A nemlineáris egyenletek elmélete és a felezési módszer.

Félosztásos módszer

Feltételezzük, hogy az egyenlet gyökeinek szétválasztása f(x) = 0 a [ szegmensen is végrehajtódik a, b] van egy gyök, amelyet ε hibával kell finomítani. A gyökér kezdeti közelítéseként ennek a szegmensnek a közepét vesszük: c 0= (a+ b) / 2 (4. ábra):

Rizs. 4. Félosztás módszere.

Ezután megvizsgáljuk a függvény értékét f(x) a szegmensek végén [ a, c 0] és [ c 0, b] . A szegmenseké, amelyeknek a végén f(x) különböző előjelű értékeket vesz fel, tartalmazza a kívánt gyökeret; ezért új szegmensnek tekintjük [ egy 1, b 1] (a 4. ábrán ez a szegmens [ a, c 0]). A szegmens második fele [ a, b], amelyen f(x) nem változtat jelet, elvetjük. A gyök következő közelítéseként az új szegmens közepét vesszük
c 1= (egy 1+ b 1) / 2 stb. Ily módon k-a közelítést a következőképpen számítjuk ki

Minden iteráció után a szegmens, amelyen a gyökér található, felére csökken, és utána k iterációk a 2-ben k egyszer:

Az iteratív folyamatot a megadott pontosság elérésekor le kell állítani, pl. amikor a feltétel teljesül |x 0 – c k |< ε

Mert a gyökér x0 szegmenshez tartozik [ a k, b k], a c k ennek a szakasznak a felezőpontja, majd az értéke |x 0 – c k | mindig kevesebb lesz, mint a fele a vágási hossznak [ a k, b k] (lásd: 4. ábra):

Ezért a feltétel |x 0 – c k |< ε végrehajtásra kerül, ha

| b k – a k |< 2ε

Így az iteratív folyamatot a feltételig kell folytatni | b k – a k |< 2ε .

A legtöbb más finomítási módszertől eltérően a felezési módszer mindig konvergál, azaz. feltétlen konvergenciával rendelkezik. Ezenkívül rendkívül egyszerű, mivel csak a függvény értékeinek kiszámítását igényli f(x), ezért bármilyen egyenlet megoldására használható.

A felezési módszer azonban meglehetősen lassú. Minden lépésnél a közelítő érték hibája felére csökken, azaz.

ezért ez a módszer lineáris konvergenciájú módszer.

Megjegyzés. A felező módszer nem igényel további információkat a függvényről a teljes intervallumon [ a, b]. Például nem szükséges, hogy a függvény differenciálható legyen. A vizsgált módszer még nem folytonos függvényeknél is garantálta a konvergenciát. Ha az egyenletnek több gyöke van ezen az intervallumon, akkor az egyik gyöke megtalálható.

akkordmódszer

A vizsgált módszer, valamint a felezési módszer célja a gyökér finomítása az intervallumon [ a, b f(x) különböző előjelű értékeket vesz fel. A következő közelítést, ellentétben a félosztás módszerével, nem a szakasz közepén, hanem a ponton vesszük x, ahol a pontokon keresztül húzott egyenes (húr) metszi az abszcissza tengelyt DEés NÁL NÉL(5. ábra).

Rizs. 5. Akkordok módszere.

Felírjuk a pontokon áthaladó egyenes egyenletét DEés NÁL NÉL:

Egy egyenes metszéspontjához az abszcissza tengellyel ( x= x0, y= 0) megkapjuk az egyenletet

Az iteratív folyamat folytatásához új intervallumként a két [ a, x0] és [ x 0, b], melynek végén a függvény f(x) különböző előjelű értékeket vesz fel. A vizsgált esethez (5. ábra) a szegmenst [ a, x0], mert
f(a) × f(x0)< 0 . A következő iteráció egy új közelítés meghatározása x 1 mint egy akkord metszéspontja AB 1 az abszcissza tengellyel stb.

A gyök finomítását akkor fejezzük be, amikor az egymást követő közelítések távolsága kisebb lesz, mint a megadott pontosság, azaz.

x k +1 – x k< ε

Megjegyzés. Az akkordmódszer és a felezési módszer nagyon hasonló. Sőt, ezek közül a második bizonyos esetekben az iteratív folyamat gyorsabb konvergenciáját adja. Mindkét módszer nem igényel további információkat a függvényről a teljes intervallumon [ a, b]. Például nem szükséges, hogy a függvény differenciálható legyen. A vizsgált módszerek még nem folytonos függvényeknél is garantálják a konvergenciát.

Newton-módszer (tangens módszer)

A Newton-módszer célja a gyökér finomítása az intervallumon [ a, b], melynek végén a függvény f(x) különböző előjelű értékeket vesz fel. Ez a módszer azonban további információkat használ a funkcióról f(x). Ennek eredményeképpen gyorsabb a konvergenciájuk, ugyanakkor egy szűkebb függvényosztályra is alkalmazhatóak, és konvergenciájuk nem mindig garantált.

A függvény gyökereit elkülönítve figyelembe kell venni, hogy a Newton-módszer alkalmazása megköveteli, hogy a függvény monoton és kétszer differenciálható legyen, a második derivált pedig f''(x) ezen az intervallumon nem szabad előjelet váltani.

A Newton-módszerrel kapott iteratív sorozat konvergenciája a kezdeti közelítés megválasztásától függ x0. Általában, ha az intervallum [ a, b] gyökérrel, és ismert, hogy a függvény f(x) monoton ezen az intervallumon, akkor kezdeti közelítésként x0 kiválaszthatja a szakasz határát [ a, b], ahol a függvény előjelei egybeesnek f(x) és a második származék f''(x). A kezdeti közelítés ilyen megválasztása garantálja a Newton-módszer konvergenciáját azzal a feltétellel, hogy a függvény monoton a gyökérlokalizációs intervallumon.

Ismerjük meg a gyökér kezdeti közelítését x0. Rajzolja meg a görbe érintőjét ezen a ponton y= f(x) (6. ábra). Ez az érintő egy olyan pontban metszi az x tengelyt, amelyet a következő közelítésnek tekintünk.

Laboratóriumi munka

EGY NEMLINEÁRIS EGYENLET KIBOCSÁTOTT GYÖKÉNEK SZÁMÚ MEGTALÁLÁSA

Az egyenletek – algebrai vagy transzcendentális – megoldása az alkalmazott elemzés egyik lényeges feladata, amelyre a fizika, a mechanika, a technika és más területeken számos és sokrétű területen felmerül az igény.

Legyen az egyenlet

f (x) = 0. (1)

Bármilyen szám x*, a funkció megfordítása f(x) nullára, azaz. amelyikben f(x*) = 0, az (1) egyenlet gyökének vagy a függvény nullának nevezzük f(x).

Az (1) egyenlet valós gyökeinek numerikus megtalálásának problémája általában abból áll, hogy megtaláljuk a közelítő gyököket, pl. a vizsgált terület kellően kis környékeinek megtalálása, amely a gyökér egy értékét tartalmazza, és a gyökök kiszámítása adott fokú pontossággal.

1. Funkció f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b] 1. és 2. rendű származékaival együtt;
2. Értékek f(x) a szegmens végén különböző jelek vannak ( f(a) * f(b) < 0).

3. Első és második derivált f"(x) és f ""(x) megtart egy bizonyos jelet az intervallum alatt.

Az 1) és 2) feltétel garantálja, hogy a [ a, b] van legalább egy gyök, és a 3) pontból az következik f(x) monoton ezen az intervallumon, ezért a gyökér egyedi lesz.

Az egyenlet gyökerének megtalálásának problémája f(x) = 0 az iteratív módszerrel két szakaszból áll:

1. gyökérszétválasztás- a gyökér vagy az azt tartalmazó szakasz hozzávetőleges értékének megtalálása;

2. közelítő gyökerek finomítása- adott fokú pontosságra hozni őket.

A gyökerek szétválasztásának folyamata a funkció jeleinek megállapításával kezdődik f(x) a határban x=aés x=b pontokat a létezésének területén.

1. példa . Válasszuk szét az egyenlet gyökeit:

x 3 – 6x + 2 = 0 (2)

Készítsünk hozzávetőleges diagramot:

x	- ∞	- 3	- 1				+ ∞
f(x)	–	–	+	+	–	+	+

Ezért a (2) egyenletnek három valós gyöke van a [-3, -1] és a intervallumokban.

A gyökerek hozzávetőleges értékei ( kezdeti közelítések) is megismerhető a probléma fizikai jelentéséből, hasonló probléma megoldásából eltérő kiindulási adatokkal, vagy grafikusan is megtalálható.

Gyakori a mérnöki gyakorlatban grafikus módon közelítő gyökök meghatározása.

Figyelembe véve, hogy az (1) egyenlet valós gyökei a függvény grafikonjának metszéspontjai f(x) az x tengellyel elegendő a függvény grafikonját ábrázolni f(x) és jelölje meg a metszéspontokat f(x) tengellyel Ó, vagy jelölje meg a tengelyen Ó egy gyökeret tartalmazó szegmensek.

Legyen az (1) egyenlet gyöke izolálva a [ szakaszon a, b]. A kezdeti közelítés finomításának iteratív folyamata x 0 a pontos megoldáshoz abból áll, hogy szekvenciálisan megkapjuk az előző (korábbi) közelítést. Minden ilyen lépést ún ismétlés. Egyik vagy másik módszer alkalmazása a rendelkezésre álló kezdeti közelítéstől függ x 0 függvény deriváltak gyökére, létezésére és simaságára f(x). Az iterációk eredményeként a gyökér hozzávetőleges értékeinek sorozata található x 1 , X 2 , ..., x n . Ha ezek az értékek az iterációk számának növekedésével n megközelíteni a gyökér valódi értékét, akkor azt mondják, hogy az iteratív folyamat konvergál.

Az iteratív módszereknél fontos a számlálás vége kritérium kiválasztása. Ha a funkció f(x) a vizsgált régióban lassan változik, pl. a derivált abszolút értékben kisebb, mint egység, akkor az iteratív folyamatot a feltétel teljesülésével véget kell vetni

| x k +1 – x k |< ε ,

ahol x k , x k+1 - egymást követő közelítések a gyökhöz, ε > 0 az iteratív folyamat végének megadott pontossága. Ha a funkció gyorsan változik, pl.

| f'(x) | ≥ 1, akkor az iteratív folyamatot le kell állítani, amikor a feltétel

| f(x k) | < ε .

Félosztásos módszer

Ez a módszer az egyik legegyszerűbb iteratív módszer az (1) egyenlet valós gyökerének kiszámítására a [ α , β ]. Akkor alkalmazzák, amikor f(x) folyamatos a [ α , β ] és ennek a szegmensnek a végén különböző előjelek értékeit veszi fel, pl.

f(α )f(β ) < 0.

A módszer számítási sémája. Vonalszakasz [ α , β ] felére van osztva és ha f≠ 0, majd válassza ki az egyik felet , , melynek végén a függvény f(x) különböző előjelek értékeit veszi fel (a gyökér benne van). A kapott szegmenst ismét kettéosztjuk, és a leírt műveleteket addig ismételjük, amíg az iteratív folyamat adott pontosságú gyökérét meg nem kapjuk. A folyamat akkor ér véget, ha a feltétel teljesül

| x k +1 – x k |< ε .

Az iterációk száma k a felezési módszerben a képlet határozza meg

k≈ .

1. példa. Használja a felezési módszert az egyenlet gyökerének kiszámításához

x 3 + 3x 2 – 1 = 0 (2)

szakaszon 0,01 pontossággal.

Ellenőrizzük a módszer alkalmazhatóságának feltételeit. Funkció f(x) egy harmadfokú polinom (folyamatos) és f(0)f(1) < 0.

Egymás után kiszámítjuk a gyökér közelítését, és ellenőrizzük a pontosságukat:

x 0 = 0		f(0)= – 1	[ –, + ]
x 1 = 1	|0 – 1| > 0,01	f(1)=3
x 2 = 0,5	|1 – 0,5|> 0,01	f(0,5)= – 0,125
x 3 = 0,75	|0,5 – 0,75|> 0,01	f(0,75)≈1,109
x 4 = 0,625	|0,5 – 0,625|> 0,01	f(0,625)≈0,416
x 5 = 0,5625	|0,5 – 0,5625|> 0,01	f(0,5625)≈0,127
x 6 = 0,53125	|0,5 – 0,53125|> 0,01	f(0,53125)≈ – 0,0034
x 7 = 0,546875	|0,53125 – 0,546875|> 0,01	f(0, 546875)≈0,0608
x 8 = 0,5390625	|0,53125 – 0,5390625|≤ 0,01	f(0, 5390625)≈0,0284

A gyök finomított értékére vegyük az értéket

Félosztásos módszer(más nevek: felezési módszer, dichotómia módszer) az egyenlet megoldásához f(x) = 0 a következő. Legyen tudatában annak, hogy a függvény folytonos és felveszi a szakasz végeit
[a, b] különböző előjelek értékeit, akkor a gyökér az intervallumban ( a, b). Az intervallumot két részre osztjuk, majd azt a felét vesszük figyelembe, amelynek végén a függvény különböző előjelű értékeket vesz fel. Ezt az új szegmenst ismét két egyenlő részre osztjuk, és kiválasztjuk közülük azt, amelyik tartalmazza a gyökeret. Ez a folyamat addig folytatódik, amíg a következő szegmens hossza kisebb lesz, mint a szükséges hibaérték. A felezési módszer algoritmusának szigorúbb leírása:

1) Számítsa ki x = (a+ b)/2; kiszámít f(x);

2) Ha f(x) = 0, majd folytassa az 5. lépéssel;

3) Ha f(x)∙f(a) < 0, то b = x, másképp a = x;

4) Ha | b – a| > ε, menjen az 1. pontra;

5) Kimeneti érték x;

2.4. példa. Finomítsa felezési módszerrel 0,01-es pontossággal a () egyenlet gyökerét x– 1) 3 = 0, a szegmenshez tartozó.

Megoldás a programban excel:

1) A sejtekben A 1:F 4 bemutatjuk a jelöléseket, a kezdeti értékeket és a képleteket, a 2.3 táblázat szerint.

2) Minden képletet bemásolunk az alsó cellákba egy kitöltési markerrel a tizedik sorig, azaz. B 4 - előtte B 10, C 4 - előtte C 10, D 3 - előtte D 10, E 4 - előtte E 10, F 3 - előtte F 10.

2.3. táblázat

	A	B	C	D	E	F
		f(a)=	=(1-B3)^3
	k	a	x	f(x)	b	b-a
		0,95	=(B3+E3)/2	=(1-C3)^3	1,1	=E3-B3
		=IF(D3=0,C3, IF(C$1*D3<0;B3;C3))			=IF(C$1*D3>0, E3,C3)

A számítási eredményeket a táblázat tartalmazza. 2.4. Az oszlopban F intervallumhossz értékek ellenőrzése b – a. Ha az érték kisebb, mint 0,01, akkor a gyökér hozzávetőleges értéke adott hibával ebben a sorban található. A kívánt pontosság eléréséhez 5 iteráció kellett. A gyök hozzávetőleges értéke 0,01 pontossággal három tizedesjegyre kerekítés után 1,0015625 ≈ 1,00.

2.4. táblázat

	A	B	C	D	E	F
		f(a)=	0,000125
	k	a	x	f(x)	b	b-a
		0,95	1,025	-2E-05	1,1	0,15
		0,95	0,9875	2E-06	1,025	0,075
		0,9875	1,00625	-2E-07	1,025	0,0375
		0,9875	0,996875	3.1E-08	1,00625	0,0187
		0,996875	1,0015625	-4E-09	1,00625	0,0094
		0,996875	0,9992188	4.8E-10	1,0015625	0,0047
		0,99921875	1,0003906	-6E-11	1,0015625	0,0023
		0,99921875	0,9998047	7.5E-12	1,000390625	0,0012

A fenti algoritmus figyelembe veszi a "gyökér eltalálásának" lehetséges esetét, pl. egyenlőség f(x) nullára a következő szakaszban. Ha a 2.3-as példában a szegmenst vesszük, akkor az első lépésben a gyökérhez jutunk x= 1. Valóban, a cellába írunk B 3 értéke 0,9. Ekkor az eredménytáblázat 2.5-ös formát vesz fel (csak 2 iteráció van megadva).

2.5. táblázat

	A	B	C	D	E	F
		f(a)=	0,001
	k	a	x	f(x)	b	b-a
		0,9			1,1	0,2

Alkossunk a programban excel felhasználó által definiált f(x) és bisect(a, b, eps) függvények az egyenlet felezési módszerrel történő megoldásához a beépített nyelv segítségével Visual Basic. Leírásukat az alábbiakban közöljük:

f függvény (Byval x)

Felező függvény (a, b, eps)

1 x = (a + b) / 2

Ha f(x) = 0, akkor menjen az 5-re

Ha f(x) * f(a)< 0 Then

Ha Abs(a - b) > eps, akkor menjen az 1-re

Az f(x) függvény definiálja az egyenlet bal oldalát és a függvényt
felez(a, b, eps) felezi az egyenlet gyökerét f(x) = 0. Vegye figyelembe, hogy a bisect(a, b, eps) függvény az f(x) függvényt hívja. Itt van egy algoritmus a felhasználó által definiált függvény létrehozásához:

1) Hajtsa végre az "Eszközök - Makró - Szerkesztő" menüparancsot Visual Basic". Az ablak " Microsoft Visual Basic". Ha ebben a programfájlban excel makrók vagy felhasználó által definiált függvények vagy eljárások még nem jöttek létre, ez az ablak úgy fog kinézni, mint a 2.4. ábrán látható.

2) Hajtsa végre az "Insert - Module" menüparancsot, és írja be a funkcióprogramok szövegét a 2.5. ábrán látható módon.

Most a programlap celláiban excel képletekben használhatod a létrehozott függvényeket. Például írjunk be egy cellába D 18 képlet

Felező(0,95;1;0,00001),

akkor a 0,999993896 értéket kapjuk.

Egy másik egyenlet megoldásához (egy másik bal oldallal) a szerkesztő ablakba kell lépnie az "Eszközök - Makró - Szerkesztő" paranccsal. Visual Basic» és egyszerűen írja át az f(x) függvény leírását. Például keressük meg 0,001-es pontossággal a sin5 egyenlet gyökerét x+x 2 - 1 = 0, a (0,4; 0,5) intervallumhoz tartozik. Ehhez módosítsa a funkció leírását

egy új leíráshoz

f = Sin(5 * x) + x^2 - 1

Aztán a cellában D 18 0,441009521 értéket kapunk (hasonlítsa össze ezt az eredményt a 2.3. példában talált intervallum gyökének (0,4; 0,5) értékével!).

Az egyenlet megoldása a félosztás módszerével a programban Mathcad függvény szubrutin létrehozása bisec(f, a, b, ε), ahol:

f- az egyenlet bal oldalának megfelelő függvénynév f(x) = 0;

a, b- a szegmens bal és jobb vége [ a, b];

ε a gyök közelítő értékének pontossága.

A példa megoldása a programban Mathcad:

1) Futtassa a programot Mathcad. Bemutatjuk a függvény definícióját bisec(f, a, b, ε). Ehhez a billentyűzet és a görög szimbólumok eszköztár segítségével gépelünk bisec(f, a, b, ε):=. A "Programozás" eszköztáron a ":=" hozzárendelés jel után kattintson az egérmutatóval a bal oldali "Sor hozzáadása" gombra. A hozzárendelés jele után egy függőleges vonal jelenik meg. Ezután írja be a program szövegét, amely alább látható, a "Programozás" eszköztár segítségével írja be a "←" jelet, a ciklus operátort míg, operátor szünetés feltételes operátor ha másképp.

2) Bemutatjuk a függvény definícióját f(x):=sin(5*x)+x^2–1, majd számítsa ki a gyök értékét a függvény segítségével bisec adott értékekhez:
bisec(f, –0,8,–0,7,0,0001)=. A „=” jel után automatikusan megjelenik a program által számított gyökérérték -0,7266601563. A többi gyökeret ugyanígy számítjuk ki.

Alul a lap Mathcad függvénydefinícióval bisec(f, a, b, ε) és számítások:

A programot nyelven mutatjuk be C++ az egyenlet megoldásához f(x) = 0 a felező módszerrel:

#beleértve

#beleértve

double f(double x);

typedef double (*PF)(double);

double bisec(PF f,double a, double b,double eps);

dupla a, b, x, eps;PF pf;

cout<< "\n a = "; cin >>a;

cout<< "\n b = "; cin >>b;

cout<< "\n eps = "; cin >>eps;

x = bisec(pf,a,b,eps); cout<< "\n x = " << x;

cout<< "\n Press any key & Enter "; cin >>a;

double f(double x)(

r = sin(5*x)+x*x-1;

double bisec(PF f, double a, double b, double eps)(

do(x = (a + b)/2;

if (f(x) == 0) törés;

ha (f(x)*f(a)<0) b = x;

)while (fabs(b-a) > eps);

A funkció a programban f(x) az egyenlet megoldására van definiálva

bűn5 x+x 2 – 1 = 0

a 2.3 példából. Az intervallum gyökének (0,4; 0,5) 0,00001 pontosságú meghatározására szolgáló program eredményét az alábbiakban mutatjuk be (számítógép képernyőjén):

Nyomja meg bármelyik billentyűt és Entert

Az utolsó sor szüneteltetése szükséges az eredmény megtekintéséhez.

Hadd f(x) folyamatos függvény a [ a; b], .

Newton-módszer (tangens módszer)

Hadd f(x) egy kétszer folyamatosan differenciálható függvény a szegmensen [ a; b],
,
és
ne változtasd a jelet [ a; b].

Jelölje a szegmens vége, ahol a jelek
és
mérkőzés. Egymást követő közelítések a pontos gyökhöz c képlet alapján keresse meg

számára
.

Akkor
az (1) egyenlet pontos gyöke.

A számítási folyamat általában akkor áll le, amikor
a megadott pontosságnál kisebbnek bizonyul ε . Ez a feltétel azonban nem garantálhatja szigorúan a megadott pontosság elérését. A teljes bizonyosság érdekében elvégezheti a pontosság ellenőrzését a szakasz elején említettek szerint. Ha a pontosság nem érhető el, akkor az iterációkat még néhányszor meg kell ismételnie.

A szekáns módszer

Legyen némi kezdeti közelítés . A képlet alapján még egy pontot kapunk
, ahol h- kis számban. Feltételezzük, hogy a módszer több lépését végrehajtottuk, és ezen a ponton két egymást követő közelítésünk van és
a pontos gyökérig (a kezdeti szakaszban ez az és ). Ekkor a következő közelítést a képlet találja meg

,

A folyamat ugyanazon kritérium szerint áll le, mint Newton módszerében.

Iterációs módszer

Az iterációs módszerben az eredeti (1) egyenletet egy ekvivalens egyenletté alakítjuk
. Válasszon egy kezdeti tippet . Minden következő közelítést a képlet adja
,
A folyamat ugyanazon kritérium szerint áll le, mint Newton módszerében. A módszer konvergálni fog, azaz. határ egyenlő a gyök pontos értékével, ha az egyenlőtlenség
és a kezdeti közelítés elég közel van a gyökhöz.

A módszerek előnyei és hátrányai

A felező módszer a gyökér felvételét igényli, és a nagy pontosság eléréséhez a függvényt sokszor kell kiszámítani. Ezzel a módszerrel a megadott pontosság elérése garantált.

Newton módszere igen gyors konvergenciával (kvadratikus konvergenciával) rendelkezik, azaz.

,

ahol c- a gyökér pontos értéke; M a függvénytől függően valamilyen állandó. Durván fogalmazva, bizonyos iterációból kiindulva a helyes tizedesjegyek száma minden iterációnál megduplázódik.

Jó néhány feltétel szükséges a Newton-módszer konvergenciájának garantálásához. Általánosságban elmondható, hogy a Newton-módszer szerint el lehet kezdeni a számításokat anélkül, hogy ellenőriznénk ezeket a feltételeket, de akkor előfordulhat, hogy a konvergencia nem figyelhető meg.

A szekáns módszer a sima függvények számára a Newton-módszerhez közeli konvergencia rátát biztosít. Nem igényli a függvény deriváltjának kiszámítását. Ha a kiindulási pontot távolra vesszük a gyökértől, akkor előfordulhat, hogy nincs konvergencia.

Az iterációs módszer sokkal alacsonyabb konvergencia rátát ad, mint a Newton-módszer. Konvergencia jelenlétében a becslés
, ahol
- számok,
,
;c a gyökér pontos értéke. Mennyiségek M, q függenek a függvénytől és nem függnek az iteráció számától. Ha
akkor közel 1 q is közel van 1-hez, és a módszer konvergenciája lassú lesz. Elkezdheti az iterációs számlálást anélkül, hogy ellenőrizné a feltételeket
és . Ebben az esetben a folyamat eltérő lehet, és akkor nem érkezik meg a válasz.

A felsoroltakon kívül számos módszer létezik a nemlineáris egyenlet gyökereinek megtalálására. A MATHCAD-ben a gyökérfüggvény a formátumban van
szekáns módszert alkalmaz, és ha ez nem vezet a kívánt eredményhez, akkor a Muller-módszert. Ez utóbbinál a szekant módszertől eltérően minden lépésben két további pontot veszünk, a függvény grafikonját egy három ponton áthaladó parabolával helyettesítjük, és a parabola tengellyel való metszéspontját vesszük a következő közelítésnek. Ökör. A gyökér függvényben a root( formátumban f(x), x, a, b) Ridder és Brent módszereit alkalmazzák. Egy polinom gyökereinek megtalálásához a MATHCAD-ben a Laguerre-módszert használjuk.

Félosztás módszer (a módszert Bolzano-módszernek vagy dichotómiás módszernek is nevezik) egy A nemlineáris egyenletek megoldására szolgáló módszerek közül, és az egyenlet egyetlen gyökét tartalmazó intervallum egymás utáni szűkítésén alapul. Az iteratív folyamatot a megadott pontosság eléréséig hajtják végre.

Adjunk meg egy egyenletet és definiáljuk azt a szegmenst, hogy ez a szegmens az egyenlet egyetlen gyökerét tartalmazza. Ekkor az adott szegmens végén a függvénynek ellentétes előjelű értékei vannak: . A szegmens végén lévő függvényértékek előjeleinek ellentéte sokféleképpen meghatározható. A sok közül az egyik a szegmens végén lévő függvény értékeinek szorzása és a szorzat előjelének meghatározása a szorzás eredményének nullával való összehasonlításával:

.

A szakaszt kezdeti bizonytalansági intervallumnak nevezzük, mert ismert, hogy a gyökér hozzá tartozik, de a helyét nem határozták meg a szükséges pontossággal.

A gyökér helyzetének finomítására szolgáló eljárás abból áll, hogy egymásba ágyazott szegmensek sorozatát kell összeállítani, amelyek mindegyike tartalmazza az egyenlet gyökét. Ehhez megkeressük az aktuális , , bizonytalansági intervallum közepét, és a két lehetséges közül azt választjuk ki a következő bizonytalansági intervallumnak, amelyik végén a függvény különböző előjelű.

A folyamat akkor ér véget, amikor az aktuális bizonytalansági intervallum hossza kisebb lesz, mint a megadott érték , amely meghatározza a gyökér megtalálásának pontosságát. Az utolsó bizonytalansági intervallum közepét a gyökér hozzávetőleges értékének vesszük.

A metódus lineáris, de feltétel nélküli konvergenciával rendelkezik, és minden iteráció esetén a hibája felére csökken:

Ebből az összefüggésből megbecsülhetjük az iterációk számát k a megadott pontosság eléréséhez:

A kapott képletből arra következtethetünk, hogy a kezdeti rés hosszából való pontosság eléréséhez körülbelül tíz iterációt kell végrehajtani.

A módszer előnyei közé tartozik az a tény is, hogy lehetővé teszi bármely folytonos függvény egyenletének egyszerű gyökének megtalálását olyan értékekre, mint pl. .

A módszer hátránya, hogy nem általánosítható nemlineáris egyenletrendszerekre, és nem használható páros multiplicitás gyökeinek megtalálására.

Algoritmus egy nemlineáris egyenlet gyökének megtalálásához a felezési módszerrel.

1. Keresse meg a kezdeti bizonytalansági intervallumot valamelyik gyökérszétválasztási módszerrel.Számítási hiba beállítása (kis pozitív szám ) és a kezdeti iterációs lépés () .

2. Keresse meg az aktuális bizonytalansági intervallum közepét:

3. Meg kell találni a függvény értékét a , és pontokban. Ezután két feltételt kell ellenőriznie:

Ha a feltétel teljesül , akkor a kívánt gyök a bal oldali szegmensen belül van put, ;

Ha a feltétel teljesül , akkor a kívánt gyök a jobb oldali szegmensen belül van, vegye , .

Ennek eredményeként egy új bizonytalansági intervallum található, amelyen az egyenlet kívánt gyöke található:

4. Ellenőrizzük az új szegmens megadott pontosságát a következő esetekben:

Ha az új szegmens hossza kisebb, mint a megadott pontosság, akkor az iteratív folyamat véget ér. A gyökér hozzávetőleges értékét a következő képlet határozza meg:

Ha az új szegmens hossza nem éri el a kívánt pontosságot, akkor folytatni kell az iteratív folyamatot, és tovább kell lépni a vizsgált algoritmus 2. lépéséhez.