A szimmetria, mint a külső szépség kritériuma. Arc aszimmetria: kóros rendellenességek okai és korrekciójuk módszerei

)
Dátum: 2017-10-17 Nézetek: 18 963 Fokozat: 5.0

A képzés célja: korrigálja az arc aszimmetriáját 3 ponton (szemöldök, szem, ajak).

Az emberi arc nem szimmetrikus, akárcsak a test, és nincs ebben semmi meglepő.

Vannak azonban olyan esetek, amikor az arc aszimmetriája kifejezett, és pszichológiai kényelmetlenséget okoz. Azonnal leszögezem, hogy gyakorlatok segítségével nem minden típusú aszimmetriát lehet korrigálni.

Az aszimmetria gyakorlatokkal nem korrigálható, ha:

• csontdeformitások okozzák;
• kóros deformitások;
• az arc ideg nagyon "régi" ideggyulladása;
• egyes esetekben a Botox injekciók következményei, az úgynevezett mellékhatás.

Az aszimmetria okai

Ezenkívül az arc aszimmetriája nagyban függ a test állapotától. Arc és test kapcsolatáról.

Dióhéjban gerincferdüléssel, lordózissal, kismedencei torzulásokkal és a mozgásszervi rendszer egyéb elváltozásaival az aszimmetria lép fel, és annak korrekcióját a saroktól kell kezdeni!

Az ASZIMMETRIA azonban a túlzott arckifejezések, az arckifejezések és a viselkedési szokások eredménye lehet. Mindez kiderül, ha például alaposan megnézzük az arcunkat a videóban.

Mosolyogni, beszélni, csak az egyik oldalon rágni, vagy folyamatosan felemelni az egyik szemöldökét. Emlékszel az izommemória létezésére? És emlékszik rád, és állandóan felhúzza az aktív szemöldökét, és az egyik szeme vizuálisan kevesebbet tesz.

Hogyan mérjük az aszimmetriát?

Hogyan ellenőrizhető az arc szimmetriája? Fénykép kell! Vigye el a haját az arcától, kérje meg, hogy készítsen képet. A fénykép olyan, mint egy útlevél: nem mosolygunk, nem próbálunk menőnek tűnni a képen.

Vegyünk egy vonalzót, és húzunk egy vízszintes vonalat a szemekre (a pupillákra), a szemöldökökre, az ajkakra. Kezdje a szemekkel. Hiszen a belső vízmértékünk (szint) éppen a szemek környékén hajlik a horizontra, hogy simán tudjon járni, és ne essen el.

És most nézzük a 3 eredményül kapott sort. Lehet, hogy az egyik szemöldök magasabb lesz, a másik alacsonyabb, az ajkak sarkai nem egy vonalban vannak.

Ne feledje, hogy az aszimmetriának vannak elfogadható értékei, és ez teljesen természetes, és nem igényel beállítást.

Ahol eltérések vannak a horizonttól, ott az izmokkal kell dolgozni, és egyesek számára elegendő a viselkedési sztereotípiák kijavítása, és minden a helyére kerül az arcon.

Gyakorlatok aszimmetrikus arcra

Térjünk át a gyakorlatokra.Egyébként bármelyik komplexummal kombinálhatók:,. Csak add hozzá őket az edzésprogramodhoz. Például végezzen, majd végezzen gyakorlatokat ugyanazon zóna aszimmetriájának javítására.

A példában az arc egyoldalú aszimmetriájának korrigálásának lehetőségét veszem figyelembe, amikor az arc feléhez képest lejjebb lévő része rosszabbul működik, azt kevésbé érzi! Például a bal szemöldök, a bal szem, az ajak bal sarka alacsonyabban van, mint az arc jobb oldalán - ezt az aszimmetriát EGYOLDALNAK nevezik.

Az arc aszimmetriája lehet átlós, összetett. Ilyen esetekben jobb a gyakorlatokat egyénileg kiválasztani.

30 ismétlés javasolt, az utolsó fióknál 5 másodperc statikus késleltetés. Az edzés a "BASE" - alapgyakorlatok végrehajtásán alapul, speciális gyakorlatok hozzáadásával egy adott zóna aszimmetriájának kijavítására.

Homlok. Szemöldök korrekció

1. gyakorlat: A szemöldök felhúzása

Ez az alapgyakorlat. Amikor csinálod, figyelj a szemöldökre? Melyik emelkedik rosszabbul? Melyiket érzed kevésbé?

Helyezze ujjait a szemöldökére. Erőfeszítéssel húzza fel szemöldökét, ujjaival álljon ellen. Ügyeljen arra, hogy a gyakorlat során ne legyenek vízszintes ráncok a homlokon, próbáljon lazítani és leengedni a vállát, szorosan rögzítse a bőrt a szemöldök felett. A gyakorlat befejezése után ujjaival ütögesse a homlokát.

Térjünk át a szemöldök magasságának különböző pozícióinak korrekciójára szolgáló gyakorlatokra:

2. gyakorlat: a szemöldök felváltva emelése

A homlokra, a szemöldök fölé helyezze az ujjait és az ujjait enyhén tartsa a bőrt, hogy ne gyűljön össze redőkben. Most felváltva emelje fel a szemöldökét: majd balra, majd jobbra.

Érezze, hogy melyik szemöldök emelkedik fel rosszabbul, vagy az egyik szemöldök felhúzásakor feszültség és kellemetlen érzés jelentkezik. A rosszabbul emelkedő szemöldököt 2 számolással kell kihúzni: 1-emelve, 2-re feszítve. A gyakorlat befejezése után ujjaival ütögesse a homlokát.

3. gyakorlat: az egyik szemöldök felhúzása

Ha talált egy olyan szemöldököt, amely rosszabbul működik és alacsonyabban helyezkedik el, azt külön kell "kiképezni".

A fent található szemöldököt kézzel rögzítjük, a másikat pedig felfelé emeljük, a bőrt az ujjak falánjaival a szemöldök fölé tartva, hogy ne gyűljön össze a redőkben. A gyakorlat befejezése után ujjaival ütögesse a homlokát.

Szemek

Általános videó:

1. gyakorlat: a felső szemhéj erősítése

Ez az alapgyakorlat. A végrehajtás során kövesse nyomon az érzéseket a mutatóujjak alatt, az egyik ujj alatt pulzálás van, az izom remegése kevésbé lesz kifejezett. Amikor becsukja ezt a szemet, próbálja meg egy kicsit erősebben megnyomni az alsó szemhéjat a felső szemhéjjal. FONTOS! Ne nyomja erősen az ujjaival, és ne feszítse a bőrt különböző irányba!

Ujjainkkal megfogjuk a szemzugokat, és kis erőfeszítéssel becsukjuk a szemünket, a felső szemhéjat rányomva az alsókra. Próbáld meg a szemöldökét a helyén tartani, és ne kúszd le a felső szemhéj mögé, lazítsd el a homlokodat. Aztán kinyitjuk a szemünket. A gyakorlat elvégzése után pislogjon a szemével.

2. gyakorlat: váltakozó szemmunka

Egyenként csukjuk be a szemünket. A mutató- és középső ujjunkat a szem sarkába tesszük, ne nyomjuk, ne húzzuk a bőrt. Felváltva csukjuk be a szemünket: balra, jobbra, balra... Amikor az egyik szemünket becsukjuk, a másikat nyitva kell tartani. Ügyeljen arra, hogy lazítsa meg a homlokot, hogy a szemöldök ne essen le a felső szemhéjjal együtt. A gyakorlat elvégzése után pislogjon a szemével.

Ajak sarkok

Általános videó:

1. gyakorlat: segít megemelni az ajkak lelógó sarkait

Ez az alapgyakorlat. Az ujjak rögzítik a nasolabialis zónát (a száj sarkától az orrlyukig). Mosolyogva emeljük felfelé az ajkak sarkait, ujjainkkal ellenállunk, az ajkak sarkainak mozgása felfelé megy a szem alatt, míg az ajkak közepe ellazul. Ügyeljen arra, hogy ne „lovagolja” ujjait az arcán; emeléskor az ajak sarka az ujjain nyugszik.

A 2. számú gyakorlat az ajkak sarkainak felváltva emelésével

Az ujjak rögzítik a nasolabialis zónát (a száj sarkától az orrlyukig). VÉGRE emeljük felfelé az ajkak sarkait, mintha az egyik ajaksarokkal mosolyognánk, ujjainkkal ellenállunk, az ajkak sarkainak mozgása felfelé megy a szem alatt, míg az ajkak közepe ellazul. Ügyeljen arra, hogy ne „lovagolja” ujjait az arcán; emeléskor az ajak sarka az ujjain nyugszik.

3. számú gyakorlat az ajak egyik sarkának megemelése

Ujjakkal rögzítjük a nasolabialis zónát (a száj sarkától az orrlyukig) az ajak sarkának oldaláról, amely alatta található. A száj másik sarkát egyszerűen rögzítjük a kezünkkel, hogy ne keveredjen bele a munkába. Az ajkak sarkát felfelé emeljük, mintha mosolyognánk az egyik ajak zugával, ujjainkkal ellenállunk, az ajak sarkának mozgása felfelé megy a szem alatt, míg az ajkak közepe ellazul. Ügyeljen arra, hogy ne „lovagolja” ujjait az arcán; emeléskor az ajak sarka az ujjain nyugszik.

P.S. Egyéni képzési programokat készítek Facebook építéshez, Skype-on vezetek órákat. Ha érdekel -

Az arc aszimmetriájának kialakulása egyfajta szenzációvá vált, mivel az aszimmetria ritkán mutatkozik meg. Kiderült, hogy az emberek az aszimmetria mértékében éppúgy különböznek, mint az arcvonásaikban. Ezt nemcsak a mérések igazolták, hanem a jobb és bal fél fényképeiből készült portrék (nyomtatáskor az egyiket fejjel lefelé kell fordítani) összehasonlítása egy pontosan elöl készült személy közönséges portréjával. Teljesen más arcokat kapsz.

Nincs tökéletes szimmetria a világon. Hiba az arc szimmetriáját szépsége nélkülözhetetlen feltételének tekinteni. Az örökletes tulajdonságok keveréke nem tükröződik vissza a gyermek arcán. Az arc szépségének értékeléséhez fontos a vonások és az enyhe aszimmetria kombinációja, amely egyébként minden ember arcának velejárója, és egyáltalán nem von le a portré érdemeiből. Még Venus de Milo és Apollo Belvedere szobraiban sem teljes a szimmetria az arcuk. Jó okkal kijelenthetjük, hogy nincs egyetlen ember sem, akinek a jobb és a bal fele vitathatatlanul szigorú szimmetriája lenne. Valószínűleg ezért írta Claudius Galenus, hogy "az igazi szépség a cél tökéletességében fejeződik ki, és minden rész első célja a szerkezet célszerűsége". Kétségtelenül igaza volt P. F. Lesgaftnak, amikor azt írta, hogy „az összes izom és izomcsoport harmonikus fejlődésével az arc elveszíti határozott arckifejezését. Az arcvonások egyénisége a megfelelő izmok gyakori használatával érhető el.

Michelle Monaghan

Tényként kell tehát elismerni az arc aszimmetriáját, vagyis jobb és bal felének egyenlőtlenségét: az egyik általában szélesebb, a másik keskenyebb, az egyik magasabb, a másik alacsonyabb. . Az aszimmetria oka a legtöbb esetben a koponyacsontok szerkezeti elemeinek egyenetlensége. Az ember arcán az aszimmetria növekedése az arckifejezések sajátosságából adódik (fiziológiai aszimmetria).

Naomi Watts

Vannak tudományos munkák, amelyekben a tudósok az arc aszimmetriájának alábbi mintáit azonosítják. Ha az arc egyik fele magasabb, akkor keskenyebb is. Ebben az esetben a szemöldök magasabban helyezkedik el, mint az arc másik, szélesebb felén, a palpebrális repedés nagyobb. Úgy tűnik, hogy a szem egésze felfelé fordul. Az arc bal fele általában magasabban van, mint a jobb. Sok szerző még mindig úgy véli, hogy az arc jobb fele nagyobb, mint a bal, élesebben nyúlik ki, és férfiasságot fejez ki. A bal fele általában lágyabb, tükrözi a nőiesség jegyeit.

Kate Bosworth

Az arc aszimmetriáját régóta megfigyelték, mint a test általános aszimmetriáját. A portré arcát a fénykép pontos feléből és annak tükörképéből próbálták helyreállítani. A jobb és bal fele eltérő képet adott. Nem egyeztek az eredetivel. A mimikai aszimmetriának, bár az arckoponya jobb és bal felének aránytalanságára rárakódik, szintén megvannak a maga sajátosságai. Megállapítást nyert, hogy a jobb oldali mimikai izmok idegszabályozása gazdagabb, a fej és a szem jobb oldali mozgásai könnyebben reprodukálódnak. Még a jobb szem hunyorogása is megszokottabb.

Az orvostudományok kandidátusa, plasztikai sebész ""

Leonardo da Vinci még a 15. században készített olyan rajzokat, amelyek az emberi arc és test „isteni” arányait ábrázolják, amelyek máig mérvadóak (1. ábra). Ezek az arányok azonban nem veszik figyelembe azt a tényt, hogy abszolút szimmetrikus tárgyak az élő természetben nem léteznek: mindegyikben mindig a szimmetria és az aszimmetria egysége van.

Rizs. egy.

A történelem során az emberek megpróbálták "mérni" a szépséget, matematikai képletekkel vagy geometriai arányokkal leírni, ezáltal lehetővé téve annak újrateremtését. Tehát az ókori Görögországban a természetben megfigyelhető rendet és harmóniát az istenek és istennők ragyogó képeiben személyesítették meg, gyönyörű szobrokban örökítették meg.

A görög szobrászok szerint a szimmetria a természetes testek és az emberi test harmóniáját, arányosságát, harmóniáját jellemzi. Ezért a szimmetria és a szépség fogalma azonos. Elég csak felidézni az építészeti emlékek szigorúan szimmetrikus felépítését, a hagyományos díszek rendszeresen ismétlődő mintáit, a görög vázák csodálatos harmóniáját (2. kép).

Az ember arcának és testének aszimmetriájának tényét az ókori világ művészei és szobrászai ismerték, és felhasználták arra, hogy kifejezőerőt és spiritualitást adjanak az elkészített alkotásoknak.

Az aszimmetria szembetűnő példája a Milói Vénusz arca (3. ábra). A szimmetria hívei bírálták a női szépség általánosan elismert etalonjának formáinak aszimmetriáját, és úgy vélték, hogy a Vénusz arca szebb lenne, ha szimmetrikus lenne. Az összetett felvételeket nézve azonban azt látjuk, hogy ez nem így van.

A "szimmetria" fogalma közvetlenül kapcsolódik a harmóniához. Az ógörög συμμετρία (arányosság) szóból származik, és valami harmonikus és arányos dolgot jelent egy tárgyban. A "tükör" szimmetria fogalma egy személyre vonatkozik. Ez a szimmetria a fő forrása a jó arányú emberi test esztétikai csodálatának.

Az ilyen szimmetria nemcsak szép, hanem funkcionális is. Tehát a szimmetrikus végtagok megkönnyítik a térben való mozgást, a szemek elhelyezkedését - a megfelelő vizuális kép kialakításához a lapos orrsövény megfelelő légzést biztosít. Az élő szervezetek szimmetriája azonban az egyenetlen fejlődés és működés miatt nem nyilvánul meg matematikai pontossággal.

Arc szimmetria és szépség szabványok

Az idő múlásával a szépség szabványai változtak, de az arc arányait és arányait, és ennek megfelelően vonzerejét meghatározó elvek és paraméterek ősidők óta megmaradtak. Ahhoz, hogy az arc harmonikus legyen, a különböző részeit bizonyos arányban össze kell kapcsolni, aminek segítségével összhangot lehet elérni. Az arc egyetlen része sem létezik vagy működik a többitől elszigetelten. Bármilyen változás az arc bármely részén, valódi vagy látszólagos hatással lesz a többi rész és az arc egészének észlelésére.

Természetes, hogy az emberi arc minden arányának csak hozzávetőleges értéke van esztétikai szempontból több okból is:

• Először is, az arc arányai az ember életkorától, nemétől és fizikai fejlettségétől függően változnak, és nagymértékben meghatározzák az egyéni szerkezeti jellemzők.
• Másodszor, az arányosság megítélése a fej helyzetétől függően bonyolultabbá válik.
• A harmadik nehézség az emberi arc aszimmetriájában rejlik, ami gyakran az orr alakjában, a palpebrális repedések és a szemöldök helyzetében, valamint a szájzug helyzetében nyilvánul meg. Az arc két oldala nem ad egyforma tükörképet, még akkor sem, ha az arcot tökéletesen helyesnek érzékeljük.

Így az arc aszimmetriájának tényét, amelyet az egyenlőtlen jobb és bal fele fejez ki, amelyek közül az egyik általában szélesebb és magasabb, a másik keskenyebb és alacsonyabb, ma általánosan elismert.

A 4. ábrán bemutatott fényképekből látható, hogy az abszolút szimmetrikus arcok egyértelműen eltérnek a természetes aszimmetriájú arc eredeti képétől. Véleményünk szerint "szintetikus" a szimmetrikus arcok nem annyira vonzóak, mint az eredeti fényképeken is, bár az összetett portrék készítéséhez a legtöbbre értékelt színészek arcát választottuk ki. Ráadásul ezek az arcok kifejezettebb szimmetriával rendelkeznek, mint a legtöbb embernél megfigyelhető, de az enyhe aszimmetria csak kiemeli vonzerejüket.

Szépség az aszimmetriában?

Tehát a mindannyiunkban rejlő aszimmetria valóban szép vagy sem? Teljesen nyilvánvaló, hogy nem tartjuk vonzónak az arc szerkezetében a szimmetria jelentős megsértését. A szimmetriától való kis eltérések azonban nem vezetnek diszharmóniához, hanem csak kedvezően indítják el az egyéniséget.

A plasztikai sebészhez forduló betegek többsége nem veszi észre az arc és a test arányának aszimmetriáját. Ezért a sebész egyik fontos feladata a konzultáció során, hogy felhívja a páciens figyelmét arányainak sajátosságaira, részletesen leírja a műtét következtében várható változásokat. Az arc aszimmetriájának korrekcióját nagyban megkönnyíti a minimálisan invazív módszerek alkalmazása, mint pl.

Tehát a kifejezett aszimmetriát általában nem esztétikusnak tekintik, és ilyen esetekben a szimmetrikusabb megjelenés vágya teljesen természetes, és plasztikai sebészet indikációja lehet. Az arc enyhe aszimmetriája azonban csak vonzóvá és egyénivé teszi, ezért nem szabad abszolút szimmetriára törekedni.

A szimmetria és az arányosság fontos összetevői az ember külső szépségének, és bizonyos esetekben az egészség mutatói. De nem mindenki tudja, hogyan kell értékelni az arc és a test arányait és szimmetriáját. Pontosan erről lesz szó.

Egy hosszú orr egyáltalán nem ronthatja el az ember megjelenését? Határozottan igen. Ha az orr arányos az arcával.

Az arc arányának felméréséhez a tükörhöz kell mennie, és meg kell mérnie három távolságot:
a szőrnövekedés határától a homlokon az orrnyeregig
az orrnyeregtől a felső ajakig
a felső ajaktól az állig.

Ha egyenlőek, akkor egy arányos arc boldog tulajdonosa vagy.

Ha nem, akkor aránytalanság van, ami egyáltalán nem ok a csüggedésre. Először is, ez lehet az arc bizonyos vonzereje és eredetisége, másodszor pedig az arányok megváltoztathatók.

Az első távolság növelése vagy csökkentése frizurák segítségével érhető el, valamint a szemöldök bizonyos formája. A második távolságot szinte mindig az orr hosszának változtatásával korrigálják. Egy megfelelően kiválasztott rúzs vagy egy tartósabb intézkedés - ajakfeltöltés - vizuálisan befolyásolhatja a harmadik távolságot.

Az arc szimmetriáját is könnyű felmérni. Figyelni kell a páros anatómiai struktúrák elhelyezkedésére és alakjára: szemöldök, szem, fül, nasolabialis redők.

Ha ugyanazon a szinten helyezkednek el és azonos alakúak, akkor az arc szimmetrikus. Az arc szimmetriája nem csak esztétikai szempontból nagyon fontos. Ennek hirtelen megsértése számos súlyos neurológiai betegség fontos diagnosztikai jele.

A test arányait a legkönnyebben a térfogata alapján lehet megítélni: a mellkas, a derék és a csípő térfogata alapján.

Az arányosan összehajtott férfiban a mellkas térfogata dominál. Geometriailag a férfialak ideálja a fejjel lefelé fordított egyenlő szárú háromszög.

Egy arányos női alakban a mellkas és a csípő térfogata megközelítőleg megegyezik egymással. A deréknak pedig 1/3-al kisebbnek kell lennie, mint ez a két térfogat. Elég csak felidézni a jól ismert szabványt: 90 cm -60 cm -90 cm. A 120cm-80cm-120cm arány azonban nem kevésbé arányos. Az ideál geometriai kifejezése a homokóra alakja.

Vizuálisan a kívánt arányokat ruházattal, fűző fehérneművel, bizonyos fizikai gyakorlatokkal érik el. Vannak azonban olyan problémás területek, amelyeket meglehetősen nehéz kijavítani, például a hírhedt "gerincnadrág" - a combok oldalsó felületének felső része. Itt segíthet a zsírleszívás.

A test szimmetriáját a páros képződmények is értékelik. A kulcscsontok, a mellbimbók, a lapockák, az elülső felső csípőtüskék, a fari redők egy szinten legyenek.

Érdemes tudni, hogy a test szimmetriájának látható megsértése mindig ok a mozgásszervi rendszer alapos vizsgálatára.

Általában nem kell túlzottan válogatósnak lenned, ha bármilyen paraméter alapján értékeled a megjelenésedet, legyen az arányosság, szimmetria vagy valami más.

Bizonyos vonások, tökéletlenségek, aránytalanságok – ez az, ami megkülönböztet minket egymástól, és ezért egyedivé tesz bennünket.

Még nem fogjuk megérteni, hogy valóban létezik-e abszolút szimmetrikus ember. Természetesen mindenkinek lesz anyajegye, hajszála vagy más részlete, ami megtöri a külső szimmetriát. A bal szem soha nem teljesen azonos a jobb szemmel, és a szájzugok különböző magasságban vannak, legalábbis a legtöbb embernél. Mégis, ezek csak kisebb következetlenségek. Senki sem vonja kétségbe, hogy külsőleg az ember szimmetrikusan épül fel: a bal kéz mindig a jobb kéznek felel meg, és mindkét kéz pontosan ugyanaz! Állj meg. Itt érdemes megállni. Ha valóban teljesen egyforma lenne a kezünk, bármikor kicserélhetnénk. Lehetséges lenne mondjuk transzplantációval átültetni a bal kezet a jobb kézbe, vagy egyszerűbben a bal kézkesztyűt a jobb kézre illene, de valójában ez nem így van.

Nos, persze mindenki tudja, hogy a kezünk, fülünk, szemünk és más testrészeink között ugyanaz a hasonlóság, mint egy tárgy és annak tükörben való tükröződése között. Az előtted lévő könyv a szimmetria és a tükörtükrözés kérdéseivel foglalkozik.

Sok művész nagyon odafigyelt az emberi test szimmetriájára és arányaira, legalábbis addig, amíg az a vágy nem vezérelte őket, hogy alkotásaiban minél közelebbről kövessék a természetet. Ismeretesek Albrecht Dürer és Leonardo da Vinci által összeállított prodorces kánonok. E kánonok szerint az emberi test nemcsak szimmetrikus, hanem arányos is. Leonardo felfedezte, hogy a test egy körbe és egy négyzetbe illeszkedik. Dürer egyetlen mértéket keresett, amely bizonyos arányban állna a törzs vagy a láb hosszával (ilyen mértéknek tekintette a kar hosszát a könyökig).

A modern festészeti iskolákban a fej függőleges méretét leggyakrabban egyetlen mértéknek tekintik. Egy bizonyos feltételezés mellett feltételezhetjük, hogy a test hossza nyolcszorosan haladja meg a fej méretét. Első pillantásra ez furcsának tűnik. De nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy a legtöbb magas embert megnyúlt koponya különbözteti meg, és fordítva, ritkán találni alacsony, kövér férfit, hosszúkás fejjel.

A fej mérete nemcsak a test hosszával arányos, hanem más testrészek méreteivel is. Minden ember erre az elvre épül, ezért is hasonlítunk általában egymásra. (A hasonlóságra vagy a hasonlóságra néhány oldalon visszatérünk.) Az arányaink azonban csak hozzávetőlegesen egyeznek, ezért az emberek csak hasonlóak, de nem egyformák. Amúgy mindannyian szimmetrikusak vagyunk! Ráadásul egyes művészek munkáiban különösen hangsúlyozzák ezt a szimmetriát.

A TÖKÉLETES SZIMMETRIA UNÁLÓ

És a ruhákban az ember általában megpróbálja fenntartani a szimmetria benyomását: a jobb ujj a balnak, a jobb láb a balnak felel meg.

A kabát és az ing gombjai pontosan középen ülnek, ha pedig távolodnak tőle, akkor szimmetrikus távolságra. Egy nőnek csak ritkán van bátorsága igazán aszimmetrikus ruhát felvenni (majd meglátjuk, hogy a szimmetriától mekkora eltérés elfogadható).

De ennek az általános szimmetriának a hátterében az apró részletekben szándékosan megengedjük az aszimmetriát, például a haj oldalsó részén - bal vagy jobb oldalon - fésüljük. Vagy mondjuk egy aszimmetrikus zsebet helyezünk el az öltöny mellrészén, gyakran zsebkendővel aláhúzva. Vagy csak az egyik kezének gyűrűsujjára gyűrűt tenni. A rendeléseket és a jelvényeket csak a mellkas egyik oldalán viselik (gyakrabban a bal oldalon).

A teljes tökéletes szimmetria elviselhetetlenül unalmasnak tűnik. Az ettől való kis eltérések adnak jellegzetes, egyéni vonásokat. Albrecht Dürer híres önarcképe első pillantásra teljesen szimmetrikusnak tűnik. De ha jobban megnézi, észre fog venni egy kis aszimmetrikus részletet, amely élénkséget és vitalitást ad a képnek: egy hajszál az elválás közelében.

Ugyanakkor néha az ember megpróbálja hangsúlyozni, erősíteni a bal és a jobb közötti különbséget. A középkorban a férfiak egy időben különböző színű (például az egyik piros, a másik fekete vagy fehér) lábakkal pompáztak. És manapság népszerűek voltak a fényes foltokkal vagy színes foltokkal ellátott farmernadrágok. De az ilyen divat mindig rövid életű. Csak a tapintatos, a szimmetriától való szerény eltérések maradnak meg sokáig.

MI A HASONLÓSÁG?

Gyakran mondjuk, hogy két ember hasonlít egymásra. A gyerekek általában úgy néznek ki, mint a szüleik (legalábbis a nagymamáik szerint). Hasonló, de nem ugyanaz!

Próbáljuk meg kitalálni, mit értünk hasonlóságon vagy hasonlóságon a matematikában. Hasonló ábrákon a megfelelő szegmensek arányosak egymással. Esetünkben ezt a helyzetet a következőképpen fogalmazhatjuk meg: a hasonló orrok alakja megegyezik, de méretük eltérő lehet. Ebben az esetben az orr minden egyes szakaszának (például az orrnyeregnek) arányosnak kell lennie az összes többi részével.

Ez a hasonlóság törvénye néha akadozik. Például egy ilyen feladatban:

Az A torony magassága 10 m. Tőle X távolságra van egy hatméteres B torony. Ha egyenes vonalakat húzunk az A torony lábától és tetejétől a B torony tetején keresztül, akkor találkoznak 15 m magas C torony lábával és tetejével. Mekkora a távolság az A toronytól a B toronyig?

Úgy tűnik, hogy a megoldáshoz elegendő felvenni egy iránytűt és egy vonalzót. De aztán kiderül, hogy végtelen számú válasz lesz. Más szóval az X értékére vonatkozó kérdésre nem adható egyértelmű válasz.

Ebben a könyvben gyakran találkozik olyan problémákkal, amelyek meggondolást igényelnek. Ennek van egy bizonyos pedagógiai jelentése. Az ilyen problémák, még akkor is, ha nincs megoldásuk, mint amilyen a fent javasolt, olyan problémát érintenek, amely tudásunk határán van. Többnyire éppen ezek azok a korlátok, amelyek előtt a híres „józan ész” enged, és csak a szigorúan vett matematikai logikai gondolkodás, természettudományos ismeretekkel párosulva vezethet a helyes döntéshez.

Térjünk vissza az emberre: az élőlények összehasonlításakor egyértelműen érezhető a hasonlóság, ha arányaik egybeesnek. Ezért a gyerekek és a felnőttek hasonlóak lehetnek. Bár bármelyik testrész tömege és mérete eltérő, legyen az orr vagy száj, de a hasonló egyedek aránya megegyezik.

A hasonlóság szembetűnő példája a távolság vizuális becslése a hüvelykujj segítségével. Ily módon a katonaság és a tengerészek megbecsülik két pont közötti távolságot a földön vagy a tengeren, összehasonlítva azokat egy ujj vagy ököl szélességével. A legegyszerűbb esetben becsukják az egyik szemüket, és nyitott szemmel nézik a kinyújtott kéz ujját, azt használva irányzéknak.

Ha kinyújtott kéz hüvelykujjával látunk (egyszer a bal, egyszer a jobb szemmel), az ujj körülbelül 6°-ot "ugrál"

Ha kinyitja az előzőleg csukott szemet (és becsukja a másodikat), az ujj látható távolságban oldalra mozdul. Fokban kifejezve ez a távolság 6°. Ráadásul ennek az "ugrásnak" a nagysága (a hibahatáron belül) minden ember számára azonos! Tehát a jobb oldali társaság, egy két méter magas srác, és a legkisebb - bal oldali, mindössze hatvan méter magas, az ujjak ezen "ugrásai" összehasonlításával ugyanazt az értéket kapják.

Ennek a jelenségnek az oka végső soron az emberek hasonlóságában rejlik, és természetesen az optika törvényeiben, amelyeknek látásunk engedelmeskedik.

Az „ököl szabálya” a szó legközvetlenebb értelmében is ismert a szög nagyságának durva becslésére. Ha egy szemünkkel a kinyújtott kéz öklére nézünk (ezúttal ugyanazzal a szemmel), akkor az ököl szélessége 10 ° lesz, a falánkok két csontja közötti távolság pedig 3 °. Az oldalra kiálló ököl és hüvelykujj 15°-os lesz. Ezeket a méréseket kombinálva megközelítőleg megmérheti a talajon lévő összes szöget.

És végül még egy szögmérték testünkről, ami hasznos lehet a házi feladathoz. A széttárt tenyér hüvelyk- és kisujja közötti szög 90°. Valószínűtlennek tűnik, de azonnal mindent saját maga ellenőrizhet, ha tenyere kinyújtott ujjait könyvünk sarkához helyezi. Helyezze a kisujját szigorúan párhuzamosan az egyik éllel, és mozgassa lefelé a kezét, amíg a hüvelykujj is az alsó szélen nem fekszik. Meg van győződve?

Természetesen itt a hiba néha viszonylag nagynak bizonyul, hiszen a kéz életkorától és fejlettségétől függően a hüvelykujj különböző távolságokra helyezhető el. De az első teszthez, amely lehetővé teszi annak eldöntését, hogy a mért szög jelentősen eltér-e az egyenes vonaltól, ez a módszer meglehetősen megfelelő.

VONALORSZÁG ÉS SÍKORSZÁG

A fantáziadúsok régóta észrevették, hogy a két dimenzióra oly szigorú kongruencia törvényei a gyakorlatban gyakran egy harmadik dimenzió használatát igénylik.

Amikor egy nagy fogadásra terítenek egy asztalt, a szalvétákat általában háromszögbe hajtják. De érdemes ezeket a háromszögeket egy kupacba, egymásra gyűjteni, mert kiderül, hogy ezek a háromszögek kétféleek: van, amelyik azonnal „passzol” egymáshoz, míg másokat „jobb oldalra” kell fordítani. . Hasonló probléma merül fel az apró alkatrészek bélyegzésekor, amikor valaki megpróbálja egymásra rakni a kész termékeket.

A költők és írók általában többé-kevésbé valószínű helyzetekről fantáziálnak. Tehát vannak olyan művek, amelyekben az életet kétdimenziós térben ábrázolják (ahol semmiképpen nem lehet megfordítani a „szalvétát”).

Egyes szerzők még ennél is tovább mennek, és megpróbálják elképzelni az életet egy egydimenziós térben, a vonal földjén - Linelandben. Linelandban csak vékony fapálcák laknak, amelyek a legegyszerűbb esetben nem különböznek egymástól. Érdemes azonban fejet adni nekik (egyből a gyufa jut eszembe!), És rögtön két lehetőségük van.

Vagy az összes meccset egy irányba fordítják - akkor kombinációjuk nem okoz nehézséget. Vagy a gyufa egy része balra, néhány pedig jobbra fordítva fekszik. A linelandi matematikusnak nincs gyakorlati módja a "baloldali" egyezések "jobboldali" egyezésekre történő fordítására. De egy matematikus a Land of the Plane - Flatlandról, akinek még egy dimenziója van, azonnal talál egy egyszerű megoldást: megfordítja a gyufát a síkban.

Egyes írók szerint azonban Síkföldön sem olyan egyszerű az élet. Képzeld el, hogy ennek az országnak a lakói kis téglalapok, amelyeknek az egyik sarkában van egy szem (és csak egy szemük van). Természetesen csak egy ilyen téglalapot lát egy síkban, és soha nem tudja felülről nézni ezt a síkot. Tehát egy laposföldi sem fogja tudni elképzelni, hogyan is néz ki valójában: ehhez már a háromdimenziós térből való kilátás szükséges. A laposföldiek házai nagyjából olyanok lettek volna, mint a gyerekrajzokon. Azzal a különbséggel, hogy az ajtók oldalt lennének, és csak egy síkban nyílnának. De az ajtópántokat a síkon kívül, felette vagy alatta kellene elkészíteni. Emellett komplex kellékrendszerre lenne szükség, hogy ne dőljön be a ház fala, amikor a lakók ki akarták nyitni az ajtót. Két síkföldi pedig csak akkor tudna egymásra nézni, ha egyiküknek sikerül a fejére állnia.

A helyzet még bonyolultabb lenne, ha Síkföldön két nép lakna. Mondjuk bal- és jobbkezes síkvidékiek. Nagy fantázia kell ahhoz, hogy egy ilyen helyzet minden lehetséges következményét felvázoljuk, főleg, ha figyelembe vesszük, hogy hozzászoktunk a három dimenzióban való gondolkodáshoz!

Mivel Linelandet és Flatlandot is humoros színben mutatták be az íróknak, nem meglepő, hogy Angliában megjelent az irodalom ezzel a témával.

1880-ban Edwin Ebony Abbott angol pedagógus írt egy könyvet Síkföldről és lakóiról ( Abbott E. E. Flatland. In: Abbott E. E. Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlander Abbott, aki álmában Linelandbe esett, hiába próbálja meggyőzni az ott lakókat a repülőgép létezéséről.

A cselekvés során az egyik laposföldinek sikerül megismernie a háromdimenziós teret, ami miatt „az őrültek legőrültebbjeként” ismerik el.

Több mint húsz évvel később, 1907-ben C. G. Hinton kiadta a The Incident in Flatland című művét. Ebben két síkvidéki nép áll háborúban. Mivel minden síkföldi ugyanabba az irányba néz, a nép egyike mindig reménytelenül elveszett: nem tud megfordulni és visszavágni a megfelelő irányba – a gyűlölt ellenség állandóan a nyakában ül. De a végén a jó győz. Néhány okos fej észreveszi, hogy Flatland egy labdán helyezkedik el, és ezért körbefutva lehetséges az ellenséges vonalak mögé kerülni.

A regény szerzője arra a hallgatólagos feltevésre építi fel történetét, hogy a síkvidékiek csak bizonyos általános irányok mentén mozoghatnak, az oldalsó kitérőket kizárva, és lehetetlen az ellenséget a fejük fölött megdönteni.

Amint láthatja, a legkifinomultabb elméleteket terjesztették elő a kétdimenziós térben való életről, de soha nem találtak alkalmazást. Azt kell gondolni, hogy ezek a könyvek és szerzőik is rég feledésbe merültek volna, ha Linelandre és Flatlandre nem lenne annyira szükség a tükörreflexió elméletének magyarázatához, és ha a gyors észproblémák összeállítóinak nem kellene újra és újra Flatlandhoz fordulniuk, hogy kivonják őket. ötleteket a kétdimenziósságából (egyébként nem is olyan régen készült Magyarországon egy rajzfilm az iskolás Adoljar síkföldi útjáról).

A laposföldiek többek között platformokon szállítják az árukat körbe. Amikor egy rakomány áthalad a körön, a helyi közlekedési tiszt előregörgeti a kört, és a peron elé helyezi.

Sok érdekes probléma van itt. De minket csak egy dolog érdekel: ha a keréktengely 10 m/perc sebességgel mozog, milyen sebességgel mozog a teher?

Földi autónkról tudjuk, hogy egyetlen kerék (pontosabban egyetlen keréktengely sem) tud gyorsabban mozogni, mint az egész autó. De síkvidéki autóban a kerék nincs mereven a rakományhoz kötve. Ha belegondolunk, nem nehéz kitalálni, hogy a terhelés itt két mozdulattal jár.

Először is a kerék forgástengelyével együtt mozog (ez ugyanaz, mint egy autónál). Ezenkívül a terhelés továbbra is a kerék kerülete mentén gördül, ugyanakkor a tengely forgási sebességével megegyező sebességgel. Ezért általában a teher a kerék sebességének kétszeresével gördül. Természetesen a rakománynak gyorsabban kell haladnia, már csak azért is, mert a kerekek mindig hátra vannak, és folyamatosan előre kell mozgatni őket.

Egyes olvasók azt gondolják: „A probléma valóban érdekes, de mi van?”

A síkvidéki közlekedés elve azonban megállja a helyét technológiánkban. Tehát a tervező, aki egy ajtót tervez egy kis szobában (például egy kis lift közelében), kénytelen elhagyni a zsanérokat. Az ajtót két részre osztja (ha persze ilyen trükkre gondol!), Amelyek párhuzamosan futnak egymással. Az ajtó egyik fele a görgő tengelyéhez van rögzítve, a második pedig ennek a görgőnek a kerülete mentén mozog. Míg az egyik fele az ajtó felét elmozdítja, a másiknak van ideje végigfutni az ajtó teljes szélességében (kétszeres sebességgel).

Ne nézzük le a Flatlandot és az írói fantáziákat. Tegyük fel, hogy a laposföldiek valóban a földgömb felszínén élnek. Ez a felület olyan nagy, hogy a lakók nem veszik észre a görbületét. Természetesen azt gondolják, hogy síkon élnek, hiszen nem tudnak elképzelni egy gömböt: a harmadik dimenzió ugyanis elvileg ismeretlen számukra. Ezért a síkvidéki professzorok fejlesztik a síkvidéki matematikát, amelyet az iskolákban tanítanak. Az ottani gyerekek megjegyzik például egy ilyen definíciót: két párhuzamos egyenes véges távolságra metszi egymást. Vagy: egy háromszög szögeinek összege nagyobb, mint 180°. Mi, a háromdimenziós tér emberei tudjuk, hogy a gömbfelület egy kétdimenziós nem euklideszi tér, amely nem illeszkedik a szokásos euklideszi geometriába.

A földgömbre nézve azt látjuk, hogy két, az Egyenlítővel párhuzamos meridián a póluson metszi egymást. A földgömbre nézve az is meggyőződhet, hogy két meridián 90°-os szöget zár be az Egyenlítővel. A pólus metszéspontjában egy másik szög keletkezik. És a három szög összege egyébként is nagyobb, mint 180°. De a szegény síkvidékiek mindezt persze el sem tudják képzelni. Biztosak benne, hogy repülőn élnek.

Egy szkeptikus matematikus, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) komolyan azon töprengett, vajon mi, emberek ugyanabban a helyzetben vagyunk-e, mint a síkvidékiek. Talán – gondolta Gauss – mi is nem euklideszi világban élünk, de ezt nem vesszük észre. Ha ez így lenne, akkor a tér görbült lenne (amit biztosan nem tudtunk elképzelni), és egy kellően nagy háromszögnek 180°-tól eltérő szögösszege lenne. Gauss megmérte a Brocken, Inselberg és High Hagen közötti háromszöget, de nem talált jelentős eltérést a 180°-tól. Ez természetesen nem szolgálhat vitathatatlan bizonyítékként, mivel a háromszög még mindig túl kicsi lehet.

Nem lehet azonban egyszerűen összehasonlítani a szóban forgó nem euklideszi teret a relativitáselmélet térével. Mi síkvidékiek és Gauss tisztán geometriai, térbeli problémáról beszélünk, és arról, hogy bizonyos axiómák igazak-e (például két párhuzamos egyenes metszéspontjáról a végtelenben). A relativitáselmélet hívei az időt negyedik térbeli koordinátaként vezetik be.

A KONGRUENCIÁRÓL

Két síkfigura egybevágó, ha a megfelelő pontok közötti összes szögük és szakaszuk egyenlő.

Az iskolában a háromszögek egybevágóságára vonatkozó tételeket tanulunk. Megállapították például, hogy a háromszögek területe akkor egyenlő, ha van egy oldaluk és két szomszédos szög egybeesik. Ez azt jelenti, hogy bár használhat egy oldalt és két szomszédos sarkot háromszögek felépítéséhez, a háromszögeknek meg kell egyeznie minden részével.

A köznyelvi beszédben (amelyet ebben a könyvben használunk) elmondhatjuk, hogy az egybevágó síkok pontosan átfedik egymást, vagy fordítva, ha az egyik síkfigura pontosan átfedi a másikat, akkor egybevágóak. Ugyanez igaz a háromdimenziós testekre is: ha kombinálhatók, akkor kongruensek.

Nézd meg a képen látható háromszögeket. Mindegyik egybevágó. Nyilvánvaló, hogy a bal oldalon elhelyezett mindkét háromszög egy vonalba kerül, ha egyszerűen elmozdítja őket. És itt van a jobb oldalon elhelyezett háromszög, amely ugyan egybevágó a két bal oldalival, de nem tudjuk csak síkban mozgatva összevonni velük. Akárhogyan is forgatjuk a síkban, soha nem fog illeszkedni egyik bal oldali háromszöghez sem. Ennek eléréséhez fel kell emelni a háromszöget a sík fölé, el kell forgatni a térben és vissza kell tenni a síkra. De ha összehasonlítjuk az eltolással és invertálással kombinált háromszögek kölcsönös elrendezését, akkor látni fogjuk, hogy mindkét esetben a különböző oldalaik egybeesnek. Nyíráskor az egyik papírháromszög alsó felülete átfedi a második háromszög felső felületét. A papírlap felületének térbeli tájolása nem változott. Ebben az esetben azonos kongruenciáról beszélünk. Ha térben elforgatva a papír mindkét felső felületét egyesítjük, akkor a lapos alakzatokat tükör-kongruensnek nevezzük.

Egybevágónak nevezzük azokat a síkidomokat, amelyeket egyenrangúnak érzékelünk, és amelyeket síkban eltolva vagy térben elforgatva kombinálhatunk egymással.

HÁROMSZÖGEK KONGRUENCIÁJA

Egyezés - a geometriai síkfigurák azon tulajdonsága, hogy méretben és alakban egybeesnek egymással.

Az egymással forgatással és (vagy) eltolással kombinálható alakzatok egybevágóak.

Tükör-kongruensek azok a figurák, amelyek kombinálásához további tükörtükrözési művelet szükséges.

A háromszögek egybevágóságának négy jele van. A háromszögek egybevágóak, ha:

1) egy háromszög három oldala egyenlő a másik három oldalával (S, S, S);

2) az egyik háromszög két oldala és a közéjük zárt belső szöge egyenlő két oldallal és a közéjük zárt másik háromszög belső szögével (S, Ny, S);

3) az egyik háromszögben két oldal és a legnagyobbkal ellentétes belső szög egyenlő a másik háromszög két oldalával, a legnagyobbkal ellentétes szög pedig a másik háromszögben (S, S, W);

4) az egyik háromszög oldala és mindkét vele szomszédos belső szöge egyenlő egy másik háromszög oldalával és mindkét szomszédos belső szöge (W, S, W).

HASONLÓSÁG

A síkidomok alakjuk, de méretükben nem egybeesését hasonlóságnak nevezzük.

Az egyik ábra minden szöge egy hasonló ábra azonos szögének felel meg.

Hasonló ábrákon a megfelelő szegmensek arányosak.

Eltolással, forgatással és (vagy) tükrözéssel két hasonló figura hozható a homotétia helyzetébe. Ebben a helyzetben mindkét ábra megfelelő oldala párhuzamos egymással.

AXIÁLIS SZIMMETRIA

Legyen egy síkot egy s egyenes osztva két félsíkra. Ha most az egyik félsíkot az 5. egyenes körül 180°-kal elforgatjuk, akkor ennek a félsíknak minden pontja egybeesik a másik félsík pontjaival.

Az s egyenest szimmetriatengelynek nevezzük.

Mivel a fordított félsíkon a pontok eredeti helyzetükhöz képest tükörhelyzetben vannak, ezt a megfordítást tükörképnek is nevezik. Ha az egyik félsíkra valamilyen forgásirányt jelző vonalat alkalmazunk, akkor a tükörtükrözés után ez az irány az ellenkezőjére változik. Ezért egyetlen tükrözési művelet tükör-kongruens ábrákat hoz létre. Két ilyen művelet azonos egybevágó ábrákat eredményez. Eltolásnak vagy forgatásnak felelnek meg.

SUGÁRSZIMMETRIA

A sugárszimmetrikus alakzatokat az S pont körüli forgatással lehet egymáshoz igazítani. Ezt a pontot szimmetriaközéppontnak nevezzük.

Forgatáskor az ábrák megfelelő pontjai egyesülnek. A forgásirány nem változik. Az így visszatükröződő ábra azonosan kongruens.

A későbbi elforgatási műveletek semmilyen módon nem befolyásolják az ábrák azonosságát. 180°-os elforgatási szögnél központi szimmetriáról beszélünk.

KOCKA TRÜK

A tanárok szerint a kockákkal való játék fejleszti a térbeli képzelőerőt. És most a szülők megvásárolják utódládáikat fényes kockákkal, amelyekre a népszerű mesék képtöredékei vannak ragasztva. Ha ezeket a kockákat helyesen helyezzük el, látni fogjuk a Piroska szürke farkassal vagy a Hófehérkét hét törpével.

Valójában az ilyen kockák és rejtvények nemcsak a gyerekekben fejlesztik a térbeli képzelőerőt, hanem mindenkiben - a kicsiktől a nagyokig. Néha különféle formájú rönkökből kell kockát hajtogatnunk.

Ezeket az egyes elemeket közelebbről megvizsgálva kiderül, hogy közülük legalább kettő azonos alakú és méretű, de úgy viszonyulnak egymáshoz, mint egy bal és jobb kesztyű. Az ilyen rejtvények készítői nyilván remélik, hogy a játékosok nem fogják azonnal ezt a megkülönböztetést. Ha felidézzük, hányszor kevertük össze a jobb és bal kesztyűt, el kell ismernünk, hogy az ilyen remények nem alaptalanok.

Ezeket az elemeket szinte lehetetlen kombinálni. Megjegyzendő, hogy itt (vagy valahol lent) a „gyakorlatilag lehetséges” kifejezést használva egy ilyen feladat gyakorlati megvalósítását értjük.

De vannak olyan matematikai vagy fizikai módszerek is, amelyek lehetővé teszik az elemek legalább elméleti vagy külső jelek szerinti kombinálását - ez további megfontolás tárgya lesz. És mivel itt az egyik elemnek a másikkal való kombinációjáról volt szó, egy fontos körülményt különösen meg kell jegyezni. Síkföldön lehetőség lenne lapos figurák kombinálására úgy, hogy kiemelik őket a síkból és elfordítják őket a térben. A Linelandben ugyanígy csak egy dimenzió kellene több: egy forgatás a síkban, és a szegmensek kompatibilisek lesznek.

De térbeli konstrukciókat csak a térben tudunk forgatni! És mivel a negyedik dimenzió Gauss minden okoskodása ellenére zárva van előttünk, még elképzelni is nehéz, hogy gyakorlatilag (!) hogyan lehet „tégláinkat” a háromdimenziós téren kívül máshová is behelyezni úgy, hogy mindegyikhez igazodjanak. Egyéb!

A mindennapi életben nagyon gyakran kell ilyen rejtvényeket megoldanunk (hangsúlyozom: praktikusan megoldani, és nem játszani!), Például különféle tárgyak összepakolásánál. Vagy képzeljük el például a központi fűtés radiátorait. Egyesek esetében a beállítási szelep a bal oldalon, mások számára a jobb oldalon található. Hogyan lehet több radiátort csatlakoztatni egy akkumulátorhoz?

A hűtők, tűzhelyek és egyéb háztartási cikkek általában jobb- és balos fogantyúval, kulccsal, csappal készülnek. Az ilyen tárgyak negyedik dimenzióban való megfordításának fantasztikus lehetősége mindenkinek nagyon örülne, aki szállításukkal és felszerelésükkel foglalkozik.

NÉZZE MEG A SZÓTÁRT!

A könyv elején szimmetrikus lénynek neveztük az embert. A jövőben a "szimmetria" kifejezést már nem használták. Azt azonban bizonyára már Ön is észrevette, hogy minden olyan esetben, amikor a vonalszakaszok, lapos alakzatok vagy tértestek hasonlóak voltak, de további akciók nélkül nem lehetett, „gyakorlatilag” lehetetlen volt kombinálni őket, találkoztunk a szimmetria jelenségével. Ezek az elemek úgy illeszkedtek egymáshoz, mint egy festmény és annak tükörképe. Mint a bal és a jobb kéz. Ha vesszük a fáradságot, hogy belenézzünk az Idegen szavak szótárába, azt találjuk, hogy a szimmetria azt jelenti, hogy „arányosság, teljes megfelelés az egész részeinek elrendezésében a középvonalhoz, középvonalhoz ... a pontok ilyen elrendezése egy pont (szimmetriaközéppont), egy egyenes (szimmetriatengely) vagy egy sík (szimmetriasík), amelyben minden két megfelelő pont ugyanazon a szimmetriaközépponton átmenő egyenesen fekszik, ugyanazon a tengelyre merőlegesen vagy szimmetriasík, azonos távolságra vannak tőlük..."( Idegen szavak szótára: Szerk. 7., átdolgozva. -M.; Orosz nyelv 1980, p. 465)

És ez még nem minden, ahogy az idegen szavaknál lenni szokott, a "szimmetria" szónak sokféle jelentése van. Az ilyen kifejezések előnye, hogy akkor használhatók, ha nem akarnak egyértelmű definíciót adni, vagy egyszerűen nem ismernek egyértelmű különbséget két objektum között.

Az "arányos" kifejezést személyre, képre vagy bármilyen tárgyra vonatkozóan használjuk, ha kisebb következetlenségek nem teszik lehetővé a "szimmetrikus" szó használatát.

Mivel referenciakönyvekben turkálunk, nézzük meg az Enciklopédiai szótárt ( Szovjet enciklopédikus szótár - M.: Szovjet Enciklopédia, 1980, p. 1219-1220). Itt hat cikket találunk, amelyek a "szimmetria" szóval kezdődnek. Ezenkívül ez a szó sok más cikkben is megtalálható.

A matematikában a "szimmetria" szónak legalább hét jelentése van (köztük szimmetrikus polinomok, szimmetrikus mátrixok). A logikában szimmetrikus kapcsolatok vannak. A szimmetria fontos szerepet játszik a krisztallográfiában (erről a könyv későbbi részében olvashat). Érdekesen értelmezik a biológiában a szimmetria fogalmát. Hat különböző szimmetriát ír le. Megtudjuk például, hogy a ctenoforok aszimmetrikusak, míg a snapdragon virágok kétoldali szimmetrikusak. Meg fogjuk találni, hogy a szimmetria létezik a zenében és a koreográfiában (táncban). Itt a ciklusok váltakozásától függ. Kiderült, hogy sok népdal és tánc szimmetrikusan épül fel.

Tehát meg kell állapodnunk abban, hogy milyen szimmetriáról fogunk beszélni. A vizsgált objektumok természetétől függetlenül a fő érdeklődésünk a tükörszimmetria lesz - a bal és jobb oldal szimmetriája. Látni fogjuk, hogy ez a látszólagos korlát a tudomány és a technológia világába visz minket, és lehetővé teszi, hogy időről időre teszteljük agyunk képességeit (hiszen ez az, ami szimmetriára van programozva).

PONTOK ÉS VONALAK JÁTÉKA

Még nem hagytuk el Linelandet és Flatlandet. És ennek különleges oka van. Még ha nincsenek is ott lakók, akkor maguk az egyenesek és síkok egészen valóságosak!

Gondoljuk végig a helyzetet a szimmetriával egy egyenesen. Két egyezés segítségével nagyon egyszerűen két lehetséges esetet tudunk elképzelni. (A helyzet néhány aspektusát már korábban megvizsgáltuk.) A gyufák egy irányban fekhetnek a fejükkel. Aztán könnyen összeillenek. Vagy fejek (vagy tippek) egymásnak. Ebben az esetben a vonalnak van egy pontja, ahol a tükröt úgy lehet elhelyezni, hogy a gyufa egybeesik a visszaverődésével. Más szóval, a vonalon van egy szimmetriaközéppont. El kell képzelnünk, hogy a tükör egy pontba illeszkedik, és egy félegyenes szakaszt tükröz. A matematikai érvelésben ez teljesen lehetséges.

A síkfigurák a szimmetriatengelyeken „visszaverődnek”.

Síkon építve a tükrünk továbbra is pont maradhat, vagy lehet egyenes. Valószínűleg helyesebb, ha fordított sorrendben mondjuk: egy egyenes vagy egy pont tükörként fog szolgálni. Hiszen ha valahol van egy egyenes, akkor lehetséges rajta egy pont szimmetriaközéppont.

A síkok felének tükörreflexei ugyanúgy néznek ki, mint a valódi síkok: a síkot egy egyenes - tükör - körül forgatva visszaverődéssel kombinálható, így keletkezett a "szimmetriatengely" kifejezés.

Egy körnek végtelen számú szimmetriatengelye van. "Lóherelevél" - csak egy

Tehát most már tudjuk, hogy mi a szimmetriaközéppont és a szimmetriatengely, és azt is, hogy egy objektum (vegyük ezt a semleges szót) szimmetrikus, ha egyik fele kapcsolódik a másikhoz, mint egy kép és annak tükörképe.

Egy körnek végtelen számú szimmetriatengelye van, és mindegyik egy közös szimmetriaközépponton halad át. Más figuráknak véges számú szimmetriatengelye van, de mindazonáltal minden tengely (közülük kettő vagy több) átmegy a szimmetria középpontján. Ez azt jelenti, hogy az alakzatot el tudjuk forgatni egy bizonyos szögben (maximum 180°-ban), és ismét pontosan ugyanott fog feküdni, mint az elforgatás előtt.

Folytassuk a tükörszimmetriával kapcsolatos okoskodásunkat. Könnyen megállapítható, hogy tükör segítségével minden szimmetrikus síkfigura önmagával kombinálható. Meglepő, hogy az olyan összetett alakzatok is szimmetrikusak, mint az ötágú csillag vagy az egyenlő oldalú ötszög. A tengelyek számából következik, hogy pontosan a nagy szimmetriájukkal különböztetik meg őket. És fordítva: nem olyan könnyű megérteni, hogy egy ilyen szabályosnak tűnő ábra, akár egy ferde paralelogramma, miért nem szimmetrikus. Elsőre úgy tűnik, hogy az egyik oldalával párhuzamosan futhat egy szimmetriatengely. De érdemes mentálisan megpróbálni használni, hiszen azonnal meggyőződsz arról, hogy ez nem így van. Aszimmetrikus és spirális.

Furcsa módon egy ilyen "szimmetrikus" kinézetű alaknak, mint egy paralelogrammának, nemcsak szimmetriatengelyei nincsenek, hanem általában tükörszimmetriája is.

Míg a szimmetrikus figurák teljes mértékben megfelelnek a tükröződésüknek, a nem szimmetrikusak ettől eltérnek: a jobbról balra csavarodó spirálból a balról jobbra csavarodó spirál a tükörben kiderül. Ezt az ingatlant gyakran használják tömeges játékokon és televíziós versenyeken. A játékosok a tükörbe nézve rajzoljanak valamilyen aszimmetrikus figurát, például spirált. Aztán még egyszer rajzolja meg a „pontosan ugyanazt” a spirált, de tükör nélkül. A két rajz összehasonlítása azt mutatja, hogy a spirálok eltérőek: az egyik balról jobbra, a másik jobbról balra csavarodik.

De ami itt viccnek tűnik, az a gyakorlati életben nem csak a gyerekeknek, hanem a felnőtteknek is sok nehézséget okoz. A gyerekek gyakran „belül kifelé” írnak néhány betűt. A latin N betűjük úgy néz ki, hogy S és Z helyett S-t és Z-t kapnak. Ha alaposan megnézzük a latin ábécé betűit (és ezek valójában lapos alakok!), szimmetrikus és aszimmetrikus alakzatokat fogunk látni. azok között. Az olyan betűknek, mint az N, S, Z, nincs szimmetriatengelyük (F, G, J, L, P, Q és R sem). De az N, S és Z betűket különösen könnyű "fordítva" ( Szimmetriaközéppontjuk van. - kb. szerk). A többi nagybetűnek legalább egy szimmetriatengelye van. Az A, M, T, U, V, W és Y betűk a hosszirányú szimmetriatengellyel kettéoszthatók. A B, C, D, E, I, K betűk a keresztirányú szimmetriatengely. A H, O és X betűknek két egymásra merőleges szimmetriatengelye van.

Ha a betűket a tükör elé, a vonallal párhuzamosan helyezi el, észre fogja venni, hogy a vízszintes szimmetriatengelyűek is leolvashatók a tükörben. De azok, amelyekben a tengely függőlegesen helyezkedik el vagy teljesen hiányzik, „olvashatatlanná” válnak.

Érdekes kérdés, hogy a hossztengelyű betűk miért viselkednek másképp, mint a keresztirányúak. Talán elgondolkozol rajta. A jelenség okáról később lesz szó.

Vannak gyerekek, akik bal kézzel írnak, és minden betűt tükrözött, tükrözött formában kapnak. Leonardo da Vinci naplói tükör betűkkel íródnak. Valószínűleg nincs jó ok arra, hogy úgy írjunk leveleket, ahogyan szoktuk. Nem valószínű, hogy egy tükörbetűtípust nehezebb elsajátítani, mint a megszokott.

Nem könnyítené meg a helyesírást, és néhány szó, például az OTTO, egyáltalán nem változna. Vannak nyelvek, amelyeken a jelek felirata a szimmetria jelenlétén alapul. Tehát a kínai írásban a hieroglifa pontosan az igazi közepét jelenti.

Az építészetben a szimmetriatengelyeket az építészeti szándék kifejezésének eszközeként használják. A mérnöki tudományban a szimmetriatengelyek ott vannak a legvilágosabban feltüntetve, ahol nullától való eltérés szükséges, például a teherautó vagy a hajó kormánykerekén.

VILÁGUNK A TÜKÖRBEN

Linelandból kivettük a szimmetriaközéppont fogalmát, Síkföldből pedig - a szimmetriatengely körül. A tértestek háromdimenziós világában, ahol élünk, vannak szimmetriasíkok, ill. A „tükörnek” mindig egy dimenziója van kisebb, mint a tükröződő világnak. A kerek testeket nézve azonnal látszik, hogy szimmetriasíkjaik vannak, de hogy pontosan mennyi, azt nem mindig könnyű eldönteni.

Tegyünk egy labdát a tükör elé, és kezdjük el lassan forgatni: a tükörben látható kép semmiben sem fog eltérni az eredetitől, persze, ha a golyó felületén nem lesz semmi jellegzetes. A pingponglabda számtalan szimmetriasíkot tár fel. Vegyünk egy kést, vágjuk le a golyó felét, és tegyük a tükör elé. A tükörtükrözés ezt a felét ismét egész labdává egészíti ki.

De ha veszünk egy földgömböt, és figyelembe vesszük a szimmetriáját, figyelembe véve a rajta jelölt földrajzi körvonalakat, akkor egyetlen szimmetriasíkot sem találunk.

Síkföldön a számtalan szimmetriatengellyel rendelkező alak a kör volt. Ezért nem kell meglepődnünk azon, hogy a térben hasonló tulajdonságok rejlenek a labdában. De ha a kör az egyetlen a maga nemében, akkor a háromdimenziós világban számos olyan test létezik, amelyeknek végtelen számú szimmetriasíkja van: egy egyenes hengernek körrel az alján, egy kúpnak egy kör alakú. vagy félgömb alakú alap, egy golyó vagy egy labdaszegmens. Vagy vegyünk példákat az életből: cigaretta, szivar, pohár, kúp alakú kiló fagylalt, drótdarab, pipa.

Ha közelebbről megvizsgáljuk ezeket a testeket, észre fogjuk venni, hogy így vagy úgy mindegyik egy körből áll, végtelen számú szimmetriatengelyen keresztül, amelyen végtelen számú szimmetriasík halad át. A legtöbb ilyen testnek (ezeket forradalomtesteknek nevezzük) természetesen van egy szimmetriaközéppontja (kör középpontja), amelyen legalább egy szimmetriatengely áthalad.

Jól látható például a fagylalttölcsér tengelye. A kör közepétől (a fagylaltból kilógó!) a funky kúp éles végéig fut. Egy test szimmetriaelemeinek halmazát egyfajta szimmetria-mértékként fogjuk fel. A labda kétségtelenül a szimmetria szempontjából a tökéletesség felülmúlhatatlan megtestesülése, ideális. Az ókori görögök a legtökéletesebb testnek, a kört pedig természetesen a legtökéletesebb lapos alaknak tekintették.

Általában véve ezek az ötletek a mai napig elfogadhatóak. Továbbá a görög filozófusok arra a következtetésre jutottak, hogy a világegyetemet természetesen egy matematikai ideál mintájára kell építeni. Ez a következtetés hibákhoz vezetett, amelyek következményeit később ismertetjük. Nyilvánvaló, hogy az ókori görögöknek még nem volt fagylalthüvelyük! Ellenkező esetben egy ilyen prózai objektum, amelynek számtalan szimmetriasíkja van, megsértheti harmonikus rendszerüket.

Ha összehasonlításképpen egy kockát veszünk figyelembe, látni fogjuk, hogy kilenc szimmetriasíkja van. Közülük három felezi a lapjait, hat pedig áthalad a csúcsokon. A labdához képest ez persze nem elég.

De vannak-e olyan testek, amelyek a síkok számát tekintve a golyó és a kocka között köztes helyzetet foglalnak el? Kétségtelenül igen. Csak emlékeznünk kell arra, hogy a kör lényegében úgy tűnik, sokszögekből áll. Ezen mentünk keresztül az iskolában a pi szám kiszámításakor. Ha minden n-szögre felállítunk egy n-szögű gúlát, akkor n szimmetriasíkot tudunk rajta rajzolni.

Ki lehet találni egy 32 oldalú szivart, aminek megfelelő szimmetriája lenne!

De ha ennek ellenére a kockát szimmetrikusabb tárgynak érzékeljük, mint a hírhedt fagylaltkilót, akkor ez a felület szerkezetének köszönhető. Egy gömbnek csak egy felülete van. A kockában hat van - a lapok számának megfelelően, és mindegyik lapot egy négyzet képviseli. A Funtik fagylalttal két felületből áll: egy körből és egy kúp alakú héjból.

Több mint két évezreden át (valószínűleg a közvetlen észlelés miatt) hagyományosan az "arányos" geometriai testeket részesítették előnyben. Platón (Kr. e. 427-347) görög filozófus felfedezte, hogy szabályos egybevágó síkfigurákból csak öt térfogati testet lehet építeni.

Négy szabályos (egyenlő oldalú) háromszögből egy tetraédert (tetraédert) kapunk. Nyolc szabályos háromszögből építhet egy oktaédert (oktaédert), és végül húsz szabályos háromszögből - egy ikozaédert. És csak négy, nyolc vagy húsz egyforma háromszögből kaphat háromdimenziós geometriai testet. Négyzetekből csak egy háromdimenziós figurát készíthet - egy hatszöget (hexaédert), az egyenlő oldalú ötszögekből pedig egy dodekaédert (dodekaédert).

És mi az, ami a mi háromdimenziós világunkban teljesen nélkülözi a tükörszimmetriát?

Ha Síkföldön lapos spirál volt, akkor a mi világunkban minden bizonnyal csigalépcső vagy csigafúró lesz. Ráadásul a minket körülvevő életben és technikában ezernyi aszimmetrikus dolog és tárgy található. A csavarnak általában jobbmenete van. De néha ott van a baloldal is. Tehát a nagyobb biztonság érdekében a propánpalackokat balmenetes menettel látják el, így például egy másik gázzal működő palackhoz tervezett szelep-reduktort nem lehet rájuk csavarni. A hétköznapokban ez azt jelenti, hogy kempingezéskor a kempingtűzhelyen való főzés előtt mindig ki kell próbálni, hogy az üveg melyik irányba csavarodik ki.

Egyrészt a labda és a kocka, másrészt a csigalépcső között még mindig sok a szimmetria fokozata. A kockából fokozatosan kiveheti a szimmetriasíkokat, a tengelyeket és a középpontot, amíg el nem jutunk a teljes aszimmetria állapotához.

Szinte ennek a szimmetriasornak a végén állunk mi, emberek, és csak egyetlen szimmetriasík osztja testünket bal és jobb felére. A szimmetria mértéke megegyezik például a közönséges földpátéval (olyan ásvány, amely csillámmal és kvarccal együtt gneiszt vagy gránitot képez).

ÖT PLATON

Szabályos poliéderekre a következő állítások igazak:

1. Bármely poliéderben (beleértve a szabályosat is), az egy csúcsban konvergáló élek közötti összes szög összege mindig kisebb, mint 360°.

2. Az Euler-tétel konvex politópokra

ahol e a csúcsok száma, ƒ a lapok száma és k az élek száma.

A szabályos poliéderek lapjai csak a következő szabályos sokszögek lehetnek:

3, 4 vagy 5 60°-os egyenlő oldalú háromszög. Hat ilyen háromszög már 60° X 6 = 360°-ot ad, és ezért nem korlátozhatja a poliéder szögét.

Három négyzet (90° X 3 = 270°), 3 szabályos ötszög (108° X 3 = 324°), 3 szabályos hatszög (120° X 3 = 360°) korlátozza a poliéder szögét.

Az Euler-tételből és az arcok alakjából következik, hogy csak 5 szabályos poliéder létezik:

Öt szabályos poliéder táblázat

Arcformák	Szám				Plátói szilárdtestek
	lapok egy csúcsban	csúcsok	arcok	borda
Egyenlő oldalú háromszögek	3	4	4	6	Tetraéder
Azonos	4	6	8	12	Oktaéder
Azonos	5	12	20	30	ikozaéder
négyzetek	3	8	6	12	Hexaéder (kocka)
Helyes ötszögek	3	20	12	20	Pentagon dodekaéder

(A Pentagon-dodekaéder bármely lapja ötszögletű alakzat, amelyben négy oldal egyenlő egymással, de különbözik az ötödiktől. - kb. fordítás)