A piramis térfogatának képlete háromszögben kifejezve. A szabályos háromszög alakú gúla térfogatának képletei
Az egyik legegyszerűbb térfogati figura a háromszög alakú gúla, mivel ez a legkevesebb olyan lapból áll, amelyből a térben alakot lehet alkotni. Ebben a cikkben olyan képleteket fogunk megvizsgálni, amelyekkel megtalálhatja a háromszög alakú szabályos piramis térfogatát.
háromszög alakú piramis
Az általános definíció szerint a piramis olyan sokszög, amelynek minden csúcsa egy ponthoz kapcsolódik, amely nem ennek a sokszögnek a síkjában helyezkedik el. Ha ez utóbbi egy háromszög, akkor az egész alakzatot háromszög alakú piramisnak nevezzük.
A vizsgált piramis egy alapból (háromszögből) és három oldallapból (háromszögből) áll. Azt a pontot, ahol a három oldallap összekapcsolódik, az ábra csúcsának nevezzük. Ebből a csúcsból az alapra esett merőleges a piramis magassága. Ha a merőleges és az alap metszéspontja egybeesik a háromszög mediánjainak metszéspontjával az alapnál, akkor szabályos piramisról beszélnek. Ellenkező esetben lejtős lesz.
Mint már említettük, a háromszög alakú piramis alapja lehet egy általános háromszög. Ha azonban egyenlő oldalú, és maga a piramis egyenes, akkor a megfelelő háromdimenziós alakról beszélnek.
Mindegyiknek 4 lapja, 6 éle és 4 csúcsa van. Ha az összes él hossza egyenlő, akkor egy ilyen alakot tetraédernek nevezünk.
általános típus
Mielőtt felírnánk egy szabályos háromszög alakú piramist, megadjuk ennek a fizikai mennyiségnek a kifejezését egy általános típusú piramisra. Ez a kifejezés így néz ki:
Itt S o az alap területe, h az ábra magassága. Ez az egyenlőség a piramis sokszög bármely típusú alapjára, valamint a kúpra érvényes lesz. Ha az alapon van egy háromszög, amelynek oldalhossza a és h o magassága le van engedve, akkor a térfogat képlete a következőképpen lesz felírva:
A szabályos háromszög alakú gúla térfogatának képletei
A háromszögnek egy egyenlő oldalú háromszöge van az alján. Ismeretes, hogy ennek a háromszögnek a magassága az oldalának hosszához kapcsolódik a következő egyenlőséggel:
Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük egy háromszög alakú piramis térfogatának képletébe, amelyet az előző bekezdésben írtunk, a következőt kapjuk:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
A háromszög alappal rendelkező szabályos gúla térfogata az alap oldalhosszának és az ábra magasságának a függvénye.
Mivel bármely szabályos sokszög beírható egy olyan körbe, amelynek sugara egyértelműen meghatározza a sokszög oldalának hosszát, ezért ez a képlet felírható a megfelelő r sugárban:
Ezt a képletet könnyű megszerezni az előzőből, mivel a körülírt kör r sugarát a háromszög a oldalának hosszán a következő kifejezés határozza meg:
A tetraéder térfogatának meghatározásának feladata
Mutassuk meg, hogyan használhatjuk fel a fenti képleteket konkrét geometriai feladatok megoldásában.
Ismeretes, hogy a tetraéder élhossza 7 cm. Határozza meg egy szabályos háromszög alakú piramis-tetraéder térfogatát.
Emlékezzünk vissza, hogy a tetraéder egy szabályos háromszög alakú piramis, amelyben minden bázis egyenlő egymással. A szabályos háromszög alakú piramis térfogatának képletének használatához két mennyiséget kell kiszámítania:
- a háromszög oldalának hossza;
- alak magassága.
Az első érték a probléma feltételéből ismert:
A magasság meghatározásához vegye figyelembe az ábrán látható ábrát.
Az ABC jelölt háromszög olyan derékszögű háromszög, ahol az ABC szög 90o. Az AC oldal a hipotenusz, melynek hossza a. Egyszerű geometriai érveléssel kimutatható, hogy a BC oldal hossza:
Figyeljük meg, hogy a BC hosszúság a háromszög körüli körülírt kör sugara.
h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2/3) \u003d a * √ (2/3).
Most behelyettesítheti h-t és a-t a megfelelő térfogati képletbe:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Így megkaptuk a tetraéder térfogatának képletét. Látható, hogy a térfogat csak a borda hosszától függ. Ha a probléma feltételéből származó értéket behelyettesítjük a kifejezésbe, akkor a következő választ kapjuk:
V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Ha ezt az értéket összehasonlítjuk egy ugyanolyan élű kocka térfogatával, akkor azt kapjuk, hogy a tetraéder térfogata 8,5-szer kisebb. Ez azt jelzi, hogy a tetraéder egy kompakt alak, ami bizonyos természetes anyagokban valósul meg. Például a metánmolekula tetraéderes, és a gyémántban lévő minden egyes szénatom négy másik atomhoz kapcsolódik, így tetraéder keletkezik.
Probléma a homotetikus piramisokkal
Oldjunk meg egy érdekes geometriai feladatot. Tegyük fel, hogy van egy háromszög alakú szabályos gúla, amelynek térfogata V 1 . Hányszorosára kell csökkenteni ennek az alaknak a méretét, hogy az eredetinél háromszor kisebb térfogatú, homotetikus piramist kapjunk?
Kezdjük a probléma megoldásával az eredeti szabályos piramis képletének felírásával:
V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.
Kapjuk meg a feladat feltétele által megkívánt ábra térfogatát, ha paramétereit megszorozzuk a k együtthatóval. Nekünk van:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Mivel a feltételből ismert az ábrák térfogatának aránya, megkapjuk a k együttható értékét:
k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.
Vegyük észre, hogy a k együttható hasonló értékét kaptuk volna egy tetszőleges típusú piramisra, és nem csak egy szabályos háromszög alakúra.
Meghatározás. Oldal arc- ez egy háromszög, amelyben az egyik szög a piramis tetején fekszik, és a másik oldala egybeesik az alap oldalával (sokszög).
Meghatározás. Oldalsó bordák az oldallapok közös oldalai. A piramisnak annyi éle van, ahány sarka van egy sokszögben.
Meghatározás. piramis magassága a piramis tetejéről az aljára ejtett merőleges.
Meghatározás. Apothem- ez a piramis oldallapjának merőlegese, a gúla tetejétől az alap oldaláig leeresztve.
Meghatározás. Átlós szakasz- ez a piramisnak a gúla tetején és az alap átlóján átmenő sík által metszett szakasza.
Meghatározás. Helyes piramis- Ez egy piramis, amelyben az alap egy szabályos sokszög, és a magassága az alap közepéig csökken.
A piramis térfogata és felülete
Képlet. piramis térfogata alapterületen és magasságon keresztül:
piramis tulajdonságai
Ha minden oldalél egyenlő, akkor a piramis alapja köré kör írható, és az alap középpontja egybeesik a kör középpontjával. Ezenkívül a felülről leejtett merőleges áthalad az alap (kör) közepén.
Ha minden oldalborda egyenlő, akkor ugyanolyan szögben dőlnek az alapsíkhoz.
Az oldalsó bordák akkor egyenlőek, ha egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha kör írható le a gúla alapja körül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alap síkjához, akkor a gúla alapjába kör írható, és a gúla teteje a középpontjába vetül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alapsíkhoz, akkor az oldallapok apotémája egyenlő.
Szabályos piramis tulajdonságai
1. A piramis teteje egyenlő távolságra van az alap minden sarkától.
2. Minden oldalél egyenlő.
3. Minden oldalsó borda ugyanolyan szögben dől el az alaphoz képest.
4. Minden oldallap apotémje egyenlő.
5. Az összes oldalfelület területe egyenlő.
6. Minden lapnak azonos kétszögű (lapos) szöge van.
7. A piramis körül egy gömb írható le. A leírt gömb középpontja az élek közepén átmenő merőlegesek metszéspontja lesz.
8. Gúlába beleírható egy gömb. A beírt gömb középpontja az él és az alap közötti szögből kiinduló felezők metszéspontja lesz.
9. Ha a beírt gömb középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával, akkor a csúcson lévő lapos szögek összege egyenlő π-vel vagy fordítva, az egyik szög egyenlő π / n-nel, ahol n a szám szögek a piramis alján.
A piramis kapcsolata a gömbbel
A piramis körül egy gömb írható le, ha a piramis alján egy poliéder fekszik, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja a gúla oldaléleinek felezőpontjain át merőlegesen átmenő síkok metszéspontja lesz.
Egy gömb mindig leírható bármely háromszög vagy szabályos piramis körül.
Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A piramis és a kúp kapcsolata
A kúpot beírtnak nevezzük a gúlába, ha a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába van írva.
A gúlába akkor írhatunk kúpot, ha a piramis apotémjei egyenlőek.
A kúpról azt mondjuk, hogy körülírt egy gúla, ha csúcsai egybeesnek, és a kúp alapja a gúla alapja körül van körülírva.
A gúla körül kúp írható le, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással.
Piramis kapcsolata hengerrel
Egy piramisról azt mondjuk, hogy bele van írva egy hengerbe, ha a piramis teteje a henger egyik alján, a piramis alapja pedig a henger másik alján található.
Egy henger körülírható egy piramis körül, ha kör írható a gúla alapja köré.
A tetraédernek négy lapja és négy csúcsa és hat éle van, ahol bármelyik két élnek nincs közös csúcsa, de nem érintkeznek.
Minden csúcs három lapból és élből áll háromszögű.
A tetraéder csúcsát a szemközti lap középpontjával összekötő szakaszt ún a tetraéder mediánja(GM).
Bimedian Az egymással nem érintkező élek felezőpontjait összekötő szakasznak nevezzük (KL).
A tetraéder minden bimediánja és mediánja egy pontban (S) metszi egymást. Ebben az esetben a bimediánokat felezzük, a mediánokat pedig 3:1 arányban, felülről indulva.
Meghatározás. Élesszögű piramis olyan piramis, amelyben az apotém az alap oldalhosszának több mint fele.
Meghatározás. tompa piramis olyan piramis, amelyben az apotém kisebb, mint az alap oldalhosszának fele.
Meghatározás. szabályos tetraéder Tetraéder, amelynek négy lapja egyenlő oldalú háromszög. Ez az öt szabályos sokszög egyike. Egy szabályos tetraéderben minden diéderszög (a lapok között) és háromszögszög (egy csúcsban) egyenlő.
Meghatározás. Téglalap alakú tetraéder tetraédernek nevezzük, amelynek a csúcsánál három él között derékszög van (az élek merőlegesek). Három arc alakul ki téglalap háromszögűés a lapok derékszögű háromszögek, az alap pedig egy tetszőleges háromszög. Bármely arc apotémája megegyezik az alap oldalának felével, amelyre az apotém esik.
Meghatározás. Izoéderes tetraéder Tetraédernek nevezzük, amelyben az oldallapok egyenlőek egymással, és az alapja egy szabályos háromszög. Az ilyen tetraéder lapjai egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás. Ortocentrikus tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a felülről a szemközti lapra süllyesztett összes magasság (merőleges) egy pontban metszi egymást.
Meghatározás. csillag piramis Olyan poliédert nevezünk, amelynek alapja egy csillag.
A piramis térfogatának meghatározásához több képletet kell ismernie. Tekintsük őket.
Hogyan találjuk meg a piramis térfogatát - 1. út
A piramis térfogatát az alapja magassága és területe alapján találhatja meg. V = 1/3*S*ó. Tehát például, ha a piramis magassága 10 cm, és az alapterülete 25 cm 2, akkor a térfogat egyenlő lesz V = 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3
Hogyan találjuk meg a piramis térfogatát - 2. módszer
Ha egy szabályos sokszög a piramis alján fekszik, akkor a térfogata a következő képlettel határozható meg: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), ahol a a sokszög azon oldala alap, és n az oldalainak száma. Például: Az alap szabályos hatszög, azaz n = 6. Mivel szabályos, ezért minden oldala egyenlő, azaz minden a egyenlő. Tegyük fel, hogy a = 10 és h - 15. Beszúrjuk a számokat a képletbe, és hozzávetőleges választ kapunk - 1299 cm 3
Hogyan találjuk meg a piramis térfogatát - 3. út
Ha egy egyenlő oldalú háromszög van a gúla alapjában, akkor a térfogata a következő képlettel határozható meg: V = ha 2 /4√3, ahol a az egyenlő oldalú háromszög oldala. Például: a piramis magassága 10 cm, az alap oldala 5 cm. A térfogat egyenlő lesz: V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Általában mi történt a nevezőt nem számítják ki és hagyják ugyanabban a formában. A számlálót és a nevezőt is megszorozhatja 4√3-mal, így 1000√3/48-at kap. Csökkentve 125√ 3/6 cm 3 -et kapunk.
Hogyan találjuk meg a piramis térfogatát - 4. út
Ha egy négyzet a piramis alján fekszik, akkor a térfogatát a következő képlettel találhatjuk meg: V = 1/3*h*a 2, ahol a a négyzet oldalai. Például: magasság - 5 cm, a négyzet oldala - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3
Hogyan találjuk meg a piramis térfogatát - 5. út
Ha a piramis tetraéder, azaz minden lapja egyenlő oldalú háromszög, akkor a következő képlet segítségével találhatja meg a gúla térfogatát: V = a 3 √2/12, ahol a a tetraéder egyik éle. Például: tetraéder él \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3
A "piramis" szó önkéntelenül az egyiptomi fenséges óriásokhoz kötődik, hűen őrzi a fáraók békéjét. Talán ez az oka annak, hogy a piramist mindenki, még a gyerekek is félreérthetetlenül felismerik.
Próbáljunk azonban geometriai definíciót adni neki. Képzeljünk el több pontot (A1, A2,..., An) a síkon és még egyet (E), ami nem tartozik hozzá. Tehát, ha az E pont (felső) kapcsolódik az A1, A2, ..., An (bázis) sokszög csúcsaihoz, akkor egy poliédert kapunk, amelyet piramisnak nevezünk. Nyilvánvaló, hogy a piramis alján lévő sokszögnek tetszőleges számú csúcsa lehet, és ezek számától függően a piramist három- és négyszögletűnek, ötszögletűnek stb.
Ha alaposan megnézi a piramist, akkor világossá válik, hogy miért is van másképpen definiálva - geometriai alakzatként, amelynek alapja egy sokszög, és háromszögek, amelyeket egy közös csúcs köt össze oldallapokként.
Mivel a piramis egy térbeli alakzat, ezért van olyan mennyiségi jellemzője is, hogy a piramis alapja és magassága szorzatának jól ismert egyenlő harmadából számítjuk ki:
A piramis térfogatát a képlet levezetésekor kezdetben egy háromszög alakúra számítják ki, és ennek az értéknek az azonos alappal és magasságú háromszög alakú prizma térfogatához viszonyított állandó arányát veszik alapul, amely, mint kiderül, háromszor nagyobb, mint ez a térfogat.
És mivel bármely piramis háromszög alakúra van felosztva, és térfogata nem függ a bizonyításban végrehajtott konstrukcióktól, a fenti térfogatképlet érvényessége nyilvánvaló.
Az összes piramis között különállóak a megfelelőek, amelyekben az alap található, ami az alap közepén kell „végezzen”.
Szabálytalan sokszög esetén az alap területének kiszámításához a következőkre lesz szüksége:
- bontsa háromszögekre és négyzetekre;
- számítsa ki mindegyik területét;
- adja hozzá a kapott adatokat.
A piramis alján lévő szabályos sokszög esetében a területét kész képletek segítségével számítjuk ki, így egy szabályos gúla térfogatát nagyon egyszerűen számítjuk ki.
Például egy négyszög alakú gúla térfogatának kiszámításához, ha az szabályos, egy szabályos négyszög (négyzet) oldalának hosszát az alapnál négyzetre kell emelni, és megszorozva a gúla magasságával, a kapott szorzatot elosztjuk három.
A piramis térfogata más paraméterekkel is kiszámítható:
- a piramisba írt golyó sugarának és teljes felületének szorzatának harmadaként;
- két tetszőlegesen vett keresztező él távolságának és a maradék négy él felezőpontját képező paralelogramma területének szorzatának kétharmadaként.
A piramis térfogatát egyszerűen kiszámítjuk abban az esetben is, ha a magassága egybeesik az egyik oldaléllel, vagyis egy téglalap alakú gúla esetén.
Ha már a piramisokról beszélünk, nem hagyhatjuk figyelmen kívül azokat a csonka piramisokat, amelyeket úgy kapunk, hogy a piramist az alappal párhuzamos síkkal vágjuk. Térfogatuk majdnem megegyezik a teljes piramis és a levágott csúcs térfogata közötti különbséggel.
A piramis első kötetét, bár nem egészen modern formájában, de megegyezik az általunk ismert prizma térfogatának 1/3-ával, Démokritosz találta meg. Arkhimédész „bizonyíték nélküli” számlálási módszerének nevezte, mivel Démokritosz végtelenül vékony, hasonló lemezekből álló alakként közelítette meg a piramist.
A vektoralgebra a piramis térfogatának meghatározásának kérdését is „megválaszolta”, ehhez a csúcsok koordinátáit használta fel. Az a,b,c vektorok hármasára épített piramis egyenlő az adott vektorok vegyes szorzatának modulusának egyhatodával.
Itt a kötet fogalmával kapcsolatos példákat elemezzük. Az ilyen feladatok megoldásához ismernie kell a piramis térfogatának képletét:
S
h - a piramis magassága
Az alap bármilyen sokszög lehet. De a legtöbb vizsgafeladatnál a feltétel általában a helyes piramisokra vonatkozik. Hadd emlékeztesselek az egyik tulajdonságára:
Egy szabályos piramis csúcsa az alapja közepébe van vetítve
Nézze meg a szabályos háromszög, négyszög és hatszögletű piramisok vetületét (FELSŐ NÉZET):
Megteheti a blogon, ahol a piramis térfogatának megtalálásával kapcsolatos feladatokat kezelték.Fontolja meg a feladatokat:
27087. Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla térfogatát, amelynek alapoldalai egyenlők 1-gyel, magassága pedig három gyökével!
S- a piramis alapterülete
h- a piramis magassága
Keresse meg a piramis alapterületét, ez egy szabályos háromszög. A képletet használjuk - a háromszög területe egyenlő a szomszédos oldalak szorzatának felével a köztük lévő szög szinuszával, ami azt jelenti:
Válasz: 0,25
27088. Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla magasságát, amelynek alapoldalai 2, térfogata pedig három gyöke!
Az olyan fogalmakat, mint a piramis magassága és alapjának jellemzői, a térfogati képlet kapcsolja össze:
S- a piramis alapterülete
h- a piramis magassága
Ismerjük magát a térfogatot, megtaláljuk az alap területét, hiszen az alapnak számító háromszög oldalai ismertek. Ezen értékek ismeretében könnyen megtaláljuk a magasságot.
Az alap területének meghatározásához a képletet használjuk - a háromszög területe egyenlő a szomszédos oldalak szorzatának felével a köztük lévő szög szinuszával, ami azt jelenti:
Így ezeket az értékeket behelyettesítve a térfogatképletbe, kiszámíthatjuk a piramis magasságát:
A magasság három.
Válasz: 3
27109. Egy szabályos négyszög alakú piramis magassága 6, oldaléle 10. Határozza meg a térfogatát!
A piramis térfogatát a következő képlettel számítjuk ki:
S- a piramis alapterülete
h- a piramis magassága
Tudjuk a magasságot. Meg kell találnia az alap területét. Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy szabályos piramis csúcsa az alapja közepébe van vetítve. A szabályos négyszög alakú piramis alapja négyzet. Megtaláljuk az átlóját. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget (kék színnel kiemelve):
A négyzet középpontját a B ponttal összekötő szakasz egy szár, amely egyenlő a négyzet átlójának felével. Ezt a lábat a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki:
Tehát BD = 16. Számítsa ki a négyzet területét a négyszög terület képlettel:
Következésképpen:
Így a piramis térfogata:
Válasz: 256
27178. Egy szabályos négyszög alakú piramis magassága 12, térfogata 200. Keresse meg ennek a gúlának az oldalélét!
A piramis magassága és térfogata ismert, így megtaláljuk a négyzet területét, amely az alap. Egy négyzet területének ismeretében megtalálhatjuk az átlóját. Továbbá, figyelembe véve egy derékszögű háromszöget, a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítjuk az oldalélt:
Keresse meg a négyzet (a piramis alapja) területét:
Számítsa ki a négyzet átlóját! Mivel területe 50, akkor az oldal egyenlő lesz az ötven gyökével, és a Pitagorasz-tétel szerint:
Az O pont a BD átlót kettéosztja, így az OB derékszögű háromszög szára = 5.
Így kiszámíthatjuk, hogy a piramis oldaléle mennyivel egyenlő:
Válasz: 13
245353. Határozza meg az ábrán látható gúla térfogatát! Alapja egy sokszög, amelynek szomszédos oldalai merőlegesek, az egyik oldaléle pedig merőleges az alap síkjára, és egyenlő 3-mal.
Amint már többször mondtuk - a piramis térfogatát a következő képlettel számítják ki:
S- a piramis alapterülete
h- a piramis magassága
Az alapra merőleges oldalél három, ami azt jelenti, hogy a gúla magassága három. A piramis alapja egy sokszög, amelynek területe:
Ilyen módon:
Válasz: 27
27086. A gúla alapja egy téglalap, melynek oldala 3 és 4. Térfogata 16. Határozza meg ennek a gúlának a magasságát!
