Sorolja fel az összeadás tulajdonságait olvasás közben. Egész számok összeadás, szorzás, kivonás és osztás tulajdonságai

Rajzoljunk egy téglalapot egy 5 cm-es és 3 cm-es oldalú ketrecben lévő papírra, 1 cm-es oldalú négyzetekre (143. ábra). Számoljuk meg a téglalapban található cellák számát. Ezt meg lehet tenni például így.

Az 1 cm oldalú négyzetek száma 5 * 3. Minden ilyen négyzet négy cellából áll. Ezért a cellák teljes száma (5 * 3 ) * 4 .

Ugyanaz a probléma másként is megoldható. A téglalap mind az öt oszlopa három négyzetből áll, amelyek oldala 1 cm, ezért egy oszlop 3 * 4 cellát tartalmaz. Ezért összesen 5 * (3 * 4 ) cella lesz.

A 143. ábrán látható sejtszám kétféleképpen szemlélteti szorzás asszociatív tulajdonsága az 5., 3. és 4. számokhoz. Nálunk van: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Ha két szám szorzatát meg szeretné szorozni egy harmadik számmal, az első számot megszorozhatja a második és harmadik szám szorzatával.

(ab)c = a(bc)

A szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságaiból következik, hogy több szám szorzásakor a tényezők felcserélhetők és zárójelekbe tehetők, ezáltal meghatározható a számítások sorrendje.

Például az egyenlőségek igazak:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

A 144. ábrán az AB szakasz a fent vizsgált téglalapot téglalapra és négyzetre osztja.

Kétféleképpen számoljuk meg az 1 cm oldalú négyzetek számát.

Egyrészt a kapott négyzetben 3 * 3, a téglalapban pedig 3 * 2 található. Összesen 3 * 3 + 3 * 2 négyzetet kapunk. Másrészt ennek a téglalapnak mind a három sora 3 + 2 négyzetet tartalmaz. Ekkor a számuk összesen 3 * (3 + 2 ).

Egyenlő 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 szemlélteti a szorzás elosztó tulajdonsága az összeadás tekintetében.

Ha egy számot meg szeretne szorozni két szám összegével, megszorozhatja ezt a számot minden egyes taggal, és összeadhatja a kapott szorzatokat.

Szó szerinti formában ez a tulajdonság a következőképpen van írva:

a(b + c) = ab + ac

A szorzásnak az összeadásra vonatkozó elosztó tulajdonságából az következik

ab + ac = a(b + c).

Ez az egyenlőség lehetővé teszi, hogy a P = 2 a + 2 b képlet megtalálja egy téglalap kerületét a következőképpen:

P = 2 (a + b).

Vegye figyelembe, hogy a terjesztési tulajdonság három vagy több kifejezésre érvényes. Például:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

A szorzás kivonásra vonatkozó elosztó tulajdonsága is fennáll: ha b > c vagy b = c, akkor

a(b − c) = ab − ac

Példa 1 . Számítsa ki kényelmes módon:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) A szorzás kommutatív, majd asszociatív tulajdonságait használjuk:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Nálunk van:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Példa 2 . Egyszerűsítse a kifejezést:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m - 13 m.

1) A szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságait felhasználva kapjuk:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) A szorzás eloszlási tulajdonságát felhasználva a kivonáshoz, kapjuk:

18 m - 13 m = m (18 - 13 ) = m * 5 = 5 m.

Példa 3 . Írja fel az 5 (2 m + 7) kifejezést úgy, hogy ne legyen benne zárójel!

A szorzásnak az összeadáshoz viszonyított eloszlási tulajdonsága szerint van:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Az ilyen transzformációt ún nyitó zárójelek.

Példa 4 . Számítsa ki a 125 * 24 * 283 kifejezés értékét kényelmes módon.

Megoldás. Nekünk van:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Példa 5 . Hajtsa végre a szorzást: 3 nap 18 óra * 6.

Megoldás. Nekünk van:

3 nap 18 óra * 6 = 18 nap 108 óra = 22 nap 12 óra

A példa megoldása során a szorzás eloszlási tulajdonságát használtuk az összeadásra vonatkozóan:

3 nap 18 óra * 6 = (3 nap + 18 óra) * 6 = 3 nap * 6 + 18 óra * 6 = 18 nap + 108 óra = 18 nap + 96 óra + 12 óra = 18 nap + 4 nap + 12 óra = 22 nap 12 óra

Ebben a műveletben számos eredmény figyelhető meg. Ezeket az eredményeket ún természetes számok összeadásának tulajdonságai. Ebben a cikkben részletesen elemezzük a természetes számok összeadásának tulajdonságait, betűkkel írjuk őket, és magyarázó példákat adunk.

Oldalnavigáció.

A természetes számok összeadásának asszociatív tulajdonsága.

Most adunk egy példát a természetes számok összeadásának asszociatív tulajdonságára.

Képzeljünk el egy helyzetet: az első almafáról 1 alma, a második almafáról 2 alma és további 4 alma esett le. Most nézzük meg a következő helyzetet: 1 alma és további 2 alma esett le az első almafáról, és 4 alma esett le a második almafáról. Nyilvánvaló, hogy az első és a második esetben is ugyanannyi alma lesz a földön (ez ellenőrizhető újraszámítás). Ez azt jelenti, hogy az 1-es szám 2-es és 4-es összegéhez adásának eredménye megegyezik az 1-es és 2-es számok 4-es számának összegével.

A vizsgált példa lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a természetes számok összeadásának asszociatív tulajdonságát: ahhoz, hogy egy adott számhoz két szám adott összegét adjuk, ehhez a számhoz hozzáadhatjuk ennek az összegnek az első tagját, és hozzáadhatjuk a szám második tagját. ez az összeg a kapott eredményhez. Ez a tulajdonság a következő betűkkel írható: a+(b+c)=(a+b)+c, ahol a , b és c tetszőleges természetes számok.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az a+(b+c)=(a+b)+c egyenlőségben zárójelek vannak "(" és ")". A kifejezésekben a zárójelek jelzik a műveletek végrehajtásának sorrendjét - a zárójelben lévő műveletek végrehajtása először történik meg (erről bővebben a részben). Más szóval, a zárójelek olyan kifejezéseket tartalmaznak, amelyek értékeit először értékeli ki.

Ennek a szakasznak a végén megjegyezzük, hogy az összeadás asszociatív tulajdonsága lehetővé teszi számunkra, hogy egyedileg határozzuk meg három, négy vagy több természetes szám összeadása.

A nulla és a természetes szám összeadásának tulajdonsága, a nullát nullához adásának tulajdonsága.

Tudjuk, hogy a nulla NEM természetes szám. Tehát miért döntöttünk úgy, hogy ebben a cikkben figyelembe vesszük a nulla és a természetes szám összeadási tulajdonságát? Ennek három oka van. Először is, ezt a tulajdonságot akkor használják, amikor természetes számok oszlopos összeadása. Másodszor, ezt a tulajdonságot akkor használják, amikor természetes számok kivonása. Harmadszor: ha feltételezzük, hogy a nulla valaminek a hiányát jelenti, akkor a nulla és a természetes szám összeadásának jelentése megegyezik két természetes szám összeadásának értelme.

Végezzük el azt az érvelést, amely segít a nulla és a természetes szám összeadási tulajdonságának megfogalmazásában. Képzeljük el, hogy a dobozban nincsenek elemek (azaz 0 elem van a dobozban), és egy olyan elem kerül bele, ahol a bármely természetes szám. Vagyis hozzáadott 0 és egy elemet. Egyértelmű, hogy a művelet után egy elem van a dobozban. Ezért a 0+a=a egyenlőség igaz.

Hasonlóképpen, ha egy doboz tartalmaz egy elemet, és 0 elemet adnak hozzá (vagyis nem adnak hozzá elemeket), akkor a művelet után egy elem kerül a dobozba. Tehát a+0=a .

Most megadhatjuk a nulla és a természetes szám összeadásának tulajdonságát: két szám összege, amelyek közül az egyik nulla, egyenlő a második számmal. Matematikailag ez a tulajdonság a következő egyenlőségként írható fel: 0+a=a vagy a+0=a, ahol a egy tetszőleges természetes szám.

Külön figyelünk arra, hogy természetes szám és nulla összeadásakor az összeadás kommutatív tulajdonsága igaz marad, azaz a+0=0+a .

Végül megfogalmazzuk a nulla-nulla összeadás tulajdonságot (ez teljesen nyilvánvaló, és nem igényel további megjegyzéseket): két olyan szám összege, amelyek mindegyike nulla, nulla. vagyis 0+0=0 .

Itt az ideje, hogy kitaláljuk, hogyan természetes számok összeadása.

Bibliográfia.

• Matematika. Bármilyen tankönyv az oktatási intézmények 1., 2., 3., 4. évfolyamához.
• Matematika. Bármilyen tankönyv az oktatási intézmények 5 osztályához.

A lecke témaköre: „Az összeadás tulajdonságai”. Ebben megismerkedhet az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságaival, konkrét példákkal megvizsgálva azokat. Tudja meg, mikor használhatja őket a számítási folyamat megkönnyítésére. A tesztesetek segítenek meghatározni, hogy mennyire tanulta meg az anyagot.

Lecke: Kiegészítés tulajdonságai

Nézze meg alaposan a kifejezést:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Meg kell találnunk az értékét. Csináljuk.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

A 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40 kifejezés eredménye.
Mondja, kényelmes volt számolni? A számítás nem volt túl kényelmes. Nézd meg újra a számokat ebben a kifejezésben. Lehetséges-e felcserélni őket, hogy kényelmesebb legyen a számítás?

Ha másképp rendezzük át a számokat:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

A kifejezés végeredménye 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Látjuk, hogy a kifejezések eredménye megegyezik.

A kifejezések felcserélhetők, ha ez kényelmes a számításokhoz, és az összeg értéke ettől nem változik.

A matematikában van egy törvény: Összeadás kommutatív törvénye. Azt írja, hogy az összeg nem változik a feltételek átrendeződésétől.

Fjodor bácsi és Sharik vitatkozott. Sharik megtalálta a kifejezés értékét, ahogy le volt írva, és Fjodor bácsi azt mondta, hogy ismer egy másik, kényelmesebb számítási módot. Látsz kényelmesebb számítási módot?

A labda úgy oldotta meg a kifejezést, ahogy le van írva. És Fjodor bácsi azt mondta, hogy ismeri a törvényt, amely lehetővé teszi a feltételek megváltoztatását, és felcserélte a 25-ös és a 3-as számokat.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Látjuk, hogy az eredmény ugyanaz marad, de a számítás sokkal könnyebbé vált.

Tekintse meg a következő kifejezéseket, és olvassa el őket.

6 + (24 + 51) = 81 (6-hoz add hozzá 24 és 51 összegét)
Van valami kényelmes módszer a számításra?
Azt látjuk, hogy ha 6-ot és 24-et összeadunk, kerek számot kapunk. Mindig könnyebb hozzátenni valamit egy kerek számhoz. Zárójelben vegyük a 6-os és 24-es számok összegét.
(6 + 24) + 51 = …
(adjunk hozzá 51-et a 6-os és 24-es számok összegéhez)

Számítsuk ki a kifejezés értékét, és nézzük meg, hogy megváltozott-e a kifejezés értéke?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Látjuk, hogy a kifejezés értéke változatlan marad.

Gyakoroljunk még egy példával.

(27 + 19) + 1 = 47 (adjunk 1-et a 27 és 19 számok összegéhez)
Milyen számokat lehet kényelmesen csoportosítani úgy, hogy kényelmes módot kapjunk?
Gondoltad, hogy ezek a 19 és 1 számok. Vegyük a zárójelben lévő 19 és 1 számok összegét.
27 + (19 + 1) = …
(27-hez add össze a 19-es és az 1-es számok összegét)
Keressük ennek a kifejezésnek az értékét. Emlékezzünk arra, hogy először a zárójelben lévő műveletet hajtjuk végre.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Kifejezésünk jelentése ugyanaz marad.

Az összeadás asszociatív törvénye: két szomszédos tag helyettesíthető az összegükkel.

Most gyakoroljuk mindkét törvény használatát. Ki kell számítanunk a kifejezés értékét:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Először az összeadás kommutatív tulajdonságát használjuk, amely lehetővé teszi a kifejezések felcserélését. Cseréljük fel a 14-es és a 2-es kifejezéseket.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Most az asszociatív tulajdonságot használjuk, amely lehetővé teszi, hogy két szomszédos tagot az összegükkel helyettesítsünk.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Először megtudjuk a 38 és a 2 összegének értékét.

Az összeg most 14 és 6.

3. Pedagógiai ötletek fesztiválja "Nyílt lecke" ().

csináld otthon

1. Számítsa ki a tagok összegét különböző módokon:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Számítsa ki a kifejezések eredményét:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Számítsa ki az összeget kényelmes módon:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Meghatároztuk az egész számok összeadását, szorzását, kivonását és osztását. Ezeknek a műveleteknek (műveleteknek) számos jellemző eredménye van, amelyeket tulajdonságoknak nevezünk. Ebben a cikkben megvizsgáljuk az egész számok összeadásának és szorzásának alapvető tulajdonságait, amelyekből ezen műveletek összes többi tulajdonsága következik, valamint az egész számok kivonásának és osztásának tulajdonságait.

Oldalnavigáció.

Az egész számok összeadása számos más nagyon fontos tulajdonsággal is rendelkezik.

Az egyik a nulla létezésével kapcsolatos. Az egész szám összeadás ezen tulajdonsága azt mondja ki ha bármely egész számhoz nullát adunk, az nem változtatja meg a számot. Írjuk fel az összeadás ezen tulajdonságát a következő betűkkel: a+0=a és 0+a=a (ez az egyenlőség az összeadás kommutatív tulajdonsága miatt érvényes), a tetszőleges egész szám. Azt is hallhatja, hogy az egész nullát semleges elemnek nevezik. Mondjunk egy-két példát. Egy −78 és nulla egész szám összege −78 ; ha egy 999-es pozitív egész számot adunk nullához, akkor a 999-es számot kapjuk.

Most az egész számok összeadásának egy másik tulajdonságát fogjuk megfogalmazni, amely bármely egész szám ellentétes számának meglétéhez kapcsolódik. Bármely egész szám összege a vele ellentétes számmal nulla. Íme ennek a tulajdonságnak a szó szerinti alakja: a+(−a)=0 , ahol a és −a ellentétes egész számok. Például a 901+(−901) összeg nulla; hasonlóképpen a –97 és 97 ellentétes egészek összege nulla.

Az egész számok szorzásának alapvető tulajdonságai

Az egész számok szorzása rendelkezik a természetes számok szorzásának minden tulajdonságával. Felsoroljuk a főbb tulajdonságokat.

Ahogyan a nulla semleges egész szám az összeadás szempontjából, az egy semleges egész szám az egész számok szorzása szempontjából. vagyis ha bármely egész számot megszorozunk eggyel, az nem változtat a szorzandó számon. Tehát 1·a=a , ahol a tetszőleges egész szám. Az utolsó egyenlőség átírható 1=a-ra, így megadhatjuk a szorzás kommutatív tulajdonságát. Mondjunk két példát. Az 556 egész szám 1-gyel szorzata 556; egy és egy negatív egész –78 szorzata –78 .

Az egész szorzás következő tulajdonsága a nullával való szorzással kapcsolatos. Bármely a egész szám nullával való szorzata nulla, azaz a 0=0 . A 0·a=0 egyenlőség az egész számok szorzásának kommutatív tulajdonsága miatt is igaz. Egy adott esetben, amikor a=0, nulla és nulla szorzata nullával egyenlő.

Egész számok szorzására az előzővel ellentétes tulajdonság is igaz. Azt állítja két egész szám szorzata egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Literális formában ezt a tulajdonságot a következőképpen írhatjuk fel: a·b=0 , ha vagy a=0 , vagy b=0 , vagy a és b egyszerre egyenlő nullával.

Egész számok szorzásának eloszlási tulajdonsága az összeadás tekintetében

Az egész számok összeadása és szorzása együtt lehetővé teszi, hogy figyelembe vegyük a szorzás eloszlási tulajdonságát az összeadáshoz képest, amely összekapcsolja a két jelzett műveletet. Az összeadás és a szorzás együttes alkalmazása további lehetőségeket nyit meg, amelyek hiányoznának, ha az összeadást a szorzástól elkülönítve tekintenénk.

Tehát a szorzásnak az összeadásra vonatkozó eloszlási tulajdonsága azt mondja, hogy egy a egész szám és két a és b egész szám szorzata egyenlő a b és a c szorzatának összegével, azaz a (b+c)=a b+a c. Ugyanez a tulajdonság más formában is felírható: (a+b) c=a c+b c .

Az egész számok összeadásra vonatkozó szorzásának elosztó tulajdonsága az összeadás asszociatív tulajdonságával együtt lehetővé teszi egy egész szám szorzását három vagy több egész szám összegével, majd az egész számok összegének szorzatát a összeg.

Azt is vegyük figyelembe, hogy az egész számok összeadásának és szorzásának minden egyéb tulajdonsága az általunk jelzett tulajdonságokból nyerhető, vagyis ezek a fenti tulajdonságok következményei.

Egész számok kivonási tulajdonságai

A kapott egyenlőségből, valamint az egész számok összeadási és szorzási tulajdonságaiból a következő egész számok kivonási tulajdonságai következnek (a, b és c tetszőleges egész számok):

• Az egész számok kivonása általában NINCS kommutatív tulajdonsággal: a−b≠b−a .
• Az egyenlő egész számok különbsége egyenlő nullával: a−a=0 .
• Az a tulajdonsága, hogy egy adott egész számból kivonjuk két egész szám összegét: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Az a tulajdonsága, hogy két egész szám összegéből kivonunk egy egész számot: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• A szorzás eloszlási tulajdonsága a kivonás tekintetében: a (b−c)=a b−a c és (a−b) c=a c−b c.
• És az egész kivonás összes többi tulajdonsága.

Egész osztás tulajdonságai

Az egész számok osztásának jelentéséről vitatkozva rájöttünk, hogy az egész számok osztása a szorzás inverze. A következő definíciót adtuk: az egész számok felosztása egy ismeretlen tényező megtalálása ismert szorzattal és ismert tényezővel. Vagyis a c egész számot az a egész szám hányadosának nevezzük, osztva a b egész számmal, ha a c·b szorzat egyenlő a -val.

Ez a definíció, valamint az egész számokra vonatkozó műveletek fentebb megvizsgált tulajdonságai lehetővé teszik, hogy megállapítsuk az egész számok felosztásának következő tulajdonságainak érvényességét:

• Egy egész szám sem osztható nullával.
• A nulla egy tetszőleges nem nulla egész számmal való osztásának tulajdonsága a : 0:a=0 .
• Az egyenlő egészek osztásának tulajdonsága: a:a=1 , ahol a bármely nullától eltérő egész szám.
• Egy tetszőleges a egész szám eggyel való osztásának tulajdonsága: a:1=a .
• Általában az egész számok felosztása NINCS kommutatív tulajdonsággal: a:b≠b:a .
• Két egész szám összege és különbsége egy egész számmal való osztásának tulajdonságai: (a+b):c=a:c+b:c és (a-b):c=a:c-b:c , ahol a , b és c olyan egész számok, amelyekben a és b is osztható c -vel, és c értéke nem nulla.
• Az a tulajdonsága, hogy két a és b egész szám szorzatát elosztjuk egy c : (a b):c=(a:c) b -vel, ha a osztható c -vel; (a b):c=a (b:c) ha b osztható c-vel; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) ha a és b is osztható c-vel.
• Az a tulajdonsága, hogy egy a egész számot osztunk két b és c egész szám szorzatával (az a , b és c számok úgy, hogy lehetséges a osztása b c-vel): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b.
• Az egész osztás bármely más tulajdonsága.