ज्ञात व्यास से वृत्त की परिधि का सूत्र। किसी वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें: व्यास और त्रिज्या का उपयोग करके

एक वृत्त एक बंद वक्र है, जिसके सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर हैं। यह आंकड़ा सपाट है। इसलिए, उस समस्या का समाधान, जिसका प्रश्न यह है कि किसी वृत्त की परिधि का पता कैसे लगाया जाए, काफी सरल है। हम आज के लेख में सभी उपलब्ध तरीकों पर विचार करेंगे।

चित्रा विवरण

एक काफी सरल वर्णनात्मक परिभाषा के अलावा, एक वृत्त की तीन और गणितीय विशेषताएँ हैं, जिनमें स्वयं इस प्रश्न का उत्तर है कि किसी वृत्त की परिधि का पता कैसे लगाया जाए:

• बिंदु A और B और अन्य सभी से मिलकर बनता है जिससे AB को समकोण पर देखा जा सकता है। इस आकृति का व्यास विचाराधीन खंड की लंबाई के बराबर है।
• इसमें केवल बिंदु X शामिल है जैसे कि अनुपात AX/BX स्थिर है और एक के बराबर नहीं है। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो यह वर्तुल नहीं है।
• इसमें बिंदु होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के लिए निम्नलिखित समानता होती है: अन्य दो के वर्ग की दूरी का योग एक दिया गया मान है, जो हमेशा उनके बीच के खंड की लंबाई के आधे से अधिक होता है।

शब्दावली

स्कूल में सभी के पास गणित का अच्छा शिक्षक नहीं था। इसलिए, एक वृत्त की परिधि का पता लगाने के प्रश्न का उत्तर भी इस तथ्य से जटिल है कि हर कोई बुनियादी ज्यामितीय अवधारणाओं को नहीं जानता है। त्रिज्या - एक खंड जो आकृति के केंद्र को वक्र पर एक बिंदु से जोड़ता है। त्रिकोणमिति में एक विशेष मामला यूनिट सर्कल है। जीवा एक रेखा खंड है जो एक वक्र पर दो बिंदुओं को जोड़ता है। उदाहरण के लिए, पहले से ही माना गया AB इस परिभाषा के अंतर्गत आता है। व्यास केंद्र से गुजरने वाली एक जीवा है। संख्या π इकाई अर्धवृत्त की लंबाई के बराबर है।

मूल सूत्र

ज्यामितीय सूत्र सीधे परिभाषाओं से अनुसरण करते हैं, जो आपको सर्कल की मुख्य विशेषताओं की गणना करने की अनुमति देते हैं:

1. लंबाई संख्या π और व्यास के उत्पाद के बराबर है। सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है: C = π*D।
2. त्रिज्या आधा व्यास है। इसकी गणना परिधि को दो बार संख्या π से विभाजित करने के भागफल की गणना करके भी की जा सकती है। सूत्र इस तरह दिखता है: R = C/(2* π) = D/2।
3. व्यास π या दो बार त्रिज्या से विभाजित परिधि के बराबर है। सूत्र काफी सरल है और इस तरह दिखता है: D = C/π = 2*R।
4. एक वृत्त का क्षेत्रफल π संख्या और त्रिज्या के वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है। इसी प्रकार, इस सूत्र में व्यास का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, क्षेत्र संख्या π और व्यास के वर्ग के उत्पाद को चार से विभाजित करने के भागफल के बराबर होगा। सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: S = π*R 2 = π*D 2 /4।

व्यास से वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें

स्पष्टीकरण की सादगी के लिए, हम अक्षरों द्वारा गणना के लिए आवश्यक आकृति की विशेषताओं को निरूपित करते हैं। C को वांछित लंबाई होने दें, D इसका व्यास हो, और पाई को लगभग 3.14 होने दें। यदि हमारे पास केवल एक ज्ञात मात्रा है, तो समस्या को हल किया जा सकता है। जीवन में क्यों जरूरी है? मान लीजिए हम एक बाड़ के साथ एक गोल पूल को घेरने का फैसला करते हैं। स्तंभों की आवश्यक संख्या की गणना कैसे करें? और यहाँ एक वृत्त की परिधि की गणना करने की क्षमता बचाव के लिए आती है। सूत्र इस प्रकार है: सी = π डी। हमारे उदाहरण में, पूल के त्रिज्या और बाड़ के लिए आवश्यक दूरी के आधार पर व्यास निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारा घर कृत्रिम जलाशय 20 मीटर चौड़ा है, और हम उससे दस मीटर की दूरी पर खंभे लगाने जा रहे हैं। परिणामी सर्कल का व्यास 20 + 10 * 2 = 40 मीटर है लंबाई 3.14 * 40 = 125.6 मीटर है। यदि उनके बीच का अंतर लगभग 5 मीटर है तो हमें 25 स्तंभों की आवश्यकता होगी।

त्रिज्या के माध्यम से लंबाई

हमेशा की तरह, विशेषताओं को अक्षर वृत्त निर्दिष्ट करके प्रारंभ करें। वास्तव में, वे सार्वभौमिक हैं, इसलिए विभिन्न देशों के गणितज्ञों को एक दूसरे की भाषा जानने की आवश्यकता नहीं है। मान लीजिए C एक वृत्त की परिधि है, r इसकी त्रिज्या है, और π लगभग 3.14 है। इस मामले में सूत्र इस तरह दिखता है: C = 2*π*r। जाहिर है, यह बिल्कुल सही समानता है। जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, एक वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या के दोगुने के बराबर होता है, इसलिए यह सूत्र इस तरह दिखता है। जीवन में, यह तरीका भी अक्सर काम आ सकता है। उदाहरण के लिए, हम एक केक को एक विशेष स्लाइडिंग फॉर्म में बेक करते हैं। ताकि यह गंदा न हो, हमें एक सजावटी आवरण चाहिए। लेकिन वांछित आकार के एक चक्र को कैसे काटें। यहीं पर गणित बचाव के लिए आता है। जो लोग जानते हैं कि किसी वृत्त की परिधि का पता कैसे लगाया जाता है, वे तुरंत कहेंगे कि आपको संख्या π को आकृति की त्रिज्या के दोगुने से गुणा करने की आवश्यकता है। यदि इसकी त्रिज्या 25 सेमी है, तो लंबाई 157 सेंटीमीटर होगी।

कार्य के उदाहरण

एक वृत्त की परिधि का पता लगाने के तरीके पर अर्जित ज्ञान के कई व्यावहारिक मामलों पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। लेकिन अक्सर हमारा सरोकार उनसे नहीं, बल्कि वास्तविक गणितीय समस्याओं से होता है जो पाठ्यपुस्तक में निहित होती हैं। आखिर शिक्षक उनके लिए अंक देता है! इसलिए, आइए बढ़ी हुई जटिलता की समस्या पर विचार करें। मान लेते हैं कि परिधि 26 सेमी है।ऐसी आकृति की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण समाधान

आरंभ करने के लिए, आइए लिखें कि हमें क्या दिया गया है: C \u003d 26 सेमी, π \u003d 3.14। फॉर्मूला भी याद रखें: C = 2* π*R। इससे आप वृत्त की त्रिज्या निकाल सकते हैं। इस प्रकार, आर = सी/2/π। अब सीधी गणना पर चलते हैं। सबसे पहले लंबाई को दो से भाग दें। हमें 13 मिलता है। अब हमें संख्या π: 13 / 3.14 \u003d 4.14 सेमी के मान से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह महत्वपूर्ण है कि उत्तर को सही ढंग से लिखना न भूलें, अर्थात माप की इकाइयों के साथ, अन्यथा संपूर्ण व्यावहारिक ऐसी समस्याओं का अर्थ खो गया है। इसके अलावा, इस तरह की असावधानी के लिए, आप एक अंक कम अंक प्राप्त कर सकते हैं। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना कष्टप्रद हो सकता है, आपको इस स्थिति से निपटना होगा।

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इसलिए हमने पहली नजर में ही इस तरह के मुश्किल काम का पता लगा लिया। जैसा कि यह निकला, आपको केवल शब्दों के अर्थ को समझने और कुछ आसान सूत्रों को याद रखने की आवश्यकता है। गणित इतना डरावना नहीं है, बस आपको थोड़ा प्रयास करने की जरूरत है। तो ज्यामिति आपका इंतजार कर रही है!

हमारे आसपास की दुनिया में कई वस्तुएं गोल हैं। ये पहिए, गोल खिड़की के उद्घाटन, पाइप, विभिन्न बर्तन और बहुत कुछ हैं। आप किसी वृत्त का व्यास या त्रिज्या जानकर उसकी परिधि की गणना कर सकते हैं।

इस ज्यामितीय आकृति की कई परिभाषाएँ हैं।

• यह एक बंद वक्र है जिसमें ऐसे बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं।
• यह एक वक्र है जिसमें बिंदु ए और बी शामिल हैं, जो खंड के अंत हैं, और सभी बिंदु जहां से ए और बी समकोण पर दिखाई देते हैं। इस स्थिति में, खंड AB व्यास है।
• समान खंड AB के लिए, इस वक्र में सभी बिंदु C शामिल हैं जैसे कि अनुपात AC/BC स्थिर है और 1 के बराबर नहीं है।
• यह एक वक्र है जिसमें अंक शामिल हैं जिसके लिए निम्नलिखित सत्य है: यदि आप एक बिंदु से दूरी के वर्गों को दो अन्य बिंदुओं ए और बी में जोड़ते हैं, तो आपको ए को जोड़ने वाले खंड के 1/2 से अधिक निरंतर संख्या मिलती है और बी। यह परिभाषा पायथागॉरियन प्रमेय से ली गई है।

टिप्पणी!अन्य परिभाषाएँ भी हैं। एक वृत्त एक वृत्त के भीतर का क्षेत्र है। एक वृत्त की परिधि उसकी लंबाई है। विभिन्न परिभाषाओं के अनुसार, एक वृत्त में स्वयं वक्र शामिल हो भी सकता है और नहीं भी, जो इसकी सीमा है।

एक वृत्त की परिभाषा

सूत्रों

त्रिज्या का उपयोग करके किसी वृत्त की परिधि की गणना कैसे करें? यह एक साधारण सूत्र के साथ किया जाता है:

जहाँ L वांछित मान है,

π संख्या पाई है, जो लगभग 3.1413926 के बराबर है।

आम तौर पर, वांछित मान खोजने के लिए, दूसरे दशमलव स्थान तक π का ​​उपयोग करना पर्याप्त होता है, यानी 3.14, यह वांछित सटीकता प्रदान करेगा। कैलकुलेटर पर, विशेष रूप से इंजीनियरिंग वाले में, एक बटन हो सकता है जो स्वचालित रूप से संख्या π के मान में प्रवेश करता है।

नोटेशन

व्यास के माध्यम से खोजने के लिए, निम्न सूत्र है:

यदि एल पहले से ही ज्ञात है, तो आप आसानी से त्रिज्या या व्यास का पता लगा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, L को क्रमशः 2π या π से विभाजित किया जाना चाहिए।

यदि एक वृत्त पहले से ही दिया हुआ है, तो आपको यह समझने की आवश्यकता है कि इस डेटा से परिधि कैसे ज्ञात करें। एक वृत्त का क्षेत्रफल S = πR2 है। यहाँ से हमें त्रिज्या मिलती है: R = √(S/π)। तब

एल = 2πआर = 2π√(एस/π) = 2√(एसπ)।

L के संदर्भ में क्षेत्र की गणना करना भी आसान है: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि तीन मुख्य सूत्र हैं:

• त्रिज्या के माध्यम से - एल = 2πR;
• व्यास के माध्यम से - एल = πD;
• एक वृत्त के क्षेत्रफल से होकर – L = 2√(Sπ).

अनुकरणीय

संख्या π के बिना, विचाराधीन समस्या को हल करना संभव नहीं होगा। संख्या π को पहली बार एक वृत्त की परिधि के व्यास के अनुपात के रूप में पाया गया था। यह प्राचीन बेबीलोनियों, मिस्रियों और भारतीयों द्वारा किया गया था। उन्होंने इसे काफी सटीक पाया - उनके परिणाम π के अब ज्ञात मूल्य से 1% से अधिक भिन्न नहीं थे। स्थिरांक को 25/8, 256/81, 339/108 जैसे अंशों द्वारा अनुमानित किया गया था।

इसके अलावा, इस स्थिरांक का मान न केवल ज्यामिति के दृष्टिकोण से माना जाता था, बल्कि श्रृंखला के योगों के माध्यम से गणितीय विश्लेषण के दृष्टिकोण से भी माना जाता था। ग्रीक अक्षर π के साथ इस स्थिरांक के संकेत का पहली बार विलियम जोन्स द्वारा 1706 में उपयोग किया गया था, और यूलर के काम के बाद लोकप्रिय हो गया।

अब यह ज्ञात है कि यह स्थिरांक एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश है, यह अपरिमेय है, अर्थात इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है। 2011 में सुपरकंप्यूटर पर गणना की मदद से, उन्होंने 10-ट्रिलियन स्थिरांक का चिन्ह सीखा।

यह दिलचस्प है!संख्या π के पहले कुछ वर्णों को याद करने के लिए, विभिन्न स्मरक नियमों का आविष्कार किया गया। कुछ आपको बड़ी संख्या में अंकों को स्मृति में संग्रहीत करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, एक फ्रांसीसी कविता आपको 126 वर्णों तक पाई याद रखने में मदद करेगी।

यदि आपको परिधि की आवश्यकता है, तो ऑनलाइन कैलकुलेटर इसमें आपकी सहायता करेगा। ऐसे कई कैलकुलेटर हैं, उन्हें केवल त्रिज्या या व्यास दर्ज करने की आवश्यकता है। उनमें से कुछ के पास ये दोनों विकल्प हैं, अन्य केवल आर के माध्यम से परिणाम की गणना करते हैं। कुछ कैलकुलेटर अलग-अलग सटीकता के साथ वांछित मूल्य की गणना कर सकते हैं, आपको दशमलव स्थानों की संख्या निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके, आप एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

ऐसे कैलकुलेटर किसी भी सर्च इंजन में आसानी से मिल जाते हैं। ऐसे मोबाइल एप्लिकेशन भी हैं जो किसी वृत्त की परिधि का पता लगाने की समस्या को हल करने में मदद करेंगे।

उपयोगी वीडियो: परिधि

प्रायोगिक उपयोग

ऐसी समस्या का समाधान अक्सर इंजीनियरों और वास्तुकारों के लिए आवश्यक होता है, लेकिन रोज़मर्रा की ज़िंदगी में, आवश्यक सूत्रों का ज्ञान भी काम आ सकता है। उदाहरण के लिए, एक पेपर स्ट्रिप के साथ 20 सेमी व्यास के रूप में पके हुए केक को लपेटना आवश्यक है। फिर इस पट्टी की लंबाई का पता लगाना मुश्किल नहीं होगा:

एल \u003d πD \u003d 3.14 * 20 \u003d 62.8 सेमी।

एक और उदाहरण: आपको एक निश्चित दूरी पर एक गोलाकार पूल के चारों ओर एक बाड़ बनाने की जरूरत है। यदि पूल की त्रिज्या 10 मीटर है, और बाड़ को 3 मीटर की दूरी पर लगाने की आवश्यकता है, तो परिणामी वृत्त के लिए R 13 मीटर होगा। तब इसकी लंबाई है:

एल \u003d 2πआर \u003d 2 * 3.14 * 13 \u003d 81.68 मीटर।

उपयोगी वीडियो: वृत्त - त्रिज्या, व्यास, परिधि

नतीजा

व्यास या त्रिज्या वाले सरल सूत्रों के साथ एक वृत्त की परिधि की गणना करना आसान है। आप सर्कल के क्षेत्र के माध्यम से वांछित मूल्य भी पा सकते हैं। ऑनलाइन कैलकुलेटर या मोबाइल एप्लिकेशन इस समस्या को हल करने में मदद करेंगे, जिसमें आपको एक संख्या - व्यास या त्रिज्या दर्ज करने की आवश्यकता होती है।

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बहुत बार, भौतिकी या भौतिकी में स्कूल के असाइनमेंट को हल करते समय, सवाल उठता है - व्यास को जानकर किसी वृत्त की परिधि का पता कैसे लगाया जाए? वास्तव में, इस समस्या को हल करने में कोई कठिनाई नहीं है, आपको केवल स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है सूत्रोंइसके लिए अवधारणाओं और परिभाषाओं की आवश्यकता होती है।

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बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

1. त्रिज्या जोड़ने वाली रेखा है वृत्त का केंद्र और उसका मनमाना बिंदु. इसे लैटिन अक्षर आर द्वारा निरूपित किया जाता है।
2. एक राग दो मनमाना को जोड़ने वाली रेखा है एक वृत्त पर अंक.
3. व्यास जोड़ने वाली रेखा है एक वृत्त के दो बिंदु और उसके केंद्र से होकर गुजरना. इसे लैटिन अक्षर d द्वारा निरूपित किया जाता है।
4. - यह एक ऐसी रेखा है जिसमें सभी बिंदु शामिल होते हैं जो एक चुने हुए बिंदु से समान दूरी पर होते हैं, जिसे इसका केंद्र कहा जाता है। इसकी लंबाई को लैटिन अक्षर l से निरूपित किया जाएगा।

एक वृत्त का क्षेत्रफल संपूर्ण क्षेत्रफल होता है घेरे में बंद. यह मापा जाता है वर्ग इकाइयों मेंऔर लैटिन अक्षर s द्वारा निरूपित किया जाता है।

अपनी परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक वृत्त का व्यास उसकी सबसे बड़ी जीवा के बराबर होता है।

ध्यान!एक वृत्त की त्रिज्या क्या है, इसकी परिभाषा से आप यह पता लगा सकते हैं कि वृत्त का व्यास क्या है। ये विपरीत दिशाओं में रखी गई दो त्रिज्याएँ हैं!

वृत्त व्यास।

किसी वृत्त की परिधि और उसका क्षेत्रफल ज्ञात करना

यदि हमें एक वृत्त की त्रिज्या दी गई है, तो वृत्त के व्यास को सूत्र द्वारा वर्णित किया जाता है डी = 2 * आर. इस प्रकार, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि किसी वृत्त का व्यास कैसे ज्ञात किया जाए, इसकी त्रिज्या को जानते हुए, अंतिम पर्याप्त है दो से गुणा करें.

किसी वृत्त की परिधि का सूत्र, उसकी त्रिज्या के संदर्भ में व्यक्त किया गया है एल \u003d 2 * पी * आर.

ध्यान!लैटिन अक्षर P (Pi) एक वृत्त की परिधि के व्यास के अनुपात को दर्शाता है, और यह एक गैर-आवधिक दशमलव अंश है। स्कूली गणित में इसे 3.14 के बराबर एक ज्ञात सारणीबद्ध मान माना जाता है!

अब एक वृत्त की परिधि को उसके व्यास के संदर्भ में ज्ञात करने के लिए पिछले सूत्र को फिर से लिखते हैं, यह याद रखते हुए कि त्रिज्या के संबंध में इसका अंतर क्या है। पाना: एल \u003d 2 * पी * आर \u003d 2 * आर * पी \u003d पी * डी।

गणित के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि किसी वृत्त के क्षेत्रफल का वर्णन करने वाले सूत्र का रूप है: s \u003d P * r ^ 2।

अब आइए इसके व्यास के संदर्भ में किसी वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के पिछले सूत्र को फिर से लिखें। हम पाते हैं

एस = पी * आर ^ 2 = पी * डी ^ 2/4।

इस विषय में सबसे कठिन कार्यों में से एक परिधि के संदर्भ में एक वृत्त का क्षेत्रफल निर्धारित करना है और इसके विपरीत। हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि s = P*r^2 और l = 2*P*r। यहाँ से हमें r = l/(2*П) मिलता है। हम त्रिज्या के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को क्षेत्र के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: एस = एल^2/(4पी). एक वृत्त के क्षेत्रफल के संदर्भ में एक वृत्त की परिधि ठीक उसी तरह निर्धारित की जाती है।

त्रिज्या की लंबाई और व्यास का निर्धारण

महत्वपूर्ण!सबसे पहले, हम व्यास को मापना सीखेंगे। यह बहुत सरल है - हम किसी भी त्रिज्या को खींचते हैं, इसे विपरीत दिशा में तब तक बढ़ाते हैं जब तक कि यह चाप के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। हम परिणामी दूरी को एक कम्पास के साथ मापते हैं और किसी भी मीट्रिक टूल की मदद से पता लगाते हैं कि हम क्या खोज रहे हैं!

आइए इस प्रश्न का उत्तर दें कि किसी वृत्त के व्यास का पता कैसे लगाया जाए, इसकी लंबाई जानकर। ऐसा करने के लिए, हम इसे सूत्र l \u003d P * d से व्यक्त करते हैं। हमें डी = एल/पी मिलता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि किसी वृत्त की परिधि से उसका व्यास कैसे ज्ञात किया जाता है, और हम उसी तरह से त्रिज्या ज्ञात करेंगे।

एल \u003d 2 * पी * आर, इसलिए आर \u003d एल / 2 * पी। सामान्य तौर पर, त्रिज्या का पता लगाने के लिए, इसे व्यास के संदर्भ में और इसके विपरीत व्यक्त किया जाना चाहिए।

आइए अब वृत्त के क्षेत्रफल को जानते हुए व्यास का निर्धारण करना आवश्यक है। हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि s \u003d P * d ^ 2/4। हम यहाँ से व्यक्त करते हैं डी। यह पता चला है डी ^ 2 = 4 * एस/पी. व्यास को स्वयं निर्धारित करने के लिए, आपको निकालने की आवश्यकता है दाईं ओर का वर्गमूल. यह d \u003d 2 * sqrt (s / P) निकला।

सामान्य कार्यों का समाधान

1. किसी वृत्त की परिधि को देखते हुए उसका व्यास ज्ञात करना सीखें। इसे 778.72 किलोमीटर के बराबर होने दें। खोजने की जरूरत है। डी। डी \u003d 778.72 / 3.14 \u003d 248 किलोमीटर। आइए याद रखें कि व्यास क्या है और तुरंत त्रिज्या निर्धारित करें, इसके लिए हम ऊपर परिभाषित मान d को आधे में विभाजित करते हैं। यह पता चला है आर=248/2=124किलोमीटर।
2. विचार करें कि किसी दिए गए वृत्त की त्रिज्या को जानते हुए उसकी लंबाई कैसे ज्ञात करें। मान लीजिए कि r का मान 8 dm 7 सेमी है। आइए इसे सेंटीमीटर में अनुवादित करें, फिर r 87 सेंटीमीटर के बराबर होगा। आइए एक वृत्त की अज्ञात लंबाई ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें। तब हमारी इच्छा बराबर होगी एल=2*3.14*87=546.36सेमी. आइए हमारे प्राप्त मूल्य को मीट्रिक मानों l \u003d 546.36 सेमी \u003d 5 मीटर 4 डीएम 6 सेमी 3.6 मिमी के पूर्णांक में अनुवादित करें।
3. मान लीजिए कि हमें ज्ञात व्यास के संदर्भ में सूत्र का उपयोग करके किसी दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल निर्धारित करने की आवश्यकता है। माना d = 815 मीटर। किसी वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र को याद करें। यहाँ दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं एस \u003d 3.14 * 815 ^ 2/4 \u003d 521416.625 वर्ग। एम।
4. अब हम सीखेंगे कि किसी वृत्त की त्रिज्या की लंबाई जानकर उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है। मान लीजिए कि त्रिज्या 38 सेमी है।हम उस सूत्र का उपयोग करते हैं जिसे हम जानते हैं। शर्त के अनुसार हमें दिए गए मान को यहाँ प्रतिस्थापित करें। आपको निम्नलिखित मिलते हैं: s \u003d 3.14 * 38 ^ 2 \u003d 4534.16 वर्ग मीटर। सेमी।
5. अंतिम कार्य ज्ञात परिधि से वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। माना l = 47 मीटर। s \u003d 47 ^ 2 / (4P) \u003d 2209 / 12.56 \u003d 175.87 वर्ग। एम।

परिधि

एक वृत्त एक घुमावदार रेखा है जो एक वृत्त को घेरती है। ज्यामिति में, आकृतियाँ सपाट होती हैं, इसलिए परिभाषा एक द्वि-आयामी छवि को संदर्भित करती है। यह माना जाता है कि इस वक्र के सभी बिंदु वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर हैं।

वृत्त की कई विशेषताएँ होती हैं, जिनके आधार पर इस ज्यामितीय आकृति से जुड़ी गणनाएँ की जाती हैं। इनमें शामिल हैं: व्यास, त्रिज्या, क्षेत्र और परिधि। ये विशेषताएँ परस्पर संबंधित हैं, अर्थात्, उनकी गणना करने के लिए कम से कम एक घटक के बारे में जानकारी पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, सूत्र का उपयोग करके केवल एक ज्यामितीय आकृति की त्रिज्या को जानकर, आप परिधि, व्यास और उसके क्षेत्रफल का पता लगा सकते हैं।

• एक वृत्त की त्रिज्या उसके केंद्र से जुड़े वृत्त के अंदर का एक खंड है।
• व्यास एक वृत्त के अंदर एक रेखा खंड है जो इसके बिंदुओं को जोड़ता है और केंद्र से होकर गुजरता है। वास्तव में, व्यास दो त्रिज्या है। यह ठीक वैसा ही है जैसा इसकी गणना करने का सूत्र दिखता है: D = 2r।
• वृत्त का एक अन्य घटक है - जीवा। यह एक सीधी रेखा है जो एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ती है, लेकिन हमेशा केंद्र से नहीं गुजरती है। अतः इससे होकर गुजरने वाली जीवा को व्यास भी कहते हैं।

किसी वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें? अब इसका पता लगाते हैं।

परिधि: सूत्र

इस विशेषता को नामित करने के लिए लैटिन अक्षर p को चुना गया है। आर्किमिडीज ने यह भी साबित किया कि किसी वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात सभी वृत्तों के लिए समान संख्या है: यह संख्या π है, जो लगभग 3.14159 के बराबर है। π की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखता है: π = p/d। इस सूत्र के अनुसार, p का मान πd के बराबर है, अर्थात परिधि: p= πd। चूँकि d (व्यास) दो त्रिज्याओं के बराबर है, समान परिधि सूत्र को p=2πr के रूप में लिखा जा सकता है। आइए एक उदाहरण के रूप में सरल समस्याओं का उपयोग करके सूत्र के अनुप्रयोग पर विचार करें:

कार्य 1

ज़ार बेल के आधार पर व्यास 6.6 मीटर है। घंटी के आधार की परिधि कितनी होती है?

1. तो, वृत्त की गणना करने का सूत्र p = πd है
2. हम मौजूदा मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: p \u003d 3.14 * 6.6 \u003d 20.724

उत्तर: घंटी के आधार की परिधि 20.7 मीटर है।

कार्य 2

पृथ्वी का एक कृत्रिम उपग्रह ग्रह से 320 किमी की दूरी पर घूमता है। पृथ्वी की त्रिज्या 6370 किमी है। उपग्रह की वृत्ताकार कक्षा की लंबाई कितनी है?

1. 1. पृथ्वी उपग्रह की वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या की गणना करें: 6370+320=6690 (किमी)
2. 2. सूत्र का उपयोग करके उपग्रह की गोलाकार कक्षा की लंबाई की गणना करें: P=2πr
3. 3.पी=2*3.14*6690=42013.2

उत्तर: पृथ्वी के उपग्रह की वृत्ताकार कक्षा की लंबाई 42013.2 किमी है।

परिधि को मापने के तरीके

एक वृत्त की परिधि की गणना अक्सर व्यवहार में नहीं की जाती है। इसका कारण संख्या π का ​​अनुमानित मान है। रोजमर्रा की जिंदगी में, एक वृत्त की लंबाई का पता लगाने के लिए एक विशेष उपकरण का उपयोग किया जाता है - एक कर्वीमीटर। सर्कल पर एक मनमाना संदर्भ बिंदु चिह्नित किया गया है और डिवाइस को लाइन के साथ सख्ती से तब तक निर्देशित किया जाता है जब तक कि वे फिर से इस बिंदु तक नहीं पहुंच जाते।

किसी वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें? आपको गणना के लिए सरल सूत्रों को ध्यान में रखना होगा।

एक वृत्त एक बिंदु से समदूरस्थ बिंदुओं की एक श्रृंखला है, जो बदले में, इस वृत्त का केंद्र है। केंद्र से इन बिंदुओं की दूरी के बराबर, वृत्त की अपनी त्रिज्या भी होती है।

एक वृत्त की लंबाई और उसके व्यास का अनुपात सभी वृत्तों के लिए समान होता है। यह अनुपात एक संख्या है जो एक गणितीय स्थिरांक है, जिसे ग्रीक अक्षर से दर्शाया जाता है π .

एक वृत्त की परिधि का निर्धारण

आप निम्न सूत्र का उपयोग करके सर्कल की गणना कर सकते हैं:

एल = π डी = 2 π आर

आर- वृत्त त्रिज्या

डी- वृत्त व्यास

एल- परिधि

π - 3.14

काम:

परिधि की गणना करें 10 सेंटीमीटर की त्रिज्या के साथ।

समाधान:

एक वृत्त के डाइन की गणना के लिए सूत्रकी तरह लगता है:

एल = π डी = 2 π आर

जहाँ L परिधि है, π 3.14 है, r वृत्त की त्रिज्या है, D वृत्त का व्यास है।

इस प्रकार, 10 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले एक वृत्त की परिधि है:

एल = 2 × 3.14 × 5 = 31.4 सेंटीमीटर

घेराएक ज्यामितीय आकृति है, जो समतल पर सभी बिंदुओं का एक संग्रह है, जो किसी दिए गए बिंदु से दूर है, जिसे इसका केंद्र कहा जाता है, जो कि शून्य के बराबर नहीं है और इसे त्रिज्या कहा जाता है। वैज्ञानिक प्राचीन काल में पहले से ही सटीकता की अलग-अलग डिग्री के साथ इसकी लंबाई निर्धारित करने में सक्षम थे: विज्ञान के इतिहासकारों का मानना ​​\u200b\u200bहै कि एक वृत्त की परिधि की गणना करने का पहला सूत्र लगभग 1900 ईसा पूर्व प्राचीन बेबीलोन में संकलित किया गया था।

मंडलियों जैसे ज्यामितीय आकृतियों के साथ, हम हर दिन और हर जगह सामना करते हैं। यह इसका आकार है जिसमें पहियों की बाहरी सतह होती है, जो विभिन्न वाहनों से सुसज्जित होती है। यह विस्तार, इसकी बाहरी सादगी और सरलता के बावजूद, मानव जाति के महानतम आविष्कारों में से एक माना जाता है, और यह दिलचस्प है कि यूरोपीय लोगों के आगमन तक ऑस्ट्रेलिया और अमेरिकी भारतीयों के मूल निवासियों को बिल्कुल पता नहीं था कि यह क्या था।

सभी संभावना में, सबसे पहले पहिए लॉग के टुकड़े थे जो एक एक्सल पर लगाए गए थे। धीरे-धीरे, पहिया के डिजाइन में सुधार हुआ, उनका डिजाइन अधिक से अधिक जटिल हो गया, और उनके निर्माण के लिए बहुत सारे विभिन्न उपकरणों का उपयोग करना आवश्यक था। सबसे पहले, पहिए दिखाई दिए, जिसमें लकड़ी के रिम और प्रवक्ता शामिल थे, और फिर, उनकी बाहरी सतह पर पहनने को कम करने के लिए, उन्होंने इसे धातु की पट्टियों से ऊपर करना शुरू किया। इन तत्वों की लंबाई निर्धारित करने के लिए, परिधि की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है (हालांकि व्यवहार में, सबसे अधिक संभावना है, कारीगरों ने इसे "आंख से" किया था या बस पहिया को एक पट्टी से बांधकर आवश्यक काट दिया था इसका खंड)।

इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहियाकिसी भी तरह से केवल वाहनों में उपयोग नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक कुम्हार के चाक का अपना आकार होता है, साथ ही तकनीक में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले गियर के गियर के तत्व भी होते हैं। प्राचीन काल से, जल चक्कियों के निर्माण में पहियों का उपयोग किया जाता रहा है (वैज्ञानिकों को ज्ञात इस तरह की सबसे पुरानी संरचनाएं मेसोपोटामिया में बनाई गई थीं), साथ ही कताई पहियों का उपयोग पशु ऊन और पौधों के तंतुओं से धागे बनाने के लिए किया जाता था।

मंडलियांअक्सर निर्माण में पाया जाता है। उनका आकार काफी व्यापक गोल खिड़कियां है, जो रोमनस्क्यू स्थापत्य शैली की बहुत विशेषता है। इन संरचनाओं का निर्माण एक बहुत ही कठिन कार्य है और इसके लिए उच्च कौशल की आवश्यकता होती है, साथ ही एक विशेष उपकरण की उपलब्धता भी। गोल खिड़कियों की किस्मों में से एक जहाजों और विमानों में स्थापित पोरथोल हैं।

इस प्रकार, डिज़ाइन इंजीनियरों को अक्सर एक सर्कल की परिधि निर्धारित करने, विभिन्न मशीनों, तंत्रों और असेंबली, साथ ही आर्किटेक्ट्स और डिजाइनरों को विकसित करने की समस्या को हल करना पड़ता है। संख्या के बाद से π इसके लिए आवश्यक अनंत है, तो इस पैरामीटर को पूर्ण सटीकता के साथ निर्धारित करना संभव नहीं है, और इसलिए, गणना उस डिग्री को ध्यान में रखती है, जो किसी विशेष मामले में आवश्यक और पर्याप्त है।