A függvény maximumának és minimumának pontja. Mik a függvény szélsőértékei: maximum és minimum kritikus pontjai

Sok feladatban ki kell számítani egy másodfokú függvény maximális vagy minimális értékét. A maximum vagy minimum akkor található meg, ha az eredeti függvényt szabványos formában írjuk: vagy a parabola csúcs koordinátáin keresztül: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Ezenkívül bármely másodfokú függvény maximuma vagy minimuma kiszámítható matematikai műveletekkel.

Lépések

A másodfokú függvény szabványos formában van írva

Írja le a függvényt szabványos formában! A másodfokú függvény olyan függvény, amelynek egyenlete változót tartalmaz x 2 (\displaystyle x^(2)). Az egyenlet tartalmazhat változót, de nem is x (\displaystyle x). Ha egy egyenlet 2-nél nagyobb kitevőjű változót tartalmaz, az nem ír le másodfokú függvényt. Ha szükséges, hozza létre a hasonló kifejezéseket, és rendezze át őket úgy, hogy a függvényt szabványos formában írja meg.

• Például adott egy függvény f(x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Adjon hozzá kifejezéseket változóval x 2 (\displaystyle x^(2))és változóval rendelkező tagok x (\displaystyle x) az egyenlet szabványos formában történő felírásához:
  • f(x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. A másodfokú függvény grafikonja egy parabola. A parabola ágai felfelé vagy lefelé mutatnak. Ha az együttható a (\displaystyle a) változóval x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f(x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Itt a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Itt tehát a parabola lefelé mutat.
   • f(x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Itt a = 1 (\displaystyle a=1) tehát a parabola felfelé mutat.
   • Ha a parabola felfelé irányul, meg kell keresni a minimumát. Ha a parabola lefelé mutat, keresse meg a maximumát.

2. Számítsa ki -b/2a. Jelentése − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) a koordináta x (\displaystyle x) a parabola teteje. Ha a másodfokú függvényt szabványos formában írjuk fel a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), használja az együtthatókat x (\displaystyle x)És x 2 (\displaystyle x^(2)) a következő módon:

   • Függvényegyütthatókban a = 1 (\displaystyle a=1)És b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Második példaként tekintsük a függvényt. Itt a = − 3 (\displaystyle a=-3)És b = 6 (\displaystyle b=6). Ezért számítsa ki a parabola csúcsának x-koordinátáját a következőképpen:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Keresse meg f(x) megfelelő értékét! Helyettesítse be az "x" talált értékét az eredeti függvénybe, hogy megtalálja f(x) megfelelő értékét. Így találhatja meg a függvény minimumát vagy maximumát.

   • Az első példában f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) kiszámoltad, hogy a parabola csúcsának x-koordinátája az x = − 5 (\displaystyle x=-5). Az eredeti függvényben ahelyett x (\displaystyle x) helyettes − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f(x) = −26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • A második példában f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) azt találta, hogy a parabola csúcsának x-koordinátája: x = 1 (\displaystyle x=1). Az eredeti függvényben ahelyett x (\displaystyle x) helyettes 1 (\displaystyle 1) a maximális érték meghatározásához:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Írd le a választ. Olvassa el újra a probléma feltételét. Ha meg kell találnia a parabola csúcsának koordinátáit, írja le mindkét értéket a válaszában x (\displaystyle x)És y (\displaystyle y)(vagy f (x) (\displaystyle f(x))). Ha ki kell számítania egy függvény maximumát vagy minimumát, csak az értéket írja le a válaszában y (\displaystyle y)(vagy f (x) (\displaystyle f(x))). Nézze meg újra az együttható jelét a (\displaystyle a) ellenőrizni, hogy a maximumot vagy a minimumot számította-e ki.

   • Az első példában f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) jelentése a (\displaystyle a) pozitív, tehát kiszámoltad a minimumot. A parabola csúcsa a koordinátákkal rendelkező pontban található (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5, -26)), és a függvény minimális értéke − 26 (\displaystyle -26).
   • A második példában f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) jelentése a (\displaystyle a) negatív, tehát megtalálta a maximumot. A parabola csúcsa a koordinátákkal rendelkező pontban található (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), és a függvény maximális értéke egyenlő − 1 (\displaystyle -1).

5. Határozza meg a parabola irányát! Ehhez nézze meg az együttható jelét a (\displaystyle a). Ha az együttható a (\displaystyle a) pozitív, a parabola felfelé irányul. Ha az együttható a (\displaystyle a) negatív, a parabola lefelé mutat. Például:

   • . Itt a = 2 (\displaystyle a=2), vagyis az együttható pozitív, tehát a parabola felfelé irányul.
   • . Itt a = − 3 (\displaystyle a=-3), vagyis az együttható negatív, tehát a parabola lefelé irányul.
   • Ha a parabola felfelé mutat, akkor ki kell számítanunk a függvény minimális értékét. Ha a parabola lefelé mutat, akkor meg kell találni a függvény maximális értékét.

6. Keresse meg a függvény minimális vagy maximális értékét. Ha a függvényt a parabola csúcs koordinátáiban írjuk fel, akkor a minimum vagy maximum egyenlő az együttható értékével k (\displaystyle k). A fenti példákban:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Itt k = − 4 (\megjelenítési stílus k=-4). Ez a függvény minimális értéke, mert a parabola felfelé mutat.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Itt k = 2 (\displaystyle k=2). Ez a függvény maximális értéke, mert a parabola lefelé mutat.

7. Határozzuk meg a parabola csúcsának koordinátáit! Ha a feladatban meg kell találni a parabola csúcsát, akkor a koordinátái: (h , k) (\megjelenítési stílus (h,k)). Vegye figyelembe, hogy ha egy másodfokú függvényt a parabola csúcsának koordinátái alapján írunk fel, akkor a kivonási műveletet zárójelek közé kell tenni (x − h) (\displaystyle (x-h)), tehát az érték h (\displaystyle h) ellenkező előjellel vettük.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Itt zárójelben szerepel az összeadási művelet (x+1), amely a következőképpen írható át: (x-(-1)). És így, h = – 1 (\megjelenítési stílus h=-1). Ezért ennek a függvénynek a parabola csúcsának koordinátái az (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1, -4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Itt van zárójelben az (x-2) kifejezés. Ennélfogva, h = 2 (\displaystyle h=2). A csúcsok koordinátái (2,2).

A minimum vagy maximum kiszámítása matematikai műveletek segítségével

1. Nézzük először az egyenlet standard alakját.Írja fel a másodfokú függvényt szabványos formában: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Ha szükséges, hozza létre a hasonló kifejezéseket, és rendezze át őket, hogy megkapja a standard egyenletet.

   • Például: .

2. Keresse meg az első származékot. A másodfokú függvény első deriváltja, amely szabványos formában van felírva, egyenlő f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f(x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Ennek a függvénynek az első deriváltját a következőképpen számítjuk ki:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Állítsa a derivált nullára. Emlékezzünk vissza, hogy egy függvény deriváltja egyenlő a függvény meredekségével egy bizonyos pontban. A minimumon vagy maximumon a meredekség nulla. Ezért egy függvény minimális vagy maximális értékének meghatározásához a deriváltot nullával kell egyenlővé tenni. Példánkban.

77419. Keresse meg az y \u003d x 3 -48x + 17 függvény maximális pontját

Keressük meg a derivált nulláit:

Nézzük a gyökereket:

Határozzuk meg a függvény deriváltjának előjeleit úgy, hogy az intervallumokból származó értékeket behelyettesítjük a kapott deriváltba, és ábrázoljuk a függvény viselkedését az ábrán:

Azt találtuk, hogy a –4 pontban a derivált pozitívról negatívra változtatja az előjelét. Így az x=-4 pont a kívánt maximális pont.

Válasz: -4

77423. Keresse meg az y \u003d x 3 -3x 2 +2 függvény maximális pontját

Keresse meg az adott függvény deriváltját:

Egyenlítse a deriváltot nullával, és oldja meg az egyenletet:

Az x=0 pontban a derivált előjelet vált pozitívról negatívra, ami azt jelenti, hogy ez a maximum pont.

77427. Keresse meg az y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 függvény maximális pontját

Keresse meg az adott függvény deriváltját:

Ha a deriváltot nullával egyenlővé tesszük, és megoldjuk az egyenletet:

Határozzuk meg a függvény deriváltjának előjeleit, és rajzoljuk meg az ábrán a függvény növekedési és csökkenési intervallumait úgy, hogy az egyes intervallumokból származó értékeket behelyettesítjük a derivált kifejezésbe:

Az x=-1 pontban a derivált előjelet vált pozitívról negatívra, ami azt jelenti, hogy ez a kívánt maximális pont.

Válasz: -1

77431. Keresse meg az y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5 függvény maximális pontját

Keressük meg a függvény deriváltját:

Keressük meg a derivált nulláit:

3x 2 - 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

Az x = 1 pontban a derivált az előjelét pozitívról negatívra változtatja, ami azt jelenti, hogy ez a kívánt maximális pont.

77435. Keresse meg az y \u003d 7 + 12x - x 3 függvény maximális pontját

Keressük meg a függvény deriváltját:

Keressük meg a derivált nulláit:

12 - 3x2 = 0

A másodfokú egyenletet megoldva a következőt kapjuk:

*Ezek a függvény lehetséges maximális (minimális) pontjai.

Építsünk numerikus tengelyt, jelöljük be a derivált nulláit. A derivált előjeleit úgy határozzuk meg, hogy minden intervallumból tetszőleges értéket behelyettesítünk a függvény deriváltjának kifejezésébe, és sematikusan ábrázoljuk az intervallumok növekedését és csökkenését:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

Az x = 2 pontban a derivált az előjelét pozitívról negatívra változtatja, ami azt jelenti, hogy ez a kívánt maximális pont.

*Ugyanannak a függvénynek a minimális pontja az x = - 2 pont.

77439. Keresse meg az y \u003d 9x 2 -x 3 függvény maximális pontját

Keressük meg a függvény deriváltját:

Keressük meg a derivált nulláit:

18x -3x2 = 0

3x(6 - x) = 0

Megoldva az egyenletet kapjuk:

*Ezek a függvény lehetséges maximális (minimális) pontjai.

Építsünk numerikus tengelyt, jelöljük be a derivált nulláit. A derivált előjeleit úgy határozzuk meg, hogy minden intervallumból tetszőleges értéket behelyettesítünk a függvény deriváltjának kifejezésébe, és sematikusan ábrázoljuk az intervallumok növekedését és csökkenését:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

Az x=6 pontban a derivált pozitívról negatívra változtatja az előjelét, ami azt jelenti, hogy ez a kívánt maximális pont.

*Ugyanannak a függvénynek a minimális pontja x = 0.

Ezzel a szolgáltatással megteheti keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy f(x) változó a megoldás Wordben való kialakításával. Ha az f(x,y) függvény adott, akkor meg kell találni két változó függvényének szélsőértékét. Megtalálható a függvény növekedésének és csökkentésének intervalluma is.

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét

y=

a szegmensen [ ;]

Tartalmazza az elméletet

Funkcióbeviteli szabályok:

Egy változó függvényének extrémumának szükséges feltétele

Az f "0 (x *) \u003d 0 egyenlet szükséges feltétele egy változó függvényének szélsőértékének, azaz az x * pontban a függvény első deriváltjának el kell tűnnie. Kijelöli azokat az x c stacionárius pontokat, ahol a függvény nem növekszik és nem csökken .

Elégséges feltétele egy változó függvényének szélsőértékének

Legyen f 0 (x) kétszer differenciálható a D halmazhoz tartozó x tekintetében. Ha az x * pontban a feltétel teljesül:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Ekkor az x * pont a függvény lokális (globális) minimumának pontja.

Ha az x * pontban a feltétel teljesül:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Az x * pont egy lokális (globális) maximum.

1. példa. Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét: a szegmensen.
Megoldás.

A kritikus pont egy x 1 = 2 (f'(x)=0). Ez a pont a szegmenshez tartozik. (Az x=0 pont nem kritikus, mivel 0∉).
Kiszámoljuk a függvény értékeit a szegmens végén és a kritikus ponton.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Válasz: fmin = 5/2 x=2 esetén; f max = 9 x = 1

2. példa. Magasabb rendű deriváltokkal keressük meg az y=x-2sin(x) függvény szélsőértékét.
Megoldás.
Keresse meg a függvény deriváltját: y’=1-2cos(x) . Keressük meg a kritikus pontokat: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Megtaláljuk, hogy y''=2sin(x), számítsuk ki, tehát x= π / 3 +2πk, k∈Z a függvény minimumpontjai; , tehát x=- π / 3 +2πk, k∈Z a függvény maximális pontjai.

3. példa. Vizsgáljuk meg az x=0 pont környezetében lévő szélsőségfüggvényt!
Megoldás. Itt meg kell találni a függvény szélsőértékét. Ha az extrémum x=0 , akkor derítse ki a típusát (minimum vagy maximum). Ha a talált pontok között nincs x = 0, akkor számítsuk ki az f(x=0) függvény értékét!
Megjegyzendő, hogy amikor egy adott pont mindkét oldalán a derivált nem változtatja az előjelét, akkor még a differenciálható függvényeknél sem merülnek ki a lehetséges helyzetek: előfordulhat, hogy a pont egyik oldalán lévő tetszőlegesen kis környékre x 0 ill. mindkét oldalon a derivált jelet változtat. Ezeken a pontokon más módszereket kell alkalmazni egy szélsőséges függvények vizsgálatára.

Egy függvény növelése, csökkentése és szélsősége

Egy függvény növekedési, csökkenési és szélsőséges intervallumainak megtalálása egyrészt önálló feladat, másrészt fontos része más feladatoknak, különösen, teljes funkcióvizsgálat. A funkció növekedéséről, csökkentéséről és szélsőségeiről szóló kezdeti információkat adjuk meg elméleti fejezet a származékról, amelyet nagyon ajánlok előzetes tanulmányozásra (vagy ismétlés)- azért is, mert az alábbi anyag a nagyon a származék lényege lévén harmonikus folytatása ennek a cikknek. Bár, ha az idő fogy, akkor a mai lecke példáinak pusztán formális kidolgozása is lehetséges.

És ma ritka egyhangúság van a levegőben, és közvetlenül érzem, hogy minden jelenlévő ég a vágytól megtanulni egy függvényt derivált segítségével felfedezni. Ezért az ésszerű, jó örök terminológia azonnal megjelenik a monitorok képernyőjén.

Miért? Az egyik legpraktikusabb ok: hogy világossá tegyük, hogy egy adott feladat során általában mit követelnek meg Öntől!

Funkció monotonitás. Extrém pontok és funkció szélsőségei

Nézzünk néhány funkciót. Leegyszerűsítve azt feltételezzük folyamatos a teljes számsorban:

Minden esetre azonnal megszabadulunk az esetleges illúzióktól, főleg azoknak az olvasóknak, akikkel mostanában ismerkedtek meg a függvény előjelállandóságának intervallumai. Most mi NEM ÉRDEKEL, hogyan helyezkedik el a függvény grafikonja a tengelyhez képest (felül, lent, hol metszi a tengelyt). A meggyőzés érdekében mentálisan törölje le a tengelyeket, és hagyjon meg egy grafikont. Mert az érdeklődés benne van.

Funkció növeli egy intervallumon, ha ennek az intervallumnak a relációval összefüggő bármely két pontjára igaz az egyenlőtlenség. Vagyis az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg, és a grafikonja „alulról felfelé” megy. A demó függvény az időközönként növekszik.

Ugyanígy a funkció csökken intervallumon, ha az adott intervallum bármely két pontjára, úgy, hogy az egyenlőtlenség igaz. Vagyis az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg, és a grafikonja „fentről lefelé” halad. A funkciónk az időközönként csökken .

Ha egy függvény egy intervallumon belül növekszik vagy csökken, akkor hívják szigorúan monoton ezen az intervallumon. Mi az a monotonitás? Vedd szó szerint – monotónia.

Meghatározható is nem csökkenő függvény (az első definícióban nyugodt állapot) és nem növekvő függvény (lágyított állapot a 2. definícióban). Egy intervallumon nem csökkenő vagy nem növekvő függvényt monoton függvénynek nevezünk egy adott intervallumon (a szigorú monotonitás a „csak” monotonitás speciális esete).

Az elmélet más megközelítéseket is figyelembe vesz egy függvény növekedésének/csökkentésének meghatározására, beleértve a félintervallumokat, szegmenseket is, de hogy ne öntsünk olajat-olajat-olajat a fejére, egyetértünk abban, hogy nyílt intervallumokkal, kategorikus definíciókkal dolgozunk - ez világosabb, és sok gyakorlati probléma megoldásához elég.

És így, cikkeimben szinte mindig elbújik a „funkció monotonitása” megfogalmazás időközönként szigorú monotónia(a funkció szigorú növelése vagy szigorú csökkentése).

Pont környéke. Szavak, amelyek után a diákok szétszóródnak, ahol csak tudnak, és rémülten a sarkokba bújnak. …Bár a poszt után Cauchy határok valószínűleg már nem rejtőzködnek, hanem csak enyhén megborzongnak =) Ne aggódj, most nem lesz bizonyíték a matematikai elemzés tételeire - szükségem volt a környékre a definíciók szigorúbb megfogalmazásához szélsőséges pontok. Emlékszünk:

Szomszédsági pont nevezzük meg az adott pontot tartalmazó intervallumot, míg az egyszerűség kedvéért az intervallumot gyakran szimmetrikusnak tételezzük fel. Például egy pont és a szokásos környéke:

Alapvetően a meghatározások:

A lényeg az ún szigorú maximum pont, Ha létezik a szomszédságában, mindenkinek amelyek értékeit magát a pontot kivéve az egyenlőtlenség teljesül. A mi konkrét példánkban ez egy pont.

A lényeg az ún szigorú minimum pont, Ha létezik a szomszédságában, mindenkinek amelyek értékeit magát a pontot kivéve az egyenlőtlenség teljesül. A rajzon - "a" pont.

jegyzet : egyáltalán nem szükséges az a követelmény, hogy a szomszédság szimmetrikus legyen. Emellett fontos maga a létezés ténye szomszédság (bár apró, akár mikroszkopikus), amely megfelel a meghatározott feltételeknek

Pontokat hívnak szigorú szélsőséges pontok vagy egyszerűen szélsőséges pontok funkciókat. Vagyis ez egy általánosított kifejezés a maximális pontokra és a minimumpontokra.

Hogyan kell megérteni az "extrémum" szót? Igen, pont olyan közvetlenül, mint a monotónia. A hullámvasút extrém pontjai.

Akárcsak a monotonitás esetében, az elméletben vannak és még gyakoribbak a nem szigorú posztulátumok (amely alá természetesen a szigorúnak tartott esetek tartoznak!):

A lényeg az ún maximális pont, Ha létezik a környezete, olyan mindenkinek
A lényeg az ún minimum pont, Ha létezik a környezete, olyan mindenkinek ennek a környéknek az értékeit, az egyenlőtlenség érvényesül.

Figyeljük meg, hogy az utolsó két definíció szerint egy konstans függvény bármely pontja (vagy valamely függvény „sík területe”) maximum pontnak és minimumpontnak is számít! A függvény egyébként egyszerre nem növekvő és nem csökkenő, azaz monoton. Ezeket az érveket azonban a teoretikusokra bízzuk, mivel a gyakorlatban szinte mindig a hagyományos "dombokat" és "üregeket" (lásd a rajzot) egy egyedi "domb királyával" vagy "mocsári hercegnővel" szemléljük. Változatként előfordul pont, felfelé vagy lefelé irányítva, például a függvény minimuma a pontban.

Ja, és ha már a királyságról beszélünk:
- a jelentést nevezik maximális funkciók;
- a jelentést nevezik minimális funkciókat.

Gyakori név - szélsőségek funkciókat.

Kérlek vigyázz a szavaiddal!

szélsőséges pontok"x" értékek.
Extrémek- "játék" értékek.

! jegyzet : néha a felsorolt ​​kifejezések az "x-y" pontokra vonatkoznak, amelyek közvetlenül a függvény GRAFONján találhatók.

Hány extrémája lehet egy függvénynek?

Nincs, 1, 2, 3, … stb. a végtelenig. Például a szinusznak végtelen számú minimuma és maximuma van.

FONTOS! A "maximális funkció" kifejezés nem azonos"egy függvény maximális értéke" kifejezés. Könnyen belátható, hogy az érték maximum csak a helyi környéken van, a bal felső sarokban pedig „hirtelenebb elvtársak” vannak. Hasonlóképpen, a "minimális függvény" nem azonos a "minimális függvényértékkel", és a rajzon láthatjuk, hogy az érték csak egy bizonyos területen minimális. Ebben a tekintetben szélsőséges pontokat is neveznek helyi szélsőséges pontokés a szélsőségeket helyi szélsőségek. Sétálnak és mászkálnak, és globális testvérek. Tehát minden parabolának a csúcsa van globális minimum vagy globális maximum. Továbbá nem teszek különbséget a szélsőségek típusai között, és a magyarázat inkább általános oktatási célokat szolgál - a "local" / "global" jelzőket nem szabad meglepni.

Foglaljuk össze rövid kitérőnket az elmélethez egy kontrolllövéssel: mit takar a „függvény monotonitási intervallumainak és szélsőpontjainak keresése” feladat?

A megfogalmazás a következőket kéri:

- a funkció növekedésének / csökkenésének intervallumai (nem csökkenő, nem növekvő sokkal ritkábban);

– maximális pontszám és/vagy minimum pont (ha van). Nos, jobb, ha a kudarcból maguk keresik meg a minimumokat/maximumokat ;-)

Hogyan lehet mindezt meghatározni? Derivatív függvény segítségével!

Hogyan lehet megtalálni a növekedési, csökkenési intervallumokat,
a függvény szélsőpontjai és szélsőpontjai?

Valójában sok szabály már ismert és érthető lecke a származék jelentéséről.

Érintő derivált jó hírt hordoz, hogy a funkció folyamatosan bővül domainek.

Kotangenssel és származékával a helyzet pont az ellenkezője.

Az arszinusz az intervallumon növekszik - a derivált itt pozitív: .
A függvény esetében definiált, de nem differenciálható. A kritikus ponton azonban van egy jobb oldali derivált és egy jobb oldali érintő, a másik élen pedig ezek bal oldali megfelelői.

Azt hiszem, nem lesz nehéz hasonló érvelést végrehajtania az arc koszinuszra és deriváltjára.

Mindezek az esetek, amelyek közül sok az táblázatos származékok, Emlékeztetlek, kövesse közvetlenül a a származék definíciói.

Miért vizsgáljunk függvényt deriválttal?

Hogy jobban megtudja, hogyan néz ki ennek a függvénynek a grafikonja: hol "alulról felfelé", hol "fentről lefelé" megy, hol éri el a csúcsok mélypontját (ha egyáltalán). Nem minden függvény ilyen egyszerű – a legtöbb esetben általában a leghalványabb fogalmunk sincs egy adott függvény grafikonjáról.

Itt az ideje, hogy áttérjünk értelmesebb példákra és mérlegeljük algoritmus egy függvény monotonitási és szélsőséges intervallumainak megtalálására:

1. példa

Keresse meg egy függvény növekvő/csökkenő intervallumait és szélsőértékeit

Megoldás:

1) Az első lépés az, hogy megtaláljuk funkció hatóköre, és vegye figyelembe a töréspontokat is (ha vannak). Ebben az esetben a függvény a teljes valós vonalon folytonos, és ez a művelet némileg formális. De néhol komoly szenvedélyek lobbannak fel itt, úgyhogy kezeljük hanyagság nélkül a bekezdést.

2) Az algoritmus második pontja esedékes

az extrémum szükséges feltétele:

Ha a ponton szélsőség van, akkor vagy nem létezik az érték.

Megzavarta a vége? A "modulo x" függvény szélső értéke .

feltétel szükséges, de nem elég, és ennek fordítva nem mindig igaz. Tehát az egyenlőségből még nem következik, hogy a függvény maximumot vagy minimumot ér el a pontban. Egy klasszikus példát már fentebb megvilágítottunk - ez egy köbös parabola és annak kritikus pontja.

De akárhogy is legyen, az extrémum szükséges feltétele azt diktálja, hogy meg kell találni a gyanús pontokat. Ehhez keresse meg a deriváltot, és oldja meg az egyenletet:

Az első cikk elején a függvénygrafikonokról Elmondtam, hogyan lehet gyorsan felépíteni egy parabolát egy példa segítségével : "... az első deriváltot vesszük és nullával egyenlővé tesszük: ... Tehát az egyenletünk megoldása: - ezen a ponton található a parabola teteje ...". Most azt hiszem, mindenki érti, hogy miért pont ezen a ponton van a parabola teteje =) Általában itt is egy hasonló példával kellene kezdenünk, de túl egyszerű (még egy teáskannához is). Ezenkívül van egy analóg a lecke legvégén derivált függvény. Tehát emeljük a szintet:

2. példa

Keresse meg egy függvény monotonitási intervallumait és szélsőértékeit

Ez egy „csináld magad” példa. A feladat teljes megoldása és hozzávetőleges befejező mintája a lecke végén.

Eljött a töredékes racionális függvényekkel való találkozás régóta várt pillanata:

3. példa

Fedezzen fel egy függvényt az első derivált segítségével

Ügyeljen arra, hogy egy és ugyanazt a feladatot milyen változatosan lehet újrafogalmazni.

Megoldás:

1) A függvény végtelen töréseket szenved a pontokban.

2) Kritikus pontokat észlelünk. Keressük meg az első deriváltot, és egyenlővé tesszük nullával:

Oldjuk meg az egyenletet. Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla:

Így három kritikus pontot kapunk:

3) Tegye félre az ÖSSZES észlelt pontot a számegyenesen és intervallum módszer határozza meg a SZÁRMAZÉK jeleit:

Emlékeztetlek arra, hogy ki kell venni az intervallum egy pontját, ki kell számítanod a derivált értékét benne és határozza meg a jelét. Kifizetődőbb nem is számolni, hanem szóban „becsülni”. Vegyünk például egy intervallumhoz tartozó pontot, és hajtsuk végre a helyettesítést: .

Két "plusz" és egy "mínusz" ad egy "mínuszt", ami azt jelenti, hogy a derivált negatív a teljes intervallumon.

A műveletet, amint megérti, mind a hat intervallumra végre kell hajtani. Egyébként vegye figyelembe, hogy a számlálótényező és a nevező szigorúan pozitív bármely intervallum bármely pontjára, ami nagyban leegyszerűsíti a feladatot.

Tehát a derivált azt mondta nekünk, hogy maga a FUNKCIÓ növekszik és -kal csökken. Az azonos típusú intervallumokat kényelmesen rögzítheti az egyesítő ikonnal.

Amikor a függvény eléri a maximumot:
Amikor a függvény eléri a minimumát:

Gondold át, miért nem tudod újraszámolni a második értéket ;-)

Egy ponton áthaladva a derivált nem változtat előjelet, így a függvénynek ott NINCS EXTREME - csökkent és csökkenő is maradt.

! Ismételjünk meg egy fontos pontot: a pontok nem számítanak kritikusnak - funkciójuk van nem meghatározott. Ennek megfelelően itt szélsőségek elvileg nem lehetnek(akkor is, ha a derivált előjelet vált).

Válasz: a funkció eggyel növekszik és tovább csökken Amikor elérjük a függvény maximumát: , és a ponton - a minimum: .

A monotonitási intervallumok és szélsőségek ismerete, amelyhez a megállapított aszimptoták már nagyon jó képet ad a függvény grafikonjának megjelenéséről. Egy átlagember képes verbálisan meghatározni, hogy egy függvénygráfnak két függőleges aszimptotája és egy ferde aszimptotája van. Íme a hősünk:

Próbálja meg újra összevetni a vizsgálat eredményeit a függvény grafikonjával.
A kritikus ponton nincs szélsőség, de van görbe inflexiója(ami általában hasonló esetekben előfordul).

4. példa

Keresse meg egy függvény szélsőértékét

5. példa

Keresse meg egy függvény monotonitási intervallumát, maximumát és minimumát

... csak valami X-in-a-cube Holiday derül ki ma ....
Húúú, ki ajánlotta fel erre a galériában inni? =)

Minden feladatnak megvannak a maga tartalmi árnyalatai és technikai finomságai, amelyeket az óra végén kommentálunk.