एक यादृच्छिक चर x के वितरण का नियम दिया गया है। असतत यादृच्छिक चर और इसका वितरण कार्य

असतत यादृच्छिकवेरिएबल्स को रैंडम वेरिएबल्स कहा जाता है जो केवल उन मूल्यों को लेते हैं जो एक दूसरे से दूर हैं, जिन्हें पहले से गिना जा सकता है।
वितरण कानून
एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून एक संबंध है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।
असतत यादृच्छिक चर की वितरण सीमा इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं की एक सूची है।
असतत यादृच्छिक चर के वितरण समारोह को फ़ंक्शन कहा जाता है:
,
जो तर्क x के प्रत्येक मान के लिए इस संभावना को निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X इस x से कम मान लेता है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
,
असतत यादृच्छिक चर का मान कहाँ है; - यादृच्छिक चर X मानों को स्वीकार करने की संभावना।
यदि एक यादृच्छिक चर संभावित मूल्यों के एक गणनीय सेट पर ले जाता है, तो:
.
एन स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना की घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा:
,

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव और मानक विचलन
असतत यादृच्छिक चर का फैलाव:
या .
n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना की घटनाओं की संख्या का प्रसरण
,
जहाँ p घटना के घटित होने की प्रायिकता है।
असतत यादृच्छिक चर का मानक विचलन:
.

उदाहरण 1
एक असतत यादृच्छिक चर (d.r.v.) X के लिए संभाव्यता वितरण कानून बनाएं - n = 8 में कम से कम एक "छह" की संख्या k पासा की एक जोड़ी फेंकता है। वितरण बहुभुज प्लॉट करें। वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं (वितरण मोड, गणितीय अपेक्षा M(X), भिन्नता D(X), मानक विचलन s(X))। समाधान:आइए अंकन का परिचय दें: घटना ए - "पासा की एक जोड़ी फेंकने के दौरान, छह कम से कम एक बार दिखाई दिए।" घटना A की प्रायिकता P(A) = p ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले विपरीत घटना Ā की प्रायिकता P(Ā) = q ज्ञात करना अधिक सुविधाजनक है - “पासा का एक जोड़ा फेंकते समय, छक्का भी नहीं आया। एक बार"।
चूँकि एक पासे को फेंकने पर "छह" नहीं आने की प्रायिकता 5/6 है, तो प्रायिकता गुणन प्रमेय द्वारा
पी (ए) = क्यू = =।
क्रमश,
पी(ए) = पी = 1 - पी(ए) = .
समस्या में परीक्षण बरनौली योजना के अनुसार किए जाते हैं; इसलिए, d.r.v. आकार एक्स- संख्या कदो पासा फेंकते समय कम से कम एक छक्का छोड़ना संभाव्यता वितरण के द्विपद नियम का पालन करता है:

कहा पे = से संयोजनों की संख्या है एनपर क.

तालिका के रूप में इस समस्या के लिए की गई गणनाओं को व्यवस्थित करना सुविधाजनक है:
डी.आर.वी. का प्रायिकता बंटन एक्स º क (एन = 8; पी = ; क्यू = )

क
पीएन(क)

एक असतत यादृच्छिक चर के प्रायिकता वितरण का बहुभुज (बहुभुज)। एक्सचित्र में दिखाया गया है:

चावल। d.r.v के प्रायिकता बंटन का बहुभुज एक्स=क.
लंबवत रेखा वितरण की गणितीय अपेक्षा दर्शाती है एम(एक्स).

आइए हम d.r.v के संभाव्यता वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं। एक्स. वितरण मोड 2 है (यहाँ पी 8(2) = 0.2932 अधिकतम)। गणितीय अपेक्षा, परिभाषा के अनुसार, है:
एम(एक्स) = = 2,4444,
कहाँ पे एक्सके = क d.r.v द्वारा स्वीकृत मूल्य है। एक्स. फैलाव डी(एक्स) हम सूत्र द्वारा वितरण पाते हैं:
डी(एक्स) = = 4,8097.
मानक विचलन (RMS):
एस( एक्स) = = 2,1931.

उदाहरण 2
असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण कानून द्वारा दिया गया

बंटन फलन F(x) ज्ञात कीजिए और इसे आलेखित कीजिए।

समाधान।अगर, तो (तीसरी संपत्ति)।
तो अगर । सचमुच, एक्स 0.3 की प्रायिकता के साथ मान 1 ले सकता है।
तो अगर । दरअसल, अगर यह असमानता को संतुष्ट करता है
, तो यह उस घटना की संभावना के बराबर है जिसे कब किया जा सकता है एक्समान 1 लेगा (इस घटना की संभावना 0.3 है) या मान 4 (इस घटना की संभावना 0.1 है)। चूँकि ये दोनों घटनाएँ असंगत हैं, इसलिए योग प्रमेय के अनुसार, किसी घटना की प्रायिकता प्रायिकताओं के योग 0.3 + 0.1=0.4 के बराबर होती है। तो अगर । दरअसल, घटना निश्चित है, इसलिए इसकी संभावना एक के बराबर है। इसलिए, वितरण समारोह को विश्लेषणात्मक रूप से निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़:
आइए हम इन मूल्यों के संगत प्रायिकता ज्ञात करें। शर्त के अनुसार, उपकरणों की विफलता की संभावनाएँ बराबर हैं: फिर वारंटी अवधि के दौरान उपकरणों के चालू रहने की संभावनाएँ बराबर हैं:




वितरण कानून का रूप है:

परिभाषा 2.3। एक्स द्वारा निरूपित एक यादृच्छिक चर को असतत कहा जाता है यदि यह मानों का परिमित या गणनीय सेट लेता है, अर्थात सेट एक परिमित या गणनीय सेट है।

असतत यादृच्छिक चर के उदाहरणों पर विचार करें।

1. दो सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। इस प्रयोग में हथियारों के कोट की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्स. इसके संभावित मान 0,1,2 हैं, अर्थात। एक परिमित समुच्चय है।

2. किसी निश्चित अवधि के दौरान एम्बुलेंस कॉल की संख्या दर्ज की जाती है। यादृच्छिक मूल्य एक्स- कॉल की संख्या। इसके संभावित मान 0, 1, 2, 3, ..., अर्थात् हैं। =(0,1,2,3,...) एक गणनीय समुच्चय है।

3. समूह में 25 छात्र हैं। किसी दिन, कक्षाओं में आने वाले छात्रों की संख्या दर्ज की जाती है - एक यादृच्छिक चर एक्स. इसके संभावित मान हैं: 0, 1, 2, 3, ..., 25 यानी =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

हालांकि उदाहरण 3 में सभी 25 लोग कक्षाएं नहीं छोड़ सकते, लेकिन यादृच्छिक चर एक्सयह मान ले सकते हैं। इसका मतलब है कि एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएँ हैं।

असतत यादृच्छिक चर के गणितीय मॉडल पर विचार करें।

चलो एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है, जो प्राथमिक घटनाओं के परिमित या गणनीय स्थान से मेल खाता है। आइए हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर इस स्थान की मैपिंग पर विचार करें, अर्थात, हम प्रत्येक प्रारंभिक घटना को किसी वास्तविक संख्या के साथ जोड़ते हैं। इस मामले में संख्याओं का समुच्चय परिमित या गणनीय हो सकता है, अर्थात या

उपसमुच्चयों की प्रणाली, जिसमें कोई भी उपसमुच्चय शामिल है, जिसमें एक-बिंदु एक शामिल है, एक संख्यात्मक सेट (-निश्चित रूप से या गणनीय) का बीजगणित बनाता है।

चूँकि कोई भी प्रारंभिक घटना कुछ संभावनाओं से जुड़ी होती है पी मैं(परिमित सभी के मामले में), और, फिर हम यादृच्छिक चर के प्रत्येक मान के लिए एक निश्चित संभावना निर्दिष्ट कर सकते हैं पी मैं, ऐसा है कि ।

होने देना एक्सएक मनमाना वास्तविक संख्या है। निरूपित आर एक्स (एक्स)संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सके बराबर मान लिया एक्स, अर्थात। पी एक्स (एक्स) \u003d पी (एक्स \u003d एक्स). फिर समारोह आर एक्स (एक्स)केवल उन्हीं मानों के लिए धनात्मक मान ले सकते हैं एक्स, जो परिमित या गणनीय समुच्चय से संबंधित हैं , और अन्य सभी मानों के लिए, इस मान की प्रायिकता पी एक्स (एक्स) = 0।

इसलिए, हमने मूल्यों के सेट को परिभाषित किया है, -बीजगणित किसी भी उपसमुच्चय की प्रणाली के रूप में और प्रत्येक घटना के लिए ( एक्स = एक्स) संभावना की तुलना किसी के लिए, यानी एक संभाव्यता स्थान बनाया।

उदाहरण के लिए, एक सममित सिक्के को दो बार उछालने वाले प्रयोग की प्राथमिक घटनाओं के स्थान में चार प्राथमिक घटनाएं होती हैं: , जहां

जब एक सिक्के को दो बार उछाला गया, तो दो जाली गिर गईं; जब एक सिक्के को दो बार उछाला गया, तो हथियारों के दो कोट गिर गए;

एक सिक्के की पहली उछाल पर, एक झंझरी गिर गई, और दूसरे पर, हथियारों का एक कोट;

एक सिक्के की पहली उछाल में, हथियारों का कोट बाहर गिर गया, और दूसरी बार, ग्रेट।

चलो यादृच्छिक चर एक्सजाली छोड़ने वालों की संख्या है। इसे परिभाषित किया गया है और इसके मूल्यों का सेट है . सभी संभावित उपसमुच्चय, जिनमें एक-बिंदु वाले भी शामिल हैं, एक बीजगणित बनाते हैं, अर्थात =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2))।

एक घटना की संभावना ( एक्स = एक्स मैं}, і = 1,2,3 , हम इसे किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता के रूप में परिभाषित करते हैं जो इसका प्रोटोटाइप है:

इस प्रकार, प्रारंभिक घटनाओं पर ( एक्स = एक्स मैं) एक संख्यात्मक फ़ंक्शन सेट करें आर एक्स, इसलिए .

परिभाषा 2.4। असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून संख्याओं के जोड़े (x i , p i) का एक सेट है, जहाँ x i यादृच्छिक चर के संभावित मान हैं, और p i वे संभावनाएँ हैं जिनके साथ यह इन मानों को लेता है, और ।

असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करती है:

			…		…
			…		…

ऐसी तालिका को वितरण श्रृंखला कहा जाता है। वितरण श्रृंखला को और अधिक दृश्य बनाने के लिए, इसे रेखांकन के रूप में दर्शाया गया है: अक्ष पर ओहडॉट्स लगाएं एक्स मैंऔर उनसे लम्बाई के लंब खींचिए पी मैं. परिणामी बिंदु जुड़े हुए हैं और एक बहुभुज प्राप्त होता है, जो वितरण कानून (चित्र 2.1) के रूपों में से एक है।

इस प्रकार, एक असतत यादृच्छिक चर सेट करने के लिए, आपको इसके मूल्यों और संबंधित संभावनाओं को निर्धारित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण 2.2।हर बार एक सिक्का गिराए जाने की संभावना के साथ मशीन का कैश स्वीकर्ता चालू हो जाता है आर. एक बार काम करने के बाद सिक्के नीचे नहीं उतारे जाते। होने देना एक्स- मशीन के नकद स्वीकर्ता के ट्रिगर होने से पहले सिक्कों की संख्या कम होनी चाहिए। असतत यादृच्छिक चर के वितरण की एक श्रृंखला बनाएँ एक्स.

समाधान।एक यादृच्छिक चर के संभावित मान एक्स: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ...आइए इन मूल्यों की संभावनाएं खोजें: पी 1संभावना है कि नकद दराज पहले अवरोही पर काम करेगा, और पी 1 = पी; पी 2 -संभावना है कि दो प्रयास किए जाएंगे। ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि: 1) पहले प्रयास में धन प्राप्तकर्ता काम न करे; 2) दूसरे प्रयास में - यह काम किया। इस घटना की प्रायिकता है (1-आर) आर. उसी प्रकार और इसी तरह, . वितरण सीमा एक्सरूप धारण कर लेगा

	1	2	3	…	प्रति	…
	आर	क्यूपी	क्यू 2 पी		क्यू आर -1 पी

ध्यान दें कि संभावनाएं आर टूएक भाजक के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाएँ: 1-पी = क्यू, क्यू<1, इसलिए इस संभाव्यता वितरण को कहा जाता है ज्यामितिक.

आइए आगे मान लें कि एक गणितीय मॉडल का निर्माण किया गया है असतत यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित प्रयोग एक्स, और मनमाना घटनाओं के घटित होने की संभावनाओं की गणना पर विचार करें।

एक मनमानी घटना में मूल्यों का एक परिमित या गणनीय सेट होता है एक्स मैं: ए = {एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स आई, ...) ।आयोजन लेकिनफॉर्म की असंगत घटनाओं के संघ के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है : . फिर, कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध 3 को लागू करना , हम पाते हैं

चूँकि हमने घटनाओं के घटित होने की संभावनाओं को उन घटनाओं के घटित होने की संभावनाओं के बराबर निर्धारित किया है जो उनके प्रोटोटाइप हैं। इसका मतलब है कि किसी भी घटना की संभावना , सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है, क्योंकि इस घटना को घटनाओं के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ .

फिर वितरण समारोह एफ(एच) = आर(-<Х<х) सूत्र के अनुसार पाया जाता है। यह इस प्रकार है कि असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्सअसंतत है और छलाँगों में वृद्धि करता है, अर्थात यह एक चरणीय फलन है (चित्र 2.2):

यदि समुच्चय परिमित है, तो सूत्र में पदों की संख्या परिमित है; यदि यह गणनीय है, तो पदों की संख्या भी गणनीय है।

उदाहरण 2.3।तकनीकी उपकरण में दो तत्व होते हैं जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। समय टी में पहले तत्व की विफलता की संभावना 0.2 है, और दूसरे तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। यादृच्छिक मूल्य एक्स- समय टी में विफल तत्वों की संख्या। एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह का पता लगाएं और इसका ग्राफ बनाएं।

समाधान।प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं का स्थान, जिसमें एक तकनीकी उपकरण के दो तत्वों की विश्वसनीयता का अध्ययन शामिल है, चार प्राथमिक घटनाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: - दोनों तत्व अच्छे क्रम में हैं; - पहला तत्व उपयोगी है, दूसरा दोषपूर्ण है; - पहला तत्व दोषपूर्ण है, दूसरा उपयोगी है; - दोनों तत्व दोषपूर्ण हैं। प्रत्येक प्रारंभिक घटना को रिक्त स्थान की प्राथमिक घटनाओं के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है तथा , जहां - पहला तत्व उपयोगी है; - पहला तत्व क्रम से बाहर है; – दूसरा तत्व उपयोगी है; - दूसरा तत्व क्रम से बाहर है। फिर , और चूंकि तकनीकी उपकरण के तत्व एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं, तब

8. क्या संभावना है कि असतत यादृच्छिक चर के मान अंतराल से संबंधित हैं?

एक्स; अर्थ एफ(5); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से मान लेगा। एक वितरण बहुभुज बनाएँ।

1. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन F(x) ज्ञात है एक्स:

एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्दिष्ट करें एक्सतालिका के रूप में।

1. एक यादृच्छिक चर के वितरण के कानून को देखते हुए एक्स:

एक्स	–28	–20	–12	–4
पी	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. संभावना है कि स्टोर के पास उत्पादों की पूरी श्रृंखला के लिए गुणवत्ता प्रमाणपत्र 0.7 है। आयोग ने जिले में चार दुकानों में प्रमाणपत्रों की उपलब्धता की जांच की। एक वितरण कानून बनाएं, गणितीय अपेक्षा और उन दुकानों की संख्या की भिन्नता की गणना करें जिनमें गुणवत्ता प्रमाण पत्र जांच के दौरान नहीं पाए गए।

1. 350 समान बक्सों के एक बैच में बिजली के लैंप के औसत जलने का समय निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक बॉक्स से एक बिजली का दीपक परीक्षण के लिए लिया गया था। संभावना के नीचे से अनुमान लगाएं कि चयनित इलेक्ट्रिक लैंप का औसत जलने का समय पूरे बैच के औसत जलने के समय से 7 घंटे से कम के निरपेक्ष मान से भिन्न होता है, अगर यह ज्ञात है कि इलेक्ट्रिक लैंप के जलने के समय का मानक विचलन प्रत्येक बॉक्स में 9 घंटे से कम है।

1. टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.002 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 500 ​​संयोजनों में से निम्नलिखित होंगे:

एक यादृच्छिक चर का बंटन फलन ज्ञात कीजिए एक्स. कार्यों को प्लॉट करें और। एक यादृच्छिक चर के माध्य, विचरण, मोड और माध्यिका की गणना करें एक्स.

1. स्वचालित मशीन रोलर बनाती है। यह माना जाता है कि उनका व्यास 10 मिमी के औसत मूल्य के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। मानक विचलन क्या है यदि, 0.99 की संभावना के साथ, व्यास 9.7 मिमी से 10.3 मिमी की सीमा में है।

नमूना ए: 6 9 7 6 4 4

नमूना बी: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

विकल्प 17।

1. 35 भागों में से 7 अमानक हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुने गए दो भाग मानक हैं।

1. तीन पासे फेंके। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गिराए गए फलकों पर अंकों का योग 9 का गुणक है।

1. "एडवेंचर" शब्द कार्ड से बना है, प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा हुआ है। कार्डों को फेर दिया जाता है और बिना लौटाए एक-एक करके निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उपस्थिति के क्रम में निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: क) साहसिक; बी) कब्जा।

1. एक कलश में 6 काली और 5 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदों को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। संभावना खोजें कि उनमें से हैं:
1. 2 सफेद गेंदें;
2. 2 से कम सफेद गेंदें;
3. कम से कम एक काली गेंद।

1. लेकिनएक परीक्षण में 0.4 है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
1. प्रतिस्पर्धा लेकिन 7 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार दिखाई देगा;
2. प्रतिस्पर्धा लेकिन 400 चुनौतियों की श्रृंखला में कम से कम 220 और 235 से अधिक बार नहीं दिखाई देंगे।

1. संयंत्र ने आधार को 5,000 उच्च गुणवत्ता वाले उत्पाद भेजे। पारगमन में प्रत्येक उत्पाद को नुकसान की संभावना 0.002 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि रास्ते में 3 से अधिक उत्पाद क्षतिग्रस्त नहीं होंगे।

1. पहले कलश में 4 सफेद और 9 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 7 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। 3 गेंदों को पहले कलश से और 4 को दूसरे कलश से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई सभी गेंदें एक ही रंग की हैं।

1. एक यादृच्छिक चर के वितरण के कानून को देखते हुए एक्स:

इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें।

1. बॉक्स में 10 पेंसिल हैं। 4 पेंसिल यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्सचयनित लोगों में नीली पेंसिलों की संख्या है। इसके वितरण का नियम, दूसरे और तीसरे क्रम के प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों का पता लगाएं।

1. तकनीकी नियंत्रण विभाग दोषों के लिए 475 उत्पादों की जाँच करता है। संभावना है कि एक उत्पाद दोषपूर्ण है 0.05 है। 0.95 की प्रायिकता के साथ उन सीमाओं का पता लगाएं जिनमें परीक्षण किए गए उत्पादों में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या शामिल होगी।

1. टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.003 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 संयोजनों में से निम्नलिखित होंगे:
1. कम से कम 4 गलत कनेक्शन;
2. दो से अधिक गलत कनेक्शन।

1. वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा यादृच्छिक चर दिया जाता है:

एक यादृच्छिक चर का बंटन फलन ज्ञात कीजिए एक्स. कार्यों को प्लॉट करें और। एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका की गणना करें।

1. यादृच्छिक चर वितरण समारोह द्वारा दिया जाता है:

1. नमूने के द्वारा लेकिननिम्नलिखित कार्यों को हल करें:
1. एक भिन्नता श्रृंखला बनाएं;

नमूना माध्य;

नमूना विचरण

मोड और माध्यिका;

नमूना ए: 0 0 2 2 1 4

1. चर श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

नमूना माध्य;

नमूना विचरण

· मानक विचलन;

मोड और मंझला;

नमूना बी: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

विकल्प 18।

1. 10 लॉटरी टिकटों में से 2 जीत रहे हैं। यादृच्छिक रूप से निकाले गए पांच टिकटों में से एक के विजेता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

1. तीन पासे फेंके। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लुढ़के हुए बिंदुओं का योग 15 से अधिक है।

1. "पेरीमीटर" शब्द कार्ड से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा हुआ है। कार्डों को फेर दिया जाता है और बिना लौटाए एक-एक करके निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: a) PERIMETER; बी) मीटर।

1. एक कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदों को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। संभावना खोजें कि उनमें से हैं:
1. 4 सफेद गेंदें;
2. 2 से कम सफेद गेंदें;
3. कम से कम एक काली गेंद।

1. किसी घटना की संभावना लेकिनएक परीक्षण में 0.55 है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
1. प्रतिस्पर्धा लेकिन 5 चुनौतियों की श्रृंखला में 3 बार प्रकट होंगे;
2. प्रतिस्पर्धा लेकिन 300 चुनौतियों की श्रृंखला में कम से कम 130 और 200 से अधिक बार नहीं दिखाई देंगे।

1. डिब्बाबंद भोजन के डिब्बे में रिसाव की प्रायिकता 0.0005 है। 2000 जार में से दो के लीक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

1. पहले कलश में 4 सफेद और 8 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 7 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। 2 गेंदों को पहले कलश से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है और 3 गेंदों को दूसरे कलश से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। निकाली गई सभी गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

1. असेंबली के लिए आने वाले पुर्जों में, पहली मशीन से 0.1% दोषपूर्ण हैं, दूसरी से - 0.2%, तीसरी से - 0.25%, चौथी से - 0.5%। मशीनों की उत्पादकता तदनुसार 4:3:2:1 के अनुसार संबंधित है। बेतरतीब ढंग से लिया गया हिस्सा मानक निकला। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह वस्तु पहली मशीन पर बनी थी।

1. एक यादृच्छिक चर के वितरण के कानून को देखते हुए एक्स:

इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें।

1. एक बिजली मिस्त्री के पास तीन प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक में 0.1 की संभावना के साथ एक दोष है। प्रकाश बल्बों को सॉकेट में खराब कर दिया जाता है और करंट चालू कर दिया जाता है। जब करंट चालू होता है, तो दोषपूर्ण प्रकाश बल्ब तुरंत जल जाता है और उसे दूसरे से बदल दिया जाता है। परीक्षण किए गए बल्बों की संख्या का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

1. 900 स्वतंत्र शॉट्स में से प्रत्येक के लिए लक्ष्य को हिट करने की संभावना 0.3 है। चेबिशेव असमानता का उपयोग करते हुए, संभावना का आकलन करें कि लक्ष्य को कम से कम 240 बार और अधिकतम 300 बार हिट किया जाएगा।

1. टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.002 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 800 संयोजनों में से निम्नलिखित होंगे:
1. कम से कम तीन गलत कनेक्शन;
2. चार से अधिक गलत कनेक्शन।

1. वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा यादृच्छिक चर दिया जाता है:

यादृच्छिक चर X का वितरण फलन ज्ञात कीजिए। फलनों और के आलेखों की रचना कीजिए। एक यादृच्छिक चर के माध्य, विचरण, मोड और माध्यिका की गणना करें एक्स।

1. यादृच्छिक चर वितरण समारोह द्वारा दिया जाता है:

1. नमूने के द्वारा लेकिननिम्नलिखित कार्यों को हल करें:
1. एक भिन्नता श्रृंखला बनाएं;
2. सापेक्ष और संचित आवृत्तियों की गणना करें;
3. एक अनुभवजन्य वितरण समारोह लिखें और इसका ग्राफ बनाएं;
4. चर श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

नमूना माध्य;

नमूना विचरण

· मानक विचलन;

मोड और मंझला;

नमूना ए: 4 7 6 3 3 4

1. नमूना बी के लिए, निम्नलिखित समस्याओं को हल करें:
1. एक समूहीकृत विविधता श्रृंखला बनाएं;
2. एक हिस्टोग्राम और आवृत्तियों का बहुभुज बनाएं;
3. चर श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

नमूना माध्य;

नमूना विचरण

· मानक विचलन;

मोड और मंझला;

नमूना बी: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

विकल्प 19।

1. साइट पर 16 महिलाएं और 5 पुरुष काम करते हैं। कर्मियों की संख्या के अनुसार 3 लोगों को यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए सभी व्यक्ति पुरुष हैं।

2. चार सिक्के उछाले जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि केवल दो सिक्कों पर कोट ऑफ आर्म्स होगा।

3. "मनोविज्ञान" शब्द कार्ड से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा हुआ है। कार्डों को फेर दिया जाता है और बिना लौटाए एक-एक करके निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षरों से एक शब्द बनता है: क) मनोविज्ञान; बी) स्टाफ।

4. एक कलश में 6 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदों को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। संभावना खोजें कि उनमें से हैं:

एक। 3 सफेद गेंदें;

बी। 3 सफेद गेंदों से कम;

सी। कम से कम एक सफेद गेंद।

5. घटना की संभावना लेकिनएक परीक्षण में 0.5 है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

एक। प्रतिस्पर्धा लेकिन 5 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार दिखाई देगा;

बी। प्रतिस्पर्धा लेकिन 50 चुनौतियों की श्रृंखला में कम से कम 30 और 40 बार से अधिक नहीं दिखाई देंगे।

6. एक ही शक्ति की 100 मशीनें हैं, जो एक ही मोड में एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम कर रही हैं, जिसमें उनकी ड्राइव को 0.8 कार्य घंटों के लिए चालू किया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि किसी भी समय 70 से 86 के बीच मशीनें चालू रहेंगी?

7. पहले कलश में 4 सफेद और 7 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 8 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। 4 गेंदों को पहले कलश से और 1 गेंद को दूसरे कलश से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंदों में केवल 4 काली गेंदें हैं।

8. हर दिन, कारों के तीन ब्रांड कार डीलरशिप को वॉल्यूम में वितरित किए जाते हैं: मोस्किविच - 40%; "ओका" - 20%; "वोल्गा" - सभी आयातित कारों का 40%। मोस्किविच ब्रांड की कारों में, 0.5% में एंटी-थेफ्ट डिवाइस, ओका - 0.01%, वोल्गा - 0.1% है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के लिए ली गई कार में चोरी-रोधी उपकरण है।

9. संख्याएं और खंड पर यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ये संख्याएँ असमानताओं को संतुष्ट करती हैं।

10. एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

एक्स
पी	0,1	0,2	0,3	0,4

एक यादृच्छिक चर का बंटन फलन ज्ञात कीजिए एक्स; अर्थ एफ(2); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से मान लेगा। एक वितरण बहुभुज बनाएँ।

वितरण और विशेषताओं का कानून

यादृच्छिक मूल्य

यादृच्छिक चर, उनका वर्गीकरण और विवरण के तरीके।

एक यादृच्छिक मूल्य एक मात्रा है, जो एक प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक या दूसरे मूल्य पर ले सकता है, लेकिन कौन सा पहले से ज्ञात नहीं है। एक यादृच्छिक चर के लिए, इसलिए, केवल मान निर्दिष्ट किए जा सकते हैं, जिनमें से एक को प्रयोग के परिणामस्वरूप आवश्यक रूप से लिया जाएगा। इन मानों को यादृच्छिक चर के संभावित मान कहा जाएगा। चूंकि एक यादृच्छिक चर मात्रात्मक रूप से एक प्रयोग के यादृच्छिक परिणाम की विशेषता है, इसे एक यादृच्छिक घटना की मात्रात्मक विशेषता के रूप में माना जा सकता है।

यादृच्छिक चर आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, X..Y..Z, और उनके संभावित मान संबंधित छोटे अक्षरों द्वारा।

यादृच्छिक चर तीन प्रकार के होते हैं:

असतत; निरंतर; मिश्रित।

अलगइस तरह के एक यादृच्छिक चर को कहा जाता है, जिसके संभावित मूल्यों की संख्या एक गणनीय सेट बनाती है। बदले में, एक गणनीय सेट एक ऐसा सेट होता है जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है। शब्द "असतत" लैटिन डिस्क्रीटस से आया है, जिसका अर्थ है "असंतुलित, अलग-अलग हिस्सों से मिलकर।"

उदाहरण 1. एक असतत यादृच्छिक चर एनएफएल के एक बैच में दोषपूर्ण भागों X की संख्या है। वास्तव में, इस यादृच्छिक चर के संभावित मान 0 से n तक पूर्णांकों की एक श्रृंखला है।

उदाहरण 2। एक असतत यादृच्छिक चर लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या है। यहाँ, उदाहरण 1 की तरह, संभावित मानों को क्रमांकित किया जा सकता है, हालाँकि सीमित स्थिति में संभावित मान एक असीम रूप से बड़ी संख्या है।

निरंतरएक यादृच्छिक चर कहा जाता है, जिसके संभावित मान लगातार संख्यात्मक अक्ष के एक निश्चित अंतराल को भरते हैं, जिसे कभी-कभी इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल कहा जाता है। इस प्रकार, अस्तित्व के किसी भी परिमित अंतराल पर, निरंतर यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या असीम रूप से बड़ी होती है।

उदाहरण 3। एक सतत यादृच्छिक चर एक महीने के लिए उद्यम में बिजली की खपत है।

उदाहरण 4. एक सतत यादृच्छिक चर एक अल्टीमीटर का उपयोग करके ऊंचाई माप में त्रुटि है। अल्टीमीटर के संचालन के सिद्धांत से ज्ञात हो कि त्रुटि 0 से 2 मीटर की सीमा में है। इसलिए, इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल 0 से 2 मीटर का अंतराल है।

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम।

एक यादृच्छिक चर को पूरी तरह से निर्दिष्ट माना जाता है यदि इसके संभावित मान संख्यात्मक अक्ष पर इंगित किए जाते हैं और वितरण कानून स्थापित किया जाता है।

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम एक ऐसा संबंध कहा जाता है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।

एक यादृच्छिक चर को किसी दिए गए कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, या किसी दिए गए वितरण कानून के अधीन कहा जाता है। कई संभावनाएँ, एक वितरण फलन, एक प्रायिकता घनत्व, एक विशिष्ट फलन का वितरण नियमों के रूप में उपयोग किया जाता है।

वितरण नियम एक यादृच्छिक चर का पूर्ण संभावित विवरण देता है। वितरण कानून के अनुसार, अनुभव से पहले न्याय करना संभव है कि यादृच्छिक चर के कौन से संभावित मूल्य अधिक बार दिखाई देंगे, और कौन से कम बार।

असतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण कानून को तालिका के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और रेखांकन के रूप में दिया जा सकता है।

असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका (मैट्रिक्स) है, जो एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को आरोही क्रम में सूचीबद्ध करता है, अर्थात

ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर के वितरण की श्रृंखला कहा जाता है। एक

घटनाएँ X 1 , X 2 ,..., X n , इस तथ्य में शामिल हैं कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर X मान x 1 , x 2 ,... x n, क्रमशः ले जाएगा , असंगत हैं और केवल संभव हैं (क्योंकि तालिका एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों को सूचीबद्ध करती है), अर्थात। एक पूरा समूह बनाओ। इसलिए, उनकी संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। इस प्रकार, किसी भी असतत यादृच्छिक चर के लिए

(यह इकाई किसी तरह यादृच्छिक चर के मूल्यों के बीच वितरित की जाती है, इसलिए "वितरण" शब्द)।

एक वितरण श्रृंखला को रेखांकन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है यदि एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और उनकी संबंधित संभावनाएं ऑर्डिनेट अक्ष के साथ होती हैं। प्राप्त बिंदुओं का कनेक्शन एक टूटी हुई रेखा बनाता है, जिसे प्रायिकता वितरण का बहुभुज या बहुभुज कहा जाता है (चित्र 1)।

उदाहरणलॉटरी खेली जाती है: 5000 मांद की कार। इकाइयां, 250 डेन के लायक 4 टीवी। यूनिट, 200 डेन के लायक 5 वीसीआर। इकाइयों कुल 1000 टिकट 7 मांद के लिए बेचे जाते हैं। इकाइयों एक टिकट खरीदने वाले लॉटरी प्रतिभागी द्वारा प्राप्त शुद्ध जीत के वितरण का कानून तैयार करें।

समाधान. रैंडम वेरिएबल एक्स के संभावित मान - प्रति टिकट शुद्ध जीत - 0-7 = -7 डेन हैं। इकाइयों (यदि टिकट नहीं जीता), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 मांद। इकाइयों (यदि टिकट क्रमशः वीसीआर, टीवी या कार जीता)। यह देखते हुए कि 1000 टिकटों में से गैर-विजेताओं की संख्या 990 है, और संकेतित जीत क्रमशः 5, 4 और 1 हैं, और संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

इस पृष्ठ पर हमने शैक्षिक हल करने के उदाहरण एकत्र किए हैं असतत यादृच्छिक चर पर समस्याएं. यह एक व्यापक खंड है: विभिन्न वितरण कानून (द्विपद, ज्यामितीय, हाइपरजोमेट्रिक, पॉइसन और अन्य), गुणों और संख्यात्मक विशेषताओं का अध्ययन किया जाता है, प्रत्येक वितरण श्रृंखला के लिए चित्रमय प्रतिनिधित्व बनाया जा सकता है: संभावनाओं का एक बहुभुज (बहुभुज), एक वितरण समारोह .

नीचे आपको असतत यादृच्छिक चर के बारे में फैसलों के उदाहरण मिलेंगे, जिसमें वितरण कानून तैयार करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत के पिछले वर्गों से ज्ञान को लागू करना आवश्यक है, और फिर गणितीय अपेक्षा, भिन्नता, मानक विचलन की गणना करना, वितरण कार्य बनाना , डीएसवी आदि के बारे में सवालों के जवाब दें। पी।

लोकप्रिय संभाव्यता वितरण कानूनों के उदाहरण:

डीएसवी की विशेषताओं के लिए कैलकुलेटर

• डीएसवी की गणितीय अपेक्षा, भिन्नता और मानक विचलन की गणना।

डीएसवी के बारे में हल की गई समस्याएं

ज्यामितीय के करीब वितरण

कार्य 1।कार के रास्ते में 4 ट्रैफिक लाइट हैं, जिनमें से प्रत्येक 0.5 की संभावना के साथ कार के आगे बढ़ने पर रोक लगाती है। पहले स्टॉप से ​​पहले कार द्वारा पारित ट्रैफिक लाइटों की संख्या के वितरण की संख्या ज्ञात कीजिए। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता क्या है?

कार्य 2।शिकारी पहले हिट से पहले खेल में गोली मारता है, लेकिन चार से अधिक शॉट नहीं बना पाता है। यदि एक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना 0.7 है तो मिस की संख्या के लिए वितरण कानून लिखें। इस यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

कार्य 3।शूटर, जिसके पास 3 कारतूस हैं, पहली बार हिट होने तक निशाने पर गोली मारता है। पहले, दूसरे और तीसरे शॉट मारने की संभावनाएं क्रमशः 0.6, 0.5, 0.4 हैं। एस.वी. $\xi$ - शेष कार्ट्रिज की संख्या। एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला संकलित करें, गणितीय अपेक्षा, भिन्नता, आर.वी. के मानक विचलन का पता लगाएं, आर.वी. के वितरण समारोह का निर्माण करें, $P(|\xi-m| \le \sigma$ खोजें।

कार्य 4।बॉक्स में 7 मानक और 3 दोषपूर्ण भाग होते हैं। भागों को क्रमिक रूप से तब तक निकाला जाता है जब तक कि मानक प्रकट न हो जाए, उन्हें वापस किए बिना। $\xi$ - प्राप्त दोषपूर्ण भागों की संख्या।
असतत यादृच्छिक चर $\xi$ के लिए एक वितरण कानून लिखें, इसकी गणितीय अपेक्षा, भिन्नता, मानक विचलन की गणना करें, एक वितरण बहुभुज बनाएं और वितरण समारोह का एक ग्राफ बनाएं।

स्वतंत्र घटनाओं के साथ कार्य

कार्य 5।प्रायिकता सिद्धांत की पुन: परीक्षा में 3 छात्र आए। संभावना है कि पहला परीक्षा पास करेगा 0.8, दूसरा - 0.7, तीसरा - 0.9। परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्रों की संख्या के यादृच्छिक चर $\xi$ की वितरण श्रृंखला का पता लगाएं, वितरण समारोह का एक ग्राफ बनाएं, $M(\xi), D(\xi)$ खोजें।

टास्क 6।एक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना 0.8 है और प्रत्येक शॉट के साथ 0.1 घट जाती है। यदि तीन शॉट दागे जाते हैं तो लक्ष्य पर हिट की संख्या के लिए वितरण कानून तैयार करें। गणितीय अपेक्षा, विचरण और S.K.O का पता लगाएं। यह यादृच्छिक चर। वितरण समारोह प्लॉट करें।

टास्क 7।निशाने पर 4 शॉट दागे गए। इस मामले में, मारने की संभावना इस प्रकार बढ़ जाती है: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7। यादृच्छिक चर $X$ - हिट की संख्या का वितरण कानून खोजें। $X \ge 1$ होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

टास्क 8।दो सममित सिक्कों को उछाला जाता है, सिक्कों के दोनों ऊपरी किनारों पर हथियारों के कोट की संख्या गिनी जाती है। हम असतत यादृच्छिक चर $X$ पर विचार करते हैं - दोनों सिक्कों पर हथियारों के कोट की संख्या। यादृच्छिक चर $X$ के वितरण के नियम को लिखिए, इसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

डीएसवी के वितरण के अन्य कार्य और कानून

टास्क 9।दो बास्केटबॉल खिलाड़ी टोकरी में तीन शॉट लगाते हैं। पहले बास्केटबॉल खिलाड़ी के हिट होने की संभावना 0.6 है, दूसरे के लिए - 0.7। बता दें कि $X$ पहले और दूसरे बास्केटबॉल खिलाड़ियों के सफल थ्रो की संख्या के बीच का अंतर है। यादृच्छिक चर $X$ की वितरण श्रृंखला, मोड और वितरण फ़ंक्शन खोजें। एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें और वितरण समारोह की साजिश रचें। गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें। घटना $(-2 \lt X \le 1)$ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

टास्क 10।एक निश्चित बंदरगाह पर लदान के लिए प्रतिदिन आने वाले अनिवासी जहाजों की संख्या एक यादृच्छिक मान $X$ है, जो निम्नानुसार दिया गया है:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
ए) सुनिश्चित करें कि वितरण श्रृंखला निर्धारित है,
बी) यादृच्छिक चर $X$ के वितरण समारोह का पता लगाएं,
सी) यदि किसी दिए गए दिन में तीन से अधिक जहाज आते हैं, तो पोर्ट अतिरिक्त ड्राइवरों और लोडरों को किराए पर लेने की आवश्यकता के कारण लागतों की जिम्मेदारी लेता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पोर्ट पर अतिरिक्त लागत आएगी?
डी) यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन का पता लगाएं।

टास्क 11। 4 पासे फेंके। सभी फलकों पर पड़ने वाले अंकों के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

टास्क 12।हथियारों के कोट की पहली उपस्थिति तक दो खिलाड़ी बारी-बारी से एक सिक्का उछालते हैं। जिस खिलाड़ी के हथियारों का कोट गिर गया, वह दूसरे खिलाड़ी से 1 रूबल प्राप्त करता है। प्रत्येक खिलाड़ी के अदायगी की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।