Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja

		Algebarski oblik zapisivanja kompleksnog broja..................................................... ......... ...................
		Ravnina kompleksnih brojeva..................................................... ...................... ............................ ............................ ...
		Kompleksno konjugirani brojevi..................................................... .................... .............................. ..........................
	Operacije s kompleksnim brojevima u algebarskom obliku..................................................... ......... ....
		Zbrajanje kompleksnih brojeva..................................................... ......................................................... .................
		Oduzimanje kompleksnih brojeva..................................................... .................... .............................. .....................
		Množenje kompleksnih brojeva..................................................... ................................................... ..................
		Dijeljenje kompleksnih brojeva..................................................... .......... ............................................ ................ ...
	Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnog broja..................................................... ......... ..........
	Operacije s kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku..................................................... .........
		Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku ............................................ ........
		Dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku ............................................ ........ ...
		Dizanje kompleksnog broja na pozitivnu cjelobrojnu potenciju..................................... ...........
		Izdvajanje korijena pozitivnog cijelog stupnja iz kompleksnog broja..................................
		Dizanje kompleksnog broja na racionalnu potenciju..................................................... .................. .....
		Složene serije..................................................... ... ................................................ ......... .................
		Kompleksni niz brojeva..................................................... .................... .............................. ..........................
		Redovi potencija u kompleksnoj ravnini..................................................... ........ ............................
		Dvostrani red potencija u kompleksnoj ravnini..................................... ........... ...
		Funkcije kompleksne varijable................................................. ....... ............................................
		Osnovne elementarne funkcije..................................................... .......... ............................................ .
		Eulerove formule..................................................... ... ................................................ ......... .................
		Eksponencijalni oblik predstavljanja kompleksnog broja..................................................... ...................... .
		Odnos između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija.....................................
		Logaritamska funkcija..................................................... ... ................................................ ......... ...
		Opće eksponencijalne i opće potencije............................................. ........ ...............
	Diferencijacija funkcija kompleksne varijable............................................. ......... ...
		Cauchy-Riemann uvjeti..................................................... ..................................................... ........... ............
		Formule za izračunavanje derivata..................................................... ....... ...................................
		Svojstva operacije diferenciranja................................................. ...................... ............................ ...
		Svojstva realnog i imaginarnog dijela analitičke funkcije..................................

	Rekonstrukcija funkcije kompleksne varijable iz njezine realne ili imaginarne
		Metoda broj 1. Korištenje krivuljnog integrala ............................................. ...... .......
		Metoda broj 2. Izravna primjena Cauchy-Riemannovih uvjeta.....................................
		Metoda br. 3. Preko izvoda tražene funkcije............................................. ........ .........
	Integracija funkcija kompleksne varijable.................................................. ......... ..........
	Cauchyjeva integralna formula..................................................... ..................................................... ........... ...
	Proširenje funkcija u serijama Taylor i Laurent.................................................. .......... ........................
	Nule i singularne točke funkcije kompleksne varijable..................................... ............. .....
		Nule funkcije kompleksne varijable............................................. .......... ........................
		Izolirane singularne točke funkcije kompleksne varijable..................................

14.3 Točka u beskonačnosti kao singularna točka funkcije kompleksne varijable

	Odbici................................................. ......................................................... ............. ..................................... ...
		Odbitak na završnoj točki ............................................. ...... ............................................ ............ ......
		Ostatak funkcije u beskonačnoj točki..................................... ........... ...............
	Izračunavanje integrala korištenjem ostataka............................................. ....... ............................
	Pitanja za samoprovjeru..................................................... ................................................... ............................. .....
	Književnost................................................. ................................................. ...... ...................................
	Indeks predmeta................................................. ................................................. ...... ..............

Predgovor

Ispravno rasporediti vrijeme i trud prilikom pripremanja teoretskog i praktičnog dijela ispita ili certificiranja modula prilično je teško, pogotovo jer uvijek nema dovoljno vremena tijekom sesije. I kao što praksa pokazuje, ne može se svatko nositi s tim. Kao rezultat toga, tijekom ispita neki studenti točno rješavaju zadatke, ali im je teško odgovoriti na najjednostavnija teorijska pitanja, dok drugi mogu formulirati teorem, ali ga ne mogu primijeniti.

Ovim smjernicama za pripremu ispita iz kolegija “Teorija funkcija kompleksne varijable” (TFCP) pokušava se razriješiti ova kontradikcija i osigurati istovremeno ponavljanje teorijskog i praktičnog gradiva kolegija. Vodeći se načelom “Teorija bez prakse je mrtva, praksa bez teorije je slijepa”, sadrže kako teorijske odredbe kolegija na razini definicija i formulacija, tako i primjere koji ilustriraju primjenu svakog zadanog teorijskog stava, a time i olakšavaju njegovo pamćenje i razumijevanje.

Svrha predloženih metodičkih preporuka je pomoći studentu da se pripremi za ispit na osnovnoj razini. Drugim riječima, sastavljen je prošireni radni vodič koji sadrži glavne točke koje se koriste u nastavi na kolegiju TFKP i potrebne su pri izradi domaće zadaće i pripremi za testove. Osim za samostalan rad studenata, ova elektronička obrazovna publikacija može se koristiti pri izvođenju nastave u interaktivnom obliku putem elektroničke ploče ili za smještaj u sustav učenja na daljinu.

Napominjemo da ovo djelo ne zamjenjuje ni udžbenike ni bilješke s predavanja. Za dubinsko proučavanje materijala preporuča se pogledati relevantne odjeljke koje je objavio MSTU. N.E. Bauman osnovni udžbenik.

Na kraju priručnika nalazi se popis preporučene literature i predmetni indeks koji uključuje sve istaknuto u tekstu podebljani kurziv Pojmovi. Indeks se sastoji od hiperveza na dijelove u kojima su ti pojmovi strogo definirani ili opisani i gdje su navedeni primjeri koji ilustriraju njihovu upotrebu.

Priručnik je namijenjen studentima 2. godine svih fakulteta MSTU. N.E. Bauman.

1. Algebarski oblik zapisivanja kompleksnog broja

Zapis u obliku z = x + iy, gdje su x,y realni brojevi, i je imaginarna jedinica (tj. i 2 = − 1)

naziva se algebarski oblik zapisivanja kompleksnog broja z. U tom slučaju x se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se s Re z (x = Re z), y se naziva imaginarni dio kompleksnog broja i označava se s Im z (y = Im z).

Primjer. Kompleksni broj z = 4− 3i ima realni dio Rez = 4 i imaginarni dio Imz = − 3.

2. Kompleksna brojevna ravnina

U razmatraju se teorije funkcija kompleksne varijablekompleksna brojevna ravnina, koji se označava ili korištenjem slova koja označavaju kompleksne brojeve z, w itd.

Horizontalna os kompleksne ravnine naziva se realna os, na njemu su postavljeni realni brojevi z = x + 0i = x.

Okomita os kompleksne ravnine naziva se imaginarna os;

3. Kompleksno konjugirani brojevi

Nazivaju se brojevi z = x + iy i z = x − iy složeni konjugat. Na kompleksnoj ravnini oni odgovaraju točkama koje su simetrične u odnosu na realnu os.

4. Operacije s kompleksnim brojevima u algebarskom obliku

4.1 Zbrajanje kompleksnih brojeva

Zbroj dva kompleksna broja

z 1= x 1+ iy 1

a z 2 = x 2 + iy 2 nazivamo kompleksnim brojem

z 1+ z 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) .

operacija

dodatak

kompleksnih brojeva slična je operaciji zbrajanja algebarskih binoma.

Primjer. Zbroj dva kompleksna broja z 1 = 3+ 7i i z 2

= −1 +2 i

bit će kompleksan broj

z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i .

Očito,

ukupni iznos

konjugirati

je

stvaran

z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z.

4.2 Oduzimanje kompleksnih brojeva

Razlika dva kompleksna broja z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

nazvao

sveobuhvatan

broj z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) .

Primjer. Razlika dva kompleksna broja

z 1 =3 −4 i

i z 2

= −1 +2 i

bit će sveobuhvatan

broj z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i .

Po razlici

složeni konjugat

je

z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 Množenje kompleksnih brojeva

Umnožak dva kompleksna broja

z 1= x 1+ iy 1

i z 2= x 2+ iy 2

naziva složenim

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) .

Stoga je operacija množenja kompleksnih brojeva slična operaciji množenja algebarskih binoma, uzimajući u obzir činjenicu da je i 2 = − 1.

Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva, obično se označavaju s . Bilo koji kompleksni broj može se predstaviti kao formalni zbroj, gdje su i realni brojevi, a je imaginarna jedinica.

Zapisivanje kompleksnog broja u obliku , , naziva se algebarski oblik kompleksnog broja.

Svojstva kompleksnih brojeva. Geometrijska interpretacija kompleksnog broja.

Djelovanje na kompleksne brojeve dane u algebarskom obliku:

Razmotrimo pravila po kojima se izvode aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima.

Ako su dana dva kompleksna broja α = a + bi i β = c + di, tada

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (jedanaest)

To proizlazi iz definicije operacija zbrajanja i oduzimanja dvaju uređenih para realnih brojeva (vidi formule (1) i (3)). Dobili smo pravila za zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva: da bismo zbrojili dva kompleksna broja, moramo posebno zbrojiti njihove realne dijelove i, prema tome, njihove imaginarne dijelove; Da bi se od jednog složenog broja oduzeo drugi, potrebno je oduzeti njihov realni, odnosno imaginarni dio.

Broj – α = – a – bi nazivamo suprotan broju α = a + bi. Zbroj ova dva broja je nula: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Da bismo dobili pravilo za množenje kompleksnih brojeva koristimo se formulom (6), odnosno činjenicom da je i2 = -1. Uzimajući u obzir ovu relaciju, nalazimo (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, tj.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Ova formula odgovara formuli (2) kojom je određeno množenje uređenih parova realnih brojeva.

Imajte na umu da su zbroj i umnožak dva kompleksna konjugirana broja realni brojevi. Doista, ako je α = a + bi, = a – bi, tada je α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, tj.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Kod dijeljenja dva kompleksna broja u algebarskom obliku treba očekivati ​​da je kvocijent također izražen brojem iste vrste, tj. α/β = u + vi, gdje je u, v R. Izvedimo pravilo za dijeljenje kompleksnih brojeva . Neka su zadani brojevi α = a + bi, β = c + di i β ≠ 0, tj. c2 + d2 ≠ 0. Posljednja nejednakost znači da c i d ne iščezavaju istovremeno (slučaj je isključen kada je c = 0). , d = 0). Primjenom formule (12) i druge jednakosti (13) nalazimo:

Dakle, kvocijent dvaju kompleksnih brojeva određuje se formulom:

koji odgovara formuli (4).

Koristeći dobivenu formulu za broj β = c + di, možete pronaći njegov inverzni broj β-1 = 1/β. Uz pretpostavku a = 1, b = 0 u formuli (14), dobivamo

Ova formula određuje inverziju zadanog kompleksnog broja različitog od nule; ovaj broj je također složen.

Na primjer: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Operacije nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

55. Argument kompleksnog broja. Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnog broja (derivacija).

Arg.com.brojevi. – između pozitivnog smjera realne X osi i vektora koji predstavlja zadani broj.

Trigonska formula. Brojevi: ,

Stranica 2 od 3

Algebarski oblik kompleksnog broja.
Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva.

Već smo se upoznali s algebarskim oblikom kompleksnog broja - to je algebarski oblik kompleksnog broja. Zašto govorimo o formi? Činjenica je da postoje i trigonometrijski i eksponencijalni oblici kompleksnih brojeva, o čemu će biti riječi u sljedećem odlomku.

Operacije s kompleksnim brojevima nisu osobito teške i ne razlikuju se puno od obične algebre.

Zbrajanje kompleksnih brojeva

Primjer 1

Dodajte dva kompleksna broja,

Da biste zbrojili dva kompleksna broja, potrebno je zbrojiti njihove realne i imaginarne dijelove:

Jednostavno, zar ne? Radnja je toliko očita da ne zahtijeva dodatne komentare.

Na ovaj jednostavan način možete pronaći zbroj bilo kojeg broja članova: zbrojite stvarne dijelove i zbrojite imaginarne dijelove.

Za kompleksne brojeve vrijedi pravilo prve klase: – preslagivanjem članova ne mijenja se zbroj.

Oduzimanje kompleksnih brojeva

Primjer 2

Pronađite razlike između kompleksnih brojeva i , ako je ,

Radnja je slična sabiranju, jedina posebnost je da se subtrahend mora staviti u zagrade, a zatim se zagrade moraju otvoriti na standardni način s promjenom predznaka:

Rezultat ne bi trebao biti zbunjujući; dobiveni broj ima dva, a ne tri dijela. Jednostavno pravi dio je spoj: . Radi jasnoće, odgovor se može prepisati na sljedeći način: .

Izračunajmo drugu razliku:

Ovdje je stvarni dio također složen:

Da izbjegnem podcjenjivanje, navest ću kratak primjer s “lošim” imaginarnim dijelom: . Ovdje više ne možete bez zagrada.

Množenje kompleksnih brojeva

Došao je trenutak da vam predstavimo čuvenu jednakost:

Primjer 3

Pronađite umnožak kompleksnih brojeva,

Očito, rad bi trebao biti napisan ovako:

Što ovo sugerira? Moli se otvoriti zagradu prema pravilu množenja polinoma. To je ono što trebate učiniti! Sve algebarske operacije su vam poznate, glavna stvar je zapamtiti to i budi oprezan.

Ponovimo, omg, školsko pravilo za množenje polinoma: Da biste pomnožili polinom s polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma.

Zapisat ću to detaljno:

Nadam se da je to svima bilo jasno

Pažnja, i opet pažnja, najčešće se griješe u znakovima.

Kao i zbroj, umnožak kompleksnih brojeva je komutabilan, odnosno vrijedi jednakost: .

U obrazovnoj literaturi i na Internetu lako je pronaći posebnu formulu za izračun umnoška složenih brojeva. Koristite ga ako želite, ali čini mi se da je pristup s množenjem polinoma univerzalniji i jasniji. Neću iznositi formulu, mislim da vam je u ovom slučaju to punjenje glave piljevinom.

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Primjer 4

S obzirom na kompleksne brojeve, . Pronađite kvocijent.

Napravimo kvocijent:

Provodi se dijeljenje brojeva množenjem nazivnika i brojnika konjugiranim izrazom nazivnika.

Sjetimo se bradate formule i pogledajmo naš nazivnik: . Nazivnik već ima , pa je konjugirani izraz u ovom slučaju , tj

Prema pravilu, nazivnik se mora pomnožiti s , a da se ništa ne promijeni, brojnik se mora pomnožiti s istim brojem:

Zapisat ću to detaljno:

Odabrao sam "dobar" primjer: ako uzmete dva broja "od nule", tada ćete kao rezultat dijeljenja gotovo uvijek dobiti razlomke, nešto poput .

U nekim slučajevima, prije dijeljenja razlomka, preporučljivo je pojednostaviti ga, na primjer, razmotriti kvocijent brojeva: . Prije dijeljenja riješimo se nepotrebnih minusa: u brojniku i nazivniku minuse izvadimo iz zagrada i smanjimo te minuse: . Za one koji vole rješavati probleme, evo točnog odgovora:

Rijetko, ali se pojavljuje sljedeći zadatak:

Primjer 5

Zadan je kompleksan broj. Zapišite ovaj broj u algebarskom obliku (tj. u obliku).

Tehnika je ista - nazivnik i brojnik množimo s izrazom konjugiranim nazivniku. Pogledajmo ponovno formulu. Nazivnik već sadrži , pa nazivnik i brojnik treba pomnožiti konjugiranim izrazom, odnosno sa:

U praksi, oni lako mogu ponuditi sofisticiran primjer u kojem morate izvesti mnoge operacije sa složenim brojevima. Bez panike: budi oprezan, slijedite pravila algebre, uobičajeni algebarski postupak, i zapamtite da .

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja

U ovom dijelu ćemo više govoriti o trigonometrijskom obliku kompleksnog broja. U praktičnim je zadacima pokazni oblik puno rjeđi. Preporučam preuzimanje i, ako je moguće, ispis trigonometrijskih tablica, metodološki materijal možete pronaći na stranici Matematičke formule i tablice. Bez stolova se ne može daleko.

Svaki kompleksni broj (osim nule) može se napisati u trigonometrijskom obliku:
, gdje je modul kompleksnog broja, A - argument kompleksnog broja. Nemojmo bježati, sve je jednostavnije nego što se čini.

Predstavimo broj na kompleksnoj ravnini. Radi određenosti i jednostavnosti objašnjenja smjestit ćemo ga u prvi koordinatni kvadrant, tj. vjerujemo da:

Modul kompleksnog broja je udaljenost od ishodišta do odgovarajuće točke u kompleksnoj ravnini. Jednostavno rečeno, modul je duljina radijus vektor, koji je na crtežu označen crvenom bojom.

Modul kompleksnog broja obično se označava sa: ili

Koristeći Pitagorin teorem, lako je izvesti formulu za pronalaženje modula kompleksnog broja: . Ova formula je točna za bilo koji značenja "a" i "biti".

Bilješka: Modul kompleksnog broja je generalizacija pojma modul realnog broja, kao udaljenost od točke do ishodišta.

Argument kompleksnog broja nazvao kutak između pozitivna poluos realna os i radijus vektor povučeni iz ishodišta u odgovarajuću točku. Argument nije definiran za jedninu: .

Dotični princip je zapravo sličan polarne koordinate, gdje polarni radijus i polarni kut jednoznačno definiraju točku.

Argument kompleksnog broja standardno se označava: ili

Iz geometrijskih razmatranja dobivamo sljedeću formulu za pronalaženje argumenta:
. Pažnja! Ova formula radi samo u desnoj poluravnini! Ako se kompleksni broj ne nalazi u 1. ili 4. koordinatnom kvadrantu, formula će biti malo drugačija. Analizirat ćemo i te slučajeve.

Ali prvo, pogledajmo najjednostavnije primjere kada se složeni brojevi nalaze na koordinatnim osima.

Primjer 7

Napravimo crtež:

Zapravo, zadatak je usmeni. Radi jasnoće, prepisat ću trigonometrijski oblik kompleksnog broja:

Upamtimo čvrsto, modul – duljina(koji je uvijek nenegativan), argument je kutak.

1) Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument. Očito je da . Formalni izračun pomoću formule: .
Očito je da (broj leži izravno na realnoj pozitivnoj poluosi). Dakle, broj u trigonometrijskom obliku je: .

Postupak obrnute provjere jasan je kao dan:

2) Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument. Očito je da . Formalni izračun pomoću formule: .
Očito (ili 90 stupnjeva). Na crtežu je ugao označen crvenom bojom. Dakle, broj u trigonometrijskom obliku je: .

Koristeći tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija, lako je vratiti algebarski oblik broja (uz provjeru):

3) Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument. Očito je da . Formalni izračun pomoću formule: .
Očito (ili 180 stupnjeva). Na crtežu je kut označen plavom bojom. Dakle, broj u trigonometrijskom obliku je: .

Ispitivanje:

4) I četvrti zanimljiv slučaj. Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument. Očito je da . Formalni izračun pomoću formule: .

Argument se može napisati na dva načina: Prvi način: (270 stupnjeva), i, prema tome: . Ispitivanje:

Međutim, sljedeće je pravilo standardnije: Ako je kut veći od 180 stupnjeva, tada se ispisuje sa znakom minus i suprotnom orijentacijom (“klizanjem”) kuta: (minus 90 stupnjeva), na crtežu je kut označen zelenom bojom. To je lako vidjeti i da su pod istim kutom.

Dakle, unos ima oblik:

Pažnja! Ni u kojem slučaju ne smijete koristiti paritet kosinusa, neparnost sinusa i dodatno "pojednostaviti" zapis:

Usput, korisno je zapamtiti izgled i svojstva trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija; referentni materijali nalaze se u zadnjim odlomcima stranice Grafovi i svojstva osnovnih elementarnih funkcija. A složeni brojevi će se naučiti puno lakše!

U dizajnu najjednostavnijih primjera treba napisati: “očito je da je modul jednak... očito je da je argument jednak...”. Ovo je stvarno očito i lako se može riješiti verbalno.

Prijeđimo na razmatranje uobičajenijih slučajeva. Kao što sam već primijetio, nema problema s modulom, uvijek biste trebali koristiti formulu. Ali formule za pronalaženje argumenta bit će različite, ovisi o tome u kojoj se koordinatnoj četvrti nalazi broj. U ovom slučaju moguće su tri opcije (korisno ih je prepisati u svoju bilježnicu):

1) Ako (1. i 4. koordinatna četvrtina ili desna poluravnina), tada se argument mora pronaći pomoću formule.

2) Ako (2. koordinatna četvrtina), tada se argument mora pronaći pomoću formule .

3) Ako (3. koordinatna četvrtina), tada se argument mora pronaći pomoću formule .

Primjer 8

Predstavite kompleksne brojeve u trigonometrijskom obliku: , , , .

Budući da postoje gotove formule, nije potrebno dovršavati crtež. Ali postoji jedna stvar: kada se od vas traži da predstavite broj u trigonometrijskom obliku, onda Bolje je ipak napraviti crtež. Činjenica je da učitelji često odbijaju rješenje bez crteža, nepostojanje crteža je ozbiljan razlog za minus i neuspjeh.

Eh, sto godina nisam ništa crtao rukom, evo ti:

Kao i uvijek, ispalo je malo prljavo =)

Prikazat ću brojeve iu složenom obliku, prvi i treći broj će biti za samostalno rješavanje.

Predstavimo broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument.