Egységes véletlenszerű eloszlás. Egyenletes eloszlású valószínűségi változó átalakítása normál eloszlásúvá

Példaként egy folytonos valószínűségi változóra vegyünk egy X valószínűségi változót, amely egyenletesen eloszlik az (a; b) intervallumon. Azt mondjuk, hogy az X valószínűségi változó egyenlően elosztott az (a; b) intervallumon, ha eloszlássűrűsége nem állandó ezen az intervallumon:

A normalizálási feltételből meghatározzuk a c konstans értékét. Az eloszlási sűrűséggörbe alatti területnek egyenlőnek kell lennie eggyel, de esetünkben ez egy téglalap területe, amelynek alapja (b - α) és c magassága (1. ábra).

Rizs. 1 Egyenletes eloszlási sűrűség
Innen megtaláljuk a c konstans értékét:

Tehát egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó sűrűsége egyenlő

Most keressük meg az eloszlásfüggvényt a következő képlettel:
1) számára
2) számára
3) 0+1+0=1 esetén.
Ily módon

Az eloszlásfüggvény folyamatos és nem csökken (2. ábra).

Rizs. 2 Egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

Keressük egyenletes eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása képlet szerint:

Egyenletes eloszlási variancia képlettel számítjuk ki, és egyenlő

1. példa. A mérőműszer skálaosztás értéke 0,2 . A műszer leolvasásait a legközelebbi egész osztásra kerekítjük. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a leolvasás során hiba történik: a) kisebb, mint 0,04; b) nagy 0,02
Megoldás. A kerekítési hiba egy valószínűségi változó, amely egyenletesen oszlik el a szomszédos egész osztások között. Tekintsük a (0; 0,2) intervallumot ilyen osztásnak (a ábra). A kerekítés elvégezhető mind a bal oldali szegély felé - 0, mind pedig a jobb oldali - 0,2 felé, ami azt jelenti, hogy kétszer 0,04-nél kisebb vagy egyenlő hiba történhet, amelyet figyelembe kell venni a valószínűség kiszámításakor:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

A második esetben a hibaérték mindkét osztáshatáron meghaladhatja a 0,02-t, azaz lehet 0,02-nél nagyobb vagy 0,18-nál kisebb.


Akkor egy ilyen hiba valószínűsége:

2. példa. Feltételezték, hogy az ország gazdasági helyzetének stabilitása (háborúk, természeti katasztrófák stb. hiánya) az elmúlt 50 évben a lakosság életkor szerinti megoszlásának jellege alapján ítélhető meg: nyugodt helyzetben, kellene lennie egyenruha. A vizsgálat eredményeként az egyik országra vonatkozóan a következő adatokat kaptuk.

Van ok azt hinni, hogy instabil helyzet volt az országban?

A döntést a Hipotézis tesztelés kalkulátor segítségével hajtjuk végre. Táblázat a mutatók kiszámításához.

Csoportok	Intervallum közép, x i	Mennyiség, fi	x i * f i	kumulatív gyakoriság, S	|x - x cf |*f	(x - x sr) 2 *f	Frekvencia, f i /n
0 - 10	5	0.14	0.7	0.14	5.32	202.16	0.14
10 - 20	15	0.09	1.35	0.23	2.52	70.56	0.09
20 - 30	25	0.1	2.5	0.33	1.8	32.4	0.1
30 - 40	35	0.08	2.8	0.41	0.64	5.12	0.08
40 - 50	45	0.16	7.2	0.57	0.32	0.64	0.16
50 - 60	55	0.13	7.15	0.7	1.56	18.72	0.13
60 - 70	65	0.12	7.8	0.82	2.64	58.08	0.12
70 - 80	75	0.18	13.5	1	5.76	184.32	0.18
		1	43		20.56	572	1

Elosztóközpont mérőszámai.
súlyozott átlag


Változási mutatók.
Abszolút változási arányok.
A variációs tartomány az elsődleges sorozat attribútumának maximális és minimális értéke közötti különbség.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Diszperzió- átlagértéke körül jellemzi a szórás mértékét (a szóródás mértékét, azaz az átlagtól való eltérést).


Szórás.

A sorozat minden értéke legfeljebb 23,92-vel tér el a 43-as átlagtól
Az eloszlás típusára vonatkozó hipotézisek tesztelése.
4. A hipotézis tesztelése kb egyenletes eloszlás az általános lakosság.
Az X egyenletes eloszlására vonatkozó hipotézis tesztelése érdekében, i.e. törvény szerint: f(x) = 1/(b-a) az (a,b) intervallumban
szükséges:
1. Becsülje meg az a és b paramétereket - annak az intervallumnak a végeit, amelyben az X lehetséges értékeit megfigyelték, a képletek szerint (a * jel a paraméterek becslését jelöli):

2. Határozza meg az f(x) = 1/(b * - a *) becsült eloszlás valószínűségi sűrűségét!
3. Keresse meg az elméleti frekvenciákat:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)* (b * - x s-1)
4. Hasonlítsa össze az empirikus és elméleti gyakoriságokat Pearson-próbával, feltételezve, hogy a szabadsági fokok száma k = s-3, ahol s a kezdeti mintavételi intervallumok száma; ha azonban kis frekvenciák, és így maguk az intervallumok kombinációja jött létre, akkor s a kombináció után fennmaradó intervallumok száma.

Megoldás:
1. Keresse meg az egyenletes eloszlás a * és b * paramétereinek becslését a képletekkel:


2. Határozza meg a feltételezett egyenletes eloszlás sűrűségét:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Keresse meg az elméleti frekvenciákat:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
A maradék n s egyenlő lesz:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)

én	n i	n*i	n i - n * i	(n i - n* i) 2	(n i - n * i) 2 /n * i
1	0.14	0.1	0.0383	0.00147	0.0144
2	0.09	0.12	-0.0307	0.000943	0.00781
3	0.1	0.12	-0.0207	0.000429	0.00355
4	0.08	0.12	-0.0407	0.00166	0.0137
5	0.16	0.12	0.0393	0.00154	0.0128
6	0.13	0.12	0.0093	8.6E-5	0.000716
7	0.12	0.12	-0.000701	0	4.0E-6
8	0.18	0.17	0.00589	3.5E-5	0.000199
Teljes	1				0.0532

Határozzuk meg a kritikus tartomány határát. Mivel a Pearson-statisztika az empirikus és az elméleti eloszlás közötti különbséget méri, minél nagyobb a megfigyelt K obs értéke, annál erősebb az érv a fő hipotézis ellen.
Ezért a statisztika kritikus tartománya mindig jobbkezes: ha a valószínűségi sűrűsége ezen a szegmensen állandó, azon kívül pedig 0 (azaz egy valószínűségi változó x szegmensre összpontosít [ a, b], amelyen állandó sűrűségű). E definíció szerint a szegmensen egyenletesen elosztott sűrűsége [ a, b] valószínűségi változó xúgy néz ki, mint a:

ahol Val vel van valami szám. Könnyű megtalálni azonban a valószínűségi sűrűség tulajdonság segítségével a szegmensre koncentrált r.v. a, b]:
. Ebből következik tehát
, ahol
. Ezért a sűrűség egyenletesen oszlik el a szegmensen [ a, b] valószínűségi változó xúgy néz ki, mint a:

.

Az n.s.v. eloszlás egységességének megítélésére. x lehetséges a következő megfontolásból. Egy folytonos valószínűségi változó egyenletes eloszlású a [ a, b], ha csak ebből a szegmensből vesz értékeket, és ebből a szegmensből bármely szám nincs előnyben a szegmens többi számával szemben abban az értelemben, hogy ennek a valószínűségi változónak az értéke lehet.

Az egyenletes eloszlású véletlen változók közé tartoznak például a szállítás várakozási ideje a megállóban (állandó mozgási intervallumnál a várakozási idő egyenletesen oszlik el ezen az intervallumon), a szám egész számra kerekítési hibája (egyenletes eloszlású a [−0.5 , 0.5 ]) és mások.

Az elosztási függvény típusa F(x) a, b] valószínűségi változó x az ismert valószínűségi sűrűség alapján keresik f(x) kapcsolatuk képletével
. A megfelelő számítások eredményeként a következő képletet kapjuk az eloszlásfüggvényre F(x) egyenletes eloszlású szegmens [ a, b] valószínűségi változó x :

.

Az ábrákon a valószínűségi sűrűség grafikonjai láthatók f(x) és elosztási funkciók f(x) egyenletes eloszlású szegmens [ a, b] valószínűségi változó x :

Egy egyenletes eloszlású szegmens matematikai elvárása, variancia, szórása, módusa és mediánja [ a, b] valószínűségi változó x valószínűségi sűrűségből számítva f(x) a szokásos módon (és egészen egyszerűen az egyszerű megjelenés miatt f(x) ). Az eredmény a következő képletek:

hanem a divat d(x) a szegmens tetszőleges száma [ a, b].

Határozzuk meg az egyenletes eloszlású szakasz eltalálásának valószínűségét [ a, b] valószínűségi változó x az intervallumban
, teljesen bent fekszik [ a, b]. Az eloszlásfüggvény ismert formáját figyelembe véve a következőt kapjuk:

Így az egyenletes eloszlású szegmens eltalálásának valószínűsége [ a, b] valószínűségi változó x az intervallumban
, teljesen bent fekszik [ a, b], nem függ ennek az intervallumnak a helyzetétől, hanem csak a hosszától függ, és ezzel egyenesen arányos.

Példa. A buszközlekedés 10 perc. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy buszmegállóba érkező utas 3 percnél kevesebbet vár a buszra? Mennyi az átlagos várakozási idő egy buszra?

Normális eloszlás

Ezzel az eloszlással leggyakrabban a gyakorlatban találkozhatunk, és kivételes szerepet játszik a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában, illetve ezek alkalmazásaiban, hiszen a természettudományokban, a közgazdaságtanban, a pszichológiában, a szociológiában, a hadtudományokban és így tovább sok valószínűségi változónak van ilyen eloszlása. Ez az eloszlás a korlátozó törvény, amelyet (bizonyos természetes körülmények között) sok más eloszlási törvény is megközelít. A normális eloszlási törvény segítségével olyan jelenségeket is leírnak, amelyek számos független, bármilyen természetű véletlenszerű tényező hatásának és eloszlásuk bármely törvényének vannak kitéve. Térjünk át a definíciókra.

A folytonos valószínűségi változót elosztottnak nevezzük normál törvény (vagy Gauss-törvény), ha a valószínűségi sűrűsége a következő alakú:

,

hol vannak a számok aés σ (σ>0 ) ennek az eloszlásnak a paraméterei.

Mint már említettük, a valószínűségi változók eloszlásának Gauss-törvényének számos alkalmazása van. E törvény szerint megoszlik a műszerek mérési hibái, a célpont középpontjától való eltérés a lövés során, a gyártott alkatrészek mérete, az emberek súlya és magassága, az éves csapadék, az újszülöttek száma és még sok más.

A fenti képlet egy normális eloszlású valószínűségi változó valószínűségi sűrűségére, mint mondtuk, két paramétert tartalmaz aés σ , és ezért olyan függvénycsaládot határoz meg, amely e paraméterek értékétől függően változik. Ha a függvénytanulmányozás és az ábrázolás szokásos matematikai módszereit alkalmazzuk egy normális eloszlás valószínűségi sűrűségére, akkor a következő következtetéseket vonhatjuk le.

azok inflexiós pontjai.

A kapott információk alapján elkészítjük a valószínűségi sűrűség grafikonját f(x) normál eloszlás (ezt Gauss-görbének nevezik - ábra).

Nézzük meg, hogyan hat a paraméterek megváltoztatása aés σ a Gauss-görbe alakján. Nyilvánvaló (ez látható a normális eloszlás sűrűségének képletéből), hogy a paraméter változása a nem változtatja meg a görbe alakját, hanem csak a tengely mentén jobbra vagy balra tolásához vezet x. Függőség σ nehezebb. A fenti vizsgálatból látható, hogy a maximum értéke és az inflexiós pontok koordinátái hogyan függenek a paramétertől σ . Ezenkívül figyelembe kell venni, hogy bármilyen paraméternél aés σ a Gauss-görbe alatti terület 1 marad (ez a valószínűségi sűrűség általános tulajdonsága). Az elmondottakból az következik, hogy a paraméter növelésével σ görbe laposabbá válik és a tengely mentén nyúlik x. Az ábra a paraméter különböző értékeinek Gauss-görbéit mutatja σ (σ 1 < σ< σ 2 ) és ugyanaz a paraméterérték a.

Ismerje meg a paraméterek valószínűségi jelentését! aés σ normális eloszlás. Már a Gauss-görbe szimmetriájából a számon átmenő függőleges vonalhoz képest a tengelyen x világos, hogy az átlagérték (azaz a matematikai elvárás M(X)) egy normális eloszlású valószínűségi változó egyenlő a. Ugyanezen okokból a módusznak és a mediánnak is meg kell egyeznie az a számmal. A megfelelő képletek szerinti pontos számítások ezt igazolják. Ha kiírjuk a fenti kifejezést arra f(x) helyettesítse be a varianciát a képletben
, akkor az integrál (meglehetősen nehéz) számítása után a válaszban megkapjuk a számot σ 2 . Így egy valószínűségi változóhoz x normál törvény szerint elosztva a következő főbb numerikus jellemzőket kaptuk:

Ezért a normális eloszlás paramétereinek valószínűségi jelentése aés σ következő. Ha az r.v. xaés σ a σ.

Keressük most az eloszlásfüggvényt F(x) valószínűségi változóhoz x, a normáltörvény szerint elosztva, a valószínűségi sűrűség fenti kifejezésével f(x) és képlet
. Cserekor f(x) "elvett" integrált kapunk. Minden, amit meg lehet tenni a kifejezés egyszerűsítése érdekében F(x), ez a függvény ábrázolása a következő formában:

,

ahol F(x)- az úgynevezett Laplace függvény, ami úgy néz ki

.

Az integrált, amellyel a Laplace-függvény kifejeződik, szintén nem veszik (de mindegyikre x ez az integrál megközelítőleg kiszámítható bármilyen előre meghatározott pontossággal). Kiszámolni azonban nem szükséges, mivel bármely valószínűségszámítási tankönyv végén található egy táblázat a függvény értékeinek meghatározásához. F(x) adott értéknél x. A következőkben szükségünk lesz a Laplace-függvény furcsaság tulajdonságára: F(−x)=−F(x) minden számhoz x.

Határozzuk meg most annak a valószínűségét, hogy egy normális eloszlású r.v. xértéket vesz fel a megadott numerikus intervallumból (α, β) . Az eloszlásfüggvény általános tulajdonságaiból Р(α< x< β)= F(β) − F(α) . Helyettesítés α és β a fenti kifejezésbe F(x) , kapunk

.

Mint fentebb említettük, ha az r.v. x normális eloszlású paraméterekkel aés σ , akkor az átlagértéke egyenlő a, és a szórása egyenlő σ. Ezért átlagos ezen r.v értékeinek eltérése. számból tesztelve a egyenlő σ. De ez az átlagos eltérés. Ezért nagyobb eltérések is lehetségesek. Megtudjuk, hogy ezek vagy azok az eltérések az átlagértéktől mennyire lehetségesek. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéke a normális törvény szerint oszlik el x eltér az átlagától M(X)=a kisebb, mint valamilyen δ szám, azaz. R(| x− a|<δ ) : . Ily módon

.

Behelyettesítés ebbe az egyenlőségbe δ=3σ, megkapjuk annak a valószínűségét, hogy az r.v. x(egy kísérletben) kevesebb mint háromszor tér el az átlagtól σ (átlagos eltéréssel, mint emlékszünk, egyenlő σ ): (jelentése F(3) a Laplace-függvény értéktáblázatából vettük). Majdnem 1 ! Ekkor az ellenkező esemény valószínűsége (hogy az érték legalább eltér 3σ) egyenlő 1 −0.997=0.003 , ami nagyon közel áll 0 . Ezért ez az esemény "szinte lehetetlen" − nagyon ritkán fordul elő (átlagosan 3 időtúllépés 1000 ). Ez az érvelés a jól ismert „három szigma szabály” indoklása.

Három szigma szabály. Normál eloszlású valószínűségi változó egyetlen tesztben gyakorlatilag nem tér el tovább az átlagától, mint 3σ.

Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy egy tesztről beszélünk. Ha egy valószínűségi változónak sok próbája van, akkor nagyon valószínű, hogy egyes értékei messzebbre kerülnek az átlagtól, mint 3σ. Ez megerősíti a következőket

Példa. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó 100 kísérlete után x legalább az egyik értéke a szórás háromszorosánál nagyobb mértékben tér el az átlagtól? Mi a helyzet 1000 próbával?

Megoldás. Legyen az esemény DE azt jelenti, hogy egy valószínűségi változó tesztelésekor xértéke többel tért el az átlagtól 3σ. Mint most kiderült, ennek az eseménynek a valószínűsége p=P(A)=0,003. 100 ilyen tesztet végeztek el. Meg kell találnunk annak a valószínűségét, hogy az esemény DE történt legalább alkalommal, i.e. származott 1 előtt 100 egyszer. Ez egy tipikus Bernoulli-séma probléma a paraméterekkel n=100 (független vizsgálatok száma), p=0,003(az esemény valószínűsége DE egy tesztben) q=1− p=0.997 . Meg akarta találni R 100 (1≤ k≤100) . Ebben az esetben természetesen könnyebb először megtalálni az ellenkező esemény valószínűségét R 100 (0) − annak a valószínűsége, hogy az esemény DE soha nem történt meg (azaz 0-szor fordult elő). Figyelembe véve magának az eseménynek a valószínűsége és az ellentét közötti kapcsolatot, a következőt kapjuk:

Nem is olyan kevés. Megtörténhet (átlagosan minden negyedik ilyen tesztsorozatban előfordul). Nál nél 1000 Ugyanezen séma szerinti tesztekkel megállapítható, hogy legalább egy eltérés valószínűsége nagyobb, mint 3σ, egyenlő: . Így nyugodtan várhatunk legalább egy ilyen eltérésre.

Példa. Egy bizonyos korcsoportba tartozó férfiak magassága általában matematikai elvárások szerint oszlik meg a, és szórása σ . A jelmezek mekkora aránya k-edik növekedést be kell számítani az adott korcsoport össztermelésébe, ha k-a növekedést a következő határértékek határozzák meg:

1 növekedés : 158 − 164 cm2 növekedés : 164-170 cm3 növekedés : 170-176 cm 4 növekedés : 176-182 cm

Megoldás. Oldjuk meg a problémát a következő paraméterértékekkel: a=178,σ=6,k=3 . Legyen r.v. x − egy véletlenszerűen kiválasztott férfi magassága (az adott paraméterekkel normális állapot szerint oszlik el). Mekkora valószínűséggel lesz szüksége egy véletlenszerűen kiválasztott férfinak 3 th növekedés. A Laplace-függvény furcsaságának felhasználása F(x)és az értékek táblázata: P(170 Ezért a teljes termelési mennyiségben biztosítani kell 0.2789*100%=27.89% jelmezek 3 th növekedés.

Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlása x, amely minden értéket átvesz a szegmensből , nak, nek hívják egyenruha, ha ezen a szakaszon a valószínűségi sűrűsége állandó, kívül pedig nullával egyenlő. Így egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége x, egyenletesen elosztva a szegmensen , úgy néz ki, mint a:

Határozzuk meg várható érték, diszperzióés egyenletes eloszlású valószínűségi változóra.

, , .

Példa. Egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó minden értéke az intervallumon fekszik . Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó az intervallumba esik (3;5) .

a=2, b=8, .

Binomiális eloszlás

Hagyd előállítani n tesztek, valamint egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A minden tesztben az pés nem függ más vizsgálatok (független vizsgálatok) eredményétől. Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége óta A egy tesztben az p, akkor annak be nem következésének valószínűsége egyenlő q=1-p.

Legyen az esemény A bejött n próbatételek m egyszer. Ez az összetett esemény felírható termékként:

.

Akkor annak a valószínűsége n teszt esemény A jönni fog m alkalommal , a következő képlettel számítjuk ki:

vagy (1)

Az (1) képletet ún Bernoulli képlet.

Hadd x egy valószínűségi változó, amely megegyezik az esemény előfordulásának számával A ban ben n tesztek, amelyek az értékeket valószínűségekkel veszik fel:

Egy valószínűségi változó eloszlásának eredő törvényét ún binomiális eloszlás törvénye.

x				m		n
P

Várható érték, diszperzióés szórás A binomiális törvény szerint elosztott valószínűségi változókat a következő képletek határozzák meg:

, , .

Példa. Három lövést adnak le a célpontra, és minden lövés eltalálásának valószínűsége 0,8. Egy valószínűségi változót tekintünk x- a célponton elért találatok száma. Keresse meg eloszlási törvényét, matematikai elvárását, szórását és szórását.

p=0,8, q=0,2, n=3, , , .

- 0 találat valószínűsége;

Egy találat valószínűsége;

Két találat valószínűsége;

három találat valószínűsége.

Megkapjuk az elosztási törvényt:

x
P	0,008	0,096	0,384	0,512

Feladatok

1. Egy érmét 7-szer kell feldobni. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 4-szer felborul.

2. Egy érmét 8-szor kell feldobni. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a címer legfeljebb háromszor jelenik meg.

3. A cél eltalálásának valószínűsége fegyverből való lövés esetén p=0,6. Határozza meg az összes találat számának matematikai elvárását 10 lövés esetén!

4. Határozza meg a 20 darab vásárlása esetén nyerő sorsjegyek számának matematikai elvárását, és egy szelvény nyerési valószínűsége 0,3!

Az eloszlásfüggvény ebben az esetben az (5.7) szerint a következő formában lesz:

ahol: m a matematikai elvárás, s a szórás.

A normál eloszlást Gauss német matematikus után Gauss-nak is nevezik. Azt, hogy egy valószínűségi változó normális eloszlású, paraméterei: m,, a következőképpen jelöljük: N (m, s), ahol: m =a =M ;

A képletekben gyakran a matematikai elvárást jelölik a . Ha egy valószínűségi változót az N(0,1) törvény szerint osztunk el, akkor normalizált vagy standardizált normálértéknek nevezzük. A hozzá tartozó elosztási függvény alakja:

.

A normális eloszlás sűrűségének grafikonja, amelyet normálgörbének vagy Gauss-görbének nevezünk, az 5.4. ábrán látható.

Rizs. 5.4. Normál eloszlási sűrűség

Egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek sűrűség alapján történő meghatározását egy példán szemléltetjük.

6. példa.

Egy folytonos valószínűségi változót az eloszlássűrűség ad meg: .

Határozza meg az eloszlás típusát, keresse meg az M(X) matematikai elvárást és a D(X) varianciát!

Az adott eloszlássűrűséget (5.16) összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy az m =4 normáleloszlási törvény adott. Ezért a matematikai elvárás M(X)=4, variancia D(X)=9.

Szórás s=3.

A Laplace függvény, amelynek alakja:

,

az (5.17) normális eloszlási függvényhez kapcsolódik a következő összefüggéssel:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.

A Laplace-függvény páratlan.

Ф(-x)=-Ф(x).

A Ф(х) Laplace-függvény értékeit táblázatba foglaljuk, és a táblázatból vettük az x értékének megfelelően (lásd az 1. függeléket).

A folytonos valószínűségi változó normális eloszlása ​​fontos szerepet játszik a valószínűségelméletben és a valóság leírásában, igen elterjedt a véletlenszerű természeti jelenségekben. A gyakorlatban nagyon gyakran vannak olyan valószínűségi változók, amelyek pontosan sok véletlenszerű tag összegzésének eredményeként jönnek létre. A mérési hibák elemzése különösen azt mutatja, hogy ezek különböző típusú hibák összege. A gyakorlat azt mutatja, hogy a mérési hibák valószínűségi eloszlása ​​közel áll a normál törvényhez.

A Laplace-függvény segítségével megoldható egy adott intervallumba esés valószínűsége és egy normális valószínűségi változó adott eltérése.

Ezt a kérdést régóta részletesen tanulmányozták, és a poláris koordináták módszerét, amelyet George Box, Mervyn Muller és George Marsaglia javasolt 1958-ban, a legszélesebb körben alkalmazták. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy egy független, normális eloszlású valószínűségi változópárt kapjon, amelynek átlaga 0 és variancia 1, az alábbiak szerint:

Ahol Z 0 és Z 1 a kívánt értékek, s \u003d u 2 + v 2, u és v pedig a (-1, 1) szakaszon egyenletesen elosztott valószínűségi változók, úgy választva meg, hogy a 0 feltétel teljesüljön.< s < 1.
Sokan gondolkodás nélkül használják ezeket a képleteket, és sokan nem is sejtik a létezésüket, hiszen kész implementációkat használnak. De vannak, akiknek kérdéseik vannak: „Honnan jött ez a képlet? És miért kapsz egyszerre egy értékpárt? A következőkben ezekre a kérdésekre próbálok egyértelmű választ adni.

Először is hadd emlékeztessem önöket, hogy mi a valószínűségi sűrűség, egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és az inverz függvény. Tegyük fel, hogy van valamilyen valószínűségi változó, amelynek eloszlását az f(x) sűrűségfüggvény adja meg, amelynek alakja a következő:

Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy ennek a valószínűségi változónak az értéke az (A, B) intervallumban lesz, egyenlő az árnyékolt terület területével. Ennek következtében a teljes árnyékolt terület területének egyenlőnek kell lennie az egységgel, mivel a valószínűségi változó értéke minden esetben az f függvény tartományába esik.
Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a sűrűségfüggvény integrálja. És ebben az esetben a hozzávetőleges alakja a következő lesz:

Itt azt jelenti, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb lesz, mint A B valószínűséggel. Ennek eredményeként a függvény soha nem csökken, és értékei az intervallumban vannak.

Az inverz függvény olyan függvény, amely visszaadja az eredeti függvény argumentumát, ha átadja neki az eredeti függvény értékét. Például az x 2 függvénynél az inverz a gyökérkivonási függvény lesz, a sin (x) esetén az arcsin (x) stb.

Mivel a legtöbb pszeudo-véletlenszám-generátor csak egyenletes eloszlást ad a kimeneten, gyakran szükségessé válik, hogy ezt egy másikra konvertáljuk. Ebben az esetben egy normál Gauss-féle:

Az egyenletes eloszlás bármely más eloszlássá alakítására szolgáló összes módszer alapja az inverz transzformációs módszer. A következőképpen működik. Találunk egy függvényt, amely inverz a kívánt eloszlás függvényével, és a (0, 1) szegmensen egyenletes eloszlású valószínűségi változót adunk át neki argumentumként. A kimeneten a kívánt eloszlású értéket kapjuk. Az érthetőség kedvéért itt a következő kép.

Így egy egyenletes szegmens az új eloszlásnak megfelelően elkenődik, és egy inverz függvényen keresztül egy másik tengelyre vetül. A probléma azonban az, hogy a Gauss-eloszlás sűrűségének integrálját nem könnyű kiszámítani, ezért a fenti tudósoknak csalniuk kellett.

Létezik egy khi-négyzet eloszlás (Pearson eloszlás), amely k független normális valószínűségi változó négyzetösszegének eloszlása. Abban az esetben, ha k = 2, ez az eloszlás exponenciális.

Ez azt jelenti, hogy ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy pont véletlenszerű X és Y koordinátái normális eloszlásúak, akkor ezeknek a koordinátáknak a poláris rendszerré alakítása után (r, θ) a sugár négyzete (az origótól a pontig mért távolság) exponenciálisan oszlik el, mivel a sugár négyzete a koordináták négyzeteinek összege (a Pitagorasz törvénye szerint). Az ilyen pontok eloszlási sűrűsége a síkon így fog kinézni:

Mivel minden irányban egyenlő, a θ szög egyenletes eloszlású lesz a 0 és 2π közötti tartományban. Ez fordítva is igaz: ha a polárkoordináta-rendszerben két független valószínűségi változó segítségével adunk meg egy pontot (egyenletesen eloszló szög és exponenciális eloszlású sugár), akkor ennek a pontnak a derékszögű koordinátái független normál valószínűségi változók lesznek. Az egyenletes eloszlásból az exponenciális eloszlás pedig már sokkal könnyebben megszerezhető, ugyanazzal az inverz transzformációs módszerrel. Ez a Box-Muller poláris módszer lényege.
Most pedig vegyük a képleteket.

(1)

r és θ megszerzéséhez két, a (0, 1) szakaszon egyenletesen eloszló valószínűségi változót kell generálni (nevezzük őket u-nak és v-nek), amelyek közül az egyik (mondjuk v) eloszlását exponenciálisra kell konvertálni megkapja a sugarat. Az exponenciális eloszlási függvény így néz ki:

Inverz funkciója:

Mivel az egyenletes eloszlás szimmetrikus, a transzformáció hasonlóan fog működni a függvénnyel

A khi-négyzet eloszlási képletből következik, hogy λ = 0,5. Ebbe a függvénybe behelyettesítjük λ, v és megkapjuk a sugár négyzetét, majd magát a sugarat:

A szöget úgy kapjuk meg, hogy az egységszegmenst 2π-re nyújtjuk:

Most behelyettesítjük r-t és θ-t az (1) képletbe, és megkapjuk:

(2)

Ezek a képletek használatra készek. X és Y függetlenek, normál eloszlásúak 1 szórással és 0 átlaggal. Ahhoz, hogy más jellemzőkkel rendelkező eloszlást kapjunk, elegendő a függvény eredményét megszorozni a szórással, és hozzáadni az átlagot.
De meg lehet szabadulni a trigonometrikus függvényektől, ha a szöget nem közvetlenül, hanem közvetetten a kör egy véletlenszerű pontjának derékszögű koordinátáin keresztül adjuk meg. Ezután ezeken a koordinátákon keresztül ki lehet számítani a sugárvektor hosszát, majd meg lehet találni a koszinuszot és a szinust úgy, hogy x-et és y-t elosztunk vele. Hogyan és miért működik?
Az egységsugarú körben egyenletes eloszlású véletlenszerű pontot választunk, és ennek a pontnak a sugárvektorának hosszának négyzetét jelöljük s betűvel:

A választás úgy történik, hogy véletlenszerű x és y derékszögű koordinátákat rendelünk egyenletesen elosztva a (-1, 1) intervallumban, és figyelmen kívül hagyjuk azokat a pontokat, amelyek nem tartoznak a körhöz, valamint azt a középpontot, ahol a sugárvektor szöge van. nem meghatározott. Vagyis a 0 feltétel< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Megkapjuk a képleteket, mint a cikk elején. Ennek a módszernek a hátránya a körben nem szereplő pontok elutasítása. Vagyis a generált valószínűségi változóknak csak 78,5%-át használjuk fel. A régebbi számítógépeken még mindig nagy előnyt jelentett a trigonometrikus függvények hiánya. Nos, amikor egy processzorutasítás egyszerre számítja ki a szinust és a koszinust, úgy gondolom, hogy ezek a módszerek még versenyezhetnek.

Személy szerint még két kérdésem lenne:

• Miért oszlik el egyenletesen az s értéke?
• Miért exponenciális eloszlású két normális valószínűségi változó négyzetösszege?

Mivel s a sugár négyzete (az egyszerűség kedvéért a sugár a sugárvektor hossza, amely egy véletlenszerű pont helyzetét határozza meg), először megtudjuk, hogyan oszlanak meg a sugarak. Mivel a kör egyenletesen van kitöltve, nyilvánvaló, hogy az r sugarú pontok száma arányos az r sugarú kör kerületével. A kör kerülete arányos a sugárral. Ez azt jelenti, hogy a sugarak eloszlási sűrűsége egyenletesen növekszik a kör középpontjától a széleiig. És a sűrűségfüggvény alakja f(x) = 2x a (0, 1) intervallumon. 2-es együttható úgy, hogy az ábra alatti terület eggyel egyenlő legyen. Ha egy ilyen sűrűséget négyzetre emelünk, akkor egyenletessé válik. Mivel elméletileg ebben az esetben ehhez el kell osztani a sűrűségfüggvényt a transzformációs függvény deriváltjával (vagyis x 2-ből). És vizuálisan ez így történik:

Ha hasonló transzformációt végzünk egy normál valószínűségi változóra, akkor négyzetének sűrűségfüggvénye hasonló lesz a hiperbolához. A normál valószínűségi változók két négyzetének összeadása pedig már sokkal összetettebb folyamat, amely a kettős integrációhoz kapcsolódik. Az pedig, hogy az eredmény egy exponenciális eloszlás lesz, személy szerint nekem marad, hogy gyakorlati módszerrel ellenőrizzem, vagy elfogadjam axiómaként. Az érdeklődőknek pedig azt javaslom, hogy ismerkedjenek meg közelebbről a témával, merítsenek ismereteket ezekből a könyvekből:

• Wentzel E.S. Valószínűségi elmélet
• Knut D.E. A programozás művészete 2. kötet

Befejezésül egy példát adok egy normál eloszlású véletlenszám-generátor megvalósítására JavaScriptben:

Gauss() függvény ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1,0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1,0 || s == 0,0); var r = Math.sqrt(-2,0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = igaz; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // objektum létrehozása a = g.next(); // generálunk egy értékpárt, és megkapjuk az elsőt b = g.next(); // kapja meg a második c = g.next(); // generáljon újra egy értékpárt, és szerezze be az elsőt
Az átlag (matematikai elvárás) és a dev (szórás) paraméterek nem kötelezőek. Felhívom a figyelmet arra, hogy a logaritmus természetes.