प्रथम स्तर

द्विघातीय समीकरण। व्यापक गाइड (2019)

शब्द "द्विघात समीकरण" में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में आवश्यक रूप से वर्ग में एक चर (समान X) होना चाहिए, और साथ ही तीसरी (या अधिक) डिग्री में Xs नहीं होना चाहिए।

अनेक समीकरणों के हल को द्विघात समीकरणों के हल में घटा दिया जाता है।

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, और कुछ अन्य नहीं।

उदाहरण 1

भाजक से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को इससे गुणा करें

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ और x की शक्तियों के अवरोही क्रम में शर्तों को व्यवस्थित करें

अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह समीकरण द्विघात है!

उदाहरण 2

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालांकि यह मूल रूप से इसमें था, वर्ग नहीं है!

उदाहरण 3

आइए सब कुछ गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री ... हालाँकि, यदि हम एक प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक साधारण द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4

ऐसा लगता है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

आप देखते हैं, यह सिकुड़ गया है - और अब यह एक सरल रेखीय समीकरण है!

अब अपने लिए निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण द्विघात है और कौन सा नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

1. वर्ग;
2. वर्ग;
3. चौकोर नहीं;
4. चौकोर नहीं;
5. चौकोर नहीं;
6. वर्ग;
7. चौकोर नहीं;
8. वर्ग।

गणितज्ञ सशर्त रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्न प्रकारों में विभाजित करते हैं:

• पूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही साथ मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (उदाहरण के अनुसार)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरणों में से हैं दिया गयाऐसे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)

• अधूरा द्विघात समीकरण- समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  वे अधूरे हैं क्योंकि उनमें कुछ तत्व नहीं है। लेकिन समीकरण में हमेशा x वर्ग होना चाहिए !!! अन्यथा, यह अब द्विघात नहीं होगा, बल्कि कुछ अन्य समीकरण होगा।

वे इस तरह के विभाजन के साथ क्यों आए? ऐसा लगता है कि एक एक्स चुकता है, और ठीक है। ऐसा विभाजन समाधान के तरीकों के कारण होता है। आइए उनमें से प्रत्येक पर अधिक विस्तार से विचार करें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान दें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण निम्न प्रकार के होते हैं:

1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
2. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।
3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं। चूंकि हम जानते हैं कि वर्गमूल कैसे लेना है, आइए इस समीकरण से व्यक्त करते हैं

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा करने पर, परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है।

और अगर, तो हमें दो रूट मिलते हैं। इन सूत्रों को कंठस्थ करने की आवश्यकता नहीं है। मुख्य बात यह है कि आपको हमेशा पता होना चाहिए और याद रखना चाहिए कि यह कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बाएँ और दाएँ भागों से जड़ निकालना बाकी है। आखिर, क्या आपको याद है कि जड़ों को कैसे निकालना है?

उत्तर:

नकारात्मक चिह्न वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

आउच! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनमें कोई जड़ नहीं है, गणितज्ञ एक विशेष आइकन - (खाली सेट) के साथ आए। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर निकालें:

इस तरह,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं।

उत्तर:

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, है ना?)। जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

यहां हम बिना उदाहरण के करेंगे।

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि पूर्ण द्विघात समीकरण प्रपत्र समीकरण का एक समीकरण है जहाँ

दिए गए समीकरणों की तुलना में पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना थोड़ा अधिक जटिल (बस थोड़ा सा) है।

याद है, किसी भी द्विघात समीकरण को विविक्तकर का प्रयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

बाकी विधियां आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन अगर आपको द्विघात समीकरणों के साथ समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विविक्तकर का प्रयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

यदि, तो समीकरण की जड़ है कदम पर विशेष ध्यान देना चाहिए। विविक्तकर () हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण पर सूत्र को कम कर दिया जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• यदि, तो हम कदम पर विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विवेचक ढूँढना:

अतः समीकरण के दो मूल हैं।

चरण 3

उत्तर:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विवेचक ढूँढना:

अतः समीकरण का एक मूल है।

उत्तर:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विवेचक ढूँढना:

इसका मतलब है कि हम विवेचक से जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही तरीके से कैसे लिखना है।

उत्तर:कोई जड़ नहीं

2. वीटा प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान।

यदि आपको याद हो, तो इस प्रकार के समीकरण होते हैं जिन्हें घटाया जाता है (जब गुणांक a के बराबर होता है):

वीटा के प्रमेय का उपयोग करके इस तरह के समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण बराबर है, और जड़ों का उत्पाद बराबर है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

यह समीकरण वीटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि .

समीकरण की जड़ों का योग है, अर्थात हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• तथा। योग है;
• तथा। योग है;
• तथा। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

उत्तर: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

उत्तर:

द्विघातीय समीकरण। औसत स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है, जहां - अज्ञात - कुछ संख्याएं, इसके अलावा।

संख्या को उच्चतम या कहा जाता है पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, एक - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि अगर, समीकरण तुरंत रेखीय हो जाएगा, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस मामले में, और शून्य के बराबर हो सकता है। इसमें मल समीकरण को अधूरा कहा जाता है। यदि सभी शर्तें जगह में हैं, यानी समीकरण पूर्ण है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

प्रारंभ में, हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियों का विश्लेषण करेंगे - वे सरल हैं।

निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय। , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

तृतीय। , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।

अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के समाधान पर विचार करें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा धनात्मक संख्या ही होगी। इसीलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

अगर हमारी दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को कंठस्थ करने की आवश्यकता नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं।

संक्षेप में लिखने के लिए कि समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

उत्तर:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उत्तर:

आइए सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर निकालें:

उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का समाधान तब होता है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

हम समीकरण के बाईं ओर कारक बनाते हैं और जड़ों को ढूंढते हैं:

उत्तर:

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विवेचक

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विविक्तकर का प्रयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

क्या आपने मूल सूत्र में विवेचक का मूल देखा है? लेकिन विवेचक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• यदि, तो समीकरण की जड़ है:
• यदि, तो समीकरण की एक ही जड़ है, लेकिन वास्तव में एक जड़ है:

  ऐसे मूल द्विमूल कहलाते हैं।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

जड़ों की संख्या अलग-अलग क्यों होती है? आइए हम द्विघात समीकरण के ज्यामितीय अर्थ की ओर मुड़ें। फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक पैराबोला है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है, . और इसका अर्थ है कि द्विघात समीकरण के मूल x-अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। परवलय अक्ष को बिल्कुल भी पार नहीं कर सकता है, या यह इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित हो) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए गुणांक जिम्मेदार है। यदि, तो परबोला की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि - तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

उत्तर: ।

उत्तर:

इसका मतलब है कि कोई उपाय नहीं हैं।

उत्तर: ।

2. वीटा की प्रमेय

वीटा प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको केवल संख्याओं की एक जोड़ी चुनने की आवश्यकता है जिसका उत्पाद समीकरण की मुक्त अवधि के बराबर है, और योग विपरीत चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वीटा के प्रमेय को केवल लागू किया जा सकता है दिए गए द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

यह समीकरण वीटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि . अन्य गुणांक:; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद है:

आइए संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करें, जिनका गुणनफल बराबर है, और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• तथा। योग है;
• तथा। योग है;
• तथा। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: ; .

उदाहरण #2:

समाधान:

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और फिर जाँचते हैं कि क्या उनका योग बराबर है:

और: कुल दे दो।

और: कुल दे दो। इसे पाने के लिए, आपको केवल कथित जड़ों के संकेतों को बदलने की जरूरत है: और, आखिरकार, काम।

उत्तर:

उदाहरण #3:

समाधान:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है। यह तभी संभव है जब जड़ों में से एक ऋणात्मक हो और दूसरी धनात्मक। तो जड़ों का योग है उनके मॉड्यूल के अंतर.

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और जिसका अंतर इसके बराबर होता है:

तथा: उनका अंतर है - उपयुक्त नहीं;

तथा: - उपयुक्त नहीं;

तथा: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त। यह केवल याद रखने के लिए बनी हुई है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूंकि उनका योग बराबर होना चाहिए, तो मूल, जो पूर्ण मूल्य में छोटा है, ऋणात्मक होना चाहिए:। हम जाँच:

उत्तर:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक होता है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जिनका गुणनफल समान होता है, और फिर यह निर्धारित करते हैं कि किन जड़ों में ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें और पहली स्थिति के लिए उपयुक्त हैं:

उत्तर:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मूलों का योग ऋणात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक मूल ऋणात्मक होता है। लेकिन चूँकि उनका गुणनफल धनात्मक है, इसका अर्थ है कि दोनों मूल ऋणात्मक हैं।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं, जिनका गुणनफल इसके बराबर होता है:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

उत्तर:

सहमत हूँ, यह बहुत सुविधाजनक है - जड़ों को मौखिक रूप से आविष्कार करने के लिए, इस घृणित भेदभाव को गिनने के बजाय। जितनी बार संभव हो वीटा के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए वीटा प्रमेय की आवश्यकता है। इसका उपयोग करना आपके लिए लाभदायक बनाने के लिए, आपको क्रियाओं को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पाँच और उदाहरण हल कीजिए। लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल वीटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों का समाधान:

टास्क 1. ((x)^(2))-8x+12=0

वीटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम उत्पाद के साथ चयन शुरू करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वही है जो आपको चाहिए।

उत्तर: ; .

कार्य 2।

और फिर, हमारा पसंदीदा वीटा प्रमेय: योग काम करना चाहिए, लेकिन उत्पाद बराबर है।

लेकिन चूंकि यह नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेतों को बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

उत्तर: ; .

कार्य 3।

हम्म... कहाँ है?

सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है:

जड़ों का योग उत्पाद के बराबर है।

हाँ, रुक जाओ! समीकरण नहीं दिया गया है। लेकिन वीटा का प्रमेय केवल दिए गए समीकरणों में ही लागू होता है। तो पहले आपको समीकरण लाने की जरूरत है। यदि आप इसे नहीं ला सकते हैं, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण लाने का अर्थ है प्रमुख गुणांक को इसके बराबर बनाना:

उत्कृष्ट। फिर जड़ों का योग बराबर है, और उत्पाद।

यहां चुनना आसान है: आखिरकार - एक अभाज्य संख्या (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

उत्तर: ; .

कार्य 4।

मुक्त अवधि नकारात्मक है। इसमें ऐसा क्या खास है? और तथ्य यह है कि जड़ें अलग-अलग संकेतों की होंगी। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल के बीच के अंतर की जांच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन उत्पाद।

तो, जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक ऋण के साथ है। वीटा की प्रमेय हमें बताती है कि जड़ों का योग विपरीत चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर है, अर्थात। इसका मतलब है कि छोटी जड़ में माइनस होगा: और, चूंकि।

उत्तर: ; .

कार्य 5।

पहले क्या करने की जरूरत है? यह सही है, समीकरण दीजिए:

दोबारा: हम संख्या के कारकों का चयन करते हैं, और उनका अंतर इसके बराबर होना चाहिए:

जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक ऋण है। कौन सा? उनका योग समान होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि माइनस के साथ एक बड़ा रूट होगा।

उत्तर: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:

1. दिए गए द्विघात समीकरणों में ही विएटा प्रमेय का प्रयोग किया जाता है।
2. वीटा प्रमेय का उपयोग करते हुए, आप जड़ों को चयन द्वारा, मौखिक रूप से पा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त अवधि के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्णांक जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चयन विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन के सूत्रों से पदों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर के परिवर्तन के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

सामान्य तौर पर, परिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या यह आपको कुछ याद नहीं दिलाता? यह विवेचक है! ठीक इसी तरह विवेचक सूत्र प्राप्त किया गया था।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है, जहाँ अज्ञात है, द्विघात समीकरण के गुणांक हैं, मुक्त पद है।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

घटा हुआ द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, अर्थात्: .

अधूरा द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

• यदि गुणांक, समीकरण का रूप है: ,
• यदि एक मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप है: ,
• यदि और, समीकरण का रूप है: .

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम

1.1। प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) अज्ञात व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के चिह्न की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण के दो मूल हैं।

1.2। प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) आइए कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड लें: ,

2) गुणनफल शून्य के बराबर है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3। प्रपत्र का एक अधूरा द्विघात समीकरण, जहाँ:

इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम जहां

2.1। विविक्तकर का प्रयोग कर समाधान

1) चलिए समीकरण को मानक रूप में लाते हैं: ,

2) सूत्र का उपयोग करके विविक्तकर की गणना करें: , जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:

• यदि, तो समीकरण की जड़ है, जो सूत्र द्वारा पाई जाती है:
• यदि, तो समीकरण की जड़ है, जो सूत्र द्वारा पाई जाती है:
• यदि, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है।

2.2। वीटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान

घटाए गए द्विघात समीकरण (रूप का एक समीकरण, जहां) की जड़ों का योग बराबर है, और जड़ों का उत्पाद बराबर है, अर्थात। , एक।

2.3। पूर्ण वर्ग समाधान

यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल हों, तो उसे इस रूप में लिखा जा सकता है: .

खैर, विषय समाप्त हो गया। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे जरूरी बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात का यकीन नहीं दिलाऊंगा, बस एक बात कहूंगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। यह आँकड़े हैं।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुल जाते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंतत: खुश रहने के लिए क्या करना चाहिए?

इस विषय पर समस्याओं को हल करते हुए अपना हाथ भरें।

परीक्षा में आपसे थ्योरी नहीं पूछी जाएगी।

आपको चाहिये होगा समय पर समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक बेवकूफी भरी गलती करेंगे या बस इसे समय पर नहीं करेंगे।

यह खेल की तरह है - आपको निश्चित रूप से जीतने के लिए कई बार दोहराने की जरूरत है।

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निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत के साथ मत रुको।

"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!

द्विघातीय समीकरण। भेद करनेवाला। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

द्विघात समीकरणों के प्रकार

द्विघात समीकरण क्या है? यह कैसा दिखता है? अवधि में द्विघात समीकरणकीवर्ड है "वर्ग"।इसका मतलब है कि समीकरण में आवश्यक रूप सेएक x चुकता होना चाहिए। इसके अलावा, समीकरण में हो सकता है (या नहीं भी हो सकता है!) बस x (पहली डिग्री तक) और सिर्फ एक संख्या (स्वतंत्र सदस्य)।और दो से अधिक डिग्री में x नहीं होना चाहिए।

गणितीय शब्दों में, एक द्विघात समीकरण इस रूप का एक समीकरण है:

यहां ए, बी और सी- कुछ नंबर। बी और सी- बिल्कुल कोई, लेकिन एक- कुछ भी लेकिन शून्य। उदाहरण के लिए:

यहां एक =1; बी = 3; सी = -4

यहां एक =2; बी = -0,5; सी = 2,2

यहां एक =-3; बी = 6; सी = -18

खैर, आप विचार समझ गए...

इन द्विघात समीकरणों में, बाईं ओर है पूरा स्थिरसदस्य। एक्स गुणांक के साथ चुकता एक,एक्स गुणांक के साथ पहली शक्ति के लिए बीतथा के स्वतंत्र सदस्य

ऐसे द्विघात समीकरण कहलाते हैं पूरा।

क्या हो अगर बी= 0, हमें क्या मिलेगा? हमारे पास है एक्स पहली डिग्री में गायब हो जाएगा।यह शून्य से गुणा करने से होता है।) यह पता चला है, उदाहरण के लिए:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

आदि। और अगर दोनों गुणांक बीतथा सीशून्य के बराबर हैं, तो यह और भी आसान है:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

ऐसे समीकरण, जिनमें कुछ कमी होती है, कहलाते हैं अधूरा द्विघात समीकरण।जो काफी तार्किक है।) कृपया ध्यान दें कि x वर्ग सभी समीकरणों में मौजूद है।

वैसे क्यों एकशून्य नहीं हो सकता? और आप इसके बजाय स्थानापन्न करें एकशून्य।) वर्ग में X गायब हो जाएगा! समीकरण रैखिक हो जाएगा। और यह अलग तरीके से किया जाता है...

यह सभी मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरण हैं। पूर्ण और अपूर्ण।

द्विघात समीकरणों का हल।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का समाधान।

द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है। सूत्रों और स्पष्ट सरल नियमों के अनुसार। पहले चरण में, दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है।) मुख्य बात यह है कि सभी गुणांकों को सही ढंग से निर्धारित करना है, एक, बीतथा सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक कहलाता है विभेदक. लेकिन उसके बारे में और नीचे। जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए, हम प्रयोग करते हैं केवल ए, बी और सी. वे। द्विघात समीकरण से गुणांक। मूल्यों को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें ए, बी और सीइस सूत्र में और गिनें। स्थानापन्न अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, समीकरण में:

एक =1; बी = 3; सी= -4। यहाँ हम लिखते हैं:

उदाहरण लगभग हल:

यह उत्तर है।

सब कुछ बहुत आसान है। और आपको क्या लगता है, आप गलत नहीं हो सकते? अच्छा, हाँ, कैसे...

मूल्यों के संकेतों के साथ सबसे आम गलतियाँ भ्रम हैं ए, बी और सी. या बल्कि, उनके संकेतों के साथ नहीं (जहां भ्रमित होना है?), लेकिन जड़ों की गणना के सूत्र में नकारात्मक मूल्यों के प्रतिस्थापन के साथ। यहां, विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र का विस्तृत रिकॉर्ड सहेजा जाता है। अगर गणना में दिक्कत आ रही है। तो इसे करो!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां एक = -6; बी = -5; सी = -1

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपको शायद ही पहली बार उत्तर मिलते हैं।

अच्छा, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त पंक्ति लिखने में 30 सेकंड का समय लगेगा और त्रुटियों की संख्या तेजी से गिरेगा. इसलिए हम सभी कोष्ठकों और चिह्नों के साथ विस्तार से लिखते हैं:

इतनी सावधानी से पेंट करना अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है। लेकिन यह सिर्फ लगता है। इसे अजमाएं। अच्छा, या चुनें। कौन सा बेहतर, तेज़ या सही है? इसके अलावा, मैं तुम्हें खुश कर दूंगा। कुछ समय बाद, सब कुछ इतनी सावधानी से पेंट करने की आवश्यकता नहीं होगी। यह अभी सही निकलेगा। खासकर यदि आप व्यावहारिक तकनीकों को लागू करते हैं, जिनका वर्णन नीचे किया गया है। विपक्ष के एक समूह के साथ यह दुष्ट उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल हो जाएगा!

लेकिन, अक्सर, द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

क्या आप जानते हैं?) हाँ! यह अधूरा द्विघात समीकरण.

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

इन्हें सामान्य सूत्र द्वारा भी हल किया जा सकता है। आपको बस यह पता लगाने की जरूरत है कि यहां क्या बराबर है ए, बी और सी.

समझना? पहले उदाहरण में ए = 1; बी = -4;एक सी? यह बिल्कुल मौजूद नहीं है! अच्छा, हाँ, यह सही है। गणित में, इसका मतलब है कि सी = 0 ! बस इतना ही। के बजाय सूत्र में शून्य को प्रतिस्थापित करें सी,और सब कुछ हमारे लिए काम करेगा। इसी तरह दूसरे उदाहरण के साथ। हमारे यहाँ केवल शून्य नहीं है साथ, एक बी !

लेकिन अधूरे द्विघात समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। बिना किसी सूत्र के। पहले अधूरे समीकरण पर विचार करें। बाईं ओर क्या किया जा सकता है? आप X को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं! चलो इसे बाहर निकालो।

और इसका क्या? और तथ्य यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर है यदि, और केवल यदि कोई भी कारक शून्य के बराबर है! विश्वास नहीं होता? ठीक है, फिर दो गैर-शून्य संख्याएँ प्राप्त करें, जिन्हें गुणा करने पर शून्य प्राप्त होगा!
काम नहीं करता है? कुछ...
इसलिए, हम विश्वास के साथ लिख सकते हैं: एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 4.

हर चीज़। ये हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। दोनों फिट। उनमें से किसी को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही सर्वसमिका 0 = 0 प्राप्त होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सामान्य सूत्र की तुलना में समाधान बहुत सरल है। मैं ध्यान देता हूं, वैसे, कौन सा एक्स पहले होगा, और दूसरा - यह बिल्कुल उदासीन है। क्रम में लिखना आसान है एक्स 1- जो भी कम हो एक्स 2- जो अधिक हो।

दूसरा समीकरण भी आसानी से हल किया जा सकता है। हम 9 को दाईं ओर ले जाते हैं। हम पाते हैं:

यह 9 से जड़ निकालने के लिए बनी हुई है, और बस इतना ही। प्राप्त:

दो जड़ें भी . एक्स 1 = -3, एक्स 2 = 3.

इस प्रकार सभी अधूरे द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है। या तो X को कोष्ठक से बाहर निकालकर, या बस संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके, रूट को निकालने के बाद।
इन तरीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। सिर्फ इसलिए कि पहले मामले में आपको एक्स से जड़ निकालना होगा, जो किसी तरह समझ से बाहर है, और दूसरे मामले में कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए कुछ भी नहीं है ...

भेद करनेवाला। विभेदक सूत्र।

जादुई शब्द विभेदक ! हाई स्कूल के एक दुर्लभ छात्र ने यह शब्द नहीं सुना है! वाक्यांश "विभेदक के माध्यम से निर्णय लें" आश्वस्त और आश्वस्त करने वाला है। क्योंकि विवेचक से युक्ति की प्रतीक्षा करने की कोई आवश्यकता नहीं है! यह उपयोग करने में सरल और परेशानी मुक्त है।) मैं आपको हल करने के लिए सबसे सामान्य सूत्र की याद दिलाता हूं कोईद्विघातीय समीकरण:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को विवेचक कहा जाता है। विवेचक को आमतौर पर अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है डी. विभेदक सूत्र:

डी = बी 2 - 4 एसी

और इस अभिव्यक्ति के बारे में क्या खास है? यह एक विशेष नाम के लायक क्यों है? क्या विवेचक का अर्थ?आख़िरकार -बी,या 2अइस फॉर्मूले में वे विशेष रूप से नाम नहीं रखते हैं ... अक्षर और अक्षर।

बात यह है। इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय, यह संभव है केवल तीन मामले।

1. विवेचक सकारात्मक है।इसका मतलब है कि आप इससे जड़ निकाल सकते हैं। क्या जड़ अच्छी तरह से या बुरी तरह से निकाली जाती है यह एक और सवाल है। यह महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में क्या निकाला जाता है। तब आपके द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं। दो अलग समाधान।

2. विविक्तकर शून्य है।तब आपके पास एक उपाय है। चूंकि अंश में शून्य जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है। कड़ाई से बोलते हुए, यह एक रूट नहीं है, लेकिन दो समान. लेकिन, एक सरलीकृत संस्करण में, इसके बारे में बात करने की प्रथा है एक हल।

3. विवेचक नकारात्मक है।एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल नहीं लेती है। अच्छी तरह से ठीक है। इसका मतलब है कि कोई उपाय नहीं हैं।

ईमानदार होने के लिए, द्विघात समीकरणों के सरल समाधान के साथ, विवेचक की अवधारणा की वास्तव में आवश्यकता नहीं है। हम गुणांक के मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, और हम विचार करते हैं। वहाँ सब कुछ अपने आप निकल जाता है, और दो जड़ें, और एक, और एक भी नहीं। हालांकि, बिना ज्ञान के अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय अर्थ और विभेदक सूत्रपर्याप्त नहीं। विशेष रूप से - मापदंडों के साथ समीकरणों में। इस तरह के समीकरण GIA और एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए एरोबैटिक्स हैं!)

इसलिए, द्विघात समीकरणों को कैसे हल करेंआपके द्वारा याद किए गए विवेचक के माध्यम से। या सीखा हुआ, जो बुरा भी नहीं है।) आप सही पहचान करना जानते हैं ए, बी और सी. आपको पता है कैसे सावधानी सेउन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सावधानी सेपरिणाम गिनें। क्या आप समझ गए कि यहाँ मुख्य शब्द है - सावधानी से?

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं। वही जो असावधानी के कारण होते हैं ... जिसके लिए यह दर्दनाक और अपमानजनक होता है ...

पहला रिसेप्शन . किसी द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए उसे हल करने में आलस्य न करें। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, किसी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिला देंगे ए, बी और सी।उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले x वर्ग, फिर बिना वर्ग के, फिर एक स्वतंत्र सदस्य। ऐशे ही:

और फिर, जल्दी मत करो! एक्स के वर्ग से पहले का ऋण आपको बहुत परेशान कर सकता है। भूलना आसान है... माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हाँ, जैसा कि पिछले विषय में पढ़ाया गया है! हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना है। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं। आप स्वयं निर्णय लें। आपको रूट 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा रिसेप्शन। अपनी जड़ों की जाँच करें! वीटा के प्रमेय के अनुसार। चिंता मत करो, मैं सब कुछ समझा दूँगा! चेकिंग आखिरी बातसमीकरण। वे। वह जिसके द्वारा हमने जड़ों का सूत्र लिखा था। यदि (इस उदाहरण में) गुणांक ए = 1, जड़ों को आसानी से जांचें। उन्हें गुणा करना ही काफी है। आपको एक फ्री टर्म मिलना चाहिए, यानी हमारे मामले में -2। ध्यान दें, 2 नहीं, बल्कि -2! स्वतंत्र सदस्य अपने संकेत के साथ . अगर यह काम नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि वे पहले ही कहीं गड़बड़ कर चुके हैं। त्रुटि की तलाश करें।

अगर यह काम करता है, तो आपको जड़ों को फोल्ड करने की जरूरत है। अंतिम और अंतिम जाँच। अनुपात होना चाहिए बीसाथ विलोम संकेत। हमारे मामले में -1+2 = +1। एक गुणांक बी, जो x से पहले है, -1 के बराबर है। तो, सब ठीक है!
यह अफ़सोस की बात है कि यह केवल उदाहरणों के लिए इतना सरल है जहाँ x वर्ग एक गुणांक के साथ शुद्ध है ए = 1।लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों की जाँच करें! गलतियाँ कम होंगी।

रिसेप्शन तीसरा . यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! "समीकरण कैसे हल करें? पहचान परिवर्तन" पाठ में वर्णित के अनुसार समीकरण को सामान्य भाजक से गुणा करें। अंशों के साथ काम करते समय, त्रुटियां किसी कारण से बढ़ जाती हैं ...

वैसे, मैंने सरलीकरण के लिए कई कमियों के साथ एक दुष्ट उदाहरण का वादा किया। कृप्या! वह यहाँ है।

माइनस में भ्रमित न होने के लिए, हम समीकरण को -1 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बस इतना ही! फैसला करना मजेदार है!

तो चलिए विषय को फिर से दोहराते हैं।

व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, उसका निर्माण करते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने एक ऋणात्मक गुणांक है, तो हम इसे पूरे समीकरण को -1 से गुणा करके समाप्त कर देते हैं।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत गुणक से गुणा करके भिन्नों को हटा देते हैं।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसके लिए गुणांक एक के बराबर है, Vieta के प्रमेय द्वारा समाधान को आसानी से जांचा जा सकता है। इसे करें!

अब आप तय कर सकते हैं।)

समीकरण हल करें:

8x 2 - 6x + 1 = 0

एक्स 2 + 3x + 8 = 0

एक्स 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

उत्तर (विवाद में):

एक्स 1 = 0
एक्स 2 = 5

एक्स 1.2 =2

एक्स 1 = 2
एक्स 2 \u003d -0.5

एक्स - कोई संख्या

एक्स 1 = -3
एक्स 2 = 3

कोई समाधान नहीं

एक्स 1 = 0.25
एक्स 2 \u003d 0.5

क्या सब ठीक है? उत्कृष्ट! द्विघात समीकरण आपका सिरदर्द नहीं हैं। पहले तीन निकले, लेकिन बाकी नहीं निकले? तब समस्या द्विघात समीकरणों में नहीं है। समस्या समीकरणों के समान परिवर्तनों में है। लिंक पर एक नज़र डालें, यह मददगार है।

काफी काम नहीं करता है? या यह बिल्कुल काम नहीं करता? तब धारा 555 आपकी मदद करेगी।वहाँ, इन सभी उदाहरणों को हड्डियों द्वारा क्रमबद्ध किया गया है। दिखा मुख्यसमाधान में त्रुटियां। बेशक, विभिन्न समीकरणों को हल करने में समान परिवर्तनों के अनुप्रयोग का भी वर्णन किया गया है। बहुत मदद करता है!

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

इस गणित कार्यक्रम के साथ आप कर सकते हैं द्विघात समीकरण हल करें.

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को भी दो तरीकों से प्रदर्शित करता है:
- विवेचक का उपयोग करना
- वीटा प्रमेय (यदि संभव हो तो) का उपयोग करना।

इसके अलावा, उत्तर सटीक प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \(81x^2-16x-1=0\) के लिए, उत्तर इस रूप में प्रदर्शित होता है:

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में उपयोगी हो सकता है, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप बस अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्दी से जल्दी पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाइयों या बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप एक वर्ग बहुपद दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित करा लें।

एक वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याएँ न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण अंश के रूप में भी दर्ज की जा सकती हैं।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव अंशों में, पूर्णांक से भिन्नात्मक भाग को डॉट या अल्पविराम से अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दशमलव को इस प्रकार दर्ज कर सकते हैं: 2.5x - 3.5x^2

साधारण अंशों में प्रवेश करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या अंश, भाजक और अंश के पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक नकारात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग अंश से एम्परसेंड द्वारा अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

एक अभिव्यक्ति दर्ज करते समय आप ब्रैकेट का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, पेश की गई अभिव्यक्ति को पहले सरल किया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट्स को लोड नहीं किया गया था, और प्रोग्राम शायद काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

इसलिये ऐसे बहुत से लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो कौन सा कार्य बताएंआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत।

द्विघात समीकरण और इसकी जड़ें। अधूरा द्विघात समीकरण

प्रत्येक समीकरण
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
रूप है
\(ax^2+bx+c=0, \)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a = -1, b = 6 और c = 1.4, दूसरे में a = 8, b = -7 और c = 0, तीसरे में a = 1, b = 0 और c = 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.

परिभाषा।
द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 के रूप का एक समीकरण कहलाता है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और \(a \neq 0 \)।

संख्याएँ a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b को दूसरा गुणांक कहा जाता है और संख्या c को अवरोधन कहा जाता है।

ax 2 +bx+c=0 के रूप के प्रत्येक समीकरण में, जहाँ \(a \neq 0 \), चर x की सबसे बड़ी घात एक वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण।

ध्यान दें कि एक द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसका बायां पक्ष दूसरी डिग्री का बहुपद है।

एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 है, कहलाता है कम द्विघात समीकरण. उदाहरण के लिए, दिए गए द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

यदि द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 में कम से कम एक गुणांक b या c शून्य के बराबर है, तो ऐसा समीकरण कहा जाता है अधूरा द्विघात समीकरण. इसलिए, समीकरण -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं। इनमें से पहले में b=0, दूसरे में c=0, तीसरे में b=0 और c=0 है।

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) ax 2 +c=0, जहाँ \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, जहाँ \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

इनमें से प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के हल पर विचार करें।

\(c \neq 0 \) के लिए ax 2 +c=0 के रूप के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इसकी मुक्त अवधि को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है और समीकरण के दोनों भागों को a से विभाजित किया जाता है:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

चूँकि \(c \neq 0 \), तब \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

यदि \(-\frac(c)(a)>0 \), तो समीकरण के दो मूल हैं।

यदि \(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) के लिए ax 2 +bx=0 के रूप के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए इसके बायें पक्ष का गुणनखंड करें और समीकरण प्राप्त करें
\(x(ax+b)=0 \दायां तीर \बायां\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(सरणी) \दायां \दायां तीर \बायां\( \शुरू) (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

इसलिए, \(b \neq 0 \) के लिए ax 2 +bx=0 के रूप के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं।

फॉर्म ax 2 \u003d 0 का एक अधूरा द्विघात समीकरण समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है और इसलिए इसका एक रूट 0 है।

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र

आइए अब विचार करें कि किस प्रकार द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है जिसमें अज्ञात और मुक्त पद दोनों के गुणांक शून्येतर होते हैं।

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में हल करते हैं और परिणामस्वरूप हमें मूलों का सूत्र प्राप्त होता है। तब इस सूत्र का प्रयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 को हल करें

इसके दोनों भागों को a से विभाजित करने पर, हम समतुल्य लघुकृत द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

हम द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके इस समीकरण को बदलते हैं:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

मूल भाव कहा जाता है एक द्विघात समीकरण का विभेदक ax 2 +bx+c=0 (लैटिन में "विभेदक" - विभेदक)। इसे D अक्षर से निरूपित किया जाता है, अर्थात।
\(डी = बी^2-4ac\)

अब, विवेचक के अंकन का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), जहाँ \(D= b^2-4ac \)

यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D>0, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2) यदि D=0, तो द्विघात समीकरण का एक मूल \(x=-\frac(b)(2a)\) है।
3) यदि D इस प्रकार, विविक्तकर के मान के आधार पर, द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं (D > 0 के लिए), एक मूल (D = 0 के लिए) या कोई मूल नहीं (D के लिए इस सूत्र का उपयोग करते हुए द्विघात समीकरण को हल करते समय , निम्नलिखित तरीके से करने की सलाह दी जाती है:
1) विवेचक की गणना करें और इसकी तुलना शून्य से करें;
2) यदि विवेचक सकारात्मक या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का उपयोग करें, यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो लिखें कि कोई जड़ नहीं है।

वीटा की प्रमेय

दिए गए द्विघात समीकरण ax 2 -7x+10=0 के मूल 2 और 5 हैं। मूलों का योग 7 है, और गुणनफल 10 है। हम देखते हैं कि मूलों का योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न, और जड़ों का उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है। कोई भी लघुकृत द्विघात समीकरण जिसकी जड़ें हों, में यह गुण होता है।

दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और जड़ों का उत्पाद मुक्त पद के बराबर है।

वे। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि कम किए गए द्विघात समीकरण x 2 +px+q=0 के मूल x 1 और x 2 में संपत्ति है:
\(\बाएं\( \शुरू(सरणी)(एल) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(सरणी) \दाएं। \)