ईजेनवेक्टर और ईजेनवैल्यू क्या हैं। Eigenvalues ​​​​(संख्या) और eigenvectors। समाधान के उदाहरण

साइट पर गणितीय सूत्र कैसे सम्मिलित करें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्र जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में वर्णित है: गणितीय सूत्र आसानी से साइट में छवियों के रूप में डाले जाते हैं जो कि वुल्फराम अल्फा स्वचालित रूप से उत्पन्न करता है। सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधि खोज इंजनों में साइट की दृश्यता में सुधार करने में मदद करेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और मुझे लगता है कि यह हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन यह नैतिक रूप से पुराना है।

यदि आप अपनी साइट पर लगातार गणित के सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, तो मैं आपको MathJax, एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी का उपयोग करने की सलाह देता हूं, जो MathML, LaTeX, या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणित संकेतन प्रदर्शित करता है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी साइट से जोड़ सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) किसी दूरस्थ सर्वर से MathJax स्क्रिप्ट को अपने सर्वर पर अपलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पृष्ठों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि अधिक जटिल और समय लेने वाली है और आपको अपनी साइट के पृष्ठों को तेजी से लोड करने की अनुमति देगी, और यदि पैरेंट MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह किसी भी तरह से आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना, क्योंकि यह सरल, तेज है और इसमें तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और 5 मिनट के भीतर आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट से या प्रलेखन पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को दूरस्थ सर्वर से कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग्स के बीच औरया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो उसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पृष्ठ धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, ऊपर लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को इसके करीब रखें टेम्प्लेट की शुरुआत (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट एसिंक्रोनस रूप से लोड की गई है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित के फॉर्मूले एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

कोई भी फ्रैक्टल एक निश्चित नियम के अनुसार निर्मित होता है, जिसे लगातार असीमित संख्या में लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: 1 भुजा वाले मूल घन को उसके फलकों के समानांतर तलों द्वारा 27 बराबर घनों में विभाजित किया जाता है। एक केंद्रीय घन और फलकों के साथ उससे सटे 6 घनों को इससे हटा दिया जाता है। यह 20 शेष छोटे क्यूब्स से मिलकर एक सेट निकलता है। ऐसा ही प्रत्येक घन के साथ करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक समूह प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें मेन्जर स्पंज मिलता है।

सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली

सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्रपत्र की एक प्रणाली है

स्पष्ट है कि इस मामले में , क्योंकि इन निर्धारकों में से किसी एक स्तंभ के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

चूंकि अज्ञात सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं , तो मामले में जब Δ ≠ 0, सिस्टम में एक अद्वितीय शून्य समाधान होता है एक्स = वाई = जेड= 0. हालांकि, कई समस्याओं में यह सवाल दिलचस्प है कि क्या एक सजातीय प्रणाली में शून्य के अलावा अन्य समाधान हैं।

प्रमेय।रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि Δ ≠ 0।

इसलिए, यदि सारणिक Δ ≠ 0 है, तो निकाय के पास एक अद्वितीय हल है। यदि Δ ≠ 0 है, तो रैखिक सजातीय समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं।

उदाहरण।

ईजेनवेक्टर और मैट्रिक्स आइगेनवैल्यू

चलो एक वर्ग मैट्रिक्स दिया जाए , एक्सकुछ मैट्रिक्स-कॉलम है जिसकी ऊंचाई मैट्रिक्स के क्रम से मेल खाती है ए. .

कई समस्याओं में, के लिए समीकरण पर विचार करना पड़ता है एक्स

जहाँ λ कोई संख्या है। यह स्पष्ट है कि किसी भी λ के लिए इस समीकरण का शून्य समाधान है।

वह संख्या λ जिसके लिए इस समीकरण का अशून्य समाधान है, कहलाती है eigenvalueमैट्रिक्स ए, ए एक्सऐसे λ के लिए कहा जाता है खुद का वेक्टरमैट्रिक्स ए.

आइए मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर को खोजें ए. क्योंकि इ∙एक्स = एक्स, तो मैट्रिक्स समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है या . विस्तारित रूप में, इस समीकरण को रैखिक समीकरणों की प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। वास्तव में .

और इसलिए

इसलिए, हमें निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिली एक्स 1, x2, एक्स 3वेक्टर एक्स. सिस्टम के गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर हो, अर्थात

यह λ के संबंध में तीसरी डिग्री का समीकरण है। यह कहा जाता है विशेषता समीकरणमैट्रिक्स एऔर eigenvalues ​​​​λ निर्धारित करने के लिए कार्य करता है।

प्रत्येक eigenvalue λ एक eigenvector से मेल खाता है एक्स, जिनके निर्देशांक सिस्टम से λ के संगत मान पर निर्धारित किए जाते हैं।

उदाहरण।

वेक्टर बीजगणित। वेक्टर अवधारणा

भौतिकी की विभिन्न शाखाओं का अध्ययन करते समय, ऐसी मात्राएँ होती हैं जो पूरी तरह से उनके संख्यात्मक मानों को निर्धारित करके निर्धारित की जाती हैं, उदाहरण के लिए, लंबाई, क्षेत्रफल, द्रव्यमान, तापमान, आदि। ऐसे मान अदिश कहलाते हैं। हालाँकि, उनके अलावा, मात्राएँ भी हैं, जिनके निर्धारण के लिए, संख्यात्मक मान के अलावा, अंतरिक्ष में उनकी दिशा जानना भी आवश्यक है, उदाहरण के लिए, शरीर पर कार्य करने वाला बल, गति और त्वरण शरीर के जब यह अंतरिक्ष में चलता है, अंतरिक्ष और आदि में दिए गए बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की ताकत। ऐसी राशियों को सदिश राशियां कहते हैं।

आइए हम एक कठोर परिभाषा पेश करें।

दिशात्मक खंडआइए एक सेगमेंट को कॉल करें, जिसके सिरों के सापेक्ष यह ज्ञात हो कि उनमें से कौन सा पहला है और कौन सा दूसरा है।

वेक्टरएक निर्देशित खंड कहा जाता है, जिसकी एक निश्चित लंबाई होती है, अर्थात। यह एक निश्चित लंबाई का एक खंड है, जिसमें इसे सीमित करने वाले बिंदुओं में से एक को शुरुआत के रूप में लिया जाता है, और दूसरा - अंत के रूप में। अगर एवेक्टर की शुरुआत है, बीइसका अंत है, तो वेक्टर को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है, इसके अलावा, वेक्टर को अक्सर एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है। आकृति में, वेक्टर को एक खंड द्वारा और इसकी दिशा को एक तीर द्वारा इंगित किया गया है।

मापांकया लंबाईवेक्टर को निर्देशित खंड की लंबाई कहा जाता है जो इसे परिभाषित करता है। द्वारा अस्वीकृत || या ||।

तथाकथित शून्य वेक्टर, जिसका आरंभ और अंत मेल खाता है, को भी वेक्टर कहा जाएगा। अंकित है। शून्य सदिश की कोई निश्चित दिशा नहीं है और इसका मापांक शून्य ||=0 के बराबर है।

वेक्टर और कहलाते हैं समरेखयदि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं। इस मामले में, यदि सदिश और समान रूप से निर्देशित हैं, तो हम विपरीत रूप से लिखेंगे।

एक ही तल के समान्तर सरल रेखाओं पर स्थित सदिश कहलाते हैं समतलीय.

दो वैक्टर और कहलाते हैं बराबरयदि वे संरेख हैं, उनकी दिशा समान है, और लंबाई में समान हैं। इस स्थिति में लिखिए।

यह सदिशों की समानता की परिभाषा से अनुसरण करता है कि एक सदिश को अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर अपने मूल को रखकर अपने समानांतर ले जाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए.

वैक्टर पर रैखिक संचालन

1. एक सदिश को एक संख्या से गुणा करना।

   संख्या λ द्वारा सदिश का गुणनफल एक नया सदिश है जैसे कि:

   एक सदिश और एक संख्या λ के गुणनफल को द्वारा निरूपित किया जाता है।

   

   उदाहरण के लिए,एक वेक्टर है जो वेक्टर के समान दिशा में इंगित करता है और वेक्टर की आधी लंबाई रखता है।

   दर्ज किए गए ऑपरेशन में निम्नलिखित हैं गुण:

2. वैक्टर का जोड़।

   चलो और दो मनमाना वैक्टर बनें। एक मनमाना बिंदु लें हेऔर एक वेक्टर बनाएँ। उसके बाद, बिंदु से एवेक्टर को अलग रखें। पहले वेक्टर की शुरुआत को दूसरे के अंत से जोड़ने वाला वेक्टर कहलाता है जोड़इन वैक्टरों में से और निरूपित किया जाता है .

   

   सदिश योग की सूत्रबद्ध परिभाषा कहलाती है समांतर चतुर्भुज नियम, क्योंकि सदिशों का समान योग निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। बिंदु से अलग सेट करें हेवैक्टर और। इन सदिशों पर समांतर चतुर्भुज की रचना कीजिए ओएबीसी. चूंकि सदिश, फिर सदिश, जो शीर्ष से खींचे गए समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है हे, स्पष्ट रूप से सदिशों का योग होगा।

   

   निम्नलिखित की जांच करना आसान है वेक्टर जोड़ गुण.

3. वैक्टर का अंतर।

   किसी दिए गए सदिश के समानांतर एक सदिश, लंबाई में बराबर और विपरीत दिशा में, कहा जाता है विलोमवेक्टर के लिए वेक्टर और द्वारा निरूपित किया जाता है। विपरीत वेक्टर को संख्या λ = -1: द्वारा वेक्टर गुणन के परिणाम के रूप में माना जा सकता है।

एक वर्ग मैट्रिक्स का एक ईजेनवेक्टर वह होता है, जो किसी दिए गए मैट्रिक्स से गुणा करने पर, एक समरेख वेक्टर में परिणत होता है। सरल शब्दों में, जब एक मैट्रिक्स को एक ईजेनवेक्टर से गुणा किया जाता है, तो बाद वाला वही रहता है, लेकिन किसी संख्या से गुणा किया जाता है।

परिभाषा

एक eigenvector एक गैर-शून्य वेक्टर V है, जो एक वर्ग मैट्रिक्स M से गुणा करने पर, स्वयं बन जाता है, कुछ संख्या λ से बढ़ जाता है। बीजगणितीय संकेतन में, ऐसा दिखता है:

एम × वी = λ × वी,

जहाँ λ आव्यूह M का एक आइगेनमान है।

आइए एक संख्यात्मक उदाहरण पर विचार करें। लिखने की सुविधा के लिए, मैट्रिक्स में संख्याओं को अर्धविराम से अलग किया जाएगा। मान लें कि हमारे पास एक मैट्रिक्स है:

• एम = 0; 4;
• 6; 10.

आइए इसे कॉलम वेक्टर से गुणा करें:

• वी = -2;

एक मैट्रिक्स को एक कॉलम वेक्टर से गुणा करने पर, हमें एक कॉलम वेक्टर भी मिलता है। सख्त गणितीय भाषा में, एक कॉलम वेक्टर द्वारा 2 × 2 मैट्रिक्स को गुणा करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

• एम × वी = एम 11 × वी 11 + एम 12 × वी 21;
• M21 x V11 + M22 x V21।

M11 का मतलब मैट्रिक्स M का तत्व है, जो पहली पंक्ति और पहले कॉलम में खड़ा है, और M22 दूसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम में स्थित तत्व है। हमारे मैट्रिक्स के लिए, ये तत्व M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 हैं। एक कॉलम वेक्टर के लिए, ये मान V11 = -2, V21 = 1 हैं। इस सूत्र के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं वेक्टर द्वारा वर्ग मैट्रिक्स के उत्पाद का परिणाम:

• एम × वी = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2।

सुविधा के लिए, हम कॉलम वेक्टर को एक पंक्ति में लिखते हैं। इसलिए, हमने वर्ग मैट्रिक्स को वेक्टर (-2; 1) से गुणा किया है, जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर (4; -2) प्राप्त होता है। जाहिर है, यह वही वेक्टर है जिसे λ = -2 से गुणा किया जाता है। इस मामले में लैम्ब्डा मैट्रिक्स के एक eigenvalue को दर्शाता है।

एक मैट्रिक्स का ईजेनवेक्टर एक कोलीनियर वेक्टर है, अर्थात, एक वस्तु जो मैट्रिक्स द्वारा गुणा किए जाने पर अंतरिक्ष में अपनी स्थिति नहीं बदलती है। सदिश बीजगणित में संरेखता की अवधारणा ज्यामिति में समांतरता की अवधि के समान है। ज्यामितीय व्याख्या में, समरेख सदिश विभिन्न लंबाई के समानांतर निर्देशित खंड होते हैं। यूक्लिड के समय से, हम जानते हैं कि एक रेखा के समानांतर अनंत संख्या में रेखाएँ होती हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि प्रत्येक मैट्रिक्स में अनंत संख्या में ईजेनवेक्टर होते हैं।

पिछले उदाहरण से, यह देखा जा सकता है कि दोनों (-8; 4), और (16; -8), और (32, -16) ईजेनवेक्टर हो सकते हैं। ये सभी आइगेनवैल्यू λ = -2 के अनुरूप समरेख सदिश हैं। मूल मैट्रिक्स को इन वैक्टरों से गुणा करने पर, हमें अभी भी परिणाम के रूप में एक वेक्टर मिलेगा, जो मूल मैट्रिक्स से 2 गुना अलग है। इसीलिए, आइजनवेक्टर खोजने के लिए समस्याओं को हल करते समय, केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर ऑब्जेक्ट खोजने की आवश्यकता होती है। अक्सर, एक n × n मैट्रिक्स के लिए, eigenvectors की n-वीं संख्या होती है। हमारे कैलकुलेटर को दूसरे क्रम के वर्ग मैट्रिसेस के विश्लेषण के लिए डिज़ाइन किया गया है, इसलिए परिणाम के रूप में लगभग हमेशा दो ईजेनवेक्टर मिलेंगे, सिवाय इसके कि जब वे मेल खाते हों।

उपरोक्त उदाहरण में, हम मूल मैट्रिक्स के ईजेनवेक्टर को पहले से जानते थे और लैम्ब्डा संख्या को नेत्रहीन रूप से निर्धारित करते थे। हालाँकि, व्यवहार में, सब कुछ दूसरे तरीके से होता है: शुरुआत में आइगेनवैल्यू होते हैं और उसके बाद ही ईजेनवेक्टर होते हैं।

समाधान एल्गोरिथ्म

आइए मूल मैट्रिक्स M को फिर से देखें और इसके दोनों eigenvectors को खोजने का प्रयास करें। तो मैट्रिक्स ऐसा दिखता है:

• एम = 0; 4;
• 6; 10.

आरंभ करने के लिए, हमें eigenvalue λ निर्धारित करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हमें निम्नलिखित मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ)।

यह मैट्रिक्स अज्ञात λ को मुख्य विकर्ण पर तत्वों से घटाकर प्राप्त किया जाता है। निर्धारक मानक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

चूँकि हमारा सदिश शून्य नहीं होना चाहिए, हम परिणामी समीकरण को रैखिक रूप से निर्भर मानते हैं और अपने निर्धारक detA को शून्य के बराबर करते हैं।

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

आइए कोष्ठक खोलें और मैट्रिक्स की विशेषता समीकरण प्राप्त करें:

λ 2 - 10 λ - 24 = 0

यह एक मानक द्विघात समीकरण है जिसे विविक्तकर के संदर्भ में हल करने की आवश्यकता है।

डी \u003d बी 2 - 4एसी \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

विवेचक का मूल sqrt(D) = 14 है, इसलिए λ1 = -2, λ2 = 12। अब प्रत्येक लैम्ब्डा मान के लिए, हमें एक ईजेनवेक्टर खोजने की आवश्यकता है। आइए हम λ = -2 के लिए सिस्टम के गुणांकों को व्यक्त करें।

• एम - λ × ई = 2; 4;
• 6; 12.

इस सूत्र में, E तत्समक आव्यूह है। प्राप्त मैट्रिक्स के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

2x + 4y = 6x + 12y

जहाँ x और y ईजेनवेक्टर के तत्व हैं।

आइए सभी X को बाईं ओर और सभी Y को दाईं ओर एकत्रित करें। जाहिर है - 4x = 8y। व्यंजक को - 4 से विभाजित करें और x = -2y प्राप्त करें। अब हम अज्ञात के किसी भी मान को लेकर मैट्रिक्स के पहले ईजेनवेक्टर को निर्धारित कर सकते हैं (रैखिक रूप से निर्भर ईजेनवेक्टरों की अनंतता के बारे में याद रखें)। मान लीजिए y = 1, तो x = -2। इसलिए, पहला ईजेनवेक्टर V1 = (-2; 1) जैसा दिखता है। लेख की शुरुआत में लौटें। यह सदिश वस्तु थी जिसे हमने ईजेनवेक्टर की अवधारणा को प्रदर्शित करने के लिए मैट्रिक्स से गुणा किया।

अब आइए λ = 12 के लिए eigenvector खोजें।

• एम - λ × ई = -12; 4
• 6; -2.

आइए हम रैखिक समीकरणों की समान प्रणाली की रचना करें;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = वाई।

अब चलिए x = 1 लेते हैं, इसलिए y = 3। इस प्रकार, दूसरा eigenvector V2 = (1; 3) जैसा दिखता है। मूल मैट्रिक्स को इस सदिश से गुणा करने पर, परिणाम हमेशा उसी सदिश को 12 से गुणा किया जाएगा। यह समाधान एल्गोरिथ्म को पूरा करता है। अब आप जानते हैं कि मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर को मैन्युअल रूप से कैसे परिभाषित किया जाए।

• निर्धारक;
• ट्रेस, यानी, मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग;
• रैंक, यानी रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों/स्तंभों की अधिकतम संख्या।

समाधान प्रक्रिया को न्यूनतम करते हुए, उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार कार्यक्रम संचालित होता है। यह इंगित करना महत्वपूर्ण है कि कार्यक्रम में लैम्ब्डा को "सी" अक्षर से दर्शाया गया है। आइए एक संख्यात्मक उदाहरण देखें।

कार्यक्रम उदाहरण

आइए निम्नलिखित मैट्रिक्स के लिए eigenvectors को परिभाषित करने का प्रयास करें:

• एम = 5; 13;
• 4; 14.

आइए इन मूल्यों को कैलकुलेटर की कोशिकाओं में दर्ज करें और निम्नलिखित रूप में उत्तर प्राप्त करें:

• मैट्रिक्स रैंक: 2;
• मैट्रिक्स निर्धारक: 18;
• मैट्रिक्स ट्रेस: ​​19;
• ईजेनवेक्टर गणना: सी 2 - 19.00 सी + 18.00 (विशेषता समीकरण);
• ईजेनवेक्टर गणना: 18 (पहला लैम्ब्डा मान);
• ईजेनवेक्टर गणना: 1 (दूसरा लैम्ब्डा मान);
• सदिश 1 के समीकरणों की प्रणाली: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• वेक्टर 2 समीकरण प्रणाली: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• ईजेनवेक्टर 1: (1; 1);
• ईजेनवेक्टर 2: (-3.25; 1)।

इस प्रकार, हमने दो रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टर प्राप्त किए हैं।

निष्कर्ष

रेखीय बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति इंजीनियरिंग में किसी नए व्यक्ति के लिए मानक विषय हैं। बड़ी संख्या में वैक्टर और मैट्रिसेस भयानक हैं, और इस तरह की बोझिल गणनाओं में गलती करना आसान है। हमारा कार्यक्रम छात्रों को अपनी गणना की जांच करने या एक ईजेनवेक्टर खोजने की समस्या को स्वचालित रूप से हल करने की अनुमति देगा। हमारे कैटलॉग में अन्य रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर हैं, उन्हें अपने अध्ययन या कार्य में उपयोग करें।

परिभाषा 9.3।वेक्टर एक्स बुलाया खुद का वेक्टरमैट्रिक्स एअगर ऐसी कोई संख्या है λ, कि समानता रखती है: ए एक्स= λ एक्स, अर्थात् आवेदन करने का परिणाम एक्स मैट्रिक्स द्वारा दिया गया रैखिक परिवर्तन ए, इस वेक्टर का संख्या से गुणा है λ . नंबर ही λ बुलाया खुद का नंबरमैट्रिक्स ए.

सूत्रों में प्रतिस्थापन (9.3) एक्स `जे = λx जे,हम ईजेनवेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

. (9.5)

इस रैखिक सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान होगा, यदि इसका मुख्य निर्धारक 0 (क्रैमर का नियम) है। इस शर्त को फॉर्म में लिखकर:

आइगेनमानों के निर्धारण के लिए हमें एक समीकरण प्राप्त होता है λ बुलाया विशेषता समीकरण. संक्षेप में, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

| A-λE | = 0, (9.6)

चूँकि इसका बायाँ भाग मैट्रिक्स का निर्धारक है A-λE. के संबंध में बहुपद λ | A-λE| बुलाया विशेषता बहुपदमैट्रिसेस ए।

विशेषता बहुपद के गुण:

1) एक रैखिक रूपांतरण का अभिलाक्षणिक बहुपद आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। सबूत। (देखें (9.4)), लेकिन इस तरह, । इस प्रकार, आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, और | A-λE| नए आधार पर संक्रमण पर नहीं बदलता है।

2) यदि मैट्रिक्स एरेखीय परिवर्तन है सममित(वे। ए आईजी = ए जी), तो अभिलाक्षणिक समीकरण (9.6) के सभी मूल वास्तविक संख्याएँ हैं।

ईजेनवेल्यूज और ईजेनवेक्टर के गुण:

1) यदि हम ईजेनवेक्टरों से एक आधार चुनते हैं एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3 आइगेनवैल्यू के अनुरूप λ 1, λ 2, λ 3मैट्रिक्स ए, तो इस आधार पर रैखिक परिवर्तन A में एक विकर्ण मैट्रिक्स है:

(9.7) इस संपत्ति का प्रमाण ईजेनवेक्टर की परिभाषा से मिलता है।

2) यदि रूपांतरण eigenvalues एअलग हैं, तो उनके अनुरूप ईजेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

3) यदि मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद एतीन अलग-अलग जड़ें हैं, फिर किसी आधार पर मैट्रिक्स एएक तिरछी आकृति है।

आइए मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​और eigenvectors का पता लगाएं आइए विशेषता समीकरण बनाते हैं: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

प्रत्येक पाए गए मान के संगत ईजेनवेक्टर के निर्देशांक ज्ञात कीजिए λ. (9.5) से यह इस प्रकार है कि यदि एक्स (1) ={एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3) के अनुरूप ईजेनवेक्टर है λ 1 = -2, तब

एक संयुक्त लेकिन अनिश्चित प्रणाली है। इसका हल इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स (1) ={ए,0,-ए), जहां कोई संख्या है। विशेष रूप से, यदि आपको इसकी आवश्यकता है एक्स (1) |=1, एक्स (1) =

सिस्टम में प्रतिस्थापन (9.5) λ 2 = 3, हमें दूसरे ईजेनवेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली मिलती है - एक्स (2) ={y1, y2, y3}:

, कहाँ एक्स (2) ={बी, -बी,बी) या, बशर्ते | एक्स (2) |=1, एक्स (2) =

के लिए λ 3 = 6 ईजेनवेक्टर खोजें एक्स (3) ={z1, z2, z3}:

, एक्स (3) ={सी,2सी, सी) या सामान्यीकृत संस्करण में

एक्स (3) = यह देखा जा सकता है एक्स (1) एक्स (2) = अब-अब= 0, एक्स (1) एक्स (3) = एसी-एसी= 0, एक्स (2) एक्स (3) = ईसा पूर्व- 2बीसी + बीसी= 0. इस प्रकार, इस मैट्रिक्स के eigenvectors जोड़ीदार ओर्थोगोनल हैं।

व्याख्यान 10

द्विघात रूप और सममित मैट्रिसेस के साथ उनका संबंध। एक सममित मैट्रिक्स के eigenvectors और eigenvalues ​​​​के गुण। एक द्विघात रूप को एक विहित रूप में घटाना।

परिभाषा 10.1।द्विघात रूपवास्तविक चर एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एनइन चरों के संबंध में दूसरी डिग्री का एक बहुपद कहा जाता है, जिसमें एक मुक्त पद और पहली डिग्री की शर्तें नहीं होती हैं।

द्विघात रूपों के उदाहरण:

(एन = 2),

(एन = 3). (10.1)

पिछले व्याख्यान में दी गई सममित मैट्रिक्स की परिभाषा को याद करें:

परिभाषा 10.2।वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है सममित, यदि , अर्थात, यदि मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित मैट्रिक्स तत्व समान हैं।

एक सममित मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​और eigenvectors के गुण:

1) एक सममित मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।

सबूत (के लिए एन = 2).

चलो मैट्रिक्स एकी तरह लगता है: . चलो विशेषता समीकरण बनाते हैं:

(10.2) विवेचक ज्ञात कीजिए:

इसलिए, समीकरण के केवल वास्तविक मूल हैं।

2) एक सममित मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर ओर्थोगोनल होते हैं।

सबूत (के लिए एन= 2).

ईजेनवेक्टरों के निर्देशांक और समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।