सांख्यिकीय विचलन। अनुमानित फैलाव, मानक विचलन

परिकल्पनाओं का सांख्यिकीय परीक्षण करते समय, यादृच्छिक चरों के बीच एक रैखिक संबंध को मापते समय।

मानक विचलन:

मानक विचलन(यादृच्छिक चर तल, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत के मानक विचलन का अनुमान, एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष):

कहाँ - विचरण; - फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, मैं-वाँ नमूना तत्व; - नमूने का आकार; - नमूने का अंकगणितीय माध्य:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दोनों अनुमान पक्षपाती हैं। सामान्य स्थिति में, निष्पक्ष अनुमान लगाना असंभव है। हालाँकि, एक निष्पक्ष विचरण अनुमान पर आधारित अनुमान सुसंगत है।

तीन सिग्मा नियम

तीन सिग्मा नियम() - एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लगभग सभी मान अंतराल में हैं। अधिक कड़ाई से - 99.7% से कम निश्चितता के साथ, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का मान निर्दिष्ट अंतराल में होता है (बशर्ते कि मान सत्य हो, और नमूना प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप प्राप्त न हो)।

यदि सही मूल्य अज्ञात है, तो आपको नहीं, बल्कि फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत का उपयोग करना चाहिए, एस. इस प्रकार, तीन सिग्मा के नियम का अनुवाद तीन तल, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत के नियम में किया जाता है, एस .

मानक विचलन के मूल्य की व्याख्या

मानक विचलन का एक बड़ा मूल्य सेट के औसत मूल्य के साथ प्रस्तुत सेट में मूल्यों का एक बड़ा प्रसार दर्शाता है; एक छोटा मूल्य, क्रमशः इंगित करता है कि सेट में मान औसत मूल्य के आसपास समूहीकृत हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन नंबर सेट हैं: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) और (6, 6, 8, 8)। सभी तीन सेटों में क्रमशः 7 और 7, 5, और 1 के मानक विचलन के औसत मूल्य हैं। अंतिम सेट में एक छोटा मानक विचलन है क्योंकि सेट में मान माध्य के आसपास क्लस्टर किए गए हैं; पहले सेट में मानक विचलन का सबसे बड़ा मूल्य है - सेट के भीतर के मान औसत मूल्य से दृढ़ता से भिन्न होते हैं।

एक सामान्य अर्थ में, मानक विचलन को अनिश्चितता का माप माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, मानक विचलन का उपयोग किसी मात्रा के क्रमिक मापों की श्रृंखला की त्रुटि को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्य की तुलना में अध्ययन के तहत घटना की संभाव्यता निर्धारित करने के लिए यह मूल्य बहुत महत्वपूर्ण है: यदि माप का औसत मूल्य सिद्धांत (बड़े मानक विचलन) द्वारा अनुमानित मूल्यों से बहुत अलग है, तो प्राप्त मूल्यों या उन्हें प्राप्त करने की विधि की पुनः जाँच की जानी चाहिए।

प्रायोगिक उपयोग

व्यवहार में, मानक विचलन आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि सेट में मान औसत मूल्य से कितना भिन्न हो सकते हैं।

जलवायु

मान लीजिए कि एक ही औसत दैनिक अधिकतम तापमान वाले दो शहर हैं, लेकिन एक तट पर स्थित है और दूसरा अंतर्देशीय है। तटीय शहरों को अंतर्देशीय शहरों की तुलना में कई अलग-अलग दैनिक अधिकतम तापमानों के लिए जाना जाता है। इसलिए, तटीय शहर में अधिकतम दैनिक तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास इस मूल्य का समान औसत मूल्य है, जिसका व्यवहार में अर्थ है कि संभावना है कि अधिकतम हवा का तापमान वर्ष का प्रत्येक विशेष दिन महाद्वीप के अंदर स्थित शहर के औसत मूल्य से अधिक मजबूत होगा।

खेल

मान लेते हैं कि कई फुटबॉल टीमें हैं जो कुछ मापदंडों के सेट के अनुसार रैंक की जाती हैं, उदाहरण के लिए, गोल किए गए और स्वीकार किए गए गोलों की संख्या, स्कोरिंग मौके, आदि। यह सबसे अधिक संभावना है कि इस समूह की सर्वश्रेष्ठ टीम के पास सर्वोत्तम मूल्य होंगे अधिक मापदंडों में। प्रस्तुत मापदंडों में से प्रत्येक के लिए टीम का मानक विचलन जितना छोटा होता है, टीम का परिणाम उतना ही अधिक अनुमानित होता है, ऐसी टीमें संतुलित होती हैं। दूसरी ओर, बड़े मानक विचलन वाली टीम को परिणाम की भविष्यवाणी करने में कठिनाई होती है, जो बदले में असंतुलन द्वारा समझाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक मजबूत रक्षा लेकिन एक कमजोर हमला।

टीम के मापदंडों के मानक विचलन का उपयोग किसी को कुछ हद तक दो टीमों के बीच मैच के परिणाम की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है, टीमों की ताकत और कमजोरियों का मूल्यांकन करता है, और इसलिए संघर्ष के चुने हुए तरीके।

तकनीकी विश्लेषण

यह सभी देखें

साहित्य

यह लेख हटाने के लिए प्रस्तावित है। कारणों की व्याख्या और संबंधित चर्चा पृष्ठ पर पाई जा सकती है विकिपीडिया:हटाया जाना/17 दिसंबर 2012। जब तक चर्चा प्रक्रिया पूरी नहीं हो जाती, तब तक लेख में सुधार किया जा सकता है, लेकिन आपको सामग्री का नाम बदलने या हटाने से बचना चाहिए, अधिक विवरण के लिए आगे की कार्रवाई के लिए मार्गदर्शिका देखें। चर्चा समाप्त होने तक हटाने के लिए फ़्लैग न हटाएं। प्रशासक: लिंक यहाँ, इतिहास (अंतिम बार संशोधित), लॉग, हटाएं.

* बोरोविकोव, वी.सांख्यिकी। कंप्यूटर डेटा विश्लेषण की कला: पेशेवरों / वी। बोरोविकोव के लिए। - सेंट पीटर्सबर्ग। : पीटर, 2003. - 688 पी। - आईएसबीएन 5-272-00078-1.

सांख्यिकीय संकेतक
वर्णनात्मक आंकड़े	निरंतर आंकड़े कतरनी कारक मीन (अंकगणित, ज्यामितीय, हार्मोनिक) मेडियन मोड रेंज उतार-चढ़ाव पद · मानक विचलनभिन्नता का गुणांक क्वांटाइल (डेसिल, पर्सेंटाइल/पर्सेंटाइल/सेंटाइल) लम्हें गणितीय अपेक्षा फैलाव तिरछापन कर्टोसिस अलग आंकड़े आवृत्ति आकस्मिकता तालिका
सांख्यिकीय निकासी और इंतिहान परिकल्पना	सांख्यिकीय निष्कर्ष विश्वास अंतराल (आवृत्ति संभावना) विश्वास अंतराल (बायेसियन अनुमान) सांख्यिकीय महत्व मेटा-विश्लेषण योजना प्रयोग जनसंख्या · नमूना डिजाइन · क्षेत्रीय नमूनाकरण · प्रतिकृति · समूहीकरण · संवेदनशीलता और विशिष्टता नमूने का आकार सांख्यिकीय शक्ति प्रभाव का माप मानक त्रुटि समग्र प्राप्तांक बायेसियन समाधान का मूल्यांकन ·

परिवर्तनशील श्रृंखला के उतार-चढ़ाव का आकलन करने के लिए एक अनुमानित तरीका सीमा और आयाम का निर्धारण है, हालांकि, श्रृंखला के भीतर संस्करण के मूल्यों को ध्यान में नहीं रखा जाता है। विविधताओं की सीमा के भीतर एक मात्रात्मक विशेषता के उतार-चढ़ाव का मुख्य आम तौर पर स्वीकृत उपाय है मानक विचलन (σ - सिग्मा). मानक विचलन जितना बड़ा होगा, इस श्रृंखला के उतार-चढ़ाव की डिग्री उतनी ही अधिक होगी।

मानक विचलन की गणना करने की विधि में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. समांतर माध्य (M) ज्ञात कीजिए।

2. अंकगणितीय माध्य (डी = वी-एम) से अलग-अलग विकल्पों के विचलन का निर्धारण करें। चिकित्सा सांख्यिकी में, माध्य से विचलन को d (विचलित) के रूप में दर्शाया जाता है। सभी विचलनों का योग शून्य के बराबर है।

3. प्रत्येक विचलन d 2 का वर्ग करें।

4. विचलनों के वर्ग को संबंधित आवृत्तियों d 2 *p से गुणा करें।

5. गुणनफलों का योग ज्ञात कीजिए å(d 2 *p)

6. सूत्र द्वारा मानक विचलन की गणना करें:

जब n 30 से अधिक हो, या जब n 30 से कम या उसके बराबर हो, जहाँ n सभी विकल्पों की संख्या है।

मानक विचलन का मान:

1. मानक विचलन औसत मूल्य (यानी, विविधता श्रृंखला के उतार-चढ़ाव) के सापेक्ष भिन्नता के फैलाव को दर्शाता है। सिग्मा जितना बड़ा होगा, इस श्रृंखला की विविधता का स्तर उतना ही अधिक होगा।

2. मानक विचलन का उपयोग उस भिन्नता श्रृंखला के साथ अंकगणितीय माध्य के अनुपालन की डिग्री के तुलनात्मक मूल्यांकन के लिए किया जाता है जिसके लिए इसकी गणना की गई थी।

सामूहिक परिघटनाओं की विविधताएं सामान्य वितरण के नियम का पालन करती हैं। इस वितरण का प्रतिनिधित्व करने वाले वक्र में एक चिकनी घंटी के आकार का सममित वक्र (गाऊसी वक्र) का रूप है। सामान्य वितरण के नियम का पालन करने वाली परिघटनाओं में संभाव्यता के सिद्धांत के अनुसार, अंकगणितीय माध्य और मानक विचलन के मूल्यों के बीच एक सख्त गणितीय संबंध है। सजातीय भिन्नता श्रृंखला में एक संस्करण का सैद्धांतिक वितरण तीन सिग्मा नियम का पालन करता है।

यदि एब्सिस्सा अक्ष पर आयताकार निर्देशांक की प्रणाली में मात्रात्मक विशेषता (विकल्प) के मान प्लॉट किए जाते हैं, और ऑर्डिनेट अक्ष पर - भिन्नता श्रृंखला में भिन्न होने की आवृत्ति होती है, तो बड़े और छोटे मूल्यों वाले वेरिएंट ​​समान रूप से अंकगणितीय माध्य के पक्षों पर स्थित हैं।

यह स्थापित किया गया है कि विशेषता के सामान्य वितरण के साथ:

वैरिएंट वैल्यू का 68.3% ±1s के भीतर है

वैरिएंट वैल्यू का 95.5% M±2s के भीतर है

वैरिएंट वैल्यू का 99.7% M±3s के भीतर है

3. मानक विचलन आपको नैदानिक ​​और जैविक मापदंडों के लिए सामान्य मान निर्धारित करने की अनुमति देता है। चिकित्सा में, एम ± 1s अंतराल आमतौर पर अध्ययन के तहत घटना के लिए सामान्य श्रेणी के बाहर लिया जाता है। 1s से अधिक अंकगणितीय माध्य से अनुमानित मूल्य का विचलन आदर्श से अध्ययन किए गए पैरामीटर के विचलन को इंगित करता है।

4. चिकित्सा में, बच्चों के कपड़ों के मानकों के विकास के लिए बच्चों के शारीरिक विकास के स्तर (सिग्मा विचलन की विधि) के व्यक्तिगत मूल्यांकन के लिए बाल रोग में तीन-सिग्मा नियम का उपयोग किया जाता है

5. अध्ययन के तहत विशेषता की विविधता की डिग्री को चिह्नित करने और अंकगणितीय माध्य की त्रुटि की गणना करने के लिए मानक विचलन आवश्यक है।

मानक विचलन का मान आमतौर पर एक ही प्रकार की श्रृंखला के उतार-चढ़ाव की तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है। यदि विभिन्न विशेषताओं वाली दो पंक्तियों की तुलना की जाती है (ऊंचाई और वजन, अस्पताल में रहने की औसत अवधि और अस्पताल में मृत्यु दर, आदि), तो सिग्मा आकार की सीधी तुलना असंभव है। , क्योंकि मानक विचलन - एक नामित मान, पूर्ण संख्या में व्यक्त किया गया। ऐसे मामलों में आवेदन करें भिन्नता का गुणांक (Cv), जो एक सापेक्ष मान है: अंकगणितीय माध्य के लिए मानक विचलन का प्रतिशत।

भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

भिन्नता का गुणांक जितना अधिक होगा , इस श्रृंखला की परिवर्तनशीलता जितनी अधिक होगी। यह माना जाता है कि 30% से अधिक भिन्नता का गुणांक जनसंख्या की गुणात्मक विषमता को दर्शाता है।

परिकल्पनाओं का सांख्यिकीय परीक्षण करते समय, यादृच्छिक चरों के बीच एक रैखिक संबंध को मापते समय।

मानक विचलन:

मानक विचलन(यादृच्छिक चर तल, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत के मानक विचलन का अनुमान, एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष):

कहाँ - विचरण; - फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, मैं-वाँ नमूना तत्व; - नमूने का आकार; - नमूने का अंकगणितीय माध्य:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दोनों अनुमान पक्षपाती हैं। सामान्य स्थिति में, निष्पक्ष अनुमान लगाना असंभव है। हालाँकि, एक निष्पक्ष विचरण अनुमान पर आधारित अनुमान सुसंगत है।

तीन सिग्मा नियम

तीन सिग्मा नियम() - एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लगभग सभी मान अंतराल में हैं। अधिक कड़ाई से - 99.7% से कम निश्चितता के साथ, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का मान निर्दिष्ट अंतराल में होता है (बशर्ते कि मान सत्य हो, और नमूना प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप प्राप्त न हो)।

यदि सही मूल्य अज्ञात है, तो आपको नहीं, बल्कि फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत का उपयोग करना चाहिए, एस. इस प्रकार, तीन सिग्मा के नियम का अनुवाद तीन तल, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत के नियम में किया जाता है, एस .

मानक विचलन के मूल्य की व्याख्या

मानक विचलन का एक बड़ा मूल्य सेट के औसत मूल्य के साथ प्रस्तुत सेट में मूल्यों का एक बड़ा प्रसार दर्शाता है; एक छोटा मूल्य, क्रमशः इंगित करता है कि सेट में मान औसत मूल्य के आसपास समूहीकृत हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन नंबर सेट हैं: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) और (6, 6, 8, 8)। सभी तीन सेटों में क्रमशः 7 और 7, 5, और 1 के मानक विचलन के औसत मूल्य हैं। अंतिम सेट में एक छोटा मानक विचलन है क्योंकि सेट में मान माध्य के आसपास क्लस्टर किए गए हैं; पहले सेट में मानक विचलन का सबसे बड़ा मूल्य है - सेट के भीतर के मान औसत मूल्य से दृढ़ता से भिन्न होते हैं।

एक सामान्य अर्थ में, मानक विचलन को अनिश्चितता का माप माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, मानक विचलन का उपयोग किसी मात्रा के क्रमिक मापों की श्रृंखला की त्रुटि को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्य की तुलना में अध्ययन के तहत घटना की संभाव्यता निर्धारित करने के लिए यह मूल्य बहुत महत्वपूर्ण है: यदि माप का औसत मूल्य सिद्धांत (बड़े मानक विचलन) द्वारा अनुमानित मूल्यों से बहुत अलग है, तो प्राप्त मूल्यों या उन्हें प्राप्त करने की विधि की पुनः जाँच की जानी चाहिए।

प्रायोगिक उपयोग

व्यवहार में, मानक विचलन आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि सेट में मान औसत मूल्य से कितना भिन्न हो सकते हैं।

जलवायु

मान लीजिए कि एक ही औसत दैनिक अधिकतम तापमान वाले दो शहर हैं, लेकिन एक तट पर स्थित है और दूसरा अंतर्देशीय है। तटीय शहरों को अंतर्देशीय शहरों की तुलना में कई अलग-अलग दैनिक अधिकतम तापमानों के लिए जाना जाता है। इसलिए, तटीय शहर में अधिकतम दैनिक तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास इस मूल्य का समान औसत मूल्य है, जिसका व्यवहार में अर्थ है कि संभावना है कि अधिकतम हवा का तापमान वर्ष का प्रत्येक विशेष दिन महाद्वीप के अंदर स्थित शहर के औसत मूल्य से अधिक मजबूत होगा।

खेल

मान लेते हैं कि कई फुटबॉल टीमें हैं जो कुछ मापदंडों के सेट के अनुसार रैंक की जाती हैं, उदाहरण के लिए, गोल किए गए और स्वीकार किए गए गोलों की संख्या, स्कोरिंग मौके, आदि। यह सबसे अधिक संभावना है कि इस समूह की सर्वश्रेष्ठ टीम के पास सर्वोत्तम मूल्य होंगे अधिक मापदंडों में। प्रस्तुत मापदंडों में से प्रत्येक के लिए टीम का मानक विचलन जितना छोटा होता है, टीम का परिणाम उतना ही अधिक अनुमानित होता है, ऐसी टीमें संतुलित होती हैं। दूसरी ओर, बड़े मानक विचलन वाली टीम को परिणाम की भविष्यवाणी करने में कठिनाई होती है, जो बदले में असंतुलन द्वारा समझाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक मजबूत रक्षा लेकिन एक कमजोर हमला।

टीम के मापदंडों के मानक विचलन का उपयोग किसी को कुछ हद तक दो टीमों के बीच मैच के परिणाम की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है, टीमों की ताकत और कमजोरियों का मूल्यांकन करता है, और इसलिए संघर्ष के चुने हुए तरीके।

तकनीकी विश्लेषण

यह सभी देखें

साहित्य

यह लेख हटाने के लिए प्रस्तावित है। कारणों की व्याख्या और संबंधित चर्चा पृष्ठ पर पाई जा सकती है विकिपीडिया:हटाया जाना/17 दिसंबर 2012। जब तक चर्चा प्रक्रिया पूरी नहीं हो जाती, तब तक लेख में सुधार किया जा सकता है, लेकिन आपको सामग्री का नाम बदलने या हटाने से बचना चाहिए, अधिक विवरण के लिए आगे की कार्रवाई के लिए मार्गदर्शिका देखें। चर्चा समाप्त होने तक हटाने के लिए फ़्लैग न हटाएं। प्रशासक: लिंक यहाँ, इतिहास (अंतिम बार संशोधित), लॉग, हटाएं.

* बोरोविकोव, वी.सांख्यिकी। कंप्यूटर डेटा विश्लेषण की कला: पेशेवरों / वी। बोरोविकोव के लिए। - सेंट पीटर्सबर्ग। : पीटर, 2003. - 688 पी। - आईएसबीएन 5-272-00078-1.

सांख्यिकीय संकेतक
वर्णनात्मक आंकड़े	निरंतर आंकड़े कतरनी कारक मीन (अंकगणित, ज्यामितीय, हार्मोनिक) मेडियन मोड रेंज उतार-चढ़ाव पद · मानक विचलनभिन्नता का गुणांक क्वांटाइल (डेसिल, पर्सेंटाइल/पर्सेंटाइल/सेंटाइल) लम्हें गणितीय अपेक्षा फैलाव तिरछापन कर्टोसिस अलग आंकड़े आवृत्ति आकस्मिकता तालिका
सांख्यिकीय निकासी और इंतिहान परिकल्पना	सांख्यिकीय निष्कर्ष विश्वास अंतराल (आवृत्ति संभावना) विश्वास अंतराल (बायेसियन अनुमान) सांख्यिकीय महत्व मेटा-विश्लेषण योजना प्रयोग जनसंख्या · नमूना डिजाइन · क्षेत्रीय नमूनाकरण · प्रतिकृति · समूहीकरण · संवेदनशीलता और विशिष्टता नमूने का आकार सांख्यिकीय शक्ति प्रभाव का माप मानक त्रुटि समग्र प्राप्तांक बायेसियन समाधान का मूल्यांकन ·

नमूना सर्वेक्षण के अनुसार, जमाकर्ताओं को शहर के सर्बैंक में जमा राशि के आकार के अनुसार समूहीकृत किया गया था:

परिभाषित करना:

1) भिन्नता की सीमा;

2) औसत जमा राशि;

3) औसत रैखिक विचलन;

4) फैलाव;

5) मानक विचलन;

6) योगदान की भिन्नता का गुणांक।

समाधान:

इस वितरण श्रृंखला में खुले अंतराल होते हैं। ऐसी श्रृंखला में, पहले समूह के अंतराल का मान पारंपरिक रूप से अगले के अंतराल के मान के बराबर माना जाता है, और अंतिम समूह के अंतराल का मान पिछले के अंतराल के मान के बराबर होता है एक।

दूसरे समूह का अंतराल मान 200 है, इसलिए, पहले समूह का मान भी 200 है। अंतिम समूह का अंतराल मान 200 है, जिसका अर्थ है कि अंतिम अंतराल का भी मान 200 के बराबर होगा।

1) भिन्नता की श्रेणी को विशेषता के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित करें:

योगदान के आकार में भिन्नता की सीमा 1000 रूबल है।

2) योगदान का औसत आकार अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आइए हम प्रत्येक अंतराल में विशेषता के असतत मूल्य को पहले से निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके, हम अंतरालों के मध्य बिंदु ज्ञात करते हैं।

पहले अंतराल का औसत मान इसके बराबर होगा:

दूसरा - 500, आदि।

आइए गणना के परिणामों को तालिका में रखें:

जमा राशि, रगड़।	योगदानकर्ताओं की संख्या, एफ	अंतराल के मध्य, एक्स	एक्सएफ
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
कुल	400	-	312000

शहर के सबरबैंक में औसत जमा राशि 780 रूबल होगी:

3) औसत रैखिक विचलन कुल औसत से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के पूर्ण विचलन का अंकगणितीय औसत है:

अंतराल वितरण श्रृंखला में औसत रैखिक विचलन की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. अंकगणितीय भारित औसत की गणना की जाती है, जैसा कि पैरा 2 में दिखाया गया है)।

2. माध्य से भिन्न का पूर्ण विचलन निर्धारित किया जाता है:

3. प्राप्त विचलन आवृत्तियों से गुणा किया जाता है:

4. चिन्ह को ध्यान में रखे बिना भारित विचलनों का योग पाया जाता है:

5. भारित विचलनों के योग को बारंबारताओं के योग से विभाजित किया जाता है:

परिकलित डेटा की तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक है:

जमा राशि, रगड़।	योगदानकर्ताओं की संख्या, एफ	अंतराल के मध्य, एक्स
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
कुल	400	-	-	-	81280

Sberbank ग्राहकों की जमा राशि का औसत रैखिक विचलन 203.2 रूबल है।

4) फैलाव अंकगणितीय माध्य से प्रत्येक फीचर मान के वर्ग विचलन का अंकगणितीय माध्य है।

अंतराल वितरण श्रृंखला में विचरण की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

इस मामले में विचरण की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. अंकगणितीय भारित औसत निर्धारित करें, जैसा कि पैरा 2 में दिखाया गया है)।

2. माध्य से विचलन ज्ञात करें:

3. माध्य से प्रत्येक विकल्प के विचलन को चुकता करना:

4. विचलनों को भार (आवृत्तियों) से गुणा करें:

5. प्राप्त कार्यों का सारांश दें:

6. परिणामी राशि को भार (आवृत्तियों) के योग से विभाजित किया जाता है:

आइए गणनाओं को एक तालिका में रखें:

जमा राशि, रगड़।	योगदानकर्ताओं की संख्या, एफ	अंतराल के मध्य, एक्स
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
कुल	400	-	-	-	23040000

अनुदेश

बता दें कि कई संख्याएँ हैं - या सजातीय मात्राएँ। उदाहरण के लिए, माप, वजन, सांख्यिकीय अवलोकन आदि के परिणाम। प्रस्तुत सभी मात्राओं को एक ही माप से मापा जाना चाहिए। मानक विचलन ज्ञात करने के लिए, निम्न कार्य करें।

सभी संख्याओं का अंकगणितीय माध्य निर्धारित करें: सभी संख्याओं को जोड़ें और योग को कुल संख्याओं से विभाजित करें।

संख्याओं का फैलाव (बिखराव) निर्धारित करें: पहले पाए गए विचलन के वर्गों को जोड़ें और परिणामी योग को संख्याओं की संख्या से विभाजित करें।

वार्ड में 34, 35, 36, 37, 38, 39 और 40 डिग्री सेल्सियस तापमान वाले सात मरीज हैं।

औसत से औसत विचलन निर्धारित करना आवश्यक है।
समाधान:
"वार्ड में": (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

औसत से तापमान विचलन (इस मामले में, सामान्य मान): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, यह निकलता है: -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3 (ºС);

पहले प्राप्त संख्याओं के योग को उनकी संख्या से विभाजित करें। गणना की सटीकता के लिए, कैलकुलेटर का उपयोग करना बेहतर होता है। विभाजन का परिणाम योग का अंकगणितीय माध्य है।

गणना के सभी चरणों पर पूरा ध्यान दें, क्योंकि कम से कम एक गणना में त्रुटि के कारण एक गलत अंतिम सूचक होगा। प्रत्येक चरण में प्राप्त गणनाओं की जाँच करें। अंकगणितीय औसत में संख्याओं के योग के समान मीटर होता है, अर्थात यदि आप औसत उपस्थिति निर्धारित करते हैं, तो सभी संकेतक "व्यक्ति" होंगे।

गणना की इस पद्धति का उपयोग केवल गणितीय और सांख्यिकीय गणनाओं में किया जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में अंकगणितीय माध्य की एक अलग गणना एल्गोरिथ्म है। अंकगणितीय माध्य एक बहुत ही सशर्त संकेतक है। यह किसी घटना की संभावना को दर्शाता है, बशर्ते कि इसका केवल एक कारक या संकेतक हो। सबसे गहन विश्लेषण के लिए, कई कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। इसके लिए अधिक सामान्य राशियों की गणना का प्रयोग किया जाता है।

अंकगणित माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों में से एक है, जिसका व्यापक रूप से गणित और सांख्यिकीय गणनाओं में उपयोग किया जाता है। कई मूल्यों का अंकगणितीय औसत खोजना बहुत सरल है, लेकिन प्रत्येक कार्य की अपनी बारीकियाँ हैं, जिन्हें सही गणना करने के लिए जानना आवश्यक है।

ऐसे प्रयोगों के मात्रात्मक परिणाम।

अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं की एक सरणी के लिए अंकगणितीय माध्य की खोज इन मानों के बीजगणितीय योग को निर्धारित करने के साथ शुरू होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि सरणी में संख्याएँ 23, 43, 10, 74 और 34 हैं, तो उनका बीजगणितीय योग 184 होगा। लिखते समय, अंकगणितीय माध्य अक्षर μ (mu) या x (x एक बार के साथ) द्वारा निरूपित किया जाता है। . अगला, बीजगणितीय योग को सरणी में संख्याओं की संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए। इस उदाहरण में, पाँच संख्याएँ थीं, इसलिए अंकगणितीय माध्य 184/5 होगा और 36.8 होगा।

नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करने की विशेषताएं

यदि सरणी में ऋणात्मक संख्याएं हैं, तो समान एल्गोरिथम का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य पाया जाता है। प्रोग्रामिंग वातावरण में गणना करते समय या कार्य में अतिरिक्त शर्तें होने पर ही अंतर होता है। इन मामलों में, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना तीन चरणों में नीचे आता है:

1. मानक विधि द्वारा सामान्य अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना;
2. ऋणात्मक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना।
3. सकारात्मक संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना।

प्रत्येक क्रिया की प्रतिक्रिया को अल्पविराम से अलग करते हुए लिखा जाता है।

प्राकृतिक और दशमलव अंश

यदि संख्याओं की सरणी को दशमलव अंशों द्वारा दर्शाया जाता है, तो समाधान पूर्णांकों के अंकगणितीय माध्य की गणना की विधि के अनुसार होता है, लेकिन उत्तर की सटीकता के लिए समस्या की आवश्यकताओं के अनुसार परिणाम कम हो जाता है।

प्राकृतिक अंशों के साथ काम करते समय, उन्हें एक सामान्य भाजक में घटाया जाना चाहिए, जिसे सरणी में संख्याओं की संख्या से गुणा किया जाता है। उत्तर का अंश मूल भिन्नात्मक तत्वों के दिए गए अंशों का योग होगा।