Oldjon meg egy I. rendű differenciálegyenletet! Elsőrendű differenciálegyenletek

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely egy függvényt és annak egy vagy több deriváltját tartalmazza. A legtöbb gyakorlati feladatban a függvények fizikai mennyiségek, ezeknek a mennyiségeknek a változási sebességének a deriváltjai felelnek meg, és az egyenlet határozza meg a köztük lévő kapcsolatot.

Ez a cikk néhány közönséges differenciálegyenlet-típus megoldásának módszereit tárgyalja, amelyek megoldásai a következő formában írhatók fel: elemi függvények, azaz polinomiális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus függvények, valamint ezek inverz függvényei. Ezen egyenletek közül sok a való életben is előfordul, bár a legtöbb más differenciálegyenlet nem oldható meg ezekkel a módszerekkel, és ezekre a választ speciális függvényként vagy hatványsorként írják fel, vagy numerikus módszerekkel találják meg.

A cikk megértéséhez ismernie kell a differenciál- és integrálszámítást, valamint a parciális deriváltokat. A differenciálegyenletekre, különösen a másodrendű differenciálegyenletekre alkalmazott lineáris algebra alapjainak ismerete is ajánlott, bár ezek megoldásához elegendő a differenciál- és integrálszámítás ismerete.

Előzetes információ

A differenciálegyenletek kiterjedt osztályozással rendelkeznek. Ez a cikk arról szól közönséges differenciálegyenletek, vagyis olyan egyenletekről, amelyek egy változó függvényét és származékait tartalmazzák. A közönséges differenciálegyenleteket sokkal könnyebb megérteni és megoldani, mint parciális differenciálegyenletek, amelyek több változó függvényeit tartalmazzák. Ez a cikk nem foglalkozik a parciális differenciálegyenletekkel, mivel ezeknek az egyenleteknek a megoldási módszereit általában az adott formájuk határozza meg.
- Az alábbiakban néhány példa látható a közönséges differenciálegyenletekre.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Az alábbiakban néhány példát mutatunk be a parciális differenciálegyenletekre.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Rendelés differenciálegyenletet az egyenletben szereplő legmagasabb derivált sorrendje határozza meg. A fenti közönséges differenciálegyenletek közül az első elsőrendű, míg a második másodrendű. Fokozat Egy differenciálegyenlet azon legnagyobb hatványát nevezzük, amelyre ennek az egyenletnek az egyik tagját emeljük.
- Például az alábbi egyenlet harmadrendű és másodlagos hatvány.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ jobb)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
A differenciálegyenlet az lineáris differenciálegyenlet ha a függvény és annak összes deriváltja az első hatványban van. Ellenkező esetben az egyenlet nemlineáris differenciálegyenlet. A lineáris differenciálegyenletek abból a szempontból figyelemre méltóak, hogy megoldásaikból lineáris kombinációk készíthetők, amelyek egyben ennek az egyenletnek a megoldásai is lesznek.
- Az alábbiakban néhány példa látható a lineáris differenciálegyenletekre.
- Az alábbiakban néhány példát mutatunk be nemlineáris differenciálegyenletekre. Az első egyenlet a szinusztag miatt nemlineáris.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (n x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Közös döntés A közönséges differenciálegyenlet nem egyedi, hanem magában foglalja tetszőleges integrációs állandók. A legtöbb esetben a tetszőleges állandók száma megegyezik az egyenlet sorrendjével. A gyakorlatban ezeknek az állandóknak az értékeit adottak határozzák meg kezdeti feltételek, vagyis a függvény és származékai értékeivel at x = 0. (\displaystyle x=0.) A megtaláláshoz szükséges kezdeti feltételek száma magándöntés differenciálegyenlet, a legtöbb esetben megegyezik ennek az egyenletnek a sorrendjével is.
- Ez a cikk például az alábbi egyenlet megoldásával foglalkozik. Ez egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet. Általános megoldása két tetszőleges állandót tartalmaz. Ezen állandók megtalálásához ismerni kell a kezdeti feltételeket x (0) (\displaystyle x(0))és x′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Általában a kezdeti feltételeket a ponton adják meg x = 0, (\displaystyle x=0,), bár ez nem kötelező. Ez a cikk azt is megvizsgálja, hogyan lehet konkrét megoldásokat találni az adott kezdeti feltételekre.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Lépések

1. rész

Elsőrendű egyenletek

A szolgáltatás használatakor bizonyos információk átkerülhetnek a YouTube-ra.

Elsőrendű lineáris egyenletek. Ez a rész az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldásának módszereit tárgyalja általános és speciális esetekben, amikor néhány tag nullával egyenlő. Tegyünk úgy, mintha y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))és q (x) (\displaystyle q(x)) függvények x . (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\megjelenítési stílus (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) A matematikai elemzés egyik fő tétele szerint a függvény deriváltjának integrálja is függvény. Így elég egyszerűen integrálni az egyenletet a megoldás megtalálásához. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy a határozatlan integrál kiszámításakor egy tetszőleges állandó jelenik meg.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) A módszert használjuk a változók szétválasztása. Ebben az esetben különböző változók kerülnek át az egyenlet különböző oldalaira. Például átviheti az összes tagot innen y (\displaystyle y) egy, és az összes tagot x (\displaystyle x) az egyenlet másik oldalára. A tagok is áthelyezhetők d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)és d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), amelyeket a származékos kifejezések tartalmaznak, de ne feledjük, hogy ez csak egy konvenció, ami kényelmes egy összetett függvény megkülönböztetésekor. E kifejezések tárgyalása, amelyeket ún differenciálművek, nem tartozik e cikk hatálya alá.
- Először az egyenlőségjel ellentétes oldalán lévő változókat kell mozgatnia.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\megjelenítési stílus (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Az egyenlet mindkét oldalát integráljuk. Az integrálást követően mindkét oldalon tetszőleges állandók jelennek meg, amelyek átvihetők az egyenlet jobb oldalára.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Példa 1.1. Az utolsó lépésben a szabályt alkalmaztuk e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))és lecserélték e C (\displaystyle e^(C)) a C (\displaystyle C), mert ez is egy tetszőleges integrációs állandó.
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1) (2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(igazított)))
P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Az általános megoldás megtalálásához bemutattuk integráló tényező függvényében x (\displaystyle x) hogy a bal oldalt közös deriválttá redukáljuk és így megoldjuk az egyenletet.
- Szorozd meg mindkét oldalt μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- Ahhoz, hogy a bal oldalt közös deriválttá redukáljuk, a következő átalakításokat kell végrehajtani:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Az utolsó egyenlőség azt jelenti d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ez egy olyan integráló tényező, amely elegendő bármely elsőrendű lineáris egyenlet megoldásához. Most levezethetünk egy képletet ennek az egyenletnek a vonatkozásában µ , (\displaystyle \mu ,) bár a képzéshez hasznos az összes közbenső számítás elvégzése.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Példa 1.2. Ebben a példában megvizsgáljuk, hogyan találhatunk egy adott megoldást egy differenciálegyenletre adott kezdeti feltételek mellett.
  - t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(igazított)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Elsőrendű lineáris egyenletek megoldása (felvétele: Intuit - National Open University).
Nemlineáris elsőrendű egyenletek. Ebben a részben néhány elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet megoldásának módszereit tárgyaljuk. Bár nincs általános módszer az ilyen egyenletek megoldására, néhányat meg lehet oldani az alábbi módszerekkel.
D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Ha a funkció f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) egy változó függvényeire osztható, ilyen egyenletet nevezünk szétválasztható differenciálegyenlet. Ebben az esetben használhatja a fenti módszert:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- 1.3. példa.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\megjelenítési stílus (\) kezdődik(igazított)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1) (2))y^(2)&=(\frac (1) (4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(igazítva)))
D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Tegyünk úgy, mintha g (x, y) (\displaystyle g(x, y))és h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) függvények x (\displaystyle x)és y . (\displaystyle y.) Akkor homogén differenciálegyenlet egy egyenlet, amelyben g (\displaystyle g)és h (\displaystyle h) vannak homogén függvények ugyanaz a fokozat. Vagyis a függvényeknek ki kell elégíteniük a feltételt g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) ahol k (\displaystyle k) homogenitás fokának nevezzük. Bármely homogén differenciálegyenlet megadható megfelelővel változók változása (v = y / x (\displaystyle v=y/x) vagy v = x / y (\displaystyle v=x/y)) elválasztható változókkal rendelkező egyenletté alakítani.
- Példa 1.4. A homogenitás fenti leírása homályosnak tűnhet. Nézzük meg ezt a koncepciót egy példán keresztül.
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Először is meg kell jegyezni, hogy ez az egyenlet nemlineáris a következőhöz képest y . (\displaystyle y.) Azt is látjuk, hogy ebben az esetben lehetetlen a változókat szétválasztani. Ez a differenciálegyenlet azonban homogén, mivel mind a számláló, mind a nevező homogén 3 hatványával. Ezért változtathatunk a változókon v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Ennek eredményeképpen van egy egyenletünk a következőre v (\displaystyle v) megosztott változókkal.
  - v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) azt Bernoulli differenciálegyenlet- egy speciális, elsőfokú nemlineáris egyenlet, melynek megoldása elemi függvényekkel írható fel.
- Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- A bal oldalon egy komplex függvény differenciálási szabályát használjuk, és az egyenletet lineáris egyenletté alakítjuk a y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) amely a fenti módszerekkel megoldható.
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) azt teljes differenciálegyenlet. Meg kell találni az ún potenciális funkció φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), amely megfelel a feltételnek d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- Ennek a feltételnek a teljesítéséhez rendelkeznie kell teljes származék. A teljes derivált figyelembe veszi a többi változótól való függést. A teljes derivált kiszámításához φ (\displaystyle \varphi ) tovább x , (\displaystyle x,) azt feltételezzük y (\displaystyle y) attól is függhet x . (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- A kifejezések összehasonlítása ad nekünk M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))és N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ez tipikus eredmény a többváltozós egyenleteknél, ahol a sima függvények vegyes deriváltjai egyenlők egymással. Néha ezt az esetet ún Clairaut tétele. Ebben az esetben a differenciálegyenlet a teljes differenciálegyenlet, ha a következő feltétel teljesül:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- A teljes differenciálegyenletek megoldásának módszere hasonló a potenciális függvények megtalálásához több derivált jelenlétében, amelyet röviden tárgyalunk. Először integráljuk M (\displaystyle M) tovább x . (\displaystyle x.) Mert a M (\displaystyle M) egy függvény és x (\displaystyle x), és y , (\displaystyle y,) integrálásakor hiányos függvényt kapunk φ , (\displaystyle \varphi ,) néven címkézve φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Az eredményben benne van a függő is y (\displaystyle y) integráció állandó.
  - φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- Ezek után kapni c (y) (\displaystyle c(y)) figyelembe veheti a kapott függvény parciális deriváltját y , (\displaystyle y,) egyenlővé tenni az eredményt N (x, y) (\displaystyle N(x, y))és integrálni. Először is lehet integrálni N (\displaystyle N), majd vegyük a parciális deriváltot x (\displaystyle x), amely lehetővé teszi, hogy tetszőleges függvényt találjunk d(x). (\displaystyle d(x).) Mindkét módszer alkalmas, és általában az egyszerűbb függvényt választják az integrációhoz.
  - N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) részleges (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- 1.5. példa. Felvehet részleges deriváltokat, és ellenőrizheti, hogy az alábbi egyenlet egy teljes differenciálegyenlet.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(igazított)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(igazított)))
  - d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\megjelenítési stílus x^(3)+xy^(2)=C)
- Ha a differenciálegyenlet nem teljes differenciálegyenlet, bizonyos esetekben találhat olyan integráló tényezőt, amely lehetővé teszi, hogy teljes differenciálegyenletté konvertálja. Az ilyen egyenleteket azonban ritkán használják a gyakorlatban, és bár az integráló tényező létezik, megtörténik Nem könnyű, ezért ezeket az egyenleteket ez a cikk nem veszi figyelembe.

2. rész

Másodrendű egyenletek

Homogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Ezeket az egyenleteket a gyakorlatban széles körben alkalmazzák, így megoldásuk kiemelten fontos. Ebben az esetben nem homogén függvényekről beszélünk, hanem arról, hogy az egyenlet jobb oldalán 0. A következő részben megmutatjuk, hogy a megfelelő heterogén differenciál egyenletek. Lent a (\displaystyle a)és b (\displaystyle b)állandók.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Karakterisztikus egyenlet. Ez a differenciálegyenlet abból a szempontból figyelemre méltó, hogy nagyon könnyen megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy megoldásai milyen tulajdonságokkal rendelkezzenek. Az egyenletből látható, hogy y (\displaystyle y)és származékai arányosak egymással. A korábbi példákból, amelyeket az elsőrendű egyenletekről szóló részben tárgyaltunk, tudjuk, hogy csak az exponenciális függvény rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Ezért lehetséges előterjeszteni ansatz(tanult találgatás) arról, hogy mi lesz az adott egyenlet megoldása.
- A megoldás egy exponenciális függvény formáját ölti majd e r x , (\displaystyle e^(rx),) ahol r (\displaystyle r) egy konstans, amelynek az értéke keresendő. Helyettesítse be ezt a függvényt az egyenletbe, és kapja meg a következő kifejezést
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Ez az egyenlet azt jelzi, hogy egy exponenciális függvény és egy polinom szorzatának nullának kell lennie. Ismeretes, hogy a kitevő nem lehet egyenlő nullával a fok egyetlen értékénél sem. Ebből arra következtetünk, hogy a polinom egyenlő nullával. Így a differenciálegyenlet megoldásának problémáját redukáltuk egy sokkal egyszerűbb algebrai egyenlet megoldási feladatra, amelyet egy adott differenciálegyenletre jellemző egyenletnek nevezünk.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Két gyökerünk van. Mivel ez a differenciálegyenlet lineáris, általános megoldása részmegoldások lineáris kombinációja. Mivel ez egy másodrendű egyenlet, tudjuk, hogy ez az igazánáltalános megoldás, és nincs más. Ennek szigorúbb indoklása a megoldás létezésére és egyediségére vonatkozó, a tankönyvekben található tételekben rejlik.
- Hasznos módszer annak ellenőrzésére, hogy két megoldás lineárisan független-e a számítás Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- ez a determinánsa annak a mátrixnak, amelynek oszlopaiban függvények és azok egymást követő deriváltjai vannak. A lineáris algebra tétele kimondja, hogy a Wronski-függvények lineárisan függőek, ha a Wronski egyenlő nullával. Ebben a részben tesztelhetjük, hogy két megoldás lineárisan független-e, ha megbizonyosodunk arról, hogy a Wronskian nem nulla. A Wronski-féle konstans együtthatós nemhomogén differenciálegyenletek paramétervariációs módszerrel történő megoldásában fontos.
  - w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- A lineáris algebra szempontjából egy adott differenciálegyenlet összes megoldásának halmaza alkot egy vektorteret, amelynek mérete megegyezik a differenciálegyenlet nagyságrendjével. Ezen a téren lehet bázist választani lineárisan független döntéseket egymástól. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a függvény y (x) (\displaystyle y(x))érvényes lineáris operátor. Derivált van lineáris operátor, mivel a differenciálható függvények terét az összes függvény terévé alakítja. Az egyenleteket homogénnek nevezzük olyan esetekben, amikor valamilyen lineáris operátorra L (\displaystyle L) az egyenletre megoldást kell találni L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Most nézzünk néhány konkrét példát. A karakterisztikus egyenlet többszörös gyökének esetét kicsit később, a sorrendcsökkentésről szóló részben tárgyaljuk.
Ha a gyökerek r ± (\displaystyle r_(\pm )) különböző valós számok, a differenciálegyenletnek a következő megoldása van
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\megjelenítési stílus y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Két összetett gyökér. Az algebra alaptételéből következik, hogy a valós együtthatós polinomiális egyenletek megoldásainak gyökerei valósak vagy konjugált párokat alkotnak. Ezért ha a komplex szám r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) akkor a karakterisztikus egyenlet gyöke r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) ennek az egyenletnek a gyökere is. Így a megoldás formába írható c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) ez azonban egy összetett szám, és gyakorlati problémák megoldásában nem kívánatos.
- Ehelyett használhatja Euler képlet e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), amely lehetővé teszi a megoldás trigonometrikus függvények formájában történő felírását:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ béta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Most ahelyett, hogy állandó c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))írd le c 1 (\displaystyle c_(1)), és a kifejezés i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) kicserélve c 2. (\displaystyle c_(2).) Ezek után a következő megoldást kapjuk:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
- Van egy másik módja is a megoldás megírásának amplitúdó és fázis tekintetében, ami jobban megfelel a fizikai problémáknak.
- 2.1. példa. Keressük az alábbiakban megadott differenciálegyenlet megoldását adott kezdeti feltételek mellett. Ehhez a kapott oldatot kell venni, valamint származéka, és behelyettesítjük őket a kezdeti feltételekbe, ami lehetővé teszi számunkra tetszőleges állandók meghatározását.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\fc (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )én)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\megjelenítési stílus x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 ( − 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobb)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra)\end(igazított)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra))
N-edrendű differenciálegyenletek megoldása állandó együtthatókkal (Intuit - National Open University rögzítette).
Leminősítési sorrend. A sorrendredukció egy módszer differenciálegyenletek megoldására, ha egy lineárisan független megoldás ismert. Ez a módszer abból áll, hogy az egyenlet sorrendjét eggyel csökkentjük, ami lehetővé teszi az egyenlet megoldását az előző részben ismertetett módszerekkel. Legyen ismert a megoldás. A sorrend csökkentésének fő gondolata, hogy megoldást találjunk az alábbi formában, ahol meg kell határozni a funkciót v (x) (\displaystyle v(x)), behelyettesítve a differenciálegyenletbe és megtalálni v(x). (\displaystyle v(x).) Nézzük meg, hogyan használható a sorrendcsökkentés egy állandó együtthatós és többszörös gyökös differenciálegyenlet megoldására.

Több gyökér homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal. Emlékezzünk vissza, hogy egy másodrendű egyenletnek két lineárisan független megoldással kell rendelkeznie. Ha a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van, a megoldások halmaza nem teret képez, mivel ezek a megoldások lineárisan függőek. Ebben az esetben sorrendcsökkentést kell alkalmazni egy második lineárisan független megoldás megtalálásához.
- Legyen a karakterisztikus egyenletnek több gyöke r (\displaystyle r). Feltételezzük, hogy a második megoldás így írható fel y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), és behelyettesítjük a differenciálegyenletbe. Ebben az esetben a legtöbb tag, kivéve a függvény második deriváltjával rendelkező tagot v , (\displaystyle v,) csökkenni fog.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- 2.2. példa. Adott a következő egyenlet, amelynek több gyöke van r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Cserekor a legtöbb kifejezés törlődik.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(igazítva)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(igazított )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(igazított)))
- Mint az ansatzunk egy állandó együtthatójú differenciálegyenlethez, ebben az esetben csak a második derivált lehet nulla. Kétszer integráljuk, és megkapjuk a kívánt kifejezést v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Ekkor egy állandó együtthatós differenciálegyenlet általános megoldása, ha a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van, a következő formában írható fel. A kényelem kedvéért ne feledje, hogy a lineáris függetlenség eléréséhez elegendő a második tagot egyszerűen megszorozni x (\displaystyle x). Ez a megoldáskészlet lineárisan független, így ennek az egyenletnek minden megoldását megtaláltuk.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Rendeléscsökkentés alkalmazható, ha a megoldás ismert y 1 (x) (\displaystyle y_ (1) (x)), amely megtalálható vagy megadható a problémafelvetésben.
- Formában keresünk megoldást y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))és csatlakoztassa ebbe az egyenletbe:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Mert a y 1 (\displaystyle y_(1)) megoldása a differenciálegyenletre, minden kifejezés -vel v (\displaystyle v) zsugorodnak. Ennek eredményeként megmarad elsőrendű lineáris egyenlet. Hogy ezt tisztábban lássuk, változtassuk meg a változókat w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\jobbra)(\mathrm (d) )x\jobbra))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Ha az integrálok kiszámíthatók, akkor az általános megoldást elemi függvények kombinációjaként kapjuk. Ellenkező esetben a megoldás integrált formában hagyható.
Cauchy-Euler egyenlet. A Cauchy-Euler egyenlet egy példa egy másodrendű differenciálegyenletre változók együtthatók, aminek pontos megoldásai vannak. Ezt az egyenletet a gyakorlatban például a Laplace-egyenlet gömbkoordinátákban történő megoldására használják.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Karakterisztikus egyenlet. Mint látható, ebben a differenciálegyenletben minden tag tartalmaz egy teljesítménytényezőt, amelynek mértéke megegyezik a megfelelő derivált sorrendjével.
- Így meg lehet próbálni a formában keresni a megoldást y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) hol kell meghatározni n (\displaystyle n), mint ahogy exponenciális függvény formájában kerestünk megoldást egy állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletre. A differenciálás és helyettesítés után azt kapjuk
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\megjelenítési stílus x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- A karakterisztikus egyenlet használatához azt kell feltételeznünk x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Pont x = 0 (\displaystyle x=0) hívott szabályos szinguláris pont differenciálegyenlet. Az ilyen pontok fontosak a differenciálegyenletek hatványsoros megoldásánál. Ennek az egyenletnek két gyöke van, amelyek lehetnek különbözőek és valósak, többszörösek vagy összetettek.
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)
Két különböző valódi gyökér. Ha a gyökerek n ± (\displaystyle n_(\pm )) valós és különböző, akkor a differenciálegyenlet megoldása a következő alakú:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\megjelenítési stílus y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Két összetett gyökér. Ha a karakterisztikus egyenletnek gyökei vannak n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), a megoldás egy összetett függvény.
- Ahhoz, hogy a megoldást valós függvénnyel alakítsuk át, megváltoztatjuk a változókat x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) vagyis t = ln ⁡ x , (\megjelenítési stílus t=\ln x,)és használja az Euler-képletet. Hasonló műveleteket hajtottak végre korábban tetszőleges állandók meghatározásakor.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Ekkor az általános megoldás így írható fel
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Több gyökér. Egy második lineárisan független megoldás eléréséhez ismét csökkenteni kell a sorrendet.
- Elég sok számítást igényel, de az elv ugyanaz: helyettesítjük y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) egy egyenletbe, amelynek első megoldása az y 1 (\displaystyle y_(1)). A redukciók után a következő egyenletet kapjuk:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Ez egy elsőrendű lineáris egyenlet ehhez képest v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Az ő megoldása az v (x) = c 1 + c 2 ln⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Így a megoldás a következő formában írható fel. Nagyon könnyű megjegyezni – a második lineárisan független megoldáshoz csak egy további kifejezésre van szükség ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\megjelenítési stílus y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Inhomogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. A nemhomogén egyenleteknek van alakja L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) ahol f (x) (\displaystyle f(x))- ún ingyenes tag. A differenciálegyenletek elmélete szerint ennek az egyenletnek az általános megoldása egy szuperpozíció magándöntés y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))és kiegészítő megoldás y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) A konkrét megoldás azonban ebben az esetben nem a kezdeti feltételek által adott megoldást jelenti, hanem inkább az inhomogenitás (szabad kifejezés) jelenlétéből adódó megoldást. A komplementer megoldás a megfelelő homogén egyenlet megoldása, amelyben f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Az általános megoldás e két megoldás szuperpozíciója, hiszen L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), és azóta L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) az ilyen szuperpozíció valóban általános megoldás.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
A határozatlan együtthatók módszere. A határozatlan együtthatók módszerét olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a szabad tag exponenciális, trigonometrikus, hiperbolikus vagy hatványfüggvények kombinációja. Csak ezeknek a függvényeknek garantáltan véges számú lineárisan független deriváltjuk van. Ebben a részben az egyenletre egy sajátos megoldást találunk.
- Hasonlítsa össze a kifejezéseket f (x) (\displaystyle f(x)) a konstans tényezők figyelmen kívül hagyásával járó kifejezésekkel. Három eset lehetséges.
  - Nincsenek egyforma tagok. Ebben az esetben egy speciális megoldás y p (\displaystyle y_(p)) a kifejezések lineáris kombinációja lesz y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) tagot tartalmaz x n (\displaystyle x^(n)) és egy tagja y c , (\displaystyle y_(c),) ahol n (\displaystyle n) nulla vagy pozitív egész szám, és ez a tag a karakterisztikus egyenlet egyetlen gyökének felel meg. Ebben az esetben y p (\displaystyle y_(p)) függvény kombinációjából fog állni x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) lineárisan független származékai, valamint egyéb kifejezései f (x) (\displaystyle f(x))és ezek lineárisan független származékai.
  - f (x) (\displaystyle f(x)) tagot tartalmaz h (x) , (\displaystyle h(x),) ami egy mű x n (\displaystyle x^(n)) és egy tagja y c , (\displaystyle y_(c),) ahol n (\displaystyle n) egyenlő 0-val vagy pozitív egész számmal, és ez a kifejezés megfelel a többszörös a karakterisztikus egyenlet gyöke. Ebben az esetben y p (\displaystyle y_(p)) a függvény lineáris kombinációja x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(ahol s (\displaystyle s)- a gyök többszörössége) és lineárisan független származékai, valamint a függvény többi tagja f (x) (\displaystyle f(x))és lineárisan független származékai.
- Írjuk fel y p (\displaystyle y_(p)) a fenti kifejezések lineáris kombinációjaként. Ezen együtthatók lineáris kombinációja miatt ezt a módszert "határozatlan együtthatók módszerének" nevezik. A benne foglaltak megjelenése után y c (\displaystyle y_(c)) tagjaik eldobhatók tetszőleges állandók jelenléte miatt y c . (\displaystyle y_(c).) Utána cserélünk y p (\displaystyle y_(p)) egyenletbe, és hasonló kifejezéseket egyenlővé tenni.
- Meghatározzuk az együtthatókat. Ebben a szakaszban egy algebrai egyenletrendszert kapunk, amely általában különösebb probléma nélkül megoldható. Ennek a rendszernek a megoldása lehetővé teszi a megszerzését y p (\displaystyle y_(p))és ezzel oldja meg az egyenletet.
- 2.3. példa. Tekintsünk egy inhomogén differenciálegyenletet, amelynek szabad tagja véges számú lineárisan független derivált van. Egy ilyen egyenlet sajátos megoldását a határozatlan együtthatók módszerével találhatjuk meg.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
  - y p (t) = Ae 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\megjelenítési stílus y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(igazítva)))
  - ( 9 A + 6 A = 2, A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1, B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0, C = 0 (\displaystyle (\begin(esetek)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ vége(esetek)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Lagrange módszer. A Lagrange-módszer, vagy tetszőleges állandók variációs módszere egy általánosabb módszer inhomogén differenciálegyenletek megoldására, különösen olyan esetekben, amikor a szabad tag nem tartalmaz véges számú lineárisan független derivált. Például ingyenes tagokkal tan⁡ x (\displaystyle \tan x) vagy x − n (\displaystyle x^(-n)) egy adott megoldás megtalálásához a Lagrange-módszert kell használni. A Lagrange módszerrel akár változó együtthatós differenciálegyenletek is megoldhatók, bár ebben az esetben a Cauchy-Euler egyenletet leszámítva ritkábban alkalmazzák, mivel a kiegészítő megoldás általában nem elemi függvényekkel fejeződik ki.
- Tegyük fel, hogy a megoldás alakja a következő. Származékát a második sorban adjuk meg.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\megjelenítési stílus y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Mivel a javasolt megoldás tartalmazza két ismeretlen mennyiségeket kell előírni továbbiállapot. Ezt a kiegészítő feltételt a következő formában választjuk ki:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Most megkaphatjuk a második egyenletet. A tagok helyettesítése és újraelosztása után csoportosíthatja a tagokat v1 (\displaystyle v_(1))és tagjai a v2 (\displaystyle v_(2)). Ezeket a feltételeket töröljük, mert y 1 (\displaystyle y_(1))és y 2 (\displaystyle y_(2)) a megfelelő homogén egyenlet megoldásai. Ennek eredményeként a következő egyenletrendszert kapjuk
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(igazítva)))
- Ez a rendszer átalakítható mátrix egyenletté A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) amelynek megoldása az x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Mátrixhoz 2 × 2 (\displaystyle 2\x 2) az inverz mátrixot a determinánssal való osztással, az átlós elemek permutálásával és az átlón kívüli elemek előjelének megfordításával találjuk meg. Valójában ennek a mátrixnak a meghatározója egy Wronski-féle.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmátrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmátrix)))
- Kifejezések a v1 (\displaystyle v_(1))és v2 (\displaystyle v_(2)) alább soroljuk fel. Akárcsak a sorrendcsökkentési módszernél, ebben az esetben is megjelenik egy tetszőleges állandó az integráció során, amely a differenciálegyenlet általános megoldásában egy további megoldást is tartalmaz.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
A National Open University Intuit előadása "N-edrendű lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal".

Gyakorlati használat

A differenciálegyenletek kapcsolatot hoznak létre egy függvény és egy vagy több deriváltja között. Mivel az ilyen összefüggések olyan gyakoriak, a differenciálegyenletek széles körben alkalmazhatók számos területen, és mivel négy dimenzióban élünk, ezek az egyenletek gyakran differenciálegyenletek. magán származékai. Ez a rész az ilyen típusú legfontosabb egyenleteket tárgyalja.

Exponenciális növekedés és hanyatlás. radioaktív bomlás. Kamatos kamat. A kémiai reakciók sebessége. A gyógyszerek koncentrációja a vérben. Korlátlan népességnövekedés. Newton-Richmann törvény. A való világban sok olyan rendszer létezik, amelyben a növekedés vagy hanyatlás üteme egy adott időpontban arányos az akkori mennyiséggel, vagy jól közelíthető egy modellel. Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása, az exponenciális függvény ugyanis az egyik legfontosabb függvény a matematikában és más tudományokban. Általánosabban, szabályozott népességnövekedés mellett a rendszer további kifejezéseket is tartalmazhat, amelyek korlátozzák a növekedést. Az alábbi egyenletben az állandó k (\displaystyle k) lehet nagyobb vagy kisebb nullánál.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Harmonikus rezgések. Mind a klasszikus, mind a kvantummechanikában a harmonikus oszcillátor az egyik legfontosabb fizikai rendszer, mivel egyszerűsége és széleskörű alkalmazása bonyolultabb rendszerek, például egyszerű inga közelítésében. A klasszikus mechanikában a harmonikus rezgéseket egy egyenlet írja le, amely az anyagi pont helyzetét a gyorsulásához köti a Hooke-törvény alapján. Ebben az esetben a csillapítás és a hajtóerő is figyelembe vehető. Az alábbi kifejezésben x ˙ (\displaystyle (\pont (x)))- idő deriváltja x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) olyan paraméter, amely leírja a csillapító erőt, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- a rendszer szögfrekvenciája, F (t) (\displaystyle F(t)) időfüggő hajtóerő. A harmonikus oszcillátor jelen van az elektromágneses oszcillációs áramkörökben is, ahol nagyobb pontossággal valósítható meg, mint a mechanikus rendszerekben.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\pont (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Bessel-egyenlet. A Bessel-differenciálegyenletet a fizika számos területén használják, beleértve a hullámegyenlet, a Laplace-egyenlet és a Schrödinger-egyenlet megoldását is, különösen henger- vagy gömbszimmetria jelenlétében. Ez a változó együtthatós másodrendű differenciálegyenlet nem Cauchy-Euler egyenlet, így megoldásai nem írhatók fel elemi függvényként. A Bessel-egyenlet megoldásai a Bessel-függvények, amelyek jól tanulmányozottak, mivel számos területen használatosak. Az alábbi kifejezésben α (\displaystyle \alpha ) egy konstans, amely megegyezik rendelés Bessel-függvények.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Maxwell-egyenletek. A Lorentz-erő mellett a Maxwell-egyenletek képezik a klasszikus elektrodinamika alapját. Ez négy parciális differenciálegyenlet az elektromosság számára E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))és mágneses B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) mezőket. Az alábbi kifejezésekben ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- töltéssűrűség, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) az áramsűrűség, és ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))és μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) az elektromos, illetve a mágneses állandók.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\c)\dotnabla(igazítva) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(igazított)))
Schrödinger egyenlet. A kvantummechanikában a Schrödinger-egyenlet a mozgás alapegyenlete, amely leírja a részecskék mozgását a hullámfüggvény változásának megfelelően Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) idővel. A mozgásegyenletet a viselkedés írja le Hamiltoni H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operátor, amely a rendszer energiáját írja le. A Schrödinger-egyenlet egyik jól ismert példája a fizikában az egy nem relativisztikus részecske egyenlete, amely potenciálnak van kitéve. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Sok rendszert az időfüggő Schrödinger-egyenlet ír le, a bal oldalon lévő egyenlettel E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) ahol E (\displaystyle E) a részecske energiája. Az alábbi kifejezésekben ℏ (\displaystyle \hbar ) a redukált Planck-állandó.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\jobbra)\Psi )
hullámegyenlet. A fizikát és a technológiát nem lehet elképzelni hullámok nélkül, ezek minden típusú rendszerben jelen vannak. Általában a hullámokat az alábbi egyenlet írja le, amelyben u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) a kívánt funkció, és c (\displaystyle c)- kísérletileg meghatározott állandó. d'Alembert volt az első, aki felfedezte, hogy az egydimenziós esetre a hullámegyenlet megoldása Bármi függvény argumentummal x − c t (\displaystyle x-ct), amely egy tetszőleges, jobbra terjedő hullámot ír le. Az egydimenziós eset általános megoldása ennek a függvénynek a lineáris kombinációja egy argumentummal rendelkező második függvényrel x + c t (\displaystyle x+ct), amely egy balra terjedő hullámot ír le. Ezt a megoldást a második sorban mutatjuk be.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x, t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\megjelenítési stílus u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Navier-Stokes egyenletek. A Navier-Stokes egyenletek a folyadékok mozgását írják le. Mivel a folyadékok a tudomány és a technológia szinte minden területén jelen vannak, ezek az egyenletek rendkívül fontosak az időjárás előrejelzése, a repülőgépek tervezése, az óceáni áramlatok és sok más alkalmazás szempontjából. A Navier-Stokes egyenletek nemlineáris parciális differenciálegyenletek, és a legtöbb esetben nagyon nehéz megoldani őket, mivel a nemlinearitás turbulenciához vezet, és a stabil megoldás elérése érdekében numerikus módszerekkel, nagyon kis részekre osztva. cellákra van szükség, ami jelentős számítási teljesítményt igényel. A hidrodinamika gyakorlati céljaira a turbulens áramlások modellezésére olyan módszereket alkalmaznak, mint az időátlagolás. A még alapvetőbb kérdések, mint például a nemlineáris parciális differenciálegyenletek megoldásainak megléte és egyedisége összetett problémák, és a Navier-Stokes egyenletek megoldásainak háromdimenziós létezésének és egyediségének bizonyítása az ezredforduló matematikai problémái közé tartozik. . Az alábbiakban látható az összenyomhatatlan folyadékáramlás egyenlete és a folytonossági egyenlet.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)bf )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Sok differenciálegyenlet egyszerűen nem oldható meg a fenti módszerekkel, különösen az utolsó részben említettekkel. Ez akkor érvényes, ha az egyenlet változó együtthatókat tartalmaz, és nem Cauchy-Euler egyenlet, vagy ha az egyenlet nemlineáris, kivéve néhány nagyon ritka esetet. A fenti módszerek azonban lehetővé teszik számos fontos differenciálegyenlet megoldását, amelyek gyakran előfordulnak a tudomány különböző területein.
A differenciálással ellentétben, amely lehetővé teszi bármely függvény deriváltjának megtalálását, sok kifejezés integrálja nem fejezhető ki elemi függvényekben. Ezért ne pazarolja az időt az integrál kiszámítására ott, ahol ez lehetetlen. Nézd meg az integrálok táblázatát. Ha egy differenciálegyenlet megoldása nem fejezhető ki elemi függvényekkel, akkor néha integrál formában is ábrázolható, és ebben az esetben nem mindegy, hogy ez az integrál analitikusan kiszámítható-e.

Figyelmeztetések

Megjelenés a differenciálegyenlet félrevezető lehet. Az alábbiakban például két elsőrendű differenciálegyenlet látható. Az első egyenlet könnyen megoldható a cikkben leírt módszerekkel. Első ránézésre kisebb változás y (\displaystyle y) a y 2 (\displaystyle y^(2)) a második egyenletben nemlineárissá teszi, és nagyon nehéz lesz megoldani.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Az első sorrendet, amelynek szabványos alakja $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, ahol a $P\left(x\right)$ egy folytonos függvény, lineáris homogénnek nevezzük. A "lineáris" elnevezés azzal magyarázható, hogy az ismeretlen $y$ függvény és első deriváltja $y"$ lineárisan, azaz első fokon lép be az egyenletbe. A "homogén" elnevezés azzal magyarázható, hogy a nulla az egyenlet jobb oldalán található.

Egy ilyen differenciálegyenlet a változók szétválasztási módszerével oldható meg. Jelentsük meg a szabványos metódusformában: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, ahol $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right) $ és $f_(2) \left(y\right)=y$.

Számítsuk ki a $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $ integrált.

Számítsa ki a $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right| $ .

Végezzük el az átalakításokat:

A logaritmus definíciójával a következőt kapjuk: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Ez az egyenlőség pedig megegyezik a következővel: $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Egy tetszőleges $C=\pm C_(1) $ konstans helyettesítésével megkapjuk a lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

A $f_(2) \left(y\right)=y=0$ egyenlet megoldásával speciális megoldásokat találunk. Egy egyszerű ellenőrzéssel megbizonyosodunk arról, hogy a $y=0$ függvény az adott differenciálegyenlet speciális megoldása.

Ugyanezt a megoldást azonban megkaphatjuk a $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ általános megoldásból is, ha beállítjuk benne a $C=0$ értéket.

Tehát a végeredmény: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenlet megoldásának általános módszere a következő algoritmusként ábrázolható:

Ennek az egyenletnek a megoldásához először a $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ metódus szabványos alakjában kell ábrázolni. Ha ez nem sikerült, akkor ezt a differenciálegyenletet meg kell oldani másik módszer.
Számítsa ki a $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $ integrált.
Az általános megoldást a következőképpen írjuk fel: $y=C\cdot e^(-I) $, és szükség esetén egyszerűsítő transzformációkat hajtunk végre.

1. feladat

Keresse meg a $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$ differenciálegyenlet általános megoldását.

Van egy lineáris homogén elsőrendű egyenletünk szabványos formában, amelyre $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Számítsa ki a $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ integrált.

Az általános megoldás: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Lineáris inhomogén elsőrendű differenciálegyenletek

Meghatározás

Egy elsőrendű differenciálegyenlet, amely szabványos formában ábrázolható: $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, ahol $P\left(x\right) $ és $ Q\left(x\right)$ -- ismert folytonos függvények, lineáris inhomogén differenciálegyenletnek nevezzük. Az "inhomogén" elnevezést az magyarázza, hogy a differenciálegyenlet jobb oldala nem nulla.

Egy összetett lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldása két egyszerűbb differenciálegyenlet megoldására redukálható. Ehhez a kívánt $y$ függvényt le kell cserélni két $u$ és $v$ segédfüggvény szorzatára, azaz rakjuk be $y=u\cdot v$.

Megkülönböztetjük az elfogadott helyettesítést: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. A kapott kifejezést behelyettesítjük ebbe a differenciálegyenletbe: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ vagy $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ right] =Q\left(x\right)$.

Vegye figyelembe, hogy ha a $y=u\cdot v$ elfogadásra kerül, akkor az egyik segédfüggvény tetszőlegesen kiválasztható a $u\cdot v$ szorzat részeként. Válasszunk egy $v$ segédfüggvényt, így a szögletes zárójelben lévő kifejezés eltűnik. Ehhez elegendő a $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ differenciálegyenletet megoldani a $v$ függvényre vonatkozóan, és kiválasztani a legegyszerűbb konkrét megoldás $v=v\left(x \right)$ nem nulla. Ez a differenciálegyenlet lineárisan homogén, és a fenti módszerrel oldható meg.

A kapott $v=v\left(x\right)$ megoldást behelyettesítjük ebbe a differenciálegyenletbe, figyelembe véve, hogy most a szögletes zárójelben lévő kifejezés nulla, és kapunk még egy differenciálegyenletet, de most a $u$ segédfüggvényhez képest: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Ez a differenciálegyenlet a következőképpen ábrázolható: $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, ami után nyilvánvalóvá válik, hogy elfogad egy közvetlen integráció. Ehhez a differenciálegyenlethez általános megoldást kell találni $u=u\left(x,\; C\right)$ formában.

Most ennek az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldását $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ formában találhatjuk meg.

Az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldásának általános módszere a következő algoritmussal ábrázolható:

Az egyenlet megoldásához először a $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ metódus szabványos alakjában kell ábrázolni. Ha ez nem sikerül, akkor ezt a differenciálegyenletet más módszerrel kell megoldani.
Számítsa ki a $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $ integrált, írja be az adott megoldást: $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, hajtson végre egyszerűsítő átalakításokat, és válassza ki a legegyszerűbb, nem nulla változatot a $v\left(x\right)$ számára.
Kiszámítjuk a $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ integrált, ami után a kifejezést $u\left alakban írjuk (x, C\jobbra)=I_(2) +C$.
Ennek a lineáris inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldását $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ alakban írjuk fel, és szükség esetén egyszerűsítő transzformációkat hajtunk végre.

2. feladat

Keresse meg a $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$ differenciálegyenlet általános megoldását.

Van egy lineáris inhomogén elsőrendű egyenletünk szabványos formában, amelyre $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ és $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Számítsa ki a $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| integrált. $.

Egy adott megoldást $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ alakban írunk, és egyszerűsítő átalakításokat hajtunk végre: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ jobb|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. A $v\left(x\right)$-hoz a legegyszerűbb, nullától eltérő változatot választjuk: $v\left(x\right)=x$.

A $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) integrál kiszámítása \ cdot dx=3\cdot x $.

Felírjuk a $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ kifejezést.

Végül felírjuk ennek a lineáris inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldását $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, azaz $y=\left(3\) alakban. cdot x+C \jobbra)\cdot x$.

Úgy gondolom, hogy egy olyan dicsőséges matematikai eszköz történetével kellene kezdenünk, mint a differenciálegyenletek. Mint minden differenciál- és integrálszámítást, ezeket az egyenleteket is Newton találta ki a 17. század végén. Éppen ezt a felfedezését annyira fontosnak tartotta, hogy még titkosította is az üzenetet, amit ma valahogy így lehet fordítani: "A természet minden törvényét differenciálegyenletek írják le." Ez túlzásnak tűnhet, de igaz. A fizika, a kémia, a biológia bármely törvénye leírható ezekkel az egyenletekkel.

A differenciálegyenletek elméletének kidolgozásához és megalkotásához Euler és Lagrange matematikusok hatalmas hozzájárulást tettek. Már a 18. században felfedezték és továbbfejlesztették azt, amit most az egyetemek felső tagozatain tanulnak.

Henri Poincare-nek köszönhetően új mérföldkő kezdődött a differenciálegyenletek tanulmányozásában. Megalkotta a "differenciálegyenletek kvalitatív elméletét", amely egy összetett változó függvényelméletével kombinálva jelentősen hozzájárult a topológia - a tér és tulajdonságai tudományának - megalapozásához.

Mik azok a differenciálegyenletek?

Sokan félnek egy-egy mondattól, de ebben a cikkben részletezzük ennek a nagyon hasznos matematikai apparátusnak a lényegét, amely valójában nem is olyan bonyolult, mint ahogy a névből látszik. Ahhoz, hogy elsőrendű differenciálegyenletekről kezdjen beszélni, először meg kell ismerkednie azokkal az alapfogalmakkal, amelyek eredendően kapcsolódnak ehhez a meghatározáshoz. Kezdjük a differenciálművel.

Differenciális

Sokan ismerik ezt a fogalmat az iskolából. Nézzük azonban meg közelebbről. Képzeljünk el egy függvény grafikonját. Annyira növelhetjük, hogy bármelyik szakasza egyenes alakot öltsön. Két pontot veszünk rajta, amelyek végtelenül közel vannak egymáshoz. A koordinátáik (x vagy y) közötti különbség végtelenül kicsi. Differenciálnak nevezik, és a dy (különbség az y-tól) és a dx (különbség az x-től) előjelekkel jelöljük. Nagyon fontos megérteni, hogy a differenciál nem véges érték, és ez a jelentése és a fő funkciója.

És most figyelembe kell venni a következő elemet, amely hasznos lesz számunkra a differenciálegyenlet fogalmának magyarázatában. Ez egy származék.

Derivált

Valószínűleg mindannyian hallottuk ezt a fogalmat az iskolában. A derivált egy függvény növekedésének vagy csökkenésének sebességét jelenti. A meghatározás nagy része azonban érthetetlenné válik. Próbáljuk megmagyarázni a derivált differenciálokkal. Térjünk vissza egy függvény végtelen kis szegmensére, amelynek két pontja van egymástól minimális távolságra. De még ennél a távolságnál is sikerül némileg megváltoznia a funkciónak. És ennek a változásnak a leírására egy deriválttal álltak elő, amely egyébként a differenciálok arányaként írható fel: f (x) "=df / dx.

Most érdemes átgondolni a derivált alapvető tulajdonságait. Csak három van belőlük:

Az összeg vagy különbség deriváltja a következő deriváltak összegeként vagy különbségeként ábrázolható: (a+b)"=a"+b" és (a-b)"=a"-b.
A második tulajdonság a szorzáshoz kapcsolódik. Egy szorzat deriváltja az egyik függvény szorzatának és egy másik függvény deriváltjának összege: (a*b)"=a"*b+a*b".
A különbség deriváltja a következő egyenlőségként írható fel: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Mindezek a tulajdonságok hasznosak lesznek az elsőrendű differenciálegyenletek megoldásához.

Vannak részleges származékok is. Tegyük fel, hogy van egy z függvényünk, amely x és y változóktól függ. Ahhoz, hogy kiszámítsuk ennek a függvénynek a parciális deriváltját, mondjuk x vonatkozásában, az y változót állandónak kell vennünk, és egyszerűen differenciálni kell.

Integrál

Egy másik fontos fogalom az integrál. Valójában ez a származék egyenes ellentéte. Többféle integrál létezik, de a legegyszerűbb differenciálegyenletek megoldásához szükségünk van a legtriviálisabbra.

Tegyük fel, hogy f függése van x-től. Kivesszük belőle az integrált, és megkapjuk az F (x) függvényt (gyakran antideriváltnak is nevezik), amelynek deriváltja megegyezik az eredeti függvénnyel. Így F(x)"=f(x). Ebből az is következik, hogy a derivált integrálja egyenlő az eredeti függvénnyel.

A differenciálegyenletek megoldása során nagyon fontos megérteni az integrál jelentését és funkcióját, mivel ezeket nagyon gyakran át kell venni a megoldáshoz.

Az egyenletek természetüktől függően eltérőek. A következő részben megvizsgáljuk az elsőrendű differenciálegyenletek típusait, majd megtanuljuk a megoldásukat.

Differenciálegyenletek osztályai

A "diffurákat" a bennük lévő származékok sorrendje szerint osztják fel. Így van az első, második, harmadik és több sorrend. Több osztályba is oszthatók: közönséges és részleges származékokra.

Ebben a cikkben az elsőrendű közönséges differenciálegyenleteket fogjuk megvizsgálni. A következő részekben példákat és megoldási módokat is tárgyalunk. Csak az ODE-ket fogjuk figyelembe venni, mivel ezek a leggyakoribb egyenlettípusok. A közönséges alfajokra oszthatók: elválasztható változókkal, homogénekre és heterogénekre. Ezután megtudhatja, hogy ezek miben különböznek egymástól, és megtanulja megoldani őket.

Ezen túlmenően ezek az egyenletek kombinálhatók, így azután egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk. Megfontoljuk az ilyen rendszereket is, és megtanuljuk megoldani őket.

Miért csak az első rendelést vesszük figyelembe? Mert egy egyszerűvel kell kezdeni, és egyszerűen lehetetlen mindent leírni, ami a differenciálegyenletekkel kapcsolatos egy cikkben.

Elválasztható változó egyenletek

Ezek talán a legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek. Ilyenek például a következőképpen írható példák: y "=f (x) * f (y). Ennek az egyenletnek a megoldásához szükségünk van egy képletre, amely a derivált differenciálarányként ábrázolja: y" = dy / dx. Használatával a következő egyenletet kapjuk: dy/dx=f(x)*f(y). Most rátérhetünk a szabványos példák megoldásának módszerére: a változókat részekre bontjuk, vagyis az y változóval mindent átviszünk arra a részre, ahol dy található, és ugyanezt tesszük az x változóval. Egy dy/f(y)=f(x)dx alakú egyenletet kapunk, amelyet mindkét rész integráljának felvételével oldunk meg. Ne feledkezzünk meg az állandóról, amelyet az integrál felvétele után kell beállítani.

Bármilyen "diffurance" megoldása az x y-tól való függésének függvénye (esetünkben), vagy ha van numerikus feltétel, akkor a válasz szám formájában. Nézzük meg a teljes megoldást egy konkrét példa segítségével:

A változókat különböző irányokba visszük át:

Most integrálókat vesszük. Mindegyik megtalálható egy speciális integráltáblázatban. És kapunk:

log(y) = -2*cos(x) + C

Ha szükséges, kifejezhetjük az "y"-t "x" függvényében. Most már azt mondhatjuk, hogy a differenciálegyenletünk megoldott, ha nem adunk feltételt. Feltétel megadható, például y(n/2)=e. Ezután egyszerűen behelyettesítjük ezeknek a változóknak az értékét a megoldásba, és megkeressük az állandó értékét. Példánkban ez egyenlő 1-gyel.

Elsőrendű homogén differenciálegyenletek

Most térjünk át a nehezebb részre. Az elsőrendű homogén differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y "= z (x, y). Megjegyzendő, hogy két változó jobb oldali függvénye homogén, és nem osztható két függőségre : z x-en és z y-n. Ellenőrizzük, hogy az egyenlet homogén-e vagy sem, elég egyszerű: behelyettesítjük az x=k*x-et és az y=k*y-t. Most töröljük az összes k-t.Ha ezeket a betűket csökkentettük , akkor az egyenlet homogén, és nyugodtan folytathatja a megoldását. Előretekintve mondjuk: ezeknek a példáknak a megoldásának elve is nagyon egyszerű.

Cserélnünk kell: y=t(x)*x, ahol t valamilyen függvény, amely szintén x-től függ. Ekkor ki tudjuk fejezni a deriváltot: y"=t"(x)*x+t. Mindezt az eredeti egyenletünkbe behelyettesítve és leegyszerűsítve kapunk egy példát t és x elválasztható változókkal. Megoldjuk és megkapjuk a t(x) függést. Amikor megkaptuk, egyszerűen behelyettesítjük az y=t(x)*x-et az előző helyettesítésünkbe. Ekkor megkapjuk y függőségét x-től.

Hogy érthetőbb legyen, nézzünk egy példát: x*y"=y-x*e y/x .

Ha cserével ellenőrizzük, minden csökken. Tehát az egyenlet valóban homogén. Most egy másik cserét hajtunk végre, amiről már beszéltünk: y=t(x)*x és y"=t"(x)*x+t(x). Egyszerűsítés után a következő egyenletet kapjuk: t "(x) * x \u003d -e t. Az eredményül kapott példát elválasztott változókkal oldjuk meg, és a következőt kapjuk: e -t \u003dln (C * x). Csak t kell helyettesítenünk y / x-szel (mert ha y \u003d t * x, akkor t \u003d y / x), és megkapjuk a választ: e -y / x \u003d ln (x * C).

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Ideje egy másik átfogó témára gondolni. Az elsőrendű inhomogén differenciálegyenleteket elemezzük. Miben különböznek az előző kettőtől? Találjuk ki. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y " + g (x) * y \u003d z (x). Érdemes tisztázni, hogy z (x) és g (x) állandó értékek lehetnek .

És most egy példa: y" - y*x=x 2 .

A megoldásnak két módja van, és mindkettőt sorban elemezzük. Az első a tetszőleges állandók variációjának módszere.

Az egyenlet ily módon történő megoldásához először a jobb oldalt kell egyenlővé tenni nullával, és meg kell oldani a kapott egyenletet, amely az alkatrészek átvitele után a következő alakot ölti:

ln|y|=x2/2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C = C 1 * e x2 / 2.

Most a C 1 konstanst le kell cserélnünk a v(x) függvényre, amit meg kell találnunk.

Változtassuk meg a származékot:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket az eredeti egyenletbe:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Látható, hogy a bal oldalon két kifejezés törölve van. Ha valamelyik példában ez nem történt meg, akkor valamit rosszul csináltál. Folytassuk:

v"*e x2/2 = x 2 .

Most megoldjuk a szokásos egyenletet, amelyben el kell különítenünk a változókat:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Az integrál kinyeréséhez itt részenkénti integrációt kell alkalmaznunk. Cikkünknek azonban nem ez a témája. Ha érdekli, megtanulhatja, hogyan hajtson végre ilyen műveleteket saját maga. Nem nehéz, és kellő hozzáértéssel és odafigyeléssel nem sok időt vesz igénybe.

Térjünk át az inhomogén egyenletek megoldásának második módszerére: a Bernoulli-módszerre. Az Önön múlik, hogy melyik módszer a gyorsabb és egyszerűbb.

Tehát, amikor az egyenletet ezzel a módszerrel oldjuk meg, be kell cserélnünk: y=k*n. Itt k és n néhány x-függő függvény. Ekkor a derivált így fog kinézni: y"=k"*n+k*n". Mindkét helyettesítést behelyettesítjük az egyenletbe:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Csoportosítás:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Most nullával kell egyenlővé tenni a zárójelben lévőt. Most, ha a két eredményül kapott egyenletet összevonjuk, egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk, amelyet meg kell oldani:

Az első egyenlőséget közönséges egyenletként oldjuk meg. Ehhez el kell választani a változókat:

Vegyük az integrált és kapjuk: ln(n)=x 2 /2. Akkor, ha n-t fejezünk ki:

Most behelyettesítjük a kapott egyenlőséget a rendszer második egyenletébe:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

És átalakítva ugyanazt az egyenlőséget kapjuk, mint az első módszernél:

dk=x 2 /e x2/2 .

A további intézkedéseket sem elemezzük. Érdemes elmondani, hogy eleinte az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása okoz jelentős nehézségeket. A témában mélyebb elmélyüléssel azonban kezd egyre jobb lenni.

Hol használják a differenciálegyenleteket?

A differenciálegyenleteket nagyon aktívan használják a fizikában, mivel szinte az összes alapvető törvényt differenciál formában írják le, és a képletek, amelyeket látunk, ezeknek az egyenleteknek a megoldásai. A kémiában ugyanebből az okból használják őket: alaptörvények származnak belőlük. A biológiában differenciálegyenleteket használnak a rendszerek, például a ragadozó-zsákmány viselkedésének modellezésére. Használhatók például egy mikroorganizmus kolónia reprodukciós modelljeinek létrehozására is.

Hogyan segítenek a differenciálegyenletek az életben?

A válasz erre a kérdésre egyszerű: semmi esetre sem. Ha nem vagy tudós vagy mérnök, akkor valószínűleg nem lesznek hasznosak az Ön számára. Az általános fejlesztéshez azonban nem árt tudni, hogy mi az a differenciálegyenlet, és hogyan kell megoldani. És akkor a fia vagy lánya kérdése: "Mi az a differenciálegyenlet?" nem fog összezavarni. Nos, ha Ön tudós vagy mérnök, akkor maga is megérti ennek a témának a jelentőségét bármely tudományban. De a legfontosabb dolog az, hogy most az a kérdés, hogy "hogyan lehet megoldani egy elsőrendű differenciálegyenletet?" mindig válaszolhatsz. Egyetértek, mindig jó, ha megérted azt, amit az emberek félnek megérteni.

A tanulás fő problémái

A téma megértésében a fő probléma a funkciók integrálásának és megkülönböztetésének gyenge készsége. Ha nem jó a deriváltak és integrálok felvételében, akkor valószínűleg érdemes többet tanulni, elsajátítani az integráció és a differenciálás különböző módszereit, és csak ezután folytassa a cikkben leírt anyag tanulmányozását.

Vannak, akik meglepődnek, amikor megtudják, hogy a dx átvihető, mert korábban (az iskolában) azt mondták, hogy a dy / dx tört oszthatatlan. Itt el kell olvasnia a származékkal kapcsolatos irodalmat, és meg kell értenie, hogy az egyenletek megoldása során az infinitezimális mennyiségek aránya manipulálható.

Sokan nem veszik észre azonnal, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása gyakran nem felvehető függvény vagy integrál, és ez a téveszme sok gondot okoz.

Mit lehet még tanulmányozni a jobb megértés érdekében?

A differenciálszámítás világában való további elmélyülést célszerű speciális tankönyvekkel kezdeni, például a nem matematikai szakos hallgatók számításáról. Ezután áttérhet a szakirodalomra.

Érdemes elmondani, hogy a differenciálegyenletek mellett vannak integrálegyenletek is, így mindig lesz mire törekedni és tanulni.

Következtetés

Reméljük, hogy a cikk elolvasása után fogalma lesz arról, hogy melyek a differenciálegyenletek, és hogyan kell helyesen megoldani őket.

Mindenesetre a matematika valamilyen módon hasznos számunkra az életben. Fejleszti a logikát és a figyelmet, ami nélkül minden ember olyan, mint kéz nélkül.

Az a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) formájú elsőrendű egyenletet lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Ha b (x) ≡ 0, akkor az egyenletet homogénnek nevezzük, ellenkező esetben - heterogén. Lineáris differenciálegyenlet esetén a létezés és az egyediség tételének konkrétabb formája van.

Szolgálati megbízás. Egy online számológép segítségével ellenőrizhető a megoldás homogén és nem homogén lineáris differenciálegyenletek mint y"+y=b(x) .

A megoldáshoz az eredeti kifejezést a következő alakra kell redukálni: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Például y"-exp(x)=2*y ez lesz y"-2 *y=exp(x) .

Tétel. Legyen a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) folytonos az [α,β] intervallumon, a 1 ≠0 ∀x∈[α,β] esetén. Ekkor bármely (x 0, y 0), x 0 ∈[α,β] pontra van egy egyedi megoldása az egyenletnek, amely kielégíti az y(x 0) = y 0 feltételt, és a teljes [α intervallumon definiálva van. ,β].
Tekintsünk egy homogén lineáris differenciálegyenletet a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
A változókat elválasztva kapjuk a , vagy mindkét részt integrálva, Az utolsó relációt, figyelembe véve az exp(x) = e x jelölést, a formába írjuk

Most próbáljunk megoldást találni az egyenletre a jelzett formában, amelyben a C(x) függvényt C konstans helyett, azaz alakban helyettesítjük.

Ezt a megoldást behelyettesítve az eredeti megoldásba, a szükséges átalakítások után megkapjuk Ez utóbbit integrálva megvan

ahol C 1 valamilyen új állandó. A kapott kifejezést C(x) helyére behelyettesítve végül megkapjuk az eredeti lineáris egyenlet megoldását
.

Példa. Oldjuk meg az y" + 2y = 4x egyenletet. Tekintsük a megfelelő y" + 2y = 0 homogén egyenletet. Megoldva azt kapjuk, hogy y = Ce -2 x. Most az eredeti egyenletre keresünk megoldást y = C(x)e -2 x formában. Ha y és y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor C"(x) = 4xe 2 x, innen C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 és y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x az eredeti egyenlet általános megoldása. ez a megoldás, y 1 ( x) = 2x-1 - a tárgy mozgása erő hatására b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - a tárgy megfelelő mozgása.

2. példa. Határozzuk meg az y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldását.
Ez egy inhomogén egyenlet. Változtassuk meg a változókat: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x vagy u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
A megoldás két lépésből áll:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Egyenlítse u=0-t, keressen megoldást 3v tg(3x)+v" = 0-ra
Képviselje a következő formában: v" = -3v tg(3x)

Integrálva a következőket kapjuk:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. V ismeretében keresse meg u-t a következő feltételből: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Integrálva a következőket kapjuk:
Az y=u v feltételből a következőket kapjuk:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) vagy y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Oktatási intézmény "Fehérorosz Állam

Mezőgazdasági Akadémia"

Felső Matematika Tanszék

ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK

Előadás összefoglaló számvitel hallgatóknak

levelező oktatási forma (NISPO)

Gorki, 2013

Elsőrendű differenciálegyenletek

A differenciálegyenlet fogalma. Általános és speciális megoldások

Különböző jelenségek tanulmányozása során gyakran nem lehet olyan törvényt találni, amely a független változót és a kívánt függvényt közvetlenül összeköti, de a kívánt függvény és származékai között igen.

A független változót, a kívánt függvényt és származékait összekötő relációt nevezzük differenciálegyenlet :

Itt x független változó, y a kívánt funkció,
a kívánt függvény deriváltjai. Ebben az esetben az (1) reláció megköveteli legalább egy derivált jelenlétét.

A differenciálegyenlet sorrendje az egyenlet legmagasabb deriváltjának sorrendje.

Tekintsük a differenciálegyenletet

. (2)

Mivel ez az egyenlet csak elsőrendű deriváltot tartalmaz, ezért ún egy elsőrendű differenciálegyenlet.

Ha a (2) egyenlet a deriváltra nézve megoldható és így írható fel

, (3)

akkor az ilyen egyenletet normál alakú elsőrendű differenciálegyenletnek nevezzük.

Sok esetben célszerű egy alakegyenletet figyelembe venni

amelyet úgy hívnak differenciálformában felírt elsőrendű differenciálegyenlet.

Mert
, akkor a (3) egyenlet így írható fel
vagy
, ahol lehet számolni
és
. Ez azt jelenti, hogy a (3) egyenletet a (4) egyenletté alakítottuk.

A (4) egyenletet a formába írjuk
. Akkor
,
,
, ahol lehet számolni
, azaz egy (3) alakú egyenletet kapunk. Így a (3) és (4) egyenlet ekvivalens.

A differenciálegyenlet megoldásával (2) vagy (3) bármely függvény meghívása
, amely a (2) vagy (3) egyenletbe behelyettesítve azonossággá változtatja:

vagy
.

A differenciálegyenlet összes megoldásának megtalálásának folyamatát nevezzük annak integráció , és a megoldási grafikon
differenciálegyenletnek nevezzük integrálgörbe ezt az egyenletet.

Ha a differenciálegyenlet megoldását implicit formában kapjuk meg
, akkor úgy hívják integrál adott differenciálegyenlet.

Általános megoldás Az elsőrendű differenciálegyenlet az alak függvényeinek családja
, tetszőleges állandótól függően TÓL TŐL, amelyek mindegyike az adott differenciálegyenlet megoldása tetszőleges állandó tetszőleges megengedett értékére TÓL TŐL. Így a differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van.

Magán döntés differenciálegyenletnek nevezzük az általános megoldási képletből kapott megoldást egy tetszőleges állandó meghatározott értékére TÓL TŐL, beleértve
.

A Cauchy-probléma és geometriai értelmezése

A (2) egyenletnek végtelen számú megoldása van. Ahhoz, hogy ebből a halmazból egy megoldást kiemeljünk, amelyet konkrét megoldásnak nevezünk, néhány további feltételt meg kell adni.

A (2) egyenlet adott feltételek melletti megoldásának problémáját nevezzük Cauchy probléma . Ez a probléma az egyik legfontosabb a differenciálegyenletek elméletében.

A Cauchy-probléma a következőképpen fogalmazódik meg: a (2) egyenlet összes megoldása között találjunk olyan megoldást
, amelyben a függvény
adott számértéket vesz fel ha a független változó x adott számértéket vesz fel , azaz

,
, (5)

ahol D a függvény tartománya
.

Jelentése hívott a függvény kezdeti értéke , a – a független változó kezdeti értéke . Az (5) feltételt hívjuk kezdeti állapot vagy Zavaros állapot .

Geometriai szempontból a (2) differenciálegyenletre vonatkozó Cauchy-probléma a következőképpen fogalmazható meg: a (2) egyenlet integrálgörbéinek halmazából válassza ki azt, amelyik átmegy egy adott ponton
.

Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

A differenciálegyenletek egyik legegyszerűbb típusa egy elsőrendű differenciálegyenlet, amely nem tartalmazza a kívánt függvényt:

. (6)

Tekintettel arra
, az egyenletet a formába írjuk
vagy
. Az utolsó egyenlet mindkét oldalát integrálva kapjuk:
vagy

. (7)

Így a (7) a (6) egyenlet általános megoldása.

1. példa . Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
.

Megoldás . Az egyenletet a formába írjuk
vagy
. A kapott egyenlet mindkét részét integráljuk:
,
. Végre írjuk le
.

2. példa . Keress megoldást az egyenletre
azzal a feltétellel
.

Megoldás . Keressük az egyenlet általános megoldását:
,
,
,
. Feltétel szerint
,
. Csere az általános megoldásban:
vagy
. Egy tetszőleges állandó talált értékét behelyettesítjük az általános megoldás képletébe:
. Ez a differenciálegyenletnek az adott feltételt kielégítő sajátos megoldása.

Az egyenlet

(8)

hívott független változót nem tartalmazó elsőrendű differenciálegyenlet . Formába írjuk
vagy
. Az utolsó egyenlet mindkét részét integráljuk:
vagy
- a (8) egyenlet általános megoldása.

Példa . Keress általános megoldást az egyenletre!
.

Megoldás . Ezt az egyenletet a következő formában írjuk fel:
vagy
. Akkor
,
,
,
. Ily módon
ennek az egyenletnek az általános megoldása.

Típusegyenlet

(9)

a változók szétválasztásával integrálva. Ehhez az egyenletet a formába írjuk
, majd a szorzás és osztás műveleteivel olyan alakra hozzuk, hogy az egyik rész csak a függvényt tartalmazza. xés differenciál dx, a második részben pedig - függvénye nál nélés differenciál dy. Ehhez az egyenlet mindkét oldalát meg kell szorozni dxés ossza el vele
. Ennek eredményeként megkapjuk az egyenletet

, (10)

amelyben a változók xés nál nél elválasztott. A (10) egyenlet mindkét részét integráljuk:
. Az eredményül kapott összefüggés a (9) egyenlet általános integrálja.

3. példa . Integrálja az egyenletet
.

Megoldás . Alakítsa át az egyenletet, és válassza szét a változókat:
,
. Integráljunk:
,
vagy ennek az egyenletnek az általános integrálja.
.

Adjuk meg az egyenletet a formában

Az ilyen egyenletet ún elválasztható változókkal rendelkező elsőrendű differenciálegyenlet szimmetrikus formában.

A változók szétválasztásához az egyenlet mindkét oldalát el kell osztani
:

. (12)

A kapott egyenletet ún elválasztott differenciálegyenlet . Integráljuk a (12) egyenletet:

.(13)

A (13) reláció a (11) differenciálegyenlet általános integrálja.

4. példa . Integrálja a differenciálegyenletet.

Megoldás . Az egyenletet a formába írjuk

és mindkét részt felosztjuk
,
. Az eredményül kapott egyenlet:
egy elválasztott változó egyenlet. Integráljuk:

,
,

,
. Az utolsó egyenlőség az adott differenciálegyenlet általános integrálja.

5. példa . Keresse meg egy differenciálegyenlet konkrét megoldását
, megfelel a feltételnek
.

Megoldás . Tekintettel arra
, az egyenletet a formába írjuk
vagy
. Válasszuk szét a változókat:
. Integráljuk ezt az egyenletet:
,
,
. A kapott összefüggés ennek az egyenletnek az általános integrálja. Feltétel szerint
. Helyettesítse be az általános integrált, és keresse meg TÓL TŐL:
,TÓL TŐL=1. Aztán a kifejezés
az adott differenciálegyenlet egy adott megoldása, meghatározott integrálként felírva.

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az egyenlet

(14)

hívott elsőrendű lineáris differenciálegyenlet . ismeretlen funkció
és származéka lineárisan adja meg ezt az egyenletet, és a függvények
és
folyamatos.

Ha egy
, akkor az egyenlet

(15)

hívott lineárisan homogén . Ha egy
, akkor a (14) egyenletet nevezzük lineáris inhomogén .

A (14) egyenlet megoldásához általában azt használjuk helyettesítési módszer (Bernoulli) , melynek lényege a következő.

A (14) egyenlet megoldását két függvény szorzata formájában fogjuk keresni

, (16)

ahol
és
- néhány folyamatos funkció. Helyettes
és származéka
a (14) egyenletbe:

Funkció vúgy lesz kiválasztva, hogy a feltétel
. Akkor
. Így a (14) egyenlet megoldásához meg kell oldani a differenciálegyenlet-rendszert

A rendszer első egyenlete egy lineáris homogén egyenlet, és a változók szétválasztási módszerével oldható meg:
,
,
,
,
. Funkcióként
felvehetjük a homogén egyenlet egyik konkrét megoldását, pl. nál nél TÓL TŐL=1:
. Helyettesítsük be a rendszer második egyenletébe:
vagy
.Akkor
. Így egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános megoldásának alakja van
.

6. példa . oldja meg az egyenletet
.

Megoldás . Az egyenlet megoldását a formában fogjuk keresni
. Akkor
. Helyettesítsd be az egyenletbe:

vagy
. Funkció vúgy válasszon, hogy az egyenlőség
. Akkor
. Az első egyenletet a változók szétválasztásának módszerével oldjuk meg:
,
,
,
,. Funkció v Helyettesítsd be a második egyenletbe:
,
,
,
. Ennek az egyenletnek az általános megoldása az
.

A tudás önkontrollának kérdései

Mi az a differenciálegyenlet?

Mi a differenciálegyenlet sorrendje?

Melyik differenciálegyenletet nevezzük elsőrendű differenciálegyenletnek?

Hogyan írható fel az elsőrendű differenciálegyenlet differenciálformában?

Mi a differenciálegyenlet megoldása?

Mi az integrálgörbe?

Mi az elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása?

Mi a differenciálegyenlet konkrét megoldása?

Hogyan fogalmazódik meg a Cauchy-probléma egy elsőrendű differenciálegyenlethez?

Mi a Cauchy-probléma geometriai értelmezése?

Hogyan írható fel egy differenciálegyenlet elválasztható változókkal szimmetrikus formában?

Melyik egyenletet nevezzük elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek?

Milyen módszerrel oldható meg az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet, és mi ennek a módszernek a lényege?

Önálló munkához szükséges feladatok

Differenciálegyenletek megoldása elválasztható változókkal:

a)
; b)
;

ban ben)
; G)
.

2. Oldja meg az elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket:

a)
; b)
; ban ben)
;

G)
; e)
.

KATEGÓRIÁK

Szűrés

A végtagok ultrahangja

Az ultrahang típusai

hasi ultrahang

mellkasi ultrahang

NÉPSZERŰ CIKKEK

	A tagadást nem igékkel (személyes formában, infinitivusban, gerund alakban) külön írjuk: ne vedd, nem volt, nem tudva, lassan
	Előadás, beszámoló a reneszánsz filozófiájának főbb vonásairól
	Szépirodalmi stílus
	A föld gyermekei Bemutató mi vagyunk a föld gyermekei a kertért
	Előadás a kommunikációs akadályok témában, a munkát tanulók végezték Kommunikáció nélkül bezárkózunk.

2022 "kingad.ru" - az emberi szervek ultrahangvizsgálata