बी 14। एक सतत यादृच्छिक चर का मोड और माध्यिका

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के बीच, यह आवश्यक है, सबसे पहले, उन पर ध्यान दें जो संख्या अक्ष पर एक यादृच्छिक चर की स्थिति की विशेषता रखते हैं, अर्थात। कुछ औसत, अनुमानित मूल्य इंगित करें, जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान समूहीकृत हैं।

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि, जैसा कि यह था, इसका "प्रतिनिधि" है और इसे लगभग अनुमानित गणनाओं में बदल देता है। जब हम कहते हैं: "औसत दीपक संचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर से दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है", हम इसके द्वारा एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत देते हैं जो इसका वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर स्थान, अर्थात पोजिशन का विवरण।

संभाव्यता सिद्धांत में स्थिति की विशेषताओं में, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी एक यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है।

एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें जिसमें संभावनाओं के साथ संभावित मान हैं। हमें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मानों की अलग-अलग संभावनाएं हैं, एक्स-अक्ष पर यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्या से चिह्नित करने की आवश्यकता है। इस उद्देश्य के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है, और प्रत्येक मूल्य को इस मूल्य की संभावना के अनुपात में "वजन" के साथ औसत के दौरान ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे, जिसे हम निरूपित करेंगे:

या, यह देखते हुए,

. (5.6.1)

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को ध्यान में रखा।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है।

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्रीकरण में, गणितीय अपेक्षा की परिभाषा मान्य है, सख्ती से बोलना, केवल असतत यादृच्छिक चर के लिए; नीचे, हम इस अवधारणा को निरंतर मात्राओं के मामले में सामान्यीकृत करेंगे।

गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, आइए असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या की ओर मुड़ें। भुज वाले बिंदुओं को भुज अक्ष पर स्थित होने दें, जिसमें द्रव्यमान क्रमशः केंद्रित होते हैं, और . फिर, जाहिर है, सूत्र (5.6.1) द्वारा परिभाषित गणितीय अपेक्षा और कुछ नहीं बल्कि भौतिक बिंदुओं की दी गई प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का भुज है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीबोगरीब निर्भरता से जुड़ी है। यह निर्भरता आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता के समान प्रकार की है, अर्थात्: प्रयोगों की एक बड़ी संख्या के साथ, एक यादृच्छिक चर दृष्टिकोण (संभाव्यता में अभिसरण) के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा है। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच एक संबंध की उपस्थिति से, एक परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध के अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है।

वास्तव में, एक वितरण श्रृंखला द्वारा वर्णित असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें:

कहाँ .

स्वतंत्र प्रयोग किए जाने दें, जिनमें से प्रत्येक में मात्रा एक निश्चित मान लेती है। मान लीजिए कि मूल्य एक बार दिखाई दिया, मूल्य एक बार दिखाई दिया, सामान्य तौर पर मूल्य एक बार दिखाई दिया। ज़ाहिर तौर से,

आइए हम मात्रा के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो कि गणितीय अपेक्षा के विपरीत, हम निरूपित करेंगे:

लेकिन किसी घटना की आवृत्ति (या सांख्यिकीय संभावना) से अधिक कुछ नहीं है; इस आवृत्ति को कहा जा सकता है। तब

,

वे। एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की आवृत्तियों के योग के बराबर है।

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, आवृत्तियाँ संगत संभावनाओं के करीब पहुँचेंगी (संभाव्यता में अभिसरण)। नतीजतन, प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा (संभाव्यता में अभिसरण) तक पहुंच जाएगा।

अंकगणित माध्य और ऊपर तैयार की गई गणितीय अपेक्षा के बीच का संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है। हम अध्याय 13 में इस कानून का एक कठोर प्रमाण देंगे।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि बड़ी संख्या में प्रयोगों पर कुछ औसत स्थिर होते हैं। यहां हम समान मान के प्रेक्षणों की श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं। प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मान - गणितीय अपेक्षा तक पहुँच जाता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए औसत की स्थिरता की संपत्ति प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, प्रयोगशाला में किसी भी पिंड को सटीक पैमानों पर तोलना, तोलने के फलस्वरूप हमें हर बार एक नया मान प्राप्त होता है; अवलोकन की त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणित माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

गणितीय अपेक्षा के लिए सूत्र (5.6.1) असतत यादृच्छिक चर के मामले से मेल खाता है। एक निरंतर मूल्य के लिए, गणितीय अपेक्षा, निश्चित रूप से अब योग के रूप में नहीं, बल्कि एक अभिन्न के रूप में व्यक्त की जाती है:

, (5.6.2)

मात्रा का वितरण घनत्व कहां है।

सूत्र (5.6.2) सूत्र (5.6.1) से प्राप्त होता है, यदि हम इसमें अलग-अलग मानों को लगातार बदलते पैरामीटर x के साथ बदलते हैं, तो संबंधित संभावनाएँ - एक संभाव्यता तत्व के साथ, और अंतिम योग - एक अभिन्न के साथ। निम्नलिखित में, हम निरंतर मात्राओं के मामले में असंतत मात्राओं के लिए व्युत्पन्न सूत्रों के विस्तार की इस पद्धति का उपयोग करेंगे।

यांत्रिक व्याख्या में, एक निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक ही अर्थ को बरकरार रखती है - गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का भुज जब घनत्व के साथ द्रव्यमान को भुज अक्ष के साथ लगातार वितरित किया जाता है। यह व्याख्या अक्सर सरल यांत्रिक विचारों से अभिन्न (5.6.2) की गणना किए बिना गणितीय अपेक्षा को खोजना संभव बनाती है।

ऊपर, हमने मात्रा की गणितीय अपेक्षा के लिए अंकन प्रस्तुत किया। कुछ मामलों में, जब किसी मान को एक निश्चित संख्या के रूप में सूत्रों में शामिल किया जाता है, तो इसे एक अक्षर से निरूपित करना अधिक सुविधाजनक होता है। इन मामलों में, हम मूल्य की गणितीय अपेक्षा को निम्न के माध्यम से निरूपित करेंगे:

सूत्रों के एक या दूसरे अंकन की सुविधा के आधार पर, अंकन और गणितीय अपेक्षा के लिए भविष्य में समानांतर में उपयोग किया जाएगा। आइए हम भी सहमत हों, यदि आवश्यक हो, तो अक्षरों द्वारा "गणितीय अपेक्षा" शब्दों को संक्षिप्त करने के लिए m.o.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चर के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन।

उदाहरण के लिए, वितरण श्रृंखला के साथ एक असंतुलित यादृच्छिक चर पर विचार करें:

यह सत्यापित करना आसान है, अर्थात। वितरण श्रृंखला समझ में आता है; हालाँकि, इस मामले में योग विचलन करता है और इसलिए, मान की गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है। हालांकि, व्यवहार के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, जिन यादृच्छिक चरों के साथ हम काम कर रहे हैं, उनके पास संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक अपेक्षा होती है।

ऊपर, हमने सूत्र (5.6.1) और (5.6.2) क्रमशः एक असंतत और सतत यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षा व्यक्त करते हैं।

यदि मान मिश्रित प्रकार के मानों से संबंधित है, तो इसकी गणितीय अपेक्षा सूत्र के सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

, (5.6.3)

जहां योग उन सभी बिंदुओं तक विस्तारित होता है जहां वितरण फ़ंक्शन टूट जाता है, और इंटीग्रल उन सभी वर्गों तक फैलता है जिन पर वितरण फ़ंक्शन निरंतर होता है।

स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा - अन्य स्थिति विशेषताओं का उपयोग कभी-कभी व्यवहार में किया जाता है, विशेष रूप से, एक यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।

एक यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे अधिक संभावना मूल्य", सख्ती से बोलना, केवल असंतत मात्राओं पर लागू होता है; एक निरंतर मात्रा के लिए, मोड वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। हम पत्र के साथ मोड को नामित करने के लिए सहमत हैं। अंजीर पर। 5.6.1 और 5.6.2 क्रमशः असंतुलित और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "पॉलीमोडल" कहा जाता है (आंकड़े 5.6.3 और 5.6.4)।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है (चित्र 5.6.5 और 5.6.6)। इस तरह के वितरण को "एंटीमोडल" कहा जाता है। उदाहरण 5, n° 5.1 में प्राप्त वितरण एक प्रतिमॉडल वितरण का एक उदाहरण है।

सामान्य स्थिति में, मोड और यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती है। किसी विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल है (अर्थात एक मोड है) और एक गणितीय अपेक्षा है, तो यह वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक अन्य विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतुलित चर के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर का माध्यिका वह मान है जिसके लिए

वे। यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर से कम या अधिक होगा। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 5.6.7)।

पाठ का उद्देश्य: छात्रों की संख्याओं के एक समूह की माध्यिका की समझ और सरल संख्यात्मक सेटों के लिए इसकी गणना करने की क्षमता, संख्याओं के अंकगणितीय माध्य सेट की अवधारणा को ठीक करना।

पाठ प्रकार: नई सामग्री की व्याख्या।

उपकरण: बोर्ड, पाठ्यपुस्तक, एड। यू.एन ट्यूरिना "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी", प्रोजेक्टर के साथ कंप्यूटर।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के विषय को सूचित करें और इसके उद्देश्यों को तैयार करें।

2. पिछले ज्ञान का बोध।

छात्रों के लिए प्रश्न:

• संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य क्या है?
• संख्याओं के समुच्चय के भीतर अंकगणितीय माध्य कहाँ स्थित है?
• संख्याओं के समूह के अंकगणितीय माध्य की विशेषता क्या है?
• अक्सर उपयोग की जाने वाली संख्याओं के सेट का अंकगणितीय माध्य कहाँ होता है?

मौखिक कार्य:

संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

प्रोजेक्टर से होमवर्क चेक करना ( परिशिष्ट 1):

पाठ्यपुस्तक :: संख्या 12 (बी, डी), संख्या 18 (सी, डी)

3. नई सामग्री सीखना।

पिछले पाठ में, हम ऐसी सांख्यिकीय विशेषता से परिचित हुए, जो संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य है। आज हम एक और सांख्यिकीय विशेषता - माध्यिका के लिए एक पाठ समर्पित करेंगे।

न केवल अंकगणितीय माध्य यह दर्शाता है कि संख्या रेखा पर किसी सेट की संख्याएँ कहाँ स्थित हैं और उनका केंद्र कहाँ है। एक अन्य संकेतक माध्यिका है।

संख्याओं के एक समूह का माध्य वह संख्या है जो सेट को दो समान भागों में विभाजित करती है। "माध्यिका" के बजाय कोई "मध्य" कह सकता है।

सबसे पहले, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विश्लेषण करेंगे कि माध्यिका कैसे प्राप्त करें, और फिर हम एक सख्त परिभाषा देंगे।

प्रोजेक्टर का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मौखिक उदाहरण पर विचार करें ( परिशिष्ट 2)

स्कूल वर्ष के अंत में, 7 वीं कक्षा के 11 छात्रों ने 100 मीटर दौड़ के लिए मानक पास किया। निम्नलिखित परिणाम दर्ज किए गए:

लोगों के दूर भाग जाने के बाद, पेट्या ने शिक्षक से संपर्क किया और पूछा कि उसका परिणाम क्या है।

"सबसे औसत: 16.9 सेकंड," शिक्षक ने उत्तर दिया

"क्यों?" पेट्या हैरान थी। - आखिरकार, सभी परिणामों का अंकगणितीय माध्य लगभग 18.3 सेकंड है, और मैं एक सेकंड या उससे अधिक बेहतर दौड़ा। और सामान्य तौर पर, कात्या का परिणाम (18.4) मेरे मुकाबले औसत के काफी करीब है।"

"आपका परिणाम औसत है क्योंकि पांच लोग आपसे बेहतर दौड़े और पांच खराब। तो तुम ठीक बीच में हो," शिक्षक ने कहा। [2]

संख्याओं के एक समूह का माध्यिका ज्ञात करने के लिए एक एल्गोरिथम लिखें:

1. संख्यात्मक सेट को क्रमबद्ध करें (रैंक की गई श्रृंखला लिखें)।
2. उसी समय हम संख्याओं के इस सेट की "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" संख्याओं को तब तक पार करते हैं जब तक कि एक या दो संख्याएँ शेष न रह जाएँ।
3. यदि केवल एक संख्या है, तो वह माध्यक है।
4. यदि दो संख्याएँ शेष हैं, तो माध्यिका शेष दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य होगा।

छात्रों को स्वतंत्र रूप से संख्याओं के एक समूह की माध्यिका की परिभाषा तैयार करने के लिए आमंत्रित करें, फिर पाठ्यपुस्तक में माध्यिका की दो परिभाषाएँ पढ़ें (पृष्ठ 50), फिर पाठ्यपुस्तक के उदाहरण 4 और 5 का विश्लेषण करें (पृष्ठ 50-52)।

टिप्पणी:

एक महत्वपूर्ण परिस्थिति पर छात्रों का ध्यान आकर्षित करें: संख्याओं के सेट के व्यक्तिगत चरम मूल्यों के महत्वपूर्ण विचलन के लिए औसत व्यावहारिक रूप से असंवेदनशील है। सांख्यिकी में, इस संपत्ति को स्थिरता कहा जाता है। एक सांख्यिकीय संकेतक की स्थिरता एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है, यह हमें यादृच्छिक त्रुटियों और व्यक्तिगत अविश्वसनीय डेटा के विरुद्ध बीमा करती है।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

पाठ्यपुस्तक से आइटम 11 "माध्यिका" तक संख्याओं का निर्णय।

संख्याओं का समूह: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,14।

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

ए) संख्याओं का सेट: 3,4,11,17,21

बी) संख्याओं का सेट: 17,18,19,25,28

ग) संख्याओं का समुच्चय: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

निष्कर्ष: सदस्यों की एक विषम संख्या से युक्त संख्याओं के एक समूह का माध्य मध्य में संख्या के बराबर होता है।

ए) संख्याओं का सेट: 2, 4, 8 , 9.

मी = (4+8):2=12:2=6

बी) संख्याओं का सेट: 1,3, 5,7 ,8,9.

मी = (5+7):2=12:2=6

सदस्यों की सम संख्या वाले संख्याओं के समूह का माध्य मध्य में दो संख्याओं के योग का आधा होता है।

छात्र ने तिमाही के दौरान बीजगणित में निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

इस सेट का माध्य स्कोर और माध्यिका ज्ञात कीजिए। [3]

आइए संख्याओं का एक सेट ऑर्डर करें: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

केवल 10 संख्याएँ, मध्यिका ज्ञात करने के लिए आपको दो मध्य संख्याएँ लेनी होंगी और उनका आधा योग ज्ञात करना होगा।

मैं = (5+5):2 = 5

छात्रों से प्रश्न: यदि आप एक शिक्षक होते, तो आप इस छात्र को एक चौथाई के लिए क्या ग्रेड देते? उत्तर की पुष्टि कीजिए।

कंपनी के अध्यक्ष को 300,000 रूबल का वेतन मिलता है। उनके तीन प्रतिनियुक्तियों को 150,000 रूबल प्रत्येक, चालीस कर्मचारियों को - 50,000 रूबल प्रत्येक प्राप्त होते हैं। और एक सफाईकर्मी का वेतन 10,000 रूबल है। कंपनी में वेतन का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। विज्ञापन उद्देश्यों के लिए राष्ट्रपति के लिए इनमें से कौन सी विशेषता अधिक लाभदायक है?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (रूबल)

कार्य 3। (छात्रों को स्वयं हल करने के लिए आमंत्रित करें, प्रोजेक्टर का उपयोग करके कार्य को प्रोजेक्ट करें)

तालिका रूस में घन मीटर में सबसे बड़ी झीलों और जलाशयों में पानी की अनुमानित मात्रा को दर्शाती है। किमी। (अनुलग्नक 3) [ 4 ]

ए) इन जलाशयों (अंकगणितीय माध्य) में पानी की औसत मात्रा का पता लगाएं;

बी) जलाशय के औसत आकार (डेटा का औसत) में पानी की मात्रा का पता लगाएं;

सी) आपकी राय में, इनमें से कौन सी विशेषता - अंकगणितीय माध्य या माध्यिका - एक विशिष्ट बड़े रूसी जलाशय के आयतन का सबसे अच्छा वर्णन करती है? उत्तर स्पष्ट कीजिए।

ए) 2459 घन। किमी

बी) 60 घन। किमी

ग) माध्यिका, क्योंकि डेटा में वे मान होते हैं जो अन्य सभी से बहुत भिन्न होते हैं।

टास्क 4. मौखिक रूप से।

A) समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि इसका माध्यिका इसका नौवाँ पद है?

बी) सेट में कितनी संख्याएं हैं यदि इसकी माध्यिका 7वें और 8वें पदों का अंकगणितीय माध्य है?

C) सात संख्याओं के एक सेट में, सबसे बड़ी संख्या को 14 से बढ़ा दिया गया था। क्या इससे अंकगणितीय माध्य और माध्यिका दोनों बदल जाएंगे?

डी) सेट में प्रत्येक संख्या में 3 की वृद्धि हुई है। अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का क्या होगा?

दुकानों पर मिठाई वजन के हिसाब से बिक रही है। यह पता लगाने के लिए कि एक किलोग्राम में कितनी मिठाइयाँ हैं, माशा ने एक कैंडी का वजन ज्ञात करने का निर्णय लिया। उसने कई कैंडी का वजन किया और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

दोनों विशेषताएँ एक कैंडी के वजन का अनुमान लगाने के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि वे एक दूसरे से बहुत अलग नहीं हैं।

इसलिए, सांख्यिकीय जानकारी को चिह्नित करने के लिए, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का उपयोग किया जाता है। कई मामलों में, कुछ विशेषताओं का कोई सार्थक अर्थ नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, यातायात दुर्घटनाओं के समय के बारे में जानकारी होने पर, इन आंकड़ों के अंकगणितीय माध्य के बारे में बात करना शायद ही समझ में आता है)।

1. होमवर्क: पैरा 11, नंबर 3,4,9,11।
2. पाठ के परिणाम। प्रतिबिंब।

साहित्य:

1. यू.एन. ट्यूरिन एट अल "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी", एमसीएनएमओ पब्लिशिंग हाउस, जेएससी "मॉस्को पाठ्यपुस्तक", मॉस्को 2008।
2. ई.ए. बनीमोविच, वी. ए. ब्यूलचेव "फंडामेंटल ऑफ स्टैटिस्टिक्स एंड प्रोबेबिलिटी", ड्रोफा, मॉस्को 2004।
3. समाचार पत्र "गणित" संख्या 23, 2007।
4. ग्रेड 7, 2007/2008 खाते के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी के सिद्धांत पर परीक्षण का डेमो संस्करण। वर्ष।

पहनावा()सतत यादृच्छिक चर इसका मूल्य है, जो इसकी संभाव्यता घनत्व के अधिकतम मूल्य से मेल खाता है।

मंझला ()एक सतत यादृच्छिक चर इसका मान है, जो समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

बी 15। द्विपद वितरण कानून और इसकी संख्यात्मक विशेषताएं. द्विपद वितरणबार-बार स्वतंत्र अनुभवों का वर्णन करता है। यह कानून स्वतंत्र परीक्षणों में एक घटना के समय की घटना को निर्धारित करता है, अगर इनमें से प्रत्येक प्रयोग में किसी घटना की घटना की संभावना अनुभव से अनुभव में नहीं बदलती है। संभावना:

,

जहाँ: प्रयोग में किसी घटना के घटित होने की ज्ञात संभावना है, जो अनुभव से अनुभव में नहीं बदलती;

घटना के प्रयोग में न आने की प्रायिकता है;

प्रयोगों में घटना की निर्दिष्ट संख्या है;

द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या है।

बी 15। समान वितरण कानून, वितरण समारोह और घनत्व, संख्यात्मक विशेषताओं के रेखांकन. एक सतत यादृच्छिक चर माना जाता है समान रूप से वितरित, यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:

अपेक्षित मूल्यसमान वितरण के साथ यादृच्छिक चर:

फैलावनिम्नानुसार गणना की जा सकती है:

मानक विचलनऐसा दिखाई देगा:

.

बी 17। वितरण का घातांकी नियम, फलन के रेखांकन और वितरण घनत्व, संख्यात्मक विशेषताएँ. घातांकी रूप से वितरणएक सतत यादृच्छिक चर एक वितरण है जिसे संभाव्यता घनत्व के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है:

,

जहां एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है।

इस मामले में संभाव्यता वितरण समारोह का रूप है:

एक घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा सामान्य सूत्र के आधार पर प्राप्त की जाती है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि जब:

.

इस अभिव्यक्ति को भागों में एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं: .

एक्सप्रेशन का उपयोग करके एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन के लिए वेरियंस प्राप्त किया जा सकता है:

.

संभाव्यता घनत्व के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं:

अंशों द्वारा समाकलन की गणना करने पर, हम पाते हैं: .

बी 16। सामान्य वितरण कानून, समारोह के रेखांकन और वितरण घनत्व। मानक सामान्य वितरण। परिलक्षित सामान्य वितरण समारोह। सामान्यएक यादृच्छिक चर का ऐसा वितरण कहा जाता है, जिसकी संभावना घनत्व गॉसियन फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है:

मानक विचलन कहां है;

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है।

एक सामान्य वितरण घनत्व प्लॉट को सामान्य गाऊसी वक्र कहा जाता है।

बी 18। मार्कोव की असमानता। सामान्यीकृत चेबिशेव की असमानता. यदि एक यादृच्छिक चर के लिए एक्समौजूद है, तो किसी के लिए मार्कोव की असमानता .

से उपजा है सामान्यीकृत चेबिशेव असमानता: मान लीजिए कि फलन नीरस रूप से बढ़ रहा है और गैर-ऋणात्मक है। यदि एक यादृच्छिक चर के लिए एक्समौजूद है, तो सभी असमानता के लिए .

बी 19. चेबीशेव के रूप में बड़ी संख्या का नियम। इसका अर्थ। चेबीशेव के रूप में बड़ी संख्या के कानून का परिणाम। बरनौली रूप में बड़ी संख्या का नियम। अंतर्गत बड़ी संख्या का कानूनसंभाव्यता सिद्धांत में, कई प्रमेयों को समझा जाता है, जिनमें से प्रत्येक में यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए बड़ी संख्या में प्रायोगिक डेटा के औसत मूल्य के स्पर्शोन्मुख सन्निकटन का तथ्य स्थापित होता है। इन प्रमेयों के प्रमाण चेबीशेव की असमानता पर आधारित हैं। यह असमानता संभावित मूल्यों के साथ असतत यादृच्छिक चर पर विचार करके प्राप्त की जा सकती है।

प्रमेय। एक परिमित क्रम होने दें स्वतंत्र यादृच्छिक चर, समान गणितीय अपेक्षाओं और समान स्थिरांक द्वारा सीमित भिन्नताओं के साथ:

फिर, संख्या जो भी हो, घटना की प्रायिकता

पर एकता की ओर प्रवृत्त होता है।

चेबिशेव का प्रमेय संभाव्यता सिद्धांत के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के पूरे सेट की औसत विशेषताओं और गणितीय आँकड़ों पर विचार करता है, जो इस चर के मूल्यों के सीमित सेट पर संचालित होता है। यह दर्शाता है कि एक निश्चित यादृच्छिक चर के पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप के लिए, इन मापों के मूल्यों का अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा के करीब है।

20 में। गणितीय आँकड़ों का विषय और कार्य। सामान्य और नमूना आबादी। चयन विधि. गणित के आँकड़ेसंभाव्यता के सिद्धांत के आधार पर वैज्ञानिक और व्यावहारिक निष्कर्ष के लिए सांख्यिकीय डेटा के व्यवस्थितकरण और उपयोग के गणितीय तरीकों का विज्ञान।

गणितीय आँकड़ों के अध्ययन की वस्तुएँ यादृच्छिक घटनाएँ, मात्राएँ और कार्य हैं जो मानी गई यादृच्छिक घटना की विशेषता हैं। निम्नलिखित घटनाएं यादृच्छिक हैं: नकद लॉटरी का एक टिकट जीतना, स्थापित आवश्यकताओं के साथ नियंत्रित उत्पाद का अनुपालन, इसके संचालन के पहले महीने के दौरान कार का परेशानी से मुक्त संचालन, दैनिक कार्य अनुसूची के ठेकेदार द्वारा पूर्ति।

नमूना सेटबेतरतीब ढंग से चयनित वस्तुओं का एक संग्रह है।

सामान्य जनसंख्यावस्तुओं के उस समुच्चय का नाम बताइए जिससे नमूना बनाया गया है।

21 पर। चयन के तरीके।

चयन के तरीके: 1 चयन जिसमें सामान्य जनसंख्या के भागों में विभाजन की आवश्यकता नहीं होती है। इनमें ए) सरल यादृच्छिक गैर-दोहरावदार चयन और बी) सरल यादृच्छिक पुनर्चयन शामिल हैं। 2) चयन, जिसमें सामान्य जनसंख्या को भागों में विभाजित किया जाता है। इनमें ए) टाइप सेलेक्शन, बी) मैकेनिकल सेलेक्शन और सी) सीरियल सेलेक्शन शामिल हैं।

साधारण यादृच्छिकचयन कहलाता है, जिसमें वस्तुओं को सामान्य जनसंख्या से एक-एक करके निकाला जाता है।

ठेठचयन कहा जाता है, जिसमें वस्तुओं को संपूर्ण सामान्य आबादी से नहीं, बल्कि इसके प्रत्येक "विशिष्ट" भागों से चुना जाता है।

यांत्रिकचयन कहलाता है, जिसमें सामान्य जनसंख्या को यांत्रिक रूप से कई समूहों में विभाजित किया जाता है क्योंकि नमूने में शामिल करने के लिए वस्तुएं होती हैं, और प्रत्येक समूह से एक वस्तु का चयन किया जाता है।

धारावाहिकचयन कहा जाता है, जिसमें वस्तुओं को सामान्य आबादी से एक-एक करके नहीं, बल्कि "श्रृंखला" से चुना जाता है, जो एक निरंतर सर्वेक्षण के अधीन होते हैं।

बी 22। सांख्यिकीय और परिवर्तनशील श्रृंखला। अनुभवजन्य वितरण समारोह और इसके गुण. असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए परिवर्तनशील श्रृंखला। सामान्य आबादी से एक नमूना लिया जाए, और अध्ययन के तहत पैरामीटर का मूल्य एक बार, एक बार, आदि देखा गया। हालाँकि, नमूना आकार देखे गए मान कहलाते हैं विकल्प, और अनुक्रम आरोही क्रम में लिखा गया एक प्रकार है - परिवर्तनशील श्रृंखला. प्रेक्षणों की संख्या कहलाती है आवृत्तियों, और उनका नमूना आकार से संबंध - सापेक्ष आवृत्तियों.रूपांतर श्रृंखलातालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एक्स			…..
एन			….

नमूने का सांख्यिकीय वितरणविकल्पों की सूची और उनके संबंधित सापेक्ष आवृत्तियों को कॉल करें। सांख्यिकीय वितरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

एक्स			…..
डब्ल्यू			….

सापेक्ष आवृत्तियाँ कहाँ हैं।

अनुभवजन्य वितरण समारोहउस फ़ंक्शन को कॉल करें जो प्रत्येक मान x के लिए ईवेंट X की सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करता है

गणितीय अपेक्षा और फैलाव के अलावा, वितरण की कुछ विशेषताओं को दर्शाते हुए संभाव्यता सिद्धांत में कई संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा। यादृच्छिक चर X का मोड Mo(X) इसका सबसे संभावित मान है(जिसके लिए संभावना आर आरया संभाव्यता घनत्व

यदि संभाव्यता या संभाव्यता घनत्व अधिकतम एक पर नहीं, बल्कि कई बिंदुओं पर पहुंचता है, तो वितरण कहा जाता है बहुरूपी(चित्र 3.13)।

पहनावा मॉस),जिस पर संभावना है आर (या संभाव्यता घनत्व (p(x) एक वैश्विक अधिकतम तक पहुँचता है, कहलाता है सबसे अधिक संभावना मूल्ययादृच्छिक चर (चित्र 3.13 में यह मो (एक्स) 2)।

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर X का माध्यक Me(X) इसका मान है, जिसके लिए

वे। संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्समाध्यिका से कम मान लेता है छाल)या उससे अधिक, समान और 1/2 के बराबर। ज्यामितीय रूप से लंबवत रेखा एक्स = छाल) के बराबर भुज के साथ एक बिंदु से गुजरना छाल), वितरण वक्र के आंकड़े के क्षेत्र को दो समान भागों में विभाजित करता है (चित्र। 3.14)। जाहिर है, बिंदु पर एक्स = छाल)बंटन फलन 1/2 के बराबर है, अर्थात पी (मी (एक्स))= 1/2 (चित्र 3.15)।

एक यादृच्छिक चर के माध्यिका की एक महत्वपूर्ण संपत्ति पर ध्यान दें: तब स्थिर मान C से यादृच्छिक चर X के विचलन के निरपेक्ष मान की गणितीय अपेक्षा न्यूनतम है, जब यह स्थिरांक C माध्यिका Me(X) = m के बराबर होता है, अर्थात।

(संपत्ति अपनी गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के विचलन के औसत वर्ग की न्यूनतमता की संपत्ति (3.10 ") के समान है)।

ओ उदाहरण 3.15। एक यादृच्छिक चर का मोड, माध्यिका और माध्य ज्ञात कीजिए एक्स एसप्रायिकता घनत्व φ(x) = 3x 2 xx के लिए।

समाधान।वितरण वक्र को अंजीर में दिखाया गया है। 3.16। जाहिर है, प्रायिकता घनत्व φ(x) अधिकतम है एक्स= मो (एक्स) = 1.

मंझला छाल) = बी हम स्थिति (3.28) से पाते हैं:

कहाँ

गणितीय अपेक्षा की गणना सूत्र (3.25) द्वारा की जाती है:

बिंदुओं की पारस्परिक व्यवस्था एम(एक्स) > मी(एक्स) और मॉस) भुज के आरोही क्रम में चित्र में दिखाया गया है। 3.16। ?

ऊपर बताई गई संख्यात्मक विशेषताओं के साथ, एक यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए मात्रा और प्रतिशत अंक की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा। स्तर क्वांटाइल y-मात्रात्मक )

यादृच्छिक चर का ऐसा मान x q कहलाता है , जिस पर इसका वितरण फलन के बराबर मान लेता है मरना।

कुछ क्वांटाइल्स को एक विशेष नाम प्राप्त हुआ है। जाहिर है, उपरोक्त MEDIAN रैंडम वेरिएबल 0.5 लेवल क्वांटाइल है, यानी मी (एक्स) \u003d x 05। क्वांटाइल डीजी 0 2 5 और x 075 क्रमशः नामित हैं निचला और ऊपरी चतुर्थक K

क्वांटाइल की अवधारणा से निकटता से संबंधित अवधारणा है फ़ीसदी।अंतर्गत यूओहो-नोई डॉट निहित मात्रा एक्स एक्स (( , वे। एक यादृच्छिक चर का ऐसा मान एक्स, जिसके अंतर्गत

0 उदाहरण 3.16। उदाहरण 3.15 के अनुसार मात्रा ज्ञात कीजिए एक्स 03 और 30% यादृच्छिक चर बिंदु एक्स।

समाधान। सूत्र (3.23) के अनुसार, वितरण समारोह

हम समीकरण (3.29) से क्वांटाइल r 0 z पाते हैं, अर्थात एक्स $ 3 \u003d 0.3, जहां से L "oz -0.67। यादृच्छिक चर का 30% बिंदु ज्ञात करें एक्स, या परिमाण x 0 7, समीकरण से एक्स $ 7 = 0.7, जहां x 0 7 "0.89। ?

एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं में, क्षण - प्रारंभिक और केंद्रीय - का विशेष महत्व है।

परिभाषा। शुरुआती पलएक यादृच्छिक चर X का k-वाँ क्रम इस चर की k-वीं शक्ति की गणितीय अपेक्षा है :

परिभाषा। केंद्रीय क्षणयादृच्छिक चर X का k-वाँ क्रम यादृच्छिक चर X के गणितीय अपेक्षा से k-वें विचलन की गणितीय अपेक्षा है:

असतत यादृच्छिक चर के लिए क्षणों की गणना के लिए सूत्र (मान लेते हुए एक्स 1 संभावनाओं के साथ पी,) और निरंतर (संभाव्यता घनत्व सीपी (एक्स) के साथ) तालिका में दिए गए हैं। 3.1।

तालिका 3.1

यह देखना आसान है कि कब के =यादृच्छिक चर का 1 पहला प्रारंभिक क्षण एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा है, अर्थात एच एक्स \u003d एम [एक्स) \u003d ए,पर को= 2 दूसरा केंद्रीय क्षण फैलाव है, अर्थात पी 2 = टी) (एक्स)।

सूत्रों का उपयोग करके प्रारंभिक क्षणों के संदर्भ में केंद्रीय क्षण पी ए व्यक्त किया जा सकता है:

वगैरह।

उदाहरण के लिए, सी 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (व्युत्पन्न करते समय, हमने इस बात को ध्यान में रखा ए = एम (एक्स)= वी, - गैर-यादृच्छिक मान)। ?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, गणितीय अपेक्षा एम (एक्स),या पहला प्रारंभिक क्षण, एक यादृच्छिक चर के वितरण के केंद्र, औसत मूल्य या स्थिति की विशेषता है एक्ससंख्या रेखा पर; फैलाव ओह),या दूसरा केंद्रीय क्षण p 2 , - s t s - वितरण प्रकीर्णन एक्सअपेक्षाकृत एम (एक्स)।उच्च क्रम के क्षण वितरण के अधिक विस्तृत विवरण के लिए काम करते हैं।

तीसरा केंद्रीय क्षणपी 3 वितरण (तिरछापन) की विषमता को चिह्नित करने के लिए कार्य करता है। इसमें एक यादृच्छिक चर के घन का आयाम है। आयाम रहित मान प्राप्त करने के लिए, इसे लगभग 3 से विभाजित किया जाता है, जहाँ a यादृच्छिक चर का मानक विचलन है एक्स।प्राप्त मूल्य एबुलाया एक यादृच्छिक चर की विषमता का गुणांक।

यदि वितरण गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित है, तो विषमता गुणांक A = 0 है।

अंजीर पर। 3.17 दो वितरण वक्र दिखाता है: I और II। वक्र I में एक सकारात्मक (दाएं तरफा) विषमता (L > 0) है, और वक्र II में एक नकारात्मक (बाएं तरफा) (L) है

चौथा केंद्रीय क्षण पी 4 वितरण की ढलान (शीर्ष या सपाट शीर्ष - पोस्ट की चोटी) को चिह्नित करने के लिए कार्य करता है।

अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर एक्स, जो मूल्यों की एक परिमित संख्या लेता है एक्समैंसंभावनाओं के साथ आरमैंयोग कहा जाता है:

गणितीय अपेक्षासतत यादृच्छिक चर एक्सइसके मूल्यों के उत्पाद का अभिन्न कहा जाता है एक्ससंभाव्यता वितरण घनत्व पर एफ(एक्स):

(6बी)

अनुचित अभिन्न (6 बी) बिल्कुल अभिसरण माना जाता है (अन्यथा हम कहते हैं कि अपेक्षा एम(एक्स) मौजूद नहीं होना)। गणितीय अपेक्षा की विशेषता है औसत मूल्यअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स. इसका आयाम यादृच्छिक चर के आयाम के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण:

फैलाव। फैलावअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सनंबर कहा जाता है:

फैलाव है बिखरने की विशेषताएक यादृच्छिक चर के मान एक्सइसके औसत मूल्य के सापेक्ष एम(एक्स). विचरण का आयाम यादृच्छिक चर वर्ग के आयाम के बराबर है। असतत यादृच्छिक चर के लिए विचरण (8) और गणितीय अपेक्षा (5) की परिभाषाओं के आधार पर और (6) एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, हम विचरण के लिए समान भाव प्राप्त करते हैं:

(9)

यहाँ एम = एम(एक्स).

फैलाव गुण:

मानक विचलन:

(11)

चूंकि मानक विचलन का आयाम एक यादृच्छिक चर के समान है, यह फैलाव के माप के रूप में उपयोग किए जाने वाले भिन्नता से अधिक होता है।

वितरण क्षण। गणितीय अपेक्षा और विचरण की अवधारणाएँ यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के लिए अधिक सामान्य अवधारणा के विशेष मामले हैं - वितरण क्षण. एक यादृच्छिक चर के वितरण क्षणों को यादृच्छिक चर के कुछ सरल कार्यों की गणितीय अपेक्षाओं के रूप में पेश किया जाता है। तो, आदेश का क्षण कबिंदु के सापेक्ष एक्स 0 को अपेक्षा कहा जाता है एम(एक्स–एक्स 0 )क. उत्पत्ति के सापेक्ष क्षण एक्स= 0 कहलाते हैं प्रारंभिक क्षणऔर चिह्नित हैं:

(12)

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण विचारित यादृच्छिक चर का वितरण केंद्र है:

(13)

वितरण केंद्र के सापेक्ष क्षण एक्स= एमबुलाया केंद्रीय क्षणऔर चिह्नित हैं:

(14)

(7) से यह इस प्रकार है कि पहले क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है:

केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के मूल्यों की उत्पत्ति पर निर्भर नहीं करते हैं, क्योंकि एक स्थिर मूल्य द्वारा बदलाव के साथ साथइसके वितरण के केंद्र को उसी मान से स्थानांतरित किया जाता है साथ, और केंद्र से विचलन नहीं बदलता है: एक्स – एम = (एक्स – साथ) – (एम – साथ).
अब जाहिर सी बात है फैलाव- यह दूसरा क्रम केंद्रीय क्षण:

विषमता। तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण:

(17)

मूल्यांकन करने का कार्य करता है वितरण तिरछापन. यदि वितरण बिंदु के बारे में सममित है एक्स= एम, तो तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होगा (साथ ही विषम क्रम के सभी केंद्रीय क्षण)। इसलिए, यदि तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य से अलग है, तो वितरण सममित नहीं हो सकता। एक आयाम रहित का उपयोग करके विषमता के परिमाण का अनुमान लगाया जाता है विषमता गुणांक:

(18)

विषमता गुणांक (18) का चिह्न दाएं तरफा या बाएं तरफा विषमता (चित्र 2) को इंगित करता है।

चावल। 2. वितरण की विषमता के प्रकार।

अधिकता। चौथे क्रम का केंद्रीय क्षण:

(19)

तथाकथित का मूल्यांकन करने के लिए कार्य करता है कुकुदता, जो सामान्य वितरण वक्र के संबंध में वितरण केंद्र के पास वितरण वक्र की ढलान (बिंदु) की डिग्री निर्धारित करता है। चूंकि एक सामान्य वितरण के लिए, कर्टोसिस के रूप में ली गई मात्रा है:

(20)

अंजीर पर। 3 कर्टोसिस के विभिन्न मूल्यों के साथ वितरण घटता के उदाहरण दिखाता है। सामान्य वितरण के लिए इ= 0. सामान्य से अधिक शिखर वाले वक्रों में धनात्मक कुकुदता होती है, और अधिक चपटी चोटियों वाले वक्रों में ऋणात्मक कुकुदता होती है।

चावल। 3. विभिन्न डिग्री की ढलान (कर्टोसिस) के साथ वितरण घटता है।

गणितीय आँकड़ों के इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उच्च-क्रम के क्षणों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है।

पहनावा अलगयादृच्छिक चर इसका सबसे संभावित मूल्य है। पहनावा निरंतरएक यादृच्छिक चर इसका मूल्य है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम है (चित्र 2)। यदि बंटन वक्र का अधिकतम एक हो तो बंटन कहलाता है एकरूप. यदि बंटन वक्र में एक से अधिक उच्चिष्ठ हों तो बंटन कहलाता है बहुरूपी. कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनके वक्र अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होते हैं। ऐसे वितरण कहलाते हैं प्रतिरूप. सामान्य स्थिति में, मोड और यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती है। किसी विशेष मामले में, के लिए मॉडल, अर्थात। एक मोड, एक सममित वितरण, और बशर्ते कि एक गणितीय अपेक्षा हो, उत्तरार्द्ध वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

मंझला अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सइसका अर्थ है मुझे, जिसके लिए समानता रखती है: अर्थात यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सकम या ज्यादा होगा मुझे. ज्यामितीय MEDIANउस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र के अंतर्गत क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)। एक सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका, मोड और माध्य समान हैं।