A fent tárgyalt példa arra enged következtetni, hogy az elemzéshez használt értékek véletlenszerű okoktól függenek, ezért az ilyen változókat ún. véletlen. A legtöbb esetben megfigyelések vagy kísérletek eredményeként jelennek meg, amelyeket táblázatokban foglalnak össze, amelyek első sorában az X valószínűségi változó különböző megfigyelt értékei vannak rögzítve, a másodikban pedig a megfelelő frekvenciák. Ezért ezt a táblázatot ún egy X valószínűségi változó empirikus eloszlása vagy variációs sorozat. A variációs sorozatoknál megtaláltuk az átlagértéket, a szórást és a szórást.

folyamatos, ha értékei teljesen kitöltenek valamilyen numerikus intervallumot.

A valószínűségi változót ún diszkrét, ha minden értéke felsorolható (különösen, ha véges számú értékre van szükség).

Kettőt kell megjegyezni jellemző tulajdonságok diszkrét valószínűségi változó eloszlási táblázatai:

A táblázat második sorában minden szám pozitív;

Összegük eggyel egyenlő.

Az elvégzett vizsgálatoknak megfelelően feltételezhető, hogy a megfigyelések számának növekedésével az empirikus eloszlás megközelíti a táblázatos formában megadott elméleti eloszlást.

Egy diszkrét valószínűségi változó fontos jellemzője a matematikai elvárása.

matematikai elvárás A diszkrét X valószínűségi változót, , , …, . értékeket vesz fel , , … valószínűséggel, számnak nevezzük:

A matematikai elvárást átlagnak is nevezik.

A valószínűségi változó további fontos jellemzői a variancia (8) és a szórás (9).

ahol: az érték matematikai elvárása x.

. (9)

Az információk grafikus megjelenítése sokkal áttekinthetőbb, mint a táblázatos, ezért nagyon gyakran használják az MS Excel táblázatok azon képességét, hogy a bennük elhelyezett adatokat különféle diagramok, grafikonok, hisztogramok formájában jelenítsék meg. Tehát a táblázaton kívül egy valószínűségi változó eloszlását is a segítségével ábrázoljuk eloszlási sokszög. Ehhez a , , ... koordinátájú pontokat a koordinátasíkra építjük fel, és egyenes szakaszokkal kötjük össze.

Az elosztási téglalap MS Excel segítségével történő lekéréséhez a következőket kell tennie:

1. Válassza az "Insert" ® "Area Chart" fület az eszköztáron.

2. Jobb egérgombbal aktiválja az MS Excel lapon megjelenő diagram területét, és használja a helyi menü „Adatok kiválasztása” parancsát.

Rizs. 6. Adatforrás kiválasztása

Először is határozzuk meg a diagram adattartományát. Ehhez az "Adatforrás kiválasztása" párbeszédpanel megfelelő területén adja meg a C6:I6 tartományt (ez tartalmazza a Row1 frekvenciaértékeket, 7. ábra).

Rizs. 7. Adja hozzá az 1. sort

Egy sorozat nevének megváltoztatásához válassza ki a gombot a "Legend elements (series)" terület módosításához (lásd a 7. ábrát), és nevezze el .

Ha címkét szeretne hozzáadni az X tengelyhez, használja a "Szerkesztés" gombot a "Vízszintes tengely címkéi (kategóriák)" területen.
(8. ábra), és jelölje meg a sorozat értékeit ($C$6:$I$6 tartomány).

Rizs. 8. Az "Adatforrás kiválasztása" párbeszédpanel végső nézete

Gomb kiválasztása az Adatforrás kiválasztása párbeszédpanelen
(8. ábra) lehetővé teszi, hogy megkapjuk egy valószínűségi változó eloszlásához szükséges sokszöget (9. ábra).

Rizs. 9. Valószínűségi változó sokszögeloszlása

Vegyünk néhány változtatást a kapott grafikus információk kialakításán:

Adjon hozzá egy x-tengely címkét;

Szerkessze az Y tengely címkéjét;

- Adjunk hozzá egy címet az „Eloszlási sokszög” diagramhoz.

Ehhez válassza ki az eszköztár területén a „Diagramok kezelése” fület, az „Elrendezés” fület és a megjelenő eszköztáron a megfelelő gombokat: „Chart name”, „Axis names” (10. ábra).

Rizs. 10. Egy valószínűségi változó eloszlásának sokszögének végső alakja

Véletlen változó Olyan mennyiséget nevezünk, amely egy kísérlet eredményeként ilyen vagy olyan értéket vehet fel, amelyet előre nem ismerünk. A véletlenszerű változók nem folyamatos (diszkrét)és folyamatos típus. A nem folytonos mennyiségek lehetséges értékei előre felsorolhatók. A folytonos mennyiségek lehetséges értékeit nem lehet előre felsorolni, és folyamatosan pótolnak egy bizonyos hiányt.

Példa diszkrét valószínűségi változókra:

1) A címer megjelenésének száma három pénzfeldobásban. (a lehetséges értékek 0;1;2;3)

2) A címer megjelenésének gyakorisága ugyanabban a kísérletben. (lehetséges értékek)

3) A meghibásodott elemek száma egy öt elemből álló eszközben. (A lehetséges értékek 0;1;2;3;4;5)

Példák folytonos valószínűségi változókra:

1) Az ütközési pont abszcisszán (ordinátája) lövéskor.

2) Az ütközési pont és a cél középpontja közötti távolság.

3) A készülék (rádiócsövek) hibamentes működésének ideje.

A véletlenszerű változókat nagybetűkkel, lehetséges értékeit pedig a megfelelő kisbetűkkel jelöljük. Például X a három lövéssel elért találatok száma; lehetséges értékek: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Tekintsünk egy nem folytonos X valószínűségi változót X 1 , X 2 , … , X n lehetséges értékekkel. Ezen értékek mindegyike lehetséges, de nem biztos, és az X értéke mindegyiket felveheti bizonyos valószínűséggel. A kísérlet eredményeként az X mennyiség ezen értékek valamelyikét veszi fel, vagyis az összeférhetetlen események teljes csoportjának egyike fog bekövetkezni.

Jelöljük ezeknek az eseményeknek a valószínűségét p betűkkel a megfelelő indexekkel:

Mivel az összeférhetetlen események egy teljes csoportot alkotnak, akkor

vagyis a valószínűségi változó összes lehetséges értékének valószínűségeinek összege egyenlő 1-gyel. Ez a teljes valószínűség valahogy eloszlik az egyes értékek között. Egy valószínűségi változó valószínűségi szempontból teljesen leírható, ha megadjuk ezt az eloszlást, vagyis pontosan megadjuk, hogy az egyes események mekkora valószínűséggel rendelkeznek. (Ez létrehozza a valószínűségi változók eloszlásának ún. törvényét.)

Valószínűségi változó eloszlásának törvénye Minden olyan relációt hívunk, amely kapcsolatot létesít egy valószínűségi változó lehetséges értékei és a megfelelő valószínűség között. (Egy valószínűségi változóról azt mondjuk, hogy egy adott eloszlási törvény hatálya alá tartozik)

A valószínűségi változó eloszlási törvényének meghatározásának legegyszerűbb formája egy táblázat, amely felsorolja a valószínűségi változó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket.

Asztal 1.

Véletlen változók. Eloszlási sokszög

Véletlen változók: diszkrét és folytonos.

A sztochasztikus kísérlet során elemi események tere jön létre - a kísérlet lehetséges kimenetelei. Úgy tartják, hogy ezen az elemi események terén véletlenszerű érték X, ha adott egy törvény (szabály), amely szerint minden elemi eseményhez számot rendelünk. Így az X valószínűségi változó az elemi események terén definiált függvénynek tekinthető.

■ Véletlenszerű- olyan érték, amely minden vizsgálat során felvesz egy vagy másik számértéket (előre nem ismert, hogy melyik), előre nem vehető véletlen okoktól függően. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűi jelölik, a valószínűségi változók lehetséges értékeit pedig kis betűk jelölik. Tehát, amikor dobunk egy kockát, az x számhoz kapcsolódó esemény történik, ahol x a dobott pontok száma. A pontok száma véletlenszerű érték, az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok pedig ennek az értéknek a lehetséges értékei. Az a távolság, amennyit a lövedék elrepül, amikor egy fegyverből kilőnek, szintén véletlenszerű változó (függ a célzó felszerelésétől, a szél erősségétől és irányától, a hőmérséklettől és egyéb tényezőktől), valamint a lehetséges értékektől. ebből a mennyiségből egy bizonyos intervallumhoz (a; b) tartozik.

■ Diszkrét valószínűségi változó- egy valószínűségi változó, amely bizonyos valószínűséggel különálló, izolált lehetséges értékeket vesz fel. Egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma lehet véges vagy végtelen.

■ Folyamatos valószínűségi változó egy valószínűségi változó, amely minden értéket felvehet valamilyen véges vagy végtelen intervallumból. Egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma végtelen.

Például a kockadobáskor elesett pontok száma, a kontrollmunka pontszáma diszkrét valószínűségi változók; a távolság, amelyet a lövedék repül a fegyverből való kilövéskor, az oktatási anyag asszimilációs idejének mutatójának mérési hibája, az ember magassága és súlya folytonos valószínűségi változók.

Valószínűségi változó eloszlási törvénye– egy valószínűségi változó lehetséges értékei és azok valószínűségei közötti megfelelés, pl. minden lehetséges x i érték hozzá van rendelve ahhoz a p i valószínűséghez, amellyel a valószínűségi változó felveheti ezt az értéket. A valószínűségi változó eloszlási törvénye megadható táblázatos formában (táblázat formájában), analitikusan (képlet formájában) és grafikusan.

Legyen egy diszkrét X valószínűségi változó az x 1, x 2, …, x n értékeket rendre p 1, p 2, …, p n valószínűséggel, azaz. P(X=x1)=p1, P(X=x2)=p2, …, P(X=xn)=pn. Ennek az értéknek az eloszlási törvényének táblázatos hozzárendelésével a táblázat első sora tartalmazza az x 1, x 2, ..., x n lehetséges értékeket, a második pedig azok valószínűségét

x	x 1	x2	…	x n
p	p1	p2	…	p n

A teszt eredményeként az X diszkrét valószínűségi változó a lehetséges értékek közül csak egyet vesz fel, így az X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n események páronként összeférhetetlen események teljes csoportját alkotják, ill. , ezért ezen események valószínűségeinek összege eggyel egyenlő, azaz. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye. Sokszög (sokszög) eloszlás.

Mint tudják, a valószínűségi változó olyan változó, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűi (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelölik. A véletlen változókat nem folytonosra (diszkrét) és folytonosra osztják.

A diszkrét valószínűségi változó olyan valószínűségi változó, amely csak egy véges vagy végtelen (megszámlálható) értékhalmazt vesz fel bizonyos nem nulla valószínűséggel.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye egy olyan függvény, amely összekapcsolja egy valószínűségi változó értékeit a megfelelő valószínűségekkel. Az elosztási törvényt a következő módok egyikén lehet megadni.

1. Az elosztási törvényt a táblázat segítségével adhatjuk meg:

ahol λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) az F(x) eloszlásfüggvény segítségével, amely minden x értékre meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X< x).

Az F(x) függvény tulajdonságai

3. Az eloszlási törvény grafikusan megadható - eloszlási sokszöggel (sokszöggel) (lásd 3. feladat).

Vegye figyelembe, hogy bizonyos problémák megoldásához nem szükséges ismerni az elosztási törvényt. Bizonyos esetekben elegendő egy vagy több olyan szám ismerete, amely az elosztási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözi. Ez lehet egy szám, amely egy valószínűségi változó "átlagértékét" jelenti, vagy olyan szám, amely egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének átlagos nagyságát mutatja. Az ilyen számokat egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó főbb numerikus jellemzői:

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása (átlagértéke) M(X)=Σ x i p i.
Binomiális eloszlásnál M(X)=np, Poisson eloszlásnál M(X)=λ
Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója D(X)= M 2 vagy D(X) = M(X 2)− 2 . Az X–M(X) különbséget egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének nevezzük.
Binomiális eloszlás esetén D(X)=npq, Poisson eloszlás esetén D(X)=λ
Szórás (szórás) σ(X)=√D(X).

· A variációs sorozat ábrázolásának egyértelműsége érdekében a grafikus ábrázolások nagy jelentőséggel bírnak. Grafikusan a variációs sorozatok sokszögként, hisztogramként és kumulátumként jeleníthetők meg.

· Az eloszlási sokszöget (szó szerint eloszlási sokszög) szaggatott vonalnak nevezzük, amely téglalap alakú koordinátarendszerben épül fel. A jellemző értéke az abszcisszán, a megfelelő frekvenciák (vagy relatív gyakoriságok) - az ordináta mentén. A pontokat (vagy ) vonalszakaszokkal összekötjük, és egy eloszlási sokszöget kapunk. Leggyakrabban a sokszögek diszkrét variációs sorozatok megjelenítésére szolgálnak, de intervallumsorozatokhoz is használhatók. Ebben az esetben ezen intervallumok felezőpontjainak megfelelő pontokat ábrázoljuk az abszcissza tengelyen.

X i	x1	x2	…	X n
Pi	P1	P2	…	P n

Az ilyen táblázatot ún elosztás közelében Véletlen változók.

Annak érdekében, hogy az eloszlássorozat vizuálisabb formát adjon, annak grafikus ábrázolásához folyamodnak: egy valószínűségi változó lehetséges értékeit az abszcissza tengely mentén ábrázolják, és ezen értékek valószínűségét az ordináta tengelye mentén ábrázolják. (Az érthetőség kedvéért a kapott pontokat vonalszakaszokkal kötjük össze.)

1. ábra - eloszlási sokszög

Az ilyen figurát ún eloszlási sokszög. Az eloszlási sokszög az eloszlási sorozathoz hasonlóan teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót; ez az eloszlás törvényének egy formája.

Példa:

egy kísérletet végzünk, amelyben A esemény megjelenhet, de előfordulhat, hogy nem A esemény valószínűsége = 0,3. Egy X valószínűségi változót veszünk figyelembe – az A esemény előfordulásának számát ebben a kísérletben. Fel kell építeni egy sorozatot és egy sokszöget az X eloszlásából.

2. táblázat.

X i
Pi	0,7	0,3

2. ábra - Elosztási függvény

elosztási függvény egy valószínűségi változó univerzális jellemzője. Minden valószínűségi változóra létezik: nem folytonosra és nem folytonosra is. Az eloszlásfüggvény valószínűségi szempontból teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót, vagyis az eloszlási törvény egyik formája.

Ennek a valószínűség-eloszlásnak a számszerűsítéséhez célszerű nem az X=x esemény valószínűségét használni, hanem az X esemény valószínűségét.

Az F(x) eloszlásfüggvényt néha integráleloszlási függvénynek vagy integráleloszlási törvénynek is nevezik.

Valószínűségi változó eloszlásfüggvényének tulajdonságai

1. Az F(x) eloszlásfüggvény az argumentumának nem csökkenő függvénye, azaz for ;

2. Mínusz végtelenben:

3. Plusz végtelenben:

3. ábra - az eloszlási függvény grafikonja

Eloszlási függvény diagramáltalános esetben ez egy nem csökkenő függvény grafikonja, amelynek értékei 0-tól kezdődnek és elérik az 1-et.

Egy valószínűségi változó eloszlássorozatának ismeretében lehetőség nyílik egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének megszerkesztésére.

Példa:

az előző példa feltételeihez készítsünk egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét.

Szerkesszük meg az X eloszlásfüggvényt:

4. ábra - X eloszlásfüggvény

elosztási függvény bármely nem folytonos diszkrét valószínűségi változóból mindig van egy nem folytonos lépésfüggvény, amelynek ugrásai a valószínűségi változó lehetséges értékeinek megfelelő pontokon következnek be, és egyenlők ezen értékek valószínűségével. Az eloszlásfüggvény összes ugrásának összege 1.

A valószínűségi változó lehetséges értékeinek számának növekedésével és a köztük lévő intervallumok csökkenésével az ugrások száma megnő, és maguk az ugrások kisebbek:

5. ábra

A lépésgörbe simábbá válik:

6. ábra

Egy valószínűségi változó fokozatosan közelít a folytonos értékhez, az eloszlásfüggvénye pedig a folytonos függvényhez. Vannak olyan valószínűségi változók is, amelyek lehetséges értékei folyamatosan kitöltenek egy bizonyos rést, de az eloszlásfüggvény nem mindenhol folyamatos. És bizonyos pontokon eltörik. Az ilyen valószínűségi változókat kevertnek nevezzük.

7. ábra

14. feladat. A készpénzes lottón 1 1 000 000 rubel nyereményt, 10 egyenként 100 000 rubel értékű nyereményt játszanak. és 100 1000 rubel nyeremény. összesen 10000 jeggyel. Keresse meg a véletlenszerű nyeremények eloszlásának törvényét x egy sorsjegy tulajdonosának.

Megoldás. Lehetséges értékek ehhez x: x 1 = 0; x 2 = 1000; x 3 = 100000;

x 4 \u003d 1000000. Valószínűségük rendre egyenlő: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Ezért a kifizetés elosztási törvénye x a következő táblázattal adható meg:

15. feladat. Diszkrét valószínűségi változó x az elosztási törvény szerint:

Készítsen eloszlási sokszöget.

Megoldás. Egy téglalap alakú koordinátarendszert készítünk, és az abszcissza tengely mentén ábrázoljuk a lehetséges értékeket x i,és az y tengely mentén - a megfelelő valószínűségek p i. Építsünk pontokat M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0,4) és M 4 (8; 0,3). Ezeket a pontokat vonalszakaszokkal összekötve megkapjuk a kívánt eloszlási sokszöget.

§2. Valószínűségi változók numerikus jellemzői

A valószínűségi változót teljes mértékben az eloszlási törvénye jellemzi. Egy valószínűségi változó átlagos leírását kaphatjuk meg a numerikus jellemzőivel

2.1. Várható érték. Diszperzió.

Hagyja, hogy egy valószínűségi változó értéket vegyen fel valószínűségekkel.

Meghatározás. Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges értéke és a megfelelő valószínűségek szorzatának összege:

A matematikai várakozás tulajdonságai.

Egy valószínűségi változó átlagérték körüli szórását a variancia és a szórás jellemzi.

Egy valószínűségi változó diszperziója a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárása:

A számításokhoz a következő képletet használjuk

Diszperziós tulajdonságok.

2. , ahol egymástól független valószínűségi változók vannak.

3. Szórás.

16. feladat. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! Z = X+ 2Y, ha ismertek a valószínűségi változók matematikai elvárásai xés Y: M(x) = 5, M(Y) = 3.

Megoldás. A matematikai elvárás tulajdonságait használjuk. Akkor kapjuk:

M(X+ 2Y)= M(x) + M(2Y) = M(x) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

17. feladat. Valószínűségi változó varianciája x egyenlő 3-mal. Határozzuk meg a valószínűségi változók varianciáját: a) –3 X; b) 4 x + 3.

Megoldás. Alkalmazzuk a diszperzió 3., 4. és 2. tulajdonságát. Nekünk van:

a) D(–3x) = (–3) 2 D(x) = 9D(x) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4x) + D(3) = 16D(x) + 0 = 16 . 3 = 48.

18. feladat. Adott egy független valószínűségi változó Y a kocka dobásával szerzett pontok száma. Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlási törvényét, matematikai elvárását, szórását és szórását! Y.

Megoldás. Véletlen változók eloszlástáblázata Yúgy néz ki, mint a:

Akkor M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2, 1/6 \u003d 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.