Az abc háromszög csúcsainak koordinátái online vannak megadva. Adott a háromszög csúcsainak koordinátái

Példa néhány feladat megoldására az „Analitikai geometria egy síkon” szabványos munkából

A csúcsok adottak,
,
ABC háromszög. Megtalálja:

Egy háromszög minden oldalának egyenlete;

Háromszöget meghatározó lineáris egyenlőtlenségek rendszere ABC;

A csúcsból húzott háromszög magassági, medián és felező egyenletei A;

A háromszög magasságainak metszéspontja;

A háromszög mediánjainak metszéspontja;

A magasság hossza oldalra süllyesztve AB;

Sarok A;

Készítsen rajzot.

Legyen a háromszög csúcsainak koordinátái: A (1; 4), BAN BEN (5; 3), VAL VEL(3; 6). Azonnal rajzoljunk egy rajzot:

1. A háromszög minden oldalának egyenleteinek felírásához használjuk a két adott ponton átmenő egyenes egyenletét koordinátákkal ( x 0 , y 0 ) És ( x 1 , y 1 ):

=

Így helyettesítve a ( x 0 , y 0 ) pont koordinátáit A, és helyett ( x 1 , y 1 ) pont koordinátáit BAN BEN, megkapjuk az egyenes egyenletét AB:

A kapott egyenlet az egyenes egyenlete lesz AB, általános formában írva. Hasonlóképpen megtaláljuk az egyenes egyenletét AC:

És az egyenes egyenlete is Nap:

2. Figyeljük meg, hogy a háromszög ponthalmaza ABC három félsík metszéspontját jelenti, és minden félsíkot egy lineáris egyenlőtlenséggel határozhatunk meg. Ha bármelyik oldal egyenletét vesszük ∆ ABC, Például AB, akkor az egyenlőtlenségek

És

Határozzuk meg az egyenes ellentétes oldalán lévő pontokat AB. Ki kell választanunk azt a félsíkot, ahol a C pont található. Helyettesítsük be a koordinátáit mindkét egyenlőtlenségbe:

A második egyenlőtlenség lesz helyes, ami azt jelenti, hogy a szükséges pontokat az egyenlőtlenség határozza meg

.

Ugyanezt tesszük a BC egyenessel, annak egyenletével
. Az A (1, 1) pontot használjuk tesztpontként:

Ez azt jelenti, hogy a szükséges egyenlőtlenségnek a következő alakja van:

.

Ha ellenőrizzük az AC egyenest (B vizsgálati pont), a következőt kapjuk:

Ez azt jelenti, hogy a szükséges egyenlőtlenségnek meglesz a formája

Végül megkapjuk az egyenlőtlenségek rendszerét:

A „≤”, „≥” jelek azt jelentik, hogy a háromszög oldalain lévő pontok is beletartoznak a háromszöget alkotó pontok halmazába. ABC.

3. a) A csúcsból kiesett magasság egyenletének megtalálása érdekében A oldalra Nap, tekintsük az oldal egyenletét Nap:
. Vektor koordinátákkal
oldalra merőlegesen Napés ezért párhuzamos a magassággal. Írjuk fel egy ponton átmenő egyenes egyenletét A párhuzamos a vektorral
:

Ez a t-ből kihagyott magasság egyenlete. A oldalra Nap.

b) Keresse meg az oldal közepének koordinátáit! Nap a képletek szerint:

Itt
– ezek a t koordinátái. BAN BEN, A
– koordináták t. VAL VEL. Cseréljük le és kapjuk:

Az ezen a ponton és a ponton áthaladó egyenes A a kívánt medián:

c) Meg fogjuk keresni a felező egyenletet abból a tényből kiindulva, hogy egy egyenlő szárú háromszögben a háromszög egyik csúcsából az alapra ereszkedő magasság, medián és felező egyenlő. Keressünk két vektort
És
és hosszuk:

Aztán a vektor
iránya megegyezik a vektorral
, és a hossza
Hasonlóképpen az egységvektor
irányában egybeesik a vektorral
Vektoros összeg

van egy vektor, amely irányában egybeesik a szögfelezővel A. Így a kívánt felező egyenlete a következőképpen írható fel:

4) Már megszerkesztettük az egyik magasság egyenletét. Alkossunk egyenletet egy másik magasságra, például a csúcsból BAN BEN. Oldal AC egyenlet adja meg
Tehát a vektor
merőleges AC, és így párhuzamos a kívánt magassággal. Ezután a csúcson átmenő egyenes egyenlete BAN BEN a vektor irányába
(azaz merőleges AC), a következő formában van:

Ismeretes, hogy a háromszög magasságai egy pontban metszik egymást. Konkrétan ez a pont a talált magasságok metszéspontja, azaz. egyenletrendszer megoldása:

- ennek a pontnak a koordinátái.

5. Közép AB koordinátái vannak
. Írjuk oldalra a medián egyenletét AB. Ez az egyenes (3, 2) és (3, 6) koordinátájú pontokon halad át, ami azt jelenti, hogy egyenlete a következő:

Figyeljük meg, hogy az egyenes egyenletében szereplő tört nevezőjében szereplő nulla azt jelenti, hogy ez az egyenes párhuzamos az ordinátatengellyel.

A mediánok metszéspontjának megtalálásához elegendő az egyenletrendszert megoldani:

A háromszög mediánjainak metszéspontja koordinátákkal rendelkezik
.

6. Magasság hossza oldalra süllyesztve AB, egyenlő a pont távolságával VAL VEL egyenesre AB egyenlettel
és a következő képlettel találjuk meg:

7. Szög koszinusza A a vektorok közötti szög koszinuszának képletével kereshető meg És , amely egyenlő ezen vektorok skaláris szorzatának és hosszuk szorzatának arányával:

.

1. probléma. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái adottak: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Keresse meg: 1) az AB oldal hosszát; 2) AB és BC oldalegyenletek és szögegyütthatóik; 3) B szög radiánban, két számjegy pontossággal; 4) a CD magasság egyenlete és hossza; 5) az AE medián egyenlete és ennek a mediánnak a CD magassággal való metszéspontjának K pontjának koordinátái; 6) az AB oldallal párhuzamos, a K ponton átmenő egyenes egyenlete; 7) az A pontra szimmetrikusan elhelyezkedő M pont koordinátái a CD egyeneshez képest.

Megoldás:

1. Az A(x 1 ,y 1) és B(x 2 ,y 2) pontok közötti d távolságot a képlet határozza meg

Az (1) alkalmazással megtaláljuk az AB oldal hosszát:

2. Az A(x 1 ,y 1) és B(x 2 ,y 2) pontokon átmenő egyenes egyenlete a következő

(2)

Az A és B pont koordinátáit (2) behelyettesítve megkapjuk az AB oldal egyenletét:

Az y utolsó egyenletének megoldása után az AB oldal egyenletét szögegyütthatós egyenes egyenlet formájában találjuk meg:

ahol

A B és C pont koordinátáit (2) behelyettesítve megkapjuk a BC egyenes egyenletét:

Vagy

3. Ismeretes, hogy két olyan egyenes közötti szög érintőjét, amelyek szögegyütthatói rendre egyenlők, a következő képlettel számítjuk ki:

(3)

A kívánt B szöget AB és BC egyenesek alkotják, amelyek szögegyütthatóit megtaláljuk: (3) alkalmazásával kapjuk

Vagy örülök.

4. Egy adott ponton adott irányban áthaladó egyenes egyenlete a következő alakkal rendelkezik

(4)

A CD magasság merőleges az AB oldalra. A CD magasság meredekségének meghatározásához az egyenesek merőlegességének feltételét használjuk. Azóta Ha behelyettesítjük (4)-be a C pont koordinátáit és a talált magassági szögegyütthatót, megkapjuk

A CD magasság hosszának meghatározásához először meghatározzuk a D pont koordinátáit - az AB és CD egyenesek metszéspontját. A rendszer közös megoldása:

találunk azok. D(8;0).

Az (1) képlet segítségével megtaláljuk a magasság-CD hosszát:

5. Az AE medián egyenletének megtalálásához először meghatározzuk az E pont koordinátáit, amely a BC oldal közepe, a szakaszt két egyenlő részre osztó képletekkel:

(5)

Ennélfogva,

Az A és E pont koordinátáit (2) behelyettesítve megkapjuk a medián egyenletét:

A CD magasság és az AE medián metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához együtt oldjuk meg az egyenletrendszert

Találunk.

6. Mivel a kívánt egyenes párhuzamos az AB oldallal, a szögegyütthatója megegyezik az AB egyenes szögegyütthatójával. A (4)-be behelyettesítve a talált K pont koordinátáit és a szögegyütthatót kapjuk

3x + 4 év – 49 = 0 (KF)

7. Mivel az AB egyenes merőleges a CD egyenesre, a kívánt M pont, amely a CD egyeneshez képest szimmetrikusan helyezkedik el az A pontra, az AB egyenesen fekszik. Ezenkívül a D pont az AM szakasz felezőpontja. Az (5) képletekkel megtaláljuk a kívánt M pont koordinátáit:

ábrán látható xOy koordinátarendszerben az ABC háromszög, a CD magasság, az AE medián, a KF egyenes és az M pont. 1.

2. feladat. Hozzon létre egyenletet azon pontok helyére, amelyek távolsága egy adott A(4; 0) ponttól és egy adott x=1 egyenestől 2-vel egyenlő.

Megoldás:

Az xOy koordinátarendszerben megszerkesztjük az A(4;0) pontot és az x = 1 egyenest. Legyen M(x;y) a pontok kívánt geometriai helyének tetszőleges pontja. Engedjük le az MB merőlegest az adott x = 1 egyenesre, és határozzuk meg a B pont koordinátáit. Mivel a B pont az adott egyenesen fekszik, az abszcisszája egyenlő 1-gyel. A B pont ordinátája egyenlő az M pont ordinátájával. Ezért B(1;y) (2. ábra).

A feladat feltételei szerint |MA|: |MV| = 2. Távolságok |MA| és |MB| az 1. feladat (1) képletéből megtaláljuk:

A bal és a jobb oldalt négyzetre emelve kapjuk

vagy

A kapott egyenlet egy hiperbola, amelyben a valós féltengely a = 2, a képzeletbeli féltengely pedig

Határozzuk meg a hiperbola fókuszait. Hiperbola esetén az egyenlőség teljesül, ezért és – hiperbola trükkök. Mint látható, az adott A(4;0) pont a hiperbola jobb oldali fókusza.

Határozzuk meg a kapott hiperbola excentricitását:

A hiperbola aszimptoták egyenletei alakja és . Ezért a vagy és a hiperbola aszimptotái. A hiperbola megalkotása előtt megszerkesztjük annak aszimptotáit.

3. probléma. Készítsen egyenletet az A(4; 3) ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helyére és az y = 1 egyenesre. A kapott egyenletet redukálja vissza a legegyszerűbb alakjára!

Megoldás: Legyen M(x; y) a kívánt geometriai ponthely egyik pontja. Ebbe az y = 1 egyenesbe ejtsük az MB merőlegest az M pontból (3. ábra). Határozzuk meg a B pont koordinátáit. Nyilvánvaló, hogy B pont abszcisszája egyenlő az M pont abszcisszájával, B pont ordinátája pedig 1-gyel, azaz B(x; 1). A feladat feltételei szerint |MA|=|MV|. Következésképpen a kívánt geometriai ponthelyhez tartozó bármely M(x;y) pontra a következő egyenlőség igaz:

Az így kapott egyenlet meghatároz egy parabolát, amelynek csúcsa a pontban van, és a parabola egyenlet legegyszerűbb alakjára hozzuk, és állítsuk be, hogy y + 2 = Y, akkor a parabola egyenlet a következő alakot veszi fel:

1. AB és BC oldalak és szögegyütthatóik egyenlete.
A hozzárendelés megadja azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyeken ezek az egyenesek áthaladnak, ezért a két megadott ponton átmenő egyenes egyenletét használjuk: $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ helyettesítse, és kapja meg az egyenleteket
az AB egyenes egyenlete $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ az AB egyenes meredeksége egyenlő \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
a BC egyenes egyenlete $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ a BC egyenes meredeksége egyenlő \ (k_( BC) = -7\)

2. B szög radiánban, két számjegy pontossággal
A B szög az AB és BC egyenesek közötti szög, amelyet a következő képlettel számítunk ki: $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$ helyettesíti a szögegyütthatók értékeit ezekből a sorokból a $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \körülbelül 0,79 $$
3. AB oldal hossza
Az AB oldal hosszát a pontok közötti távolságként számítjuk ki, és egyenlő: \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. A CD magasságának és hosszának egyenlete.
A magassági egyenletet egy adott C(4;13) ponton adott irányban átmenő egyenes képletével fogjuk megtalálni - az AB egyenesre merőlegesen a \(y-y_0=k(x-x_0) képlet segítségével. \). Határozzuk meg a \(k_(CD)\) magasság szögegyütthatóját a merőleges egyenesek \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) tulajdonságával, a következőt kapjuk: $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Az egyenletbe behelyettesítünk egy egyenest, így kapjuk $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ A magasság hosszát fogjuk keresni, mint a távolság a C(4;13) ponttól az AB egyenesig a $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ képlet alapján a számlálóban az egyenlet az AB egyenest redukáljuk erre a \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) alakra, helyettesítsük az így kapott egyenlet és a pont koordinátái a képletbe $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 $$

5. Az AE medián és a K pont koordinátáinak egyenlete, ennek a mediánnak a metszéspontja a CD magassággal.
A medián egyenletét egy adott A(-6;8) és E ponton átmenő egyenes egyenleteként fogjuk keresni, ahol az E pont a B és C pontok felezőpontja, koordinátái pedig a formula \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) helyettesíti a pontok koordinátáit \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), akkor a medián AE egyenlete a következő lesz: $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Keressük meg a metszéspont koordinátáit a magasságok és a medián, azaz. Keressük meg a közös pontjukat. Ehhez létrehozunk egy $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac rendszeregyenletet (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(esetek)=>\begin(esetek)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(esetek)=>$$$ $\begin(esetek)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(esetek)=> \begin(esetek)25y =175\\3y = 4x+23\end(esetek)=> $$ $$\begin(esetek) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(esetek)$$ A metszéspont koordinátái \(K(-\frac(1)(2);7 )\)

6. Az AB oldallal párhuzamosan a K ponton átmenő egyenes egyenlete.
Ha az egyenes párhuzamos, akkor szögegyütthatójuk egyenlő, azaz. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), a \(K(-\frac(1)(2);7)\) pont koordinátái is ismertek , azaz . egy egyenes egyenletének megtalálásához alkalmazzuk az adott ponton egy adott irányban átmenő egyenes egyenletének képletét \(y - y_0=k(x-x_0)\), behelyettesítjük az adatokat és kapunk $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Az A pontra szimmetrikus M pont koordinátái a CD egyeneshez képest.
Az M pont az AB egyenesen fekszik, mert A CD ennek az oldalnak a magassága. Keressük meg CD és AB metszéspontját, ehhez oldjuk meg a $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - egyenletrendszert. \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(esetek) =>\begin(esetek)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(esetek) => $$$$\begin(esetek )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(esetek) =>
\begin(esetek)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(esetek) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(esetek)$$ A D pont koordinátái(-2;5). Az AD=DK feltétel szerint ezt a pontok közötti távolságot a \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\ Pitagorasz képlet határozza meg, ahol AD ​​és DK a egyenlő derékszögű háromszögek hipoténuszai, és \(Δx =x_2-x_1\) és \(Δy=y_2-y_1\) ezeknek a háromszögeknek a lábai, azaz. keressük meg az M pont szárait és koordinátáit. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), és \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), majd a koordinátákat az M pont egyenlő \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), és \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), azt találtuk, hogy a \( M(2;2)\) pont koordinátái

1. Adott egy háromszög csúcsai ABC.A(–9; –2), BAN BEN(3; 7), VAL VEL(1; –7).

1) oldalhossz AB;

2) oldalegyenletek ABÉs ACés szögegyütthatóik;

3) szög A radiánban;

4) magassági egyenlet VAL VELDés hossza;

5) egy kör egyenlete, amelyre a magasság VAL VELD van egy átmérő;

6) háromszöget meghatározó lineáris egyenlőtlenségek rendszere ABC.

Megoldás. Készítsünk rajzot.

1. Határozzuk meg az AB oldal hosszát. Két pont távolságát a képlet határozza meg

2. Keressük meg az oldalak egyenleteitAB ÉsAC és ezek szögegyütthatói.

Írjuk fel egy két ponton átmenő egyenes egyenletét!

Ez egy egyenes általános egyenlete. Oldjuk meg y tekintetében, kapjuk

, az egyenes lejtése egyenlő

Hasonlóan az oldalsó AC-hoz is.

az egyenes lejtése egyenlő

3. meg fogjuk találnisarokA radiánban. Ez a két vektor közötti szög
És
. Írjuk fel a vektorok koordinátáit. A vektorok közötti szög koszinusza egyenlő

4. meg fogjuk találnimagassági egyenletVAL VEL D és a hossza.
, ezért szögegyütthatóikat az összefüggés köti össze
.

Írjuk fel a magassági egyenletet a szögegyüttható segítségével

Pont
a CD vonalhoz tartozik, ezért a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét, így van

Végül
vagy

A magasság hosszát a C pont és az AB egyenes távolságaként számítjuk ki

5. Keressük meg a kör egyenletét, mely magassághozVAL VEL D van egy átmérő.

A D pont koordinátáit két AB és CD egyenes metszéspontjaként találjuk, amelyek egyenlete ismert.

Keressük meg az O pont – a kör középpontjának – koordinátáit. Ez a CD-rész közepe.

A kör sugara a

Írjuk fel a kör egyenletét.

6) Határozzuk meg a háromszögetABC lineáris egyenlőtlenségek rendszere.

Keressük meg a CB egyenes egyenletét.

A lineáris egyenlőtlenségek rendszere így fog kinézni.

2. Oldja meg ezt az egyenletrendszert Cramer-képletekkel! Ellenőrizze a kapott oldatot.

Megoldás. Számítsuk ki ennek a rendszernek a determinánsát:

.

Keressük a meghatározókat
és oldja meg a rendszert:

Vizsgálat:

Válasz:

3. Írja fel az egyenletrendszert mátrix formában, és oldja meg a segítségével!

inverz mátrix. Ellenőrizze a kapott oldatot

Megoldás.

Keressük meg az A mátrix determinánsát

a mátrix nem szinguláris és inverze van. Keressük meg az összes algebrai kiegészítést, és hozzunk létre egy uniómátrixot.

Az inverz mátrix alakja:

Végezzük el a szorzást
és keressük meg a megoldások vektorát.

Vizsgálat

.
Válasz:

Megoldás.

N = (2, 1). Rajzolj egy szintvonalat a normálvektorra merőlegesen, és mozgasd a normál irányába,

A célfüggvény minimumát az A pontban, maximumát B pontban éri el. Ezen pontok koordinátáit úgy találjuk meg, hogy közösen megoldjuk azon egyenesek egyenleteit, amelyek metszéspontjában vannak.

5. Egy utazási társaságnak nincs szüksége többre A háromtonnás buszok és nem több V

öttonnás buszok. Az első márkájú buszok eladási ára 20 000 USD, a második márkáé

40 000 USD Egy utazási társaság legfeljebb Val vel c.u.

Az egyes márkákból hány buszt kell külön-külön megvásárolni, hogy azok összesen

(teljes) terhelhetősége maximális volt. Oldja meg a problémát grafikusan.

A= 20 V= 18 Val vel= 1000000

Megoldás. Készítsük el a probléma matematikai modelljét . Jelöljük azzal
- az egyes űrtartalmú buszok száma, amelyeket megvásárolnak. A beszerzés célja, hogy a vásárolt gépek maximális teherbíró képessége legyen, amit a célfüggvény ír le

A feladat korlátait a vásárolt buszok száma és azok költsége határozza meg.

Oldjuk meg a problémát grafikusan. . Megszerkesztjük a probléma megvalósítható megoldásainak tartományát és a szintvonalak normálját N = (3, 5). Rajzolj egy szintvonalat a normálvektorra merőlegesen, és mozgasd a normál irányába.

A célfüggvény a ponton éri el maximumát
, a célfüggvény a .

Megoldás. 1. A függvény definíciós tartománya a teljes numerikus tengely.

2, A függvény se nem páros, se nem páratlan.

3. Ha x=0, y=20

4. Megvizsgáljuk a monotonitás és szélsőség függvényét.

Keressük meg a derivált nulláit

Egy függvény stacionárius pontjai.

Ábrázoljunk stacionárius pontokat az Ox tengelyen, és ellenőrizzük a derivált előjeleit a tengely minden szakaszán.

- maximum pont
;
- minimum pont

5. Megvizsgáljuk a függvény grafikonját konvexitásra és konkávitásra. Vegyük a 2. derivált

Függvénygráf inflexiós pontja.

Nál nél
- a függvény konvex; nál nél
- a függvény homorú.

A függvény grafikonja így néz ki

6. Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [-1; 4]

Számítsuk ki a függvény értékét a szegmens végén
A minimális ponton a függvény felveszi az értékeket, ezért a legkisebb értéket a szakaszon [-1; 4] a függvény a minimumponton, a maximumon pedig az intervallum bal határán veszi fel.

7. Keressen határozatlan integrálokat, és ellenőrizze az integráció eredményeit

különbségtétel.

Megoldás.

Vizsgálat.

Itt a koszinuszok szorzatát trigonometrikus képletek szerint összeggel helyettesítettük.