न्यूटन की विधि द्वारा अधवका क्लिपर की गणना। अरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके

न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)

समीकरण की जड़ f(x)=0 को खंड पर अलग किया जाना चाहिए, और f'(x) के पहले और दूसरे डेरिवेटिव और च""(एक्स)хн के लिए निरंतर और स्थिर चिह्न हैं।

मूल शोधन के किसी चरण में रूट x n के अगले सन्निकटन को प्राप्त (चुना) होने दें . फिर मान लीजिए कि अगला सन्निकटन सुधार h n की मदद से प्राप्त किया गया है , परिणाम जड़ के सटीक मूल्य में होता है

एक्स \u003d एक्स एन + एच एन। (1.2.3-6)

गिनती एच एनछोटा मान, हम f(x n + h n) को एक टेलर श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जो स्वयं को रैखिक शब्दों तक सीमित करता है

एफ (एक्स एन + एच एन) "एफ (एक्स एन) + एच एन एफ '(एक्स एन)। (1.2.3-7)

यह मानते हुए कि f(x) = f(х n + h n) = 0, हमें f(х n) + h n f '(х n) » 0 मिलता है।

इसलिए एच एन "- एफ (एक्स एन) / एफ '(एक्स एन)। मान बदलें एच एनमें (1.2.3-6) और रूट के सटीक मूल्य के बजाय एक्सहमें एक और सन्निकटन मिलता है

सूत्र (1.2.3-8) आपको सन्निकटन x 1, x 2, x 3 ... का एक क्रम प्राप्त करने की अनुमति देता है, जो कुछ शर्तों के तहत, जड़ के सटीक मूल्य में परिवर्तित हो जाता है एक्स,वह है

न्यूटन की विधि की ज्यामितीय व्याख्याइस प्रकार है
(चित्र 1.2.3-6)। हम खंड b के दाहिने छोर को प्रारंभिक सन्निकटन x 0 के रूप में लेते हैं और फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ पर संबंधित बिंदु B 0 पर हम एक स्पर्शरेखा का निर्माण करते हैं। x-अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को एक नए, अधिक सटीक सन्निकटन x 1 के रूप में लिया जाता है। इस प्रक्रिया को कई बार दोहराने से आपको सन्निकटन x 0, x 1, x 2 का क्रम प्राप्त करने की अनुमति मिलती है , . . ., जो मूल के सटीक मान की ओर प्रवृत्त होता है एक्स।

न्यूटन की विधि (1.2.3-8) का परिकलन सूत्र एक ज्यामितीय रचना से प्राप्त किया जा सकता है। तो एक समकोण त्रिभुज x 0 B 0 x 1 पैर में
एक्स 0 एक्स 1 = एक्स 0 वी 0 / टीजीए। यह देखते हुए कि बिंदु B 0 फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर है च (एक्स),और कर्ण बिंदु B 0 पर ग्राफ f (x) की स्पर्शरेखा द्वारा बनता है, हमें मिलता है

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

यह सूत्र nवें सन्निकटन के लिए (1.2.3-8) के साथ मेल खाता है।

चित्र 1.2.3-6 से यह देखा जा सकता है कि प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में बिंदु a का चुनाव इस तथ्य को जन्म दे सकता है कि अगला सन्निकटन x 1 उस खंड के बाहर होगा जिस पर रूट अलग हो गया है एक्स. इस मामले में, प्रक्रिया के अभिसरण की गारंटी नहीं है। सामान्य स्थिति में, प्रारंभिक सन्निकटन का चुनाव निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: प्रारंभिक सन्निकटन के लिए, किसी को ऐसा बिंदु x 0 н लेना चाहिए, जिस पर f (x 0) × f '' (x 0) > 0, यानी, फ़ंक्शन के संकेत और इसका दूसरा डेरिवेटिव मैच।

न्यूटन की विधि के लिए अभिसरण की शर्तें निम्नलिखित प्रमेय में तैयार की गई हैं।

यदि समीकरण की जड़ खंड पर अलग हो जाती है, तथाएफ'(एक्स 0) और एफ''(एक्स) शून्य से भिन्न हैं और पर अपने चिह्न बनाए रखते हैंएक्सो, तो अगर हम प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में ऐसा बिंदु चुनते हैंएक्स 0 ओ , क्या f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , फिर समीकरण की जड़एफ (एक्स) = 0 सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ गणना की जा सकती है।

न्यूटन की विधि का त्रुटि अनुमान निम्नलिखित व्यंजक द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(1.2.3-11)

सबसे छोटा मान कहाँ है पर

उच्चतम मूल्य पर

गणना प्रक्रिया समाप्त हो जाती है यदि ,

निर्दिष्ट सटीकता कहां है।

इसके अलावा, निम्नलिखित भाव न्यूटन विधि द्वारा जड़ को परिष्कृत करते समय दी गई सटीकता प्राप्त करने के लिए एक शर्त के रूप में काम कर सकते हैं:

न्यूटन विधि एल्गोरिथ्म की योजना को अंजीर में दिखाया गया है। 1.2.3-7।

एल्गोरिथम में मूल समीकरण f(x) और इसके व्युत्पन्न f'(x) के बाईं ओर अलग सॉफ्टवेयर मॉड्यूल के रूप में डिजाइन किए गए हैं।

चावल। 1.2.3-7। न्यूटन की विधि का एल्गोरिथम आरेख

उदाहरण 1.2.3-3 न्यूटन विधि का उपयोग करके समीकरण x-ln(x+2) = 0 की जड़ों को परिशोधित करें, बशर्ते कि इस समीकरण की जड़ें खंडों x 1 н[-1.9;-1.1] पर अलग हो जाएं। और एक्स 2 एन [-0.9;2]।

पहला व्युत्पन्न f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) प्रत्येक खंड पर अपना चिन्ह बनाए रखता है:

एफ '(एक्स)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f'(x)>0 पर xO [-0.9; 2]।

दूसरा व्युत्पन्न f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 किसी भी x के लिए।

इस प्रकार, अभिसरण की शर्तें संतुष्ट हैं। चूँकि f "" (x)> 0 अनुमेय मानों की संपूर्ण सीमा पर, फिर प्रारंभिक सन्निकटन के लिए रूट को परिष्कृत करने के लिए एक्स 1 x 0 \u003d -1.9 चुनें (चूंकि f (-1.9) × f ”(-1.9)> 0)। हमें सन्निकटन का एक क्रम मिलता है:

गणनाओं को जारी रखते हुए, हम पहले चार सन्निकटनों का निम्नलिखित क्रम प्राप्त करते हैं: -1.9; -1.8552, -1.8421; -1.8414 . बिंदु x=-1.8414 पर फ़ंक्शन f(x) का मान f(-1.8414)=-0.00003 के बराबर है .

जड़ x 2 н[-0.9;2] को परिष्कृत करने के लिए, हम प्रारंभिक सन्निकटन 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) के रूप में चुनते हैं। x 0 = 2 के आधार पर, हम सन्निकटन का एक क्रम प्राप्त करते हैं: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461। बिंदु x=1.1461 पर फ़ंक्शन f(x) का मान f(1.1461)= -0.00006 के बराबर है।

न्यूटन की विधि में अभिसरण की उच्च दर है, लेकिन प्रत्येक चरण में न केवल फ़ंक्शन के मान की गणना की आवश्यकता होती है, बल्कि इसके व्युत्पन्न की भी आवश्यकता होती है।

राग विधि

राग पद्धति की ज्यामितीय व्याख्याइस प्रकार है
(चित्र 1.2.3-8)।

आइए बिंदु A और B के माध्यम से एक सीधी रेखा खंड बनाएं। अगला सन्निकटन x 1 0x अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। आइए एक सीधी रेखा खंड के समीकरण का निर्माण करें:

आइए y=0 रखें और x=x 1 का मान ज्ञात करें (एक अन्य सन्निकटन):

हम रूट - x 2 का अगला सन्निकटन प्राप्त करने के लिए गणना प्रक्रिया को दोहराते हैं :

हमारे मामले में (चित्र 1.2.11) और राग विधि का परिकलन सूत्र इस प्रकार दिखेगा

यह सूत्र तब मान्य होता है जब बिंदु b को एक निश्चित बिंदु के रूप में लिया जाता है, और बिंदु a प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है।

एक अन्य मामले पर विचार करें (चित्र 1.2.3-9), जब .

इस मामले के लिए सीधी रेखा समीकरण का रूप है

अगला सन्निकटन x 1 y = 0 पर

फिर इस मामले के लिए जीवाओं की विधि के लिए पुनरावर्ती सूत्र का रूप है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तारों की विधि में निश्चित बिंदु के लिए, सेगमेंट का अंत चुनें जिसके लिए स्थिति f (x)∙f¢¢ (x)>0 संतुष्ट है।

इस प्रकार, यदि बिंदु a को एक निश्चित बिंदु के रूप में लिया जाता है , तब x 0 = b प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है, और इसके विपरीत।

जीवाओं के सूत्र का उपयोग करके समीकरण f(x)=0 के मूल की गणना सुनिश्चित करने वाली पर्याप्त शर्तें स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन की विधि) के समान होंगी, लेकिन प्रारंभिक सन्निकटन के बजाय, एक निश्चित बिंदु चुना जाता है। तार विधि न्यूटन की विधि का एक संशोधन है। अंतर यह है कि न्यूटन विधि में अगला सन्निकटन 0X अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु है, और जीवा की विधि में - 0X अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन का बिंदु - सन्निकटन जड़ से अभिसरण करता है विभिन्न पक्ष।

तार विधि की त्रुटि का अनुमान अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

(1.2.3-15)

जीवाओं की विधि द्वारा पुनरावृत्ति प्रक्रिया की समाप्ति की स्थिति

(1.2.3-16)

अगर एम 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£इ।

उदाहरण 1.2.3-4। समीकरण e x - 3x = 0 का मूल निर्दिष्ट करें, 10 -4 की सटीकता के साथ एक खंड पर अलग किया गया।

आइए अभिसरण स्थिति की जाँच करें:

इसलिए, a=0 को एक निश्चित बिंदु के रूप में चुना जाना चाहिए, और x 0 \u003d 1 को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में लिया जाना चाहिए, चूंकि f (0) \u003d 1> 0 और f (0) * f "(0)> 0 .

2. अरेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए न्यूटन की विधि।

यह विधि साधारण पुनरावृति विधि की तुलना में बहुत तेजी से अभिसरित होती है। समीकरणों की प्रणाली (1.1) के लिए न्यूटन की विधि कार्यों के विस्तार के उपयोग पर आधारित है

, कहाँ पे
(2.1)

एक टेलर श्रृंखला में, और डेरिवेटिव के दूसरे और उच्च क्रम वाले पदों को छोड़ दिया जाता है। यह दृष्टिकोण कई रैखिक प्रणालियों के समाधान के साथ एक गैर-रैखिक प्रणाली (1.1) के समाधान को बदलने की अनुमति देता है।

इस प्रकार सिस्टम (1.1) को न्यूटन की विधि द्वारा हल किया जाएगा। क्षेत्र D में हम कोई बिंदु चुनते हैं
और इसे मूल प्रणाली के सटीक समाधान के लिए शून्य सन्निकटन कहते हैं। अब हम बिंदु के आस-पास टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन (2.1) का विस्तार करते हैं। होगा

इसलिये (2.2) के बाएं हिस्से को (1.1) के अनुसार गायब होना चाहिए, फिर (2.2) के दाहिने हिस्से को भी गायब होना चाहिए। इसलिए, (2.2) से हमारे पास है

(2.3) में सभी आंशिक डेरिवेटिव की गणना बिंदु पर की जानी चाहिए।

(2.3) अज्ञात में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली है। इस प्रणाली को क्रैमर विधि द्वारा हल किया जा सकता है यदि इसका मुख्य निर्धारक अशून्य है और मात्राएँ ज्ञात करें

अब हम निर्देशांक के साथ पहला सन्निकटन बनाकर शून्य सन्निकटन को परिष्कृत कर सकते हैं

वे।
. (2.6)

आइए देखें कि सन्निकटन (2.6) पर्याप्त सटीकता के साथ प्राप्त किया गया है या नहीं। ऐसा करने के लिए, स्थिति की जाँच करें

,
(2.7)

कहाँ पे एक पूर्वनिर्धारित छोटी सकारात्मक संख्या (सटीकता जिसके साथ सिस्टम (1.1) को हल किया जाना चाहिए)। यदि स्थिति (2.7) संतुष्ट है, तो हम (2.6) को सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के रूप में चुनते हैं और गणना समाप्त करते हैं। यदि शर्त (2.7) संतुष्ट नहीं होती है, तो हम निम्नलिखित क्रिया करते हैं। सिस्टम में (2.3), इसके बजाय
संशोधित मान लें

, (2.8)

वे। निम्न कार्य करें

. (2.9)

उसके बाद, प्रणाली (2.3) मात्राओं के संबंध में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली होगी, इन मात्राओं को निर्धारित करने के बाद, अगला दूसरा सन्निकटन
सिस्टम (1.1) के समाधान के लिए हम सूत्रों द्वारा पाते हैं

अब स्थिति की जाँच करते हैं (2.7)

यदि यह स्थिति संतुष्ट होती है, तो हम सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के रूप में दूसरा सन्निकटन लेकर गणना समाप्त करते हैं।
. यदि यह स्थिति संतुष्ट नहीं होती है, तो हम (2.3) लेते हुए अगले सन्निकटन का निर्माण करना जारी रखते हैं।
शर्त पूरी होने तक सन्निकटन बनाना आवश्यक है।

सिस्टम (1.1) को हल करने के लिए न्यूटन की विधि के कार्य सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है

गणना अनुक्रम

यहां
व्यवस्था का समाधान हैं

आइए सूत्र (2.11) - (2.13) का उपयोग करके गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें।

1. हम शून्य सन्निकटन चुनते हैं, जो क्षेत्र डी से संबंधित है।

2. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (2.13) की प्रणाली में हम सेट करते हैं
,एक ।

3. हम सिस्टम (2.13) को हल करते हैं और मात्राओं का पता लगाते हैं
.

4. सूत्रों में (2.12) हम सेट करते हैं
और अगले सन्निकटन के घटकों की गणना करें।

5. निम्नलिखित के लिए स्थिति (2.7) की जाँच करें: (कई मात्राओं की अधिकतम गणना के लिए एल्गोरिथम देखें।)

6. यदि यह स्थिति संतुष्ट होती है, तो हम सिस्टम के अनुमानित समाधान (1.1) को सन्निकटन के रूप में चुनकर गणना समाप्त करते हैं। यदि यह स्थिति पूरी नहीं होती है, तो चरण 7 पर जाएँ।

7. चलो डालते हैं
सभी के लिए ।

8. आइए आइटम 3 को सेट करके पूरा करें
.

ज्यामितीय रूप से, इस एल्गोरिथम को इस रूप में लिखा जा सकता है

कलन विधि। कई मात्राओं की अधिकतम गणना.

उदाहरण. दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग करने पर विचार करें।

तक की सटीकता के साथ न्यूटन की विधि का उपयोग करके अरैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें

, (2.14)

यहां
. हम शून्य सन्निकटन चुनते हैं
, जो डोमेन डी से संबंधित है। आइए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (2.3) की एक प्रणाली का निर्माण करें। वह देखेगी

(2.15)

निरूपित

हम अज्ञात के संबंध में सिस्टम (2.15) को हल करते हैं
, उदाहरण के लिए क्रैमर विधि द्वारा। हम क्रैमर के सूत्रों को फॉर्म में लिखते हैं

(2.17)

सिस्टम का मुख्य निर्धारक कहां है (2.15)

(2.18)

जबकि सिस्टम (2.15) के सहायक निर्धारकों का रूप है

.

हम पाए गए मानों को (2.16) में प्रतिस्थापित करते हैं और पहले सन्निकटन के घटकों को खोजते हैं
सिस्टम (2.15) के समाधान के लिए।

आइए स्थिति की जांच करें

, (2.19)

यदि यह स्थिति संतुष्ट होती है, तो हम पहले सन्निकटन को सिस्टम (2.15) के सन्निकट हल के रूप में लेते हुए गणना समाप्त करते हैं, अर्थात,
. यदि स्थिति (2.19) संतुष्ट नहीं है, तो हम सेट करते हैं
,
और रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (2.15) की एक नई प्रणाली का निर्माण करें। इसे हल करने पर, हम दूसरा सन्निकटन पाते हैं
. आइए इसकी जांच करें। यदि यह स्थिति संतुष्ट होती है, तो सिस्टम (2.15) के अनुमानित समाधान के लिए हम चुनते हैं
. यदि स्थिति संतुष्ट नहीं है, तो हम सेट करते हैं
,
और खोजने के लिए निम्नलिखित प्रणाली (2.15) का निर्माण करें
आदि।

कार्य

सभी कार्यों की आवश्यकता है:

प्रस्तावित एल्गोरिथम के अनुसार विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एक कार्यक्रम लिखें।

गणना परिणाम प्राप्त करें।

अपना रिजल्ट चेक करें।

दो अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है।

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

अध्याय 3. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके।

उद्देश्य. SLAE को हल करने और पीसी पर उनके संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए कुछ अनुमानित तरीकों से परिचित होना।

प्रारंभिक टिप्पणियां। SLAE को हल करने की सभी विधियों को आमतौर पर दो बड़े समूहों में विभाजित किया जाता है। पहले समूह में वे विधियाँ शामिल हैं जिन्हें आमतौर पर सटीक कहा जाता है। ये विधियाँ किसी भी सिस्टम को अंकगणितीय संक्रियाओं की एक सीमित संख्या के बाद अज्ञात के सटीक मान खोजने की अनुमति देती हैं, जिनमें से प्रत्येक सटीक रूप से किया जाता है।

दूसरे समूह में वे सभी विधियाँ शामिल हैं जो सटीक नहीं हैं। उन्हें पुनरावृत्त, या संख्यात्मक, या अनुमानित कहा जाता है। इस तरह के तरीकों का उपयोग करते समय सटीक समाधान सन्निकटन की अंतहीन प्रक्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है। इस तरह के तरीकों की एक आकर्षक विशेषता उनका आत्म-सुधार और पीसी पर कार्यान्वयन में आसानी है।

आइए हम SLAE को हल करने के लिए कुछ अनुमानित तरीकों पर विचार करें और उनके संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम का निर्माण करें। हम की सटीकता के साथ SLAE का एक अनुमानित समाधान प्राप्त करेंगे, जहां कुछ बहुत छोटी धनात्मक संख्या है।

1. पुनरावृति विधि।

बता दें कि SLAE को फॉर्म में दिया गया है

(1.1)

इस प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

, (1.2)

कहाँ पे
- सिस्टम में अज्ञात के लिए गुणांक का मैट्रिक्स (1.1),
- मुक्त सदस्यों का स्तंभ,
- सिस्टम के अज्ञात का स्तंभ (1.1)।

. (1.3)

आइए पुनरावृत्ति विधि द्वारा सिस्टम (1.1) को हल करें। ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें।

पहले तो। हम शून्य सन्निकटन चुनते हैं

(1.4)

सिस्टम (1.1) के सटीक समाधान (1.3) के लिए। शून्य सन्निकटन घटक कोई भी संख्या हो सकती है। लेकिन शून्य सन्निकटन के घटकों के लिए या तो शून्य लेना अधिक सुविधाजनक है
, या सिस्टम की मुफ़्त शर्तें (1.1)

दूसरा। हम शून्य सन्निकटन के घटकों को सिस्टम के दाईं ओर (1.1) में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं

(1.5)

(1.5) में बाईं ओर की मात्राएँ पहले सन्निकटन के घटक हैं
जिन क्रियाओं के परिणामस्वरूप प्रथम सन्निकटन होता है, उन्हें पुनरावृति कहते हैं।

तीसरा। आइए इसके लिए शून्य और पहले सन्निकटन की जाँच करें

(1.6)

यदि सभी शर्तें (1.6) संतुष्ट हैं, तो सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के लिए हम या तो चुनते हैं, या वैसे भी, क्योंकि वे एक दूसरे से भिन्न नहीं हैं और हम गणना समाप्त करते हैं। यदि कम से कम एक स्थिति (1.6) संतुष्ट नहीं है, तो हम अगले चरण पर जाते हैं।

चौथा। आइए निम्नलिखित पुनरावृत्ति को निष्पादित करें, अर्थात। सिस्टम के दाईं ओर (1.1) हम पहले सन्निकटन के घटकों को प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरे सन्निकटन के घटकों की गणना करते हैं
, कहाँ पे

पाँचवाँ। चलो देखते है
और पर, यानी आइए हम इन सन्निकटनों के लिए स्थिति (1.6) की जाँच करें। यदि सभी शर्तें (1.6) पूरी होती हैं, तो सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के लिए हम या तो चुनते हैं, या वैसे भी, क्योंकि वे एक दूसरे से अधिक नहीं से भिन्न होते हैं। अन्यथा, हम दूसरे सन्निकटन के घटकों को सिस्टम के दाईं ओर (1.1) में प्रतिस्थापित करके अगले पुनरावृत्ति का निर्माण करेंगे।

पुनरावृत्तियों को दो सन्निकट अनुमानों तक बनाया जाना चाहिए
और एक दूसरे से से अधिक भिन्न नहीं होंगे।

सिस्टम (1.1) को हल करने के लिए पुनरावृति विधि का कार्य सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है

सूत्र (1.7) के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिथम निम्नानुसार हो सकता है।

सिस्टम (1.1) के लिए पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तें हैं

1.
, .

2.
,
.

3.

2. सरल पुनरावृति की विधि।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणाली को फॉर्म में दिया जाना चाहिए

(2.1)

सिस्टम (2.1) को सरल पुनरावृति की विधि से हल करने के लिए, इसे पहले फॉर्म में कम किया जाना चाहिए

(2.2)

सिस्टम में (2.2) -वाँ समीकरण प्रणाली (2.1) का -वाँ समीकरण है, जिसे -वें अज्ञात के संबंध में हल किया गया है (
).

प्रणाली (2.1) को हल करने की विधि, जिसमें पुनरावृत्ति विधि द्वारा प्रणाली (2.2) के बाद के समाधान के साथ इसे प्रणाली (2.2) में कम करना शामिल है, प्रणाली (2.1) के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि कहलाती है।

इस प्रकार, सिस्टम (2.1) को हल करने के लिए सरल पुनरावृति विधि के कार्य सूत्र का रूप होगा

(2.3)

सूत्र (2.3) के रूप में लिखा जा सकता है

सूत्र (2.4) का उपयोग करके सिस्टम (2.1) के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिथ्म निम्नानुसार हो सकता है।

इस एल्गोरिथ्म को ज्यामितीय रूप से लिखा जा सकता है।

सिस्टम (2.1) के लिए सरल पुनरावृति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तों का रूप है

1.
, .

2.
,
.

3.

3. स्थिर सीडेल विधि।

SLAE को हल करने के लिए सीडेल विधि पुनरावृत्ति विधि से भिन्न है, जिसमें -वें घटक के लिए कुछ सन्निकटन प्राप्त करने के बाद, हम तुरंत इसका उपयोग निम्नलिखित को खोजने के लिए करते हैं
,
, …, वें घटक। यह दृष्टिकोण पुनरावृति विधि की तुलना में सेडेल विधि के अभिसरण की उच्च दर प्रदान करना संभव बनाता है।

बता दें कि SLAE को फॉर्म में दिया गया है

(3.1)

होने देना
- सटीक समाधान के लिए शून्य सन्निकटन
सिस्टम (3.1)। और मिल जाए -वाँ सन्निकटन
. आइए घटकों को परिभाषित करें
सूत्र द्वारा वें सन्निकटन

(3.2)

सूत्रों (3.2) को संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है

,
,
(3.3)

सूत्र (3.3) का उपयोग करके सिस्टम (3.1) को हल करने के लिए सेडेल विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिथ्म निम्नानुसार हो सकता है।

1. आइए हम चुनें, उदाहरण के लिए,
,

2. चलो ।

3. सभी के लिए हम गणना करते हैं।

4. सभी के लिए, शर्तों की जाँच करें
.

5. यदि आइटम 4 में सभी शर्तें संतुष्ट हैं, तो सिस्टम (3.1) के अनुमानित समाधान के लिए हम या तो चुनते हैं और गणना समाप्त करते हैं। यदि आइटम 4 में कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो हम आइटम 6 पर जाते हैं।

6. हम सेट करते हैं और आइटम 3 पर जाते हैं।

इस एल्गोरिथ्म को ज्यामितीय रूप से लिखा जा सकता है।

सिस्टम (3.1) के लिए सेडेल विधि के अभिसरण के लिए एक पर्याप्त स्थिति का रूप है
, .

4. गैर-स्थिर सीडेल विधि।

SLAE (3.1) को हल करने की यह विधि सीडेल विधि के अभिसरण की एक उच्च दर प्रदान करती है।

सिस्टम (3.1) के लिए -वें सन्निकटन और -वें सन्निकटन के घटकों को किसी तरह से पाया जाना चाहिए।

सुधार वेक्टर की गणना करें

आइए मूल्यों की गणना करें

, (4.2)

मात्राओं को व्यवस्थित करें
, घटते क्रम में।

उसी क्रम में, हम सिस्टम (3.1) में समीकरणों और इस सिस्टम में अज्ञात को फिर से लिखते हैं। रैखिकबीजगणिततथा गैर रेखीय ... प्रबंधनके लियेप्रयोगशाला काम करता हैपर ... methodologicalनिर्देश के लियेव्यावहारिककाम करता हैपर के लियेछात्रों ...

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- प्राकृतिक विज्ञान (1)

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न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि भी कहा जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन के मूल (शून्य) को खोजने के लिए पुनरावृत्त संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643-1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जिनके नाम पर उन्हें प्रसिद्धि मिली।

विधि का वर्णन इसहाक न्यूटन ने पाण्डुलिपि डी एनालिसिस पर इक्वेशनस न्यूमेरो टर्मिनोरम इन्फिनिटास (लेट. ।के बारे मेंअनंत श्रृंखला के समीकरणों द्वारा विश्लेषण), 1669 में बैरो को संबोधित किया गया था, और डी मेटोडिस फ्लक्सियोनम एट सेरीरम इनफिनिटरम (अव्य। प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि) या जियोमेट्रिया एनालिटिका ( lat.विश्लेषणात्मकज्यामिति) न्यूटन के संग्रह में, जिसे 1671 में लिखा गया था। हालांकि, विधि का वर्णन उनकी वर्तमान प्रस्तुति से काफी भिन्न था: न्यूटन ने अपनी पद्धति को विशेष रूप से बहुपदों पर लागू किया। उन्होंने क्रमिक सन्निकटन x n की गणना नहीं की, बल्कि बहुपदों के एक क्रम की गणना की, और परिणामस्वरूप उन्होंने एक अनुमानित समाधान x प्राप्त किया।

विधि पहली बार 1685 में जॉन वालिस द्वारा ग्रंथ बीजगणित में प्रकाशित हुई थी, जिनके अनुरोध पर स्वयं न्यूटन ने इसका संक्षेप में वर्णन किया था। 1690 में, जोसेफ रैफसन ने एनालिसिस इक्वेशनम यूनिवर्सलिस (अव्य।) में एक सरलीकृत विवरण प्रकाशित किया। समीकरणों का सामान्य विश्लेषण)।रैफसन ने न्यूटन की विधि को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय के रूप में देखा और इसके अनुप्रयोग को बहुपदों तक सीमित कर दिया, लेकिन उन्होंने न्यूटन द्वारा उपयोग किए जाने वाले बहुपदों के अनुक्रम को समझने में अधिक कठिन के बजाय x n के क्रमिक सन्निकटन पर आधारित विधि का वर्णन किया।

अंत में, 1740 में, थॉमस सिम्पसन द्वारा न्यूटन की विधि को व्युत्पन्न का उपयोग करके गैर-रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए प्रथम क्रम पुनरावृत्त विधि के रूप में वर्णित किया गया था, जैसा कि यहां प्रस्तुत किया गया है। उसी प्रकाशन में, सिम्पसन ने दो समीकरणों की एक प्रणाली के मामले में विधि को सामान्यीकृत किया और नोट किया कि व्युत्पन्न या ढाल के शून्य को खोजकर न्यूटन की विधि को अनुकूलन समस्याओं पर भी लागू किया जा सकता है।

इस पद्धति के अनुसार, किसी फ़ंक्शन की जड़ को खोजने की समस्या फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर प्लॉट किए गए स्पर्शरेखा के भुज अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु को खोजने की समस्या को कम कर देती है।

चित्र एक . समारोह परिवर्तन ग्राफ

फ़ंक्शन ग्राफ़ के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा रेखा, विचाराधीन बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है, जो बदले में कोण α () के स्पर्शरेखा द्वारा निर्धारित की जाती है। भुज अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को समकोण त्रिभुज में निम्नलिखित संबंध के आधार पर निर्धारित किया जाता है: कोण की स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में त्रिकोण के आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात से निर्धारित होता है। इस प्रकार, प्रत्येक चरण में, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा अगले सन्निकटन के बिंदु पर निर्मित होती है . अक्ष के साथ स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदुबैल दृष्टिकोण का अगला बिंदु होगा. विचाराधीन विधि के अनुसार, रूट के अनुमानित मूल्य की गणनामैं-पुनरावृत्ति सूत्र के अनुसार की जाती है:

सीधी रेखा के ढलान को प्रत्येक चरण में सर्वोत्तम तरीके से समायोजित किया जाता है, हालाँकि, आपको इस तथ्य पर ध्यान देना चाहिए कि एल्गोरिथ्म ग्राफ़ की वक्रता को ध्यान में नहीं रखता है और इसलिए, गणना के दौरान, यह अज्ञात रहता है जिसमें जिस दिशा में ग्राफ विचलित हो सकता है।

पुनरावृत्त प्रक्रिया के अंत की शर्त निम्नलिखित शर्त की पूर्ति है:

कहाँ पे ˗ जड़ का निर्धारण करने में अनुमेय त्रुटि।

विधि में द्विघात अभिसरण है। अभिसरण की द्विघात दर का अर्थ है कि सन्निकटन में सही अंकों की संख्या प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ दोगुनी हो जाती है।

गणितीय औचित्य

एक वास्तविक फलन दिया जाए, जो विचाराधीन अनुभाग पर परिभाषित और निरंतर है। विचार किए गए कार्य की वास्तविक जड़ को खोजना आवश्यक है।

समीकरण की व्युत्पत्ति सरल पुनरावृति की विधि पर आधारित है, जिसके अनुसार समीकरण को किसी फलन के समतुल्य समीकरण में घटाया जाता है। आइए हम संकुचन मानचित्रण की अवधारणा का परिचय दें, जिसे संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है।

अगले सन्निकटन के बिंदु पर विधि के सर्वोत्तम अभिसरण के लिए शर्त पूरी होनी चाहिए। इस आवश्यकता का अर्थ है कि फलन का मूल फलन के चरम के संगत होना चाहिए।

संकुचन मानचित्रण का व्युत्पन्ननिम्नलिखित रूप में परिभाषित किया गया है:

आइए इस अभिव्यक्ति से एक चर व्यक्त करेंपहले स्वीकृत कथन के अधीन है कि इसके लिए शर्त सुनिश्चित करना आवश्यक है। परिणामस्वरूप, हमें चर निर्धारित करने के लिए एक व्यंजक प्राप्त होता है :

इसे ध्यान में रखते हुए, संकुचन समारोह रिसेप्शन इस प्रकार है:

इस प्रकार, समीकरण के लिए एक संख्यात्मक समाधान खोजने के लिए एल्गोरिथ्म को पुनरावृत्त गणना प्रक्रिया में घटा दिया गया है:

विधि का उपयोग करके एक अरेखीय समीकरण की जड़ खोजने के लिए एल्गोरिथम

1. फ़ंक्शन के रूट के अनुमानित मान का शुरुआती बिंदु सेट करें, साथ ही गणना त्रुटि (छोटी सकारात्मक संख्या) और प्रारंभिक पुनरावृत्ति चरण ().

2. सूत्र के अनुसार फलन के मूल के अनुमानित मान की गणना करें:

3. हम निर्दिष्ट सटीकता के लिए रूट के अनुमानित मूल्य की जाँच करते हैं, निम्न के मामले में:

यदि दो क्रमिक अनुमानों के बीच का अंतर निर्दिष्ट सटीकता से कम हो जाता है, तो पुनरावृत्त प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।

यदि दो क्रमिक अनुमानों का अंतर आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंचता है, तो पुनरावृत्त प्रक्रिया को जारी रखना और विचाराधीन एल्गोरिथम के चरण 2 पर जाना आवश्यक है।

समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण

विधि के अनुसारन्यूटन एक चर के साथ एक समीकरण के लिए

एक उदाहरण के रूप में, विधि द्वारा एक अरैखिक समीकरण के समाधान पर विचार करेंन्यूटन एक चर के साथ एक समीकरण के लिए. जड़ को पहले सन्निकटन के रूप में सटीकता के साथ पाया जाना चाहिए.

एक सॉफ्टवेयर पैकेज में एक अरैखिक समीकरण को हल करने का एक प्रकारMathCADचित्र 3 में दिखाया गया है।

गणना परिणाम, अर्थात् रूट के अनुमानित मूल्य में परिवर्तन की गतिशीलता, साथ ही पुनरावृत्ति चरण से गणना त्रुटियां, ग्राफिकल रूप में प्रस्तुत की जाती हैं (चित्र 2 देखें)।

रेखा चित्र नम्बर 2. एक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन की गणना के परिणाम

श्रेणी में समीकरण की जड़ के अनुमानित मूल्य की खोज करते समय निर्दिष्ट सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, 4 पुनरावृत्तियों को करना आवश्यक है। अंतिम पुनरावृति चरण में, अरैखिक समीकरण के मूल का अनुमानित मान मान द्वारा निर्धारित किया जाएगा: .

चित्र 3 . कार्यक्रम लिस्टिंग मेंMathCAD

एक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन की विधि में संशोधन

न्यूटन की पद्धति में कई संशोधन हैं, जिनका उद्देश्य कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया को सरल बनाना है।

सरलीकृत न्यूटन की विधि

न्यूटन की विधि के अनुसार, प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण पर फलन f(x) के व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है, जिससे कम्प्यूटेशनल लागत में वृद्धि होती है। प्रत्येक गणना चरण में व्युत्पन्न की गणना से जुड़ी लागत को कम करने के लिए, आप बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न f'(x 0) के साथ सूत्र में बिंदु x n पर व्युत्पन्न f'(x n) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। गणना की इस पद्धति के अनुसार, रूट का अनुमानित मान निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:संशोधित न्यूटन की विधि

न्यूटन की अंतर विधि

परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन f(x) की जड़ का अनुमानित मूल्य न्यूटन की अंतर विधि की अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाएगा:

न्यूटन की दो चरण विधि

न्यूटन की विधि के अनुसार, प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण पर फलन f(x) के व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है, जो हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है, और कभी-कभी व्यावहारिक रूप से असंभव होता है। यह विधि आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को अंतर अनुपात (अनुमानित मान) से बदलने की अनुमति देती है:

परिणामस्वरूप, फलन f(x) के मूल का अनुमानित मान निम्नलिखित व्यंजक द्वारा निर्धारित किया जाएगा:

कहाँ पे

चित्र 5 . न्यूटन की दो चरण विधि

छेदक विधि एक दो-चरणीय विधि है, जो कि एक नया सन्निकटन हैदो पिछले पुनरावृत्तियों द्वारा निर्धारिततथा । विधि के लिए दो प्रारंभिक अनुमानों की आवश्यकता होती हैतथा । विधि के अभिसरण की दर रैखिक होगी।

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फॉर्म के एन अज्ञात के साथ एन गैर-रैखिक बीजगणितीय या पारलौकिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान खोजने की समस्या

	च 1(एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन) \u003d 0,
	च 2(एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन) \u003d 0,
	……………………
	f n (x 1 , x 2 ,… x n ) = 0,

व्यापक रूप से कम्प्यूटेशनल अभ्यास में माना जाता है। समीकरणों की समान प्रणाली उत्पन्न हो सकती है, उदाहरण के लिए, गैर-रैखिक भौतिक प्रणालियों के संख्यात्मक सिमुलेशन में उनके स्थिर राज्यों की खोज के चरण में। कई मामलों में, किसी अन्य कम्प्यूटेशनल समस्या को हल करने की प्रक्रिया में, फॉर्म (6.1) की प्रणाली अप्रत्यक्ष रूप से प्राप्त की जाती है। उदाहरण के लिए, जब कई चर के फ़ंक्शन को कम करने का प्रयास किया जाता है, तो कोई उन बिंदुओं को बहुआयामी स्थान में देख सकता है जहां फ़ंक्शन का ढाल शून्य है। इस मामले में, किसी को समीकरणों की प्रणाली (6.1) को बायीं तरफ, समन्वय अक्षों पर ढाल के अनुमानों के साथ हल करना होगा।

वेक्टर संकेतन में, प्रणाली (6.1) को अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है

कार्यों के सदिश स्तंभ, प्रतीक () टी ट्रांसपोन के संचालन को दर्शाता है-

गैर-रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजना एक गैर-रैखिक समीकरण को हल करने की तुलना में कहीं अधिक कठिन कार्य है। फिर भी, गैर-रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए कई पुनरावृत्त तरीकों को भी गैर-रैखिक समीकरणों की प्रणालियों में विस्तारित किया जा सकता है।

सरल पुनरावृत्ति विधि

गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए सरल पुनरावृति की विधि अनिवार्य रूप से एक समीकरण के लिए समान नाम की विधि का सामान्यीकरण है। यह इस तथ्य पर आधारित है कि समीकरणों की प्रणाली (6.1) रूप में कम हो जाती है

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n ) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n ) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

और पुनरावृति सूत्र के अनुसार की जाती है

x 1 (k + 1) \u003d g 1 (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)), x 2 (k + 1) \u003d g 2 (x 1 (k) ), एक्स 2 (के ), … , एक्स एन (के )) ,

……………………………

x n (k + 1 )= g n (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) ।

यहाँ सुपरस्क्रिप्ट सन्निकटन संख्या को इंगित करता है। पुनरावृत्त प्रक्रिया (6.3) कुछ प्रारंभिक सन्निकटन के साथ शुरू होती है

(x 1 (0) ,x 2 (0 ),… ,xn (0 ) ) और वृद्धि मॉड्यूल तक जारी रखें

एक k-पुनरावृत्ति के बाद सभी तर्क दिए गए मान से कम नहीं होंगे ε :x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

हालांकि सरल पुनरावृत्ति की विधि सीधे समाधान की ओर ले जाती है और प्रोग्राम करना आसान है, इसमें दो महत्वपूर्ण कमियां हैं। उनमें से एक धीमा अभिसरण है। दूसरा यह है कि यदि प्रारंभिक सन्निकटन को सही समाधान (X 1 ,X 2 ,… ,X n ) से दूर चुना जाता है, तो अभिसरण

तरीके की गारंटी नहीं है। यह स्पष्ट है कि प्रारंभिक सन्निकटन को चुनने की समस्या, जो कि एक समीकरण के लिए भी सरल नहीं है, अरैखिक प्रणालियों के लिए बहुत जटिल हो जाती है।

अरैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

	(एक्स...		) =0
एफ एन (एक्स 1 ...		एक्स एन) = 0।

सामान्य गैर-रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए कोई सीधा तरीका नहीं है। केवल कुछ मामलों में सिस्टम (4.1) को सीधे हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो समीकरणों के मामले में, कभी-कभी एक अज्ञात को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना संभव होता है और इस प्रकार एक अज्ञात के संबंध में एक अरेखीय समीकरण को हल करने के लिए समस्या को कम कर देता है।

गैर-रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आमतौर पर पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग किया जाता है।

न्यूटन की विधि

एक समीकरण F (x) = 0 के मामले में, वक्र y = F (x) के स्पर्शरेखा के समीकरणों को लिखकर न्यूटन की विधि का एल्गोरिथ्म आसानी से प्राप्त किया गया था। समीकरणों की प्रणाली के लिए न्यूटन की विधि टेलर श्रृंखला में कार्यों एफ 1 (एक्स 1 ... एक्स एन) के विस्तार के उपयोग पर आधारित है, और इसमें शामिल शब्द

सभी दूसरे (और उच्च क्रम) डेरिवेटिव को छोड़ दिया जाता है। सिस्टम के अज्ञात के अनुमानित मान (4.1) के बराबर होने दें

जिम्मेदारी से a 1 ,a 2 ,....,a n । समस्या यह है कि वेतन वृद्धि (द्वारा

संपादन) इन मूल्यों के लिए	एक्स 1, एक्स 2, ...,	x n , जिसके कारण सिस्टम का समाधान
विषयों को इस प्रकार लिखा जाएगा:
एक्स 1= ए 1+ एक्स 1,	एक्स 2 = एक 2+	x 2 , .... ,x n = a n + x n .

टेलर श्रृंखला में विस्तार को ध्यान में रखते हुए, आइए हम समीकरण (4.1) के बाएँ हाथ के पक्षों का विस्तार करें, स्वयं को सापेक्ष रैखिक पदों तक सीमित करते हुए

वृद्धि:
F1(x1...xn) ≈ F1(a1...an) +	∂ एफ 1	एक्स 1+		+ ∂ एफ 1		एक्सएन,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... a ) +	∂F2	एक्स 1+			∂F2	एक्सएन,
	∂x				∂x
...................................
एफ एन (एक्स 1 ... एक्स एन) ≈ एफ एन (ए 1 ... ए एन) +	∂Fn	एक्स 1+			∂Fn	एक्सएन।
	∂x				∂x

प्रणाली (4.1) में प्रतिस्थापित करके, हम वृद्धि के संबंध में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

∂ एफ 1			∂ एफ 1			+ ∂ एफ 1			= -एफ,
∂x			∂x			∂x
∂F2			∂F2				∂F2		= -एफ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂Fn			∂Fn				∂Fn		= -एफ।
∂x			∂x				∂x
मान एफ 1 ...				डेरिवेटिव				पर गणना की

x 2 \u003d a 2, ... x n \u003d a n।

सिस्टम का निर्धारक (4.3) जैकबियन है:

∂ एफ 1		∂ एफ 1
∂x		∂x
∂F2		∂F2
जे = ∂ एक्स		∂x।

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

एक्स 1 = ए 1,

प्रणाली के लिए एक अद्वितीय समाधान के अस्तित्व के लिए, जैकोबियन को प्रत्येक पुनरावृत्ति पर शून्य से अलग होना चाहिए।

इस प्रकार, न्यूटन विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करने की पुनरावृत्त प्रक्रिया में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करके वेतन वृद्धि x 1, x 2, ..., x n को प्रत्येक पुनरावृत्ति पर अज्ञात के मानों को निर्धारित करना शामिल है। (4.3)। गिनती बंद हो जाती है अगर सभी वेतन वृद्धि पूर्ण मूल्य में छोटी हो जाती है: maxx i< ε . В ме-

अच्छा अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए प्रारंभिक सन्निकटन के अच्छे विकल्प के लिए न्यूटन की विधि भी महत्वपूर्ण है। सिस्टम समीकरणों की संख्या में वृद्धि के साथ अभिसरण बिगड़ता है।

उदाहरण के तौर पर, दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग करने पर विचार करें:

∂ ∂ एफ 1. x

दाईं ओर के मानों की गणना x = a, y = b पर की जाती है।

अगर शर्तें पूरी होती हैं		वाई - बी		< εи		एक्स - ए			किसी दिए गए एम के लिए, फिर
x और y मान आउटपुट हैं,	अन्यथा								आउटपुट होता है
एक्स, वाई, एम।



कीवर्ड:

उद्देश्य: एक अज्ञात के साथ अरैखिक समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करें और प्रायोगिक कार्य में उनका परीक्षण करें।

सौंपे गए कार्य:

1. विशेष साहित्य का विश्लेषण करने के लिए और गैर-रैखिक समीकरणों को हल करने के सबसे तर्कसंगत तरीकों को चुनने के लिए, सभी हाई स्कूल स्नातकों को इस विषय का गहराई से अध्ययन करने और आत्मसात करने की अनुमति देता है।
2. आईसीटी का उपयोग करके अरैखिक समीकरणों को हल करने के लिए कार्यप्रणाली के कुछ पहलुओं का विकास करें।
3. अरैखिक समीकरणों को हल करने के तरीके सीखें:

- चरण विधि

- द्विभाजन विधि

- न्यूटन की विधि

परिचय।

गणितीय साक्षरता के बिना भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अन्य विषयों की समस्याओं को हल करने के तरीकों में सफलतापूर्वक महारत हासिल करना असंभव है। प्राकृतिक विज्ञानों का पूरा परिसर गणितीय ज्ञान के आधार पर निर्मित और विकसित होता है। उदाहरण के लिए, गणितीय भौतिकी की कई सामयिक समस्याओं के अध्ययन से अरैखिक समीकरणों को हल करने की आवश्यकता होती है। अरैखिक समीकरणों का समाधान अरेखीय प्रकाशिकी, प्लाज्मा भौतिकी, अतिचालकता के सिद्धांत और निम्न तापमान भौतिकी में आवश्यक है। इस विषय पर पर्याप्त मात्रा में साहित्य उपलब्ध है, लेकिन कई पाठ्यपुस्तकों और लेखों को हाई स्कूल के छात्र के लिए समझना मुश्किल है। इस पत्र में भौतिकी और रसायन विज्ञान की लागू समस्याओं को हल करने में उपयोग किए जा सकने वाले अरैखिक समीकरणों को हल करने की विधियों पर विचार किया गया है। एक दिलचस्प पहलू गणित में समीकरणों और समस्याओं के समाधान के लिए सूचना प्रौद्योगिकी का अनुप्रयोग है।

चरण विधि।

इसे समीकरण F(x)=0 के रूप के एक अरैखिक समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक होने दें। आइए यह भी मान लें कि हमें कुछ खोज अंतराल दिया गया है। खोज अंतराल की बाईं सीमा से शुरू करते हुए, समीकरण की पहली जड़ वाले लंबाई h के अंतराल [а,b] को खोजने के लिए आवश्यक है।

चावल। 1. चरण विधि

ऐसी समस्या को हल करने के कई तरीके हैं। असमानताओं को हल करने के लिए चरण विधि संख्यात्मक तरीकों में सबसे सरल है, लेकिन उच्च सटीकता प्राप्त करने के लिए, चरण को महत्वपूर्ण रूप से कम करना आवश्यक है, और इससे गणना समय बहुत बढ़ जाता है। इस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम में दो चरण होते हैं।

मैंमंच। जड़ खंड।

इस स्तर पर, खंड निर्धारित किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर समीकरण का केवल एक मूल होता है। इस चरण को लागू करने के लिए कई विकल्प हैं:

• हम एक्स के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं (अधिमानतः कुछ काफी छोटे कदम के साथ) और देखते हैं कि फ़ंक्शन कहां बदलता है। यदि फ़ंक्शन ने संकेत बदल दिया है, तो इसका मतलब है कि एक्स के पिछले और वर्तमान मूल्य के बीच खंड में एक जड़ है (यदि फ़ंक्शन वृद्धि / कमी की प्रकृति को नहीं बदलता है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि केवल एक ही है इस अंतराल में जड़)।
• ग्राफिक विधि। हम एक ग्राफ बनाते हैं और मूल्यांकन करते हैं कि एक जड़ किस अंतराल पर है।
• हम किसी विशेष फ़ंक्शन के गुणों की जांच करते हैं।

द्वितीयमंच। जड़ शोधन।

इस स्तर पर, पहले से निर्धारित समीकरण के मूलों का मान निर्दिष्ट किया जाता है। एक नियम के रूप में, इस स्तर पर पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, आधा विभाजन (डाइकोटॉमी) की विधि या न्यूटन की विधि।

आधा विभाजन विधि

निर्दिष्ट सटीकता ई तक पहुंचने तक समीकरण F(x) = 0 की अनूठी जड़ वाले अंतराल के क्रमिक संकुचन के आधार पर समीकरणों को हल करने के लिए एक तेज़ और काफी सरल संख्यात्मक विधि। इस विधि का उपयोग आमतौर पर द्विघात समीकरणों और समीकरणों को हल करते समय किया जाता है। उच्च डिग्री का। हालाँकि, इस पद्धति में एक महत्वपूर्ण कमी है - यदि खंड [ए, बी] में एक से अधिक रूट हैं, तो इसकी मदद से अच्छे परिणाम प्राप्त करना संभव नहीं होगा।

चावल। 2. द्विभाजन विधि

इस विधि का एल्गोरिदम निम्न है:

- खंड [a;b]: x=(a+b)/2 के मध्य में मूल x का एक नया सन्निकटन निर्धारित करें।

- बिंदु ए और एक्स: एफ (ए) और एफ (एक्स) पर फ़ंक्शन मान खोजें।

- स्थिति की जाँच करें F(a)*F(x)

- चरण 1 पर जाएँ और खंड को फिर से आधे में विभाजित करें। स्थिति |F(x)| तक एल्गोरिद्म जारी रखें

न्यूटन की विधि

संख्यात्मक समाधान विधियों का सबसे सटीक; बहुत जटिल समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त है, लेकिन प्रत्येक चरण पर डेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता से जटिल है। यह है कि यदि x n समीकरण के मूल का कुछ सन्निकटन है , तो अगले सन्निकटन को बिंदु x n पर खींचे गए फलन f(x) की स्पर्शरेखा के मूल के रूप में परिभाषित किया गया है।

फलन f(x) के बिंदु x n पर स्पर्श रेखा के समीकरण का रूप है:

स्पर्शरेखा समीकरण में, y \u003d 0 और x \u003d x n +1 डालते हैं।

फिर न्यूटन की विधि में अनुक्रमिक गणनाओं का एल्गोरिथम इस प्रकार है:

स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण द्विघात है, अभिसरण का क्रम 2 है।

इस प्रकार, न्यूटन की स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण बहुत तेज है।

किसी भी बदलाव के बिना, विधि को जटिल मामले में सामान्यीकृत किया जाता है। यदि जड़ x i दूसरी बहुलता और उच्चतर की जड़ है, तो अभिसरण का क्रम गिर जाता है और रैखिक हो जाता है।

न्यूटन की विधि के नुकसान में इसकी स्थानीयता शामिल है, क्योंकि यह एक मनमाना प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण की गारंटी है, अगर स्थिति , अन्यथा रूट के किसी पड़ोस में ही अभिसरण होता है।

न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) का प्रयोग आमतौर पर समीकरण के रूप में किया जाता है एफ (एक्स) = 0एक जड़ है, और निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1) समारोह वाई = एफ (एक्स)के लिए परिभाषित और निरंतर है;

2) च(ए) एफ(बी) (फ़ंक्शन खंड के सिरों पर विभिन्न संकेतों के मान लेता है [ ए; बी]);

3) डेरिवेटिव च"(एक्स)तथा च""(एक्स)खंड पर चिह्न रखें [ ए; बी] (यानी फ़ंक्शन च (एक्स)खंड पर या तो बढ़ता है या घटता है [ ए; बी], उत्तलता की दिशा बनाए रखते हुए);

विधि का अर्थ इस प्रकार है: खंड पर [ ए; बी] ऐसी संख्या चुनी जाती है एक्स 0,जिसके अंतर्गत च (x0)के समान चिन्ह है च""(x0),यानी हालत f(x 0) f""(x) > 0. इस प्रकार, भुज वाला बिंदु चुना जाता है X 0, जहां वक्र की स्पर्शरेखा है वाई = एफ (एक्स)खंड पर [ ए; बी] अक्ष को पार करता है बैल. एक बिंदु के लिए X 0सबसे पहले, खंड के सिरों में से एक को चुनना सुविधाजनक है।

आइए इस एल्गोरिथ्म पर एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।

हमें एक बढ़ता हुआ कार्य दिया जाए वाई = एफ (एक्स) = एक्स 2-2,अंतराल पर निरंतर (0;2), और होने च "(x)=2x>0तथा च ""(एक्स) = 2> 0.

हमारे मामले में, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: वाई-वाई 0 \u003d 2x 0 (एक्स-एक्स 0)।पर एक बिंदु x 0 के रूप में एक बिंदु चुनें बी 1 (बी; एफ (बी)) = (2,2)।हम समारोह के लिए एक स्पर्शरेखा खींचते हैं वाई = एफ (एक्स)बिंदु B 1 पर, और स्पर्शरेखा और अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें बैलदूरसंचार विभाग एक्स 1. हमें पहली स्पर्शरेखा का समीकरण मिलता है: y-2=2 2(x-2), y=4x-6। बैल: x 1 =

चावल। 3. फलन f(x) के ग्राफ की पहली स्पर्श रेखा का निर्माण

वाई = एफ (एक्स) बैलएक बिंदु के माध्यम से एक्स 1, हमें एक बिंदु मिलता है बी 2 =(1.5; 0.25). फ़ंक्शन के लिए फिर से एक स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ (एक्स)बिंदु B 2 पर, और स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें और बैलदूरसंचार विभाग x2.

दूसरी स्पर्शरेखा का समीकरण: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y=3x - 4.25।स्पर्शरेखा और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु बैल: x 2 =.

तब हम फलन का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं वाई = एफ (एक्स)और अक्ष के लंबवत बैलबिंदु x 2 के माध्यम से, हम बिंदु B 3 और इसी तरह प्राप्त करते हैं।

चावल। 4. फलन f(x) के ग्राफ की दूसरी स्पर्श रेखा का निर्माण

जड़ का पहला सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

= 1.5.

जड़ का दूसरा सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

=

जड़ का तीसरा सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस तरह , मैंजड़ का -वाँ सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

गणना तब तक की जाती है जब तक कि उत्तर मिलान में आवश्यक दशमलव स्थान या निर्दिष्ट सटीकता ई तक नहीं पहुंच जाती - जब तक असमानता पूरी नहीं हो जाती |xi-xi-1|

हमारे मामले में, आइए तीसरे चरण में प्राप्त सन्निकटन की वास्तविक उत्तर के साथ तुलना करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही तीसरे चरण में हमें 0.000002 से कम त्रुटि मिली।

सीएडी के साथ समीकरण हल करनाMathCAD

फॉर्म के सरलतम समीकरणों के लिए एफ(एक्स) = 0 फ़ंक्शन का उपयोग करके MathCAD में समाधान पाया जाता है जड़.

जड़(एफ (एक्स 1 , एक्स 2 , … ) , एक्स 1 , ए, बी ) - एक मान लौटाता है एक्स 1 , खंड से संबंधित है [ ए, बी ] , जिसमें अभिव्यक्ति या कार्य एफ (एक्स ) 0 बन जाता है। इस फ़ंक्शन के दोनों तर्क स्केलर होने चाहिए। फ़ंक्शन एक स्केलर देता है।

चावल। 5. MathCAD (रूट फ़ंक्शन) में एक गैर-रैखिक समीकरण को हल करना

यदि इस फ़ंक्शन को लागू करने के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि होती है, तो इसका मतलब यह हो सकता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है, या समीकरण की जड़ें प्रारंभिक सन्निकटन से दूर स्थित हैं, अभिव्यक्ति स्थानीय है मैक्सतथा मिनटप्रारंभिक सन्निकटन और जड़ों के बीच।

त्रुटि का कारण निर्धारित करने के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करना आवश्यक है एफ(एक्स). यह समीकरण की जड़ों की उपस्थिति का पता लगाने में मदद करेगा एफ(एक्स) = 0 और, यदि वे हैं, तो उनके अनुमानित मान निर्धारित करें। मूल के प्रारंभिक सन्निकटन को जितना अधिक सटीक रूप से चुना जाता है, उतनी ही तेजी से इसका सटीक मान मिल जाएगा।

यदि प्रारंभिक सन्निकटन अज्ञात है, तो फ़ंक्शन का उपयोग करना उचित है हल करना . इस मामले में, यदि समीकरण में कई चर शामिल हैं, तो आपको हल कीवर्ड के बाद उन चरों की एक सूची निर्दिष्ट करनी होगी जिनके संबंध में समीकरण हल किया गया है।

चावल। 6. MathCAD में एक गैर-रैखिक समीकरण को हल करना (फ़ंक्शन हल करें)

निष्कर्ष

अध्ययन के दौरान, CAD MathCAD में प्रोग्रामिंग का उपयोग करके गणितीय विधियों और समीकरणों के समाधान दोनों पर विचार किया गया। अलग-अलग तरीकों के अपने फायदे और नुकसान हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक विधि या किसी अन्य का अनुप्रयोग दिए गए समीकरण की प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है। जिन समीकरणों को गुणनखंडन आदि के तरीकों से स्कूल में जाना जाता है, उन्हें अधिक जटिल तरीकों से हल करने का कोई मतलब नहीं है। एप्लाइड गणितीय समस्याएं जो भौतिकी और रसायन विज्ञान के लिए महत्वपूर्ण हैं और समीकरणों को हल करते समय जटिल कम्प्यूटेशनल संचालन की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, प्रोग्रामिंग की मदद से। वे न्यूटन की विधि द्वारा अच्छी तरह हल किए गए हैं।

मूलों को परिष्कृत करने के लिए, आप एक ही समीकरण को हल करने के लिए कई विधियों का प्रयोग कर सकते हैं। यह वह अध्ययन है जिसने इस कार्य का आधार बनाया। इसी समय, यह पता लगाना आसान है कि समीकरण के प्रत्येक चरण को हल करने में कौन सी विधि सबसे सफल है, और इस स्तर पर कौन सी विधि लागू नहीं करना बेहतर है।

अध्ययन सामग्री, एक ओर, गणितीय ज्ञान के विस्तार और गहनता में योगदान करती है, गणित में रुचि पैदा करती है। दूसरी ओर, तकनीकी और इंजीनियरिंग दिशा के पेशे को हासिल करने जा रहे लोगों के लिए वास्तविक गणित की समस्याओं को हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। इसलिए, यह कार्य आगे की शिक्षा के लिए महत्वपूर्ण है (उदाहरण के लिए, उच्च शिक्षण संस्थान में)।

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कीवर्ड: अरेखीय समीकरण, अनुप्रयुक्त गणित, MathCAD, न्यूटन की विधि, चरण विधि, द्विभाजन विधि।.

व्याख्या: यह लेख मैथकैड कंप्यूटर-एडेड डिज़ाइन सिस्टम का उपयोग करने सहित गैर-रैखिक समीकरणों को हल करने के तरीकों के अध्ययन के लिए समर्पित है। चरण विधि, आधा विभाजन और न्यूटन विधियों पर विचार किया जाता है, इन विधियों को लागू करने के लिए विस्तृत एल्गोरिदम दिए जाते हैं और इन विधियों का तुलनात्मक विश्लेषण किया जाता है।