Határozza meg a függvény maximális növekedési sebességét! Hogyan találjuk meg egy függvény gradiensét

Gradiens funkciókat egy vektormennyiség, amelynek megtalálása a függvény parciális deriváltjainak meghatározásához kapcsolódik. A gradiens iránya jelzi a függvény leggyorsabb növekedési útját a skalármező egyik pontjától a másikig.

Utasítás

1. A függvény gradiensével kapcsolatos probléma megoldására differenciálszámítási módszereket alkalmaznak, nevezetesen három változóban elsőrendű parciális deriváltokat keresnek. Feltételezzük, hogy magának a függvénynek és minden parciális deriváltjának van a folytonosság tulajdonsága a függvény tartományában.

2. A gradiens egy vektor, amelynek iránya az F függvény leggyorsabb növekedésének irányát jelzi. Ehhez a grafikonon kiválasztunk két M0 és M1 pontot, amelyek a vektor végei. A gradiens értéke megegyezik a függvény növekedési sebességével az M0 pontból az M1 pontba.

3. A függvény ennek a vektornak minden pontjában differenciálható, ezért a vektor koordinátatengelyekre vonatkozó vetületei mind parciális deriváltjai. Ekkor a gradiens képlete így néz ki: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, ahol i, j, k az egységvektor koordinátái. Más szóval, egy függvény gradiense egy olyan vektor, amelynek koordinátái a parciális deriváltjai grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Példa 1. Legyen adott az F = sin (x z?) / y függvény. A gradienst a (?/6, 1/4, 1) pontban kell megtalálni.

5. Megoldás: Határozza meg a parciális deriváltokat bármely változóra vonatkozóan: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Helyettesítsük be a híres pontkoordinátákat: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 = 2? /? 3.

7. Alkalmazza a függvény gradiens képletét: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. 2. példa. Keresse meg az F = y arсtg (z / x) függvény gradiensének koordinátáit az (1, 2, 1) pontban!

9. Megoldás. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1; F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4; F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

A skaláris mező gradiens egy vektormennyiség. Így ennek megtalálásához meg kell határozni a megfelelő vektor összes komponensét a skalármező felosztására vonatkozó ismeretek alapján.

Utasítás

1. Olvassa el egy felsőbb matematikai tankönyvben, hogy mi a skalármező gradiense. Mint tudják, ennek a vektormennyiségnek van egy iránya, amelyet a skalárfüggvény maximális csillapítási sebessége jellemez. Egy adott vektormennyiség ilyen értelmét a komponenseit meghatározó kifejezés indokolja.

2. Ne feledje, hogy minden vektort összetevőinek értékei határoznak meg. A vektorkomponensek valójában ennek a vektornak a vetületei egy vagy másik koordinátatengelyre. Tehát, ha háromdimenziós teret vesszük, akkor a vektornak három összetevőből kell állnia.

3. Írd le, hogyan határozzák meg egy olyan vektor összetevőit, amely valamely mező gradiense. Egy ilyen vektor összes koordinátája egyenlő a skaláris potenciál deriváltjával ahhoz a változóhoz képest, amelynek koordinátáját számítjuk. Azaz, ha ki kell számítani a mező gradiensvektor „x” komponensét, akkor meg kell különböztetni a skaláris függvényt az „x” változóhoz képest. Vegye figyelembe, hogy a deriváltnak hányadosnak kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a differenciálásnál az abban részt nem vevő többi változót állandónak kell tekinteni.

4. Írjon egy kifejezést a skaláris mezőre! Mint tudják, ez a kifejezés csak több változó skalárfüggvényét jelenti, amelyek egyben skaláris mennyiségek is. A skalárfüggvény változóinak számát a tér mérete korlátozza.

5. Az egyes változókra vonatkozóan külön differenciálja a skaláris függvényt. Ennek eredményeként három új funkciója lesz. Írjon be tetszőleges függvényt a skalármező gradiensvektorának kifejezésébe. A kapott függvények bármelyike ​​valóban egy adott koordináta egységvektorának mutatója. Így a végső gradiens vektornak polinomnak kell kinéznie, amelynek kitevői egy függvény deriváltjai.

A gradiens ábrázolásával kapcsolatos kérdések mérlegelésekor gyakoribb, hogy mindegyiket skaláris mezőnek tekintjük. Ezért be kell vezetnünk a megfelelő jelölést.

Szükséged lesz

• - bumm;
• - toll.

Utasítás

1. Adjuk meg a függvényt három u=f(x, y, z) argumentummal. Egy függvény parciális deriváltja, például x-hez képest, úgy van definiálva, mint ennek az argumentumnak a deriváltja, amelyet a fennmaradó argumentumok rögzítésével kapunk. A többi érv hasonló. A részleges derivált jelölést a következőképpen írjuk: df / dx \u003d u’x ...

2. A teljes differenciál egyenlő lesz: du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. A részleges deriváltok a koordinátatengelyek irányú deriváltjaiként értelmezhetők. Következésképpen felmerül a kérdés, hogy az M(x, y, z) pontban egy adott s vektor irányára vonatkozó deriváltot találjunk (ne felejtsük el, hogy az s irány egy egységvektor-ort s^o-t ad meg). Ebben az esetben az argumentumok differenciálvektora: (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(béta), dscos(gamma)).

3. Figyelembe véve a du teljes differenciál alakját, arra a következtetésre juthatunk, hogy a derivált az s irányhoz képest az M pontban: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(béta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Ha s= s(sx,sy,sz), akkor irány koszinusz (cos(alpha), cos(béta), cos(gamma)) kiszámítása (lásd 1a. ábra).

4. Az irány szerinti derivált definíciója, az M pontot változónak tekintve, pontszorzatként átírható: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(béta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Ez a kifejezés objektív lesz skalármezőre. Ha egy egyszerű függvényt tekintünk, akkor a gradf egy olyan vektor, amelynek koordinátái egybeesnek az f(x, y, z) parciális deriváltokkal. gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Itt (i, j, k) a koordinátatengelyek egységvektorai egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben.

5. Ha a Hamilton Nabla differenciálvektor operátort használjuk, akkor a gradf felírható ennek az operátorvektornak az f skalárral való szorzataként (lásd 1b. ábra). A gradf és az irányított derivált kapcsolata szempontjából a (gradf, s^o)=0 egyenlőség akkor megengedett, ha ezek a vektorok merőlegesek. Következésképpen a gradf-et gyakran úgy határozzák meg, mint a skaláris mező leggyorsabb metamorfózisának irányát. A differenciális műveletek szempontjából pedig (a gradf egyike ezeknek) a gradf tulajdonságai pontosan megismétlik a függvények differenciálódási tulajdonságait. Különösen, ha f=uv, akkor gradf=(vgradu+ugradv).

Kapcsolódó videók

Gradiens ez egy olyan eszköz, amely a grafikus szerkesztőkben kitölti a sziluettet az egyik szín sima átmenetével a másikra. Gradiens sziluettet adhat a hangerőnek, szimulálhatja a világítást, a fény tükröződését egy tárgy felületén, vagy a naplementét a fénykép hátterében. Ezt az eszközt széles körben használják, ezért fényképek feldolgozásához vagy illusztrációk készítéséhez nagyon fontos megtanulni a használatát.

Szükséged lesz

• Számítógép, grafikus szerkesztő Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net vagy más.

Utasítás

1. Nyissa meg a képet a programban, vagy készítsen újat. Készítsen sziluettet, vagy válassza ki a kívánt területet a képen.

2. Kapcsolja be a Gradient eszközt a grafikus szerkesztő eszköztárán. Vigye az egérmutatót a kiválasztott területen vagy sziluetten belüli pontra, ahol a színátmenet 1. színe kezdődik. Kattintson és tartsa lenyomva a bal egérgombot. Vigye a kurzort arra a pontra, ahol a színátmenetnek át kell térnie a végső színre. Engedje el a bal egérgombot. A kiválasztott sziluettet színátmenetes kitöltés tölti ki.

3. Gradiens y lehetőség van az átlátszóság, a színek és ezek arányának beállítására egy bizonyos kitöltési ponton. Ehhez nyissa meg a Gradient Edit ablakot. A Photoshop szerkesztőablakának megnyitásához kattintson a színátmenet példájára a Beállítások panelen.

4. A megnyíló ablakban példaként megjelennek az elérhető színátmenet-kitöltési lehetőségek. Az egyik lehetőség szerkesztéséhez jelölje ki azt egy egérkattintással.

5. A színátmenetre egy példa látható az ablak alján, széles skála formájában, csúszkákkal. A csúszkák jelzik azokat a pontokat, ahol a színátmenetnek rendelkeznie kell a megadott leválogatással, és a csúszkák közötti intervallumban a szín egyenletesen vált át az első pontban megadott színről a 2. pont színére.

6. A skála tetején található csúszkák állítják be a színátmenet átlátszóságát. Az átlátszóság megváltoztatásához kattintson a kívánt csúszkára. A skála alatt megjelenik egy mező, amelyben adja meg a szükséges átlátszósági fokot százalékban.

7. A skála alján található csúszkák állítják be a színátmenet színeit. Az egyikre kattintva kiválaszthatja a kívánt színt.

8. Gradiens több átmeneti szín is lehet. Másik szín beállításához kattintson egy üres helyre a skála alján. Egy másik csúszka jelenik meg rajta. Állítsa be a kívánt színt hozzá. A skála egy példát jelenít meg egy további pontú gradiensre. A csúszkákat a bal egérgomb segítségével lenyomva mozgathatja a kívánt kombináció elérése érdekében.

9. Gradiens Számos típus létezik, amely formát adhat a lapos sziluetteknek. Tegyük fel, hogy egy körnek golyó alakját adjuk, sugárirányú gradienst alkalmazunk, a kúp alakjának megadásához pedig kúpos gradienst alkalmazunk. A tükrös gradiens segítségével a felület a kidudorodás illúzióját keltheti, a gyémánt gradiens pedig kiemeléseket hozhat létre.

Kapcsolódó videók

Kapcsolódó videók

Ha a tér minden pontjában vagy térrészben egy bizonyos mennyiség értéke definiálva van, akkor azt mondjuk, hogy ennek a mennyiségnek a mezője adott. A mezőt skalárnak nevezzük, ha a figyelembe vett érték skalár, azaz. számértéke jól jellemzi. Például a hőmérsékleti mező. A skaláris mezőt az u = /(M) pont skalárfüggvénye adja meg. Ha egy derékszögű koordinátarendszert vezetünk be a térbe, akkor három változóból áll x, yt z - az M pont koordinátáinak függvénye: Definíció. A skalármező síkfelülete azon pontok halmaza, ahol az f(M) függvény ugyanazt az értéket veszi fel. Szintfelszíni egyenlet 1. példa. Skalármező szintfelületeinek megkeresése VEKTOR ELEMZÉS Skalármező szintfelszíneinek és szintvonalainak Skalármező Irányított Derivált gradiense Alapvető gradiens tulajdonságok Gradiens invariáns definíciója Szabályok gradiens, a szint kiszámításához felületi egyenlet lesz. Ez egy gömb (Ф 0) egyenlete, amelynek középpontja az origóban van. A skaláris mezőt laposnak nevezzük, ha a mező egy síkkal párhuzamos minden síkban azonos. Ha a megadott síkot xOy síknak vesszük, akkor a mezőfüggvény nem függ a z koordinátától, azaz csak az x és y argumentum függvénye, valamint a jelentés is. Szintvonal egyenlet - 2. példa Skalármező szintvonalainak megkeresése A szintvonalakat egyenletek adják meg c = 0 esetén egy egyenespárt kapunk, hiperbolacsaládot kapunk (1. ábra). 1.1. Irányi derivált Legyen egy skalármező, amelyet u = /(Af) skalárfüggvény határoz meg. Vegyük az Afo pontot, és válasszuk az I vektor által meghatározott irányt. Vegyünk egy másik M pontot úgy, hogy az M0M vektor párhuzamos legyen az 1. vektorral (2. ábra). Jelöljük A/-vel a MoM vektor hosszát, a D1 elmozdulásnak megfelelő /(Af) - /(Afo) függvény növekményét pedig Di-vel. Az arány határozza meg a skalármező egységnyi hosszra eső átlagos változási sebességét az adott irányban. Legyen most nulla, hogy a М0М vektor mindvégig párhuzamos maradjon az I vektorral. Definíció. Ha D/O-ra létezik az (5) relációnak véges határértéke, akkor azt a függvény adott Afo pontbeli deriváltjának nevezzük az adott I irányra, és a zr!^ szimbólummal jelöljük. Tehát definíció szerint Ez a definíció nem kapcsolódik a koordinátarendszer megválasztásához, azaz **változat karaktere van. Keressünk egy kifejezést a deriváltra a derékszögű koordinátarendszerben az irány tekintetében. Legyen a / függvény differenciálható egy pontban. Tekintsük az /(Af) értéket egy pontban. Ekkor a függvény teljes növekménye a következő formában írható fel: ahol és a szimbólumok azt jelentik, hogy a parciális deriváltakat az Afo pontban számítjuk. Ezért itt a jfi, ^ mennyiségek a vektor iránykoszinuszai. Mivel a MoM és I vektorok együtt irányítottak, irány koszinuszaik megegyeznek: deriváltak, a függvény deriváltjai és a koordinátatengelyek irányai mentén a külső nno- 3. példa Keresse meg a függvény deriváltját a pont felé A vektornak van egy hossza. Irányos koszinuszai: A (9) képlet alapján azt a tényt, hogy, azt jelenti, hogy a skaláris mező egy pontban egy adott korirányban- Lapos mező esetén egy pontban az I irányú derivált a képlettel számítjuk ki. ahol a az I vektor által az Oh tengellyel bezárt szög. Zmmchmm 2. A (9) képlet a derivált számításához az I irány mentén egy adott Afo pontban akkor is érvényben marad, ha az M pont egy olyan görbe mentén a Mo pont felé hajlik, amelyre az I vektor érinti a PrISchr 4 pontot. a skalármező deriváltja az Afo(l, 1) pontban. e görbe irányában (növekvő abszcissza irányába) tartozó parabolához. A parabola iránya egy pontban a parabola érintőjének iránya ebben a pontban (3. ábra). A parabola érintője az Afo pontban o szöget zár be az Ox tengellyel. Akkor honnan az érintő koszinuszainak irányítása Számítsunk értékeket és egy pontban. Most a (10) képlet alapján megkapjuk. Határozzuk meg a skalármező deriváltját a kör irányába eső pontban A kör vektoregyenletének alakja van. Megtaláljuk a kör érintőjének m egységvektorát.A pont a paraméter értékének felel meg. Skalármező gradiens Legyen egy skalármezőt egy differenciálhatónak feltételezett skalárfüggvénnyel definiálva. Meghatározás. Egy skalármező » adott M pontban lévő gradiense egy grad szimbólummal jelölt vektor, amelyet az egyenlőség határoz meg. Nyilvánvaló, hogy ez a vektor függ a függvénytől és attól az M ponttól is, amelyben a deriváltját számítjuk. Legyen 1 irányú egységvektor Ekkor az irányderivált képlet a következőképpen írható fel: . így az u függvény deriváltja az 1 irány mentén egyenlő az u(M) függvény gradiensének és az I irány 1° egységvektorának skaláris szorzatával. 2.1. A gradiens alapvető tulajdonságai 1. Tétel. A skaláris térgradiens merőleges a szintfelületre (vagy a szintvonalra, ha a mező sík). (2) Rajzoljunk egy u = const síkfelületet egy tetszőleges M ponton, és válasszunk egy L sima görbét ezen a felületen, amely áthalad az M ponton (4. ábra). Legyen I az L görbe érintője az M pontban. Mivel a szintfelületen u(M) = u(M|) bármely Mj ∈ L pontra, akkor viszont = (gradu, 1°) . Ezért. Ez azt jelenti, hogy a grad és és az 1° vektorok merőlegesek, így a grad és vektor merőleges a síkfelület bármely érintőjére az M pontban. A gradiens a növekvő térfüggvény irányába irányul. Korábban bebizonyítottuk, hogy a skalármező gradiense a normál mentén irányul a szintfelszínre, ami akár az u(M) függvény növekedése, akár csökkenése felé orientálható. Jelölje n-nel a ti(M) függvény növekedési irányába orientált szintfelület normálját, és keresse meg az u függvény e normális irányú deriváltját (5. ábra). Az 5. ábra feltétele szerint van Since-ünk és ezért VEKTORANALÍZIS Skalármező Felületek és szintvonalak Irány derivált Skalármező gradiens A gradiens alapvető tulajdonságai A gradiens invariáns definíciója A gradiens kiszámításának szabályai Ebből következik, hogy a grad és a ugyanabban az irányban, mint ahogy a normál n-t választottuk, azaz az u(M) függvény növekedési irányába. 3. Tétel. A gradiens hossza megegyezik a mező egy adott pontjában lévő irány legnagyobb deriváltjával, (itt egy adott M pontban minden lehetséges irányba max $-t veszünk a pontig). Megvan, hogy hol van az 1 és a grad n vektorok közötti szög. Mivel a legnagyobb érték az 1. példa. Határozza meg a skalármező legnagyobb ióniójának irányát a pontban, valamint ennek a legnagyobb változásnak a nagyságát a megadott pontban. A skalármező legnagyobb változásának irányát egy vektor jelzi. Ez a vektor határozza meg a mező legnagyobb növekedésének irányát egy pontig. A mező legnagyobb változásának értéke ezen a ponton 2,2. A gradiens invariáns meghatározása Azokat a mennyiségeket, amelyek a vizsgált objektum tulajdonságait jellemzik, és nem függnek a koordinátarendszer megválasztásától, az adott objektum invariánsainak nevezzük. Például egy görbe hossza ennek a görbének invariánsa, de a görbe érintőjének az x tengellyel bezárt szöge nem invariáns. A skalármező gradiens fenti három tulajdonsága alapján a következő invariáns definíciót adhatjuk a gradiensre. Meghatározás. A skaláris térgradiens egy vektor, amely a normál mentén a síkfelületre irányul a térfüggvény növekedésének irányába, és amelynek hossza megegyezik a legnagyobb irányderiváltával (adott pontban). Legyen egységnyi normálvektor, amely a növekvő tér irányába irányul. Ezután 2. példa. Keresse meg a távolság gradienst - valamilyen fix pont, és M(x,y,z) - az aktuális. 4 Megvan, hogy hol van az egységirányvektor. A gradiens kiszámításának szabályai, ahol c egy állandó szám. A fenti képletek közvetlenül a gradiens definíciójából és a származékok tulajdonságaiból származnak. A szorzat differenciálási szabálya szerint A bizonyítás hasonló a tulajdonság bizonyításához. Legyen F(u) differenciálható skalárfüggvény. Ekkor 4 A gradiens definíciója szerint a jobb oldalon lévő összes kifejezésre alkalmazzuk a komplex függvény differenciálási szabályát. Konkrétan a (6) képlet a képletsíkból ennek a síknak a két rögzített pontjába következik. Tekintsünk egy tetszőleges ellipszist Fj és F] fókuszokkal, és bizonyítsuk be, hogy bármely fénysugár, amely az ellipszis egyik fókuszából kilép, az ellipszisről való visszaverődés után a másik fókuszába kerül. A (7) függvény szintvonalai VEKTORANALÍZIS Skalármező Felületek és szintvonalak Irány derivált Skalármező gradiens A gradiens alaptulajdonságai A gradiens invariáns definíciója Gradiens számítási szabályok A (8) egyenletek olyan ellipsziscsaládot írnak le, amelynek fókuszai a pontokban F) és Fj. A 2. példa eredménye szerint megvan és sugárvektorok. az F| fókuszból a P(x, y) pontba húzva és Fj, és ennélfogva a sugárvektorok közötti szögfelezőn fekszik (6. ábra). Tooromo 1 szerint a PQ gradiens merőleges a pontban lévő (8) ellipszisre. Ezért a 6. ábra. az ellipszis (8) normálisa bármely pontban felezi az ehhez a ponthoz húzott sugárvektorok közötti szöget. Innen és abból, hogy a beesési szög egyenlő a visszaverődés szögével, azt kapjuk: az ellipszis egyik fókuszából kilépő, onnan visszaverődő fénysugár minden bizonnyal ennek az ellipszisnek a másik fókuszába esik.