समीकरण x2 y2। दो चर वाले समीकरणों को हल करना

1. एक पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली

एक पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को समीकरणों की पारंपरिक प्रणालियों के समान बुनियादी तरीकों से हल किया जाता है: प्रतिस्थापन विधि, समीकरणों को जोड़ने की विधि और ग्राफिकल विधि। रेखीय प्रणालियों की चित्रमय व्याख्या को जानने से जड़ों की संख्या और उनके अस्तित्व के बारे में प्रश्न का उत्तर देना आसान हो जाता है।

उदाहरण 1

पैरामीटर के लिए सभी मान खोजें जिसके लिए समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

(एक्स + (ए 2 - 3) वाई \u003d ए,
(एक्स + वाई = 2।

समाधान।

आइए इस समस्या को हल करने के कई तरीके देखें।

1 रास्ता।हम संपत्ति का उपयोग करते हैं: सिस्टम का कोई समाधान नहीं है यदि x के सामने गुणांक का अनुपात y के सामने गुणांक के अनुपात के बराबर है, लेकिन मुक्त शर्तों के अनुपात के बराबर नहीं है (a/a 1 = b/ बी 1 ≠ सी / सी 1)। तो हमारे पास हैं:

1/1 \u003d (ए 2 - 3) / 1 ≠ ए / 2 या एक प्रणाली

(और 2 - 3 = 1,
(ए ≠ 2.

पहले समीकरण a 2 \u003d 4 से, इसलिए, इस स्थिति को ध्यान में रखते हुए कि a ≠ 2, हमें उत्तर मिलता है।

उत्तर: ए = -2।

2 रास्ते।हम प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करते हैं।

(2 - y + (एक 2 - 3) y \u003d एक,
(एक्स = 2 - वाई,

((ए 2 - 3) वाई - वाई \u003d ए - 2,
(एक्स = 2 - वाई।

पहले समीकरण में कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड y निकालने के बाद, हम पाते हैं:

((ए 2 - 4) वाई \u003d ए - 2,
(एक्स = 2 - वाई।

सिस्टम का कोई समाधान नहीं है यदि पहले समीकरण का कोई समाधान नहीं है, अर्थात

(और 2 - 4 = 0,
(ए - 2 ≠ 0।

यह स्पष्ट है कि a = ±2, लेकिन दूसरी स्थिति को ध्यान में रखते हुए, केवल ऋणात्मक उत्तर दिया जाता है।

उत्तर:ए = -2।

उदाहरण 2

पैरामीटर के लिए सभी मान खोजें जिसके लिए समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं।

(8x + ay = 2,
(कुल्हाड़ी + 2y = 1.

समाधान।

संपत्ति के अनुसार, यदि x और y पर गुणांक का अनुपात समान है, और सिस्टम के मुक्त सदस्यों के अनुपात के बराबर है, तो इसका अनंत समाधान है (अर्थात, a / a 1 \u003d b / बी 1 \u003d सी / सी 1)। इसलिए 8/ए = ए/2 = 2/1। प्राप्त समीकरणों में से प्रत्येक को हल करते हुए, हम पाते हैं कि इस उदाहरण में एक \u003d 4 उत्तर है।

उत्तर:ए = 4।

2. एक पैरामीटर के साथ तर्कसंगत समीकरणों की प्रणाली

उदाहरण 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = ए।

समाधान।

सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = ए।

दूसरे समीकरण को पहले से घटाएं, हमें 5|x| प्राप्त होता है = 4 - ए। इस समीकरण का a = 4 के लिए एक अनूठा हल होगा। अन्य मामलों में, इस समीकरण के दो हल होंगे (a< 4) или ни одного (при а > 4).

उत्तर: ए = 4।

उदाहरण 4

पैरामीटर के सभी मान खोजें जिनके लिए समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है।

(एक्स + वाई = ए,
(वाई - एक्स 2 \u003d 1।

समाधान।

हम इस सिस्टम को ग्राफिकल तरीके से हल करेंगे। तो, सिस्टम के दूसरे समीकरण का ग्राफ एक पैराबोला है, जो एक यूनिट सेगमेंट द्वारा ओय अक्ष के साथ ऊपर उठाया गया है। पहला समीकरण रेखा y = -x के समानांतर रेखाओं के समुच्चय को परिभाषित करता है (चित्र 1). आंकड़ा स्पष्ट रूप से दिखाता है कि सिस्टम में एक समाधान है यदि सीधी रेखा y \u003d -x + a निर्देशांक (-0.5; 1.25) के साथ बिंदु पर परवलय के लिए स्पर्शरेखा है। इन निर्देशांकों को x और y के बजाय एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम पैरामीटर का मान पाते हैं:

1.25 = 0.5 + ए;

उत्तर: ए = 0.75।

उदाहरण 5

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए, पता करें कि पैरामीटर a के किस मूल्य पर सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

(कुल्हाड़ी - वाई \u003d ए + 1,
(कुल्हाड़ी + (ए + 2) वाई = 2।

समाधान।

पहले समीकरण से y व्यक्त करें और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करें:

(य \u003d आह - ए - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

हम दूसरे समीकरण को kx = b के रूप में लाते हैं, जिसका k ≠ 0 के लिए एक अद्वितीय हल होगा। हमारे पास है:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

ए 2 एक्स + 3एएक्स \u003d 2 + ए 2 + 3ए + 2।

वर्ग ट्रिनोमियल a 2 + 3a + 2 को कोष्ठकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है

(ए + 2) (ए + 1), और बाईं ओर हम x को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं:

(ए 2 + 3 ए) एक्स \u003d 2 + (ए + 2) (ए + 1)।

जाहिर है, a 2 + 3a शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, इसलिए,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, जिसका अर्थ है a ≠ 0 और ≠ -3।

उत्तर:ए ≠ 0; ≠ -3।

उदाहरण 6

ग्राफिकल सॉल्यूशन मेथड का उपयोग करते हुए, यह निर्धारित करें कि पैरामीटर a के किस मान पर सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

(एक्स 2 + वाई 2 = 9,
(वाई - | एक्स | = ए।

समाधान।

स्थिति के आधार पर, हम निर्देशांक के मूल में एक केंद्र के साथ एक सर्कल बनाते हैं और 3 यूनिट सेगमेंट की त्रिज्या होती है, यह वह सर्कल है जो सिस्टम के पहले समीकरण को सेट करता है

x 2 + y 2 = 9. सिस्टम का दूसरा समीकरण (y = |x| + a) एक टूटी हुई रेखा है। का उपयोग करके चित्र 2हम सर्कल के सापेक्ष इसके स्थान के सभी संभावित मामलों पर विचार करते हैं। यह देखना आसान है कि a = 3.

उत्तर: ए = 3।

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अनुदेश

प्रतिस्थापन विधि एक चर को व्यक्त करें और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आप अपनी पसंद के किसी भी चर को व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दूसरे समीकरण से "y" व्यक्त करें:
x-y=2 => y=x-2 फिर सब कुछ पहले समीकरण में डालें:
2x+(x-2)=10 x के बिना सब कुछ दाईं ओर ले जाएं और गिनें:
2x+x=10+2
3x=12 अगला, "x के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:
x = 4। तो, आपने "x" पाया है। पर "खोजें। ऐसा करने के लिए, "x" को उस समीकरण में प्रतिस्थापित करें जिससे आपने "y" व्यक्त किया था:
y=x-2=4-2=2
वाई = 2।

एक जाँच करें। ऐसा करने के लिए, परिणामी मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:
2*4+2=10
4-2=2
अज्ञात सही ढंग से मिला!

समीकरणों को कैसे जोड़ें या घटाएं किसी भी चर को तुरंत हटा दें। हमारे मामले में, "y" के साथ ऐसा करना आसान है।
चूँकि समीकरण में "y का चिन्ह" + है, और दूसरे "-" में, आप एक अतिरिक्त ऑपरेशन कर सकते हैं, अर्थात। हम बाईं ओर बाईं ओर और दाईं ओर दाईं ओर जोड़ते हैं:
2x+y+(x-y)=10+2बदलें:
2x+y+x-y=10+2
3x = 12
x=4 किसी भी समीकरण में "x" को प्रतिस्थापित करें और "y" खोजें:
2*4+y=10
8+य=10
वाई = 10-8
y=2 पहली विधि से, आप जाँच सकते हैं कि मूल सही पाए गए हैं।

यदि स्पष्ट रूप से परिभाषित चर नहीं हैं, तो समीकरणों को थोड़ा बदलना आवश्यक है।
पहले समीकरण में हमारे पास "2x" है, और दूसरे में सिर्फ "x. जोड़ते या घटाते समय x को कम करने के लिए, दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें:
एक्स-वाई = 2
2x-2y=4 फिर दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाएं:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y = 6
किसी भी समीकरण से व्यक्त करके y \u003d 2 "x खोजें, अर्थात।
एक्स = 4

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अवकल समीकरणों को हल करते समय, तर्क x (या भौतिक समस्याओं में समय t) हमेशा स्पष्ट रूप से उपलब्ध नहीं होता है। फिर भी, यह एक अंतर समीकरण स्थापित करने का एक सरलीकृत विशेष मामला है, जो अक्सर इसके अभिन्न अंग की खोज को आसान बनाने में मदद करता है।

अनुदेश

एक भौतिकी समस्या पर विचार करें जो एक अंतर समीकरण की ओर ले जाती है जिसमें तर्क टी की कमी होती है। यह द्रव्यमान m के कंपन की समस्या है, जो एक ऊर्ध्वाधर तल में स्थित r लंबाई के धागे पर लटका हुआ है। पेंडुलम की गति के समीकरण की आवश्यकता होती है यदि प्रारंभिक एक स्थिर था और एक कोण α से संतुलन की स्थिति से विचलित हो गया था। बलों की उपेक्षा की जानी चाहिए (चित्र 1ए देखें)।

समाधान। एक गणितीय पेंडुलम एक भौतिक बिंदु है जो बिंदु O पर भारहीन और अविस्तारित धागे पर निलंबित होता है। दो बल बिंदु पर कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण G \u003d mg और धागा तनाव N। ये दोनों बल एक ऊर्ध्वाधर तल में स्थित हैं। इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, आप बिंदु O से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के चारों ओर एक बिंदु की घूर्णी गति के समीकरण को लागू कर सकते हैं। किसी पिंड की घूर्णी गति के लिए समीकरण का रूप चित्र में दिखाया गया है। 1बी। इस मामले में, मैं भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण हूं; जे बिंदु के साथ धागे के घूर्णन का कोण है, जो ऊर्ध्वाधर अक्ष से वामावर्त से गिना जाता है; एम भौतिक बिंदु पर लागू बलों का क्षण है।

इन मात्राओं की गणना करें। मैं = एमआर ^ 2, एम = एम (जी) + एम (एन)। परंतु M(N)=0, क्योंकि बल की क्रिया रेखा बिंदु O से होकर गुजरती है। M(G)=-mgrsinj. "-" चिह्न का अर्थ है कि बल का क्षण आंदोलन के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। गति के समीकरण में जड़त्व आघूर्ण और बल आघूर्ण को प्रतिस्थापित करें और चित्र में दिखाया गया समीकरण प्राप्त करें। 1s। द्रव्यमान को कम करने से, एक संबंध उत्पन्न होता है (चित्र 1d देखें)। यहां कोई तर्क नहीं है।

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना सबसे पुरानी गणितीय समस्याओं में से एक है। पहले से ही दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत में। इ। बेबीलोन के लोग जानते थे कि दो चरों वाले ऐसे समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल किया जाए। गणित का यह क्षेत्र प्राचीन ग्रीस में अपनी सबसे बड़ी समृद्धि तक पहुँच गया। हमारे लिए मुख्य स्रोत डायोफैंटस का "अंकगणित" है, जिसमें विभिन्न प्रकार के समीकरण शामिल हैं। इसमें, डायोफैंटस (उनके नाम और समीकरणों के नाम के बाद - डायोफैंटाइन समीकरण) दूसरी और तीसरी डिग्री के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए कई तरीकों का अनुमान लगाता है, जो केवल 19 वीं शताब्दी में विकसित हुआ था।

सबसे सरल डायोफैंटाइन समीकरण ax + y = 1 (दो चर के साथ समीकरण, पहली डिग्री) x2 + y2 = z2 (तीन चर के साथ समीकरण, दूसरी डिग्री)

बीजगणितीय समीकरणों का पूरी तरह से अध्ययन किया गया है; उनका समाधान 16वीं और 17वीं शताब्दियों में बीजगणित की सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक था।

19वीं शताब्दी की शुरुआत तक, पी. फर्मेट, एल. यूलर, के. गॉस के कार्यों ने एक डायोफैंटाइन समीकरण की जांच की: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, जहां a, b, c , d, e, f संख्याएँ हैं; x, y अज्ञात चर हैं।

यह दो अज्ञात के साथ एक दूसरी डिग्री का समीकरण है।

के। गॉस ने द्विघात रूपों का एक सामान्य सिद्धांत बनाया, जो दो चर (डायोफैंटाइन समीकरण) के साथ कुछ प्रकार के समीकरणों को हल करने का आधार है। बड़ी संख्या में विशिष्ट डायोफैंटाइन समीकरण हैं जिन्हें प्राथमिक तरीकों से हल किया जा सकता है। /पी>

सैद्धांतिक सामग्री।

काम के इस भाग में, बुनियादी गणितीय अवधारणाओं का वर्णन किया जाएगा, शर्तों की परिभाषा दी जाएगी, अपघटन प्रमेय को अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके तैयार किया जाएगा, जिसका अध्ययन किया गया था और दो चर वाले समीकरणों को हल करते समय विचार किया गया था।

परिभाषा 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ a, b, c, d, e, f संख्याएँ हैं; x, y अज्ञात चर को दो चर के साथ द्वितीय-डिग्री समीकरण कहा जाता है।

गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में, द्विघात समीकरण ax2 + inx + c \u003d 0 का अध्ययन किया जाता है, जहाँ संख्या x का a, b, c एक चर के साथ एक चर है। ऐसे समीकरण को हल करने के कई तरीके हैं:

1. विविक्तकर का प्रयोग करके मूल ज्ञात करना;

2. एक समान गुणांक के लिए मूल ढूँढना (D1 = के अनुसार);

3. वीटा के प्रमेय द्वारा जड़ें खोजना;

4. द्विपद के पूर्ण वर्ग के चयन का उपयोग करके मूल ज्ञात करना।

किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना या यह सिद्ध करना कि कोई नहीं है।

परिभाषा 2: एक समीकरण की जड़ एक संख्या है, जो समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर, एक वास्तविक समानता बनाती है।

परिभाषा 3: दो चर वाले समीकरण के हल को संख्याओं का युग्म (x, y) कहा जाता है, जब उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

एक समीकरण के समाधान खोजने की प्रक्रिया में अक्सर समीकरण को एक समकक्ष समीकरण के साथ बदलने में शामिल होता है, लेकिन समाधान में आसान होता है। ऐसे समीकरणों को समकक्ष कहा जाता है।

परिभाषा 4: दो समीकरणों को समकक्ष कहा जाता है यदि एक समीकरण का प्रत्येक समाधान दूसरे समीकरण का समाधान है, और इसके विपरीत, और दोनों समीकरणों को एक ही क्षेत्र में माना जाता है।

दो चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए, पूर्ण वर्गों के योग में समीकरण के विस्तार पर प्रमेय का उपयोग किया जाता है (अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा)।

दूसरे क्रम के समीकरण के लिए ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) एक अपघटन है a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

आइए उन शर्तों को तैयार करें जिनके तहत दो चर के समीकरण (1) के लिए विस्तार (2) होता है।

प्रमेय: यदि समीकरण (1) के गुणांक a, c, c शर्तों a0 और 4av - c20 को संतुष्ट करते हैं, तो विस्तार (2) एक अनोखे तरीके से निर्धारित होता है।

दूसरे शब्दों में, दो चरों वाले समीकरण (1) को अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करके फॉर्म (2) में घटाया जा सकता है, यदि प्रमेय की शर्तों को पूरा किया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें कि कैसे अनिश्चित गुणांक की विधि लागू की जाती है।

विधि # 1। अनिश्चित गुणांकों की विधि से समीकरण को हल कीजिए

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0।

1. आइए प्रमेय की शर्तों की पूर्ति की जाँच करें, a=2, b=1, c=2, इसलिए a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40।

2. प्रमेय की शर्तें पूरी होती हैं, और सूत्र (2) द्वारा इसका विस्तार किया जा सकता है।

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, प्रमेय की शर्तों के आधार पर सर्वसमिका के दोनों भाग तुल्य हैं। पहचान के दाईं ओर सरल करें।

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. समान चरों के गुणांकों को उनकी घातों के बराबर कीजिए।

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करें, इसे हल करें और गुणांकों के मूल्यों को ढूंढें।

7. गुणांकों को (2) में प्रतिस्थापित करें, तो समीकरण रूप ले लेगा

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0.5y + 0.5) 2 + 0.5 (y -1) 2 + 0

इस प्रकार, मूल समीकरण समीकरण के समतुल्य है

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), यह समीकरण दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के बराबर है।

उत्तर: (-1; 1).

यदि आप अपघटन के प्रकार (3) पर ध्यान देते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह एक चर के साथ द्विघात समीकरण से पूर्ण वर्ग के चयन के रूप में समान है: ax2 + inx + c = a(x +)2 +।

आइए इस ट्रिक को दो चर वाले समीकरण को हल करने के लिए लागू करें। आइए एक पूर्ण वर्ग के चयन की मदद से द्विघात समीकरण को दो चर के साथ पहले से ही प्रमेय का उपयोग करके हल करें।

विधि #2: समीकरण 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 0 को हल करें।

हल: 1. हम 2x2 को दो पदों x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0 के योग के रूप में निरूपित करते हैं।

2. हम शब्दों को इस तरह समूहित करते हैं कि हम पूर्ण वर्ग सूत्र के अनुसार संक्षिप्त कर सकते हैं।

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0।

3. कोष्ठकों में व्यंजकों से पूर्ण वर्गों का चयन करें।

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0।

4. यह समीकरण रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के बराबर है।

उत्तर: (-1;1).

यदि हम परिणामों की तुलना करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि विधि संख्या 1 द्वारा प्रमेय और अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके हल किए गए समीकरण और पूर्ण वर्ग के चयन का उपयोग करके विधि संख्या 2 द्वारा हल किए गए समीकरण की जड़ें समान हैं।

निष्कर्ष: दो चरों के साथ एक द्विघात समीकरण को वर्गों के योग में दो तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है:

➢ पहली विधि अनिश्चित गुणांक की विधि है, जो प्रमेय और अपघटन (2) पर आधारित है।

➢ दूसरा तरीका समान परिवर्तनों की मदद से है, जो लगातार पूर्ण वर्गों का चयन करना संभव बनाता है।

बेशक, समस्याओं को हल करते समय, दूसरी विधि बेहतर होती है, क्योंकि इसमें विस्तार (2) और शर्तों को याद रखने की आवश्यकता नहीं होती है।

यह विधि तीन चरों वाले द्विघात समीकरणों पर भी लागू की जा सकती है। ऐसे समीकरणों में पूर्ण वर्ग का चयन करना अधिक कठिन होता है। मैं अगले साल इस तरह का परिवर्तन करूँगा।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि एक फलन जिसका रूप f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f होता है, दो चरों का द्विघात फलन कहलाता है। गणित की विभिन्न शाखाओं में द्विघात फलन महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं:

गणितीय प्रोग्रामिंग (द्विघात प्रोग्रामिंग) में

रैखिक बीजगणित और ज्यामिति में (द्विघात रूप)

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में (दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण को विहित रूप में कम करना)।

इन विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, वास्तव में, द्विघात समीकरण (एक, दो या अधिक चर) से पूर्ण वर्ग निकालने की प्रक्रिया को लागू करना पड़ता है।

वे रेखाएँ जिनके समीकरणों को दो चरों के द्विघात समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है, दूसरे क्रम के वक्र कहलाते हैं।

यह वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय।

इन वक्रों को आलेखित करते समय पूर्ण वर्ग के उत्तरोत्तर चयन की विधि का भी प्रयोग किया जाता है।

आइए विचार करें कि विशिष्ट उदाहरणों पर एक पूर्ण वर्ग के क्रमिक चयन की विधि कैसे काम करती है।

व्यावहारिक भाग।

पूर्ण वर्ग के क्रमिक चयन की विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करें।

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

उत्तर: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

उत्तर: (0.5; - 0.5)।

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

उत्तर: (-1; 1).

समीकरण हल करें:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(रूप में लाएं: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

उत्तर: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(फॉर्म में लाएं: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

उत्तर: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(फ़ॉर्म पर लाएँ: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

उत्तर: (7; -7)

निष्कर्ष।

इस वैज्ञानिक कार्य में, दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों का अध्ययन किया गया, उन्हें हल करने के तरीकों पर विचार किया गया। कार्य पूरा हो गया है, एक पूर्ण वर्ग का चयन करने और समीकरणों की समतुल्य प्रणाली के साथ समीकरण को बदलने के आधार पर एक छोटी समाधान विधि तैयार और वर्णित की जाती है, परिणामस्वरूप, दो चर वाले समीकरण की जड़ों को खोजने की प्रक्रिया सरल हो जाती है।

कार्य का एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि विचाराधीन तकनीक का उपयोग द्विघात फलन से जुड़ी विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने, दूसरे क्रम के वक्रों के निर्माण और व्यंजकों के सबसे बड़े (सबसे छोटे) मान को खोजने में किया जाता है।

इस प्रकार, दो चरों वाले दूसरे क्रम के समीकरण को वर्गों के योग में विस्तारित करने की तकनीक के गणित में सबसे अधिक अनुप्रयोग हैं।

प्राकृतिक संख्या में अनिश्चितकालीन समीकरण।

राज्य शैक्षिक संस्थान "रेचित्सा जिला लिसेयुम"

द्वारा तैयार: ।

पर्यवेक्षक: ।

परिचय

1. गुणनखंडन विधि द्वारा समीकरणों को हल करना…………4

2. दो चरों वाले समीकरणों को हल करना (विभेदक विधि)……………………………………………………………………….11

3. अवशेष विधि ................................................ ...................................13

4. "अनंत वंश" की विधि ........................................ ............ 15

5.नमूना विधि…………………………………………………………16

निष्कर्ष................................................. ................................................18

परिचय

मैं स्लाव हूं, मैं 10 वीं कक्षा का छात्र रेचित्सा जिला लिसेयुम में पढ़ता हूं।

सब कुछ एक विचार से शुरू होता है! मुझे तीन अज्ञात 29x + 30y + 31 के साथ एक समीकरण को हल करने के लिए कहा गया थाजेड =366। अब मैं इस समीकरण को एक कार्य - एक मजाक मानता हूं, लेकिन पहली बार मैंने अपना सिर फोड़ लिया। मेरे लिए, यह समीकरण एक तरह से अपरिभाषित हो गया है कि इसे कैसे हल किया जाए, किस तरह से।

अंतर्गत अनिश्चितकालीन समीकरणहमें यह समझना चाहिए कि ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें एक से अधिक अज्ञात हैं। आम तौर पर, जो लोग इन समीकरणों को हल करते हैं वे पूर्णांकों में हल ढूंढते हैं।

अनिश्चित समीकरणों को हल करना एक बहुत ही रोमांचक और ज्ञानवर्धक गतिविधि है जो छात्रों की सरलता, अवलोकन, चौकसता के साथ-साथ स्मृति और अभिविन्यास के विकास, तार्किक रूप से सोचने, विश्लेषण करने, तुलना करने और सामान्य बनाने की क्षमता में योगदान करती है। मुझे अभी तक एक सामान्य तकनीक नहीं मिली है, लेकिन अब मैं आपको ऐसे समीकरणों को प्राकृतिक संख्याओं में हल करने के कुछ तरीकों के बारे में बताऊंगा।

यह विषय मौजूदा गणित पाठ्यपुस्तकों में पूरी तरह से शामिल नहीं है, और ओलंपियाड और केंद्रीकृत परीक्षण में समस्याएं पेश की जाती हैं। इसने मुझे दिलचस्पी दी और मुझे इतना मोहित किया कि विभिन्न समीकरणों और समस्याओं को हल करते समय, मैंने अपने स्वयं के समाधानों का एक पूरा संग्रह इकट्ठा किया, जिसे हमने हल करने के तरीकों और तरीकों के अनुसार शिक्षक के साथ साझा किया। तो मेरे काम का उद्देश्य क्या है?

मेरा लक्ष्यप्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर अनेक चरों वाले समीकरणों के हलों का विश्लेषण कर सकेंगे।

प्रारंभ में, हम व्यावहारिक समस्याओं पर विचार करेंगे, और फिर हम समीकरणों को हल करने की ओर बढ़ेंगे।

एक आयत की भुजाओं की लंबाई क्या है यदि इसका परिमाप संख्यात्मक रूप से इसके क्षेत्रफल के बराबर है?

पी = 2 (एक्स + वाई),

एस = xy, एक्स € ​​एन और वाई € एन

पी = एस

2x+2y=xy फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन>+फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> =फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नई रोमन स्थिति: सापेक्ष> फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार:" बार नया रोमन> +फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन> =फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन> उत्तर: (4: 4); (3: 6); (6: 3)।

47 रूबल का भुगतान करने के तरीके खोजें, अगर इसके लिए केवल तीन और पांच रूबल के बिल का उपयोग किया जा सकता है।

समाधान

5x+3y=47

एक्स = 1, वाई = 14

x=1 - 3K, y= 14+5K, K€जेड

एक्स और वाई के प्राकृतिक मूल्य के = 0, -1, -2 के अनुरूप हैं;

(1:14) (4:9) (7:4)

मजाक चुनौती

सिद्ध कीजिए कि समीकरण 29x+30y+31 का एक हल है जेड=336 प्राकृतिक संख्या में।

सबूत

एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं और एक महीने में 29 दिन होते हैं, चार महीनों में 30 दिन होते हैं,

7 महीने - 31 दिन।

हल तीन (1:4:7) है। इसका अर्थ है कि प्राकृतिक संख्याओं में समीकरण का एक हल है।

1. गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करना

1) समीकरण x2-y2=91 को प्राकृत संख्याओं में हल कीजिये

समाधान

(x-y)(x+y)=91

समाधान 8 सिस्टम

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> x-y = 1

एक्स+वाई=91

(46:45)

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "गुना नया रोमन> x-y = 91

एक्स + वाई = 1

(46: -45)

एक्स-वाई = 13

एक्स + वाई = 7

(10: -3)

एक्स-वाई = 7

एक्स + वाई = 13

(10:3)

एक्स-वाई = -1

एक्स + वाई = -91

(-46: 45)

एक्स-वाई = -91

एक्स + वाई = -1

(-46: -45)

एक्स-वाई = -13

एक्स + वाई = -7

(-10:3)

एक्स-y फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-हाइट: 150%; फॉन्ट-फैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन> = -7

एक्स + वाई = -13

(-10: -3)

उत्तर: ( 46:45):(10:3).

2) समीकरण x3 + 91 \u003d y3 को प्राकृतिक संख्या में हल करें

समाधान

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

समाधान 8 सिस्टम

वाई-एक्स = 1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "गुना नया रोमन> y-x = 91

y2+xy+x2= 1

वाई-एक्स = 13

y2+xy+x2=7

पूर्णांकों में कोई हल नहीं है

वाई-एक्स = 7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

शेष 4 प्रणालियों का पूर्णांकों में हल नहीं है। शर्त एक समाधान से संतुष्ट है।

उत्तर: (5:6).

3) समीकरण xy=x+y को प्राकृत संख्याओं में हल कीजिये I

समाधान

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1)(x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

समाधान 2 सिस्टम

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> y-1 = -1

एक्स -1 = -1

(0:0)

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> y-1 = 1

x-1=1

(2:2)

उत्तर: (2:2).

4) समीकरण को हल करें 2x2+5xy-12y2=28 प्राकृतिक संख्या में

समाधान

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

एक्स; वाई - प्राकृतिक संख्या; (x+4y)€एन

(x+4y)≥5

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> 2x-3y = 1

x+4y=28

(8:5)

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-हाइट: 150%; फॉन्ट-फैमिली: "टाइम्स न्यू रोमन> 2x-3y = 4

एक्स + 4y = 7

2x-3y=2

x+4y=14

प्राकृतिक संख्या में कोई समाधान नहीं

उत्तर: (8:5).

5) प्रश्न हल करें 2xy=x2+2y प्राकृतिक संख्या में

समाधान

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

एक्स -1 = 1

(2:2)

x-2y+1=1

एक्स -1 = -1

प्राकृतिक संख्या में कोई समाधान नहीं

उत्तर: (2:2).

6) प्रश्न हल करें एक्सपरजेड-3 xy-2 xz+ यज़+6 एक्स-3 वाई-2 जेड= -4 प्राकृतिक संख्या में

समाधान

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

समाधान 6 सिस्टम

जेड -3= 1

एक्स + 1 = 1

वाई-2=2

(0 : 4 : 4 )

जेड-3= -1

एक्स+1=-1

वाई-2= 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" Style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

एक्स + 1 = 2

वाई-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

एक्स + 1 = 1

वाई-2=1

(0 :3: 5 )

जेड-3= -1

एक्स +1 = 2

वाई-2=-1

(1:1:2)

z-3=2

एक्स +1 = -1

वाई -2= -1

(-2:1:5)

उत्तर: (1:3:4).

मेरे लिए एक और जटिल समीकरण पर विचार करें।

7) समीकरण x2-4xy-5y2=1996 को प्राकृतिक संख्या में हल करें

समाधान

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

एक्स € ​​एन, वाई € एन; (एक्स + वाई) € एन; (एक्स + वाई)> 1

x-5y=1

x+y=1996

कोई समाधान नहीं

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-हाइट: 150%; फॉन्ट-फैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>x-5y=499

एक्स + वाई = 4

कोई समाधान नहीं

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> x-5y = 4

एक्स + वाई = 499

कोई समाधान नहीं

x-5y=2

एक्स + वाई = 998

(832:166)

x-5y=988

एक्स + वाई = 2

कोई समाधान नहीं

उत्तर:एक्स = 832, वाई = 166।

आइए निष्कर्ष निकालते हैं:फैक्टरिंग द्वारा समीकरणों को हल करते समय, संक्षिप्त गुणन सूत्र, समूहीकरण विधि, पूर्ण वर्ग चयन विधि का उपयोग किया जाता है .

2. दो चरों वाले समीकरणों को हल करना (विभेदक विधि)

1) समीकरण 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 को प्राकृतिक संख्या में हल करें

समाधान

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

डी \u003d (8y - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2y + 2) \u003d 4 ((4y - 1) 2 -5 * (5y2 + 2y + 2))

x1.2= फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> =फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन>

डी = 0, फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन> = 0

वाई = -1, एक्स = 1

उत्तर:कोई समाधान नहीं है।

2) समीकरण को हल करें 3(x2+xy+y2)=x+8y प्राकृतिक संख्या में

समाधान

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

डी \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

डी≥0, -27y2+90y+1≥0

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन> ≤y≤फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> y €एन , y=1, 2, 3. इन मानों के माध्यम से जाने पर, हमारे पास (1:1) है।

उत्तर: (1:1).

3) समीकरण को हल करें x4-y4-20x2+28y2=107 प्राकृतिक संख्या में

समाधान

हम एक प्रतिस्थापन प्रस्तुत करते हैं: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

ए2-20ए+28ए-ए2=0

a1.2=-10± +96 फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन रंग: काला> a2-20a + 28a-a2-96 = 11

a1,2=10± फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> = 10±फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> = 10± (ए-14)

a1=a-4, a2=24-a

समीकरण ऐसा दिखता है:

(ए-ए+4)(ए+ए-24)=1

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-हाइट: 150%; फॉन्ट-फैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

प्राकृतिक संख्या में कोई समाधान नहीं हैं;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-हाइट: 150%; फॉन्ट-फैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

х2+y2 - 24= -1 प्राकृतिक और पूर्णांक संख्याओं में कोई समाधान नहींउत्तर: (4:3),(2:3).

3. अवशिष्ट विधि

अवशिष्ट विधि द्वारा समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित कार्यों का बहुत बार उपयोग किया जाता है:

ए) 3 और 4 से विभाजित करने पर क्या शेष रह सकता है?

यह बहुत सरल है, जब 3 या 4 से विभाजित किया जाता है, सटीक वर्ग दो संभावित शेषफल दे सकते हैं: 0 या 1।

बी) 7 और 9 से विभाजित करने पर कौन से अवशेष सटीक घन दे सकते हैं?

7 से विभाजित करने पर, वे शेषफल दे सकते हैं: 0, 1, 6; और 9: 0, 1, 8 से विभाजित करते समय।

1) समीकरण को हल करें x2+y2=4 जेड-1 प्राकृतिक संख्या में

समाधान

x2+y2+1=4z

विचार करें कि इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को 4 से विभाजित करने पर क्या शेष बचता है। जब 4 से विभाजित किया जाता है, तो सटीक वर्ग केवल दो अलग-अलग शेष 0 और 1 दे सकते हैं। फिर x2 + y2 + 1 जब 4 से विभाजित करते हैं तो शेषफल 1, 2, 3 और 4 देते हैं।जेड बिना शेष के विभाजित।

इसलिए, इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

2) समीकरण 1!+2!+3!+ …+x!= y2 को प्राकृत संख्याओं में हल कीजिए

समाधान

ए) X=1, 1!=1, फिर y2=1, y=±1 (1:1)

बी) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, यानी y2= 9, y=±3 (3:3)

सी) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, यानी y=±फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन> डी)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (कोई नहीं), y2=33

इ) x≥5, 5!+6!+…+x!, 10 की कल्पना करोएन, एन € एन

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n

3 से समाप्त होने वाली संख्या का अर्थ है कि यह पूर्णांक का वर्ग नहीं हो सकता। इसलिए, x≥5 का प्राकृत संख्याओं में कोई हल नहीं है।

उत्तर:(3:3) और (1:1)।

3) सिद्ध कीजिए कि प्राकृतिक संख्याओं में कोई हल नहीं है

x2-y3=7

जेड 2 - 2यू2=1

सबूत

मान लें कि सिस्टम हल करने योग्य हैजेड 2 \u003d 2y2 + 1, जेड2 - विषम संख्या

z=2m+1

y2+2m2+2m , y2एक सम संख्या है, y = 2एन, एन € एन

x2=8n3 +7, यानी x2एक विषम संख्या है और एक्सविषम, एक्स = 2आर +1, एन € एन

विकल्प एक्स और पर पहले समीकरण में,

2(आर 2 + आर -2एन 3 )=3

यह संभव नहीं है, क्योंकि समीकरण का बायां पक्ष दो से विभाज्य है, और दायां पक्ष विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा सत्य नहीं है, अर्थात, प्राकृतिक संख्याओं में प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

4. अनंत वंश विधि

हम निम्नलिखित योजना के अनुसार हल करते हैं:

मान लीजिए कि समीकरण का एक समाधान है, हम एक निश्चित अनंत प्रक्रिया का निर्माण कर रहे हैं, जबकि समस्या के अर्थ के अनुसार, यह प्रक्रिया एक समान कदम पर समाप्त होनी चाहिए।

1)सिद्ध कीजिए कि समीकरण 8x4+4y4+2 जेड4 = टी4 प्राकृतिक संख्या में कोई समाधान नहीं है

सबूत

मान लें कि समीकरण का पूर्णांकों में हल है, तो यह उसका अनुसरण करता है

टी -4 एक सम संख्या है, तो t भी सम है

टी=2टी1 , टी1 € जेड

8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

जेड 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 सम है, तो z =2 z 1 , z 1 € Z

विकल्प

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

x सम है, अर्थात x=2x, x1€जेड, फिर

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

इसलिए एक्स, वाई, जेड , टी – सम संख्याएँ, फिर X1, y1, z1, t1 - यहां तक ​​की। फिर एक्स, वाई,जेड, टी और एक्स 1, वाई 1, जेड 1, टी 1 2 से विभाज्य हैं, अर्थात्, फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नई रोमन स्थिति: सापेक्ष> फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार:" बार नया रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन> औरफ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन>।

तो, यह पता चला कि संख्या समीकरण को संतुष्ट करती है; 2 के गुणक हैं, और चाहे कितनी भी बार हम उन्हें 2 से विभाजित करें, हमें हमेशा वही संख्याएँ मिलेंगी जो 2 की गुणज हैं। इस स्थिति को संतुष्ट करने वाली एकमात्र संख्या शून्य है। लेकिन शून्य प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित नहीं है।

5. नमूना विधि

1) समीकरण का हल ज्ञात कीजिए फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन>+फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> =फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> समाधान

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> =फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊँचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "बार नया रोमन> p (x + y) = xy

xy=px+py

xy-पीएक्स-आरयू = 0

xy-px-आरयू+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

समाधान 6 सिस्टम

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-हाइट: 150%; फॉन्ट-फैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>y-r=r

एक्स-पी = पी

वाई = 2 पी, एक्स = 2 पी

वाई-आर = - आर

एक्स-पी = - पी

वाई = 0, एक्स = 0

वाई-आर = 1

एक्स-पी = 1

y=1+p, x=1+p

वाई-आर = -1

एक्स-पी = -1

वाई = पी-1, एक्स = पी-1

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "गुना नया रोमन> y-p = p2

एक्स-पी = पी 2

y=p2+p, x= p2+p

फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; रेखा-ऊंचाई: 150%; फ़ॉन्ट-परिवार: "गुना नया रोमन> y-p = -p2

एक्स-पी = - पी 2

y=p-p2, x=p-p2

उत्तर:(2पी:2पी), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2)।

निष्कर्ष

आमतौर पर अनिश्चित समीकरणों के हल पूर्णांकों में खोजे जाते हैं। जिन समीकरणों में केवल पूर्णांक हल खोजे जाते हैं उन्हें डायोफैंटाइन कहा जाता है।

मैंने प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर एक से अधिक अज्ञात समीकरणों के समाधान का विश्लेषण किया। इस तरह के समीकरण इतने विविध होते हैं कि उन्हें हल करने के लिए शायद ही कोई एल्गोरिद्म हो। ऐसे समीकरणों के समाधान के लिए सरलता की आवश्यकता होती है और यह गणित में स्वतंत्र कार्य कौशल के अधिग्रहण में योगदान देता है।

मैंने उदाहरणों को सबसे सरल तरीकों से हल किया। ऐसे समीकरणों को हल करने की सबसे सरल तकनीक एक चर को बाकी के संदर्भ में व्यक्त करना है, और हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है कि हम इन चरों को खोजने के लिए जांच करेंगे जिनके लिए यह प्राकृतिक (पूर्णांक) है।

इसी समय, अवधारणाओं और विभाज्यता से संबंधित तथ्य, जैसे कि अभाज्य और भाज्य संख्याएँ, विभाज्यता के चिह्न, अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ, आदि।

विशेष रूप से अक्सर इस्तेमाल किया जाता है:

1) यदि कोई उत्पाद एक अभाज्य संख्या p से विभाज्य है, तो इसका कम से कम एक कारक p से विभाज्य है।

2) यदि गुणनफल किसी संख्या से विभाज्य है साथऔर कारकों में से एक संख्या के साथ कोप्राइम है साथ, तो दूसरा कारक विभाज्य है साथ.