दूसरी अद्भुत सीमा क्या है। दूसरी उल्लेखनीय सीमा: खोजने, समस्याओं और विस्तृत समाधानों के उदाहरण

यह लेख: "द सेकेंड रिमार्केबल लिमिट" प्रजातियों की अनिश्चितताओं के भीतर प्रकटीकरण के लिए समर्पित है:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ और $ ^\infty $।

साथ ही, इस तरह की अनिश्चितताओं को घातीय-शक्ति फ़ंक्शन के लघुगणक का उपयोग करके प्रकट किया जा सकता है, लेकिन यह एक अन्य समाधान विधि है, जिसे किसी अन्य लेख में शामिल किया जाएगा।

सूत्र और परिणाम

FORMULAदूसरी उल्लेखनीय सीमा इस प्रकार लिखी गई है: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( जहाँ ) e \लगभग 2.718 $ $

सूत्र से अनुसरण करें नतीजे, जो सीमा के साथ उदाहरणों को हल करने के लिए बहुत सुविधाजनक हैं: k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा हमेशा एक घातीय-शक्ति समारोह पर लागू नहीं की जा सकती है, लेकिन केवल उन मामलों में जहां आधार एकता की ओर जाता है। ऐसा करने के लिए, पहले मन में आधार की सीमा की गणना करें और फिर निष्कर्ष निकालें। यह सब उदाहरण समाधान में चर्चा की जाएगी।

समाधान उदाहरण

प्रत्यक्ष सूत्र और उसके परिणामों का उपयोग करके समाधानों के उदाहरणों पर विचार करें। हम उन मामलों का भी विश्लेषण करेंगे जिनमें सूत्र की आवश्यकता नहीं है। केवल तैयार उत्तर लिखना ही काफी है।

उदाहरण 1

सीमा $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ खोजें

समाधान

अनंत को सीमा में प्रतिस्थापित करना और अनिश्चितता को देखते हुए: \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ आधार की सीमा ज्ञात कीजिए: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ हमें एक के बराबर आधार मिला है, जिसका अर्थ है कि आप पहले से ही दूसरी अद्भुत सीमा लागू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन के आधार को घटाकर और एक जोड़कर सूत्र में फ़िट करेंगे: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ हम दूसरे परिणाम को देखते हैं और उत्तर लिखते हैं: $$ \lim_(x\to\infty) \big(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = ई $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते हैं, तो उसे हमें भेजें। हम एक विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे। आप गणना की प्रगति से खुद को परिचित कर सकेंगे और जानकारी एकत्र कर सकेंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \lim_(x\to\infty) \big(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = ई $$

उदाहरण 4

हल सीमा $

समाधान

हम आधार की सीमा पाते हैं और देखते हैं कि $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, इसलिए हम दूसरी अद्भुत सीमा लागू कर सकते हैं। एक मानक के रूप में, योजना के अनुसार, हम डिग्री के आधार से एक को जोड़ते और घटाते हैं: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ हम दूसरी टिप्पणी के सूत्र के तहत अंश को समायोजित करते हैं। सीमा: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ अब डिग्री एडजस्ट करें। घातांक में आधार $ \frac(3x^2-2)(6) $ के हर के बराबर एक अंश होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, डिग्री को इससे गुणा और विभाजित करें, और हल करना जारी रखें: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ पर शक्ति में स्थित सीमा है: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $। इसलिए, हमारे पास जो समाधान है उसे जारी रखें:

उत्तर

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

आइए उन मामलों का विश्लेषण करें जब समस्या दूसरी उल्लेखनीय सीमा के समान है, लेकिन इसके बिना हल हो जाती है।

लेख में: "दूसरी उल्लेखनीय सीमा: समाधान के उदाहरण", सूत्र का विश्लेषण किया गया, इसके परिणाम और इस विषय पर लगातार प्रकार की समस्याएं दी गईं।

सबूत:

आइए हम पहले अनुक्रम के मामले के लिए प्रमेय को सिद्ध करें

न्यूटन के द्विपद सूत्र के अनुसार:

मान लीजिए हमें मिलता है

इस समानता (1) से यह पता चलता है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, दाईं ओर धनात्मक पदों की संख्या बढ़ती है। इसके अलावा, जैसे-जैसे n बढ़ता है, संख्या घटती जाती है, इसलिए मात्राएँ बढ़ोतरी। इसलिए क्रम बढ़ रहा है, जबकि (2)* आइए दिखाते हैं कि यह परिबद्ध है। हम प्रत्येक कोष्ठक को समानता के दाईं ओर एक से प्रतिस्थापित करते हैं, दाईं ओर बढ़ता है, हमें असमानता मिलती है

हम परिणामी असमानता को मजबूत करते हैं, 3,4,5, ... को प्रतिस्थापित करते हैं, अंशों के हर में खड़े होकर, संख्या 2 के साथ: हम एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करके कोष्ठक में योग पाते हैं: इसलिए (3)*

इस प्रकार, अनुक्रम ऊपर से घिरा हुआ है, जबकि असमानताएँ (2) और (3) हैं: इसलिए, वीयरस्ट्रास प्रमेय (अनुक्रम के अभिसरण के लिए एक मानदंड) के आधार पर, अनुक्रम नीरस रूप से बढ़ता है और बंधा हुआ है, जिसका अर्थ है कि इसकी एक सीमा है, जिसे अक्षर ई द्वारा दर्शाया गया है। वे।

यह जानते हुए कि x के प्राकृतिक मूल्यों के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सत्य है, हम वास्तविक x के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सिद्ध करते हैं, अर्थात हम यह सिद्ध करते हैं कि . दो मामलों पर विचार करें:

1. प्रत्येक x मान को दो धनात्मक पूर्णांकों के बीच होने दें: , जहाँ x का पूर्णांक भाग है। => =>

यदि, तो इसलिए, सीमा के अनुसार अपने पास

सीमाओं के अस्तित्व के आधार पर (एक मध्यवर्ती कार्य की सीमा पर)।

2. चलो । आइए एक प्रतिस्थापन करें - x = t, फिर

इन दो मामलों से यह इस प्रकार है असली एक्स के लिए

नतीजे:

9 .) इनफिनिटिमल्स की तुलना। लिमिट में इनफिनिटिमल्स को समकक्ष वाले द्वारा बदलने पर प्रमेय और इनफिनिटिमल्स के प्रमुख भाग पर प्रमेय।

माना फलन a( एक्स) और बी( एक्स) - बी.एम. पर एक्स ® एक्स 0 .

परिभाषाएँ।

1) एक ( एक्स) बुलाया की तुलना में एक अपरिमेय उच्च क्रम बी (एक्स) अगर

नीचे लिखें: ए ( एक्स) = ओ (बी ( एक्स)) .

2) एक ( एक्स) औरबी( एक्स)बुलाया एक ही क्रम के अनंत, अगर

जहां सीℝ और सी¹ 0 .

नीचे लिखें: ए ( एक्स) = हे(बी( एक्स)) .

3) एक ( एक्स) औरबी( एक्स) बुलाया बराबर , अगर

नीचे लिखें: ए ( एक्स) ~ बी ( एक्स).

4) एक ( एक्स) के संबंध में एक अपरिमेय क्रम k कहा जाता है
बहुत ही अपरिमेयबी( एक्स), यदि अतिसूक्ष्मए( एक्स)और(बी( एक्स)) क एक ही क्रम है, अर्थात् अगर

जहां सीℝ और सी¹ 0 .

प्रमेय 6 (इनफिनिटिमल्स के समतुल्य द्वारा प्रतिस्थापन पर)।

होने देनाए( एक्स), बी( एक्स), एक 1 ( एक्स), बी 1 ( एक्स)- बी.एम. एक्स पर ® एक्स 0 . अगरए( एक्स) ~ एक 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स),

वह

उपपत्ति : मान लीजिए a( एक्स) ~ एक 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स), तब

प्रमेय 7 (असीम रूप से छोटे के मुख्य भाग के बारे में)।

होने देनाए( एक्स)औरबी( एक्स)- बी.एम. एक्स पर ® एक्स 0 , औरबी( एक्स)- बी.एम. से उच्च क्रमए( एक्स).

= , ए चूंकि बी ( एक्स) - एक से उच्च क्रम ( एक्स), फिर, यानी से यह स्पष्ट है कि ए ( एक्स) + बी ( एक्स) ~ ए ( एक्स)

10) एक बिंदु पर कार्य निरंतरता (एप्सिलॉन-डेल्टा सीमा, ज्यामितीय की भाषा में) एक तरफा निरंतरता। एक खंड पर, एक अंतराल पर निरंतरता। निरंतर कार्यों के गुण।

1. मूल परिभाषाएँ

होने देना एफ(एक्स) बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है एक्स 0 .

परिभाषा 1। समारोह च(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 यदि समानता सत्य है

टिप्पणियां.

1) §3 के प्रमेय 5 के अनुसार, समानता (1) को इस रूप में लिखा जा सकता है

शर्त (2) - एक तरफा सीमा की भाषा में एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता की परिभाषा.

2) समानता (1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

वे कहते हैं: "यदि कोई कार्य किसी बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 है, तो सीमा के चिह्न और फलन को आपस में बदला जा सकता है।

परिभाषा 2 (भाषा ई-डी में)।

समारोह च(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 अगर"ई>0 $d>0 ऐसा, क्या

अगर एक्सओ यू ( एक्स 0, डी) (यानी, | एक्स – एक्स 0 | < d),

फिर एफ(एक्स) ओ यू ( एफ(एक्स 0), ई) (यानी | एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) | < e).

होने देना एक्स, एक्स 0 Î डी(एफ) (एक्स 0 - निश्चित, एक्स-मनमाना)

निरूपित करें: डी एक्स= एक्स-एक्स 0 – तर्क वृद्धि

डी एफ(एक्स 0) = एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) – बिंदु x पर कार्य वृद्धि 0

परिभाषा 3 (ज्यामितीय)।

समारोह च(एक्स) पर बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 यदि इस बिंदु पर तर्क की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि फ़ंक्शन की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि से मेल खाती है, अर्थात।

समारोह होने दें एफ(एक्स) अंतराल पर परिभाषित किया गया है [ एक्स 0 ; एक्स 0 + डी) (अंतराल पर ( एक्स 0 - डी; एक्स 0 ]).

परिभाषा। समारोह च(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 दायी ओर (बाएं ), यदि समानता सत्य है

जाहिर है कि एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 Û एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 दाएँ और बाएँ।

परिभाषा। समारोह च(एक्स) बुलाया निरंतर प्रति अंतराल इ ( ए; बी) अगर यह इस अंतराल के हर बिंदु पर निरंतर है.

समारोह च(एक्स) खंड पर निरंतर कहा जाता है [ए; बी] अगर यह अंतराल पर निरंतर है (ए; बी) और सीमा बिंदुओं पर एकतरफा निरंतरता है(यानी बिंदु पर निरंतर एसही, बिंदु बी- बाईं तरफ)।

11) विराम बिंदु, उनका वर्गीकरण

परिभाषा। अगर समारोह एफ(एक्स) बिंदु x के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है 0 , लेकिन उस बिंदु पर निरंतर नहीं है एफ(एक्स) बिंदु x पर विच्छिन्न कहा जाता है 0 , लेकिन बिंदु एक्स 0 ब्रेकिंग पॉइंट कहा जाता है कार्य एफ(एक्स) .

टिप्पणियां.

1) एफ(एक्स) बिंदु के अधूरे पड़ोस में परिभाषित किया जा सकता है एक्स 0 .

फिर फ़ंक्शन की संगत एकतरफा निरंतरता पर विचार करें।

2) z की परिभाषा से, बिंदु एक्स 0 फ़ंक्शन का विराम बिंदु है एफ(एक्स) दो मामलों में:

ए) यू ( एक्स 0 , डी)एन डी(एफ) , लेकिन के लिए एफ(एक्स) समानता संतुष्ट नहीं है

बी) यू * ( एक्स 0 , डी)एन डी(एफ) .

प्रारंभिक कार्यों के लिए, केवल स्थिति b) संभव है।

होने देना एक्स 0 - फ़ंक्शन का विराम बिंदु एफ(एक्स) .

परिभाषा। बिंदु एक्स 0 बुलाया अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति मैं दयालु अगर समारोह एफ(एक्स)इस बिंदु पर बाएँ और दाएँ पर परिमित सीमाएँ हैं.

यदि, इसके अलावा, ये सीमाएँ समान हैं, तो बिंदु x 0 बुलाया विराम बिंदु , अन्यथा - कूदने का बिंदु .

परिभाषा। बिंदु एक्स 0 बुलाया अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति द्वितीय दयालु यदि फ़ंक्शन f की एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक(एक्स)इस बिंदु पर बराबर है¥ या मौजूद नहीं है.

12) एक खंड पर निरंतर कार्यों के गुण (वीयरस्ट्रैस (बिना प्रमाण के) और कॉची के प्रमेय

वीयरस्ट्रास प्रमेय

फलन f(x) को खंड पर निरंतर होने दें, फिर

1)f(x) तक सीमित है

2) f (x) अंतराल पर इसके सबसे छोटे और सबसे बड़े मान लेता है

परिभाषा: किसी x € D(f) के लिए फलन m=f का मान न्यूनतम कहलाता है यदि m≤f(x)।

किसी भी x € D(f) के लिए m≥f(x) फलन m=f का मान सबसे बड़ा कहा जाता है।

फ़ंक्शन सेगमेंट के कई बिंदुओं पर सबसे छोटा \ सबसे बड़ा मान ले सकता है।

f(x 3)=f(x 4)=अधिकतम

कॉची की प्रमेय।

फलन f(x) को खंड पर निरंतर होने दें और x f(a) और f(b) के बीच संलग्न संख्या हो, तो कम से कम एक बिंदु x 0 € ऐसा है कि f(x 0)= g

अब, मन की शांति के साथ, हम विचार की ओर मुड़ते हैं अद्भुत सीमाएँ.
की तरह लगता है ।

चर x के बजाय, विभिन्न कार्य मौजूद हो सकते हैं, मुख्य बात यह है कि वे 0 की ओर जाते हैं।

हमें सीमा की गणना करने की आवश्यकता है

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सीमा पहले उल्लेखनीय के समान ही है, लेकिन यह पूरी तरह सच नहीं है। सामान्य तौर पर, यदि आप पाप को सीमा में देखते हैं, तो आपको तुरंत सोचना चाहिए कि क्या पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करना संभव है।

हमारे नियम संख्या 1 के अनुसार, हम शून्य को x से प्रतिस्थापित करते हैं:

हमें अनिश्चितता मिलती है।

अब आइए स्वतंत्र रूप से पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम एक सरल संयोजन करेंगे:

इसलिए हम अंश और हर को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि 7x अलग दिखाई दे। परिचित उल्लेखनीय सीमा पहले ही प्रकट हो चुकी है। निर्णय लेते समय इसे उजागर करना उचित है:

हम पहले उल्लेखनीय उदाहरण के समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंश को सरल करें:

उत्तर: 7/3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है।

रूप है , जहाँ e = 2.718281828… एक अपरिमेय संख्या है।

चर x के बजाय, विभिन्न कार्य मौजूद हो सकते हैं, मुख्य बात यह है कि वे करते हैं।

हमें सीमा की गणना करने की आवश्यकता है

यहां हम सीमा चिन्ह के नीचे एक डिग्री की उपस्थिति देखते हैं, जिसका अर्थ है कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा लागू की जा सकती है।

हमेशा की तरह, हम नियम संख्या 1 का प्रयोग करेंगे - एक्स के बजाय स्थानापन्न:

यह देखा जा सकता है कि x के लिए डिग्री का आधार है, और एक्सपोनेंट 4x> है, यानी हमें फॉर्म की अनिश्चितता मिलती है:

आइए अपनी अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए दूसरी अद्भुत सीमा का उपयोग करें, लेकिन पहले हमें इसे व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, संकेतक में उपस्थिति प्राप्त करना आवश्यक है, जिसके लिए हम आधार को 3x की शक्ति तक बढ़ाते हैं, और उसी समय 1/3x की शक्ति तक, ताकि अभिव्यक्ति न बदले:

हमारी अद्भुत सीमा को हाइलाइट करना न भूलें:

ये सच में हैं अद्भुत सीमाएँ!
यदि आपके बारे में कोई प्रश्न है पहली और दूसरी अद्भुत सीमाएँबेझिझक उनसे टिप्पणियों में पूछें।
हम जल्द से जल्द सभी को जवाब देंगे।

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पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग अक्सर साइन, आर्क्साइन, स्पर्शरेखा, आर्कटैंगेंट और परिणामी अनिश्चितताओं को शून्य से विभाजित करने वाली सीमाओं की गणना करने के लिए किया जाता है।

FORMULA

पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए सूत्र है: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

हम देखते हैं कि $ \alpha\to 0 $ से $ \sin\alpha \to 0 $ प्राप्त होता है, इस प्रकार हमारे पास अंश और हर में शून्य होते हैं। इस प्रकार, $ \frac(0)(0) $ की अनिश्चितताओं को प्रकट करने के लिए पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्र की आवश्यकता है।

सूत्र को लागू करने के लिए, दो शर्तों को पूरा करना होगा:

1. एक भिन्न के साइन और डिनोमिनेटर में निहित व्यंजक समान होते हैं
2. किसी अंश के ज्या और हर में व्यंजक शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं

ध्यान! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ हालांकि ज्या के नीचे और हर में भाव समान हैं, हालांकि $ 2x ^2+1 = 1 $, जब $ x\to 0 $। दूसरी शर्त पूरी नहीं हुई है, इसलिए सूत्र लागू नहीं किया जा सकता!

नतीजे

काफी कम ही, कार्यों में आप एक स्वच्छ पहली अद्भुत सीमा देख सकते हैं जिसमें आप तुरंत उत्तर लिख सकते हैं। व्यवहार में, सब कुछ थोड़ा अधिक जटिल लगता है, लेकिन ऐसे मामलों के लिए पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणामों को जानना उपयोगी होगा। उनके लिए धन्यवाद, आप जल्दी से वांछित सीमा की गणना कर सकते हैं।

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

समाधान उदाहरण

आइए हम पहली उल्लेखनीय सीमा पर विचार करें, जिसके समाधान के उदाहरण त्रिकोणमितीय कार्यों और अनिश्चितता $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $ की सीमाओं की गणना के लिए हैं

उदाहरण 1

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ की गणना करें

समाधान

सीमा पर विचार करें और ध्यान दें कि इसमें साइन है। इसके बाद, हम $ x = 0 $ को अंश और हर में प्रतिस्थापित करते हैं और शून्य की अनिश्चितता को शून्य से विभाजित करते हैं: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ पहले से ही दो संकेत हैं कि आपको एक अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता है, लेकिन एक छोटी सी अति सूक्ष्म अंतर है: हम सूत्र को तुरंत लागू नहीं कर पाएंगे, क्योंकि साइन साइन के तहत अभिव्यक्ति भाजक में अभिव्यक्ति से भिन्न होती है। और हमें उनकी बराबरी करने की जरूरत है। इसलिए, अंश के प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, हम इसे $2x$ में बदल देंगे। ऐसा करने के लिए, हम एक अलग कारक द्वारा भिन्न के भाजक से ड्यूस निकालेंगे। यह इस तरह दिखता है: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , कि अंत में $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ सूत्र द्वारा प्राप्त किया गया था। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते हैं, तो उसे हमें भेजें। हम एक विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे। आप गणना की प्रगति से खुद को परिचित कर सकेंगे और जानकारी एकत्र कर सकेंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

उदाहरण 2

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ खोजें

समाधान

हमेशा की तरह, आपको सबसे पहले अनिश्चितता के प्रकार को जानना होगा। यदि यह शून्य से शून्य विभाजित है, तो हम साइन की उपस्थिति पर ध्यान देते हैं: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ यह अनिश्चितता हमें पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देती है, लेकिन भाजक से अभिव्यक्ति साइन के तर्क के बराबर नहीं है? इसलिए, "माथे पर" सूत्र लागू करना असंभव है। आपको साइन तर्क द्वारा अंश को गुणा और विभाजित करने की आवश्यकता है: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^) 4)(x ^3+2x)) = $$ अब हम सीमाओं के गुणों का वर्णन करते हैं: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ दूसरी सीमा सूत्र में फिट बैठती है और एक के बराबर है: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ फिर से $ x = 0 $ को एक भिन्न में प्रतिस्थापित करें और अनिश्चितता $ \frac(0)(0) $ प्राप्त करें। इसे खत्म करने के लिए, कोष्ठक से $ x $ निकालना और इसे कम करना पर्याप्त है: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

उत्तर

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

उदाहरण 4

$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ की गणना करें

समाधान

चलिए $ x=0 $ को प्रतिस्थापित करके गणना शुरू करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें अनिश्चितता $ \frac(0)(0) $ मिलती है। सीमा में एक ज्या और एक स्पर्शरेखा होती है, जो पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्र का उपयोग करके स्थिति के संभावित विकास पर संकेत देती है। आइए भिन्न के अंश और हर को सूत्र और परिणाम में रूपांतरित करें: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ अब हम अंश और भाजक में सूत्र और परिणामों के लिए उपयुक्त भाव देखते हैं। संबंधित भाजक के लिए ज्या तर्क और स्पर्शरेखा तर्क समान हैं $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

उत्तर

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

लेख में: "पहली उल्लेखनीय सीमा, समाधान के उदाहरण" यह उन मामलों के बारे में बताया गया था जिनमें इस सूत्र और इसके परिणामों का उपयोग करना उचित है।

दूसरी उल्लेखनीय सीमा का सूत्र lim x → ∞ 1 + 1 x x = e है। लेखन का एक अन्य रूप इस तरह दिखता है: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e।

जब हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा के बारे में बात करते हैं, तो हमें 1 ∞ के रूप की अनिश्चितता से निपटना पड़ता है, अर्थात एक अनंत डिग्री के लिए इकाई।

Yandex.RTB R-A-339285-1

उन समस्याओं पर विचार करें जिनमें हमें दूसरी अद्भुत सीमा की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता है।

उदाहरण 1

सीमा सीमा x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 ज्ञात कीजिए।

समाधान

वांछित सूत्र को प्रतिस्थापित करें और गणना करें।

लिम x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

हमारे उत्तर में, हमें अनंत की घात का मात्रक मिला। समाधान विधि निर्धारित करने के लिए, हम अनिश्चितताओं की तालिका का उपयोग करते हैं। हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा चुनते हैं और चरों में बदलाव करते हैं।

टी \u003d - एक्स 2 + 1 2 ⇔ एक्स 2 + 1 4 \u003d - टी 2

यदि x → ∞ तो t → - ∞ ।

आइए देखें कि प्रतिस्थापन के बाद हमें क्या मिला:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

उत्तर:लिम एक्स → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = ई - 1 2।

उदाहरण 2

सीमा सीमा x → ∞ x - 1 x + 1 x की गणना करें।

समाधान

अनंत को प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित प्राप्त करें।

लिम x → ∞ x - 1 x + 1 x = लिम x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

उत्तर में, हमें फिर वही चीज़ मिली जो पिछली समस्या में थी, इसलिए, हम फिर से दूसरी अद्भुत सीमा का उपयोग कर सकते हैं। अगला, हमें पावर फ़ंक्शन के आधार पर पूर्णांक भाग का चयन करने की आवश्यकता है:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

उसके बाद, सीमा निम्नलिखित रूप लेती है:

लिम x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = लिम x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

हम चर बदलते हैं। मान लीजिए कि t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1; अगर x → ∞ , तो t → ∞ ।

उसके बाद, हम लिखते हैं कि हमें मूल सीमा में क्या मिला:

लिम x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = लिम x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = लिम x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 टी 1 + 1 टी - 1 = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 2 टी लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 1 = = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी टी - 2 1 + 1 ∞ = ई - 2 (1 + 0) - 1 = ई - 2

इस परिवर्तन को करने के लिए, हमने सीमाओं और शक्तियों के मूल गुणों का उपयोग किया।

उत्तर:लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = ई - 2।

उदाहरण 3

सीमा लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 की गणना करें।

समाधान

लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = लिम x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

उसके बाद, हमें दूसरी अद्भुत सीमा को लागू करने के लिए एक फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन करने की जरूरत है। हमें निम्नलिखित मिला:

लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = लिम x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

चूँकि अब हमारे पास अंश के अंश और भाजक (छह के बराबर) में समान घातांक हैं, अनंत पर अंश की सीमा उच्च शक्तियों पर इन गुणांकों के अनुपात के बराबर होगी।

लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 के स्थान पर, हमें दूसरी उल्लेखनीय सीमा मिलती है। मतलब क्या:

लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = लिम x → ∞ 1 + 1 टी टी - 3 = ई - 3

उत्तर:लिम एक्स → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ई - 3।

निष्कर्ष

अनिश्चितता 1 ∞ , अर्थात एक अनंत डिग्री के लिए इकाई, एक शक्ति-कानून अनिश्चितता है, इसलिए, घातीय शक्ति कार्यों की सीमा खोजने के लिए नियमों का उपयोग करके इसका खुलासा किया जा सकता है।

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