पियर्सन का सहसंबंध परीक्षण एक पैरामीट्रिक सांख्यिकी पद्धति है जो आपको दो मात्रात्मक संकेतकों के बीच एक रैखिक संबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति को निर्धारित करने के साथ-साथ इसकी निकटता और सांख्यिकीय महत्व का मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। दूसरे शब्दों में, पियर्सन सहसंबंध परीक्षण आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या दो चर के मूल्यों में परिवर्तन के बीच एक रैखिक संबंध है। सांख्यिकीय गणनाओं और अनुमानों में, सहसंबंध गुणांक को आमतौर पर इस रूप में निरूपित किया जाता है rxyया Rxy.

1. सहसंबंध मानदंड के विकास का इतिहास

पियर्सन सहसंबंध परीक्षण का नेतृत्व ब्रिटिश वैज्ञानिकों की एक टीम ने किया था कार्ल पियर्सन(1857-1936) 19वीं सदी के 90 के दशक में, दो यादृच्छिक चरों के सहप्रसरण के विश्लेषण को आसान बनाने के लिए। कार्ल पियर्सन के अतिरिक्त पियर्सन के सहसंबंध परीक्षण पर भी कार्य किया गया फ्रांसिस एडगेवर्थऔर राफेल वेल्डन.

2. पियर्सन का सहसंबंध परीक्षण किसके लिए प्रयोग किया जाता है?

पियर्सन सहसंबंध मानदंड आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि मात्रात्मक पैमाने पर मापे गए दो संकेतकों के बीच सहसंबंध की निकटता (या शक्ति) क्या है। अतिरिक्त गणनाओं की सहायता से, आप यह भी निर्धारित कर सकते हैं कि पहचाना गया संबंध सांख्यिकीय रूप से कितना महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, पियर्सन सहसंबंध मानदंड का उपयोग करते हुए, कोई इस सवाल का जवाब दे सकता है कि क्या शरीर के तापमान और तीव्र श्वसन संक्रमण में रक्त में ल्यूकोसाइट्स की सामग्री, रोगी की ऊंचाई और वजन के बीच, फ्लोराइड की सामग्री के बीच कोई संबंध है पीने के पानी में और आबादी में क्षय की घटना।

3. पियर्सन के ची-स्क्वायर परीक्षण के उपयोग पर शर्तें और प्रतिबंध

1. तुलनीय संकेतकों में मापा जाना चाहिए मात्रात्मक पैमाना(उदाहरण के लिए, हृदय गति, शरीर का तापमान, ल्यूकोसाइट गिनती प्रति 1 मिली रक्त, सिस्टोलिक रक्तचाप)।
2. पियर्सन सहसंबंध मानदंड के माध्यम से, यह केवल निर्धारित करना संभव है एक रैखिक संबंध की उपस्थिति और ताकतमात्राओं के बीच। कनेक्शन की अन्य विशेषताएं, जिसमें दिशा (प्रत्यक्ष या विपरीत), परिवर्तनों की प्रकृति (रेक्टिलाइनियर या कर्विलिनियर) शामिल हैं, साथ ही एक चर की दूसरे पर निर्भरता, प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।
3. तुलना किए जाने वाले मानों की संख्या दो के बराबर होनी चाहिए। तीन या अधिक मापदंडों के संबंध का विश्लेषण करने के मामले में, आपको विधि का उपयोग करना चाहिए कारक विश्लेषण.
4. पियर्सन का सहसंबंध मानदंड है पैरामीट्रिकजिसके संबंध में इसके आवेदन की शर्त है सामान्य वितरणमिलान किए गए चर। यदि संकेतकों का सहसंबंध विश्लेषण करना आवश्यक है, जिनका वितरण सामान्य से भिन्न होता है, जिसमें क्रमसूचक पैमाने पर मापे गए संकेतक भी शामिल हैं, तो स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाना चाहिए।
5. निर्भरता और सहसंबंध की अवधारणाओं के बीच स्पष्ट रूप से अंतर करना आवश्यक है। मूल्यों की निर्भरता उनके बीच एक सहसंबंध की उपस्थिति निर्धारित करती है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

उदाहरण के लिए, एक बच्चे की वृद्धि उसकी उम्र पर निर्भर करती है, अर्थात बच्चा जितना बड़ा होता है, वह उतना ही लंबा होता है। यदि हम अलग-अलग उम्र के दो बच्चों को लेते हैं, तो उच्च स्तर की संभावना के साथ बड़े बच्चे की वृद्धि छोटे की तुलना में अधिक होगी। इस घटना को कहा जाता है लत, संकेतकों के बीच एक कारण संबंध को लागू करना। बेशक, भी हैं सह - संबंध, जिसका अर्थ है कि एक संकेतक में परिवर्तन दूसरे संकेतक में परिवर्तन के साथ होता है।

दूसरी स्थिति में, बच्चे के विकास और हृदय गति (एचआर) के बीच संबंध पर विचार करें। जैसा कि आप जानते हैं, ये दोनों मूल्य सीधे उम्र पर निर्भर हैं, इसलिए, ज्यादातर मामलों में, बड़े कद के बच्चों (और इसलिए, बड़े वाले) की हृदय गति कम होगी। वह है, सह - संबंधमनाया जाएगा और पर्याप्त रूप से उच्च जकड़न हो सकती है। हालाँकि, अगर हम बच्चों को लेते हैं समान आयु, लेकिन अलग ऊंचाई, तब, सबसे अधिक संभावना है, उनकी हृदय गति नगण्य रूप से भिन्न होगी, जिसके संबंध में हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं आजादीवृद्धि से हृदय गति।

उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि आँकड़ों में मौलिक अवधारणाओं के बीच अंतर करना कितना महत्वपूर्ण है सम्बन्धऔर निर्भरतासही निष्कर्ष निकालने के लिए संकेतक।

4. पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना कैसे करें?

पियर्सन के सहसंबंध गुणांक की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

5. पियर्सन सहसंबंध गुणांक के मान की व्याख्या कैसे करें?

पियर्सन सहसंबंध गुणांक के मूल्यों की व्याख्या इसके निरपेक्ष मूल्यों के आधार पर की जाती है। सहसंबंध गुणांक के संभावित मान 0 से ± 1 तक भिन्न होते हैं। r xy का निरपेक्ष मान जितना अधिक होगा, दो राशियों के बीच संबंध की निकटता उतनी ही अधिक होगी। r xy = 0 संबंध के पूर्ण अभाव को इंगित करता है। आर एक्सई = 1 - एक पूर्ण (कार्यात्मक) कनेक्शन की उपस्थिति को इंगित करता है। यदि पियर्सन सहसंबंध मानदंड का मान 1 से अधिक या -1 से कम निकला, तो गणना में त्रुटि हुई।

सहसंबंध की निकटता, या शक्ति का आकलन करने के लिए, आम तौर पर स्वीकृत मानदंडों का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार r xy के पूर्ण मान< 0.3 свидетельствуют о कमज़ोरकनेक्शन, r xy मान 0.3 से 0.7 तक - कनेक्शन के बारे में मध्यजकड़न, r xy मान > 0.7 - o मज़बूतसम्बन्ध।

उपयोग करके सहसंबंध की ताकत का अधिक सटीक अनुमान प्राप्त किया जा सकता है चाडॉक टेबल:

श्रेणी आंकड़ों की महत्तासहसंबंध गुणांक r xy निम्न सूत्र द्वारा परिकलित t-परीक्षण का उपयोग करके किया जाता है:

प्राप्त मूल्य t r की तुलना महत्व के एक निश्चित स्तर पर महत्वपूर्ण मूल्य और स्वतंत्रता की डिग्री n-2 की संख्या से की जाती है। यदि t r t crit से अधिक है, तो पहचाने गए सहसंबंध के सांख्यिकीय महत्व के बारे में एक निष्कर्ष निकाला जाता है।

6. पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना का एक उदाहरण

अध्ययन का उद्देश्य दो मात्रात्मक संकेतकों के बीच संबंध की जकड़न और सांख्यिकीय महत्व की पहचान करना था: रक्त में टेस्टोस्टेरोन का स्तर (X) और शरीर में मांसपेशियों का प्रतिशत (Y)। 5 विषयों (n = 5) के नमूने के लिए प्रारंभिक डेटा तालिका में संक्षेपित हैं।

वैज्ञानिक अनुसंधान में, परिणामी और कारक चर (फसल की उपज और वर्षा की मात्रा, लिंग और आयु, नाड़ी दर और शरीर के तापमान द्वारा सजातीय समूहों में किसी व्यक्ति की ऊंचाई और वजन) के बीच संबंध खोजना अक्सर आवश्यक हो जाता है। , वगैरह।)।

दूसरे वे संकेत हैं जो उनसे जुड़े लोगों (पहले) के परिवर्तन में योगदान करते हैं।

सहसंबंध विश्लेषण की अवधारणा

उपरोक्त के आधार पर हम कह सकते हैं कि सहसंबंध विश्लेषण दो या दो से अधिक चरों के सांख्यिकीय महत्व की परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि है, यदि शोधकर्ता उन्हें माप सकता है, लेकिन उन्हें बदल नहीं सकता है।

विचाराधीन अवधारणा की अन्य परिभाषाएँ हैं। सहसंबंध विश्लेषण एक प्रसंस्करण विधि है जो चर के बीच सहसंबंध गुणांक की जांच करती है। इस मामले में, एक जोड़ी या सुविधाओं के कई जोड़े के बीच सहसंबंध गुणांक की तुलना उनके बीच सांख्यिकीय संबंध स्थापित करने के लिए की जाती है। सहसंबंध विश्लेषण एक सख्त कार्यात्मक प्रकृति की वैकल्पिक उपस्थिति के साथ यादृच्छिक चर के बीच सांख्यिकीय निर्भरता का अध्ययन करने की एक विधि है, जिसमें एक यादृच्छिक चर की गतिशीलता दूसरे की गणितीय अपेक्षा की गतिशीलता की ओर ले जाती है।

झूठे सहसंबंध की अवधारणा

सहसंबंध विश्लेषण करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि यह सुविधाओं के किसी भी सेट के संबंध में किया जा सकता है, जो अक्सर एक दूसरे के संबंध में बेतुका होता है। कभी-कभी उनका आपस में कोई कारणात्मक संबंध नहीं होता।

इस मामले में, एक नकली सहसंबंध की बात करता है।

सहसंबंध विश्लेषण की समस्याएं

उपरोक्त परिभाषाओं के आधार पर, हम वर्णित विधि के निम्नलिखित कार्यों को तैयार कर सकते हैं: दूसरे का उपयोग करके वांछित चरों में से एक के बारे में जानकारी प्राप्त करें; अध्ययन के तहत चर के बीच संबंध की निकटता का निर्धारण करें।

सहसंबंध विश्लेषण में अध्ययन की गई विशेषताओं के बीच संबंध का निर्धारण करना शामिल है, और इसलिए सहसंबंध विश्लेषण के कार्यों को निम्नलिखित के साथ पूरक किया जा सकता है:

• परिणामी संकेत पर सबसे अधिक प्रभाव डालने वाले कारकों की पहचान;
• संबंधों के पहले अज्ञात कारणों की पहचान;
• इसके पैरामीट्रिक विश्लेषण के साथ एक सहसंबंध मॉडल का निर्माण;
• संचार मापदंडों के महत्व और उनके अंतराल के अनुमान का अध्ययन।

प्रतिगमन के साथ सहसंबंध विश्लेषण का कनेक्शन

सहसंबंध विश्लेषण की विधि अक्सर अध्ययन की गई मात्राओं के बीच संबंध की निकटता का पता लगाने तक सीमित नहीं होती है। कभी-कभी इसे प्रतिगमन समीकरणों के संकलन द्वारा पूरक किया जाता है, जो एक ही नाम के विश्लेषण का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं, और जो परिणामी और भाज्य (तथ्यात्मक) विशेषता(ओं) के बीच संबंध का विवरण हैं। यह विधि, विचाराधीन विश्लेषण के साथ मिलकर विधि का गठन करती है

विधि का उपयोग करने की शर्तें

परिणाम कारक एक या अधिक कारकों पर निर्भर करते हैं। प्रभावी और कारक संकेतकों (कारकों) के मूल्य पर बड़ी संख्या में अवलोकन होने पर सहसंबंध विश्लेषण की विधि का उपयोग किया जा सकता है, जबकि अध्ययन किए गए कारक मात्रात्मक और विशिष्ट स्रोतों में परिलक्षित होने चाहिए। पहला सामान्य कानून द्वारा निर्धारित किया जा सकता है - इस मामले में, पियर्सन सहसंबंध गुणांक सहसंबंध विश्लेषण का परिणाम है, या, यदि संकेत इस कानून का पालन नहीं करते हैं, तो स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाता है।

सहसंबंध विश्लेषण के कारकों के चयन के नियम

इस पद्धति को लागू करते समय, प्रदर्शन संकेतकों को प्रभावित करने वाले कारकों को निर्धारित करना आवश्यक है। उन्हें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए चुना गया है कि संकेतकों के बीच कारण संबंध होना चाहिए। एक बहुघटकीय सहसंबंध मॉडल बनाने के मामले में, जिनके परिणामी संकेतक पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है, उनका चयन किया जाता है, जबकि सहसंबंध मॉडल में 0.85 से अधिक की जोड़ी सहसंबंध गुणांक के साथ अन्योन्याश्रित कारकों को शामिल नहीं करना बेहतर होता है, साथ ही उन जिसके लिए परिणामी पैरामीटर के साथ संबंध अप्रत्यक्ष या कार्यात्मक है।

परिणाम प्रदर्शित

सहसंबंध विश्लेषण के परिणाम पाठ और ग्राफिक रूपों में प्रस्तुत किए जा सकते हैं। पहले मामले में, उन्हें एक सहसंबंध गुणांक के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, दूसरे में, स्कैटरप्लॉट के रूप में।

यदि मापदंडों के बीच कोई संबंध नहीं है, तो आरेख पर बिंदु यादृच्छिक रूप से स्थित होते हैं, कनेक्शन की औसत डिग्री को अधिक से अधिक क्रम की विशेषता होती है और माध्यिका से चिह्नित चिह्नों की अधिक या कम समान दूरी की विशेषता होती है। एक मजबूत कनेक्शन एक सीधी रेखा की ओर जाता है और r=1 पर स्कैटर प्लॉट एक सपाट रेखा है। एक व्युत्क्रम सहसंबंध को ऊपरी बाएँ से निचले दाएँ, एक प्रत्यक्ष - निचले बाएँ से ऊपरी दाएँ कोने तक ग्राफ़ की दिशा की विशेषता है।

स्कैटरप्लॉट (स्कैटरिंग) का 3डी प्रतिनिधित्व

पारंपरिक 2D स्कैटरप्लॉट प्रस्तुति के अलावा, वर्तमान में सहसंबंध विश्लेषण के 3D ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है।

एक स्कैटरप्लॉट मैट्रिक्स का भी उपयोग किया जाता है, जो मैट्रिक्स प्रारूप में एक ही आकृति में सभी युग्मित भूखंडों को प्रदर्शित करता है। n चर के लिए, मैट्रिक्स में n पंक्तियाँ और n स्तंभ होते हैं। i-th पंक्ति और j-th कॉलम के चौराहे पर स्थित आरेख Xj की तुलना में चर Xi का एक ग्राफ है। इस प्रकार प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ एक आयाम है, एक एकल कक्ष दो आयामों का स्कैटरप्लॉट प्रदर्शित करता है।

कनेक्शन की जकड़न का अनुमान

सहसंबंध की मजबूती सहसंबंध गुणांक (आर) द्वारा निर्धारित की जाती है: मजबूत - आर = ± 0.7 से ± 1, मध्यम - आर = ± 0.3 से ± 0.699, कमजोर - आर = 0 से ± 0.299। यह वर्गीकरण सख्त नहीं है। आंकड़ा थोड़ा अलग योजना दिखाता है।

सहसंबंध विश्लेषण पद्धति को लागू करने का एक उदाहरण

ब्रिटेन में एक दिलचस्प अध्ययन किया गया। यह फेफड़ों के कैंसर के साथ धूम्रपान के संबंध को समर्पित है, और सहसंबंध विश्लेषण द्वारा किया गया था। यह अवलोकन नीचे प्रस्तुत किया गया है।

हम सहसंबंध विश्लेषण शुरू करते हैं। एक ग्राफिकल विधि के साथ स्पष्टता के लिए समाधान शुरू करना बेहतर है, जिसके लिए हम एक स्कैटर (स्कैटर) डायग्राम बनाएंगे।

वह सीधा संबंध दिखाती है। हालाँकि, अकेले चित्रमय पद्धति के आधार पर एक स्पष्ट निष्कर्ष निकालना मुश्किल है। इसलिए, हम सहसंबंध विश्लेषण करना जारी रखेंगे। सहसंबंध गुणांक की गणना का एक उदाहरण नीचे दिखाया गया है।

सॉफ़्टवेयर टूल का उपयोग करना (एमएस एक्सेल के उदाहरण पर, इसे नीचे वर्णित किया जाएगा), हम सहसंबंध गुणांक निर्धारित करते हैं, जो 0.716 है, जिसका अर्थ है अध्ययन किए गए मापदंडों के बीच एक मजबूत संबंध। आइए हम संबंधित तालिका के अनुसार प्राप्त मूल्य के सांख्यिकीय महत्व को निर्धारित करते हैं, जिसके लिए हमें 25 जोड़े मूल्यों में से 2 घटाना होगा, परिणामस्वरूप हमें 23 मिलते हैं और तालिका में इस पंक्ति के लिए हम p = 0.01 के लिए r महत्वपूर्ण पाते हैं। (चूंकि ये मेडिकल डेटा हैं, एक अधिक सख्त निर्भरता, अन्य मामलों में p=0.05 पर्याप्त है), जो इस सहसंबंध विश्लेषण के लिए 0.51 है। उदाहरण ने प्रदर्शित किया कि परिकलित r महत्वपूर्ण r से अधिक है, सहसंबंध गुणांक का मान सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण माना जाता है।

सहसंबंध विश्लेषण में सॉफ्टवेयर का उपयोग

वर्णित प्रकार के सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग सॉफ्टवेयर का उपयोग करके किया जा सकता है, विशेष रूप से, एमएस एक्सेल। सहसंबंध में कार्यों का उपयोग करके निम्नलिखित पैरामीटरों की गणना शामिल है:

1. सहसंबंध गुणांक कोरल फ़ंक्शन (सरणी1; सरणी2) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। Array1,2 परिणामी और कारक चर के मानों की श्रेणी का एक कक्ष है।

रैखिक सहसंबंध गुणांक को पियर्सन सहसंबंध गुणांक भी कहा जाता है, और इसलिए, एक्सेल 2007 से शुरू करके, आप उसी सरणियों के साथ फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं।

एक्सेल में सहसंबंध विश्लेषण का चित्रमय प्रदर्शन "स्कैटर प्लॉट" चयन के साथ "चार्ट" पैनल का उपयोग करके किया जाता है।

प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट करने के बाद, हमें एक ग्राफ मिलता है।

2. छात्र के टी-टेस्ट का उपयोग करके जोड़ी सहसंबंध गुणांक के महत्व का मूल्यांकन। टी-मानदंड के परिकलित मूल्य की तुलना इस सूचक के सारणीबद्ध (महत्वपूर्ण) मूल्य के साथ विचाराधीन पैरामीटर के मूल्यों की संगत तालिका से की जाती है, दिए गए महत्व के स्तर और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को ध्यान में रखते हुए। यह अनुमान STUDIV(probability; Degree_of_freedom) फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है।

3. जोड़ी सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स। विश्लेषण "डेटा विश्लेषण" उपकरण का उपयोग करके किया जाता है, जिसमें "सहसंबंध" का चयन किया जाता है। जोड़ी सहसंबंध गुणांक का सांख्यिकीय मूल्यांकन इसके पूर्ण मूल्य की सारणीबद्ध (महत्वपूर्ण) मूल्य के साथ तुलना करके किया जाता है। जब परिकलित जोड़ी सहसंबंध गुणांक उस महत्वपूर्ण एक से अधिक हो जाता है, तो हम कह सकते हैं कि संभाव्यता की दी गई डिग्री को ध्यान में रखते हुए, कि रैखिक संबंध के महत्व के बारे में अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया जाता है।

आखिरकार

वैज्ञानिक अनुसंधान में सहसंबंध विश्लेषण की विधि का उपयोग विभिन्न कारकों और प्रदर्शन संकेतकों के बीच संबंध निर्धारित करना संभव बनाता है। उसी समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि एक बेतुका जोड़ी या डेटा के सेट से एक उच्च सहसंबंध गुणांक भी प्राप्त किया जा सकता है, और इसलिए इस प्रकार का विश्लेषण पर्याप्त रूप से बड़े डेटा सरणी पर किया जाना चाहिए।

R का परिकलित मान प्राप्त करने के बाद, एक निश्चित मूल्य के सांख्यिकीय महत्व की पुष्टि करने के लिए r महत्वपूर्ण के साथ इसकी तुलना करना वांछनीय है। सहसंबंध विश्लेषण विशेष रूप से एमएस एक्सेल में सूत्रों का उपयोग करके या सॉफ्टवेयर टूल का उपयोग करके मैन्युअल रूप से किया जा सकता है। यहां आप सहसंबंध विश्लेषण के अध्ययन किए गए कारकों और परिणामी विशेषता के बीच संबंधों के दृश्य प्रतिनिधित्व के उद्देश्य से एक स्कैटर (स्कैटर) आरेख भी बना सकते हैं।

जैसा कि बार-बार नोट किया गया है, अध्ययन के तहत चर के बीच सहसंबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति के बारे में एक सांख्यिकीय निष्कर्ष के लिए, नमूना सहसंबंध गुणांक के महत्व की जांच करना आवश्यक है। इस तथ्य के कारण कि सहसंबंध गुणांक सहित सांख्यिकीय विशेषताओं की विश्वसनीयता, नमूना आकार पर निर्भर करती है, ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब सहसंबंध गुणांक का मूल्य पूरी तरह से नमूने में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के कारण होगा जिसके आधार पर यह है गणना की। चर के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध के साथ, सहसंबंध गुणांक शून्य से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होना चाहिए। यदि अध्ययन किए गए चरों के बीच कोई संबंध नहीं है, तो सामान्य जनसंख्या ρ का सहसंबंध गुणांक शून्य के बराबर है। व्यावहारिक अध्ययन में, एक नियम के रूप में, वे चयनात्मक टिप्पणियों पर आधारित होते हैं। किसी भी सांख्यिकीय विशेषता की तरह, नमूना सहसंबंध गुणांक एक यादृच्छिक चर है, अर्थात, इसके मान एक ही नाम की सामान्य आबादी के पैरामीटर के आसपास बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए हैं (सहसंबंध गुणांक का सही मूल्य)। चरों के बीच सहसंबंध के अभाव में वाई और एक्ससामान्य आबादी में सहसंबंध गुणांक शून्य है। लेकिन बिखरने की यादृच्छिक प्रकृति के कारण, ऐसी स्थितियाँ मौलिक रूप से संभव हैं जब इस जनसंख्या के नमूनों से गणना किए गए कुछ सहसंबंध गुणांक शून्य से भिन्न होंगे।

क्या देखे गए अंतरों को नमूने में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, या क्या वे चर के बीच संबंधों के गठन के लिए स्थितियों में महत्वपूर्ण बदलाव को दर्शाते हैं? यदि नमूना सहसंबंध गुणांक के मान सूचक की यादृच्छिक प्रकृति के कारण बिखराव क्षेत्र में आते हैं, तो यह कनेक्शन की अनुपस्थिति का प्रमाण नहीं है। इस मामले में सबसे ज्यादा यही कहा जा सकता है कि अवलोकन डेटा चर के बीच संबंध की अनुपस्थिति से इनकार नहीं करता है। लेकिन अगर नमूना सहसंबंध गुणांक का मान उल्लिखित स्कैटर ज़ोन के बाहर है, तो यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि यह शून्य से काफी अलग है, और हम यह मान सकते हैं कि चर के बीच वाई और एक्ससांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण संबंध है। विभिन्न आँकड़ों के वितरण के आधार पर इस समस्या को हल करने के लिए प्रयुक्त कसौटी को सार्थकता कसौटी कहा जाता है।

महत्व परीक्षण प्रक्रिया शून्य परिकल्पना के निर्माण के साथ शुरू होती है एच0 . सामान्य शब्दों में, यह इस तथ्य में निहित है कि नमूना पैरामीटर और जनसंख्या पैरामीटर के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है। वैकल्पिक परिकल्पना एच1 यह है कि इन मापदंडों के बीच महत्वपूर्ण अंतर हैं। उदाहरण के लिए, जनसंख्या में सहसंबंध के लिए परीक्षण करते समय, शून्य परिकल्पना यह है कि वास्तविक सहसंबंध गुणांक शून्य है ( एच0: ρ = 0)। यदि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, यह पता चलता है कि शून्य परिकल्पना स्वीकार्य नहीं है, तो नमूना सहसंबंध गुणांक आरबहुत खूबशून्य से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न (शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है और विकल्प को स्वीकार कर लिया जाता है) एच1).दूसरे शब्दों में, सामान्य आबादी में असंबद्ध यादृच्छिक चर की धारणा को अनुचित माना जाना चाहिए। इसके विपरीत, यदि महत्व परीक्षण के आधार पर, शून्य परिकल्पना को स्वीकार किया जाता है, अर्थात आरबहुत खूबयादृच्छिक फैलाव के स्वीकार्य क्षेत्र में स्थित है, तो सामान्य आबादी में असंबद्ध चर की धारणा को संदिग्ध मानने का कोई कारण नहीं है।

एक महत्व परीक्षण में, शोधकर्ता एक महत्व स्तर α स्थापित करता है जो कुछ व्यावहारिक विश्वास देता है कि गलत निष्कर्ष बहुत दुर्लभ मामलों में ही निकाले जाएंगे। सार्थकता स्तर शून्य परिकल्पना की संभावना को व्यक्त करता है एच0उस समय खारिज कर दिया जब यह वास्तव में सच था। यह स्पष्ट है कि इस संभाव्यता को यथासंभव छोटा चुनना समझ में आता है।

नमूना विशेषता के वितरण को ज्ञात होने दें, जो कि जनसंख्या पैरामीटर का एक निष्पक्ष अनुमान है। चयनित महत्व स्तर α इस वितरण के वक्र के अंतर्गत छायांकित क्षेत्रों से मेल खाता है (चित्र 24 देखें)। वितरण वक्र के अंतर्गत अछायांकित क्षेत्र संभाव्यता को परिभाषित करता है पी = 1-α . छायांकित क्षेत्रों के तहत भुज अक्ष पर खंडों की सीमाओं को महत्वपूर्ण मान कहा जाता है, और खंड स्वयं महत्वपूर्ण क्षेत्र या परिकल्पना अस्वीकृति का क्षेत्र बनाते हैं।

परिकल्पना परीक्षण प्रक्रिया में, अवलोकनों के परिणामों से गणना की गई नमूना विशेषता की तुलना संबंधित महत्वपूर्ण मूल्य से की जाती है। इस मामले में, एक तरफा और दो तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्रों के बीच अंतर करना चाहिए। महत्वपूर्ण क्षेत्र को निर्दिष्ट करने का रूप एक सांख्यिकीय अध्ययन में समस्या के निर्माण पर निर्भर करता है। एक दो तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र आवश्यक है, जब नमूना पैरामीटर और जनसंख्या पैरामीटर की तुलना करते समय, उनके बीच विसंगति के पूर्ण मूल्य का अनुमान लगाना आवश्यक है, अर्थात, अध्ययन किए गए मूल्यों के बीच सकारात्मक और नकारात्मक दोनों अंतर रुचि के हैं . जब यह सुनिश्चित करना आवश्यक हो जाता है कि एक मान औसत रूप से दूसरे से अधिक या कम है, एक तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र (दाएं- या बाएं हाथ) का उपयोग किया जाता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि समान महत्वपूर्ण मूल्य के लिए एक तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र का उपयोग करते समय महत्व का स्तर दो तरफा एक का उपयोग करते समय कम होता है। यदि नमूना विशेषता का वितरण सममित है,

चावल। 24. अशक्त परिकल्पना H0 का परीक्षण

तब दो तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र के महत्व का स्तर α के बराबर होता है, और एक तरफा के महत्व का स्तर होता है (चित्र 24 देखें)। हम खुद को समस्या के सामान्य सूत्रीकरण तक ही सीमित रखते हैं। सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए सैद्धांतिक औचित्य पर अधिक जानकारी विशेष साहित्य में पाई जा सकती है। इसके अलावा, हम केवल उनके निर्माण पर ध्यान दिए बिना, विभिन्न प्रक्रियाओं के लिए महत्व मानदंड का संकेत देंगे।

जोड़ी सहसंबंध गुणांक के महत्व की जाँच करके, अध्ययन की गई घटनाओं के बीच सहसंबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति स्थापित की जाती है। कनेक्शन के अभाव में, सामान्य जनसंख्या का सहसंबंध गुणांक शून्य (ρ = 0) के बराबर होता है। सत्यापन प्रक्रिया अशक्त और वैकल्पिक परिकल्पनाओं के निर्माण के साथ शुरू होती है:

एच0: नमूना सहसंबंध गुणांक के बीच अंतर आर और ρ = 0 नगण्य है,

एच 1: के बीच अंतर आरऔर ρ = 0 महत्वपूर्ण है, और इसलिए, चर के बीच परऔर एक्समहत्वपूर्ण संबंध है। यह वैकल्पिक परिकल्पना से अनुसरण करता है कि किसी को दो तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र का उपयोग करना चाहिए।

खंड 8.1 में यह पहले ही उल्लेख किया गया था कि नमूना सहसंबंध गुणांक, कुछ मान्यताओं के तहत, एक यादृच्छिक चर के साथ जुड़ा हुआ है टी, छात्र के वितरण का पालन करना एफ = एन- स्वतंत्रता की 2 डिग्री। नमूने के परिणामों से आँकड़ों की गणना

किसी दिए गए महत्व स्तर α पर छात्र की वितरण तालिका से निर्धारित महत्वपूर्ण मूल्य की तुलना में औरएफ = एन- स्वतंत्रता की 2 डिग्री। मानदंड लागू करने का नियम इस प्रकार है: यदि | टी| >tf,ए, फिर महत्व स्तर α पर अशक्त परिकल्पना अस्वीकृत, अर्थात चर के बीच संबंध महत्वपूर्ण है; अगर | टी| ≤tf,ए, तो महत्व स्तर α पर शून्य परिकल्पना स्वीकार की जाती है। मूल्य विचलन आर ρ = 0 से यादृच्छिक भिन्नता के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। ये नमूने विचाराधीन परिकल्पना को बहुत संभव और प्रशंसनीय बताते हैं, यानी, कनेक्शन की अनुपस्थिति की परिकल्पना आपत्तिजनक नहीं है।

आँकड़ों के बजाय एक परिकल्पना के परीक्षण की प्रक्रिया बहुत सरल है टीसहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्यों का उपयोग करें, जिसे (8.38) में प्रतिस्थापित करके छात्र के वितरण की मात्रा के संदर्भ में निर्धारित किया जा सकता है। टी= tf, एक और आर= ρ एफ, ए:

(8.39)

महत्वपूर्ण मूल्यों की विस्तृत तालिकाएँ हैं, जिसका एक अंश इस पुस्तक के परिशिष्ट में दिया गया है (तालिका 6 देखें)। इस मामले में परिकल्पना के परीक्षण का नियम इस प्रकार है: यदि आर> ρ एफ, ए, तो हम यह दावा कर सकते हैं कि चर के बीच संबंध महत्वपूर्ण है। अगर आर≤आरएफ,ए, तब अवलोकनों के परिणामों को एक संबंध की अनुपस्थिति की परिकल्पना के अनुरूप माना जाता है।

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अब आइए नमूना मानक विचलन के मूल्यों की गणना करें:

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दसवीं कक्षा के छात्रों के स्तर के बीच सहसंबंध, गणित में उपलब्धि का औसत स्तर जितना अधिक होगा, और इसके विपरीत।

2. सहसंबंध गुणांक के महत्व की जाँच करना

चूंकि नमूना गुणांक की गणना नमूना डेटा से की जाती है, यह एक यादृच्छिक चर है . यदि , तो सवाल उठता है: क्या यह और चौड़ाई = "27" ऊंचाई = "25"> के बीच वास्तव में मौजूदा रैखिक संबंध के कारण है: (यदि सहसंबंध चिह्न ज्ञात नहीं है); या एकतरफा https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif" width="43" height="23 src=">.gif" width="43" height="23 src ="> (यदि सहसंबंध का संकेत पूर्व निर्धारित किया जा सकता है)।

विधि 1।परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, हम उपयोग करते हैं https://pandia.ru/text/78/148/images/image150_1.gif" width="11" height="17 src=">-सूत्र के अनुसार छात्र की परीक्षा

https://pandia.ru/text/78/148/images/image406_0.gif" चौड़ाई="13" ऊंचाई="15">.gif" चौड़ाई="36 ऊंचाई=25" ऊंचाई="25">.gif "चौड़ाई="17" ऊंचाई="16"> और दो तरफा परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या।

महत्वपूर्ण क्षेत्र असमानता द्वारा दिया जाता है .

अगर https://pandia.ru/text/78/148/images/image455_0.gif" width="99" height="29 src=">, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है। हम निष्कर्ष निकालते हैं:

§ दो तरफा वैकल्पिक परिकल्पना के लिए - सहसंबंध गुणांक शून्य से काफी अलग है;

§ एकतरफा परिकल्पना के लिए, सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सकारात्मक (या नकारात्मक) सहसंबंध होता है।

विधि 2।आप भी उपयोग कर सकते हैं सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्यों की तालिका, जिससे हम स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्य का मूल्य पाते हैं https://pandia.ru/text/78/148/images/image367_1.gif" width="17 height=16" ऊँचाई = "16">।

अगर https://pandia.ru/text/78/148/images/image459_0.gif" width="101" height="29 src=">, तो यह निष्कर्ष निकाला गया है कि सहसंबंध गुणांक 0 से काफी अलग है और सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सहसंबंध है.

तो, कुछ घटनाएँ एक साथ हो सकती हैं, लेकिन एक दूसरे से स्वतंत्र (संयुक्त घटनाएँ) होती हैं या बदलती हैं ( असत्यप्रतिगमन)। अन्य - एक दूसरे के साथ नहीं, बल्कि एक अधिक जटिल कारण संबंध के अनुसार एक कारण संबंध में होना ( अप्रत्यक्षप्रतिगमन)। इस प्रकार, एक महत्वपूर्ण सहसंबंध गुणांक के साथ, एक कारण संबंध की उपस्थिति के बारे में अंतिम निष्कर्ष केवल अध्ययन के तहत समस्या की बारीकियों को ध्यान में रखकर बनाया जा सकता है।

उदाहरण 2उदाहरण 1 में परिकलित नमूना सहसंबंध गुणांक का महत्व निर्धारित करें।

समाधान।

आइए एक परिकल्पना को सामने रखें: कि सामान्य जनसंख्या में कोई संबंध नहीं है। चूंकि उदाहरण 1 के समाधान के परिणामस्वरूप सहसंबंध का संकेत निर्धारित होता है - सहसंबंध सकारात्मक है, तो वैकल्पिक परिकल्पना एकतरफा है https://pandia.ru/text/78/148/images/ image448_0.gif" चौड़ाई="43" ऊंचाई="23 src =">.

मानदंड का अनुभवजन्य मूल्य खोजें:

https://pandia.ru/text/78/148/images/image461_0.gif" width="167 ऊंचाई=20" ऊंचाई="20">, हम सार्थकता स्तर के बराबर चुनते हैं। तालिका के अनुसार "महत्वपूर्ण मूल्य - विभिन्न महत्व स्तरों के लिए छात्र का परीक्षण ”हम महत्वपूर्ण मूल्य पाते हैं।

चूंकि https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width="25 height=24" height="24"> और गणित में प्रदर्शन का औसत स्तर, सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सहसंबंध है .

परीक्षण कार्य

1. कम से कम दो सही उत्तर चिन्हित करें। नमूना सहसंबंध गुणांक के महत्व का परीक्षण परिकल्पना के सांख्यिकीय परीक्षण पर आधारित है कि ...

1) सामान्य जनसंख्या में कोई संबंध नहीं है

2) नमूना सहसंबंध गुणांक के शून्य से अंतर को केवल नमूने की यादृच्छिकता द्वारा समझाया गया है

3) सहसंबंध गुणांक 0 से उल्लेखनीय रूप से भिन्न है

4) नमूना सहसंबंध गुणांक के शून्य से अंतर आकस्मिक नहीं है

2. यदि रैखिक सहसंबंध का नमूना गुणांक, तो एक विशेषता का बड़ा मान ... अन्य विशेषता के बड़े मान से मेल खाता है।

1) औसत

3) अधिकांश अवलोकनों में

4) कभी-कभार

3. नमूना सहसंबंध गुणांक https://pandia.ru/text/78/148/images/image465_0.gif" width="64" height="23 src="> (नमूना आकार और 0.05 के महत्व स्तर के लिए)। क्या यह संभव है कहने के लिए कि मनोवैज्ञानिक लक्षणों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सकारात्मक संबंध है?

5. नमूना सहसंबंध गुणांक को मनोवैज्ञानिक लक्षणों https://pandia.ru/text/78/148/images/image466_0.gif और 0.05 के महत्व स्तर के बीच एक रैखिक संबंध की ताकत की पहचान करने के कार्य में पाया जाना चाहिए।) क्या यह कहना संभव है कि नमूना सहसंबंध गुणांक के शून्य से अंतर केवल नमूने की यादृच्छिकता से समझाया गया है?

विषय 3. रैंक सहसंबंध गुणांक और संघ

1. रैंक सहसंबंध गुणांक https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21 height=19" height="19"> और। फीचर वैल्यू की संख्या (संकेतक, विषय, गुण, लक्षण) कोई भी हो सकते हैं, लेकिन उनकी संख्या समान होनी चाहिए।

आइए हम https://pandia.ru/text/78/148/images/image470_0.gif" width="319" height="66"> के माध्यम से प्रत्येक विषय के लिए दो वेरिएबल्स में रैंक के बीच अंतर को निरूपित करते हैं।

रैंक की गई सुविधाओं, संकेतकों के मूल्यों की संख्या कहां है।

रैंक सहसंबंध गुणांक -1 से +1 तक मान लेता हैऔर इसे पियर्सन सहसंबंध गुणांक का त्वरित अनुमान लगाने के साधन के रूप में माना जाता है।

के लिए स्पीयरमैन रैंकों के सहसंबंध गुणांक के महत्व का परीक्षण करना (यदि मूल्यों की संख्या https://pandia.ru/text/78/148/images/image472_0.gif" width="55" height="29"> संख्या और महत्व स्तर पर निर्भर करती है। यदि अनुभवजन्य मूल्य अधिक है, तो स्तर महत्व पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि विशेषताएं सहसंबद्ध हैं।

उदाहरण 1मनोवैज्ञानिक यह पता लगाता है कि गणित और भौतिकी में छात्रों की प्रगति के परिणाम कैसे संबंधित हैं, जिसके परिणाम उपनामों द्वारा क्रमबद्ध श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।

योग की गणना करें, तो स्पीयरमैन के रैंकों का सहसंबंध गुणांक इसके बराबर है:

की जाँच करें पाया गया रैंक सहसंबंध गुणांक का महत्व. आइए स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्यों को तालिका से देखें (देखें परिशिष्ट):

https://pandia.ru/text/78/148/images/image480_0.gif" width="72" height="25"> मान = 0.64 और मान 0.79 से अधिक है। यह इंगित करता है कि मूल्य गिर गया सहसंबंध गुणांक के महत्व का क्षेत्र। इसलिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि स्पीयरमैन रैंकों का सहसंबंध गुणांक 0 से काफी अलग है। इसका मतलब है कि गणित और भौतिकी में छात्रों की प्रगति के परिणाम सकारात्मक रूप से सहसम्बन्धित हैं . गणित में प्रदर्शन और भौतिकी में प्रदर्शन के बीच एक महत्वपूर्ण सकारात्मक संबंध है: गणित में प्रदर्शन जितना बेहतर होगा, भौतिकी में औसत प्रदर्शन उतना ही बेहतर होगा और इसके विपरीत।

पियर्सन और स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक की तुलना करते हुए, हम ध्यान देते हैं कि पियर्सन सहसंबंध गुणांक मूल्यों को सहसंबंधित करता है मात्रा, और स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक मान है रैंकये मान, इसलिए पियर्सन और स्पीयरमैन गुणांक के मान अक्सर समान नहीं होते हैं।

मनोवैज्ञानिक अनुसंधान में प्राप्त प्रायोगिक सामग्री की अधिक संपूर्ण समझ के लिए, पियर्सन और स्पीयरमैन दोनों के अनुसार गुणांकों की गणना करने की सलाह दी जाती है।

टिप्पणी. की उपस्थिति में समान रैंकरैंक श्रृंखला में और रैंक के सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए सूत्र के अंश में, शब्द जोड़े जाते हैं - "रैंक के लिए सुधार": ; ,

जहां https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21" height="19">;

https://pandia.ru/text/78/148/images/image165_1.gif" width="16" height="19">.

इस मामले में, रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना करने का सूत्र https://pandia.ru/text/78/148/images/image485_0.gif" width="16" height="19"> का रूप लेता है।

संघ गुणांक लागू करने की शर्तें।

1. तुलनात्मक लक्षणों को द्विबीजपत्री पैमाने पर मापा गया।

2..gif" width="21" height="19">, 0 और 1 चिन्हों से चिह्नित, तालिका में दिए गए हैं।