सशर्त एक्स्ट्रेमा और लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि। लैग्रेंज गुणक विधि
संक्षिप्त सिद्धांत
गणितीय प्रोग्रामिंग (विशेष रूप से, उत्तल) की समस्याओं को हल करने के लिए लाग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि एक शास्त्रीय विधि है। दुर्भाग्य से, विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग में महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयाँ हो सकती हैं, इसके उपयोग के क्षेत्र को कम कर सकती हैं। हम यहां मुख्य रूप से लैग्रेंज विधि पर विचार करते हैं क्योंकि यह विभिन्न आधुनिक संख्यात्मक विधियों को सही ठहराने के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण है जो व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है। लैग्रेंज फ़ंक्शन और लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के लिए, वे न केवल गणितीय प्रोग्रामिंग के सिद्धांत और अनुप्रयोगों में एक स्वतंत्र और अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
शास्त्रीय अनुकूलन समस्या पर विचार करें:
इस समस्या के प्रतिबंधों के बीच कोई असमानता नहीं है, चर की गैर-नकारात्मकता, उनकी असततता और कार्यों के लिए कोई स्थिति नहीं है और निरंतर हैं और कम से कम दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव हैं।
समस्या को हल करने के लिए शास्त्रीय दृष्टिकोण समीकरणों (आवश्यक शर्तों) की एक प्रणाली प्रदान करता है जो उस बिंदु से संतुष्ट होना चाहिए जो बाधाओं को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के सेट पर स्थानीय चरम सीमा के साथ कार्य प्रदान करता है (एक उत्तल प्रोग्रामिंग समस्या के लिए, पाया गया बिंदु एक ही समय में वैश्विक चरम बिंदु होगा)।
आइए मान लें कि फ़ंक्शन (1) के बिंदु पर एक स्थानीय सशर्त चरम सीमा है और मैट्रिक्स का रैंक बराबर है। तब आवश्यक शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
लैग्रेंज फ़ंक्शन है; लैग्रेंज गुणक हैं।
ऐसी पर्याप्त शर्तें भी हैं जिनके तहत समीकरणों की प्रणाली (3) का समाधान फ़ंक्शन के चरम बिंदु को निर्धारित करता है। लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे अंतर के संकेत के अध्ययन के आधार पर यह प्रश्न हल किया गया है। हालांकि, पर्याप्त शर्तें मुख्य रूप से सैद्धांतिक रुचि की हैं।
लैग्रेंज गुणक विधि द्वारा आप समस्या (1), (2) को हल करने के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया निर्दिष्ट कर सकते हैं:
1) लैग्रेंज फ़ंक्शन (4) की रचना करें;
2) सभी चरों के संबंध में लैग्रेंज फलन के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए और उनकी बराबरी कीजिए
शून्य। इस प्रकार, समीकरणों से युक्त एक प्रणाली (3) प्राप्त की जाएगी। परिणामी प्रणाली को हल करें (यदि यह संभव हो जाता है!) और इस प्रकार लग्रेंज फ़ंक्शन के सभी स्थिर बिंदु खोजें;
3) निर्देशांक के बिना लिए गए स्थिर बिंदुओं से, उन बिंदुओं का चयन करें जिन पर फ़ंक्शन में बाधाओं (2) की उपस्थिति में सशर्त स्थानीय एक्स्ट्रेमा है। यह विकल्प, उदाहरण के लिए, स्थानीय चरम सीमा के लिए पर्याप्त परिस्थितियों का उपयोग करके बनाया गया है। यदि समस्या की विशिष्ट स्थितियों का उपयोग किया जाता है तो अक्सर अध्ययन सरल हो जाता है।
समस्या समाधान उदाहरण
काम
फर्म मात्रा में दो प्रकार के माल का उत्पादन करती है और . उपयोगी लागत फलन संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। बाजार में इन सामानों की कीमतें बराबर और क्रमशः हैं।
यह निर्धारित करें कि आउटपुट के किस मात्रा में अधिकतम लाभ प्राप्त किया गया है और यदि कुल लागत से अधिक नहीं है तो यह कितना बराबर है
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समस्या का समाधान
समस्या का आर्थिक और गणितीय मॉडल
लाभ समारोह:
लागत सीमा:
हमें निम्नलिखित आर्थिक और गणितीय मॉडल मिलते हैं:
इसके अलावा, कार्य के अर्थ के अनुसार
लैग्रेंज गुणक विधि
लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:
हम पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव पाते हैं:
हम समीकरणों की प्रणाली बनाते हैं और हल करते हैं:
तब से
अधिकतम लाभ:
उत्तर
इस प्रकार, इकाइयों का उत्पादन करना आवश्यक है। पहले प्रकार और इकाइयों का माल। दूसरे प्रकार का माल। इस मामले में, लाभ अधिकतम होगा और 270 होगा।
चित्रमय विधि द्वारा द्विघात उत्तल प्रोग्रामिंग की समस्या को हल करने का एक उदाहरण दिया गया है।
रेखांकन समस्या को आलेखीय विधि से हल करना
दो चरों वाली रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) को हल करने के लिए एक आलेखीय विधि पर विचार किया जाता है। समस्या के उदाहरण पर, ड्राइंग के निर्माण और समाधान खोजने का विस्तृत विवरण दिया गया है।
विल्सन इन्वेंट्री प्रबंधन मॉडल
समस्या को हल करने के उदाहरण पर, इन्वेंट्री प्रबंधन (विल्सन मॉडल) का मुख्य मॉडल माना जाता है। ऑर्डर लॉट के इष्टतम आकार, वार्षिक भंडारण लागत, डिलीवरी के बीच अंतराल और ऑर्डर देने के बिंदु के रूप में मॉडल के ऐसे संकेतकों की गणना की जाती है।
प्रत्यक्ष लागत अनुपात मैट्रिक्स और इनपुट-आउटपुट मैट्रिक्स
समस्या को हल करने के उदाहरण पर, लियोन्टीव इंटरसेक्टोरल मॉडल पर विचार किया जाता है। प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक के मैट्रिक्स की गणना, मैट्रिक्स "इनपुट-आउटपुट", अप्रत्यक्ष लागत के गुणांक का मैट्रिक्स, अंतिम खपत के वैक्टर और सकल उत्पादन दिखाया गया है।
सेलैग्रेंज विधि का सार सशर्त चरम समस्या को बिना शर्त चरम समस्या के समाधान के लिए कम करना है। एक गैर रेखीय प्रोग्रामिंग मॉडल पर विचार करें:
(5.2)
कहाँ पे 
प्रसिद्ध कार्य हैं,
एक 
गुणांक दिए गए हैं।
ध्यान दें कि समस्या के इस सूत्रीकरण में, बाधाओं को समानता द्वारा दिया जाता है, और चर के गैर-नकारात्मक होने की कोई शर्त नहीं है। इसके अलावा, हम मानते हैं कि कार्य 
अपने पहले आंशिक डेरिवेटिव के साथ निरंतर हैं।
आइए हम स्थिति (5.2) को इस तरह से रूपांतरित करें कि समानता के बाएँ या दाएँ हिस्से में समाहित हो शून्य:
(5.3)
लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं। इसमें गुणांकों के साथ क्रमशः लिए गए उद्देश्य फलन (5.1) और बाधाओं (5.3) के दाहिने हाथ के पक्ष शामिल हैं 
. समस्या में जितने व्यवरोध होंगे उतने ही लैग्रेंज गुणांक होंगे।
फ़ंक्शन के चरम बिंदु (5.4) मूल समस्या के चरम बिंदु हैं और इसके विपरीत: समस्या की इष्टतम योजना (5.1) - (5.2) लैग्रेंज फ़ंक्शन का वैश्विक चरम बिंदु है।
वास्तव में, समाधान खोजा जाए 
समस्या (5.1) - (5.2), तो शर्तें (5.3) संतुष्ट हैं। आइए योजना को स्थानापन्न करें 
फ़ंक्शन (5.4) में और समानता (5.5) की वैधता की पुष्टि करें।
इस प्रकार, मूल समस्या की इष्टतम योजना खोजने के लिए, एक चरम सीमा के लिए लग्रेंज फ़ंक्शन की जांच करना आवश्यक है। फ़ंक्शन के चरम मान उन बिंदुओं पर होते हैं जहां इसके आंशिक डेरिवेटिव समान होते हैं शून्य. ऐसे बिन्दु कहलाते हैं स्थावर।
हम फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव को परिभाषित करते हैं (5.4)
,
.
बराबरी के बाद शून्यडेरिवेटिव हमें सिस्टम मिलता है एम + एनके साथ समीकरण एम + एनअनजान
,
(5.6)
सामान्य स्थिति में, सिस्टम (5.6)-(5.7) के कई समाधान होंगे, जिसमें लैग्रेंज फ़ंक्शन के सभी मैक्सिमा और मिनिमा शामिल हैं। वैश्विक अधिकतम या न्यूनतम को उजागर करने के लिए, उद्देश्य समारोह के मूल्यों की गणना सभी पाए गए बिंदुओं पर की जाती है। इनमें से सबसे बड़ा मूल्य वैश्विक अधिकतम होगा, और सबसे छोटा वैश्विक न्यूनतम होगा। कुछ मामलों में इसका उपयोग करना संभव है सख्त चरम सीमा के लिए पर्याप्त शर्तेंनिरंतर कार्य (नीचे समस्या 5.2 देखें):
कार्य करने दो 
अपने स्थिर बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर और दो बार अवकलनीय है 
(वे। 
)). फिर:
एक
) यदि 
,
(5.8)
फिर 
समारोह का सख्त अधिकतम बिंदु है 
;
बी)
यदि 
,
(5.9)
फिर 
समारोह का सख्त न्यूनतम बिंदु है 
;
जी
) यदि 
,
फिर एक अतिवादी की उपस्थिति का प्रश्न खुला रहता है।
इसके अलावा, सिस्टम (5.6)-(5.7) के कुछ समाधान नकारात्मक हो सकते हैं। जो चरों के आर्थिक अर्थ के अनुरूप नहीं है। इस मामले में, नकारात्मक मूल्यों को शून्य से बदलने की संभावना का विश्लेषण किया जाना चाहिए।
Lagrange मल्टीप्लायरों का आर्थिक अर्थ।इष्टतम गुणक मान 
दिखाता है कि कसौटी का मूल्य कितना बदल जाएगा जेड
संसाधन को बढ़ाते या घटाते समय जेप्रति यूनिट, क्योंकि
लैग्रेंज विधि तब भी लागू की जा सकती है जब बाधाएँ असमानताएँ हों। अत: फलन के चरम का पता लगाना 
शर्तों के अधीन
,
कई चरणों में किया गया:
1. ऑब्जेक्टिव फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु निर्धारित करें, जिसके लिए वे समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं
.
2. स्थिर बिंदुओं से वे चुने जाते हैं जिनके निर्देशांक शर्तों को पूरा करते हैं
3. लैग्रेंज विधि का उपयोग समानता बाधाओं (5.1)-(5.2) के साथ समस्या को हल करने के लिए किया जाता है।
4. दूसरे और तीसरे चरण में पाए गए अंक वैश्विक अधिकतम के लिए जांचे जाते हैं: इन बिंदुओं पर उद्देश्य समारोह के मूल्यों की तुलना की जाती है - सबसे बड़ा मूल्य इष्टतम योजना से मेल खाता है।
टास्क 5.1आइए पहले खंड में विचार की गई समस्या 1.3 को लैग्रेंज विधि से हल करें। जल संसाधनों का इष्टतम वितरण एक गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित है
.
लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें
इस फ़ंक्शन का बिना शर्त अधिकतम ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम आंशिक डेरिवेटिव की गणना करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर करते हैं
,
इस प्रकार, हमने फॉर्म के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है
सिंचित क्षेत्रों पर जल संसाधनों के वितरण के लिए समीकरणों की प्रणाली का समाधान इष्टतम योजना है
,
.
मात्रा 
सैकड़ों हजारों घन मीटर में मापा जाता है। 
- प्रति एक लाख घन मीटर सिंचाई जल पर शुद्ध आय की राशि। इसलिए, सिंचाई के पानी की 1 मीटर 3 की सीमांत कीमत है 
मांद। इकाइयों
सिंचाई से अधिकतम अतिरिक्त शुद्ध आय होगी
160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=
172391.02 (डेन यूनिट)
कार्य 5.2एक गैर-रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करें
हम बाधा का प्रतिनिधित्व करते हैं:
.
लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें और इसके आंशिक डेरिवेटिव निर्धारित करें
.
लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, इसके आंशिक डेरिवेटिव को शून्य के बराबर करना चाहिए। नतीजतन, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं
.
पहले समीकरण से इस प्रकार है
. (5.10)
अभिव्यक्ति 
दूसरे समीकरण में बदलें
,
जिसमें से दो समाधान हैं 
:
तथा 
. (5.11)
इन समाधानों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
, 
.
Lagrange गुणक और अज्ञात के मान 
भावों द्वारा गणना (5.10) - (5.11):
, 
,
,
.
इस प्रकार, हमें दो चरम बिंदु मिले:
; 
.
यह पता लगाने के लिए कि क्या ये अंक अधिकतम या न्यूनतम अंक हैं, हम सख्त चरम सीमा (5.8)-(5.9) के लिए पर्याप्त शर्तों का उपयोग करते हैं। के लिए पूर्व अभिव्यक्ति 
, गणितीय मॉडल के प्रतिबंध से प्राप्त, हम उद्देश्य समारोह में स्थानापन्न करते हैं 
,
. (5.12)
सख्त चरम सीमा के लिए शर्तों की जांच करने के लिए, हमें फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न (5.11) के चिह्न को उन चरम बिंदुओं पर निर्धारित करना चाहिए जो हमने पाया है 
तथा 
.
, 
;
.
इस तरह, (·) 
मूल समस्या का न्यूनतम बिंदु है ( 
), एक (·) 
- अधिकतम बिंदु।
इष्टतम योजना:
, 
,
,
.
आज पाठ में हम सीखेंगे कि कैसे खोजना है सशर्तया, जैसा कि उन्हें भी कहा जाता है, सापेक्ष चरमकई चर के कार्य, और, सबसे पहले, हम सशर्त एक्स्ट्रेमा के बारे में बात करेंगे दो के कार्यतथा तीन चर, जो अधिकांश विषयगत समस्याओं में पाए जाते हैं।
आपको अभी क्या जानने और करने में सक्षम होने की आवश्यकता है? इस तथ्य के बावजूद कि यह लेख विषय के "सरहद पर" है, सामग्री को सफलतापूर्वक आत्मसात करने में इतना समय नहीं लगेगा। इस बिंदु पर, आपको मुख्य द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए अंतरिक्ष की सतहें, ढूंढ सके आंशिक अवकलज (कम से कम मध्यवर्ती स्तर पर)और, जैसा निर्मम तर्क सुझाता है, समझने के लिए बिना शर्त चरम. लेकिन यहां तक कि अगर आपके पास निम्न स्तर का प्रशिक्षण है, तो छोड़ने के लिए जल्दी मत करो - सभी लापता ज्ञान / कौशल वास्तव में "रास्ते से उठाया" जा सकता है, और कई घंटों की पीड़ा के बिना।
सबसे पहले, हम स्वयं अवधारणा का विश्लेषण करते हैं और साथ ही साथ सबसे आम की एक स्पष्ट पुनरावृत्ति करते हैं सतह. तो, एक सशर्त चरम सीमा क्या है? ... यहाँ तर्क कोई कम निर्दयी नहीं है =) किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम शब्द के सामान्य अर्थों में एक चरम है, जो एक निश्चित स्थिति (या शर्तों) के पूरा होने पर प्राप्त होता है।
एक मनमाना "तिरछा" कल्पना करो विमानमें कार्तीय प्रणाली. कोई भी नहीं चरमयहाँ दृष्टि में नहीं है। लेकिन यह फिलहाल के लिए है। विचार करना अण्डाकार सिलेंडर, सादगी के लिए - अक्ष के समानांतर एक अंतहीन गोल "पाइप"। यह स्पष्ट है कि यह "पाइप" हमारे विमान से "नक्काशीदार" होगा अंडाकार, जिसके परिणामस्वरूप शीर्ष पर अधिकतम और तल पर न्यूनतम होता है। दूसरे शब्दों में, समतल को परिभाषित करने वाला कार्य एक्स्ट्रेमा तक पहुँचता है इस शर्त परकि इसे दिए गए गोलाकार सिलेंडर से पार किया गया था। वह "प्रदान किया गया" है! इस विमान को पार करने वाला एक और अंडाकार सिलेंडर लगभग निश्चित रूप से एक अलग न्यूनतम और अधिकतम उत्पादन करेगा।
यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है, तो स्थिति को वास्तविक रूप से अनुकरण किया जा सकता है (लेकिन विपरीत क्रम में): एक कुल्हाड़ी ले लो, बाहर जाओ और काट दो ... नहीं, ग्रीनपीस आपको बाद में माफ नहीं करेगा - ड्रेनपाइप को "ग्राइंडर" =) से काटना बेहतर है। सशर्त न्यूनतम और सशर्त अधिकतम किस ऊंचाई पर और किस पर निर्भर करेगा (गैर क्षैतिज)एक कोण पर काटें।
यह गणनाओं को गणितीय पोशाक में रखने का समय है। विचार करना अण्डाकार पैराबोलॉइड, जो है पूर्ण न्यूनतमबिंदु पर। अब चलो चरम खोजें इस शर्त पर. इस विमानअक्ष के समानांतर, जिसका अर्थ है कि यह पैराबोलॉइड से "कट" जाता है परवलय. इस पैराबोला का शीर्ष सशर्त न्यूनतम होगा। इसके अलावा, विमान उद्गम स्थल से नहीं गुजरता है, इसलिए, बिंदु व्यवसाय से बाहर रहेगा। तस्वीर नहीं भेजी? आइए लिंक्स पर जाएं! इसमें कई, कई बार और लगेगा।
प्रश्न: इस सशर्त चरम सीमा को कैसे खोजा जाए? इसे हल करने का सबसे आसान तरीका समीकरण का उपयोग करना है (जिसे कहा जाता है - स्थितिया कनेक्शन समीकरण) एक्सप्रेस, उदाहरण के लिए: - और इसे फ़ंक्शन में बदलें: 
नतीजतन, एक चर का एक कार्य प्राप्त होता है, जो एक परबोला को परिभाषित करता है, जिसके शीर्ष को बंद आंखों के साथ "गणना" की जाती है। हमे पता करने दें महत्वपूर्ण बिंदु:
- महत्वपूर्ण बिंदु।
अगला, इसका उपयोग करना सबसे आसान है दूसरी पर्याप्त चरम स्थिति:
विशेष रूप से: , इसलिए फ़ंक्शन बिंदु पर अपने न्यूनतम तक पहुँच जाता है। इसकी सीधे गणना की जा सकती है: लेकिन हम अधिक अकादमिक तरीके से आगे बढ़ेंगे। आइए "गेम" समन्वय खोजें:
,
आइए सशर्त न्यूनतम बिंदु लिखें, सुनिश्चित करें कि यह वास्तव में विमान में स्थित है (बाधा समीकरण को संतुष्ट करता है):
और फ़ंक्शन के सशर्त न्यूनतम की गणना करें:
इस शर्त पर ("योजक" आवश्यक है!!!).
संदेह की छाया के बिना माना गया तरीका व्यवहार में इस्तेमाल किया जा सकता है, हालांकि, इसके कई नुकसान हैं। सबसे पहले, समस्या की ज्यामिति हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, और दूसरी बात, संचार के समीकरण से "x" या "y" को व्यक्त करना अक्सर लाभहीन होता है (अगर कुछ व्यक्त करने का अवसर है तो). और अब हम सशर्त एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए एक सार्वभौमिक विधि पर विचार करेंगे, जिसे कहा जाता है लैग्रेंज गुणक विधि:
उदाहरण 1
तर्कों के लिए निर्दिष्ट कनेक्शन समीकरण के लिए फ़ंक्शन का सशर्त एक्स्ट्रेमा खोजें।
क्या आप सतहों को पहचानते हैं? ;-) …मैं आपके खुश चेहरों को देखकर खुश हूं =)
वैसे, इस समस्या के सूत्रीकरण से यह स्पष्ट हो जाता है कि स्थिति को क्यों कहा जाता है कनेक्शन समीकरण- समारोह तर्क जुड़े हुएअतिरिक्त स्थिति, यानी पाए गए चरम बिंदु आवश्यक रूप से एक गोलाकार सिलेंडर से संबंधित होने चाहिए।
समाधान: पहले चरण में, आपको फॉर्म और रचना में बाधा समीकरण का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता है लैग्रेंज समारोह:
, तथाकथित लैग्रेंज गुणक कहां है।
हमारे मामले में, और:
सशर्त एक्स्ट्रेमा खोजने के लिए एल्गोरिथ्म "साधारण" खोजने की योजना के समान है चरम सीमाओं. हमे पता करने दें आंशिक अवकलजलैग्रेंज कार्य करता है, जबकि "लैम्ब्डा" को स्थिर माना जाना चाहिए:
आइए निम्नलिखित सिस्टम बनाएं और हल करें: 
गेंद मानक तरीके से उलझी हुई है:
पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं 
;
दूसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं 
.
संचार के समीकरण में स्थानापन्न करें और सरलीकरण करें: 
नतीजतन, हम दो स्थिर बिंदु प्राप्त करते हैं। तो अगर: 
तो अगर: 
यह देखना आसान है कि दोनों बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं 
. ईमानदार लोग भी पूर्ण जाँच कर सकते हैं: इसके लिए आपको स्थानापन्न करने की आवश्यकता है 
सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण में, और फिर सेट के साथ भी ऐसा ही करें 
. सब कुछ एक साथ फिट होना है।
आइए हम पाए गए स्थिर बिंदुओं के लिए पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जाँच करें। मैं इस मुद्दे को हल करने के लिए तीन दृष्टिकोणों पर विचार करूंगा:
1) पहला तरीका ज्यामितीय औचित्य है।
आइए स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:
अगला, हम लगभग निम्नलिखित सामग्री के साथ एक वाक्यांश लिखते हैं: एक गोलाकार सिलेंडर द्वारा विमान का खंड एक दीर्घवृत्त है, जिसके शीर्ष पर अधिकतम पहुंच गया है, और नीचे - न्यूनतम। इस प्रकार, एक बड़ा मान एक सशर्त अधिकतम है, और एक छोटा एक सशर्त न्यूनतम है।
यदि संभव हो तो इस विशेष विधि का उपयोग करना बेहतर है - यह सरल है, और शिक्षक इस समाधान को गिनते हैं। (एक बड़ा प्लस यह है कि आपने समस्या के ज्यामितीय अर्थ की समझ दिखाई है). हालाँकि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि क्या और कहाँ के साथ प्रतिच्छेदन होता है, और फिर एक विश्लेषणात्मक जाँच बचाव के लिए आती है:
2) दूसरी विधि दूसरे क्रम के विभेदक चिह्नों के उपयोग पर आधारित है। यदि यह पता चला है कि एक स्थिर बिंदु पर, तो फ़ंक्शन वहां अधिकतम तक पहुंच जाता है, लेकिन यदि - तो न्यूनतम।
हमे पता करने दें दूसरा क्रम आंशिक डेरिवेटिव:
और यह अंतर बनाएँ:
के लिए, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन बिंदु पर अपनी अधिकतम तक पहुंचता है;
के लिए, तो फ़ंक्शन बिंदु पर न्यूनतम तक पहुंच जाता है 
.
माना गया तरीका बहुत अच्छा है, लेकिन इसका नुकसान यह है कि कुछ मामलों में दूसरे अंतर के चिह्न को निर्धारित करना लगभग असंभव है (आमतौर पर ऐसा तब होता है जब और / या अलग-अलग संकेत होते हैं). और फिर "भारी तोपखाने" बचाव के लिए आता है:
3) "x" और "y" के संबंध में संबंध समीकरण में अंतर करें: 
और निम्नलिखित बनाओ सममित आव्यूह:
यदि एक स्थिर बिंदु पर, तो फ़ंक्शन वहां पहुंचता है ( ध्यान!) न्यूनतम, यदि - तो अधिकतम।
आइए मूल्य और संबंधित बिंदु के लिए एक मैट्रिक्स लिखें: 
आइए इसकी गणना करें सिद्ध:
, इसलिए बिंदु पर फलन का अधिकतम है।
इसी प्रकार मूल्य और बिंदु के लिए: 
इस प्रकार, बिंदु पर फलन का न्यूनतम होता है।
उत्तर: इस शर्त पर :
सामग्री के विस्तृत विश्लेषण के बाद, मैं आपको आत्म-परीक्षा के लिए कुछ सामान्य कार्यों की पेशकश नहीं कर सकता:
उदाहरण 2
यदि फ़ंक्शन के तर्क समीकरण द्वारा संबंधित हैं, तो फ़ंक्शन का सशर्त चरम ज्ञात करें
उदाहरण 3
स्थिति के तहत फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा खोजें
और फिर, मैं दृढ़ता से कार्यों के ज्यामितीय सार को समझने की सलाह देता हूं, विशेष रूप से अंतिम उदाहरण के लिए, जहां पर्याप्त स्थिति का विश्लेषणात्मक सत्यापन उपहार नहीं है। कौन सा याद रखें दूसरी ऑर्डर लाइनसमीकरण सेट करता है, और क्या सतहयह रेखा अंतरिक्ष में उत्पन्न होती है। विश्लेषण करें कि किस वक्र पर सिलेंडर विमान को काटेगा और इस वक्र पर न्यूनतम कहां होगा और अधिकतम कहां होगा।
पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।
विचाराधीन समस्या का व्यापक रूप से विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से - हम ज्यामिति में बहुत दूर नहीं जाएंगे। आइए, आधा लीटर के बारे में सभी की पसंदीदा समस्या का समाधान करें (लेख का उदाहरण 7 देखेंअत्यधिक कार्य ) दूसरा तरीका:
उदाहरण 4
एक बेलनाकार टिन के डिब्बे का आकार क्या होना चाहिए ताकि डिब्बे को बनाने के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग किया जा सके, यदि डिब्बे का आयतन बराबर है
समाधान: एक परिवर्तनीय आधार त्रिज्या, एक परिवर्तनीय ऊंचाई पर विचार करें और कैन की पूरी सतह के क्षेत्र का एक फ़ंक्शन बनाएं: 
(दो आवरणों का क्षेत्रफल + पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल)
| मापदण्ड नाम | अर्थ |
| लेख विषय: | लैग्रेंज विधि। |
| रूब्रिक (विषयगत श्रेणी) | गणित |
बहुपद ज्ञात करने का अर्थ है उसके गुणांक का मान ज्ञात करना 
. ऐसा करने के लिए, प्रक्षेप स्थिति का उपयोग करके, आप रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की एक प्रणाली बना सकते हैं।
इस SLAE के निर्धारक को आमतौर पर वांडरमोंडे निर्धारक कहा जाता है। Vandermonde निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है जब के लिए, यानी, उस स्थिति में जब लुकअप तालिका में कोई मेल खाने वाला नोड नहीं है। वास्तव में, यह तर्क दिया जा सकता है कि SLAE के पास एक समाधान है और यह समाधान अद्वितीय है। SLAE को हल करना और अज्ञात गुणांकों का निर्धारण करना कोई एक प्रक्षेप बहुपद का निर्माण कर सकता है।
एक बहुपद जो प्रक्षेप की शर्तों को संतुष्ट करता है, जब लैग्रेंज विधि द्वारा प्रक्षेपित किया जाता है, तो nth डिग्री के बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में निर्मित होता है:
बहुपद कहलाते हैं बुनियादीबहुपद। प्रति लैग्रेंज बहुपदइंटरपोलेशन शर्तों को संतुष्ट करता है, यह अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निम्नलिखित शर्तों को इसके मूल बहुपदों के लिए संतुष्ट किया जाए:
के लिये 
.
यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो किसी के लिए हमारे पास:
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, बुनियादी बहुपदों के लिए दी गई शर्तों की पूर्ति का अर्थ है कि प्रक्षेप की शर्तें भी संतुष्ट हैं।
आइए उन पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर बुनियादी बहुपदों के रूप का निर्धारण करें।
पहली शर्त:पर ।
दूसरी शर्त: .
अंत में, मूल बहुपद के लिए, हम लिख सकते हैं:
फिर, मूल बहुपद के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को मूल बहुपद में प्रतिस्थापित करते हुए, हम लैग्रेंज बहुपद का अंतिम रूप प्राप्त करते हैं:
लैग्रेंज बहुपद के एक विशेष रूप को आमतौर पर रैखिक प्रक्षेप सूत्र कहा जाता है:
.
पर लिए गए लैग्रेंज बहुपद को आमतौर पर द्विघात प्रक्षेप सूत्र कहा जाता है:
लैग्रेंज विधि। - अवधारणा और प्रकार। "लैग्रेंज विधि" श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं। 2017, 2018।
रैखिक रिमोट कंट्रोल। परिभाषा। टाइप कंट्रोल यानी अज्ञात फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के संबंध में रैखिक को रैखिक कहा जाता है। इस प्रकार के समाधान के लिए, उर-थ दो विधियों पर विचार करें: लैग्रेंज विधि और बर्नौली विधि। आइए एक सजातीय DE पर विचार करें।
परिभाषा। DU को सजातीय कहा जाता है यदि f-i को उनके तर्कों के संबंध में f-i के रूप में दर्शाया जा सकता है उदाहरण। एफ-वें को सजातीय एफ-वें माप कहा जाता है यदि उदाहरण: 1) - समरूपता का पहला क्रम। 2) - समरूपता का दूसरा क्रम। 3) - एकरूपता का शून्य क्रम (सिर्फ सजातीय... .
आर्थिक गणना में चरम कार्यों का बहुत महत्व है। यह गणना है, उदाहरण के लिए, अधिकतम आय, लाभ, न्यूनतम लागत, कई चर के आधार पर: संसाधन, उत्पादन संपत्ति आदि। कार्यों के चरम को खोजने का सिद्धांत...।
3. 2. 1. वियोज्य चर के साथ DE S.R. 3. प्राकृतिक विज्ञान, प्रौद्योगिकी और अर्थशास्त्र में अक्सर अनुभवजन्य सूत्रों से निपटना पड़ता है, अर्थात। सांख्यिकीय डेटा के प्रसंस्करण के आधार पर संकलित सूत्र या ...
पहले क्रम के एक रेखीय विषम अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1)
.
इस समीकरण को हल करने के तीन तरीके हैं:
- निरंतर भिन्नता विधि (लग्रेंज)।
लाग्रेंज विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के हल पर विचार करें।
निरंतर भिन्नता विधि (लग्रेंज)
निरंतर भिन्नता विधि में, हम समीकरण को दो चरणों में हल करते हैं। पहले चरण में, हम मूल समीकरण को सरल करते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। दूसरे चरण में, हम विलयन के पहले चरण में प्राप्त समाकलन के स्थिरांक को एक फलन से बदल देंगे। फिर हम मूल समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश करते हैं।
समीकरण पर विचार करें:
(1)
चरण 1 सजातीय समीकरण का समाधान
हम सजातीय समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं:
यह एक वियोज्य समीकरण है
अलग-अलग चर - dx से गुणा करें, y से विभाजित करें:
हम एकीकृत करते हैं:
y - सारणीबद्ध पर समाकलित:
फिर
शक्तिशाली:
आइए हम स्थिरांक e C को C से प्रतिस्थापित करें और मापांक के चिन्ह को हटा दें, जो स्थिरांक से गुणा करने के लिए कम हो जाता है ± 1, जिसे हम C में शामिल करते हैं:
चरण 2 अचर C को फलन से बदलें
अब आइए स्थिरांक C को x के एक फलन से बदलें:
सी → यू (एक्स)
यही है, हम मूल समीकरण के समाधान की तलाश करेंगे (1)
जैसा:
(2)
हम व्युत्पन्न पाते हैं।
एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:
.
उत्पाद भेदभाव नियम के अनुसार:
.
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं (1)
:
(1)
;
.
दो शब्द घटाए गए हैं:
;
.
हम एकीकृत करते हैं:
.
में स्थानापन्न करें (2)
:
.
नतीजतन, हम पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं:
.
लैग्रेंज विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने का एक उदाहरण
प्रश्न हल करें
समाधान
हम सजातीय समीकरण को हल करते हैं:
अलग चर:
आइए इससे गुणा करें:
हम एकीकृत करते हैं:
टेबल इंटीग्रल:
शक्तिशाली:
आइए निरंतर e C को C से बदलें और मापांक के चिह्नों को हटा दें:
यहाँ से:
आइए निरंतर C को x के एक फ़ंक्शन से बदलें:
सी → यू (एक्स)
हम व्युत्पन्न पाते हैं:
.
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:
;
;
या:
;
.
हम एकीकृत करते हैं:
;
समीकरण समाधान:
.
