रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्रैमर की विधि। क्रैमर का नियम

2. मैट्रिक्स विधि (इनवर्स मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।
3. समीकरणों के निकाय को हल करने की गॉस विधि।

क्रैमर की विधि।

क्रैमर की विधि का उपयोग रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है ( टूटना).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण पर सूत्र।
दिया गया:सिस्टम को क्रैमर की विधि से हल करें

चर के संबंध में एक्सतथा पर.
समाधान:
निर्धारकों की प्रणाली गणना के गुणांकों से बना मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें। :

आइए क्रैमर के सूत्र लागू करें और चर के मान ज्ञात करें:
तथा .
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चर के संबंध में एक्सतथा पर.
समाधान:


आइए इस निर्धारक में पहले कॉलम को सिस्टम के दाईं ओर से गुणांक के कॉलम से बदलें और इसका मान ज्ञात करें:

आइए एक समान क्रिया करते हैं, पहले निर्धारक में दूसरे कॉलम को बदलकर:

उपयुक्त क्रैमर के सूत्रऔर चर के मान खोजें:
तथा ।
उत्तर:
टिप्पणी:इस पद्धति का उपयोग उच्च आयामों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

टिप्पणी:यदि यह पता चला कि , और शून्य से विभाजित करना असंभव है, तो वे कहते हैं कि सिस्टम के पास कोई अनूठा समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम के पास या तो अपरिमित रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 2(समाधानों की अनंत संख्या):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चर के संबंध में एक्सतथा पर.
समाधान:
सिस्टम के गुणांक से बना मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें:

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों को हल करना।

सिस्टम के समीकरणों में से पहला एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सही है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर होता है)। ऐसे में एक ही समीकरण बचा है। यह चरों के बीच संबंध समीकरण है।
हमने पाया कि सिस्टम का समाधान समानता से संबंधित चर के मूल्यों की कोई जोड़ी है।
सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
इस संबंध समीकरण से y का मनमाना मान चुनकर और x की गणना करके विशेष समाधान निर्धारित किए जा सकते हैं।

आदि।
ऐसे अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
उत्तर:सामान्य निर्णय
निजी समाधान:

उदाहरण 3(कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:
सिस्टम के गुणांक से बना मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें:

आप क्रैमर के फ़ार्मुलों का उपयोग नहीं कर सकते। आइए इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए मान्य नहीं है (बेशक, -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक चर के किसी भी मान के लिए सही नहीं है, तो पूरे सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।
उत्तर:कोई समाधान नहीं

क्रैमर की विधि का उपयोग रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है जिसमें अज्ञात चर की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है और मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है। इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे कि क्रैमर विधि का उपयोग करके अज्ञात चर कैसे पाए जाते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं। उसके बाद, हम उदाहरणों की ओर मुड़ते हैं और क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के समाधान का विस्तार से वर्णन करते हैं।

पेज नेविगेशन।

क्रैमर की विधि - सूत्रों की व्युत्पत्ति।

आइए हमें फॉर्म के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जहाँ x 1 , x 2 , …, x n अज्ञात चर हैं, a i j , मैं = 1, 2, …, एन, जे = 1, 2, …, एन- संख्यात्मक गुणांक, बी 1, बी 2, ..., बी एन - मुक्त सदस्य। SLAE का समाधान मानों x 1 , x 2 , …, x n का ऐसा सेट है जिसके लिए सिस्टम के सभी समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं।

मैट्रिक्स रूप में, इस प्रणाली को A ⋅ X = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहां - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, इसके तत्व अज्ञात चर के गुणांक हैं, - मैट्रिक्स मुक्त शर्तों का एक स्तंभ है, और - मैट्रिक्स अज्ञात चर का एक स्तंभ है। अज्ञात चर x 1 , x 2 , …, x n खोजने के बाद, मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली का समाधान बन जाता है और समानता A ⋅ X = B एक पहचान में बदल जाती है।

हम मान लेंगे कि मैट्रिक्स ए गैर-डीजेनरेट है, अर्थात इसका निर्धारक गैर-शून्य है। इस मामले में, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर की विधि द्वारा पाया जा सकता है। (रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के सिस्टम को हल करने पर अनुभाग में सिस्टम को हल करने के तरीके पर चर्चा की गई है)।

क्रैमर की विधि मैट्रिक्स निर्धारक के दो गुणों पर आधारित है:

तो, चलिए अज्ञात चर x 1 खोजना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम के पहले समीकरण के दोनों हिस्सों को A 1 1 से गुणा करते हैं, दूसरे समीकरण के दोनों हिस्सों को - A 2 1 से, और इसी तरह n-th समीकरण के दोनों हिस्सों को - A n 1 ( अर्थात्, हम सिस्टम के समीकरणों को पहले मैट्रिक्स कॉलम A के संबंधित बीजगणितीय पूरक द्वारा गुणा करते हैं):

हम सिस्टम के समीकरण के सभी बाएं भागों को जोड़ते हैं, अज्ञात चर x 1, x 2, ..., x n के साथ शब्दों को समूहीकृत करते हैं, और इस योग को समीकरणों के सभी सही भागों के योग के बराबर करते हैं:

यदि हम निर्धारक के पहले आवाज वाले गुणों की ओर मुड़ते हैं, तो हमारे पास है

और पिछली समानता रूप लेती है

कहाँ पे

इसी प्रकार, हम x 2 पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम के समीकरणों के दोनों हिस्सों को मैट्रिक्स ए के दूसरे कॉलम के बीजगणितीय पूरक द्वारा गुणा करते हैं:

हम सिस्टम के सभी समीकरणों को जोड़ते हैं, अज्ञात चर x 1, x 2, ..., x n के साथ समूह बनाते हैं और निर्धारक के गुणों को लागू करते हैं:

कहाँ पे
.

शेष अज्ञात चर इसी प्रकार पाए जाते हैं।

अगर हम नामित करते हैं

तब हमें मिलता है क्रैमर विधि का उपयोग करके अज्ञात चर खोजने के सूत्र .

टिप्पणी।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली सजातीय है, अर्थात, , तो इसका केवल एक तुच्छ समाधान है (के लिए)। दरअसल, शून्य मुक्त शर्तों के लिए, सभी निर्धारक अशक्त होंगे क्योंकि उनमें अशक्त तत्वों का एक स्तंभ होगा। इसलिए सूत्र दे देंगे ।

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिथम।

चलो लिखो क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिथम.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक विषम प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है। हम सूत्र द्वारा इसके निर्धारक की गणना करते हैं :

चूंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक अशून्य है, SLAE का एक अनूठा समाधान है, और इसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है। हम निर्धारक लिखते हैं और। हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के पहले कॉलम को फ्री टर्म्स के कॉलम से बदलते हैं, और हमें निर्धारक मिलता है . इसी तरह, हम मुख्य मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम से बदलते हैं, और हमें मिलता है।

हम इन निर्धारकों की गणना करते हैं:

सूत्रों का उपयोग करके हम अज्ञात चर x 1 और x 2 पाते हैं :

चेक करते हैं। हम प्राप्त मूल्यों x 1 और x 2 को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करते हैं:

निकाय के दोनों समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, अत: हल सही निकलता है।

उत्तर:

.

मुख्य SLAE मैट्रिक्स के कुछ तत्व शून्य के बराबर हो सकते हैं। इस स्थिति में, निकाय के समीकरणों में संगत अज्ञात चर नहीं होंगे। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण।

क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

आइए सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखें सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स को देखने के लिए . सूत्र द्वारा इसका निर्धारक ज्ञात कीजिए

हमारे पास है

मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, इसलिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है। इसे क्रैमर विधि से ज्ञात करते हैं। निर्धारकों की गणना करें :

इस तरह,

उत्तर:

सिस्टम के समीकरणों में अज्ञात चर के पदनाम x 1 , x 2 , …, x n से भिन्न हो सकते हैं। यह निर्णय प्रक्रिया को प्रभावित नहीं करता है। लेकिन मुख्य मैट्रिक्स और क्रैमर विधि के आवश्यक निर्धारकों को संकलित करते समय सिस्टम के समीकरणों में अज्ञात चर का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस बिंदु को एक उदाहरण से समझाते हैं।

उदाहरण।

क्रैमर की विधि का उपयोग करके, तीन अज्ञात में तीन रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

इस उदाहरण में, अज्ञात चरों का एक अलग पदनाम है (x , y और z के बजाय x 1 , x 2 और x 3 )। यह समाधान के पाठ्यक्रम को प्रभावित नहीं करता है, लेकिन चर के अंकन से सावधान रहें। सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रूप में न लें . आपको सिस्टम के सभी समीकरणों में अज्ञात चरों को पहले क्रमबद्ध करना होगा। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखते हैं . अब सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है . आइए इसके निर्धारक की गणना करें:

मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है। इसे क्रैमर विधि से ज्ञात करते हैं। आइए निर्धारकों को लिखें (नोटेशन पर ध्यान दें) और उनकी गणना करें:

यह सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर खोजने के लिए बनी हुई है :

चेक करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मुख्य मैट्रिक्स को परिणामी समाधान से गुणा करते हैं (यदि आवश्यक हो, अनुभाग देखें):

नतीजतन, हमें समीकरणों की मूल प्रणाली की मुक्त शर्तों का एक स्तंभ मिला, इसलिए समाधान सही पाया गया।

उत्तर:

एक्स = 0, वाई = -2, जेड = 3।

उदाहरण।

क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें , जहाँ a और b कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं।

समाधान।

उत्तर:

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजें क्रैमर की विधि कुछ वास्तविक संख्या है।

समाधान।

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें: . भावों में एक अंतराल होता है, इसलिए किसी वास्तविक मान के लिए। इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर की विधि द्वारा पाया जा सकता है। हम गणना करते हैं और:

तरीकों क्रेमरतथा गाऊसीसबसे लोकप्रिय समाधानों में से एक टूटना. इसके अलावा, कुछ मामलों में विशिष्ट तरीकों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। सत्र करीब है, और अब उन्हें दोहराने या खरोंच से मास्टर करने का समय है। आज हम क्रैमर विधि द्वारा समाधान से निपटते हैं। आखिरकार, क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना एक बहुत ही उपयोगी कौशल है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली है:

मान सेट एक्स , जिस पर निकाय के समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, तंत्र का हल कहलाता है, एक तथा बी वास्तविक गुणांक हैं। दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों वाली एक सरल प्रणाली को मानसिक रूप से या एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करके हल किया जा सकता है। लेकिन SLAE में दो से अधिक चर (x) हो सकते हैं, और सरल स्कूल जोड़तोड़ यहाँ अपरिहार्य हैं। क्या करें? उदाहरण के लिए, क्रैमर की विधि द्वारा SLAE को हल करें!

तो सिस्टम रहने दो एन के साथ समीकरण एन अनजान।

ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है

यहां ए सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स है, एक्स तथा बी , क्रमशः, अज्ञात चर और मुक्त सदस्यों के स्तंभ मैट्रिक्स।

Cramer की विधि द्वारा SLAE समाधान

यदि मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है (मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है), सिस्टम को क्रैमर विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

क्रैमर विधि के अनुसार, समाधान सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

यहां डेल्टा मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और डेल्टा एक्स n-th - मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक से n-वें कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर निर्धारक प्राप्त किया जाता है।

यह क्रैमर की विधि का संपूर्ण बिंदु है। उपरोक्त सूत्रों द्वारा प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करना एक्स वांछित प्रणाली में, हम अपने समाधान की शुद्धता (या इसके विपरीत) के प्रति आश्वस्त हैं। सार को जल्दी से समझने में आपकी मदद करने के लिए, हम क्रैमर विधि द्वारा SLAE के विस्तृत समाधान का एक उदाहरण नीचे देते हैं:

भले ही आप पहली बार सफल न हों, निराश न हों! थोड़े से अभ्यास से आप धीरे-धीरे मेवों की तरह चटकने लगेंगे। इसके अलावा, अब एक नोटबुक पर ताक-झांक करना, बोझिल गणनाओं को हल करना और रॉड पर लिखना बिल्कुल आवश्यक नहीं है। क्रैमर विधि द्वारा SLAE को ऑनलाइन हल करना आसान है, केवल गुणांकों को समाप्त रूप में प्रतिस्थापित करके। आप क्रैमर विधि को हल करने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर आज़मा सकते हैं, उदाहरण के लिए, इस साइट पर।

और अगर सिस्टम जिद्दी निकला और हार नहीं मानी, तो आप हमेशा हमारे लेखकों से मदद मांग सकते हैं, उदाहरण के लिए। यदि सिस्टम में कम से कम 100 अज्ञात हैं, तो हम निश्चित रूप से इसे सही ढंग से और समय पर हल करेंगे!

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात हैं। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में क्रैमर की विधि का उपयोग किया जा सकता है; यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग उन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनके पास एक अद्वितीय समाधान है।

परिभाषा. निर्धारक, अज्ञात के गुणांक से बना है, जिसे सिस्टम का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्धारकों

संगत अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त शर्तों द्वारा प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर की प्रमेय. यदि प्रणाली का निर्धारक गैर-शून्य है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक ही समाधान है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर है। भाजक प्रणाली का निर्धारक है, और अंश निर्धारक है जो कि गुणांक को अज्ञात के साथ मुक्त शर्तों द्वारा प्रतिस्थापित करके प्रणाली के निर्धारक से प्राप्त किया जाता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए मान्य है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर की प्रमेयअपने पास:

तो, सिस्टम का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की समाधान विधि।

रेखीय समीकरणों के सिस्टम को हल करने में तीन मामले

जैसा कि से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेयरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई हल नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहलाते हैं असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक हल होता है, कहलाती है निश्चित, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो प्रणाली

.

क्रैमर के प्रमेय के आधार पर

………….
,

कहाँ पे
-

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक स्तंभ को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है:

उदाहरण 2

.

इसलिए, प्रणाली निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्र से हम पाते हैं:

इसलिए, (1; 0; -1) सिस्टम का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, Cramer सॉल्विंग मेथड का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों की प्रणाली में कोई चर नहीं हैं, तो निर्धारक में उनके अनुरूप तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम सिस्टम के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों की प्रणाली और प्रणाली के निर्धारक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएं जिसमें निर्धारक के एक या अधिक तत्व शून्य के बराबर हैं। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्र से हम पाते हैं:

अतः निकाय का हल (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, Cramer सॉल्विंग मेथड का उपयोग कर सकते हैं।

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हम एक साथ क्रैमर पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण के साथ स्पष्ट करें।

उदाहरण 6क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम के निर्धारक पाते हैं:

प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, इसलिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, Cramer सॉल्विंग मेथड का उपयोग कर सकते हैं।

रेखीय समीकरणों की प्रणालियों पर समस्याओं में, वे भी हैं, जहां चर को दर्शाने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी हैं। ये अक्षर किसी संख्या के लिए खड़े होते हैं, जो अक्सर एक वास्तविक संख्या होती है। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरणों की प्रणालियाँ किसी भी घटना और वस्तुओं के सामान्य गुणों को खोजने में समस्याएँ पैदा करती हैं। यही है, आपने कुछ नई सामग्री या उपकरण का आविष्कार किया है, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है।

अगला उदाहरण इसी तरह की समस्या के लिए है, केवल कुछ वास्तविक संख्याओं को दर्शाने वाले समीकरणों, चरों और अक्षरों की संख्या बढ़ जाती है।

उदाहरण 8क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना