पैरामीट्रिक रूप से दिया गया दूसरा डेरिवेटिव ढूँढना। पैरामीट्रिक तरीके से परिभाषित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

अब तक, हमने समतल पर रेखाओं के समीकरणों पर विचार किया है, जो इन रेखाओं के बिंदुओं के वर्तमान निर्देशांकों से सीधे संबंधित हैं। हालाँकि, रेखा को निर्दिष्ट करने का एक अन्य तरीका अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसमें वर्तमान निर्देशांक को तीसरे चर के कार्यों के रूप में माना जाता है।

एक चर के दो कार्य दिए जाने दें

टी के समान मूल्यों के लिए माना जाता है। फिर टी के इन मूल्यों में से कोई भी एक निश्चित मूल्य और वाई के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, और इसके परिणामस्वरूप, एक निश्चित बिंदु पर। जब वेरिएबल टी फ़ंक्शंस के डोमेन (73) से सभी मानों के माध्यम से चलता है, बिंदु विमान में कुछ लाइन सी का वर्णन करता है। समीकरण (73) को इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण कहा जाता है, और चर को पैरामीटर कहा जाता है।

मान लें कि फ़ंक्शन का एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन है, इस फ़ंक्शन को समीकरणों के दूसरे (73) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

y को एक फलन के रूप में व्यक्त करना

आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि यह फ़ंक्शन समीकरणों (73) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है। इन समीकरणों से समीकरण (74) में संक्रमण को प्राचल का विलोपन कहा जाता है। पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कार्यों पर विचार करते समय, पैरामीटर का बहिष्करण न केवल आवश्यक नहीं है, बल्कि हमेशा व्यावहारिक रूप से संभव भी नहीं है।

कई मामलों में, यह अधिक सुविधाजनक है, पैरामीटर के विभिन्न मूल्यों को देखते हुए, सूत्रों (73) का उपयोग करके, तर्क और फ़ंक्शन y के संबंधित मानों की गणना करना।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1. चलो मूल और त्रिज्या R पर केंद्रित एक वृत्त का एक मनमाना बिंदु है। इस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक x और y को इसके ध्रुवीय त्रिज्या और ध्रुवीय कोण के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसे हम यहाँ t द्वारा निरूपित करते हैं, इस प्रकार ( अध्याय I, § 3, आइटम 3 देखें):

समीकरण (75) वृत्त के प्राचलिक समीकरण कहलाते हैं। उनमें पैरामीटर ध्रुवीय कोण है, जो 0 से भिन्न होता है।

यदि समीकरणों (75) को चुकता किया जाता है और शब्द द्वारा जोड़ा जाता है, तो पहचान के कारण, पैरामीटर समाप्त हो जाता है और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में वृत्त समीकरण प्राप्त होता है, जो दो प्राथमिक कार्यों को निर्धारित करता है:

इन कार्यों में से प्रत्येक को समीकरणों (75) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किया गया है, लेकिन इन कार्यों के लिए पैरामीटर भिन्नता की श्रेणियां भिन्न हैं। पहले के लिए; इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊपरी अर्धवृत्त है। दूसरे फ़ंक्शन के लिए, इसका ग्राफ़ निचला अर्धवृत्त है।

उदाहरण 2. एक ही समय में एक दीर्घवृत्त पर विचार करें

और एक वृत्त मूल बिंदु और त्रिज्या a (चित्र 138) पर केंद्रित है।

दीर्घवृत्त के प्रत्येक बिंदु M के लिए, हम वृत्त के एक बिंदु N को जोड़ते हैं, जिसमें बिंदु M के समान भुज होता है, और यह ऑक्स अक्ष के एक ही तरफ स्थित होता है। बिंदु N की स्थिति, और इसलिए बिंदु M, बिंदु के ध्रुवीय कोण t द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है। इस मामले में, उनके सामान्य भुज के लिए, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं: x \u003d a। हम दीर्घवृत्त समीकरण से बिंदु M पर समन्वय पाते हैं:

चिन्ह इसलिए चुना गया है क्योंकि बिंदु M पर कोटि और बिंदु N पर कोटि में एक ही चिह्न होने चाहिए।

इस प्रकार, दीर्घवृत्त के लिए निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त होते हैं:

यहां पैरामीटर टी 0 से बदलकर .

उदाहरण 3. एक ऐसे वृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र बिंदु a) और त्रिज्या a है, जो स्पष्ट रूप से मूल बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है (चित्र 139)। मान लीजिए यह वह वृत्त है जो x-अक्ष पर बिना खिसके लुढ़कता है। तब वृत्त का बिंदु M, जो प्रारंभिक क्षण में उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, एक रेखा का वर्णन करता है, जिसे चक्रज कहा जाता है।

हम साइक्लोइड के पैरामीट्रिक समीकरणों को प्राप्त करते हैं, पैरामीटर टी के रूप में सर्कल एमएसडब्ल्यू के रोटेशन के कोण को ले जाते हैं जब इसके निश्चित बिंदु को स्थिति ओ से स्थिति एम तक ले जाते हैं। फिर बिंदु एम के निर्देशांक और वाई के लिए हम निम्नलिखित भाव प्राप्त करते हैं:

इस तथ्य के कारण कि वृत्त बिना खिसके अक्ष के साथ घूमता है, खंड OB की लंबाई चाप VM की लंबाई के बराबर है। चूँकि VM चाप की लंबाई त्रिज्या a और केंद्रीय कोण t के गुणनफल के बराबर है, तब . इसीलिए । लेकिन, इसलिए,

ये समीकरण चक्रज के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। पैरामीटर टी को 0 से सर्कल में बदलने पर एक पूर्ण क्रांति होगी। बिंदु M चक्रज के एक चाप का वर्णन करेगा।

पैरामीटर t का बहिष्करण यहाँ बोझिल भावों की ओर ले जाता है और व्यावहारिक रूप से अव्यावहारिक है।

लाइनों की पैरामीट्रिक परिभाषा विशेष रूप से अक्सर यांत्रिकी में उपयोग की जाती है, और समय एक पैरामीटर की भूमिका निभाता है।

उदाहरण 4। आइए एक कोण पर प्रारंभिक वेग के साथ एक बंदूक से प्रक्षेपित प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र को निर्धारित करें। वायु प्रतिरोध और प्रक्षेप्य आयाम, इसे भौतिक बिंदु मानते हुए उपेक्षित हैं।

आइए एक समन्वय प्रणाली चुनें। निर्देशांक की उत्पत्ति के लिए, हम थूथन से प्रक्षेप्य के प्रस्थान बिंदु को लेते हैं। चलो ऑक्स अक्ष को क्षैतिज रूप से निर्देशित करते हैं, और ओए अक्ष - लंबवत, उन्हें बंदूक के थूथन के साथ एक ही विमान में रखते हैं। यदि कोई गुरुत्वाकर्षण बल नहीं होता, तो प्रक्षेप्य ऑक्स अक्ष के साथ एक कोण बनाते हुए एक सीधी रेखा के साथ आगे बढ़ता, और समय t तक यह पथ की यात्रा कर चुका होता। समय t पर प्रक्षेप्य के निर्देशांक क्रमशः बराबर होंगे: . पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण, प्रक्षेप्य को इस क्षण लंबवत रूप से एक मान से नीचे उतरना चाहिए। इसलिए, वास्तव में, समय t पर, प्रक्षेप्य के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

ये समीकरण स्थिरांक हैं। जब टी बदलता है, प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र बिंदु के निर्देशांक भी बदल जाएंगे। समीकरण प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र के पैरामीट्रिक समीकरण हैं, जिसमें पैरामीटर समय है

प्रथम समीकरण से व्यक्त करना और उसमें प्रतिस्थापित करना

दूसरे समीकरण से हमें प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र का समीकरण इस रूप में प्राप्त होता है, यह एक परवलय का समीकरण है।

आइए विमान पर एक रेखा की परिभाषा पर विचार करें, जिसमें चर x, y तीसरे चर t के कार्य हैं (पैरामीटर कहा जाता है):

हर मूल्य के लिए टीकुछ अंतराल से कुछ मूल्यों के अनुरूप होते हैं एक्सतथा वाई, और, इसलिए समतल का एक निश्चित बिंदु M(x, y)। कब टीकिसी दिए गए अंतराल से सभी मूल्यों के माध्यम से चलता है, फिर बिंदु एम (एक्स, वाई) कुछ पंक्ति का वर्णन करता है एल. समीकरण (2.2) रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण कहलाते हैं एल.

यदि फलन x = φ(t) का व्युत्क्रम t = Ф(x) है, तो इस व्यंजक को समीकरण y = g(t) में प्रतिस्थापित करने पर, हम y = g(Ф(x)) प्राप्त करते हैं, जो निर्दिष्ट करता है वाईके एक समारोह के रूप में एक्स. इस स्थिति में, समीकरण (2.2) फलन को परिभाषित करने के लिए कहा जाता है वाईपैरामीट्रिक रूप से।

उदाहरण 1होने देना एम (एक्स, वाई)त्रिज्या के वृत्त का एक मनमाना बिंदु है आरऔर मूल पर केंद्रित है। होने देना टी- अक्ष के बीच का कोण बैलऔर त्रिज्या ओम(चित्र 2.3 देखें)। फिर एक्स, वाईमाध्यम से व्यक्त किया टी:

समीकरण (2.3) वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। आइए समीकरण (2.3) से पैरामीटर टी को हटा दें। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण को चौकोर करते हैं और इसे जोड़ते हैं, हमें मिलता है: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) या x 2 + y 2 \u003d R 2 - वृत्त समीकरण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में। यह दो कार्यों को परिभाषित करता है: इनमें से प्रत्येक कार्य पैरामीट्रिक समीकरण (2.3) द्वारा दिया जाता है, लेकिन पहले कार्य के लिए और दूसरे के लिए।

उदाहरण 2. पैरामीट्रिक समीकरण

अर्धअक्षों के साथ दीर्घवृत्त को परिभाषित करें ए, बी(चित्र 2.4)। समीकरणों से पैरामीटर को हटाना टी, हम दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 3. एक चक्रज एक वृत्त पर स्थित एक बिंदु द्वारा वर्णित रेखा है यदि यह वृत्त एक सीधी रेखा के साथ फिसले बिना लुढ़कता है (चित्र 2.5)। आइए हम चक्रज के पैरामीट्रिक समीकरणों का परिचय दें। रोलिंग सर्कल की त्रिज्या होने दें एक, डॉट एमचक्रज का वर्णन करते हुए, आंदोलन की शुरुआत में उत्पत्ति के साथ मेल खाता था।

आइए निर्देशांक निर्धारित करें एक्स, वाई अंक एमवृत्त के एक कोण से घूमने के बाद टी
(चित्र 2.5), टी = एएमसीबी. वक्राकार लंबाई एमबीखंड की लंबाई के बराबर ओबी,चूंकि सर्कल बिना फिसले लुढ़कता है, इसलिए

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB - AB = at - asint = a(t - sint),

वाई = एएम = सीबी - सीडी = ए - लागत = ए (1 - लागत)।

तो, चक्रवात के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त होते हैं:

पैरामीटर बदलते समय टी 0 से 2πसर्कल को एक क्रांति से घुमाया जाता है, जबकि बिंदु एमचक्रज के एक चाप का वर्णन करता है। समीकरण (2.5) परिभाषित करते हैं वाईके एक समारोह के रूप में एक्स. हालांकि समारोह एक्स = ए (टी - पाप)एक व्युत्क्रम कार्य है, लेकिन यह प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया गया है, इसलिए कार्य वाई = एफ (एक्स)प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया गया है।

समीकरणों (2.2) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के विभेदीकरण पर विचार करें। फलन x = φ(t) परिवर्तन t के एक निश्चित अंतराल पर एक व्युत्क्रम फलन है टी = एफ (एक्स), फिर वाई = जी (एफ (एक्स)). होने देना एक्स = φ (टी), वाई = जी (टी)डेरिवेटिव हैं, और एक्स"टी≠0. एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार वाई "एक्स = वाई" टी × टी "एक्स।उलटा कार्य भेदभाव नियम के आधार पर, इसलिए:

परिणामी सूत्र (2.6) किसी को पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण 4. कार्य करने दें वाई, इस पर निर्भर करते हुए एक्स, पैरामीट्रिक रूप से सेट किया गया है:

समाधान. .
उदाहरण 5ढलान खोजें कपैरामीटर के मान के अनुरूप बिंदु M 0 पर साइक्लोइड की स्पर्शरेखा।
समाधान।चक्रज समीकरणों से: y" t = asint, x" t = a(1 - लागत),इसीलिए

एक बिंदु पर स्पर्श रेखा का ढाल एम 0पर मान के बराबर टी 0 \u003d π / 4:

समारोह विभेदक

कार्य को एक बिंदु पर होने दें X 0एक व्युत्पन्न है। परिभाषा से:
इसलिए, सीमा के गुणों द्वारा (धारा 1.8), जहां एकपर असीम रूप से छोटा है ∆x → 0. यहाँ से

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 के रूप में, समानता में दूसरा पद (2.7) इसकी तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्च क्रम है , इसलिए Δy और f "(x 0) × Δx समतुल्य हैं, अत्यल्प (के लिए f "(x 0) ≠ 0)।

इस प्रकार, फ़ंक्शन Δy की वृद्धि में दो शब्द होते हैं, जिनमें से पहला f "(x 0) × Δx है मुख्य हिस्सा वेतन वृद्धि Δy, Δx के संबंध में रैखिक (f "(x 0) ≠ 0 के लिए)।

अंतरकार्य f(x) बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन की वृद्धि का मुख्य भाग कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है: डीवाईया df(x0). फलस्वरूप,

df (x0) =f "(x0)×Δx। (2.8)

उदाहरण 1एक समारोह के अंतर का पता लगाएं डीवाईऔर फ़ंक्शन y \u003d x 2 के लिए फ़ंक्शन Δy की वृद्धि जब:
1) मनमाना एक्सऔर डी एक्स; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1।

समाधान

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, डाई \u003d 2xΔx।

2) यदि x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1, तो Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; डाइ = 40×0.1= 4.

हम समानता (2.7) को रूप में लिखते हैं:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

वेतन वृद्धि Δy अंतर से अलग है डीवाईΔx की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्चतर क्रम में, इसलिए, अनुमानित गणनाओं में, अनुमानित समानता Δy ≈ dy का उपयोग किया जाता है यदि Δx पर्याप्त रूप से छोटा है।

उस Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0) को ध्यान में रखते हुए, हम एक अनुमानित सूत्र प्राप्त करते हैं:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + डाई। (2.10)

उदाहरण 2. लगभग गणना करें।

समाधान।विचार करना:

सूत्र (2.10) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, ≈ 2.025।

अंतर के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें df(x0)(चित्र 2.6)।

फ़ंक्शन y = f (x) के बिंदु M 0 (x0, f (x 0)) के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं, φ को स्पर्शरेखा KM0 और अक्ष ऑक्स के बीच का कोण होने दें, फिर f "(x 0) ) = tgφ. ΔM0NP से:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0)।

इसलिए, फ़ंक्शन का अंतर f(x) बिंदु x 0 पर स्पर्शरेखा के समन्वय की वृद्धि के बराबर है।

आइए फ़ंक्शन के अंतर को ढूंढें
वाई = एक्स। चूंकि (x)" = 1, तो dx = 1 × Δx = Δx। हम मानते हैं कि स्वतंत्र चर x का अंतर इसकी वृद्धि के बराबर है, यानी dx = Δx।

यदि x एक स्वेच्छ संख्या है, तो समता (2.8) से हम df(x) = f "(x)dx प्राप्त करते हैं, जहाँ से .
इस प्रकार, फ़ंक्शन y = f(x) के लिए व्युत्पन्न तर्क के अंतर के अंतर के अनुपात के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन के अंतर के गुणों पर विचार करें।

यदि यू(एक्स), वी(एक्स) अलग-अलग कार्य हैं, तो निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

इन सूत्रों को सिद्ध करने के लिए योग, गुणनफल और भागफल के व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है। आइए, उदाहरण के लिए, सूत्र (2.12) सिद्ध करें:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

एक जटिल समारोह के अंतर पर विचार करें: y = f(x), x = φ(t), यानी वाई = एफ (φ (टी))।

फिर dy = y" t dt, लेकिन y" t = y" x ×x" t , इसलिए dy = y" x x" t dt। मानते हुए,

कि x" t = dx, हमें dy = y" x dx = f "(x)dx मिलता है।

इस प्रकार, एक जटिल फ़ंक्शन y \u003d f (x) का अंतर, जहाँ x \u003d φ (t), का रूप dy \u003d f "(x) dx है, जब x एक स्वतंत्र चर है। यह संपत्ति कहा जाता है आकार अपरिवर्तनीय अंतर एक।

फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक तरीके से दिया जाना चाहिए:
(1)
जहां कुछ वेरिएबल को पैरामीटर कहा जाता है। और चर के कुछ मूल्य पर कार्यों और डेरिवेटिव होने दें। इसके अलावा, बिंदु के कुछ पड़ोस में फ़ंक्शन का उलटा कार्य भी होता है। तब फ़ंक्शन (1) का एक बिंदु पर व्युत्पन्न होता है, जो एक पैरामीट्रिक रूप में, सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(2)

यहाँ और कार्यों के डेरिवेटिव हैं और चर (पैरामीटर) के संबंध में हैं। वे अक्सर निम्नलिखित रूप में लिखे जाते हैं:
;
.

तब सिस्टम (2) को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

सबूत

शर्त के अनुसार, फ़ंक्शन का उलटा कार्य होता है। आइए इसे निरूपित करें
.
तब मूल कार्य को एक जटिल कार्य के रूप में दर्शाया जा सकता है:
.
आइए जटिल और व्युत्क्रम कार्यों के विभेदन के नियमों को लागू करके इसका व्युत्पन्न खोजें:
.

नियम सिद्ध हो चुका है।

दूसरे तरीके से सबूत

बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, दूसरे तरीके से व्युत्पन्न का पता लगाएं:
.
आइए नोटेशन पेश करें:
.
तब पिछला सूत्र रूप लेता है:
.

आइए हम इस तथ्य का उपयोग करें कि फलन का एक व्युत्क्रम फलन है, बिंदु के आस-पास।
आइए हम संकेतन का परिचय दें:
; ;
; .
भिन्न के अंश और हर को इस प्रकार विभाजित करें:
.
पर , । फिर
.

नियम सिद्ध हो चुका है।

उच्च आदेशों के डेरिवेटिव

उच्च ऑर्डर के डेरिवेटिव खोजने के लिए, कई बार भेदभाव करना आवश्यक है। मान लीजिए कि हमें पैरामीट्रिक तरीके से दिए गए फ़ंक्शन के दूसरे डेरिवेटिव को निम्नलिखित रूप में खोजने की आवश्यकता है:
(1)

सूत्र (2) के अनुसार, हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं, जो पैरामीट्रिक रूप से भी निर्धारित होता है:
(2)

एक चर के माध्यम से पहले व्युत्पन्न को निरूपित करें:
.
फिर, चर के संबंध में फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न को खोजने के लिए, आपको चर के संबंध में फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है। एक चर पर एक चर की निर्भरता भी एक पैरामीट्रिक तरीके से निर्दिष्ट की गई है:
(3)
सूत्र (1) और (2) के साथ (3) की तुलना करने पर हम पाते हैं:

अब फलन और के संदर्भ में परिणाम को व्यक्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक अंश के व्युत्पन्न के लिए सूत्र को प्रतिस्थापित और लागू करते हैं:
.
फिर
.

यहाँ से हम चर के संबंध में फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

यह एक पैरामीट्रिक रूप में भी दिया गया है। ध्यान दें कि पहली पंक्ति को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
.

प्रक्रिया को जारी रखते हुए, तीसरे और उच्च क्रम के एक चर से कार्यों के डेरिवेटिव प्राप्त करना संभव है।

ध्यान दें कि डेरिवेटिव के लिए नोटेशन को पेश नहीं करना संभव है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
;
.

उदाहरण 1

पैरामीट्रिक तरीके से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान

हम के डेरिवेटिव और के संबंध में पाते हैं।
डेरिवेटिव्स की तालिका से हम पाते हैं:
;
.
हम आवेदन करते हैं:

.
यहां ।

.
यहां ।

वांछित व्युत्पन्न:
.

उत्तर

उदाहरण 2

पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त किए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान

आइए शक्ति कार्यों और जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करके कोष्ठक खोलें:
.

हम व्युत्पन्न पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक चर का परिचय देते हैं और जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं।

.

हम वांछित व्युत्पन्न पाते हैं:
.

उत्तर

उदाहरण 3

उदाहरण 1 में पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का दूसरा और तीसरा डेरिवेटिव खोजें:

समाधान

उदाहरण 1 में, हमें पहला ऑर्डर डेरिवेटिव मिला:

आइए अंकन का परिचय दें। तब फलन के संबंध में व्युत्पन्न है। यह पैरामीट्रिक रूप से सेट है:

के संबंध में दूसरा अवकलज ज्ञात करने के लिए, हमें के संबंध में पहला अवकलज ज्ञात करना होगा।

हम के संबंध में अंतर करते हैं।
.
हमने उदाहरण 1 में डेरिवेटिव पाया:
.
के संबंध में दूसरा ऑर्डर डेरिवेटिव पहले ऑर्डर डेरिवेटिव के बराबर है:
.

इसलिए, हमने पैरामीट्रिक रूप के संबंध में दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पाया है:

अब हम तीसरे क्रम का व्युत्पन्न पाते हैं। आइए अंकन का परिचय दें। फिर हमें फ़ंक्शन का पहला डेरिवेटिव खोजने की आवश्यकता है, जो पैरामीट्रिक तरीके से दिया गया है:

हम के संबंध में व्युत्पन्न पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक समान रूप में फिर से लिखते हैं:
.
से
.

के संबंध में तीसरा ऑर्डर डेरिवेटिव पहले ऑर्डर डेरिवेटिव के बराबर है:
.

टिप्पणी

यह संभव नहीं है कि वेरिएबल्स और को पेश न किया जाए, जो क्रमशः और के डेरिवेटिव हैं। तब आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

उत्तर

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व में, दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के निम्नलिखित रूप हैं:

तीसरे क्रम का व्युत्पन्न।

फ़ंक्शन को कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। यह उस नियम पर निर्भर करता है जिसका उपयोग इसे सेट करते समय किया जाता है। फ़ंक्शन परिभाषा का स्पष्ट रूप y = f (x) है। ऐसे मामले हैं जब इसका वर्णन असंभव या असुविधाजनक है। यदि जोड़े (x; y) का एक सेट है जिसे अंतराल (ए; बी) पर पैरामीटर टी के लिए गणना करने की आवश्यकता है। सिस्टम x = 3 cos t y = 3 sin t को 0 ≤ t से हल करने के लिए< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन परिभाषा

इसलिए हमारे पास यह है कि x = φ (t), y = ψ (t) मान t ∈ (a ; b) के लिए पर परिभाषित हैं और x = φ (t) के लिए एक व्युत्क्रम फलन t = Θ (x) है, तब हम y = ψ (Θ (x)) के रूप में एक फलन के पैरामीट्रिक समीकरण को स्थापित करने के बारे में बात कर रहे हैं।

ऐसे मामले होते हैं, जब किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए x के संबंध में व्युत्पन्न की खोज करना आवश्यक होता है। फॉर्म y x " = ψ " (t) φ " (t) के पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र पर विचार करें, आइए दूसरे और nवें क्रम के व्युत्पन्न के बारे में बात करें।

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

हमारे पास यह है कि x = φ (t), y = ψ (t), t ∈ a के लिए परिभाषित और अवकलनीय है; b, जहां x t "= φ" (t) ≠ 0 और x = φ (t) , तो फॉर्म t = Θ (x) का एक व्युत्क्रम कार्य है।

आरंभ करने के लिए, आपको एक पैरामीट्रिक कार्य से एक स्पष्ट कार्य पर जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) के रूप का एक जटिल फ़ंक्शन प्राप्त करने की आवश्यकता है, जहां एक तर्क x है।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के नियम के आधार पर, हमें वह y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x मिलता है।

यह दर्शाता है कि t = Θ (x) और x = φ (t) व्युत्क्रम फलन सूत्र Θ "(x) = 1 φ" (t) से व्युत्क्रम फलन हैं, फिर y "x = ψ" Θ (x) Θ " (एक्स) = ψ "(टी) φ" (टी)।

अवकलन के नियम के अनुसार डेरिवेटिव तालिका का उपयोग करके कई उदाहरणों को हल करने पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

उदाहरण 1

फलन x = t 2 + 1 y = t के लिए अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t है, इसलिए हम पाते हैं कि φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t" = 1। व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करना और प्रपत्र में उत्तर लिखना आवश्यक है:

वाई "एक्स = ψ" (टी) φ "(टी) = 1 2 टी

उत्तर:वाई एक्स "= 1 2 टी एक्स = टी 2 + 1।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के साथ काम करते समय, पैरामीटर t उसी पैरामीटर t के माध्यम से तर्क x की अभिव्यक्ति को निर्दिष्ट करता है ताकि व्युत्पन्न के मानों और पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन के बीच के तर्क के साथ संबंध न खोए मान मेल खाते हैं।

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के दूसरे-क्रम के व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए, आपको परिणामी फ़ंक्शन पर पहले-क्रम के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, फिर हमें वह मिलता है

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(टी) = ψ "" (टी) φ "(टी) - ψ "(टी) φ "" (टी) φ "(टी) 3।

उदाहरण 2

दिए गए फलन x = cos (2 t) y = t 2 का दूसरा और दूसरा क्रम अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमें φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 प्राप्त होता है।

फिर परिवर्तन के बाद

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

यह इस प्रकार है कि y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) ।

हम पाते हैं कि प्रथम कोटि के अवकलज का रूप x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) है।

इसे हल करने के लिए, आपको दूसरे क्रम के व्युत्पन्न सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है। हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है

y x "" \u003d - t sin (2 t) φ "t \u003d - t" sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) "2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

फिर पैरामीट्रिक फ़ंक्शन का उपयोग करके दूसरा ऑर्डर डेरिवेटिव सेट करना

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

इसी तरह के समाधान को दूसरी विधि से हल किया जा सकता है। फिर

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sin (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = (2 टी) "= 2

इसलिए हमें वह मिलता है

वाई "" एक्स = ψ "" (टी) φ "(टी) - ψ" (टी) φ "" (टी) φ "(टी) 3 = 2 - 2 पाप (2 टी) - 2 टी (- 4 कॉस (2 टी)) - 2 पाप 2 टी 3 \u003d \u003d पाप (2 टी) - 2 टी कॉस (2 टी) 2 एस आई एन 3 (2 टी)

उत्तर: y "" x \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

इसी तरह, पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट कार्यों के साथ उच्च क्रम डेरिवेटिव पाए जाते हैं।

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लघुगणक विभेदन

प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव

भेदभाव के बुनियादी नियम

समारोह का अंतर

फ़ंक्शन वृद्धि का मुख्य रैखिक भाग एडी एक्सकिसी फ़ंक्शन की भिन्नता की परिभाषा में

डी च = च(एक्स)-एफ(एक्स 0)= ए(एक्स-एक्स 0)+ ओ(एक्स-एक्स 0), एक्स®एक्स 0

फलन का अवकलन कहा जाता है एफ(एक्स) बिंदु पर एक्स 0 और निरूपित

df(एक्स 0)= एफ¢(एक्स 0) डी एक्स = एडी एक्स।

अंतर बिंदु पर निर्भर करता है एक्स 0 और वृद्धि से डी एक्स।डी पर एक्सइसे एक स्वतंत्र चर के रूप में देखते हुए, ताकि प्रत्येक बिंदु पर अंतर वृद्धि डी का एक रैखिक कार्य है एक्स।

अगर हम एक समारोह के रूप में विचार करें एफ(एक्स)= एक्स, तो हमें मिलता है डीएक्स =डी एक्स, डीई = एडीएक्स. यह लीबनिज संकेतन के अनुरूप है

स्पर्शरेखा समन्वय की वृद्धि के रूप में अंतर की ज्यामितीय व्याख्या।

चावल। 4.3

1) च =स्थिरांक , च¢= 0, डीएफ = 0 दि एक्स = 0.

2) एफ=यू+वी, एफ¢=यू¢+वी¢, डीएफ = डु+डीवी।

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

परिणाम। (सीएफ़(एक्स))¢ = सीएफ¢(एक्स), (सी 1 एफ 1 (एक्स)+…+सी एन एफ एन(एक्स))¢ = सी 1 एफ¢ 1 (एक्स)+…+ सी एन एफ¢ एन(एक्स)

4) एफ = यू / वी, वी(एक्स 0)¹0 और व्युत्पन्न तब मौजूद है एफ¢ =(यू¢वी-वी¢ यू)/वि 2 .

संक्षिप्तता के लिए, हम निरूपित करेंगे यू = यू(एक्स), यू 0 = यू(एक्स 0), फिर

D पर सीमा से गुजरना एक्स® 0 हम आवश्यक समानता प्राप्त करते हैं।

5) एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

प्रमेय। यदि एफ¢ हैं(एक्स 0), जी¢(एक्स 0)और एक्स 0 = जी(टी 0), तो किसी मोहल्ले में टी 0 एक जटिल कार्य एफ(जी(टी)), यह बिंदु t पर अवकलनीय है 0 तथा

सबूत.

एफ(एक्स)-एफ(एक्स 0)= एफ¢(एक्स 0)(एक्स-एक्स 0)+ एक( एक्स)(एक्स-एक्स 0), एक्सÎ यू(एक्स 0).

एफ(जी(टी))-एफ(जी(टी 0))= एफ¢(एक्स 0)(जी(टी)-जी(टी 0))+ एक( जी(टी))(जी(टी)-जी(टी 0)).

इस समानता के दोनों पक्षों को ( से विभाजित करें) टी - टी 0) और पर सीमा तक पास करें टी®टी 0 .

6) प्रतिलोम फलन के अवकलज की गणना।

प्रमेय। चलो f निरंतर और सख्ती से एकरस हो[ए, बी]. मान लीजिए बिंदु x पर 0 Î( ए, बी)एफ¢ मौजूद है(एक्स 0)¹ 0 , तो प्रतिलोम फलन x=f -1 (वाई)बिंदु y पर है 0 व्युत्पन्न के बराबर

सबूत. हमें यकीन है एफसख्ती से नीरस रूप से बढ़ रहा है, फिर एफ -1 (वाई) निरंतर है, नीरस रूप से बढ़ रहा है [ एफ(एक),एफ(बी)]. चलो रखो वाई 0 = च(एक्स 0), वाई = च(एक्स), एक्स - एक्स 0=द एक्स,

Y y 0=द वाई. प्रतिलोम फलन की निरंतरता के कारण D वाई®0 Þ डी एक्स®0, हमारे पास है

सीमा से गुजरते हुए, हम आवश्यक समानता प्राप्त करते हैं।

7) सम फलन का अवकलज विषम होता है, विषम फलन का अवकलज सम होता है।

दरअसल, अगर एक्स®-एक्स 0 , फिर - एक्स® एक्स 0 , इसीलिए

एक सम कार्य के लिए एक विषम कार्य के लिए

1) च =स्थिरांक, एफ¢(एक्स)=0.

2) एफ(एक्स)= एक्स, एफ¢(एक्स)=1.

3) एफ(एक्स)= ई एक्स, एफ¢(एक्स)= ई एक्स ,

4) एफ(एक्स)= एक एक्स,(एक एक्स)¢ = एक्सएलएन एक।

5) एलएन एक।

6) एफ(एक्स) = एलएन एक्स ,

परिणाम। (सम फलन का व्युत्पन्न विषम होता है)

7) (एक्सएम )¢= एम एक्सएम-1 , एक्स>0, एक्सएम = ईएम एलएन एक्स .

8) (पाप एक्स)¢= क्योंकि एक्स,

9) (कोस एक्स)¢=- पाप एक्स,(क्योंकि एक्स)¢= (पाप( एक्स +पी/2)) ¢= क्योंकि ( एक्स + p/2)=-पाप एक्स।

10) (टीजी एक्स)¢= 1/cos 2 एक्स।

11) (सीटीजी एक्स)¢= -1/sin2 एक्स।

16) श एक्स,चौधरी एक्स.

च (एक्स),, जहां से यह इस प्रकार है एफ¢(एक्स)= च(एक्स)(एल.एन एफ(एक्स))¢ .

एक ही सूत्र को अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है एफ(एक्स)= ईएलएन एफ(एक्स) , एफ¢ = ईएलएन एफ(एक्स) (एल एफ(एक्स))¢.

उदाहरण। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें एफ = एक्स एक्स।

= एक्स एक्स = एक्स एक्स = एक्स एक्स = एक्स एक्स(एल.एन एक्स + 1).

एक विमान पर बिंदुओं का स्थान

फ़ंक्शन का ग्राफ़ कहा जाएगा, पैरामीट्रिक रूप से दिया गया. वे किसी फ़ंक्शन की पैरामीट्रिक परिभाषा के बारे में भी बात करते हैं।

टिप्पणी 1.यदि एक एक्स, वाईलगातार चालू [ए, बी] तथा एक्स(टी) सेगमेंट पर सख्ती से मोनोटोनिक (उदाहरण के लिए, सख्ती से नीरसता से बढ़ रहा है), फिर [ ए, बी], ए = एक्स(एक) , बी = एक्स(बी) समारोह परिभाषित एफ(एक्स)= य(टी(एक्स)), जहां टी(एक्स) – x(t) के व्युत्क्रम फलन। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान है

यदि दायरा पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन को खंडों की सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है , के = 1,2,…,एन,जिनमें से प्रत्येक समारोह पर एक्स(टी) सख्ती से मोनोटोनिक है, तो पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन सामान्य कार्यों की सीमित संख्या में विघटित हो जाता है एफके(एक्स)= य(टी -1 (एक्स)) दायरे के साथ [ एक्स(एक क), एक्स(बी क)] आरोही क्षेत्रों के लिए एक्स(टी) और डोमेन के साथ [ एक्स(बी क), एक्स(एक क)] समारोह के अवरोही वर्गों के लिए एक्स(टी). इस तरह से प्राप्त कार्यों को पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन की एकल-मूल्यवान शाखाएं कहा जाता है।

आंकड़ा पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है

चुने हुए पैरामीट्रिजेशन के साथ, परिभाषा का डोमेन समारोह पाप की सख्त एकरसता के पांच वर्गों में बांटा गया है (2 टी), बिल्कुल: टीÎ टीÎ ,टीÎ ,टीÎ , और, तदनुसार, ग्राफ़ इन अनुभागों के अनुरूप पाँच एकल-मूल्य वाली शाखाओं में विभाजित हो जाएगा।

चावल। 4.4

चावल। 4.5

आप बिंदुओं के समान स्थान का दूसरा पैरामीट्रिजेशन चुन सकते हैं

ऐसे में ऐसी सिर्फ चार शाखाएं होंगी। वे सख्त एकरसता के क्षेत्रों के अनुरूप होंगे टीÎ ,टीÎ , टीÎ ,टीÎ कार्यों पाप (2 टी).

चावल। 4.6

समारोह पाप की एकरसता के चार खंड (2 टी) एक लंबे खंड पर।

चावल। 4.7

एक आकृति में दोनों ग्राफ़ की छवि आपको दोनों कार्यों के मोनोटोनिसिटी क्षेत्रों का उपयोग करते हुए, एक पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को चित्रित करने की अनुमति देती है।

उदाहरण के लिए, खंड से संबंधित पहली शाखा पर विचार करें टीÎ . इस खंड के अंत में, function एक्स =पाप (2 टी) मान -1 लेता है और 1 , इसलिए इस शाखा को [-1,1] पर परिभाषित किया जाएगा। उसके बाद, आपको दूसरे फ़ंक्शन की एकरसता के क्षेत्रों को देखने की आवश्यकता है वाई =क्योंकि ( टी), उसके पास एकरसता के दो क्षेत्र . यह हमें यह कहने की अनुमति देता है कि पहली शाखा में एकरूपता के दो खंड हैं। ग्राफ़ के अंतिम बिंदुओं को खोजने के बाद, आप ग्राफ़ की एकरसता की प्रकृति को इंगित करने के लिए उन्हें सीधी रेखाओं से जोड़ सकते हैं। प्रत्येक शाखा के साथ ऐसा करने के बाद, हमें ग्राफ की एकल-मूल्यवान शाखाओं की एकरसता के क्षेत्र मिलते हैं (चित्र में उन्हें लाल रंग में हाइलाइट किया गया है)

चावल। 4.8

पहली एकल शाखा एफ 1 (एक्स)= य(टी(एक्स)) , अनुभाग के अनुरूप के लिए निर्धारित किया जाएगा एक्सएन [-1,1] . पहली एकल शाखा टीÎ , एक्सहे [-1,1]।

अन्य सभी तीन शाखाओं में भी उनके डोमेन के रूप में [-1,1] सेट होगा .

चावल। 4.9

दूसरी शाखा टीÎ एक्सहे [-1,1]।

चावल। 4.10

तीसरी शाखा टीÎ एक्सएन [-1,1]

चावल। 4.11

चौथी शाखा टीÎ एक्सएन [-1,1]

चावल। 4.12

टिप्पणी 2. एक ही फलन के अलग-अलग पैरामीट्रिक समनुदेशन हो सकते हैं। मतभेद स्वयं दोनों कार्यों से संबंधित हो सकते हैं एक्स(टी), वाई(टी) , और परिभाषा के डोमेन ये कार्य।

एक ही फ़ंक्शन के विभिन्न पैरामीट्रिक असाइनमेंट का उदाहरण

तथा टीएन [-1, 1] .

टिप्पणी 3।यदि x, y निरंतर चालू हैं , एक्स(टी)-सेगमेंट पर सख्ती से मोनोटोनिक और डेरिवेटिव हैं य¢(टी 0),एक्स ¢(टी 0)¹0, तो वहाँ मौजूद है एफ¢(एक्स 0)= .

सचमुच, ।

अंतिम कथन भी पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन की एकल-मूल्यवान शाखाओं तक फैला हुआ है।

4.2 डेरिवेटिव और उच्च क्रम के अंतर

उच्च डेरिवेटिव और अंतर। पैरामीट्रिक रूप से दिए गए कार्यों का विभेदन। लीबनिज सूत्र।