दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय समीकरण। दूसरा क्रम और उच्च क्रम अंतर समीकरण
यह लेख निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक विषम अंतर समीकरणों को हल करने के प्रश्न को प्रकट करता है। दी गई समस्याओं के उदाहरणों के साथ सिद्धांत पर विचार किया जाएगा। अतुलनीय शर्तों को समझने के लिए, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की मूल परिभाषाओं और अवधारणाओं के विषय को संदर्भित करना आवश्यक है।
फॉर्म y "" + p y " + q y \u003d f (x) के निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अंतर समीकरण (LDE) पर विचार करें, जहाँ p और q मनमानी संख्याएँ हैं, और मौजूदा फ़ंक्शन f (x) है एकीकरण अंतराल x पर निरंतर।
आइए हम LIDE के लिए सामान्य समाधान प्रमेय के सूत्रीकरण को पास करें।
Yandex.RTB R-A-339285-1
एलडीएनयू के लिए सामान्य समाधान प्रमेय
प्रमेय 1y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + के रूप के एक विषम अंतर समीकरण के अंतराल x पर स्थित सामान्य समाधान। . . + f 0 (x) y = f (x) निरंतर एकीकरण गुणांक के साथ x अंतराल पर f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n - 1 (x) और एक सतत फलन f (x) सामान्य समाधान y 0 के योग के बराबर है, जो LODE के अनुरूप है, और कुछ विशेष समाधान y ~, जहां मूल विषम समीकरण y = y 0 है + य ~ .
इससे पता चलता है कि ऐसे दूसरे क्रम के समीकरण के समाधान का रूप y = y 0 + y ~ है। निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों पर लेख में y 0 खोजने के लिए एल्गोरिथ्म पर विचार किया गया है। उसके बाद, हमें y ~ की परिभाषा पर आगे बढ़ना चाहिए।
LIDE के लिए किसी विशेष समाधान का चुनाव समीकरण के दाईं ओर स्थित उपलब्ध फ़ंक्शन f (x) के प्रकार पर निर्भर करता है। ऐसा करने के लिए, निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक विषम अंतर समीकरणों के समाधानों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।
जब f (x) को nth डिग्री f (x) = P n (x) का एक बहुपद माना जाता है, तो यह अनुसरण करता है कि LIDE का एक विशेष समाधान y ~ = Q n (x) के सूत्र द्वारा पाया जाता है। ) x γ , जहां Q n ( x ) घात n का एक बहुपद है, r विशेषता समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। y ~ का मान एक विशेष हल y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) है, तो उपलब्ध गुणांक, जो बहुपद द्वारा परिभाषित हैं
क्यू एन (एक्स), हम समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) से अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग कर पाते हैं।
उदाहरण 1
कौशी प्रमेय y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 का प्रयोग करके परिकलन कीजिए।
समाधान
दूसरे शब्दों में, निरंतर गुणांक y "" - 2 y "= x 2 + 1 के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान को पास करना आवश्यक है, जो दी गई शर्तों y (0) = को संतुष्ट करेगा 2 , y" (0) = 1 4 ।
एक रेखीय असमघात समीकरण का व्यापक हल उस व्यापक हल का योग होता है जो समीकरण y 0 के अनुरूप होता है या असमघात समीकरण y~ का एक विशेष हल होता है, अर्थात y = y 0 + y ~।
सबसे पहले, आइए एलएनडीई के लिए एक सामान्य समाधान खोजें, और फिर एक विशेष।
आइए y 0 ज्ञात करने की ओर बढ़ते हैं। विशेषता समीकरण लिखने से जड़ों को खोजने में मदद मिलेगी। हमें वह मिल गया
के 2 - 2 के \u003d 0 के (के - 2) \u003d 0 के 1 \u003d 0, के 2 \u003d 2
हमने पाया कि जड़ें भिन्न और वास्तविक हैं। इसलिए हम लिखते हैं
वाई 0 \u003d सी 1 ई 0 एक्स + सी 2 ई 2 एक्स \u003d सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स।
आइए y~ ज्ञात करें। यह देखा जा सकता है कि दिए गए समीकरण का दाहिना पक्ष दूसरी डिग्री का बहुपद है, तो जड़ों में से एक शून्य के बराबर है। यहाँ से हम पाते हैं कि y~ का एक विशेष हल होगा
y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, जहां A, B, C के मान अपरिभाषित गुणांक लें।
आइए उन्हें y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 के रूप की समानता से ज्ञात करें।
तब हमें वह मिलता है:
y ~ "" - 2 y ~ "= x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) "= x 2 + 1 3 ए एक्स 2 + 2 बी एक्स + सी "- 6 ए एक्स 2 - 4 बी एक्स - 2 सी = एक्स 2 + 1 6 ए एक्स + 2 बी - 6 ए एक्स 2 - 4 बी एक्स - 2 सी = एक्स 2 + 1 - 6 ए एक्स 2 + एक्स (6 ए - 4 बी) + 2 बी - 2 सी = एक्स 2 + 1
समान घातांक x वाले गुणांकों की बराबरी करने पर, हमें रैखिक व्यंजकों की एक प्रणाली मिलती है - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। किसी भी तरीके से हल करते समय, हम गुणांक पाते हैं और लिखते हैं: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 और y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x।
इस प्रविष्टि को स्थिर गुणांक वाले मूल रेखीय विषम द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है।
y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 शर्तों को संतुष्ट करने वाला एक विशेष समाधान खोजने के लिए, मूल्यों को निर्धारित करना आवश्यक है सी 1तथा सी2, फॉर्म y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x की समानता के आधार पर।
हमें वह मिलता है:
वाई (0) = सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = सी 1 + सी 2 वाई "(0) = सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
हम C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 रूप के समीकरणों की परिणामी प्रणाली के साथ काम करते हैं, जहाँ C 1 = 3 2, C 2 = 1 2।
कॉची प्रमेय को लागू करने पर, हमारे पास वह है
वाई = सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 ई 2 एक्स - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 एक्स
उत्तर: 3 2 + 1 2 ई 2 एक्स - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 एक्स।
जब फ़ंक्शन f (x) को डिग्री n और एक्सपोनेंट f (x) = P n (x) e a x के साथ बहुपद के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, तो यहां से हम प्राप्त करते हैं कि दूसरे क्रम LIDE का एक विशेष समाधान होगा फॉर्म का एक समीकरण y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , जहां Q n (x) nth डिग्री का एक बहुपद है, और r विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या α के बराबर है।
Q n (x) से संबंधित गुणांक समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा पाए जाते हैं।
उदाहरण 2
y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x के रूप के अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
समाधान
सामान्य समीकरण y = y 0 + y ~ । संकेतित समीकरण एलओडी वाई "" - 2 वाई "= 0 से मेल खाता है। पिछले उदाहरण से पता चलता है कि इसकी जड़ें हैं के 1 = 0और k 2 = 2 और y 0 = C 1 + C 2 e 2 x विशेषता समीकरण के अनुसार।
यह देखा जा सकता है कि समीकरण का दाहिना पक्ष x 2 + 1 · e x है। यहाँ से, LNDE को y ~ = e a x Q n (x) x γ के माध्यम से पाया जाता है, जहाँ Q n (x), जो दूसरी डिग्री का एक बहुपद है, जहाँ α = 1 और r = 0, क्योंकि विशेषता समीकरण नहीं है एक जड़ 1 के बराबर है। इसलिए हमें वह मिलता है
y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C ।
ए, बी, सी अज्ञात गुणांक हैं, जिन्हें समानता y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x द्वारा पाया जा सकता है।
मिला क्या
y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " "= ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी" = = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी + ई एक्स 2 ए एक्स + 2 ए + बी = = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 4 ए + बी + 2 ए + 2 बी + सी
y ~ "" - 2 y ~ "= (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + बी + सी = एक्स 2 + 1 ई एक्स ⇔ ई एक्स - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = (एक्स 2 + 1) ई एक्स ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = एक्स 2 + 1 ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = 1 एक्स 2 + 0 एक्स + 1
हम समान गुणांकों के संकेतकों की बराबरी करते हैं और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यहाँ से हम ए, बी, सी पाते हैं:
ए = 1 - बी = 0 2 ए - सी = 1 ⇔ ए = - 1 बी = 0 सी = - 3
उत्तर:यह देखा जा सकता है कि y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 LIDE का एक विशेष हल है, और y = y 0 + y = सी 1 ई 2 एक्स - ई एक्स · एक्स 2 + 3
जब फ़ंक्शन को f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x के रूप में लिखा जाता है, और ए 1तथा पहले मेंसंख्याएँ हैं, तो फॉर्म का एक समीकरण y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , जहाँ A और B को अनिश्चित गुणांक माना जाता है, और r विशेषता समीकरण से संबंधित जटिल संयुग्मी जड़ों की संख्या के बराबर ± मैं β। इस मामले में, गुणांक की खोज समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा की जाती है।
उदाहरण 3
y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) के रूप के अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
समाधान
अभिलाक्षणिक समीकरण लिखने से पहले, हम y 0 पाते हैं। फिर
के 2 + 4 \u003d 0 के 2 \u003d - 4 के 1 \u003d 2 आई, के 2 \u003d - 2 आई
हमारे पास जटिल संयुग्मी मूलों की एक जोड़ी है। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें:
y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
चारित्रिक समीकरण से मूलों को संयुग्मी युग्म ± 2 i माना जाता है, तब f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) । इससे पता चलता है कि y ~ की खोज y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x से की जाएगी। अज्ञात गुणांक A और B को y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) रूप की समानता से मांगा जाएगा।
आइए रूपांतरित करें:
y ~ "= ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x)" = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + बी पाप (2 एक्स) वाई ~ "" = ((- 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स)) "= = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) एक्स) = = (- 4 ए कॉस (2 एक्स) - 4 बी पाप (2 एक्स)) एक्स - 4 ए पाप (2 एक्स) + 4 बी कॉस (2 एक्स)
तब देखा जाता है
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)
ज्या और कोसाइन के गुणांकों की बराबरी करना आवश्यक है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:
4 ए = 3 4 बी = 1 ⇔ ए = - 3 4 बी = 1 4
यह इस प्रकार है कि y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x।
उत्तर:निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के मूल LIDE का सामान्य समाधान माना जाता है
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
जब f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), तब y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ हमारे पास है कि r विशेषता समीकरण से संबंधित जड़ों के जटिल संयुग्म जोड़े की संख्या है, जो α ± i β के बराबर है, जहां P n (x), Q k (x), L m ( एक्स) और एन एम (एक्स)घात n, k, m वाले बहुपद हैं, जहाँ एम = एम एक्स (एन, के). गुणांक ढूँढना एल एम (एक्स)तथा एन एम (एक्स)समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) के आधार पर उत्पादित किया जाता है।
उदाहरण 4
सामान्य हल y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ज्ञात कीजिए।
समाधान
शर्त से स्पष्ट है कि
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
तब m = m a x (n , k) = 1 । सर्वप्रथम रूप का अभिलाक्षणिक समीकरण लिखकर हम y 0 ज्ञात करते हैं:
के 2 - 3 के + 2 = 0 डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 के 1 = 3 - 1 2 = 1, के 2 = 3 + 1 2 = 2
हमने पाया कि जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। इसलिए y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। इसके बाद, फॉर्म के एक विषम समीकरण y ~ के आधार पर एक सामान्य समाधान की तलाश करना आवश्यक है
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
यह ज्ञात है कि A, B, C गुणांक हैं, r = 0, क्योंकि α ± i β = 3 ± 5 · i के साथ विशेषता समीकरण से संबंधित संयुग्मी जड़ों की कोई जोड़ी नहीं है। ये गुणांक परिणामी समानता से पाए जाते हैं:
y ~ "" - 3 y ~ "+ 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x +) डी) पाप (5 एक्स)) = - ई 3 एक्स ((38 x + 45) पाप (5 एक्स) + (8 एक्स - 5) कॉस (5 एक्स))
व्युत्पन्न और समान शर्तों को ढूँढना देता है
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 एक्स) - 5 कॉस (5 एक्स))
गुणांकों की बराबरी करने के बाद, हम फॉर्म की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं
15 ए + 23 सी = 38 10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी = 45 23 ए - 15 सी = 8 - 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी = - 5 ⇔ ए = 1 बी = 1 सी = 1 डी = 1
यह सब इस प्रकार है
y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)पाप(5x))
उत्तर:अब दिए गए रैखिक समीकरण का व्यापक हल प्राप्त हो गया है:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
एलडीएनयू को हल करने के लिए एल्गोरिदम
परिभाषा 1समाधान के लिए किसी अन्य प्रकार का फ़ंक्शन f (x) समाधान एल्गोरिथम प्रदान करता है:
- संबंधित रैखिक सजातीय समीकरण का व्यापक हल ज्ञात करना, जहाँ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, जहाँ वाई 1तथा y2 LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान हैं, 1 सेतथा 2 सेमनमाना स्थिरांक माना जाता है;
- LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) के रूप में एक फ़ंक्शन के डेरिवेटिव की परिभाषा ) + सी 2 "(एक्स) वाई 2" (एक्स) = एफ (एक्स), और कार्यों को ढूंढना सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स) एकीकरण के माध्यम से।
उदाहरण 5
y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
समाधान
पहले y 0 , y "" + 36 y = 0 लिखने के बाद, हम विशेषता समीकरण लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए लिखें और हल करें:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , वाई 2 (एक्स) = पाप (6 एक्स)
हमारे पास यह है कि दिए गए समीकरण के व्यापक हल का रिकॉर्ड y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) के रूप में होगा। व्युत्पन्न कार्यों की परिभाषा को पास करना आवश्यक है सी 1 (एक्स)तथा सी 2 (एक्स)समीकरणों के साथ प्रणाली के अनुसार:
C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) "= 0 ⇔ C 1" (x) cos (6 x) + C 2 "(x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (एक्स) (6 कॉस (6 एक्स)) \u003d \u003d 24 पाप (6 एक्स) - 12 कॉस (6 एक्स) + 36 ई 6 एक्स
के संबंध में निर्णय लिया जाना है सी 1 "(एक्स)तथा सी 2" (एक्स)किसी भी तरीके का उपयोग करना। फिर हम लिखते हैं:
C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
प्रत्येक समीकरण को एकीकृत किया जाना चाहिए। फिर हम परिणामी समीकरण लिखते हैं:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4
यह इस प्रकार है कि सामान्य समाधान का रूप होगा:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स)
उत्तर: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)
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निरंतर गुणांक (पीसी) के साथ दूसरे क्रम (एलएनडीई-2) के रैखिक विषम अंतर समीकरणों को हल करने के मूल सिद्धांत
$y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, जहां $f\left( x \right)$ एक सतत फलन है।
पीसी के साथ दूसरे एलएनडीई के संबंध में निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।
मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक विषम अंतर समीकरण का एक मनमाना विशेष समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का एक सामान्य समाधान (OR) है। फिर का OR LHDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, अर्थात $y=U+Y$।
यदि दूसरे क्रम LIDE का दाहिना भाग कार्यों का योग है, अर्थात, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \बाएं(x\right) )+..+f_(r) \बाएं(x\दाएं)$, तो सबसे पहले आप पीडी $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ ढूंढ सकते हैं जो प्रत्येक के अनुरूप है f_( 1) \बाएं(x\दाएं),f_(2) \बाएं(x\दाएं),...,f_(r) \बाएं(x\दाएं)$, और उसके बाद लिखें LNDE-2 PD $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ के रूप में।
पीसी के साथ दूसरे क्रम के एलएनडीई का समाधान
जाहिर है, किसी दिए गए LNDE-2 के एक या दूसरे PD $U$ का रूप उसके दाहिने हाथ की ओर $f\left(x\right)$ के विशिष्ट रूप पर निर्भर करता है। एलएनडीई-2 के पीडी की खोज के सबसे सरल मामले निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किए गए हैं।
नियम संख्या 1।
एलएनडीई-2 के दाहिने हिस्से का रूप $f\बाएं(x\दाएं)=P_(n) \बाएं(x\दाएं)$ है, जहां $P_(n) \बाएं(x\दाएं)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, अर्थात इसे कहते हैं a $n$ डिग्री का बहुपद। फिर इसका PR $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ एक और है $P_(n) \बाएं(x\दाएं) के समान डिग्री का बहुपद, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की शून्य जड़ों की संख्या है। बहुपद $Q_(n) \बाएं(x\दाएं)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (NC) की विधि द्वारा पाए जाते हैं।
नियम संख्या 2।
एलएनडीई-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ है, जहां $P_(n) \बाएं( x\दाएं)$ $n$ डिग्री का एक बहुपद है। तब इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहाँ $Q_(n) ) \ बाएँ (x \ दाएँ) $ P_ (n) \ बाएँ (x \ दाएँ) के समान डिग्री का एक और बहुपद है, और $ r $ इसी LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है $\alpha $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \बाएं(x\दाएं)$ के गुणांक एनके विधि द्वारा पाए जाते हैं।
नियम संख्या 3।
एलएनडीई-2 के दाहिने हिस्से का रूप $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) है \right) $, जहाँ $a$, $b$ और $\beta $ ज्ञात संख्याएँ हैं। फिर इसके PD $U$ को $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) के रूप में खोजा जाता है )\right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या $i\cdot के बराबर है \ बीटा $। गुणांक $A$ और $B$ NDT विधि द्वारा पाए जाते हैं।
नियम संख्या 4।
एलएनडीई-2 के दाहिने हिस्से का रूप $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ है, जहां $P_(n) \बाएं(x\दाएं)$ है $ n$ डिग्री का एक बहुपद, और $P_(m) \बाएं(x\दाएं)$ $m$ डिग्री का एक बहुपद है। फिर इसके PD $U$ को $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में खोजा जाता है, जहाँ $Q_(s) \left(x\right) $ और $ R_(s) \बाएं(x\दाएं)$ डिग्री $s$ के बहुपद हैं, संख्या $s$ दो संख्याओं $n$ और $m$ की अधिकतम संख्या है, और $r$ की संख्या है संबंधित LODE-2 की विशेषता समीकरण की जड़ें, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद के गुणांक $Q_(s) \बाएं(x\दाएं)$ और $R_(s) \बाएं(x\दाएं)$ एन.के. विधि द्वारा पाए जाते हैं।
एनके पद्धति में निम्नलिखित नियम लागू होते हैं। बहुपद के अज्ञात गुणांकों को खोजने के लिए, जो कि विषम अंतर समीकरण LNDE-2 के विशेष समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:
- एलएनडीई-2 के बाएं हिस्से में सामान्य रूप में लिखे गए पीडी $यू$ को प्रतिस्थापित करें;
- एलएनडीई-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों $x$ के साथ सरलीकरण और समूह शर्तों का प्रदर्शन करें;
- परिणामी पहचान में, बाएँ और दाएँ पक्षों की समान शक्तियों $x$ वाले पदों के गुणांकों की बराबरी करें;
- अज्ञात गुणांकों के लिए रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।
उदाहरण 1
टास्क: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ खोजें। पीआर, $x=0$ के लिए $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ की प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।
संबंधित लोडा-2 लिखें: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।
विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। विशेषता समीकरण की जड़ें: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। ये जड़ें वास्तविक और विशिष्ट होती हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।
इस LNDE-2 के दाएँ भाग का रूप $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है। एक्सपोनेंट $\alpha =3$ के एक्सपोनेंट के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक अभिलाक्षणिक समीकरण के किसी भी मूल से मेल नहीं खाता है। इसलिए, इस LNDE-2 के PR का रूप $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।
हम NK विधि का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की तलाश करेंगे।
हम सीआर का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \बाएं ( ई^(3\cdot x) \दाएं)^((") ) =$
$=A\cdot ई^(3\cdot x) +\बाएं (A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot ई^(3\cdot x) =\बाएं (ए+3\cdot ए\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) $।
हम सीआर का दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:
$U""=\बाएं(ए+3\cdot ए\cdot x+3\cdot बी\दाएं)^((") ) \cdot ई^(3\cdot x) +\बाएं(ए+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\बाएं (A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\बाएं(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot ई^(3\cdot x) $।
हम दिए गए LNDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के बजाय $U""$, $U"$ और $U$ कार्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ उसी समय, चूंकि एक्सपोनेंट $e^(3\cdot x) $ शामिल है सभी घटकों में एक कारक के रूप में, तो इसे छोड़ा जा सकता है।
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \बाएं (A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \बाएं (A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
हम परिणामी समानता के बाईं ओर क्रिया करते हैं:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
हम एनसी विधि का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
$-18\cdot ए=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$।
हमारी समस्या के लिए CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ इस तरह दिखता है: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot ई^(3\cdot x) $।
हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ (-2 \ cdot x-1 \ दाएँ) \ cdot ई^(3 \ cdot x) $।
एक पीडी की खोज करने के लिए जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है, हम व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं या:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot ई^(6\cdot x) -2\cdot ई^(3\ cdot x) +\बाएं(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) $।
हम $y$ और $y"$ में शुरुआती शर्तों $y=6$ को $x=0$ और $y"=1$ में $x=0$ के लिए स्थानापन्न करते हैं:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
हम इसे हल करते हैं। हम क्रैमर के सूत्र का उपयोग करके $C_(1) $ पाते हैं, और $C_(2) $ पहले समीकरण से निर्धारित होता है:
$C_(1) =\frac(\बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसी) (7) और (1) \\ (6) और (6) \end(सरणी)\दाएं|)(\बाएं|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\बाएं(-3\दाएं)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
इस प्रकार, इस अंतर समीकरण का पीडी है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\बाएं(-2\cdot x-1\right )\cdot ई^(3\cdot x) $।
दूसरे क्रम और उच्च क्रम के विभेदक समीकरण।
निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम का रैखिक DE।
समाधान उदाहरण।
हम दूसरे क्रम के अवकल समीकरणों और उच्चतर कोटि के अवकल समीकरणों पर विचार करते हैं। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि अंतर समीकरण क्या है (या यह बिल्कुल भी समझ में नहीं आता है), तो मैं पाठ से शुरू करने की सलाह देता हूं प्रथम कोटि के अवकल समीकरण। समाधान उदाहरण. कई समाधान सिद्धांत और पहले क्रम के अंतर की बुनियादी अवधारणाएं स्वचालित रूप से उच्च-क्रम अंतर समीकरणों तक विस्तारित होती हैं, इसलिए पहले क्रम के समीकरणों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है.
कई पाठकों को यह पूर्वाग्रह हो सकता है कि दूसरे, तीसरे और अन्य आदेशों का डीई बहुत कठिन और मास्टरिंग के लिए दुर्गम है। यह सच नहीं है . उच्च-क्रम डिफ्यूज़ को हल करना सीखना "साधारण" प्रथम-क्रम DEs की तुलना में शायद ही अधिक कठिन है. और कुछ जगहों पर यह और भी आसान है, क्योंकि निर्णयों में स्कूल पाठ्यक्रम की सामग्री का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।
सबसे लोकप्रिय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण में आवश्यक रूप सेदूसरा व्युत्पन्न शामिल है और शामिल नहीं 
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ बच्चे (और एक बार में भी) समीकरण से गायब हो सकते हैं, यह महत्वपूर्ण है कि पिता घर पर थे। सबसे आदिम दूसरे क्रम का अंतर समीकरण इस तरह दिखता है:
व्यावहारिक कार्यों में तीसरे क्रम के अंतर समीकरण बहुत कम आम हैं, राज्य ड्यूमा में मेरी व्यक्तिपरक टिप्पणियों के अनुसार, वे लगभग 3-4% वोट प्राप्त करेंगे।
तीसरे क्रम के अंतर समीकरण में आवश्यक रूप सेतीसरा व्युत्पन्न शामिल है और शामिल नहींउच्च आदेशों के डेरिवेटिव:
तीसरे क्रम का सबसे सरल अंतर समीकरण इस तरह दिखता है: - पिताजी घर पर हैं, सभी बच्चे टहलने गए हैं।
इसी तरह, चौथे, पांचवें और उच्चतर क्रम के अवकल समीकरणों को परिभाषित किया जा सकता है। व्यावहारिक समस्याओं में, ऐसा DE बहुत कम ही फिसलता है, हालाँकि, मैं प्रासंगिक उदाहरण देने की कोशिश करूँगा।
व्यावहारिक समस्याओं में प्रस्तावित उच्च क्रम अवकल समीकरणों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है।
1) पहला समूह - तथाकथित निचले क्रम के समीकरण. में उड़ें!
2) दूसरा समूह - निरंतर गुणांक वाले उच्च-क्रम रैखिक समीकरण. जिस पर हम अभी विचार करना शुरू करेंगे।
दूसरा क्रम रैखिक विभेदक समीकरण
निरंतर गुणांक के साथ
सिद्धांत और व्यवहार में, ऐसे दो प्रकार के समीकरण प्रतिष्ठित हैं - सजातीय समीकरणतथा विषम समीकरण.
निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम का सजातीय DEनिम्नलिखित रूप है: 
, जहाँ और स्थिरांक (संख्याएँ) हैं, और दाईं ओर - सख्ती सेशून्य।
जैसा कि आप देख सकते हैं, सजातीय समीकरणों के साथ कोई विशेष कठिनाइयाँ नहीं हैं, मुख्य बात यह है द्विघात समीकरण को सही ढंग से हल कीजिए.
कभी-कभी गैर-मानक सजातीय समीकरण होते हैं, उदाहरण के लिए, एक समीकरण के रूप में 
, जहां दूसरे अवकलज में कुछ स्थिरांक होता है, जो एकता से भिन्न होता है (और निश्चित रूप से, शून्य से भिन्न होता है)। समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल नहीं बदलता है, किसी को शांति से विशेषता समीकरण की रचना करनी चाहिए और इसकी जड़ों को खोजना चाहिए। यदि विशेषता समीकरण 
उदाहरण के लिए दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें होंगी: 
, तो सामान्य समाधान को सामान्य तरीके से लिखा जा सकता है: 
.
कुछ मामलों में, हालत में एक टाइपो के कारण, "खराब" जड़ें निकल सकती हैं, जैसे कुछ 
. क्या करें, उत्तर इस प्रकार लिखना होगा:
"खराब" संयुग्म के साथ जटिल जड़ें जैसे 
कोई समस्या नहीं, सामान्य समाधान: 
वह है, किसी भी मामले में एक सामान्य समाधान मौजूद है. क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं।
अंतिम पैराग्राफ में, जैसा कि मैंने वादा किया था, हम संक्षेप में विचार करेंगे:
उच्च क्रम रैखिक सजातीय समीकरण
सब कुछ बहुत, बहुत समान है।
तीसरे क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण के निम्नलिखित रूप हैं:
, स्थिरांक कहाँ हैं।
इस समीकरण के लिए, आपको एक विशिष्ट समीकरण बनाने और इसकी जड़ें खोजने की भी आवश्यकता है। जैसा कि कई लोगों ने अनुमान लगाया है, विशेषता समीकरण इस तरह दिखता है: 
, और यह वैसे भीयह है ठीक तीनजड़।
मान लीजिए, उदाहरण के लिए, सभी जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं: 
, तो सामान्य समाधान निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
यदि एक मूल वास्तविक है, और अन्य दो संयुग्मी संकुल हैं, तो हम सामान्य हल इस प्रकार लिखते हैं:
एक विशेष मामला तब होता है जब सभी तीन जड़ें गुणक (समान) होती हैं। आइए एक अकेले पिता के साथ तीसरे क्रम के सबसे सरल सजातीय डे पर विचार करें:। चारित्रिक समीकरण के तीन संपाती शून्य मूल हैं। हम सामान्य समाधान इस प्रकार लिखते हैं:
यदि विशेषता समीकरण 
उदाहरण के लिए, तीन एकाधिक जड़ें हैं, तो क्रमशः सामान्य समाधान है:
उदाहरण 9
तीसरे क्रम के एक सजातीय अंतर समीकरण को हल करें
समाधान:हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
, - एक वास्तविक जड़ और दो संयुग्मी जटिल जड़ें प्राप्त होती हैं।
उत्तर:सामान्य निर्णय
इसी तरह, हम निरंतर गुणांक वाले एक रैखिक सजातीय चौथे क्रम के समीकरण पर विचार कर सकते हैं: , जहां स्थिरांक हैं।
