldobással. Tegyük fel, hogy az első kísérletben a „sas” négyszer esett ki, ugyanez történt a második kísérletben, a harmadik kísérletben a „sas” több mint másfélszer gyakrabban – hétszer – esett ki. Logikus azt feltételezni, hogy a számunkra érdekes esemény matematikai elvárása valójában valahol ezen értékek között van.

Első, protozoon értékelési módszer a matematikai elvárás abban fog állni, hogy megtaláljuk számtani átlaga. Ekkor a fenti három mérés alapján a várható érték becslése (4 + 4 + 7) / 3 = 5 lesz. Hasonlóképpen a reakcióidővel végzett kísérletekben a várható érték az összes kapott érték számtani átlagának kiszámításával becsülhető meg. X. Tehát ha költöttünk P reakcióidő mérések X, akkor használhatjuk a következő képletet, amely megmutatja, hogy a számtani átlag kiszámításához x össze kell adni az empirikusan kapott értékeket, és el kell osztani a megfigyelések számával:

Az (1.2) képletben a matematikai elvárás mértékét általában ̅-vel jelöljük x (olvasható "x egy vonallal"), bár néha lehet jelölni M (angolról. átlagos - átlagos).

A számtani átlag a matematikai elvárás leggyakrabban használt becslése. Ilyen esetekben azt feltételezzük, hogy egy valószínűségi változó mérése ben történik metrikus skála. Nyilvánvaló, hogy a kapott eredmény egybeeshet vagy nem esik egybe a matematikai elvárás valódi értékével, amit soha nem tudunk. Fontos azonban, hogy ez a módszer az elfogulatlan a matematikai elvárás becslése. Ez azt jelenti, hogy a becsült érték várható értéke megegyezik a matematikai várakozásával: .

A második értékelési módszer A matematikai elvárás az, hogy a számunkra érdekes változó leggyakrabban előforduló értékét vegyük értékül. Ezt az értéket hívják elosztási divat. Például az érmefeldobásnál vizsgált esetben a „négy” a matematikai elvárás értékének vehető, hiszen a három elvégzett kísérletben ez az érték kétszer jelentkezett; ezért az elosztási mód ebben az esetben négyesnek bizonyult. A módusbecslést főként akkor használják, ha a kísérletező olyan változókkal foglalkozik, amelyek diszkrét értékeket vesznek fel nem metrikus skála.

Például egy vizsgán a tanulói osztályzatok eloszlásának leírásával megszerkeszthető a tanulói osztályzatok gyakorisági eloszlása. Ezt a frekvenciaeloszlást ún hisztogram. Ebben az esetben a legáltalánosabb becslést vehetjük a központi trend (matematikai várakozás) értékének. A folytonos értékekkel jellemezhető változók vizsgálatánál ezt a mértéket gyakorlatilag nem, vagy ritkán használják. Ha a kapott eredmények gyakorisági eloszlását ennek ellenére megszerkesztik, akkor ez általában nem a vizsgált tulajdonság kísérletben kapott értékeire vonatkozik, hanem annak megnyilvánulásának néhány intervallumára. Például az emberek magasságának vizsgálatakor láthatja, hogy hányan esnek a 150 cm-ig terjedő intervallumba, hányan esnek a 150 és 155 cm közötti intervallumba, és így tovább. Ebben az esetben a mód a vizsgált tulajdonság intervallumértékeihez kapcsolódik, ebben az esetben a növekedéshez.

Nyilvánvaló, hogy a módusz, akárcsak a számtani átlag, egybeeshet vagy nem esik egybe a matematikai elvárás tényleges értékével. De csakúgy, mint a számtani átlag, a módusz is a matematikai elvárás elfogulatlan becslése.

Hozzátesszük, hogy ha a mintában két érték egyformán gyakran fordul elő, akkor egy ilyen eloszlást hívunk bimodális. Ha a mintában három vagy több érték egyformán gyakran fordul elő, akkor az ilyen mintának nincs módja. Az ilyen, kellően nagy számú megfigyelést tartalmazó esetek általában azt jelzik, hogy az adatokat az általános sokaságból vonják ki, amelynek eloszlása ​​eltér a normálistól.

Végül, harmadik értékelési módszer A matematikai elvárás az, hogy a számunkra érdekes paraméter szerint a tantárgyak mintáját pontosan a felére osszuk. Az ezt a határt jellemző értéket ún középső terjesztés.

Tegyük fel, hogy jelen vagyunk egy síversenyen, és annak befejezése után azt szeretnénk értékelni, hogy a sportolók közül melyik mutatott átlag feletti eredményt, és melyik alul. Ha a résztvevők összetétele többé-kevésbé egyenletes, akkor az átlageredmény értékelésekor logikus a számtani átlag kiszámítása. Tegyük fel azonban, hogy a profi résztvevők között több amatőr is van. Nem sok van belőlük, de a többinél lényegesen gyengébb eredményeket mutatnak. Ebben az esetben kiderülhet, hogy a versenyen 100 résztvevőből például 87-en mutattak átlag feletti eredményt.Egyértelmű, hogy az átlagos trend ilyen értékelése nem mindig felel meg nekünk. Ebben az esetben logikus azt feltételezni, hogy az átlagos eredményt azok a résztvevők mutatták, akik valahol az 50. vagy az 51. helyen végeztek. Ez lesz az eloszlás mediánja. 49 résztvevő az 50., 49 pedig az 51. döntős előtt végzett. Persze az is kiderülhet, hogy azonos idővel végeztek. Akkor nincs gond. Akkor sincs probléma, ha a megfigyelések száma páratlan. Más esetekben azonban használhatja a két résztvevő eredményének átlagolását.

A medián egy eloszlás kvantilisének speciális esete. kvantilis az elosztás része. Formálisan a változó két értéke közötti eloszlás integrálértékeként definiálható x. Így az érték x akkor lesz az eloszlás mediánja, ha az eloszlás integrálértéke (valószínűségi sűrűség) -∞ és x egyenlő az eloszlás integrálértékével x +∞-ig. Hasonlóképpen az elosztás négy, tíz vagy 100 részre osztható. Az ilyen kvantilisek rendre ún kvartilisek, decilisek És százalékos. Vannak más típusú kvantilisok is.

Csakúgy, mint a két előző matematikai elvárás becslési módszere, a medián a matematikai elvárás torzítatlan becslése.

Elméletileg feltételezzük, hogy ha valóban egy valószínűségi változó normális eloszlásával van dolgunk, akkor a matematikai elvárás mindhárom becslésének ugyanazt az eredményt kell adnia, mivel mindegyik egy változatot képvisel. elfogulatlan a becsült valószínűségi változó azonos eloszlási paraméterének becslései (lásd 1.2. ábra). A gyakorlatban azonban ez ritkán fordul elő. Ennek oka elsősorban az lehet, hogy az elemzett eloszlás eltér a normáltól. De az ilyen eltérések fő oka általában az, hogy a matematikai elvárás értékének becslésével olyan értéket kaphatunk, amely jelentősen eltér a valódi értékétől. Azonban, mint fentebb megjegyeztük, a matematikai statisztikákban bebizonyosodott, hogy minél több független tesztet hajtanak végre a szóban forgó változón, annál közelebb kell a becsült értéknek lennie a valódihoz.

Így a gyakorlatban a matematikai elvárás becslésére szolgáló módszer megválasztását nem az a vágy határozza meg, hogy pontosabb és megbízhatóbb becslést kapjunk erre a paraméterre, hanem csak a kényelmi szempontok. A matematikai várakozás becslési módszerének megválasztásában is bizonyos szerepet játszik a mérési skála, amely a becsült valószínűségi változó megfigyeléseit tükrözi.

Vegyünk egy ismeretlen matematikai elvárású és szórással rendelkező valószínűségi változót független kísérleteknek, amelyek eredményt hoztak - . Számítsunk konzisztens és torzítatlan becsléseket a és paraméterekre.

A matematikai elvárás becsléseként a kísérleti értékek számtani átlagát vesszük

. (2.9.1)

A nagy számok törvénye szerint ez a becslés az gazdag , valószínűségi nagyságrenddel. Ugyanez a becslés elfogulatlan , mert a

. (2.9.2)

Ennek a becslésnek a szórása az

. (2.9.3)

Megmutatható, hogy normál eloszlás esetén ez a becslés hatékony . Más törvények esetében ez nem biztos, hogy így van.

Most becsüljük meg a szórást. Először válasszunk egy képletet a becsléshez statisztikai diszperzió

. (2.9.4)

Vizsgáljuk meg a varianciabecslés konzisztenciáját. Nyissuk meg a zárójeleket a (2.9.4) képletben!

.

Mert az első tag valószínűség szerint konvergál a mennyiséghez , a másodikban - to . Így a becslésünk valószínűségben konvergál a szóráshoz

,

tehát ő gazdag .

Ellenőrizzük elfogulatlanság a mennyiségre vonatkozó becslések. Ehhez behelyettesítjük a (2.9.1) kifejezést a (2.9.4) képletbe, és figyelembe vesszük, hogy a valószínűségi változók független

,

. (2.9.5)

Menjünk át a (2.9.5) képletben a valószínűségi változók fluktuációira

A zárójeleket kiterjesztve azt kapjuk

,

. (2.9.6)

Számítsuk ki a (2.9.6) érték matematikai elvárását ennek figyelembevételével

. (2.9.7)

A (2.9.7) reláció azt mutatja, hogy a (2.9.4) képlettel számított érték nem elfogulatlan becslés diszperzióhoz. Matematikai elvárása nem egyenlő, de valamivel kisebb. Egy ilyen becslés lefelé irányuló szisztematikus hibához vezet. Az ilyen torzítás kiküszöbölése érdekében korrekciót kell bevezetni az érték szorzásával. Ekkor egy ilyen korrigált statisztikai szórás a variancia torzítatlan becsléseként szolgálhat

. (2.9.8)

Ez a becslés ugyanolyan konzisztens, mint a becslés, mert .

A gyakorlatban a becslés (2.9.8) helyett néha kényelmesebb a második kezdeti statisztikai momentumhoz kapcsolódó ekvivalens becslést használni.

. (2.9.9)

A (2.9.8), (2.9.9) becslések nem hatékonyak. Kimutatható, hogy normális eloszlás esetén azok lesznek aszimptotikusan hatékony (mikor hajlik a lehető legkisebb értékre).

Így a korlátozott statisztikai anyagok feldolgozására az alábbi szabályokat lehet megfogalmazni. Ha független kísérletekben a valószínűségi változó veszi az értékeket ismeretlen matematikai elvárásokkal és szórással, akkor ezeknek a paramétereknek a meghatározásához közelítő becsléseket kell használni

(2.9.10)

Munka vége -

Ez a téma a következőkhöz tartozik:

Előadásjegyzetek matematika valószínűségszámítás matematikai statisztika

Felsőfokú Matematika és Informatika Tanszék.. jegyzetek.. matematikából..

Ha további anyagra van szüksége ebben a témában, vagy nem találta meg, amit keresett, javasoljuk, hogy használja a munkaadatbázisunkban található keresést:

Mit csinálunk a kapott anyaggal:

Ha ez az anyag hasznosnak bizonyult az Ön számára, elmentheti az oldalára a közösségi hálózatokon:

csipog

Az összes téma ebben a részben:

Valószínűségi elmélet
A valószínűségszámítás a matematikának egy olyan ága, amely a véletlenszerű tömegjelenségek mintázatait vizsgálja. A véletlenszerűség olyan jelenség, amely

A valószínűség statisztikai meghatározása
Az esemény egy véletlenszerű jelenség, amely a tapasztalat eredményeként megjelenhet vagy nem (kétértékű jelenség). Az eseményeket nagy latin betűkkel jelölje

Az elemi események tere
Egy eseményhalmaz társuljon valamilyen élménnyel, és: 1) az élmény eredményeként egy és egyetlen

Műveletek az eseményeken
Két esemény összege és

Permutációk
Az elemek különböző permutációinak számát jelöljük

Szálláshelyek
Elemek elhelyezése által

Kombinációk
Elemek kombinációja

Az inkompatibilis események valószínűségeinek hozzáadásának képlete
Tétel. Két összeférhetetlen esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével. (1

Valószínűségi összeadási képlet önkényes eseményekhez
Tétel. Két esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével a szorzatuk valószínűsége nélkül.

Valószínűségi szorzási képlet
Legyen két esemény adott. Gondolj egy eseményre

Teljes valószínűségi képlet
Legyen az összeférhetetlen események teljes csoportja, ezeket hipotéziseknek nevezzük. Gondolj valami eseményre

Hipotézisek valószínűségi képlete (Bayes)
Fontolja meg újra - az összeférhetetlen hipotézisek és az esemény teljes csoportját

Aszimptotikus Poisson-képlet
Olyan esetekben, amikor a kísérletek száma nagy és egy esemény bekövetkezésének valószínűsége

Véletlenszerű diszkrét változók
A véletlenszerű érték olyan mennyiség, amely a kísérlet megismétlésekor egyenlőtlen számértékeket vehet fel. A valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük,

Véletlenszerű folytonos változók
Ha egy kísérlet eredményeként egy valószínűségi változó egy adott szakaszból vagy a teljes valós tengelyből tetszőleges értéket vehet fel, akkor azt folytonosnak nevezzük. törvény

Egy véletlenszerű folytonos változó valószínűségi sűrűségfüggvénye
Legyen. Tekintsünk egy pontot, és adjunk neki növekményt

Valószínűségi változók numerikus jellemzői
A véletlenszerű diszkrét vagy folytonos változókat akkor tekintjük teljesen meghatározottnak, ha ismertek eloszlási törvényeik. Valójában az eloszlás törvényeinek ismeretében mindig ki lehet számítani az ütés valószínűségét

Valószínűségi változók kvantilisei
Egy véletlenszerű folytonos változó rendjének kvantilisa

Valószínűségi változók matematikai elvárása
Egy valószínűségi változó matematikai elvárása jellemzi annak átlagértékét. A valószínűségi változó összes értéke ezen érték köré csoportosul. Tekintsünk először egy véletlenszerű diszkrét változót

Valószínűségi változók szórása és szórása
Tekintsünk először egy véletlenszerű diszkrét változót. A módusz numerikus jellemzői, a medián, a kvantilisok és a matematikai elvárás

Valószínűségi változók pillanatai
A valószínűség-elmélet a matematikai elvárásokon és variancia mellett magasabb rendű numerikus jellemzőket használ, amelyeket valószínűségi változók momentumainak nevezünk.

Tételek a valószínűségi változók numerikus jellemzőiről
1. Tétel. Egy nem véletlen változó matematikai elvárása magával az értékkel egyenlő. Bizonyíték: hagyjuk

Binomiális eloszlás törvénye

Poisson-eloszlási törvény
Legyen egy véletlen diszkrét változó, amely veszi az értékeket

Egységes elosztási törvény
A véletlenszerű folytonos változó egységes eloszlási törvénye a valószínűségi sűrűségfüggvény törvénye, amely

Normál elosztási törvény
Egy véletlenszerű folytonos változó normális eloszlási törvénye a sűrűségfüggvény törvénye

Az exponenciális eloszlás törvénye
A valószínűségi változó exponenciális vagy exponenciális eloszlását a valószínűségszámítás olyan alkalmazásaiban használják, mint a sorelmélet, a megbízhatóságelmélet

Valószínűségi változók rendszerei
A gyakorlatban a valószínűségszámítás alkalmazásaiban gyakran kell megküzdeni olyan problémákkal, amelyekben egy kísérlet eredményeit nem egy valószínűségi változó, hanem egyszerre több valószínűségi változó írja le.

Két véletlenszerű diszkrét változó rendszere
Két véletlenszerű diszkrét változó alkosson egy rendszert. Véletlenszerű érték

Két véletlenszerű folytonos változó rendszere
Most legyen a rendszer két folytonos véletlen változóval. Ennek a rendszernek az eloszlási törvényét valószínűleg nevezzük

Az eloszlás feltételes törvényei
Legyen és függő véletlen folytonos változók

Két valószínűségi változóból álló rendszer numerikus jellemzői
A valószínűségi változók rendszerének rendjének kezdeti momentuma

Több valószínűségi változó rendszere
A két valószínűségi változóból álló rendszerre kapott eredmények tetszőleges számú valószínűségi változóból álló rendszerek esetére általánosíthatók. A rendszert a halmaz alkotja

Két valószínűségi változóból álló rendszer normális eloszlása
Tekintsünk két véletlenszerű folytonos változóból álló rendszert. Ennek a rendszernek az eloszlási törvénye a normál eloszlási törvény

A valószínűségszámítás határtételei
A valószínűségszámítás tudományágának fő célja a véletlenszerű tömegjelenségek mintázatainak vizsgálata. A gyakorlat azt mutatja, hogy homogén véletlenszerű jelenségek tömegének megfigyelése feltárja

Csebisev egyenlőtlensége
Tekintsünk egy valószínűségi változót matematikai elvárásokkal

Csebisev tétele
Ha a valószínűségi változók páronként függetlenek és véges varianciájuk van korlátos a sokaságban

Bernoulli tétele
A kísérletek számának korlátlan növekedésével egy esemény előfordulási gyakorisága valószínűségében konvergál az esemény valószínűségéhez

Központi határérték tétel
Ha olyan valószínűségi változókat adunk hozzá bármilyen eloszlási törvényhez, amelyek varianciái az aggregátumban korlátozottak, az eloszlási törvény

A matematikai statisztika fő feladatai
A valószínűségszámítás fentebb tárgyalt törvényei a különféle véletlenszerű tömegjelenségekben ténylegesen létező valós minták matematikai kifejezései. tanul

Egyszerű statisztika. Statisztikai eloszlásfüggvény
Vegyünk egy olyan valószínűségi változót, amelynek eloszlási törvénye ismeretlen. Tapasztalat alapján kötelező

Statisztikai sor. oszlopdiagram
A nagyszámú (százas nagyságrendű) megfigyelés miatt a lakosság számára kényelmetlenné és nehézkessé válik a statisztikai anyagok rögzítése. Az áttekinthetőség és tömörség kedvéért statisztikai anyag

A statisztikai eloszlás numerikus jellemzői
A valószínűségszámításban a valószínűségi változók különböző numerikus jellemzőit vették figyelembe: matematikai várakozás, diszperzió, különböző sorrendű kezdeti és központi momentumok. Hasonló számok

Elméleti eloszlás választása momentumok módszerével
Bármilyen statisztikai eloszlásban elkerülhetetlenül vannak véletlenszerűségi elemek, amelyek a megfigyelések korlátozott számához kapcsolódnak. Nagyszámú megfigyeléssel a véletlenszerűség ezen elemei kisimulnak,

Az eloszlási törvény formájára vonatkozó hipotézis elfogadhatóságának tesztelése
Közelítsük az adott statisztikai eloszlást valamilyen elméleti görbével ill

Hozzájárulási kritériumok
Tekintsük az egyik leggyakrabban használt alkalmassági tesztet, az úgynevezett Pearson-tesztet. Feltételezni

Pontbecslések ismeretlen eloszlási paraméterekre
A p.p. 2.1. - 2.7 részletesen megvizsgáltuk a matematikai statisztika első és második fő problémájának megoldási módjait. Ezek a feladatok a valószínűségi változók eloszlási törvényeinek kísérleti adatok alapján történő meghatározása

Megbízhatósági intervallum. Bizalom valószínűsége
A gyakorlatban, kis számú kísérlettel egy véletlen változón, egy ismeretlen paraméter hozzávetőleges helyettesítése

A véletlenszerű mintát állítsa elő a megfigyelt ξ valószínűségi változó, a matematikai elvárás és variancia amelyek ismeretlenek. E jellemzők becsléseként a mintaátlag használatát javasoltuk

és a minta variancia

. (3.14)

Tekintsük a matematikai elvárások és varianciabecslések néhány tulajdonságát.

1. Számítsa ki a minta átlagának matematikai elvárását:

Ezért a minta átlaga egy torzítatlan becslés a számára.

2. Emlékezzen arra, hogy az eredményeket A megfigyelések független valószínűségi változók, amelyek mindegyikének ugyanaz az eloszlási törvénye, mint az értéknek, ami azt jelenti, hogy , , . Feltételezzük, hogy a szórás véges. Ekkor a nagy számok törvényéről szóló Csebisev-tétel szerint bármely ε > 0 esetén megvan az egyenlőség ,

ami így írható: . (3.16) Összehasonlítva (3.16) a konzisztencia tulajdonság (3.11) definíciójával, azt látjuk, hogy a becslés a várakozás konzisztens becslése.

3. Határozza meg a mintaátlag szórását:

. (3.17)

Így a várakozási becslés szórása a minta méretével fordítottan csökken.

Igazolható, hogy ha a ξ valószínűségi változó normális eloszlású, akkor a mintaátlag a várható érték effektív becslése, azaz a variancia a legkisebb értéket veszi fel a várható érték bármely más becsléséhez képest. A ξ más eloszlási törvényei esetében ez nem biztos, hogy így van.

A minta variancia a variancia torzított becslése, mivel . (3.18)

Valójában a matematikai elvárás és a (3.17) képlet tulajdonságait felhasználva azt találjuk

.

A variancia torzítatlan becsléséhez a (3.14) becslést korrigálni kell, azaz meg kell szorozni -val. Ekkor megkapjuk a torzítatlan mintavarianciát

. (3.19)

Megjegyezzük, hogy a (3.14) és (3.19) képletek csak a nevezőben térnek el egymástól, és nagy értékek esetén a minta és a torzítatlan eltérések alig különböznek. Kis mintaméret esetén azonban a (3.19) összefüggést kell használni.

Egy valószínűségi változó szórásának becsléséhez az úgynevezett „korrigált” szórást használjuk, amely egyenlő a torzítatlan variancia négyzetgyökével: .

Intervallumbecslések

A statisztikákban két megközelítés létezik az eloszlások ismeretlen paramétereinek becslésére: pont és intervallum. Az előző részben tárgyalt pontbecslésnek megfelelően csak az a pont jelenik meg, amely közelében a becsült paraméter található. Kívánatos azonban tudni, hogy ez a paraméter valójában milyen messze állhat a becslések lehetséges megvalósításától különböző megfigyelési sorozatokban.

A kérdésre adott – szintén közelítő – válasz egy másik módot ad a paraméterek becslésére – intervallum. Ezzel a becslési módszerrel egy olyan intervallumot találunk, amely egyhez közeli valószínűséggel lefedi a paraméter ismeretlen számértékét.

Az intervallumbecslés fogalma

Pontbecslés egy valószínűségi változó, és a minta lehetséges megvalósításaihoz csak megközelítőleg egyenlő értékeket vesz fel a paraméter valódi értékével. Minél kisebb a különbség, annál pontosabb a becslés. Így egy pozitív szám, amelyre , a becslés pontosságát jellemzi és ún becslési hiba (vagy határhiba).

Bizalom Valószínűség(vagy megbízhatóság) valószínűségnek nevezzük β , amellyel az egyenlőtlenség , azaz

. (3.20)

Az egyenlőtlenség pótlása ekvivalens kettős egyenlőtlensége , vagy , kapunk

Intervallum valószínûséggel lefedve β , , ismeretlen paraméter , meghívásra kerül megbízhatósági intervallum (vagy intervallumbecslés), a megbízhatósági szintnek megfelelő β .

A valószínűségi változó nemcsak becslés, hanem hiba is: értéke a valószínűségtől függ β és általában a mintából. Ezért a konfidenciaintervallum véletlenszerű, és a (3.21) kifejezést a következőképpen kell értelmezni: „Az intervallum a valószínűséggel fedi le a paramétert β ”, és nem így: „A paraméter nagy valószínűséggel beleesik az intervallumba β ”.

A konfidenciaintervallum jelentése az, hogy a minta térfogatának ismételt ismétlésével az esetek relatív arányában egyenlő β , a konfidenciaszintnek megfelelő konfidencia intervallum β , fedi a becsült paraméter valódi értékét. Tehát a bizalom szintje β jellemzi megbízhatóság bizalomértékelés: annál több β , annál valószínűbb, hogy a konfidenciaintervallum implementációja ismeretlen paramétert tartalmaz.