Egyszerű iterációs módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására (lassú). Lineáris algebrai egyenletrendszerek numerikus megoldása

Az egyszerű iterációk módszere az eredeti egyenlet egy ekvivalens egyenlettel való helyettesítésén alapul:

Legyen ismert a gyök kezdeti közelítése x = x 0. Ha behelyettesítjük a (2.7) egyenlet jobb oldalába, új közelítést kapunk , akkor hasonló módon kapjuk stb.:

. (2.8)

Nem minden körülmények között az iteratív folyamat konvergál az egyenlet gyökeréhez x. Tekintsük ezt a folyamatot részletesebben. A 2.6. ábra egy egyirányú konvergens és divergens folyamat grafikus értelmezése. A 2.7. ábra kétirányú konvergens és divergens folyamatokat mutat be. A divergens folyamatot az argumentum és a függvény értékeinek gyors növekedése és a megfelelő program összeomlása jellemzi.

Kétirányú folyamattal lehetséges a hurok, vagyis a függvény és az argumentum ugyanazon értékeinek végtelen ismétlése. A hurkok elválasztják a divergens folyamatot a konvergenstől.

A grafikonokon látható, hogy mind az egy-, mind a kétoldali folyamatokban a gyökhöz való konvergenciát a görbe gyökérközeli meredeksége határozza meg. Minél kisebb a lejtő, annál jobb a konvergencia. Mint ismeretes, a görbe meredekségének érintője egyenlő a görbe adott pontbeli deriváltjával.

Ezért minél kevésbé van közel a gyökérhez, annál gyorsabban konvergál a folyamat.

Ahhoz, hogy az iteratív folyamat konvergens legyen, a következő egyenlőtlenségnek kell teljesülnie a gyökér közelében:

Az átmenet a (2.1) egyenletről a (2.7) egyenletre a függvény típusától függően többféleképpen is végrehajtható f(x). Egy ilyen átmenetben úgy kell függvényt megszerkeszteni, hogy a (2.9) konvergencia feltétel teljesüljön.

Tekintsük a (2.1) egyenletből a (2.7) egyenletbe való átmenet egyik általános algoritmusát.

A (2.1) egyenlet bal és jobb oldalát megszorozzuk egy tetszőleges állandóval bés mindkét részhez hozzáadjuk az ismeretlent X. Ebben az esetben az eredeti egyenlet gyökerei nem változnak:

Bemutatjuk a jelölést és lépjen át a (2.10) összefüggésből a (2.8) egyenletbe.

A konstans önkényes megválasztása b biztosítja a (2.9) konvergencia feltétel teljesülését. A (2.2) feltétel lesz az iteratív folyamat befejezési feltétele. A 2.8. ábra az egyszerű iterációk módszerének grafikus értelmezését mutatja a leírt ábrázolási módszerrel (az X és Y tengely mentén eltérő léptékek).

Ha a függvényt a formában választjuk, akkor ennek a függvénynek a deriváltja lesz. A legmagasabb konvergencia ráta ekkor lesz és az iteratív formula (2.11) átmegy a Newton-formulába. Így a Newton-módszer rendelkezik a legmagasabb fokú konvergenciával az összes iteratív folyamat közül.

Az egyszerű iterációk módszerének szoftveres megvalósítása szubrutin eljárás formájában történik Iteras(2.1. PROGRAM).

A teljes eljárás gyakorlatilag egyetlen Repeat ... Until ciklusból áll, amely az iteratív folyamat befejezésének feltételét (2.2) képletet figyelembe véve valósítja meg a (2.11) képletet.

A hurokvédelmet úgy építjük be az eljárásba, hogy a Niter változó segítségével megszámolja a hurkok számát. A gyakorlati feladatok során a program futtatásával meg kell győződnie arról, hogy az együttható megválasztása hogyan hat bés kezdeti közelítés a gyökér megtalálásának folyamatáról. Az együttható megváltoztatásakor b megváltozik a vizsgált függvény iteratív folyamatának jellege. Először kétoldalas lesz, majd hurkok (2.9. ábra). Méretezés a tengelyek mentén xÉs Y különböző. Még nagyobb b modulus divergens folyamathoz vezet.

Az egyenletek közelítő megoldásának módszereinek összehasonlítása

A fent leírt egyenletek numerikus megoldási módszereinek összehasonlítását egy olyan programmal végeztük, amely lehetővé teszi a gyökér megtalálásának folyamatát grafikus formában a számítógép képernyőjén. A programban szereplő eljárások és az összehasonlított módszerek megvalósítása az alábbiakban találhatók (2.1. PROGRAM).

Rizs. A 2.3-2.5, 2.8, 2.9 a számítógép képernyőjének másolatai az iteratív folyamat végén.

Minden esetben az x 2 -x-6 \u003d 0 másodfokú egyenletet vettük vizsgált függvénynek, amelynek analitikai megoldása x 1 \u003d -2 és x 2 \u003d 3. A hibát és a kezdeti közelítéseket egyenlőnek vettük minden módszer. Gyökér keresési eredmények x= Az ábrákon látható 3. ábra a következő. A dichotómia módszer konvergál a leglassabban - 22 iteráció, a leggyorsabb - az egyszerű iterációk módszere b = -0,2 - 5 iterációnál. Itt nincs ellentmondás azzal az állítással, hogy Newton módszere a leggyorsabb.

A vizsgált függvény származéka egy pontban x= 3 egyenlő -0,2-vel, vagyis a számítás ebben az esetben gyakorlatilag Newton-módszerrel történt, a derivált értékével az egyenlet gyökénél. Az együttható megváltoztatásakor b a konvergencia ráta csökken, és a fokozatosan konvergens folyamat először ciklikus, majd divergenssé válik.

Előadás Iteratív módszerek algebrai lineáris egyenletrendszer megoldására.

Az iteratív folyamat konvergenciafeltétele Jacobi módszer Seidel módszer

Egyszerű iterációs módszer

A lineáris algebrai egyenletrendszert vizsgáljuk

Az iteratív módszerek alkalmazásához a rendszert egyenértékű formára kell redukálni

Ezután kiválasztjuk az egyenletrendszer megoldásának kezdeti közelítését, és megtaláljuk a gyökér közelítéseinek sorozatát.

Az iteratív folyamat konvergálásához elegendő, ha a feltétel
(mátrix norma). Az iterációk befejezési kritériuma az alkalmazott iterációs módszertől függ.

Jacobi módszer .

A legegyszerűbb módja annak, hogy a rendszert az iterációhoz kényelmes formába hozza, a következő:

A rendszer első egyenletéből az ismeretlent fejezzük ki x 1 , az általunk kifejezett rendszer második egyenletéből x 2 stb.

Ennek eredményeként egy B mátrixú egyenletrendszert kapunk, amelyben nulla elem van a főátlón, a fennmaradó elemeket pedig a képletekkel számítjuk ki:

A d vektor összetevőit a következő képletekkel számítjuk ki:

Az egyszerű iterációs módszer számítási képlete:

vagy koordináta jelöléssel így néz ki:

A Jacobi-módszerben az iterációk befejezésének kritériuma a következő:

Ha
, akkor az iterációk befejezésére egyszerűbb ismérv alkalmazható

1. példa Lineáris egyenletrendszer megoldása Jacobi módszerrel.

Legyen adott az egyenletrendszer:

Pontos megoldást kell találni a rendszerre

A rendszert az iterációhoz kényelmes formába hozzuk:

Kezdő közelítést választunk, pl.

a jobb oldal vektora.

Akkor az első iteráció így néz ki:

A megoldás következő közelítéseit hasonló módon kapjuk.

Keresse meg a B mátrix normáját.

A normát fogjuk használni

Mivel az egyes sorok elemeinek moduljainak összege 0,2, akkor
, tehát az iterációk befejezésének kritériuma ebben a feladatban az

Számítsuk ki a vektorok különbségeinek normáit:

Mert
a megadott pontosságot a negyedik iterációnál érjük el.

Válasz: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

Seidel módszer .

A módszer a Jacobi-módszer módosításának tekinthető. A fő gondolat az, hogy a következő kiszámításakor (n+1)-adik közelítés az ismeretlenhez x én nál nél i>1 használat már megtalálható (n+1)- közeledik az ismeretlenhez x 1 ,x 2 , ...,x i-1, nem n közelítés, mint a Jacobi módszernél.

A módszer számítási képlete a koordináta szerinti jelölésben így néz ki:

Az iterációk konvergenciafeltételei és befejezési feltétele megegyezik a Jacobi módszerrel.

2. példa Lineáris egyenletrendszerek megoldása Seidel módszerrel.

Tekintsük párhuzamosan 3 egyenletrendszer megoldását:

A rendszereket az iterációk számára kényelmes formába hozzuk:

Vegye figyelembe, hogy a konvergencia feltétele
csak az első rendszernél végezték el. A megoldáshoz minden esetben 3 első közelítést számolunk.

1. rendszer:

A pontos megoldás a következő értékek lesznek: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . Az iteratív folyamat konvergál.

2. rendszer:

Látható, hogy az iteratív folyamat divergál.

Pontos megoldás x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

3. rendszer:

Látható, hogy az iteratív folyamat hurkolt.

Pontos megoldás x 1 = 1, x 2 = 2 .

Legyen az A egyenletrendszer mátrixa szimmetrikus és pozitív határozott. Ezután a kezdeti közelítés bármely választása esetén a Seidel-módszer konvergál. Itt nincsenek további feltételek bizonyos mátrixok normájának kicsinységére vonatkozóan.

Egyszerű iterációs módszer.

Ha A szimmetrikus és pozitív határozott mátrix, akkor az egyenletrendszer gyakran ekvivalens formára redukálódik:

x=x-τ(A x- b), τ egy iteratív paraméter.

Az egyszerű iterációs módszer számítási képlete ebben az esetben:

x (n+1) =x n- τ (A x (n) - b).

és a τ > 0 paramétert úgy választjuk meg, hogy lehetőség szerint a minimális érték legyen

Legyen λ min és λ max az A mátrix minimális és maximális sajátértéke. Az optimális választás a paraméter

Ebben az esetben
minimális értéket vesz fel:

3. példa Lineáris egyenletrendszerek megoldása egyszerű iterációval. (MathCAD-ben)

Legyen az egyenletrendszer Ax = b

Egy iteratív folyamat felépítéséhez megtaláljuk az A mátrix sajátértékeit:

- beépített függvényt használ a sajátértékek keresésére.

Számítsa ki az iteratív paramétert és ellenőrizze a konvergencia feltételét

A konvergencia feltétele teljesül.

Vegyük a kezdeti közelítést - az x0 vektort, állítsa be a pontosságot 0,001-re, és keresse meg a kezdeti közelítéseket az alábbi programmal:

Pontos megoldás

Megjegyzés. Ha a program a rez mátrixot adja vissza, akkor megtekintheti az összes talált iterációt.

Az iteratív módszerek előnye, hogy alkalmazhatók rosszul kondicionált és nagyrendű rendszerekre, önkorrekciójuk és egyszerű PC-n való implementálásuk. A számítás megkezdéséhez szükséges iteratív módszerek bizonyos kezdeti közelítést igényelnek a kívánt megoldáshoz.

Megjegyzendő, hogy az iteratív folyamat konvergenciájának feltételei és sebessége alapvetően a mátrix tulajdonságaitól függ. A rendszerről és a kezdeti közelítések megválasztásáról.

Az iterációs módszer alkalmazásához az eredeti rendszert (2.1) vagy (2.2) a formára kell redukálni

amely után az ismétlődő képletek szerint hajtjuk végre az iteratív folyamatot

, k = 0, 1, 2, ... . (2.26A)

Mátrix Gés a vektort a (2.1) rendszer transzformációja eredményeként kapjuk meg.

A konvergenciához (2.26 A) szükséges és elegendő |l én(G)| < 1, где lén(G) a mátrix összes sajátértéke G. Konvergencia akkor is bekövetkezik, ha || G|| < 1, так как |lén(G)| < " ||G||, ahol a " bármely.

Szimbólum || ... || a mátrix normáját jelenti. Értékének meghatározásakor leggyakrabban két feltétel ellenőrzésénél állnak meg:

||G|| = vagy || G|| = , (2.27)

Ahol . A konvergencia akkor is garantált, ha az eredeti mátrix Aátlós túlsúlya van, i.e.

. (2.28)

Ha (2.27) vagy (2.28) teljesül, az iterációs módszer bármely kezdeti közelítéshez konvergál. Leggyakrabban a vektort nullának vagy egységnek vesszük, vagy magát a vektort a (2.26)-ból veszik.

Számos megközelítés létezik az eredeti rendszer (2.2) mátrixszal történő átalakítására A a forma (2.26) biztosítására vagy a (2.27) és (2.28) konvergenciafeltételek teljesítésére.

Például a (2.26) a következőképpen érhető el.

Hadd A = BAN BEN+ VAL VEL, det BAN BEN¹ 0; Akkor ( B+ VAL VEL)= Þ B= −C+ Þ Þ B –1 B= −B –1 C+ B–1 , honnan = − B –1 C+ B –1 .

Elhelyezés - B –1 C = G, B–1 = , megkapjuk (2.26).

A (2.27) és (2.28) konvergenciafeltételekből látható, hogy a reprezentáció A = BAN BEN+ VAL VEL nem lehet önkényes.

Ha a mátrix A teljesíti a (2.28) feltételeket, akkor mátrixként BAN BEN kiválaszthatja az alsó háromszöget:

, a ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

Az a paraméter kiválasztásával biztosíthatjuk, hogy || G|| = ||E+ a A|| < 1.

Ha a (2.28) érvényesül, akkor a (2.26)-ra való transzformáció minden egyes megoldással elvégezhető én a (2.1) rendszer egyenlete x i a következő rekurzív képletek szerint:

(2.28A)

Ha a mátrixban A nincs diagonális túlsúly, ezt néhány lineáris transzformáció segítségével kell elérni, amelyek nem sértik az egyenértékűségüket.

Példaként tekintsük a rendszert

(2.29)

Mint látható, az (1) és (2) egyenletben nincs átlós dominancia, a (3)-ban viszont igen, ezért változatlanul hagyjuk.

Az (1) egyenletben érjünk el diagonális dominanciát. Szorozzuk meg az (1)-et a-val, a (2)-t b-vel, adjuk össze mindkét egyenletet, és válasszuk ki a-t és b-t a kapott egyenletben úgy, hogy az átlós dominancia legyen:

(2a + 3b) x 1 + (-1,8a + 2b) x 2 +(0,4a - 1,1b) x 3 = a.

Ha a = b = 5-öt veszünk, akkor 25-öt kapunk x 1 + x 2 – 3,5x 3 = 5.

A (2) egyenlet (1) dominanciával való átalakításához szorozunk g-vel, (2) szorozunk d-vel, és kivonjuk (2) az (1)-et. Kap

(3d - 2g) x 1+(2d+1,8g) x 2 + (-1,1 nap - 0,4 g) x 3 = -g .

Ha d = 2, g = 3, akkor 0-t kapunk x 1 + 9,4 x 2 – 3,4 x 3 = -3. Ennek eredményeként megkapjuk a rendszert

(2.30)

Ezzel a technikával a mátrixok széles osztályára lehet megoldást találni.

vagy

Kezdeti közelítésként a vektor = (0,2; -0,32; 0) T, ezt a rendszert technológia segítségével oldjuk meg (2.26 A):

k = 0, 1, 2, ... .

A számítási folyamat leáll, ha a megoldásvektor két szomszédos közelítése pontosan egybeesik, azaz.

.

A forma iteratív megoldási technológiája (2.26 A) neve egyszerű iterációval .

Abszolút hibabecslés az egyszerű iterációs módszerhez:

ahol szimbólum || ... || normát jelenti.

2.1. példa. Az egyszerű iteráció módszerével e = 0,001 pontossággal oldja meg a lineáris egyenletrendszert:

Az összefüggésből meghatározható az e = 0,001 pontos választ adó lépések száma

0,001 GBP.

Becsüljük meg a konvergenciát a (2.27) képlettel. Itt || G|| = = max(0,56; 0,61; 0,35; 0,61) = 0,61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

Kezdeti közelítésként a szabad tagok vektorát vesszük, azaz = (2,15; -0,83; 1,16; 0,44) T. A vektor értékeit behelyettesítjük (2.26 A):

Folytatva a számításokat, az eredményeket beírjuk a táblázatba:

k	x 1	x 2	x 3	x 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

Ezrelékben kifejezett konvergencia már a 10. lépésnél megtörténik.

Válasz: x 1 » 3,571; x 2 » -0,957; x 3 » 1,489; x 4 "-0,836.

Ezt a megoldást a (2.28.) képletekkel is megkaphatjuk A).

2.2. példa. Az algoritmus bemutatása képletekkel (2.28 A) fontolja meg a rendszer megoldását (csak két iteráció):

; . (2.31)

Alakítsuk át a rendszert a (2.26) alakra a (2.28) szerint A):

Þ (2.32)

Vegyük a kezdeti közelítést = (0; 0; 0) T. Aztán azért k= 0 nyilvánvalóan érték = (0,5; 0,8; 1,5) T. Helyettesítsük be ezeket az értékeket (2.32), azaz for k= 1 = (1,075; 1,3; 1,175) T.

Hiba e 2 = = max(0,575; 0,5; 0,325) = 0,575.

Az SLAE megoldásának egyszerű iterációs módszerrel történő megtalálására szolgáló algoritmus blokkvázlata a (2.28) munkaképletek szerint A) ábrán látható. 2.4.

A blokkdiagram jellemzője a következő blokkok jelenléte:

- 13. blokk - célját az alábbiakban tárgyaljuk;

- 21. blokk - az eredmények megjelenítése a képernyőn;

– 22. blokk – a konvergencia ellenőrzése (mutatója).

Elemezzük a javasolt sémát a (2.31) rendszer példáján ( n= 3, w = 1, e = 0,001):

= ; .

Blokk 1. Adja meg a kezdeti adatokat A, , w, e, n: n= 3, w = 1, e = 0,001.

I. ciklus. Állítsa be a vektorok kezdeti értékeit x 0énÉs x i (én = 1, 2, 3).

Blokk 5. Állítsa alaphelyzetbe az iterációk számának számlálóját.

Blokk 6. Állítsa vissza az aktuális hibaszámlálót.

BAN BEN a II. hurok megváltoztatja a mátrix sorszámait Aés vektor .

Ciklus II:én = 1: s = b 1 = 2 (8. mező).

Menjen a III. beágyazott hurokhoz, blokk9 - a mátrixoszlopok számának számlálója A: j = 1.

Blokk 10: j = én, ezért visszatérünk a 9. blokkhoz és növeljük j egységenként: j = 2.

A 10-es blokkban j ¹ én(2 ¹ 1) – lépjen a 11. blokkra.

Blokk 11: s= 2 – (–1) × x 0 2 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2, lépjen a 9. blokkra, amelyben j növeld eggyel: j = 3.

A 10. blokkban a feltétel j ¹ én végrehajtva, tehát lépjen a 11-es blokkra.

Blokk 11: s= 2 – (–1) × x 0 3 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2, ezután megyünk a 9. blokkhoz, amelyben j növeld eggyel ( j= 4). Jelentése j több n (n= 3) – fejezze be a hurkot, és lépjen a 12. blokkra.

Blokk 12: s = s / a 11 = 2 / 4 = 0,5.

Blokk 13: w = 1; s = s + 0 = 0,5.

Blokk 14: d = | x i – s | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

Blokk 15: x i = 0,5 (én = 1).

Blokk 16. Ellenőrizze az állapotot d > de: 0,5 > 0, ezért menjünk a 17. blokkhoz, amelyben hozzárendeljük de= 0,5 és vissza a hivatkozással " A» a II. ciklus következő lépéséhez - a 7. blokkhoz, amelyben én eggyel növeljük.

Ciklus II: én = 2: s = b 2 = 4 (8. mező).

j = 1.

A 10-es blokkon keresztül j ¹ én(1 ¹ 2) – lépjen a 11. blokkra.

Blokk 11: s= 4 – 1 × 0 = 4, lépjen a 9. blokkra, amelyben j növeld eggyel: j = 2.

A 10-es blokkban a feltétel nem teljesül, ezért átmegyünk a 9-es blokkra, amelyben j növeld eggyel: j= 3. Hasonlatosan átmegyünk a 11. blokkra.

Blokk 11: s= 4 – (–2) × 0 = 4, ami után befejezzük a III. ciklust, és továbblépünk a 12. blokkhoz.

Blokk 12: s = s/ a 22 = 4 / 5 = 0,8.

Blokk 13: w = 1; s = s + 0 = 0,8.

Blokk 14: d = | 1 – 0,8 | = 0,2.

Blokk 15: x i = 0,8 (én = 2).

Blokk 16. Ellenőrizze az állapotot d > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «A» a II. ciklus következő lépésére – a 7. blokkra.

Ciklus II: én = 3: s = b 3 = 6 (8. mező).

Lépjen a III. beágyazott hurok 9. blokkjához: j = 1.

Blokk 11: s= 6 – 1 × 0 = 6, ugorjon a 9. blokkra: j = 2.

A 10. blokkon keresztül továbblépünk a 11. blokkra.

Blokk 11: s= 6 – 1 × 0 = 6. Fejezd be a III. ciklust, és folytasd a 12. mondattal.

Blokk 12: s = s/ a 33 = 6 / 4 = 1,5.

Blokk 13: s = 1,5.

Blokk 14: d = | 1 – 1,5 | = 0,5.

Blokk 15: x i = 1,5 (én = 3).

16. blokk szerint (figyelembe véve a hivatkozásokat " A"És" VAL VEL”) lépjen ki a II. ciklusból, és lépjen a 18. blokkra.

Blokk 18. Növelje az iterációk számát azt = azt + 1 = 0 + 1 = 1.

A IV. ciklus 19. és 20. blokkjában lecseréljük a kezdeti értékeket x 0én kapott értékeket x i (én = 1, 2, 3).

Blokk 21. Kiírjuk az aktuális iteráció köztes értékeit, ebben az esetben: = (0,5; 0,8; 1,5) T, azt = 1; de = 0,5.

Lépjen a 7. blokk II. ciklusára, és végezze el a figyelembe vett számításokat új kezdeti értékekkel x 0én (én = 1, 2, 3).

Ami után megkapjuk x 1 = 1,075; x 2 = 1,3; x 3 = 1,175.

Itt tehát a Seidel-módszer konvergál.

Képletekkel (2.33)

k	x 1	x 2	x 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

Válasz: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

Megjegyzés. Ha ugyanarra a rendszerre az egyszerű iteráció és a Seidel metódusok konvergálnak, akkor a Seidel módszert részesítjük előnyben. A gyakorlatban azonban ezeknek a módszereknek a konvergencia területei eltérőek lehetnek, azaz az egyszerű iterációs módszer konvergál, míg a Seidel módszer divergál, és fordítva. Mindkét módszer esetében, ha || G|| közel Mértékegység, a konvergencia aránya nagyon alacsony.

A konvergencia felgyorsítására mesterséges technikát alkalmaznak - az ún relaxációs módszer . Lényege abban rejlik, hogy az iterációs módszerrel kapott következő érték x i (k) a képlet szerint kerül újraszámításra

ahol w általában 0-ról 2-re változik (0< w £ 2) с каким-либо шагом (h= 0,1 vagy 0,2). A w paramétert úgy választjuk meg, hogy a módszer konvergenciája a minimális számú iterációban megvalósuljon.

Kikapcsolódás- a test bármely állapotának fokozatos gyengülése az állapotot okozó tényezők megszűnése után (fizikai. tech.).

2.4. példa. Tekintsük az ötödik iteráció eredményét a relaxációs képlet segítségével. Vegyük w = 1,5:

Mint látható, a majdnem hetedik iteráció eredménye megszületett.

Az egyszerű iteráció módszere, amelyet szukcesszív közelítés módszerének is neveznek, egy matematikai algoritmus egy ismeretlen mennyiség értékének fokozatos finomításával történő meghatározására. Ennek a módszernek az a lényege, hogy ahogy a neve is sugallja, a kezdeti közelítésből fokozatosan kifejezve a későbbieket, egyre finomabb eredményeket kapnak. Ez a módszer egy változó értékének meghatározására szolgál egy adott függvényben, valamint lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek megoldásában is.

Nézzük meg, hogyan valósul meg ez a módszer az SLAE megoldása során. Az egyszerű iterációs módszer a következő algoritmussal rendelkezik:

1. A konvergenciafeltétel ellenőrzése az eredeti mátrixban. Konvergenciatétel: ha a rendszer eredeti mátrixa diagonális dominanciával rendelkezik (azaz minden sorban a főátló elemeinek modulusban nagyobbnak kell lenniük, mint az oldalátlók elemeinek összege modulóban), akkor az egyszerű módszer az iterációk konvergensek.

2. Az eredeti rendszer mátrixa nem mindig rendelkezik diagonális dominanciával. Ilyen esetekben a rendszer módosítható. A konvergenciafeltételt kielégítő egyenletek érintetlenül maradnak, azokkal pedig, amelyek nem, lineáris kombinációkat alkotnak, pl. szorozni, kivonni, összeadni az egyenleteket, amíg a kívánt eredményt el nem kapjuk.

Ha a kapott rendszerben kényelmetlen együtthatók vannak a főátlón, akkor egy ilyen egyenlet mindkét részéhez c i *x i alakú tagokat adunk, amelyek előjeleinek egybe kell esnie az átlós elemek előjeleivel.

3. A kapott rendszer átalakítása normál formára:

x - =β - +α*x -

Ezt sokféleképpen megtehetjük, például a következőképpen: az első egyenletből fejezzük ki az x 1-et más ismeretlenekkel, a másodikból - x 2, a harmadikból - x 3 stb. Itt a képleteket használjuk:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Ismét meg kell győződnie arról, hogy a kapott normál alakú rendszer teljesíti a konvergencia feltételt:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, míg i= 1,2,...n

4. Valójában magát az egymást követő közelítések módszerét kezdjük alkalmazni.

x (0) - kezdeti közelítés, ezen keresztül x (1) , majd x (1) -en keresztül x (2) . Az általános képlet mátrix formában így néz ki:

x (n) = β - + α*x (n-1)

Addig számolunk, amíg el nem érjük a kívánt pontosságot:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Tehát nézzük meg az egyszerű iterációs módszert a gyakorlatban. Példa:
SLAE megoldása:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 ε=10 -3 pontossággal

Nézzük meg, hogy a diagonális elemek túlsúlyban vannak-e a modulo-ban.

Látjuk, hogy csak a harmadik egyenlet teljesíti a konvergencia feltételt. Átalakítjuk az első és a második egyenletet, hozzáadjuk a másodikat az első egyenlethez:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Vonjuk ki az elsőt a harmadikból:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Az eredeti rendszert átalakítottuk egy egyenértékűvé:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

Most állítsuk vissza a rendszert a normál állapotba:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Ellenőrizzük az iteratív folyamat konvergenciáját:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, azaz a feltétel teljesül.

0,3947
Kezdeti tipp x(0) = 0,4762
0,8511

Ezeket az értékeket a normál alakú egyenletbe behelyettesítve a következő értékeket kapjuk:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Új értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Addig folytatjuk a számításokat, amíg közelebb nem kerülünk az adott feltételt kielégítő értékekhez.

x(7) = 0,441091

Ellenőrizzük a kapott eredmények helyességét:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

A talált értékek eredeti egyenletekbe való behelyettesítésével kapott eredmények teljes mértékben kielégítik az egyenlet feltételeit.

Amint látjuk, az egyszerű iterációs módszer meglehetősen pontos eredményeket ad, azonban ennek az egyenletnek a megoldásához sok időt és nehézkes számításokat kellett eltöltenünk.