इकाई एक के संदर्भ में व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना। उच्च गणित

कई गुणों में व्युत्क्रम के समान।

विश्वकोश यूट्यूब

1 / 5

✪ उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें - bezbotvy

✪ उलटा मैट्रिक्स (खोजने के 2 तरीके)

✪ उलटा मैट्रिक्स #1

✪ 2015-01-28। उलटा मैट्रिक्स 3x3

✪ 2015-01-27। उलटा मैट्रिक्स 2x2

उपशीर्षक

उलटा मैट्रिक्स गुण

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), कहाँ डेट (\displaystyle \ \det )एक निर्धारक को दर्शाता है।
• (ए बी) − 1 = बी − 1 ए − 1 (\displaystyle \ (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1))दो वर्ग उलटा मेट्रिसेस के लिए ए (\displaystyle ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी).
• (ए टी) − 1 = (ए − 1) टी (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), कहाँ (...) टी (\displaystyle (...)^(T))ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को दर्शाता है।
• (के ए) − 1 = के − 1 ए − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))किसी भी गुणांक के लिए k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• ई − 1 = ई (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• यदि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, (बी एक गैर-शून्य वेक्टर है) जहां एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)वांछित वेक्टर है, और यदि ए − 1 (\displaystyle A^(-1))मौजूद है, तो एक्स = ए − 1 बी (\displaystyle x=A^(-1)b). अन्यथा, या तो समाधान स्थान का आयाम शून्य से अधिक है, या कोई भी नहीं है।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के तरीके

यदि मैट्रिक्स उलटा है, तो मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, आप निम्न विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं:

सटीक (प्रत्यक्ष) तरीके

गॉस-जॉर्डन विधि

आइए दो आव्यूह लें: स्वयं एऔर अकेला इ. चलिए मैट्रिक्स लाते हैं एगॉस-जॉर्डन विधि द्वारा पहचान मैट्रिक्स में पंक्तियों में परिवर्तन लागू करना (आप कॉलम में परिवर्तन भी लागू कर सकते हैं, लेकिन मिश्रण में नहीं)। प्रत्येक ऑपरेशन को पहले मैट्रिक्स पर लागू करने के बाद, उसी ऑपरेशन को दूसरे पर लागू करें। जब पहले मैट्रिक्स को पहचान फॉर्म में घटाना पूरा हो जाता है, तो दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा ए -1.

गॉस पद्धति का उपयोग करते समय, पहले मैट्रिक्स को प्राथमिक मैट्रिक्स में से एक द्वारा बाईं ओर से गुणा किया जाएगा Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(संक्रमण या विकर्ण मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण पर वाले के साथ, एक स्थिति को छोड़कर):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [1 … 0 - a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

सभी परिचालनों को लागू करने के बाद दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा Λ (\displaystyle \Lambda ), अर्थात् वांछित होगा। एल्गोरिथ्म की जटिलता - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

बीजगणितीय जोड़ के मैट्रिक्स का उपयोग करना

मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स ए (\displaystyle ए), रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

कहाँ adj (ए) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- संलग्न   मैट्रिक्स;

एल्गोरिथ्म की जटिलता निर्धारक O det की गणना के लिए एल्गोरिथ्म की जटिलता पर निर्भर करती है और O(n²) O det के बराबर है।

LU/LUP अपघटन का उपयोग करना

मैट्रिक्स समीकरण ए एक्स = आई एन (\displaystyle AX=I_(n))उलटा मैट्रिक्स के लिए एक्स (\displaystyle X)संग्रह के रूप में देखा जा सकता है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)फॉर्म सिस्टम ए एक्स = बी (\displaystyle Ax=b). निरूपित मैं (\displaystyle i)मैट्रिक्स का -वाँ स्तंभ एक्स (\displaystyle X)द्वारा एक्स आई (\displaystyle X_(i)); तब ए एक्स आई = ई आई (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),क्योंकि मैं (\displaystyle i)मैट्रिक्स का -वाँ स्तंभ मैं n (\displaystyle I_(n))इकाई वेक्टर है ई आई (\displaystyle e_(i)). दूसरे शब्दों में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक ही मैट्रिक्स और अलग-अलग दाहिने हाथ वाले एन समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है। LUP विस्तार (समय O(n³)) चलाने के बाद प्रत्येक n समीकरण को हल करने में O(n²) समय लगता है, इसलिए कार्य के इस भाग में भी O(n³) समय लगता है।

अगर मैट्रिक्स ए नॉनसिंगुलर है, तो हम इसके लिए एलयूपी अपघटन की गणना कर सकते हैं पी ए = एल यू (\displaystyle PA=LU). होने देना पी ए = बी (\displaystyle PA=B), बी − 1 = डी (\displaystyle B^(-1)=D). फिर, व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुणों से, हम लिख सकते हैं: डी = यू − 1 एल − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). यदि हम इस समानता को U और L से गुणा करें, तो हमें इस रूप की दो समानताएँ प्राप्त हो सकती हैं U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))और डी एल = यू − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). इनमें से पहली समानता के लिए n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूहों के गुणों से)। दूसरा n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली भी है n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूहों के गुणों से भी)। साथ में वे n² समानता की एक प्रणाली बनाते हैं। इन समानताओं का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स डी के सभी एन² तत्वों को दोबारा निर्धारित कर सकते हैं। फिर समानता (पीए) -1 = ए -1 पी -1 = बी -1 = डी से हम समानता प्राप्त करते हैं ए − 1 = डी पी (\displaystyle A^(-1)=DP).

एलयू अपघटन का उपयोग करने के मामले में, मैट्रिक्स डी के कॉलम के क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता नहीं है, लेकिन समाधान अलग हो सकता है, भले ही मैट्रिक्स ए नॉनसिंगुलर हो।

एल्गोरिदम की जटिलता ओ (एन³) है।

पुनरावृत्त तरीके

शुल्ज़ के तरीके

( Ψ k = E − AU k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(मामले)))

त्रुटि अनुमान

प्रारंभिक सन्निकटन का विकल्प

पुनरावृत्त मैट्रिक्स व्युत्क्रम की प्रक्रियाओं में प्रारंभिक सन्निकटन को चुनने की समस्या हमें उन्हें स्वतंत्र सार्वभौमिक तरीकों के रूप में व्यवहार करने की अनुमति नहीं देती है जो प्रत्यक्ष उलटा विधियों के साथ प्रतिस्पर्धा करते हैं, उदाहरण के लिए, मेट्रिसेस के एलयू अपघटन पर। चुनने के लिए कुछ सिफारिशें हैं यू 0 (\displaystyle U_(0)), शर्त की पूर्ति सुनिश्चित करना ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय त्रिज्या एकता से कम है), जो प्रक्रिया के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त है। हालांकि, इस मामले में, सबसे पहले, उलटा मैट्रिक्स ए या मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम के अनुमान के ऊपर से जानना आवश्यक है ए ए टी (\displaystyle AA^(T))(अर्थात्, यदि ए एक सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है और ρ (ए) ≤ β (\displaystyle \rho (ए)\leq \beta ), तो आप ले सकते हैं यू 0 = α ई (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), कहाँ ; अगर A एक मनमाना निरर्थक मैट्रिक्स है और ρ (ए ए टी) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), तो मान लीजिए यू 0 = α ए टी (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), कहाँ भी α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); बेशक, इस तथ्य का उपयोग करके स्थिति को सरल बनाया जा सकता है ρ (A A T) ≤ k A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), रखना यू 0 = ए टी ‖ ए ए टी ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). दूसरे, प्रारंभिक मैट्रिक्स के ऐसे विनिर्देश के साथ, इसकी कोई गारंटी नहीं है ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)छोटा होगा (शायद भी ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), और अभिसरण दर का एक उच्च क्रम तुरंत स्पष्ट नहीं होगा।

उदाहरण

मैट्रिक्स 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] । (\displaystyle \mathbf (ए) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (ए))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- बीसी))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))।)

2x2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल तभी संभव है जब a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, मूल एक का गुणन जिसके द्वारा एक पहचान मैट्रिक्स देता है: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की उपस्थिति के लिए एक अनिवार्य और पर्याप्त शर्त मूल एक के निर्धारक की असमानता है (जो बदले में इसका तात्पर्य है कि मैट्रिक्स वर्ग होना चाहिए)। यदि किसी आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर हो तो उसे पतित कहते हैं और ऐसे आव्यूह का कोई व्युत्क्रम नहीं होता। उच्च गणित में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स महत्वपूर्ण होते हैं और कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, पर उलटा मैट्रिक्स ढूँढनासमीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स विधि का निर्माण किया गया है। हमारी सेवा साइट अनुमति देती है ऑनलाइन मैट्रिक्स व्युत्क्रम की गणना करेंदो विधियाँ: गॉस-जॉर्डन विधि और बीजगणितीय जोड़ के मैट्रिक्स का उपयोग करना। पहले का तात्पर्य मैट्रिक्स के भीतर बड़ी संख्या में प्राथमिक परिवर्तनों से है, दूसरा - सभी तत्वों के निर्धारक और बीजगणितीय परिवर्धन की गणना। ऑनलाइन मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, आप हमारी अन्य सेवा का उपयोग कर सकते हैं - ऑनलाइन मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना

.

साइट पर उलटा मैट्रिक्स खोजें

वेबसाइटआपको खोजने की अनुमति देता है उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनतेज़ और मुफ़्त। साइट पर, हमारी सेवा द्वारा गणना की जाती है और परिणाम खोजने के लिए एक विस्तृत समाधान के साथ प्रदर्शित किया जाता है उलटा मैट्रिक्स. सर्वर हमेशा सटीक और सही उत्तर ही देता है। परिभाषा के अनुसार कार्यों में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइन, यह आवश्यक है कि निर्धारक मैट्रिक्सशून्य से भिन्न था, अन्यथा वेबसाइटइस तथ्य के कारण व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की असंभवता की रिपोर्ट करेगा कि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है। खोजने का कार्य उलटा मैट्रिक्सगणित की कई शाखाओं में पाया जाता है, बीजगणित की सबसे बुनियादी अवधारणाओं में से एक है और लागू समस्याओं में एक गणितीय उपकरण है। स्वतंत्र उलटा मैट्रिक्स परिभाषागणना में चूक या छोटी सी त्रुटि न हो, इसके लिए काफी प्रयास, बहुत समय, गणना और बहुत सावधानी की आवश्यकता होती है। इसलिए, हमारी सेवा उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइन ढूँढनाआपके कार्य को बहुत आसान कर देगा और गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक अनिवार्य उपकरण बन जाएगा। यहां तक ​​कि यदि तुम उलटा मैट्रिक्स खोजेंस्वयं, हम अपने सर्वर पर आपके समाधान की जाँच करने की अनुशंसा करते हैं। हमारे उलटे मैट्रिक्स की गणना ऑनलाइन पर अपना मूल मैट्रिक्स दर्ज करें और अपने उत्तर की जांच करें। हमारा सिस्टम कभी गलत नहीं होता और पाता है उलटा मैट्रिक्समोड में दिया गया आयाम ऑनलाइनहाथों हाथ! स्थल पर वेबसाइटतत्वों में वर्ण प्रविष्टियों की अनुमति है मैट्रिक्स, इस मामले में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनसामान्य प्रतीकात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाएगा।

परिभाषा 1:एक मैट्रिक्स को पतित कहा जाता है यदि इसका निर्धारक शून्य है।

परिभाषा 2:एक मैट्रिक्स को गैर-एकवचन कहा जाता है यदि इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

मैट्रिक्स "ए" कहा जाता है उलटा मैट्रिक्स, यदि स्थिति A*A-1 = A-1 *A = E (पहचान मैट्रिक्स) संतुष्ट है।

एक वर्ग मैट्रिक्स केवल उलटा होता है यदि यह एकवचन नहीं है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना:

1) मैट्रिक्स "ए" के निर्धारक की गणना करें यदि ∆ A = 0, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।

2) मैट्रिक्स "ए" के सभी बीजगणितीय पूरक खोजें।

3) बीजगणितीय जोड़ का एक मैट्रिक्स तैयार करें (Aij )

4) बीजगणितीय पूरक (Aij )T के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें

5) इस मैट्रिक्स के निर्धारक के व्युत्क्रम द्वारा ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को गुणा करें।

6) एक चेक चलाएँ:

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह मुश्किल है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है। सभी समाधान सरल अंकगणितीय परिचालनों पर आधारित होते हैं, मुख्य बात जब हल करना "-" और "+" संकेतों के साथ भ्रमित नहीं होना है, और उन्हें खोना नहीं है।

और अब हम आपके साथ मिलकर व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करके एक व्यावहारिक कार्य को हल करते हैं।

कार्य: नीचे दी गई तस्वीर में दिखाए गए व्युत्क्रम मैट्रिक्स "ए" को खोजें:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना में बताए अनुसार हम सब कुछ ठीक उसी तरह हल करते हैं।

1. करने के लिए पहली बात मैट्रिक्स "ए" के निर्धारक को ढूंढना है:

व्याख्या:

हमने अपने निर्धारक को इसके मुख्य कार्यों का उपयोग करके सरल बना दिया है। सबसे पहले, हमने दूसरी और तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति के तत्वों को एक संख्या से गुणा करके जोड़ा।

दूसरे, हमने निर्धारक के दूसरे और तीसरे कॉलम को बदल दिया, और उसके गुणों के अनुसार, हमने उसके सामने के चिन्ह को बदल दिया।

तीसरे, हमने दूसरी पंक्ति का सामान्य कारक (-1) निकाल दिया, जिससे चिन्ह फिर से बदल गया और यह सकारात्मक हो गया। हमने पंक्ति 3 को भी उसी तरह सरल बनाया है जैसे उदाहरण की शुरुआत में किया था।

हमारे पास एक त्रिकोणीय निर्धारक है, जिसमें विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य के बराबर हैं, और संपत्ति 7 द्वारा यह विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है। नतीजतन, हमें मिला ∆ ए = 26, इसलिए उलटा मैट्रिक्स मौजूद है।

ए11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

ए21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

ए23 = -1*(1+4) = -5

ए31 = 1*2 = 2

ए32 = -1*(-1) = -1

ए33 = 1+(1+6) = 7

3. अगला कदम परिणामी परिवर्धन से एक मैट्रिक्स को संकलित करना है:

5. हम इस मैट्रिक्स को निर्धारक के व्युत्क्रम से, यानी 1/26 से गुणा करते हैं:

6. ठीक है, अब हमें केवल जाँच करने की आवश्यकता है:

सत्यापन के दौरान, हमें पहचान मैट्रिक्स प्राप्त हुआ, इसलिए निर्णय बिल्कुल सही ढंग से किया गया था।

उलटा मैट्रिक्स की गणना करने का 2 तरीका।

1. मैट्रिसेस का प्राथमिक परिवर्तन

2. एक प्रारंभिक कनवर्टर के माध्यम से व्युत्क्रम मैट्रिक्स।

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन में शामिल हैं:

1. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

2. किसी दूसरी रेखा की किसी रेखा में जोड़ना, किसी संख्या से गुणा करना।

3. मैट्रिक्स की पंक्तियों की अदला-बदली करना।

4. प्रारंभिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला को लागू करते हुए, हम एक और मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं।

ए -1 = ?

1. (ए|ई) ~ (ई|ए -1 )

2. ए -1*ए=ई

आइए इसे वास्तविक संख्याओं के साथ एक व्यावहारिक उदाहरण में देखें।

व्यायाम:उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान:

की जाँच करें:

समाधान पर थोड़ा स्पष्टीकरण:

हमने पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों 1 और 2 की अदला-बदली की, फिर हमने पहली पंक्ति को (-1) से गुणा किया।

उसके बाद, पहली पंक्ति को (-2) से गुणा किया गया और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। फिर हमने दूसरी पंक्ति को 1/4 से गुणा किया।

परिवर्तन का अंतिम चरण दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करना और पहली से जोड़ना था। नतीजतन, हमारे पास बाईं ओर एक पहचान मैट्रिक्स है, इसलिए उलटा मैट्रिक्स दाईं ओर का मैट्रिक्स है।

जाँच के बाद, हम समाधान की शुद्धता के प्रति आश्वस्त थे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना बहुत सरल है।

इस व्याख्यान के समापन में, मैं कुछ समय ऐसे मैट्रिक्स के गुणों पर देना चाहूंगा।

मैट्रिक्स बीजगणित - व्युत्क्रम मैट्रिक्स

उलटा मैट्रिक्स

उलटा मैट्रिक्सएक मैट्रिक्स कहा जाता है, जो किसी दिए गए मैट्रिक्स द्वारा दाईं और बाईं ओर दोनों को गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स देता है।
मैट्रिक्स व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निरूपित करें एके माध्यम से, फिर परिभाषा के अनुसार हमें मिलता है:

कहाँ इपहचान मैट्रिक्स है।
स्क्वायर मैट्रिक्सबुलाया गैर विशेष (गैर पतित) यदि इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। नहीं तो कहा जाता है विशेष (पतित) या एकवचन.

एक प्रमेय है: प्रत्येक गैर-एकवचन मैट्रिक्स में एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होता है।

प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है अपील करनामैट्रिक्स। मैट्रिक्स व्युत्क्रम एल्गोरिथम पर विचार करें। मान लीजिए कि एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स दिया गया है एन-वाँ आदेश:

जहां Δ = डीईटी ए ≠ 0.

बीजगणितीय तत्व पूरकमैट्रिक्स एन-वाँ आदेश एमैट्रिक्स के निर्धारक ( एन-1)-वाँ आदेश हटाकर प्राप्त किया गया मैं-वीं पंक्ति और जेमैट्रिक्स का -वाँ स्तंभ ए:

चलो एक तथाकथित बनाते हैं जुड़ा हुआआव्यूह:

जहां मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक हैं ए.
ध्यान दें कि मैट्रिक्स के पंक्ति तत्वों के बीजगणितीय पूरक एमैट्रिक्स के संबंधित कॉलम में रखा गया है Ã , यानी मैट्रिक्स को एक साथ स्थानांतरित किया जाता है।
सभी मैट्रिक्स तत्वों को विभाजित करना Ã Δ पर - मैट्रिक्स के निर्धारक का मान एपरिणाम के रूप में, हमें उलटा मैट्रिक्स मिलता है:

हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स के कई विशेष गुणों पर ध्यान देते हैं:
1) किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए एइसका उलटा मैट्रिक्स एक ही है;
2) यदि कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, तब ठीक उलटाऔर बाएं उल्टामैट्रिसेस इसके साथ मेल खाते हैं;
3) एक विशेष (पतित) वर्ग मैट्रिक्स में व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं होता है।

उलटा मैट्रिक्स के मुख्य गुण:
1) व्युत्क्रम मैट्रिक्स के निर्धारक और मूल मैट्रिक्स के निर्धारक व्युत्क्रम हैं;
2) वर्ग मैट्रिसेस के उत्पाद का व्युत्क्रम मैट्रिक्स विपरीत क्रम में लिए गए कारकों के व्युत्क्रम मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर है:

3) ट्रांसपोज़्ड इनवर्स मैट्रिक्स दिए गए ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स से इनवर्स मैट्रिक्स के बराबर है:

उदाहरण दिए गए मैट्रिक्स व्युत्क्रम की गणना करें।

मैट्रिक्स A -1 को मैट्रिक्स A के संबंध में व्युत्क्रम मैट्रिक्स कहा जाता है, यदि A * A -1 \u003d E, जहाँ E n वें क्रम का पहचान मैट्रिक्स है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद हो सकता है।

सेवा कार्य. ऑनलाइन इस सेवा का उपयोग करके, आप बीजगणितीय जोड़, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स A T, यूनियन मैट्रिक्स और इनवर्स मैट्रिक्स पा सकते हैं। समाधान सीधे साइट (ऑनलाइन) पर किया जाता है और मुफ़्त है। गणना के परिणाम वर्ड फॉर्मेट और एक्सेल फॉर्मेट में एक रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाते हैं (अर्थात, समाधान की जांच करना संभव है)। डिजाइन उदाहरण देखें।

निर्देश। समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको मैट्रिक्स का आयाम निर्दिष्ट करना होगा। अगला, नए डायलॉग बॉक्स में, मैट्रिक्स ए भरें।

मैट्रिक्स आयाम 2 3 4 5 6 7 8 9 10

जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी देखें

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टी ढूँढना।
2. बीजगणितीय जोड़ की परिभाषा। मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उसके बीजगणितीय पूरक से बदलें।
3. बीजगणितीय परिवर्धन से व्युत्क्रम मैट्रिक्स का संकलन: परिणामी मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।

अगला उलटा मैट्रिक्स एल्गोरिथ्मपिछले एक के समान, कुछ चरणों को छोड़कर: पहले, बीजगणितीय पूरक की गणना की जाती है, और फिर संघ मैट्रिक्स C निर्धारित किया जाता है।

1. निर्धारित करें कि क्या मैट्रिक्स वर्गाकार है। यदि नहीं, तो इसके लिए कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं है।
2. मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना। यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, तो हम समाधान जारी रखते हैं, अन्यथा प्रतिलोम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।
3. बीजगणितीय जोड़ की परिभाषा।
4. संघ (पारस्परिक, आसन्न) मैट्रिक्स सी भरना।
5. बीजगणितीय परिवर्धन से व्युत्क्रम मैट्रिक्स का संकलन: आसन्न मैट्रिक्स C के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।
6. जाँच करें: मूल और परिणामी आव्यूहों का गुणा करें। परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए।

उदाहरण 1। हम मैट्रिक्स को फॉर्म में लिखते हैं: