Dinamikus rendszerek modellezése (Lagrange-módszer és Bond-gráf megközelítés). Lagrange-szorzó módszer

szorzó módszerLagrange(az angol szakirodalomban "LaGrange" s method of undetermined multiplikers") ˗ ez egy numerikus módszer optimalizálási problémák megoldására, amely lehetővé teszi a célfüggvény "feltételes" szélsőértékének (minimális vagy maximális értékének) meghatározását.

ha a változóira adott korlátozások vonatkoznak egyenlőségek formájában (azaz a megengedett értékek tartománya meg van határozva)

˗ ezek a függvény argumentumának (vezérelt paraméterek) értékei azon a valós területen, ahol a függvény értéke szélsőértékre hajlik. A "feltételes" szélsőség elnevezés annak a ténynek köszönhető, hogy a változókra egy további feltételt szabnak, amely korlátozza a megengedett értékek területét a függvény szélsőértékének keresésekor.

A Lagrange-szorzó módszer lehetővé teszi a célfüggvény feltételes szélsőértékének megtalálásának problémáját a megengedett értékek halmazán, hogy átalakítsuk a feltétel nélküli függvényoptimalizálás problémájára.

Ha a funkciók és parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak, akkor vannak olyan λ változók, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, amelyek mellett a következő feltétel teljesül:

Így a megengedett értékek halmazán a célfüggvény szélsőértékének keresésére szolgáló Lagrange-szorzók módszerével összeállítom az L(x, λ) Lagrange-függvényt, amelyet tovább optimalizálunk:

ahol λ ˗ további változók, úgynevezett határozatlan Lagrange-szorzók vektora.

Így az f(x) függvény feltételes szélsőértékének megtalálásának problémája az L(x, λ) függvény feltétel nélküli szélsőértékének megtalálásának problémájára redukálódott.

és

A Lagrange-függvény szélsőértékének szükséges feltételét egy egyenletrendszer adja meg (a rendszer "n + m" egyenletekből áll):

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása lehetővé teszi az (X) függvény azon argumentumainak meghatározását, amelyeknél az L(x, λ) függvény értéke, valamint az f(x) célfüggvény értéke megfelel az extrémum.

A Lagrange-szorzók (λ) értéke gyakorlati szempontból érdekes, ha a megszorításokat az egyenlet szabad tagjával (konstans) tartalmazó formában adjuk meg. Ebben az esetben továbbgondolhatjuk (növelhetjük/csökkenthetjük) a célfüggvény értékét, ha az egyenletrendszerben az állandó értékét megváltoztatjuk. Így a Lagrange-szorzó a célfüggvény maximumának változási sebességét a korlátozó állandó változásával jellemzi.

Az eredményül kapott függvény szélsőértékének természetét többféleképpen is meghatározhatjuk:

Az első mód: Legyen - a szélsőpont koordinátái, és - a célfüggvény megfelelő értéke. A ponthoz közel álló pontot veszünk, és kiszámítjuk a célfüggvény értékét:

Ha egy , akkor a ponton van maximum.

Ha egy , akkor a ponton van egy minimum.

A második út: A Lagrange-függvény második differenciáljának előjele egy elégséges feltétel, amelyből meg lehet határozni a szélsőség természetét. A Lagrange-függvény második differenciáljának meghatározása a következő:

Ha egy adott ponton minimális, ha , akkor az f(x) célfüggvény feltételes maximális.

A harmadik út: A függvény szélsőértékének természetét a Lagrange-függvény Hess-függvényének figyelembevételével is megtalálhatjuk. A Hess-mátrix a függvény második parciális deriváltjainak szimmetrikus négyzetmátrixa azon a ponton, ahol a mátrixelemek szimmetrikusak a főátlóra.

Az extrémum típusának (a függvény maximuma vagy minimuma) meghatározásához használhatja a Sylvester-szabályt:

1. Ahhoz, hogy a Lagrange-függvény második differenciája pozitív előjelű legyen szükséges, hogy a függvény szögmolljai pozitívak legyenek. Ilyen körülmények között a függvénynek ezen a ponton van a minimuma.

2. Annak érdekében, hogy a Lagrange-függvény második differenciálja előjelnegatív legyen , szükséges, hogy a függvény szögmolljai váltakoznak, és a mátrix első elemének negatívnak kell lennie sv . Ilyen körülmények között a függvénynek ezen a ponton van a maximuma.

Az angular minor az eredeti mátrix első k sorában és k oszlopában található moll.

A Lagrange-módszer fő gyakorlati jelentősége abban rejlik, hogy lehetővé teszi a feltételes optimalizálásról a feltétel nélkülire való áttérést, és ennek megfelelően a probléma megoldására rendelkezésre álló módszerek arzenáljának bővítését. Az egyenletrendszer megoldásának problémája azonban, amelyre ez a módszer redukálódik, általában nem egyszerűbb, mint a szélsőség megtalálásának eredeti problémája. Az ilyen módszereket indirektnek nevezzük. Használatuk azzal magyarázható, hogy egy extrém problémára analitikus formában kell megoldást találni (például bizonyos elméleti számításokhoz). Konkrét gyakorlati problémák megoldása során általában direkt módszereket alkalmaznak, amelyek az optimalizált függvények értékeinek iteratív számítási és összehasonlítási folyamatain alapulnak.

Számítási módszer

1 lépés: Az adott célfüggvényből és a kényszerrendszerből meghatározzuk a Lagrange-függvényt:

Előre

Ha megjegyzését szeretné hozzáfűzni a cikkhez, kérjük, regisztráljon az oldalon.

Paraméter neve	Jelentése
Cikk tárgya:	Lagrange módszer.
Rubrika (tematikus kategória)	Matematika

A polinom megtalálása azt jelenti, hogy meghatározzuk az együttható értékét . Ehhez az interpolációs feltétel segítségével lineáris algebrai egyenletrendszert (SLAE) alkothat.

Ennek az SLAE-nek a determinánsát általában Vandermonde-determinánsnak nevezik. A Vandermonde-determináns nem egyenlő nullával, ha for , vagyis abban az esetben, ha a keresőtáblában nincsenek egyező csomópontok. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, vitatható, hogy a SLAE-nek van megoldása, és ez a megoldás egyedülálló. Az SLAE megoldása és az ismeretlen együtthatók meghatározása interpolációs polinomot szerkeszthetünk.

Az interpoláció feltételeit eleget tevő polinom, ha Lagrange-módszerrel interpolál, n-edik fokú polinomok lineáris kombinációjaként készül:

A polinomokat ún alapvető polinomok. Nak nek Lagrange polinom teljesíti az interpolációs feltételeket, rendkívül fontos, hogy az alábbi feltételek teljesüljenek az alappolinomjaira:

számára .

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor a következőkkel rendelkezünk:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, az alappolinomokra adott feltételek teljesülése azt jelenti, hogy az interpolációs feltételek is teljesülnek.

Határozzuk meg az alappolinomok alakját a rájuk rótt megszorítások alapján.

1. feltétel: nál nél .

2. feltétel: .

Végül az alappolinomhoz a következőket írhatjuk:

Ezután az alappolinomok eredő kifejezését behelyettesítve az eredeti polinomba, megkapjuk a Lagrange-polinom végső alakját:

Az at Lagrange-polinom egy bizonyos formáját általában lineáris interpolációs képletnek nevezik:

.

A Lagrange-polinomot általában másodfokú interpolációs képletnek nevezik:

Lagrange módszer. - koncepció és típusok. A "Lagrange-módszer" kategória osztályozása és jellemzői. 2017, 2018.

- Lagrange-módszer (egy tetszőleges állandó változtatásának módszere).

Lineáris távirányítók. Meghatározás. típusvezérlés, azaz. lineáris az ismeretlen függvényhez és deriváltjához képest lineárisnak nevezzük. Egy ilyen típusú megoldáshoz két módszert kell figyelembe venni: a Lagrange-módszert és a Bernoulli-módszert. Tekintsünk egy homogén DE-t.

- Lineáris távirányító, homogén és heterogén. Az általános megoldás fogalma. A Lagrange-féle konstansszorzat variációs módszere.

Meghatározás. A DU-t homogénnek nevezzük, ha az f-i az argumentumaikhoz viszonyítva f-i-ként ábrázolható Példa. Az F-edik homogén f-edik mérést nevezzük, ha Példák: 1) - 1. rendű homogenitás. 2) - a homogenitás 2. rendje. 3) - a homogenitás nulla rendje (csak homogén... .

- 8. előadás. Parciális deriváltak alkalmazása: feladatok szélsőséghez. Lagrange módszer.

Az extrém feladatok nagy jelentőséggel bírnak a gazdasági számításokban. Ez például a maximális bevétel, nyereség, minimális költségek számítása, több változótól függően: erőforrások, termelési eszközök stb. A függvények szélsőségeinek megtalálásának elmélete... .

- T.2.3. DE magasabb rendű. Egyenlet a teljes differenciálokban. T.2.4. Lineáris DE másodrendű állandó együtthatókkal. Lagrange módszer.

3. 2. 1. DE elválasztható változókkal S.R. 3. A természettudományban, a technikában és a közgazdaságtanban gyakran kell empirikus képletekkel számolni, pl. statisztikai adatok feldolgozása alapján összeállított képletek vagy ...

A feltételes szélsőség meghatározásának módszere egy segéd Lagrange-függvény felépítésével kezdődik, amely a megvalósítható megoldások tartományában ugyanazon változóértékek esetén eléri a maximumot. x 1 , x 2 , ..., x n , ami a célfüggvény z . Legyen a függvény feltételes szélsőértékének meghatározása z=f(X) korlátozások alatt φ én ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, én = 1, 2, ..., m , m < n

Függvény összeállítása

amelyet úgy hívnak Lagrange funkció. x , - állandó tényezők ( Lagrange-szorzók). Megjegyzendő, hogy a Lagrange-szorzóknak közgazdasági jelentést lehet adni. Ha egy f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - terv szerinti bevétel X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , és a funkció φ én (x 1 , x 2 , ..., x n ) akkor ennek a tervnek megfelelő i-edik erőforrás költségei x , - az i-edik erőforrás ára (becslése), amely a célfüggvény szélsőértékének változását jellemzi az i-edik erőforrás méretének változásától függően (marginális becslés). L(X) - funkció n+m változók (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Ennek a függvénynek a stacionárius pontjainak meghatározása az egyenletrendszer megoldásához vezet

Ezt könnyű belátni . Így a függvény feltételes szélsőértékének megtalálásának problémája z=f(X) redukálódik a függvény lokális szélsőpontjának megtalálására L(X) . Ha megtaláljuk a stacionárius pontot, akkor a szélsőség létezésének kérdését a legegyszerűbb esetekben a szélsőséghez szükséges elegendő feltétel alapján oldjuk meg - a második differenciál előjelének tanulmányozásával. d 2 L(X) álló pontban, feltéve, hogy a változó növekszik Δx én - kapcsolatok kötik össze

a kényszeregyenletek differenciálásával kapjuk.

Nemlineáris egyenletrendszer megoldása két ismeretlennel a Solver eszközzel

Beállítás Megoldás keresése lehetővé teszi, hogy megoldást találjon egy nemlineáris egyenletrendszerre, amelyben két ismeretlen:

ahol
- a változók nemlineáris függvénye x és y ,
egy tetszőleges állandó.

Ismeretes, hogy a pár x , y ) akkor és csak akkor megoldása a (10) egyenletrendszerre, ha az alábbi egyenlet megoldása két ismeretlenben:

TÓL TŐL másrészt a (10) rendszer megoldása két görbe metszéspontja: f ] (x, y) = C és f 2 (x, y) = C 2 a felszínen XOY.

Ebből következik egy módszer a rendszer gyökereinek megtalálására. nemlineáris egyenletek:

Határozza meg (legalább megközelítőleg) a (10) egyenletrendszer vagy a (11) egyenlet megoldásának létezési intervallumát! Itt figyelembe kell venni a rendszerben szereplő egyenletek típusát, az egyes egyenleteik definíciós tartományát stb. Néha a megoldás kezdeti közelítésének kiválasztását alkalmazzák;

Tabletizálja a (11) egyenlet megoldását az x és y változókra a kiválasztott intervallumon, vagy készítsen függvénygrafikonokat f 1 (x, y) = C, és f 2 (x, y) = C 2 (rendszer(10)).

Lokalizálja az egyenletrendszer feltételezett gyökereit - keressen meg néhány minimális értéket a (11) egyenlet gyökeinek táblázatos táblázatából, vagy határozza meg a rendszerben szereplő görbék metszéspontjait (10).

4. Keresse meg a (10) egyenletrendszer gyökereit a kiegészítő segítségével Keressen megoldást.

Rövid elmélet

A Lagrange-szorzók módszere egy klasszikus módszer a matematikai programozás (különösen a konvex) problémák megoldására. Sajnos a módszer gyakorlati alkalmazása során jelentős számítási nehézségek adódhatnak, szűkítve a felhasználási területet. A Lagrange-módszert elsősorban azért tekintjük itt, mert ez egy olyan apparátus, amelyet aktívan alkalmaznak a gyakorlatban széles körben alkalmazott modern numerikus módszerek igazolására. Ami a Lagrange-függvényt és a Lagrange-szorzókat illeti, ezek független és rendkívül fontos szerepet töltenek be nemcsak a matematikai programozás elméletében és alkalmazásaiban.

Tekintsünk egy klasszikus optimalizálási problémát:

Ennek a feladatnak a megszorításai között nincsenek egyenlőtlenségek, nincsenek feltételek a változók nem-negativitására, diszkrétségére és a függvények és folytonosak, és legalább másodrendű parciális deriváltjaik vannak.

A probléma megoldásának klasszikus megközelítése egy egyenletrendszert (szükséges feltételeket) ad, amelyet annak a pontnak kell teljesítenie, amely a függvénynek lokális szélsőértéket biztosít azon pontok halmazán, amelyek kielégítik a korlátokat (konvex programozási probléma esetén a talált pont egyben lesz a globális szélsőpont).

Tegyük fel, hogy az (1) függvénynek van egy lokális feltételes szélsőértéke a pontban, és a mátrix rangja egyenlő -val. Ekkor a szükséges feltételek a következőképpen írhatók fel:

a Lagrange függvény; a Lagrange-szorzók.

Elegendő feltételek vannak arra is, hogy a (3) egyenletrendszer megoldása meghatározza a függvény szélsőpontját. Ezt a kérdést a Lagrange-függvény második differenciáljának előjelének vizsgálata alapján oldjuk meg. A megfelelő feltételek azonban elsősorban elméleti érdekek.

Az (1), (2) probléma megoldásához a következő eljárást adhatja meg a Lagrange-szorzó módszerrel:

1) állítsa össze a Lagrange-függvényt (4);

2) keresse meg a Lagrange-függvény parciális deriváltjait az összes változóra vonatkozóan, és tegye egyenlővé

nulla. Így egy (3) egyenletekből álló rendszert kapunk.. Oldjuk meg a kapott rendszert (ha lehetségesnek bizonyul!), és így keressük meg a Lagrange-függvény összes stacionárius pontját;

3) a koordináták nélkül vett stacionárius pontokból válassza ki azokat a pontokat, amelyekben a függvény feltételes lokális szélsőségekkel rendelkezik kényszerek jelenlétében (2). Ezt a választást például úgy kell meghozni, hogy megfelelő feltételeket biztosítanak egy helyi szélsőséghez. A vizsgálat gyakran leegyszerűsödik, ha a probléma meghatározott feltételeit alkalmazzák.

Példa a probléma megoldására

A feladat

A cég kétféle árut állít elő mennyiségben és . A hasznos költségfüggvényt a reláció határozza meg. Ezen áruk árai a piacon egyenlőek, ill.

Határozza meg, hogy mekkora kibocsátás mellett éri el a maximális profitot, és mennyivel egyenlő, ha az összköltség nem haladja meg

Problémái vannak a megoldási folyamat megértésében? Az oldalon van egy szolgáltatás Problémamegoldás módszerekkel optimális megoldások megrendelésre

A probléma megoldása

A probléma gazdasági és matematikai modellje

Profit függvény:

Költségkorlátok:

A következő gazdasági és matematikai modellt kapjuk:

Ráadásul a feladat értelmének megfelelően

Lagrange-szorzó módszer

Állítsuk össze a Lagrange függvényt:

I. rendű parciális származékokat találunk:

Összeállítjuk és megoldjuk az egyenletrendszert:

Azóta

Maximális haszon:

Válasz

Ezért egységeket kell előállítani. 1. típusú áruk és egységek. 2. típusú áruk. Ebben az esetben a nyereség maximális és 270 lesz.
Példát adunk a másodfokú konvex programozás feladatának grafikus módszerrel történő megoldására.

Lineáris feladat megoldása grafikus módszerrel
Egy két változós lineáris programozási probléma (LPP) megoldására szolgáló grafikus módszert vizsgálunk. A feladat példáján részletes leírást adunk a rajz felépítéséről és a megoldás megtalálásáról.

Wilson készletgazdálkodási modell
A probléma megoldásának példáján a készletgazdálkodás fő modelljét (Wilson-modell) tekintjük. Kiszámítják a modell olyan mutatóit, mint a rendelési tétel optimális mérete, az éves raktározási költségek, a szállítások közötti intervallum és a megrendelés időpontja.

Közvetlen költségarány mátrix és bemeneti-kimeneti mátrix
A probléma megoldásának példáján a Leontiev interszektorális modellt vizsgáljuk. Megjelenik a közvetlen anyagköltségek együtthatóinak mátrixa, az "input-output" mátrix, a közvetett költségek együtthatóinak mátrixa, a végső fogyasztás és a bruttó kibocsátás vektorai.

Tekintsünk egy elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet:
(1) .
Az egyenlet megoldásának három módja van:

• állandó variációs módszer (Lagrange).

Tekintsük egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldását a Lagrange-módszerrel.

Állandó variációs módszer (Lagrange)

Az állandó variációs módszerben az egyenletet két lépésben oldjuk meg. Az első lépésben egyszerűsítjük az eredeti egyenletet, és megoldjuk a homogén egyenletet. A második lépésben a megoldás első szakaszában kapott integrációs állandót egy függvényre cseréljük. Ezután keressük az eredeti egyenlet általános megoldását.

Tekintsük az egyenletet:
(1)

1. lépés A homogén egyenlet megoldása

A homogén egyenletre keresünk megoldást:

Ez egy elválasztható egyenlet

Változók elválasztása – szorozzuk dx-el, osztjuk y-vel:

Integráljuk:

Integrál y felett - táblázatos:

Akkor

Potencírozza:

Cseréljük ki az e C állandót C-re, és vegyük ki a modulus előjelét, ami az állandóval való szorzásra redukálódik ±1, amelyet a C-be foglalunk:

2. lépés Cserélje ki a C állandót a függvényre

Most cseréljük le a C állandót x függvényére:
c → u (x)
Vagyis megoldást fogunk keresni az eredeti egyenletre (1) mint:
(2)
Megtaláljuk a származékot.

A komplex függvény differenciálási szabálya szerint:
.
A termékdifferenciálási szabály szerint:

.
Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe (1) :
(1) ;

.
Két kifejezés lecsökkent:
;
.
Integráljuk:
.
Csere be (2) :
.
Ennek eredményeként megkapjuk az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános megoldását:
.

Példa egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására Lagrange módszerrel

oldja meg az egyenletet

Megoldás

Megoldjuk a homogén egyenletet:

Változók elválasztása:

Szorozzuk meg:

Integráljuk:

Táblázat integrálok:

Potencírozza:

Cseréljük ki az e C állandót C-re, és távolítsuk el a modulus előjeleit:

Innen:

Cseréljük le a C állandót x függvényével:
c → u (x)

Megtaláljuk a származékot:
.
Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
;
;
Vagy:
;
.
Integráljuk:
;
Egyenlet megoldás:
.