प्राकृतिक मूल्य। प्राकृतिक संख्या - मूल बातें

संख्याएँ एक अमूर्त अवधारणा हैं। वे वस्तुओं की एक मात्रात्मक विशेषता हैं और वास्तविक, तर्कसंगत, नकारात्मक, पूर्णांक और आंशिक, साथ ही साथ प्राकृतिक भी हैं।

प्राकृतिक श्रृंखला का उपयोग आमतौर पर गिनती में किया जाता है, जिसमें मात्रा पदनाम स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। बचपन में खाते से परिचित होना शुरू हो जाता है। किस बच्चे ने मज़ेदार गिनती तुकबंदी से परहेज किया है, जिसमें प्राकृतिक गिनती के तत्वों का इस्तेमाल किया गया था? "एक, दो, तीन, चार, पाँच ... बन्नी टहलने के लिए निकला!" या "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, राजा ने मुझे फांसी देने का फैसला किया ..."

किसी भी प्राकृत संख्या के लिए, आप उससे बड़ी दूसरी संख्या ज्ञात कर सकते हैं। इस सेट को आमतौर पर N अक्षर से दर्शाया जाता है और इसे वृद्धि की दिशा में अनंत माना जाना चाहिए। लेकिन इस सेट की शुरुआत है - यह एक इकाई है। यद्यपि फ्रांसीसी प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनमें से सेट में शून्य भी शामिल है। लेकिन दोनों सेटों की मुख्य विशिष्ट विशेषताएं यह तथ्य है कि उनमें या तो भिन्नात्मक या ऋणात्मक संख्याएं शामिल नहीं हैं।

प्रागैतिहासिक काल में विभिन्न प्रकार की वस्तुओं को गिनने की आवश्यकता उत्पन्न हुई। तब "प्राकृतिक संख्या" की अवधारणा का गठन किया गया था। इसका गठन मानव विश्वदृष्टि, विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विकास को बदलने की पूरी प्रक्रिया के दौरान हुआ।

हालाँकि, वे अभी तक अमूर्त रूप से नहीं सोच सकते थे। उनके लिए यह समझना मुश्किल था कि "तीन शिकारी" या "तीन पेड़" की अवधारणाओं की समानता क्या है। इसलिए, लोगों की संख्या का संकेत देते समय, एक परिभाषा का उपयोग किया गया था, और जब एक ही तरह की वस्तुओं की एक ही संख्या का संकेत दिया गया था, तो एक पूरी तरह से अलग परिभाषा का उपयोग किया गया था।

और यह बेहद छोटा था। इसमें केवल संख्या 1 और 2 मौजूद थे, और गिनती "कई", "झुंड", "भीड़", "ढेर" की अवधारणा के साथ समाप्त हुई।

बाद में, एक अधिक प्रगतिशील खाता बनाया गया, जो पहले से ही व्यापक था। एक दिलचस्प तथ्य यह है कि केवल दो संख्याएँ थीं - 1 और 2, और निम्नलिखित संख्याओं को जोड़कर पहले ही प्राप्त कर लिया गया था।

इसका एक उदाहरण वह जानकारी थी जो ऑस्ट्रेलियाई जनजाति की संख्या श्रृंखला के बारे में हमारे सामने आई थी। उन्होंने 1 शब्द "एंज़ा" और 2 - शब्द "पेटचेवल" को निरूपित किया। संख्या 3 इसलिए "पेटचेवल-एन्ज़ा" की तरह लग रहा था, और 4 - पहले से ही "पेटचेवल-पेटचेवल" की तरह लग रहा था।

अधिकांश राष्ट्रों ने अंगुलियों को गिनती के मानक के रूप में मान्यता दी। इसके अलावा, "प्राकृतिक संख्या" की अमूर्त अवधारणा का विकास एक छड़ी पर पायदानों के उपयोग के मार्ग के साथ हुआ। और फिर एक दर्जन को दूसरे चिन्ह के साथ नामित करने की आवश्यकता थी। प्राचीन लोग, हमारे रास्ते से बाहर, एक और छड़ी का उपयोग करना शुरू कर दिया, जिस पर दहाई का संकेत देते हुए निशान बनाए गए थे।

लेखन के आगमन के साथ संख्याओं के पुनरुत्पादन की संभावनाओं में अत्यधिक विस्तार हुआ। सबसे पहले, संख्याओं को मिट्टी की गोलियों या पपीरस पर डैश के रूप में चित्रित किया गया था, लेकिन धीरे-धीरे अन्य संकेतों को लिखने के लिए इस्तेमाल किया जाने लगा। इस तरह रोमन अंक प्रकट हुए।

बहुत बाद में सामने आया जिसने वर्णों के अपेक्षाकृत छोटे समूह के साथ संख्याएँ लिखने की संभावना खोली। आज इतनी बड़ी संख्या को ग्रहों के बीच की दूरी और तारों की संख्या के रूप में लिखना मुश्किल नहीं है। केवल यह सीखना है कि डिग्रियों का उपयोग कैसे किया जाता है।

तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में "शुरुआत" पुस्तक में यूक्लिड संख्यात्मक सेट की अनंतता को स्थापित करता है। और "Psamit" में आर्किमिडीज़ ने मनमाने ढंग से बड़ी संख्या के नामों के निर्माण के सिद्धांतों का खुलासा किया। लगभग उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य तक, लोगों को "प्राकृतिक संख्या" की अवधारणा के स्पष्ट सूत्रीकरण की आवश्यकता का सामना नहीं करना पड़ा। स्वयंसिद्ध गणितीय पद्धति के आगमन के साथ परिभाषा की आवश्यकता थी।

और उन्नीसवीं सदी के 70 के दशक में उन्होंने समुच्चय की अवधारणा के आधार पर प्राकृतिक संख्याओं की स्पष्ट परिभाषा तैयार की। और आज हम पहले से ही जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याएँ सभी पूर्णांक हैं, 1 से लेकर अनंत तक। छोटे बच्चे, सभी विज्ञानों की रानी - गणित - को जानने के लिए अपना पहला कदम उठाते हुए, इन नंबरों का अध्ययन करना शुरू करते हैं।

1.1 परिभाषा

गिनती करते समय लोग जिन नंबरों का उपयोग करते हैं, उन्हें कहा जाता है प्राकृतिक(उदाहरण के लिए, एक, दो, तीन, ..., एक सौ, एक सौ एक, ..., तीन हजार दो सौ इक्कीस, ...) प्राकृतिक संख्याओं को लिखने के लिए, विशेष चिह्नों (प्रतीकों) का उपयोग किया जाता है , बुलाया आंकड़ों.

आजकल मान लिया है दशमलव अंकन. संख्याओं को लिखने की दशमलव प्रणाली (या तरीका) अरबी अंकों का उपयोग करती है। ये दस अलग-अलग अंकों के वर्ण हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

कम से कमएक प्राकृतिक संख्या एक संख्या है एक, यहदशमलव अंक से लिखा जाता है - 1. अगली प्राकृतिक संख्या पिछले एक (एक को छोड़कर) से 1 (एक) जोड़कर प्राप्त की जाती है। यह जोड़ कई बार (अनंत बार) किया जा सकता है। इसका मतलब है कि नहीं महानतमप्राकृतिक संख्या। इसलिए, यह कहा जाता है कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला असीमित या अनंत है, क्योंकि इसका कोई अंत नहीं है। प्राकृतिक संख्याएँ दशमलव अंकों का उपयोग करके लिखी जाती हैं।

1.2। संख्या "शून्य"

किसी चीज़ की अनुपस्थिति को इंगित करने के लिए, संख्या का उपयोग करें " शून्य" या " शून्य". यह संख्याओं के साथ लिखा गया है। 0 (शून्य)। उदाहरण के लिए, एक डिब्बे में सभी गेंदें लाल हैं। उनमें से कितने हरे हैं? - उत्तर: शून्य . तो बॉक्स में कोई हरी गेंद नहीं है! नंबर 0 का मतलब हो सकता है कि कुछ खत्म हो गया है। उदाहरण के लिए, माशा के पास 3 सेब थे। उसने दो दोस्तों के साथ साझा किया, एक उसने खुद खाया। तो वह चली गई है 0 (शून्य) सेब, यानी कुछ भी शेष नहीं। नंबर 0 का मतलब हो सकता है कि कुछ नहीं हुआ। उदाहरण के लिए, रूसी टीम और कनाडाई टीम के बीच एक हॉकी मैच स्कोर के साथ समाप्त हुआ 3:0 ("तीन - शून्य" पढ़ें) रूसी टीम के पक्ष में। इसका मतलब है कि रूसी टीम ने 3 गोल किए, और कनाडाई टीम 0 गोल, एक भी गोल नहीं कर सकी। हमें याद रखना चाहिए वह शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।

1.3। प्राकृतिक संख्या लिखना

प्राकृतिक संख्या लिखने के दशमलव तरीके में, प्रत्येक अंक का अर्थ अलग-अलग संख्या हो सकता है। यह अंक के अंकन में इस अंक के स्थान पर निर्भर करता है। प्राकृतिक संख्या के अंकन में एक निश्चित स्थान को कहा जाता है स्थान।इसलिए, दशमलव संकेतन कहा जाता है स्थितीय।संख्या के दशमलव अंकन 7777 पर विचार करें सात हजार सात सौ सत्तर सात।इस प्रविष्टि में सात हजार, सात सौ, सात दहाई और सात इकाइयां हैं।

किसी संख्या के दशमलव अंकन में प्रत्येक स्थान (स्थिति) को कहा जाता है स्राव होना. प्रत्येक तीन अंकों को मिलाकर बनाया जाता है कक्षा।यह मिलन दाएं से बाएं (संख्या प्रविष्टि के अंत से) किया जाता है। विभिन्न रैंकों और वर्गों के अपने-अपने नाम हैं। प्राकृतिक संख्याओं की संख्या असीमित होती है। इसलिए, रैंकों और वर्गों की संख्या भी सीमित नहीं है ( अंतहीन). दशमलव अंकन वाली संख्या के उदाहरण का उपयोग करके अंकों और वर्गों के नामों पर विचार करें

38 001 102 987 000 128 425:

वर्ग और रैंक
क्विंटिलियन		सैकड़ों क्विंटिलियन
		दसियों क्विंटिलियन
		क्विंटिलियन
क्वाड्रिलियन्स		सैकड़ों क्वाड्रिलियन
		दसियों क्वाड्रिलियन्स
		क्वाड्रिलियन्स
अरबों		सैकड़ों खरब
		दसियों खरब
		अरबों
अरबों		सैकड़ों अरब
		दसियों अरब
		अरबों
लाखों		लाखों में सैकड़ों
		करोड़ों
		लाखों
		लाखों
		दसियों हजारों की

इसलिए, सबसे कम उम्र से शुरू होने वाली कक्षाओं के नाम हैं: इकाइयाँ, हज़ारों, लाखों, अरबों, खरबों, क्वाड्रिलियन्स, क्विंटिलियन्स।

1.4। बिट इकाइयां

प्राकृतिक संख्याओं के अंकन में प्रत्येक वर्ग में तीन अंक होते हैं। प्रत्येक रैंक है बिट इकाइयां. निम्नलिखित संख्याओं को बिट यूनिट कहा जाता है:

1 - इकाइयों के अंक की अंकीय इकाई,

10 - दहाई अंक की अंकीय इकाई,

सौ अंकों की 100 बिट इकाई,

1 000 - हज़ार स्थान की बिट इकाई,

10,000 - हजारों की अंकों की इकाई,

100,000 - सैकड़ों हजारों की बिट इकाई,

1,000,000 लाखों आदि के अंकों की अंकीय इकाई है।

किसी भी अंक में संख्या इस अंक की इकाइयों की संख्या दर्शाती है। तो, संख्या 9, अरबों के सैकड़ों स्थान में, का अर्थ है कि संख्या 38,001,102,987,000 128,425 में नौ अरब शामिल हैं (अर्थात, 9 गुना 1,000,000,000 या अरबों की 9 बिट इकाइयां)। सैकड़ों क्विंटिल्स अंकों के खाली होने का मतलब है कि इस संख्या में सैकड़ों क्विंटिलियंस नहीं हैं या उनकी संख्या शून्य के बराबर है। इस मामले में, संख्या 38 001 102 987 000 128 425 निम्नानुसार लिखी जा सकती है: 038 001 102 987 000 128 425।

आप इसे अलग तरीके से लिख सकते हैं: 000 038 001 102 987 000 128 425। संख्या की शुरुआत में शून्य खाली उच्च-क्रम अंक दर्शाते हैं। आमतौर पर वे दशमलव अंकन के अंदर शून्य के विपरीत नहीं लिखे जाते हैं, जो आवश्यक रूप से खाली अंकों को चिह्नित करते हैं। तो, लाखों की कक्षा में तीन शून्य का मतलब है कि करोड़ों, करोड़ों और लाखों की इकाइयों के अंक खाली हैं।

1.5। लेखन संख्या में संकेताक्षर

प्राकृतिक संख्याएँ लिखते समय संक्षिप्त रूपों का उपयोग किया जाता है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

1,000 = 1 हजार (एक हजार)

23,000,000 = 23 मिलियन (तेईस करोड़)

5,000,000,000 = 5 अरब (पांच अरब)

203,000,000,000,000 = 203 ट्रिलियन (दो सौ तीन खरब)

107,000,000,000,000,000 = 107 वर्ग दिन। (एक सौ सात क्वाड्रिलियन)

1,000,000,000,000,000,000 = 1 किलोवाट। (एक क्विंटिलियन)

ब्लॉक 1.1। शब्दकोष

§1 से नए शब्दों और परिभाषाओं की शब्दावली संकलित करें। ऐसा करने के लिए, खाली खानों में, नीचे दिए गए शब्दों की सूची से शब्दों को दर्ज करें। तालिका में (ब्लॉक के अंत में), प्रत्येक परिभाषा के लिए सूची से शब्द की संख्या इंगित करें।

ब्लॉक 1.2। आत्म प्रशिक्षण

बड़ी संख्या की दुनिया में

अर्थव्यवस्था .

1. अगले वर्ष के लिए रूस का बजट होगा: 6328251684128 रूबल।
2. इस वर्ष के लिए नियोजित व्यय: 5124983252134 रूबल।
3. देश का राजस्व 1203268431094 रूबल से खर्च से अधिक हो गया।

प्रश्न और कार्य

1. दी गई तीनों संख्याओं को पढ़िए
2. तीन संख्याओं में से प्रत्येक के मिलियन वर्ग में अंक लिखिए

1. प्रत्येक संख्या में कौन सा खंड संख्याओं के अंकन के अंत से सातवें स्थान के अंक से संबंधित है?
2. नंबर 2 पहले नंबर में कितने बिट यूनिट दिखाता है?... दूसरे और तीसरे नंबर में?
3. तीन संख्याओं के अंकन में अंत से आठवें स्थान के लिए बिट इकाई का नाम बताइए।

भूगोल (लंबाई)

1. पृथ्वी की भूमध्यरेखीय त्रिज्या: 6378245 मीटर
2. भूमध्य रेखा परिधि: 40075696 मीटर
3. विश्व महासागर की सबसे बड़ी गहराई (प्रशांत महासागर में मैरियन ट्रेंच) 11500 मी

प्रश्न और कार्य

1. तीनों मानों को सेंटीमीटर में बदलें और परिणामी संख्याओं को पढ़ें।
2. पहली संख्या (सेमी में) के लिए, वर्गों में संख्याएँ लिखें:

लाखों _______

करोड़ों _______

हज़ारों _______

अरबों _______

सैकड़ों लाखों _______

1. दूसरी संख्या के लिए (सेमी में), संख्या प्रविष्टि में संख्या 4, 7, 5, 9 के अनुरूप बिट इकाइयां लिखें

1. तीसरे मान को मिलीमीटर में बदलें, परिणामी संख्या पढ़ें।
2. तीसरी संख्या (मिमी में) के रिकॉर्ड में सभी पदों के लिए, तालिका में अंकों और अंकों की इकाइयों को इंगित करें:

भूगोल (वर्ग)

1. पृथ्वी की पूरी सतह का क्षेत्रफल 510,083 हजार वर्ग किलोमीटर है।
2. पृथ्वी पर राशियों का क्षेत्रफल 148,628 हजार वर्ग किलोमीटर है।
3. पृथ्वी की जल सतह का क्षेत्रफल 361,455 हजार वर्ग किलोमीटर है।

प्रश्न और कार्य

1. तीनों मानों को वर्ग मीटर में बदलें और परिणामी संख्याओं को पढ़ें।
2. इन संख्याओं (वर्ग मीटर में) के रिकॉर्ड में गैर-शून्य अंकों के अनुरूप वर्गों और रैंकों को नाम दें।
3. तीसरी संख्या (वर्ग एम में) की प्रविष्टि में, संख्या 1, 3, 4, 6 के अनुरूप बिट इकाइयों का नाम दें।
4. दूसरे मान की दो प्रविष्टियों में (वर्ग किमी और वर्ग मीटर में), इंगित करें कि संख्या 2 किस अंक से संबंधित है।
5. दूसरे मान के अभिलेखों में संख्या 2 के लिए बिट इकाइयाँ लिखिए।

ब्लॉक 1.3। कंप्यूटर के साथ संवाद।

यह ज्ञात है कि खगोल विज्ञान में अक्सर बड़ी संख्या का उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देते हैं। चंद्रमा की पृथ्वी से औसत दूरी 384 हजार किमी है। सूर्य से पृथ्वी की दूरी (औसत) 149504 हजार किमी, मंगल से पृथ्वी की दूरी 55 मिलियन किमी है। कंप्यूटर पर, वर्ड टेक्स्ट एडिटर का उपयोग करते हुए, टेबल बनाएं ताकि संकेतित संख्याओं के रिकॉर्ड में प्रत्येक अंक एक अलग सेल (सेल) में हो। ऐसा करने के लिए, टूलबार पर कमांड निष्पादित करें: तालिका → तालिका जोड़ें → पंक्तियों की संख्या (कर्सर के साथ "1" डालें) → स्तंभों की संख्या (स्वयं की गणना करें)। अन्य नंबरों के लिए टेबल बनाएं ("स्व-तैयारी" ब्लॉक करें)।

ब्लॉक 1.4। बड़ी संख्या का रिले

तालिका की पहली पंक्ति में बड़ी संख्या होती है। इसे पढ़ें। फिर कार्यों को पूरा करें: संख्या प्रविष्टि में संख्याओं को दाईं या बाईं ओर ले जाकर, अगली संख्याएँ प्राप्त करें और उन्हें पढ़ें। (संख्या के अंत में शून्य को स्थानांतरित न करें!)। कक्षा में डंडों को एक-दूसरे को पास करके चलाया जा सकता है।

लाइन 2 . पहली पंक्ति में संख्या के सभी अंकों को दो कक्षों के माध्यम से बाईं ओर ले जाएँ। संख्या 5 को उसके बाद वाली संख्या से बदलें। खाली सेल को जीरो से भरें। संख्या पढ़ें।

रेखा 3 . दूसरी पंक्ति में संख्या के सभी अंकों को तीन कक्षों के माध्यम से दाईं ओर ले जाएँ। संख्या प्रविष्टि में संख्या 3 और 4 को निम्न संख्याओं से बदलें। खाली सेल को जीरो से भरें। संख्या पढ़ें।

पंक्ति 4। संख्या के सभी अंकों को पंक्ति 3 एक सेल में बाईं ओर ले जाएँ। खरब वर्ग में संख्या 6 को पिछले एक में बदलें, और अरब वर्ग में अगली संख्या में। खाली सेल को जीरो से भरें। परिणामी संख्या पढ़ें।

पंक्ति 5 . पंक्ति 4 में संख्या के सभी अंकों को एक सेल में दाईं ओर ले जाएं। संख्या 7 को "हजारों के दसियों" स्थान पर पिछले एक के साथ बदलें, और अगले एक के साथ "दसियों लाख" स्थान पर। परिणामी संख्या पढ़ें।

पंक्ति 6 . 3 सेल के बाद संख्या के सभी अंकों को पंक्ति 5 में बाईं ओर ले जाएँ। सैकड़ों अरबों के स्थान में संख्या 8 को पिछले एक में बदलें, और संख्या 6 को अगली संख्या में करोड़ों के स्थान पर बदलें। खाली सेल को जीरो से भरें। परिणामी संख्या की गणना करें।

रेखा 7 . संख्या के सभी अंकों को पंक्ति 6 ​​में एक सेल द्वारा दाईं ओर ले जाएँ। दसियों क्वाड्रिलियन और दसियों अरब स्थानों में अंकों की अदला-बदली करें। परिणामी संख्या पढ़ें।

रेखा 8 . पंक्ति 7 में संख्या के सभी अंकों को एक सेल के माध्यम से बाईं ओर ले जाएँ। अंकों को क्विंटिलियन और क्वाड्रिलियन स्थानों में स्वैप करें। खाली सेल को जीरो से भरें। परिणामी संख्या पढ़ें।

रेखा 9 . संख्या के सभी अंकों को पंक्ति 8 में तीन कोशिकाओं के माध्यम से दाईं ओर ले जाएँ। लाखों और खरबों वर्गों से संख्या पंक्ति में दो सन्निकट संख्याओं की अदला-बदली करें। परिणामी संख्या पढ़ें।

रेखा 10 . संख्या के सभी अंकों को पंक्ति 9 एक सेल में दाईं ओर ले जाएँ। परिणामी संख्या पढ़ें। मास्को ओलंपियाड के वर्ष को इंगित करने वाली संख्याओं को हाइलाइट करें।

ब्लॉक 1.5। आइए खेलते हैं

आग जलाओ

खेल का मैदान एक क्रिसमस ट्री की तस्वीर है। इसमें 24 बल्ब हैं। लेकिन इनमें से 12 ही बिजली ग्रिड से जुड़े हैं। कनेक्टेड लैंप का चयन करने के लिए, आपको "हां" या "नहीं" शब्दों के साथ प्रश्नों का सही उत्तर देना होगा। कंप्यूटर पर एक ही खेल खेला जा सकता है; सही उत्तर प्रकाश बल्ब "प्रकाशित" करता है।

1. क्या यह सत्य है कि संख्याएँ प्राकृत संख्याओं को लिखने के लिए विशेष चिह्न हैं? (1 - हाँ, 2 - नहीं)
2. क्या यह सच है कि 0 सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है? (3 - हाँ, 4 - नहीं)
3. क्या यह सच है कि स्थितीय संख्या प्रणाली में एक ही अंक विभिन्न संख्याओं को दर्शा सकता है? (5 - हाँ, 6 - नहीं)
4. क्या यह सच है कि संख्याओं के दशमलव अंकन में एक निश्चित स्थान को एक स्थान कहा जाता है? (7 - हाँ, 8 - नहीं)
5. संख्या 543 384 दी गई है। क्या यह सच है कि इसमें सबसे महत्वपूर्ण अंकों की संख्या 543 है, और सबसे कम 384 है? (9 - हाँ, 10 - नहीं)
6. क्या यह सच है कि अरबों की कक्षा में सबसे पुरानी बिट इकाई एक सौ अरब है, और सबसे छोटी इकाई एक अरब है? (11 - हाँ, 12 - नहीं)
7. संख्या 458 121 दी गई है। क्या यह सत्य है कि सबसे महत्वपूर्ण अंकों की संख्या और सबसे कम महत्वपूर्ण अंकों की संख्या का योग 5 है? (13 - हाँ, 14 - नहीं)
8. क्या यह सच है कि खरब-वर्ग की सबसे पुरानी इकाई, लाख-वर्ग की सबसे पुरानी इकाई से दस लाख गुना बड़ी है? (15 - हाँ, 16 - नहीं)
9. दो संख्याएँ 637508 और 831 दी गई हैं। क्या यह सच है कि पहली संख्या का सबसे महत्वपूर्ण 1 दूसरी संख्या के सबसे महत्वपूर्ण 1 का 1000 गुना है? (17 - हाँ, 18 - नहीं)
10. संख्या 432 दी गई है। क्या यह सच है कि इस संख्या की सबसे महत्वपूर्ण बिट इकाई सबसे छोटी इकाई से 2 गुना अधिक है? (19 - हाँ, 20 - नहीं)
11. संख्या 100,000,000 दी गई है। क्या यह सच है कि इसमें 10,000 बनाने वाली बिट इकाइयों की संख्या 1000 है? (21 - हाँ, 22 - नहीं)
12. क्या यह सच है कि ट्रिलियन वर्ग क्वाड्रिलियन वर्ग से पहले है, और यह कि क्विंटिलियन वर्ग उस वर्ग से पहले है? (23 - हाँ, 24 - नहीं)

1.6। संख्या के इतिहास से

प्राचीन काल से, मनुष्य को चीजों की संख्या की गणना करने, वस्तुओं की संख्या की तुलना करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ा है (उदाहरण के लिए, पांच सेब, सात तीर ...; एक जनजाति में 20 पुरुष और तीस महिलाएं हैं, ... ). एक निश्चित संख्या में वस्तुओं के भीतर क्रम स्थापित करने की भी आवश्यकता थी। उदाहरण के लिए, शिकार करते समय, जनजाति का नेता पहले जाता है, जनजाति का सबसे मजबूत योद्धा दूसरे स्थान पर आता है, और इसी तरह। इन उद्देश्यों के लिए, संख्याओं का उपयोग किया गया था। उनके लिए विशेष नामों का आविष्कार किया गया था। भाषण में, उन्हें अंक कहा जाता है: एक, दो, तीन, आदि कार्डिनल संख्याएँ हैं, और पहले, दूसरे, तीसरे क्रमिक संख्याएँ हैं। संख्याएँ विशेष वर्णों - संख्याओं का उपयोग करके लिखी गई थीं।

समय के साथ थे संख्या प्रणाली।ये ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें संख्याओं को लिखने के तरीके और उन पर विभिन्न क्रियाएँ शामिल हैं। सबसे पुरानी ज्ञात संख्या प्रणाली मिस्र, बेबीलोनियन और रोमन संख्या प्रणाली हैं। रूस में 'पुराने दिनों में, एक विशेष चिह्न ~ (टाइटलो) के साथ वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग संख्याओं को लिखने के लिए किया जाता था। दशमलव संख्या प्रणाली वर्तमान में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से कंप्यूटर की दुनिया में, बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम हैं।

तो, एक ही संख्या लिखने के लिए, आप विभिन्न संकेतों - संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं। तो, मिस्र के अंकों में चार सौ पच्चीस की संख्या लिखी जा सकती है - चित्रलिपि:

यह संख्याओं को लिखने का मिस्री तरीका है। रोमन अंकों में समान संख्या: सीडीएक्सएक्सवी(संख्या लिखने का रोमन तरीका) या दशमलव अंक 425 (संख्याओं का दशमलव अंकन)। बाइनरी नोटेशन में, यह इस तरह दिखता है: 110101001 (संख्याओं का बाइनरी या बाइनरी नोटेशन), और ऑक्टल में - 651 (संख्याओं का अष्टक अंकन)। हेक्साडेसिमल नोटेशन में, यह लिखा जाएगा: 1ए9(हेक्साडेसिमल नोटेशन)। आप इसे काफी सरलता से कर सकते हैं: रॉबिन्सन क्रूसो की तरह, एक लकड़ी के खंभे पर चार सौ पच्चीस अंक (या स्ट्रोक) बनाएं - IIIIIIIII…... तृतीय. ये प्राकृतिक संख्याओं की पहली छवियां हैं।

तो, संख्या लिखने की दशमलव प्रणाली में (संख्या लिखने के दशमलव तरीके में), अरबी अंकों का उपयोग किया जाता है। ये दस अलग-अलग वर्ण हैं - संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . बाइनरी में, दो बाइनरी अंक: 0, 1; अष्टक में - आठ अष्टक अंक: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; हेक्साडेसिमल में - सोलह विभिन्न हेक्साडेसिमल अंक: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ए, बी, सी, डी, ई, एफ; सेक्सजेसिमल (बेबीलोनियन) में - साठ अलग-अलग वर्ण - संख्याएं, आदि)

दशमलव अंक मध्य पूर्व, अरब देशों से यूरोपीय देशों में आए। इसके कारण नाम - अरबी अंक. लेकिन वे भारत से अरबों में आए, जहां उनका आविष्कार पहली सहस्राब्दी के मध्य के आसपास हुआ था।

1.7। रोमन अंक प्रणाली

आज उपयोग में आने वाली प्राचीन संख्या प्रणालियों में से एक रोमन प्रणाली है। हम तालिका में रोमन अंक प्रणाली की मुख्य संख्याएँ और दशमलव प्रणाली की संगत संख्याएँ देते हैं।

रोमन अंक					सी
				50 पचास		500 पांच सौ	1000 हजार

रोमन अंक प्रणाली है अतिरिक्त प्रणाली।इसमें स्थितीय प्रणालियों (उदाहरण के लिए, दशमलव) के विपरीत, प्रत्येक अंक समान संख्या को दर्शाता है। हाँ, रिकॉर्ड द्वितीय- संख्या दो (1 + 1 = 2), संकेतन को दर्शाता है तृतीय- नंबर तीन (1 + 1 + 1 = 3), अंकन XXX- संख्या तीस (10 + 10 + 10 = 30), आदि। निम्नलिखित नियम लेखन संख्या पर लागू होते हैं।

1. यदि छोटी संख्या है बाद मेंबड़ा, फिर इसे बड़े में जोड़ा जाता है: सातवीं- संख्या सात (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- संख्या सत्रह (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), एमसीएल- संख्या एक हजार एक सौ पचास (1000 + 100 + 50 = 1150)।
2. यदि छोटी संख्या है इससे पहलेबड़ा, तो इसे बड़े से घटाया जाता है: नौवीं- संख्या नौ (9 = 10 - 1), एलएम- संख्या नौ सौ पचास (1000 - 50 = 950)।

बड़ी संख्या लिखने के लिए, आपको नए वर्णों - संख्याओं का उपयोग (आविष्कार) करना होगा। इसी समय, संख्याओं की प्रविष्टियाँ बोझिल हो जाती हैं, रोमन अंकों के साथ गणना करना बहुत कठिन होता है। तो रोमन संकेतन में पहले कृत्रिम पृथ्वी उपग्रह (1957) के प्रक्षेपण का रूप है एमसीएमएलवीआईआई .

ब्लॉक 1. 8. पंच कार्ड

प्राकृतिक संख्या पढ़ना

मंडलियों के साथ मानचित्र का उपयोग करके इन कार्यों की जांच की जाती है। आइए इसके आवेदन की व्याख्या करें। सभी कार्यों को पूरा करने और सही उत्तर खोजने के बाद (उन्हें ए, बी, सी, आदि अक्षरों से चिह्नित किया गया है), कार्ड पर पारदर्शी कागज की एक शीट डालें। उस पर "X" चिह्न के साथ सही उत्तर चिह्नित करें, साथ ही संयोजन चिह्न "+"। फिर पृष्ठ पर पारदर्शी शीट बिछाएं ताकि संरेखण के निशान मेल खा सकें। यदि इस पृष्ठ पर सभी "X" चिह्न ग्रे सर्कल में हैं, तो कार्य ठीक से पूर्ण हो गए हैं।

1.9। प्राकृतिक संख्याओं का पठन क्रम

प्राकृतिक संख्या पढ़ते समय, निम्नानुसार आगे बढ़ें।

1. संख्या प्रविष्टि के अंत से मानसिक रूप से संख्या को तीन (कक्षाओं) में दाएं से बाएं विभाजित करें।

1. कनिष्ठ वर्ग से शुरू करते हुए, दाएं से बाएं (संख्या प्रविष्टि के अंत से), वे वर्गों के नाम लिखते हैं: इकाइयां, हजारों, लाखों, अरबों, खरबों, क्वाड्रिलियन, क्विंटिलियन।
2. हाई स्कूल से शुरू करते हुए संख्या पढ़ें। इस मामले में, बिट इकाइयों की संख्या और वर्ग का नाम कहा जाता है।
3. यदि अंक शून्य है (अंक खाली है), तो इसे नहीं कहा जाता है। यदि बुलाए गए वर्ग के सभी तीन अंक शून्य हैं (अंक खाली हैं), तो इस वर्ग को नहीं कहा जाता है।

आइए पढ़ते हैं (नाम) तालिका में लिखी गई संख्या (देखें § 1), चरण 1 - 4 के अनुसार। मानसिक रूप से संख्या 38001102987000128425 को दाएं से बाएं कक्षाओं में विभाजित करें: 038 001 102 987 000 128 425। इस संख्या में वर्ग, अंत से शुरू करके इसकी प्रविष्टियाँ हैं: इकाइयाँ, हज़ारों, लाखों, अरबों, खरबों, क्वाड्रिलियन, क्विंटिलियन। अब आप संख्या पढ़ सकते हैं, वरिष्ठ वर्ग से शुरू करते हुए। हम संबंधित वर्ग के नाम को जोड़कर तीन अंकों, दो अंकों और एक अंकों की संख्या का नाम देते हैं। खाली कक्षाओं का नाम नहीं है। हमें निम्नलिखित संख्या मिलती है:

• 038 - अड़तीस क्विंटिलियन
• 001 - एक क्वाड्रिलियन
• 102 - एक सौ दो ट्रिलियन
• 987 - नौ सौ सत्तासी अरब
• 000 - नाम मत लो (पढ़ो मत)
• 128 - एक लाख अट्ठाईस हजार
• 425 - चार सौ पच्चीस

नतीजतन, प्राकृतिक संख्या 38 001 102 987 000 128 425 निम्नानुसार पढ़ी जाती है: "अड़तीस क्विंटल एक क्वाड्रिलियन एक सौ दो ट्रिलियन नौ सौ सत्तासी अरब एक सौ अट्ठाईस हजार चार सौ पच्चीस।"

1.9। प्राकृतिक संख्या लिखने का क्रम

प्राकृतिक संख्याएँ निम्नलिखित क्रम में लिखी जाती हैं।

1. प्रत्येक वर्ग के लिए तीन अंक लिखें, उच्चतम वर्ग से शुरू करके इकाई अंक तक। इस मामले में, संख्याओं के वरिष्ठ वर्ग के लिए दो या एक हो सकते हैं।
2. यदि वर्ग या पद का नाम नहीं है तो संबंधित अंकों में शून्य लिखे जाते हैं।

उदाहरण के लिए, संख्या पच्चीस लाख तीन सौ दोरूप में लिखा है: 25 000 302 (हजार वर्ग का नाम नहीं है, इसलिए, हजार वर्ग के सभी अंकों में शून्य लिखे गए हैं)।

1.10। बिट शब्दों के योग के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व

आइए एक उदाहरण देते हैं: 7 563 429 संख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व है सत्तर लाख पांच सौ तिरसठ हजार चार सौ उनतीस।इस संख्या में सात लाख, पांच सौ हजार, छह दस हजार, तीन हजार, चार सौ, दो दस और नौ इकाइयां शामिल हैं। इसे एक योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: 7,563,429 \u003d 7,000,000 + 500,000 + 60,000 + + 3,000 + 400 + 20 + 9। इस तरह की प्रविष्टि को बिट शब्दों के योग के रूप में एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व कहा जाता है।

ब्लॉक 1.11। आइए खेलते हैं

कालकोठरी खजाने

खेल के मैदान पर किपलिंग की परी कथा "मोगली" के लिए एक चित्र है। पांच पेटियों में ताले लगे हैं। उन्हें खोलने के लिए, आपको समस्याओं को हल करने की आवश्यकता है। वहीं, जब आप लकड़ी का संदूक खोलते हैं, तो आपको एक अंक मिलता है। जब आप एक टिन की पेटी खोलते हैं, तो आपको दो अंक मिलते हैं, एक तांबे का एक - तीन अंक, एक चांदी का एक - चार, और एक सोने का एक - पांच। विजेता वह है जो तेजी से सभी चेस्ट खोलता है। वही खेल कंप्यूटर पर खेला जा सकता है।

1. लकड़ी की पेटी

पता करें कि इस संदूक में कितना पैसा (हजार रूबल में) है। ऐसा करने के लिए, आपको संख्या: 125308453231 के लिए लाखों वर्ग की कम से कम महत्वपूर्ण बिट इकाइयों की कुल संख्या खोजने की आवश्यकता है।

1. टिन की छाती

पता करें कि इस संदूक में कितना पैसा (हजार रूबल में) है। ऐसा करने के लिए, 12530845323 संख्या में इकाई वर्ग की कम से कम महत्वपूर्ण बिट इकाइयों की संख्या और मिलियन वर्ग की कम से कम महत्वपूर्ण बिट इकाइयों की संख्या ज्ञात करें। फिर इन संख्याओं का योग ज्ञात करें और सही विशेषता पर दस लाख के स्थान पर संख्या दें।

1. तांबे की छाती

इस तिजोरी का धन (हजार रूबल में) ज्ञात करने के लिए 751305432198203 संख्या में खरब वर्ग में न्यूनतम अंक की इकाई तथा अरब वर्ग में निम्नतम अंक की इकाई की संख्या ज्ञात कीजिए। फिर इन संख्याओं का योग ज्ञात करें और दाईं ओर इस संख्या की इकाइयों के वर्ग की प्राकृतिक संख्याओं को उनकी व्यवस्था के क्रम में निर्दिष्ट करें।

1. चाँदी की छाती

इस चेस्ट का धन (मिलियन रूबल में) दो संख्याओं के योग द्वारा दिखाया जाएगा: संख्या 481534185491502 के लिए हज़ारों वर्ग की निम्नतम अंकों की इकाइयों की संख्या और बिलियन वर्ग की औसत अंकों की इकाइयाँ।

1. सुनहरी छाती

संख्या 800123456789123456789 दी गई है। यदि हम इस संख्या के सभी वर्गों के उच्चतम अंकों में संख्याओं को गुणा करते हैं, तो हमें इस तिजोरी का पैसा मिलियन रूबल में मिलता है।

ब्लॉक 1.12। मिलान

प्राकृतिक संख्याएँ लिखिए। बिट शब्दों के योग के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व

बाएँ स्तंभ में प्रत्येक कार्य के लिए, दाएँ स्तंभ से एक समाधान चुनें। उत्तर को फॉर्म में लिखें: 1a; 2जी; 3बी…

	संख्याएँ लिखिए:पांच लाख पच्चीस हजार
	संख्याएँ लिखिए:पांच अरब पच्चीस लाख
	संख्याएँ लिखिए:पांच खरब पच्चीस
	संख्याएँ लिखिए:सतहत्तर लाख सतहत्तर हजार सात सौ सतहत्तर
	संख्याएँ लिखिए:बहत्तर-सात खरब सात सौ सतहत्तर हजार सात
	संख्याएँ लिखिए:बहत्तर करोड़ सात सौ सतहत्तर हजार सात
	संख्याएँ लिखिए:एक सौ तेईस अरब चार सौ छप्पन लाख सात सौ उनासी हजार
	संख्याएँ लिखिए:एक सौ तेईस मिलियन चार सौ छप्पन हजार सात सौ नवासी
	संख्याएँ लिखिए:तीन अरब ग्यारह
	संख्याएँ लिखिए:तीन अरब ग्यारह लाख

विकल्प 2

	बत्तीस अरब एक सौ पचहत्तर लाख दो सौ नब्बे आठ हजार तीन सौ इकतालीस		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	संख्या को बिट शब्दों के योग के रूप में व्यक्त करें:तीन सौ इक्कीस लाख इकतालीस		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	संख्या को बिट शब्दों के योग के रूप में व्यक्त करें: 321000175298341
	संख्या को बिट शब्दों के योग के रूप में व्यक्त करें: 101010101
	संख्या को बिट शब्दों के योग के रूप में व्यक्त करें: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	बिट शब्दों के योग के रूप में दर्शाई गई संख्या को दशमलव संकेतन में लिखें: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	बिट शब्दों के योग के रूप में दर्शाई गई संख्या को दशमलव संकेतन में लिखें: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	बिट शब्दों के योग के रूप में दर्शाई गई संख्या को दशमलव संकेतन में लिखें: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	बिट शब्दों के योग के रूप में दर्शाई गई संख्या को दशमलव संकेतन में लिखें: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

ब्लॉक 1.13। पहलू परीक्षण

परीक्षण का नाम "कीड़ों की यौगिक आंख" शब्द से आया है। यह एक मिश्रित आँख है, जिसमें अलग-अलग "आँखें" होती हैं। पहलू परीक्षण के कार्य अलग-अलग तत्वों से बनते हैं, जो संख्याओं द्वारा दर्शाए जाते हैं। आम तौर पर पहलू परीक्षणों में बड़ी संख्या में कार्य होते हैं। लेकिन इस परीक्षण में केवल चार कार्य हैं, लेकिन वे बड़ी संख्या में तत्वों से बने हैं। यह आपको यह सिखाने के लिए किया जाता है कि परीक्षण समस्याओं को "एकत्रित" कैसे करें। यदि आप उन्हें बना सकते हैं, तो आप आसानी से अन्य पहलू परीक्षणों का सामना कर सकते हैं।

आइए हम समझाते हैं कि तीसरे कार्य के उदाहरण का उपयोग करके कार्यों की रचना कैसे की जाती है। यह गिने हुए परीक्षण तत्वों से बना है: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« यदि एक» 1) तालिका से संख्याएँ लें (संख्या); 4) 7; 7) इसे एक श्रेणी में रखें; 11) अरब; 1) तालिका से एक संख्या लें; 5) 8; 7) इसे रैंकों में रखें; 9) करोड़ों; 10) लाखों में सैकड़ों; 16) लाखों; 17) दसियों हजारों की; 22) संख्या 9 और 6 को हजारों और सैकड़ों स्थानों पर रखें। 21) शेष अंकों को शून्य से भरें; " फिर» 26) हमें सेकंड (एस) में सूर्य के चारों ओर प्लूटो ग्रह की क्रांति के समय (अवधि) के बराबर संख्या मिलती है; " यह संख्या है»: 7880889600 एस। उत्तरों में, यह पत्र द्वारा इंगित किया गया है "में"।

समस्याओं को हल करते समय, तालिका के कक्षों में संख्याओं को एक पेंसिल से लिखें।

पहलू परीक्षण। एक संख्या बनाओ

तालिका में संख्याएँ हैं:

यदि एक

1) तालिका से संख्या (संख्या) लें:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) इस अंक (संख्याओं) को श्रेणी (अंकों) में रखें;

8) सैकड़ों क्वाड्रिलियन और दसियों क्वाड्रिलियन;

9) दसियों लाख;

10) करोड़ों;

11) अरब;

12) क्विंटिल्स;

13) दसियों क्विंटिल्स;

14) सैकड़ों क्विंटिल्स;

15) खरब;

16) सैकड़ों हजारों;

17) दसियों हजार;

18) कक्षा (कक्षाओं) को उसके (उन्हें) से भरें;

19) क्विंटिल्स;

20) अरब;

21) शेष अंकों को शून्य से भरें;

22) संख्या 9 और 6 को हज़ारों और सैकड़ों स्थानों पर रखें;

23) हमें दसियों टन में पृथ्वी के द्रव्यमान के बराबर संख्या मिलती है;

24) हमें घन मीटर में पृथ्वी के आयतन के लगभग बराबर संख्या मिलती है;

25) हमें सूर्य से सौर मंडल के सबसे दूर के ग्रह प्लूटो की दूरी (मीटर में) के बराबर संख्या मिलती है;

26) हमें सेकंड (एस) में सूर्य के चारों ओर प्लूटो ग्रह की क्रांति के समय (अवधि) के बराबर संख्या मिलती है;

यह संख्या है:

ए) 5929000000000

बी) 999990000000000000000

घ) 598000000000000000000

समस्याओं का समाधान:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

जवाब

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - जी

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - बी

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - में

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - एक

गणित में, संख्याओं के कई अलग-अलग सेट हैं: वास्तविक, जटिल, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, ... हमारे में रोजमर्रा की जिंदगीहम अक्सर प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करते हैं, क्योंकि जब हम गिनती करते हैं और वस्तुओं की संख्या को इंगित करते हुए खोजते हैं तो हम उनका सामना करते हैं।

संपर्क में

किन संख्याओं को प्राकृतिक कहा जाता है

दस अंकों से, आप कक्षाओं और रैंकों के किसी भी मौजूदा योग को लिख सकते हैं। प्राकृतिक मूल्य वे हैं जिनका उपयोग किया जाता है:

• किसी भी आइटम की गिनती करते समय (पहला, दूसरा, तीसरा, ... पांचवां, ... दसवां)।
• वस्तुओं की संख्या का संकेत देते समय (एक, दो, तीन ...)

एन मान हमेशा पूर्णांक और सकारात्मक होते हैं। कोई सबसे बड़ा N नहीं है, क्योंकि पूर्णांक मानों का सेट सीमित नहीं है।

ध्यान!वस्तुओं को गिनकर या उनकी मात्रा को निर्दिष्ट करके प्राकृतिक संख्याएँ प्राप्त की जाती हैं।

बिल्कुल किसी भी संख्या को विघटित और बिट शर्तों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए: 8.346.809 = 8 मिलियन + 346 हजार + 809 इकाइयां।

सेट एन

समुच्चय N समुच्चय में है वास्तविक, पूर्णांक और सकारात्मक. सेट आरेख में, वे एक-दूसरे में होंगे, क्योंकि नैचुरल का सेट उनका हिस्सा है।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को N अक्षर से निरूपित किया जाता है। इस समुच्चय की शुरुआत होती है लेकिन अंत नहीं।

एक विस्तारित समुच्चय N भी है, जहाँ शून्य शामिल है।

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या

अधिकांश गणितीय विद्यालयों में, N का सबसे छोटा मान एक इकाई के रूप में गिना जाता है, चूंकि वस्तुओं की अनुपस्थिति को खाली माना जाता है।

लेकिन विदेशी गणितीय स्कूलों में, उदाहरण के लिए, फ्रेंच में, इसे स्वाभाविक माना जाता है। श्रृंखला में शून्य की उपस्थिति प्रमाण को सुगम बनाती है कुछ प्रमेय.

मानों का एक सेट जिसमें शून्य शामिल है, को विस्तारित कहा जाता है और इसे प्रतीक N0 (शून्य सूचकांक) द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला

एक एन पंक्ति अंकों के सभी एन सेटों का अनुक्रम है। इस क्रम का कोई अंत नहीं है।

प्राकृतिक श्रृंखला की ख़ासियत यह है कि अगली संख्या पिछले एक से भिन्न होगी, अर्थात यह बढ़ जाएगी। लेकिन अर्थ नकारात्मक नहीं हो सकता.

ध्यान!मतगणना की सुविधा के लिए, वर्ग और श्रेणियां हैं:

• इकाइयां (1, 2, 3),
• दहाई (10, 20, 30),
• सैकड़ों (100, 200, 300),
• हजारों (1000, 2000, 3000),
• हज़ारों (30.000),
• सैकड़ों हजारों (800.000),
• लाखों (4000000) आदि।

सभी एन

सभी N वास्तविक, पूर्णांक, गैर-ऋणात्मक मानों के सेट में हैं। वे उनके हैं अभिन्न अंग.

ये मूल्य अनंत तक जाते हैं, वे लाखों, अरबों, क्विंटिलियन आदि वर्गों से संबंधित हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए:

• पाँच सेब, तीन बिल्ली के बच्चे,
• दस रूबल, तीस पेंसिल,
• सौ किलो, तीन सौ किताबें,
• एक लाख सितारे, तीस लाख लोग, आदि।

एन में अनुक्रम

विभिन्न गणितीय विद्यालयों में, कोई दो अंतराल पा सकता है जिससे अनुक्रम N संबंधित है:

शून्य से प्लस अनंत तक, सिरों सहित, और एक से प्लस अनंत तक, सिरों सहित, यानी सभी सकारात्मक संपूर्ण उत्तर.

अंकों का N समुच्चय या तो सम या विषम हो सकता है। विषमता की अवधारणा पर विचार करें।

विषम (कोई भी विषम संख्या 1, 3, 5, 7, 9 में समाप्त होती है।) दो के साथ शेषफल होता है। उदाहरण के लिए, 7:2=3.5, 11:2=5.5, 23:2=11.5।

एन का मतलब क्या है?

वर्गों का कोई भी सम योग संख्याओं में समाप्त होता है: 0, 2, 4, 6, 8. सम N को 2 से विभाजित करने पर कोई शेष नहीं बचेगा, अर्थात परिणाम एक संपूर्ण उत्तर है। उदाहरण के लिए, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728।

महत्वपूर्ण!एन की एक संख्यात्मक श्रृंखला में केवल सम या विषम मान शामिल नहीं हो सकते हैं, क्योंकि उन्हें वैकल्पिक होना चाहिए: एक सम संख्या के बाद हमेशा एक विषम संख्या होती है, फिर एक सम संख्या, और इसी तरह।

एन गुण

अन्य सभी समुच्चयों की तरह, N के अपने विशेष गुण हैं। एन श्रृंखला (विस्तारित नहीं) के गुणों पर विचार करें।

• वह मान जो सबसे छोटा है और जो किसी अन्य का अनुसरण नहीं करता है वह एक है।
• N एक अनुक्रम है, अर्थात एक प्राकृतिक मान दूसरे का अनुसरण करता है(एक को छोड़कर - यह पहला है)।
• जब हम अंकों और वर्गों (जोड़ें, गुणा करें) के N योगों पर कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन करते हैं, तो उत्तर हमेशा स्वाभाविक रूप से बाहर आता हैअर्थ।
• गणना में, आप क्रमचय और संयोजन का उपयोग कर सकते हैं।
• प्रत्येक बाद का मान पिछले वाले से कम नहीं हो सकता। साथ ही N श्रृंखला में, निम्नलिखित कानून संचालित होगा: यदि संख्या A, B से कम है, तो संख्या श्रृंखला में हमेशा एक C होगा, जिसके लिए समानता सत्य है: A + C \u003d B।
• यदि हम दो प्राकृतिक भाव लेते हैं, उदाहरण के लिए, ए और बी, तो उनमें से एक भाव उनके लिए सही होगा: ए \u003d बी, ए बी से बड़ा है, ए बी से छोटा है।
• यदि A, B से छोटा है और B, C से छोटा है, तो यह उसी का अनुसरण करता है कि A, C से छोटा है.
• यदि A, B से छोटा है, तो यह इस प्रकार है: यदि हम उनके साथ समान अभिव्यक्ति (C) जोड़ते हैं, तो A + C, B + C से छोटा है। यह भी सत्य है कि यदि इन मानों को C से गुणा किया जाए, तो AC, AB से कम होता है।
• यदि B, A से बड़ा है लेकिन C से कम है, तो B-A, C-A से छोटा है।

ध्यान!उपरोक्त सभी असमानताएँ विपरीत दिशा में भी मान्य हैं।

गुणन के घटक क्या कहलाते हैं?

कई सरल और जटिल कार्यों में, उत्तर खोजना स्कूली बच्चों की क्षमता पर निर्भर करता है।

जल्दी और सही ढंग से गुणा करने और उलटा समस्याओं को हल करने में सक्षम होने के लिए, आपको गुणन के घटकों को जानने की जरूरत है।

15. 10=150। इस अभिव्यक्ति में, 15 और 10 कारक हैं, और 150 एक उत्पाद है।

गुणन में ऐसे गुण होते हैं जो समस्याओं, समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय आवश्यक होते हैं:

• कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से अंतिम उत्पाद नहीं बदलता है।
• अज्ञात कारक खोजने के लिए, आपको उत्पाद को ज्ञात कारक (सभी कारकों के लिए मान्य) से विभाजित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए: 15 . एक्स = 150। उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करें। 150:15=10. चेक करते हैं। पंद्रह . 10=150। इस सिद्धांत के अनुसार भी जटिल रेखीय समीकरण(यदि आप उन्हें सरल करते हैं)।

महत्वपूर्ण!उत्पाद में केवल दो कारकों से अधिक शामिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए: 840=2 . 5. 7. 3. 4

गणित में प्राकृतिक संख्याएं क्या हैं?

प्राकृतिक संख्याओं का निर्वहन और वर्ग

निष्कर्ष

आइए संक्षेप करते हैं। एन का उपयोग वस्तुओं की संख्या की गणना या संकेत करते समय किया जाता है। अंकों के प्राकृतिक सेट की संख्या अनंत है, लेकिन इसमें अंकों और वर्गों के केवल पूर्णांक और सकारात्मक योग शामिल हैं। गुणन के लिए भी आवश्यक है चीजों को गिनने के लिए, साथ ही समस्याओं, समीकरणों और विभिन्न असमानताओं को हल करने के लिए।

छठी शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास सामान्य दर्शन से गणित का उदय हुआ। ई।, और उसी क्षण से दुनिया भर में उसका विजयी मार्च शुरू हुआ। विकास के प्रत्येक चरण ने कुछ नया पेश किया - प्राथमिक गिनती विकसित हुई, अंतर और अभिन्न कलन में बदल गई, सदियों से बदल गई, सूत्र अधिक से अधिक भ्रमित हो गए, और वह क्षण आया जब "सबसे जटिल गणित शुरू हुआ - सभी संख्याएँ इससे गायब हो गईं।" लेकिन आधार क्या था?

समय की शुरुआत

पहले गणितीय संक्रियाओं के साथ प्राकृतिक संख्याएँ दिखाई दीं। एक बार एक रीढ़, दो रीढ़, तीन रीढ़ ... वे भारतीय वैज्ञानिकों के लिए धन्यवाद प्रकट हुए जिन्होंने पहली स्थिति को घटाया

शब्द "स्थितीयता" का अर्थ है कि किसी संख्या में प्रत्येक अंक का स्थान सख्ती से परिभाषित है और इसकी श्रेणी से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 784 और 487 समान संख्याएँ हैं, लेकिन संख्याएँ समतुल्य नहीं हैं, क्योंकि पहले में 7 सौ शामिल हैं, जबकि दूसरे में केवल 4 हैं। अरबों ने भारतीयों के नवाचार को उठाया, जिन्होंने संख्याओं को रूप में लाया कि अब हम जानते हैं।

प्राचीन काल में, संख्याओं को एक रहस्यमय अर्थ दिया गया था, पाइथागोरस का मानना ​​​​था कि संख्या मुख्य तत्वों - अग्नि, जल, पृथ्वी, वायु के साथ-साथ दुनिया के निर्माण को रेखांकित करती है। यदि हम प्रत्येक बात को केवल गणितीय पक्ष से ही मानें, तो प्राकृत संख्या क्या होती है? प्राकृतिक संख्याओं के क्षेत्र को एन के रूप में दर्शाया गया है और संख्याओं की एक अनंत श्रृंखला है जो पूर्णांक और धनात्मक हैं: 1, 2, 3, … + ∞। शून्य को बाहर रखा गया है। यह मुख्य रूप से वस्तुओं की गिनती और ऑर्डर इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

गणित में क्या है? Peano के स्वयंसिद्ध

फ़ील्ड N वह आधार फ़ील्ड है जिस पर प्रारंभिक गणित निर्भर करता है। समय के साथ, पूर्णांकों के क्षेत्र, परिमेय,

इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो के काम ने अंकगणित की आगे की संरचना को संभव बनाया, इसकी औपचारिकता हासिल की और आगे के निष्कर्षों का मार्ग प्रशस्त किया जो क्षेत्र एन से आगे निकल गया।

प्राकृतिक संख्या क्या होती है यह पहले सरल भाषा में स्पष्ट किया गया था, नीचे हम पीआनो के स्वयंसिद्धों पर आधारित एक गणितीय परिभाषा पर विचार करेंगे।

• एक को प्राकृतिक संख्या माना जाता है।
• प्राकृतिक संख्या के बाद आने वाली संख्या प्राकृतिक संख्या होती है।
• एक से पहले कोई प्राकृत संख्या नहीं होती।
• यदि संख्या b संख्या c और संख्या d दोनों का अनुसरण करती है, तो c = d।
• प्रेरण का सिद्धांत, जो बदले में दिखाता है कि एक प्राकृतिक संख्या क्या है: यदि पैरामीटर पर निर्भर कुछ कथन संख्या 1 के लिए सत्य है, तो हम मानते हैं कि यह प्राकृतिक संख्या एन के क्षेत्र से संख्या एन के लिए भी काम करता है। तब कथन प्राकृतिक संख्या N के क्षेत्र से n = 1 के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक संख्या के क्षेत्र के लिए बुनियादी संचालन

चूँकि फ़ील्ड N गणितीय गणनाओं के लिए पहला बन गया है, परिभाषा के डोमेन और नीचे दिए गए कई ऑपरेशनों के मानों की श्रेणी दोनों इसे संदर्भित करते हैं। वे बंद हैं और नहीं। मुख्य अंतर यह है कि क्लोज्ड ऑपरेशंस को सेट N के भीतर एक परिणाम छोड़ने की गारंटी दी जाती है, चाहे कोई भी संख्या शामिल हो। यह काफी है कि वे प्राकृतिक हैं। शेष संख्यात्मक अंतःक्रियाओं का परिणाम अब इतना स्पष्ट नहीं है और सीधे तौर पर इस बात पर निर्भर करता है कि अभिव्यक्ति में किस प्रकार की संख्याएँ शामिल हैं, क्योंकि यह मुख्य परिभाषा का खंडन कर सकती है। तो, बंद संचालन:

• जोड़ - x + y = z, जहाँ x, y, z फ़ील्ड N में शामिल हैं;
• गुणन - x * y = z, जहाँ x, y, z को N क्षेत्र में शामिल किया गया है;
• घातांक - x y , जहाँ x, y को N क्षेत्र में शामिल किया गया है।

शेष संक्रियाएँ, जिनके परिणाम "क्या एक प्राकृतिक संख्या है" परिभाषा के संदर्भ में मौजूद नहीं हो सकते हैं, निम्नलिखित हैं:

फ़ील्ड N से संबंधित संख्याओं के गुण

आगे के सभी गणितीय तर्क निम्नलिखित गुणों पर आधारित होंगे, सबसे तुच्छ, लेकिन कम महत्वपूर्ण नहीं।

• जोड़ का क्रमविनिमेय गुण x + y = y + x है, जहां संख्या x, y को फ़ील्ड N में शामिल किया जाता है। या प्रसिद्ध "योग शब्दों के स्थानों में परिवर्तन से नहीं बदलता है।"
• गुणन का क्रमविनिमेय गुण x * y = y * x है, जहां संख्या x, y को फ़ील्ड N में शामिल किया गया है।
• जोड़ का साहचर्य गुण (x + y) + z = x + (y + z) है, जहाँ x, y, z को क्षेत्र N में शामिल किया जाता है।
• गुणन की साहचर्य संपत्ति (x * y) * z = x * (y * z) है, जहाँ संख्या x, y, z को फ़ील्ड N में शामिल किया गया है।
• वितरण गुण - x (y + z) = x * y + x * z, जहाँ संख्याएँ x, y, z फ़ील्ड N में शामिल हैं।

पायथागॉरियन टेबल

स्कूली बच्चों द्वारा प्रारंभिक गणित की संपूर्ण संरचना के ज्ञान में पहले चरणों में से एक, जब वे खुद समझ गए कि कौन सी संख्या प्राकृतिक कहलाती है, पाइथागोरस की तालिका है। इसे न केवल विज्ञान की दृष्टि से, बल्कि एक मूल्यवान वैज्ञानिक स्मारक के रूप में भी माना जा सकता है।

इस गुणन तालिका में समय के साथ कई बदलाव हुए हैं: इसमें से शून्य को हटा दिया गया है, और 1 से 10 तक की संख्याएं खुद को बिना किसी आदेश (सैकड़ों, हजारों ...) को ध्यान में रखते हुए निरूपित करती हैं। यह एक तालिका है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों के शीर्षक संख्याएँ हैं, और उनके प्रतिच्छेदन की कोशिकाओं की सामग्री उनके उत्पाद के बराबर है।

हाल के दशकों में शिक्षण के अभ्यास में, पायथागॉरियन तालिका को "क्रम में" याद करने की आवश्यकता हुई है, अर्थात, संस्मरण पहले चला गया। 1 से गुणा को हटा दिया गया क्योंकि परिणाम 1 या अधिक था। इस बीच, नग्न आंखों वाली तालिका में, आप एक पैटर्न देख सकते हैं: संख्याओं का गुणनफल एक कदम बढ़ता है, जो रेखा के शीर्षक के बराबर होता है। इस प्रकार, दूसरा कारक हमें दिखाता है कि वांछित उत्पाद प्राप्त करने के लिए हमें पहली बार कितनी बार लेने की आवश्यकता है। मध्य युग में प्रचलित प्रणाली की तुलना में यह प्रणाली बहुत अधिक सुविधाजनक है: यहां तक ​​​​कि यह समझना कि एक प्राकृतिक संख्या क्या है और यह कितनी तुच्छ है, लोग दो की शक्तियों के आधार पर एक प्रणाली का उपयोग करके अपनी दैनिक गणना को जटिल बनाने में कामयाब रहे।

गणित के पालने के रूप में सबसेट

फिलहाल, प्राकृतिक संख्या एन के क्षेत्र को केवल जटिल संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में माना जाता है, लेकिन यह उन्हें विज्ञान में कम मूल्यवान नहीं बनाता है। एक प्राकृतिक संख्या वह पहली चीज़ है जिसे एक बच्चा स्वयं और अपने आस-पास की दुनिया का अध्ययन करके सीखता है। एक उंगली, दो उंगलियां ... उसके लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति तार्किक सोच विकसित करता है, साथ ही कारण निर्धारित करने और प्रभाव को कम करने की क्षमता, महान खोजों का मार्ग प्रशस्त करता है।

प्राकृतिक संख्या सबसे पुरानी गणितीय अवधारणाओं में से एक है।

दूर के अतीत में, लोग संख्याओं को नहीं जानते थे, और जब उन्हें वस्तुओं (जानवरों, मछली, आदि) को गिनने की आवश्यकता होती थी, तो वे इसे अब की तुलना में अलग तरीके से करते थे।

वस्तुओं की संख्या की तुलना शरीर के अंगों से की गई, उदाहरण के लिए, हाथ पर उंगलियों के साथ, और उन्होंने कहा: "मेरे पास उतने ही नट हैं जितने हाथ में उंगलियां हैं।"

समय के साथ, लोगों ने महसूस किया कि पाँच नट, पाँच बकरियाँ और पाँच खरगोश एक सामान्य संपत्ति हैं - उनकी संख्या पाँच है।

याद है!

पूर्णांकों 1 से शुरू होने वाली संख्याएँ हैं, जो वस्तुओं की गिनती करते समय प्राप्त होती हैं।

1, 2, 3, 4, 5…

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या — 1 .

सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्यामौजूद नहीं।

गिनती करते समय शून्य का प्रयोग नहीं किया जाता है। इसलिए शून्य को प्राकृतिक संख्या नहीं माना जाता है।

लोगों ने संख्याओं को गिनने की तुलना में बहुत बाद में लिखना सीखा। सबसे पहले, उन्होंने एक छड़ी के साथ इकाई का प्रतिनिधित्व करना शुरू किया, फिर दो छड़ियों के साथ - संख्या 2, तीन के साथ - संख्या 3।

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

फिर संख्याओं को नामित करने के लिए विशेष संकेत दिखाई दिए - आधुनिक संख्याओं के अग्रदूत। संख्याएँ लिखने के लिए हम जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं, उनकी उत्पत्ति लगभग 1,500 वर्ष पहले भारत में हुई थी। अरब उन्हें यूरोप ले आए, इसलिए उन्हें कहा जाता है अरबी अंक.

कुल दस अंक हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। इन अंकों का उपयोग किसी भी प्राकृत संख्या को लिखने के लिए किया जा सकता है।

याद है!

प्राकृतिक श्रृंखलासभी प्राकृतिक संख्याओं का क्रम है:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

प्राकृतिक श्रृंखला में, प्रत्येक संख्या पिछले एक से 1 अधिक है।

प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है, इसमें कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।

हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली काउंटिंग प्रणाली कहलाती है दशमलव स्थितीय.

दशमलव क्योंकि प्रत्येक अंक की 10 इकाइयाँ सबसे महत्वपूर्ण अंक की 1 इकाई बनाती हैं। स्थितीय क्योंकि किसी अंक का मान किसी संख्या के अंकन में उसके स्थान पर निर्भर करता है, अर्थात उस अंक पर जिसमें वह लिखा गया है।

महत्वपूर्ण!

बिलियन के बाद की कक्षाओं को संख्याओं के लैटिन नामों के अनुसार नाम दिया गया है। प्रत्येक अगली इकाई में एक हजार पिछले वाले होते हैं।

• 1,000 बिलियन = 1,000,000,000,000 = 1 ट्रिलियन ("तीन" "तीन" के लिए लैटिन है)
• 1,000 ट्रिलियन = 1,000,000,000,000,000 = 1 क्वाड्रिलियन ("क्वाड्रा" "चार" के लिए लैटिन है)
• 1,000 क्वाड्रिलियन = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 क्विंटिलियन ("क्विंटा" "पांच" के लिए लैटिन है)

हालाँकि, भौतिकविदों ने एक संख्या पाई है जो पूरे ब्रह्मांड में सभी परमाणुओं (पदार्थ के सबसे छोटे कणों) की संख्या से अधिक है।

इस संख्या का एक विशेष नाम है - googol. गूगोल एक संख्या है जिसमें 100 शून्य होते हैं।